Controle Discreto com Modos Deslizantes em Sistemas Incertos com Atraso no Sinal de Controle

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1 Capítlo Universidade Estadal Palista UNEP Facldade de Engenharia de Ilha olteira FEI Programa de Pós-Gradação em Engenharia Elétrica Controle Discreto com Modos Deslizantes em istemas Incertos com Atraso no inal de Controle ese de Dotorado apresentada ao Programa de Pós Gradação da Facldade de Engenharia de Ilha olteira da Universidade Estadal Palista UNEP/FEI, como parte dos reqisitos necessários para a obtenção do títlo de Dotor em Engenharia Elétrica, área de concentração em Controle e Atomação. por Jean Marcos de oza Ribeiro Engenheiro Eletricista FEI/UNEP Mestre em Engenharia Elétrica FEI/UNEