APERFEIÇOANDO DECISÕES DE INVESTIMENTO COM O CRYSTAL BALL. Roberto Brazileiro Paixão Adriano Leal Bruni Heitor Marback

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1 APERFEIÇOANDO DECISÕES DE INVESTIMENTO COM O CRYSTAL BALL Roberto Brazileiro Paixão Adriano Leal Bruni Heitor Marback Anais do 1º Encontro Norte Nordeste de Finanças, Recife PE Brasil 08 e 09 de setembro de 2004

2 APERFEIÇOANDO DECISÕES DE INVESTIMENTO COM O CRYSTAL BALL Resumo Em geral, a análise de investimentos, sejam estes financeiros ou de capital, é realizada através do estudo dos fluxos de caixa por ele gerado. A mesma pode ser feita utilizando-se modelos determinísticos, modelos de sensibilidade e modelos que envolvam o risco associado. No uso de modelos determinísticos a análise pode ficar comprometida tendo em vista que as previsões futuras são inflexíveis. Nas análises de sensibilidade as previsões já não são mais inflexíveis, contudo apenas os efeitos de uma variável são analisados. Nos casos onde a variável risco está inserida, pode-se utilizar um modelo estatístico, como a Simulação de Monte Carlo, para encontrar a probabilidade do investimento gerar um retorno positivo, ou seja, gerando um Valor Presente Líquido maior do que zero e uma Taxa Interna de Retorno superior à taxa mínima de aceitação de projetos. No intuito de identificar ferramentas que facilitem a aplicação da Simulação de Monte Carlo, faz-se uso do software Crystal Ball, destacando a parametrização do modelo estatístico e os passos para a simulação. O estudo das variáveis e das probabilidades resultantes da simulação traz informações relevantes ao processo decisório relativo ao investimento. Palavras-chave: Avaliação de investimentos, Fluxo de caixa descontado, Simulação de Monte Carlo e Crystal Ball. Abstract In general, the investments analysis, whether financial or cash, is done by the study of its generated cash flows.the same can be done by the use of deterministic models, sensibility models and models involving the associated risk. In using deterministic models the analysis can be wrong regarding to the inflexibility of future predictions. In the sensibility analysis the predictions have flexibility, nevertheless only the effects of one variable are analyzed. In the cases where the risk variable is inserted one can use a statistical model, like the Monte Carlo Simulation, in order to finding the investment probability in generating a positive return, that is, generating a Net Present Value greater than zero and a Internal Return Rate greater than the minimum rates accepted for projects. In order to identify tools which help the use of the Monte Carlo Simulation, one can make use of the Crystal Ball software, emphasizing parametrically the statistical model and the steps for the simulation. The studies of the variables and the simulation resulting probabilities brings relevant information to the decision process related to the investment. Key-words: Investment analysis, Discounted cash flows, Monte Carlo Simulation and Crystal Ball. Área: Finanças Subárea: Finanças Empresariais Codificação JEL: G3; G31.

3 2 Introdução Na avaliação de investimentos diversos métodos podem ser utilizados. Dentre os métodos de avaliação disponíveis aos analistas, Ferreira de Souza, Bastos e Martelanc (2003) destacam três abordagens. Uma delas é a avaliação por fluxo de caixa descontado, que será utilizada neste trabalho. Outra abordagem é a da avaliação relativa, que determina o valor de um ativo comparando-o com outro semelhante, utilizando uma variável relativa comum. Uma terceira abordagem é a da avaliação de direitos contingentes, que utiliza modelos de precificação de opções para avaliar ativos que possuam características de opções. Pode-se adicionar ainda uma quarta abordagem, a avaliação por valor contábil ajustado, também denominada abordagem patrimonialista. De acordo com Kelliher e Mahoney (2000), praticamente todas as abordagens de avaliação de ativos e investimentos falham em pelo menos uma das três categorias: no método de desconto dos fluxos de caixa, na definição dos métodos ou na parte empírica do método. No método dos fluxos de caixa descontados, todos os fluxos futuros são descontados no intuito de encontrar um valor presente para o projeto. A definição dos métodos corresponde a técnicas analíticas que substituem os termos do lado direito de uma equação e prova que o lado direito equivale ao lado esquerdo. Em fim, métodos empíricos são baseados na noção de que o valor de uma equação é suportado por evidências empíricas de mercados específicos. Para fins deste trabalho, será utilizado o modelo do fluxo de caixa descontado (FCD). Damodaran (1997) salienta que para a avaliação de investimentos através deste método é necessário: (a) avaliar o grau de risco do mesmo sob a forma de uma taxa de desconto e (b) estimar os fluxos de caixa esperados para o investimento. Depois de estimadas as variáveis do projeto, deve-se utilizar técnicas de avaliação de investimentos, tais como o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retorno (TIR) ou o Payback. Algumas dificuldades surgem em um processo de avaliação de investimentos de longo prazo, destacando-se: estimar o total dos fluxos de caixa e o tempo de geração desses fluxos, estimar a taxa de desconta a ser utilizada para trazer os fluxos a valor presente, estimar a taxa de mudança, caso ocorra um aumento ou decréscimo nos fluxos e o período total dos fluxos. Para tornar a análise ainda mais complexa, podem-se ter casos em que as variáveis sejam inter-relacionadas ou até mesmo dependentes. As técnicas usadas para se avaliar investimentos em condições de risco e incerteza podem então: ignorar o risco e realizar a avaliação de forma determinística; tentar captá-lo através de análises de sensibilidade; ou analisar as probabilidades usando algum modelo estatístico, como a simulação de Monte Carlo. O Método de Monte Carlo pode ser usado como uma ferramenta para se quantificar a incerteza que é inerente a qualquer projeto de longo prazo. A simulação pode ser feita em modelos personalizados desenvolvidos em uma planilha eletrônica qualquer ou através de softwares específicos 1, como o Crystal Ball 2 (CB) ou 3. O objetivo do artigo é mostrar a relevância da análise de risco, com o uso da simulação de Monte Carlo, para o tomador de decisões, bem como mostrar, passo a passo, a parametrização de entrada dos dados para gerar uma simulação com o auxílio do software Crystal Ball. Sendo assim, na primeira parte do artigo desenvolve-se o referencial teórico

4 3 acerca dos fluxos de caixa descontados, da taxa de desconto, das avaliações determinísticas e de sensibilidade, e do Método de Monte Carlo. Segue-se com a descrição da simulação, bem como da parametrização das variáveis, e análise de resultados. Por fim, são feitas algumas considerações finais, acerca do estudo e dos resultados, bem como destacados novos desafios para este tipo de análise. A avaliação do fluxo de caixa descontado (FCD) Os fluxos de caixa devem ser estimados após o valor dos impostos, e são compostos por entradas menos saídas de caixa (DAMODARAN, 1997). Na projeção de fluxo de caixa, Copeland, Koller e Murrin (2000) dividem a avaliação de um ativo em duas partes, sendo uma o período de previsão explícito e outra o valor do fluxo após a previsão explícita. Sendo assim, o valor de um investimento corresponde à seguinte fórmula: Valor = t = n t= 1 FC ( 1+ CMPC) t t + Valor Re sidual (1) Na qual: FC t = fluxo de caixa da empresa no período t; CMPC = Custo médio ponderado de capital; É necessário determinar os fluxos de caixa futuros após o período de estimação explícito. Este valor, denominado valor residual, evita que se projete detalhadamente os fluxos por um longo período de tempo (COSTA; MANDARINO, 200?). Obviamente, quanto maior for a projeção, menor será o valor residual, e vice-versa. Sendo assim, o valor residual pode ser definido como: FCn+1 Valor Re sidual = (2) ( CMPC g) Na qual: FC n+1 = fluxo de caixa do n+1; CMPC = custo médio ponderado de capital; g = taxa de crescimento esperado do fluxo. Para estimar o crescimento dos fluxos de caixa ao longo do tempo, corrobora-se com Damodaran (1997) de que em mercados concorridos a taxa de crescimento pode ser maior do que a inflação e vice-versa, contudo em mercados estáveis a estimativa deve ser próxima da inflação. Costa e Mandarino (200?) salientam que em mercados estáveis, após o período de horizonte explícito dos fluxos de caixa, as empresas só conseguirão retornos iguais ao seu custo de capital. Sendo assim, a variável g deve ser considerada zero. O fato de g ser zero não significa que os fluxos futuros são iguais, mas sim que os fluxos não afetaram o valor da empresa, ou seja, o seu valor presente líquido será zero.

5 4 No caso de projetos de investimentos com tempo pré-determinado o valor residual geralmente é caracterizado pela possível venda das máquinas utilizadas no projeto, em seus fluxos livres, ou seja, já descontado os impostos. A taxa de desconto pela qual os fluxos de caixa futuros deverão ser trazidos a valor presente deve refletir o custo do financiamento da empresa. Esta taxa é denominada custo médio ponderado de capital, e consiste em uma ponderação entre o custo do capital próprio da empresa e o custo do capital de terceiros. Este custo médio ponderado de capital corresponde à taca mínima de corte na avaliação de investimentos. Para se avaliar investimentos, pode-se utilizar a técnica do Valor Presente Líquido (VPL), que é calculado de acordo com a seguinte fórmula: t n VPL = = t =1 FC ( 1+ CMPC) t t + Valor Re sidual II (3) Na qual: FC t = fluxo de caixa da empresa no período t; CMPC = Custo médio ponderado de capital; II = Investimento inicial. Utilizando-se o Valor Presente Líquido, tanto as entradas como as saídas de caixa são traduzidas para valores monetários atuais. O investimento inicial está automaticamente expresso em termos monetários atuais. Se não for esse o caso, o Valor Presente Líquido de um projeto deverá ser obtido subtraindo-se o valor presente das saídas do valor presente das entradas de caixa. Outra técnica bastante difundida é o cálculo da Taxa Interna de Retorno (TIR), que corresponde à taxa que remunera o investimento. O seu cálculo é feito com base no Valor Presente Líquido, sendo a taxa encontrada igualando-se o VPL a zero, conforme fórmula abaixo: TIR t = = t= n 1 FC t t ( 1+ i) + Valor Re sidual II = 0 (4) A taxa Interna de Retorno é definida como a taxa de desconto que iguala o valor presente das entradas de caixa ao investimento inicial referente a um projeto. Em geral, a regra básica é: se o Valor Presente Líquido for maior que zero, deve-se aceitar o projeto; e se a Taxa Interna de Retorno for maior que a Taxa Mínima de Corte, devese também aceitar o projeto. Algumas variações e dificuldades nas análises com base nestas técnicas, como, por exemplo, quando ocorre mais de uma inversão de sinal dos fluxos, são discutidas na literatura de finanças, não sendo alvo do presente trabalho. A taxa mínima de corte

6 5 Uma empresa pode ser financiada parte com capital próprio e parte com capital de terceiros, sendo assim, o custo de capital será uma média ponderada entre o custo de capital de terceiros, ponderado pela sua participação no financiamento total, e o custo do capital próprio, ponderado também pela sua participação no financiamento total. Este custo é denominado Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC). No caso específico da empresa ser totalmente financiada através de capital próprio, o CMPC será o próprio custo do capital próprio, denominado custo do patrimônio líquido. Damodaran (1999) salienta que a taxa mínima de corte deve refletir o mix de financiamentos utilizado (capital próprio e capital de terceiros) e deve ser maior para projetos com risco maior. A expressão do CMPC pode ser vista na equação 5: CMPC E D = Ke + Kd (5) D + E D + E Na qual: Ke = custo do capital próprio; Kd = custo líquido das dívidas; E = valor de mercado do capital próprio; D = valor de mercado das dívidas. O custo da dívida é expresso pelo valor de mercado da dívida deduzido do imposto de renda, face que os juros pagos nos empréstimos da empresa são dedutíveis para efeito de tributação (BRUNI; SOUZA; LUPORINI, 1997). As ações preferenciais também são consideradas como dívida, contudo têm uma determinação de custo própria, não sendo alvo desta pesquisa. Sendo assim, o custo da dívida da empresa, expressa no capital de terceiros, pode ser representado pela expressão: Kd = K ( 1 IR) (6) Na qual: K = taxa de juros de mercado do endividamento; IR = alíquota do Imposto de Renda. Dentre os modelos para determinação do custo de capital próprio, Damodaran (1997) destaca o modelo CAPM (Capital Assets Pricing Model, ou Modelo de Precificação de Ativos Financeiros) e o modelo APM (Arbitrage Pricing Model, ou Modelo de Precificação por Arbitragem). Existe ainda um outro modelo, denominado modelo de crescimento de dividendos, ou modelo de Gordon e Shapiro. De acordo com Modelo de Precificação de Ativos Financeiros, existem dois tipos de risco em um ativo: o risco sistemático, que afeta a maioria dos ativos; e o risco não sistemático ou específico, que afeta um pequeno número de ativos. No modelo do CAPM, apenas o risco que não pode ser diversificável, o risco sistemático, também denominado risco não-diversificável, deve ser recompensado. Visto que o risco é medido pela variância, o risco de uma carteira é menor do que o risco dos ativos separadamente, o que justifica a diversificação e, por conseqüência não

7 6 justifica a recompensa. Na visão de Ross, Westerfield e Jordan (2000), em função da eliminação quase que total do risco não sistemático com a diversificação, não pode haver uma recompensa por assumi-lo. Para estes autores, o mercado não recompensa riscos desnecessários. Ross, Westerfiel e Jordan (2000) afirmam que a quantidade de risco sistemático presente em um ativo ou uma carteira de ativos é determinado pelo coeficiente beta. Assim como em outros ativos, nos ativos imobiliários, o risco, pelo modelo CAPM, deveria estar refletido no seu beta. O modelo CAPM corresponde à taxa livre de risco adicionada ao prêmio de risco ajustado pelo multiplicador beta, que corresponde à variância do ativo em relação a um índice do mercado. A fórmula pode ser expressa da seguinte maneira: ( Rm Rf ) Ke = Rf + β (7) Na qual: Ke = retorno esperado do capital próprio ou custo do capital próprio; Rf = taxa livre de risco; (Rm Rf) = prêmio pelo risco de mercado; Beta (β) = coeficiente de risco não-diversificável. É relevante ressaltar que o Custo Médio Ponderado de Capital deve ser a taxa mínima de corte para a avaliação de projetos de investimento. Ou seja, qualquer projeto com retorno abaixo do CMPC, ou taxa mínima de corte, deve ser rejeitado. Avaliações determinísticas e de sensibilidade Levando-se em consideração uma avaliação baseada nos fluxos de caixa futuros, podese utilizar algumas técnicas para se lidar com o risco e a incerteza: (a) ignorá-los e utilizar uma única estimativa determinística; (b) utilizar uma análise de sensibilidade; (c) ou acessálos quantitativamente, utilizando um modelo estatístico de simulação, como o Método de Monte-Carlo. Na avaliação determinística, o investimento é avaliado descontando-se os fluxos de caixa a valor presente associados com o estado real do projeto. Este estado real corresponde à melhor estimativa de fluxos de caixa, taxa de desconto e qualquer outra variável envolvida. Obtendo-se um valor presente negativo dos fluxos de caixa, o investimento deveria ser rejeitado, e quando o resultado fosse positivo, o mesmo seria recomendado. O problema com os métodos determinísticos refere-se a sua inflexibilidade na previsão dos fluxos de caixa futuros. Ou seja, existe, mesmo que não seja levada em consideração, uma probabilidade dos fluxos futuros variarem e não se realizarem como previsto. Logo, questões podem ser levantadas a respeito do resultado via modelo determinístico, destacando-se: a) E se os fluxos de caixa forem maiores/menores? b) E se as despesas forem superiores/inferiores ao previsto? c) E se a taxa desconto sofre uma variação?

8 7 Na tentativa de melhorar as avaliações determinísticas, podem ser criados cenários para determinadas alterações nas variáveis-chave. Esta avaliação de cenários é chamada de análise de sensibilidade e indica exatamente o quanto o resultado vai variar, em resposta a uma mudança em uma variável de entrada, mantendo-se as outras constantes (KELLINHER; MAHONEY, 2000). Esta análise pode ser usada para responder às questões do tipo e se? elaboradas anteriormente. Cada variável de entrada pode ser ajustada para uma variação positiva ou negativa de 5%, 10% ou 20% acerca do valor base. Observa-se que quando uma determinada variável sofre uma variação, as outras devem permanecer constantes (condição ceteris paribus). O Método de Monte Carlo (MMC) De acordo com Smith (1994), o tipo de simulação adequada para se fazer análises de risco é a simulação de Monte-Carlo. Por simulação entenda-se o processo de construção de um modelo de sistema, matemático ou lógico, e a experimentação deste modelo, a fim de obter informações que auxiliem na resolução de problemas (EVANS; OLSON, 2002). Kelliher e Mahoney (2000) argumentam que, apesar de ter recebido muita atenção na década de 80, o Método de Monte-Carlo (MMC) era considerado pela comunidade acadêmica como uma prática limitada, porque para rodar as simulações era necessário ter acesso a um computador de grande porte (mainframe), possuir conhecimento de sofisticadas linguagens de programação e tempo para processar as informações, visto que o processo era lento. Atualmente, pode-se rodar simulações com uma simples planilha e alguns softwares de suplementos, como ou o Crystal Ball. Pode-se ainda criar pequenas macros que tornam o processo de simulação mais fácil e rápido, modelagem esta que será usada neste trabalho. Logo, o MMC está disponível para qualquer usuário que queira analisar e interpretar melhor a incerteza e o risco associados a um investimento. A criação de modelos de para a prática de simulações requer o emprego de números aleatórios, em geral gerados por computador. Shimizu (1975), salienta que feitas as ressalvas matemáticas adequadas, jamais seria possível a obtenção de aleatórios genuínos por meio de computadores, mas sim números pseudo-aleatórios ou quase-aleatórios. Isto porque para que se possa garantir seu caráter de aleatoriedade seria preciso efetuar infinitos testes gerados por um mesmo processo e seguidos por uma infinidade de testes estatísticos. Ehrlich (1998) ressalta que os critérios de aleatoriedade dos números pseudoaleatórios gerados em computador envolvem a obtenção de valores: (a) uniformemente distribuídos; (b) estatisticamente independentes; (c) reprodutíveis, a fim de permitir comparação entre programas; (d) não repetibilidade da série no intervalo de interesse; (e) velocidade de geração; e (f) utilização de memória mínima de computador na geração. O uso de números aleatórios gerados eletronicamente viabiliza a realização de simulações em computadores. O Método de Monte Carlo (MMC) é uma técnica de amostragem que busca a seleção aleatória de componentes ou números e suas correspondentes aproximações para as distribuições de probabilidade, facilitando a análise de risco (CORREIA NETO; MOURA; FORTE, 2002).

9 8 Na simulação de Monte Carlo, cada variável de um modelo de avaliação é representada por uma função densidade de probabilidade, ou por um intervalo de valores possíveis, e não por um simples valor, como na avaliação determinística. As distribuições mais comuns são: a normal, a uniforme, a logarítmica e a triangular. Na distribuição normal, ou gaussiana, os valores estão distribuídos de forma simétrica à média e existe uma probabilidade de estarem mais próximos dela do que distantes. A distribuição uniforme se caracteriza por possuir valores com probabilidades iguais de serem escolhidos, entre um valor mínimo e um valor máximo. Em uma distribuição logarítmica os valores estão positivamente inclinados, representados por uma longa cauda à direita. Os valores mais prováveis se apresentam próximo ao valor mínimo ou ao menor valor da faixa. E na distribuição triangular os valores estão entre um valor mínimo e um máximo, sendo que os valores próximos aos extremos têm menor probabilidade de serem escolhidos (ATKINSON; KELLINHER; LeBRUTO, 1997). Abaixo segue o algoritmo de uma simulação de Monte Carlo: Início Distribuição de Probabilidade para o fluxo de caixa do ano Todos os ano completos? Não Sim Calcule e armazene o Não Todas as iterações completas? Sim Sumarize os resultados e gere uma distribuição para os resultados. Fim Figura 1: A lógica de uma simulação simples de Monte-Carlo. Fonte: SMITH (1994, p. 21).

10 9 De acordo com Kelliher e Mahoney (2000), existem alguns passos para se determinar qual distribuição se enquadra mais perfeitamente para cada variável. O primeiro passo é identificar e listar tudo o que se sabe sobre cada variável de entrada. Para estes autores, muita informação pode ser conseguida em publicações de pesquisas de levantamento de marketing sobre taxas de retorno e índices de operações. Informações valiosas podem ser ainda inferidas a partir de dados históricos, tantos internos quanto externos. No caso de existirem dados históricos válidos, existe a possibilidade de que seja encontrada a distribuição que mais se adequa àquela variável, utilizando o auxílio de softwares específicos de simulação. Contudo, mesmo com dados históricos à disposição, grande parte da seleção de distribuições de freqüências é dirigida pela subjetividade e experiência do analista. Depois de definida a função densidade de probabilidade de cada variável inicia-se a simulação. Cada geração de valor está associada a uma probabilidade diferente de zero de acontecer. As variáveis geradas de acordo com o MMC irão determinar o valor presente líquido (VPL) do projeto de investimento. Novas iterações são feitas e seus resultados devem ser guardados para posterior análise. O processo deve ser repetido tantas vezes quantas forem necessárias. Com o auxílio de softwares específicos é comum análises com simulações, ou mais. Pelo Teorema do Limite Central, quando utilizam-se muitos números aleatórios, os valores da amostra tendem a uma distribuição normal, em forma de sino, ou gaussiana. Ou seja, a média e o desvio padrão da amostra convergem para a média o desvio padrão populacional (STEVENSON, 1981). De acordo com Correia Neto, Moura e Forte (2002), a concentração em torno da média encontrada é a propriedade estatística mais aplicável ao MMC. Sendo assim, tem-se que, em uma distribuição normal, 68% das ocorrências encontram-se entre mais um e menos um desvio padrão. Para 95% de confiança, as ocorrências estão entre mais dois e menos desvios padrões e as ocorrências se encontrarão entre mais três e menos três desvios padrões em 99,5% dos casos. A simulação Na figura abaixo tem-se o projeto de investimento a ser analisado, bem como suas variáveis e o resultado do VPL, em uma abordagem determinística. O projeto refere-se à aquisição de uma máquina pelo valor de $ que gerará uma receita no primeiro ano de $ , com crescimento de 7% ao ano. Os custos fixos são da ordem de $6.000 e os custos variáveis correspondem a 25% da receita. A depreciação ocorre linearmente em um período de cinco anos. A máquina é vendida ao final do projeto por $20.000, o que representa uma entrada líquida após Imposto de Renda de $ Para iniciar o projeto é necessário um investimento em capital de giro no valor de $ A taxa mínima de corte é determinada em 12% e a alíquota do Imposto de Renda em 34%.

11 10 Taxa Mínima de Corte ==========================================> 12% Alíquota de Imposto de Renda ==========================================> 34% Investimento na máquina Investimento em capital de giro Valor da venda da máquina Vida útil da máquina (anos) 5 Crescimento anual das receitas 7% Período Receita (-) Despesas Custos fixos - (6.000) (6.000) (6.000) (6.000) (6.000) Custos variáveis - (25.000) (26.750) (28.623) (30.626) (32.770) Depreciação - (40.000) (40.000) (40.000) (40.000) (40.000) = Lucro Operacional Tributável (-) Imposto de Renda - (9.860) (11.645) (13.555) (15.599) (17.785) = Lucro Líquido Operacional (+) Depreciação = Fluxo de Caixa Operacional (+/-) Investimento ou desinvestimentos líquidos em equipamentos ( ) (+/-) Investimentos ou desinvestimentos em capital de giro (25.000) = Fluxo de Caixa Livre ( ) = Valor Presente Líquido (VPL) ==========================================> = Taxa Interna de Retorno (TIR) ==========================================> 17,28% Figura 2: Projeto de investimento com abordagem determinística. Fonte: Elaborado pelos autores. Se todas as premissas ocorrerem conforme descrito na análise acima, o VPL do projeto será de $ e a TIR de 17,28%, indicando que o mesmo deve ser aceito. Contudo, se considerarmos que algumas variáveis podem sofrer alterações ao longo do tempo, o VPL e a TIR deverão mudar, podendo variar também a aceitação do projeto. Neste caso, três variáveis serão simuladas: a taxa mínima de corte, o crescimento anual das receitas e a receita inicial (ano 1). As simulações serão realizadas com o auxílio do software Crystal Ball (CB). O primeiro passo é definir as funções densidade de probabilidade para cada uma das variáveis a serem geradas de forma aleatória. A figura 2 mostra as possíveis funções densidade de probabilidade que podem ser utilizadas no Crystal Ball. Figura 3: Opções de funções densidade de probabilidade no Crystal Ball. Fonte: Crystal Ball.

12 11 Observa-se que existe um comando nesta janela denominado fit..., que corresponde a uma ferramenta do CB, cuja função é analisar dados históricos de uma variável e, a partir de testes estatísticos automáticos, sugerir a função densidade de probabilidade que mais se encaixa para aquela variável. Na falta de dados históricos, a experiência do analista, apesar de ser um fator subjetivo, se torna fator diferencial da análise. Para a taxa mínima de corte a função densidade de probabilidade escolhida foi a triangular, com um valor mínimo de 9% e máximo de 15%. Esta mesma função foi escolhida para o crescimento anual das receitas, modificando os valores para um mínimo de 5% e máximo de 9%. No caso das receitas, foi utilizada uma função normal, gaussiana, com média de $ e desvio-padrão de 10%, bloqueando a possibilidade da mesma ser menor do que zero, ou seja, fazendo que a probabilidade da receita no ano 1 ser menor do que zero seja nula. Abaixo seguem as figuras das configurações das funções densidade de probabilidade das variáveis escolhidas. Taxa Mínima de Corte 9% 11% 12% 14% 15% Figura 4: Configuração da função densidade de probabilidade da Taxa Mínima de Corte. Fonte: Crystal Ball. Crescimento anual das receitas 5% 6% 7% 8% 9% Figura 5: Configuração da função densidade de probabilidade do Crescimento anual das receitas. Fonte: Crystal Ball.

13 12 Receita Inicial Figura 6: Configuração da função densidade de probabilidade da receita inicial. Fonte: Crystal Ball. Planilhas eletrônicas como o Excel tornam possível construir equação para a geração de simulações de distribuições probabilidades triangulares simétricas, no caso de optar-se pela não utilização de um software específico. A variável aleatória empregada no modelo de simulação pode ser apresentada como: Onde: X 0 = valor simulado b = limite superior da distribuição a = limite inferior da distribuição NA= número aleatório gerado ( b a) ( NA NA ) x 0 = a (8) 2 Em distribuições triangulares simétricas, a média e o desvio podem ser apresentados algebricamente como: a + b x = (9) a 2ab + b s x = 24 (10) No caso de uma distribuição normal é necessário fornecer a média e o desvio-padrão associado à distribuição que se deseja simular. A variável a ser empregada no modelo de simulação vai ser: Onde: 12 x0 = s x aleatórioi 6 + x (11) i= 1

14 13 X 0 = valor simulado s x = desvio-padrão da distribuição x = média da distribuição Com as variáveis definidas e os dados devidamente introduzidos no CB, é necessário gerar iterações para que seja construída uma freqüência acumulada de resultados. Observa-se que a parametrização sem o auxílio de um software específico é mais trabalhosa, complexa e sujeita a erros. Seguindo a análise com o CB, o próximo passo é definir a célula de saída das iterações. No caso, o que interessa é verificar o impacto das simulações na projeção do VPL e na TIR. Logo, tanto a célula do VPL, quanto a da TIR, deverão ser definidas como a previsão de saída, conforme figura abaixo. Figura 7: Definição da célula de saída (VPL). Fonte: Crystal Ball. Em seguida, pode-se rodar as simulações. O número de iterações vai depender do analista, sendo que em média asapós as simulações é apresentado um diagrama de freqüência. Este pode ser modificado para mostrar estatísticas, gráfico acumulado, dentre outras opções. Foram geradas iterações com o auxílio do Crystal Ball. O VPL variou entre $ e , sendo encontradas 22 variáveis consideradas outliers. O VPL médio foi de $ , bem próximo do encontrado com o modelo determinístico. O desvio-padrão encontrado foi de $ Já a TIR variou entre 7,23% e 27,60%, sendo encontradas 19 outliers. A TIR média foi de 17,27%, também bastante próxima à taxa encontrada com o modelo determinístico. O desvio-padrão da TIR foi de 3,19%. Seguem abaixo as distribuições de freqüências do VPL e da TIR:

15 14 Forecast: VPL Trials Frequency Chart 22 Outliers,025 76,019 57,013 38,006 19,000 Mean = Certainty is 93,80% from 0 to +Infinity $ Figura 8: Diagrama de freqüência do VPL. Fonte: Elaborado pelos autores. 0 Forecast: TIR Trials Frequency Chart 19 Outliers,025 75,019 56,25,013 37,5,006 18,75,000 Mean = 17,27% 0 9,24% 13,30% 17,37% 21,44% 25,51% Certainty is 94,73% from 12,00% to +Infinity % Figura 9: Distribuição de freqüências acumulada da TIR. Fonte: Elaborado pelos autores. Quando a distribuição de probabilidades simulada corresponder a uma distribuição gaussiana, ou normal, é possível, com a utilização de uma tabela padronizada para valores de Z e com base na média e no desvio-padrão dos resultados encontrados, encontrar a probabilidade associada a valores presentes líquidos maiores que zero ou taxas internas de retorno superiores à taxa mínima de corte. Testes estatísticos para checar a normalidade dos resultados encontrados podem ser feitos pela opção Overlay Chart, adicionando uma distribuição de freqüência por vez e utilizando-se a ferramenta fit. Analisados os resultados, utilizou o teste do Qui-quadrado, pelo qual pode-se aceitar ou rejeitar a hipótese de normalidade das distribuições de freqüências. No caso da TIR, a hipótese de normalidade pode ser aceita (p-value = 0,0820). Para o VPL, utilizou-se o mesmo teste anterior e também a normalidade foi aceita (p-value = 0,1148). As figuras abaixo demonstram a adequação das distribuições à curva normal.

16 15,030 Overlay Chart Frequency Comparison,023,015 Normal Distribution Mean = Std Dev = ,008 VPL, Figura 10: Adequação da curva normal à Distribuição de freqüências acumulada do VPL. Fonte: Elaborado pelos autores.,031 Overlay Chart Frequency Comparison,023,015 Normal Distribution Mean = 17,27% Std Dev = 3,19%,008 TIR,000 7,50% 12,50% 17,50% 22,50% 27,50% Figura 11: Adequação da curva normal à Distribuição de freqüências acumulada da TIR. Fonte: Elaborado pelos autores. Com as distribuições de freqüência encontradas, ambas similares à gaussiana, pode-se chegar à conclusão que o projeto tem 93,8% de chances de ter um VPL positivo, e 94,73% de probabilidade de ter uma TIR superior à Taxa Mínima de Corte, o que torna a decisão de investimento muito mais aperfeiçoada. Especificamente neste caso o resultado da aceitação do projeto envolve testes estatísticos e uma probabilidade quanto ao seu retorno. O CB possui uma outra ferramenta de análise ainda mais avançada. Através da opção Open Sensitivy Chart, pode-se notar quais das variáveis simuladas exercem maior impacto nas variáveis de saída, no caso a TIR e o VPL. Abaixo seguem as figuras das análises de sensibilidade da TIR e do VPL.

17 16 Sensitiv ity Chart Target Forecast: TIR Re ce ita Inicial,99 Cre sc imento anu al das receitas,14 T ax a Mín ima de Co rte,04 G2,03 C1 1 -,03 Cre sc imento anu al das receitas -, ,5 0 0,5 1 Me asured by Rank Correlation Figura 12: Análise de sensibilidade da TIR. Fonte: Elaborado pelos autores. Sensitiv ity Chart Target Forecast: VPL Re ce ita Inicial,90 Tax a Mín ima de Co rte -,34 Cre sc imento anu al das receitas,14 C1 1 -,03 G2,02 Cre sc imento anu al das receitas -, ,5 0 0,5 1 Me asured by Rank Correlation Figura 13: Análise de sensibilidade do VPL. Fonte: Elaborado pelos autores. Através das análises de sensibilidade pode-se perceber que, no caso da TIR, o seu resultado é influenciado diretamente pela receita inicial, correlação positiva, e em segundo plano pela Taxa Mínima de Corte. O VPL também possui correlação positiva mais elevada com a receita inicial, contudo a Taxa Mínima de Corte correlaciona-se negativamente com o seu resultado. Considerações finais As análises de projetos de investimentos de longo prazo, quando em condições de risco e incerteza, se analisadas pela abordagem determinística, que assume as variáveis como sendo exatas, pode levar a uma decisão viesada. No intuito de tentar minimizar este problema o Método de Monte Carlo, tenta, através de uma série de simulações de resultados possíveis, encontrar uma probabilidade para a

18 17 viabilidade do investimento. As variáveis escolhidas têm suas funções densidade de probabilidade definida e verifica-se o impacto na variável de saída, no caso o VPL. Um modelo probabilístico pode auxiliar na analise das interações entre variáveis incertas, representadas por uma faixa de valores possíveis, distribuídos em uma função densidade de probabilidade. Corroborando com as conclusões de Kelliher e Mahoney (2000), a simulação de Monte Carlo pode ajudar os analistas a entender melhor o impacto da incerteza em suas estimativas de valor, tornando as decisões de investimento muito mais acuradas, eficientes e efetivas. Neste trabalho, procurou-se utilizar o Método de Monte Carlo como uma ferramenta adicional ao processo de tomada de decisão referente a um investimento. As probabilidades encontradas no estudo, bem como as análises de sensibilidade das variáveis de saída (VPL e TIR), contribuem para enfatizar a aceitação do investimento proposto. Para tornar o modelo ainda mais eficiente é interessante que mais variáveis sejam geradas de forma aleatório, e não apenas algumas conforme modelo descrito anteriormente. No entanto, possuir informações suficientes das variáveis de modo que seja possível enquadrá-las dentro de uma função probabilidade de densidade da forma mais eficiente possível pode ser considerado um desafio. Uma alternativa à utilização de softwares específicos para a simulação, como o utilizado no modelo acima, é a criação de planilhas automatizadas com o auxílio de macros. Referências ATKINSON, S.; KELLIHER, C. F.; LeBRUTO, S. Capital-budgeting decisions using Crystal Ball. Cornell Hotel and Restaurant Administration Quarterly, Ithaca, v. 38, Iss. 5, p , Oct BRUNI, A. L.; FAMÁ, R.; SIQUEIRA, J. O. Análise do risco na avaliação de projetos de investimento: uma aplicação do método de Monte Carlo. Caderno de Pesquisa em Administração, São Paulo, v. 1, n. 6, p , ; SOUZA, A. F.; LUPORINI, C. E. M. Determinação do valor da empresa através do fluxo de caixa descontado: um estudo de caso. In: SEMINÁRIOS DE ADMINISTRAÇÃO DA FEA/USP, 2., 1997, São Paulo. Anais..., São Paulo: USP, 1997, p COPELAND, T.; KOLLER, T.; MURRIN, J. Avaliação de empresas: calculando e gerenciando o valor das empresas. São Paulo: Makron books, CORREIA NETO, J. F.; MOURA, H. J.; FORTE, S. H. C. A. Modelo prático de previsão de fluxo de caixa operacional para empresas comerciais considerando os efeitos do risco, através do método de Monte Carlo. REAd - Revista Eletrônica da Administração, Porto Alegre, v.8, n.3, p. 1-15, Disponível em: < Acesso em: 18 set

19 18 COSTA, L. G. A.; MANDARINO, D. Análise fundamentalista e análise das demonstrações financeiras. FGV: Rio de Janeiro, 200?. DAMODARAN, A. Avaliação de investimentos: ferramentas e técnicas para a determinação do valor de qualquer ativo. Rio de Janeiro: Qualitymark, Finanças corporativas aplicadas: manual do usuário. Porto Alegre: Bookman, EHRLICH, P. J. Pesquisa operacional. São Paulo: Atlas, FERREIRA DE SOUZA; A.; BASTOS, D. D.; MARTELANC, R. Avaliação de empresas brasileiras de capital fechado. In: SEMINÁRIOS DE ADMINISTRAÇÃO DA FEA/USP, 6., 2003, São Paulo. Anais do VI SemeAd Seminários de Administração da FEA/USP, São Paulo: USP, mar Disponível em: < Acesso em: 18 set KELLIHER, C. F.; MAHONEY, L. S. Using Monte Carlo Simulation to improve long-term investment decisions. The Appraisal Journal, Chicago, v. 68, Iss. 1, p , Jan ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JORDAN, B. D. Princípios de administração financeira. 2. ed. São Paulo, SHIMIZU, T. Simulação digital em computador. São Paulo: USP, SMITH, D. J. Incorporating risk into capital budgeting decisions using simulation. Management Decision, London, v. 32, Iss. 9, p , STEVENSON, W. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Harper & Row do Brasil, Apesar das análises serem feitas com o uso de um software específico, outros softwares e abordagens feitas com modelagem de dados são citadas, excluindo o artigo de qualquer caráter comercial. 2 Crystal Ball é oferecido pela Decisioneering Inc., Aurora, Colorado, USA. é oferecido pela Palisade Corporation, Newfield, New York, USA.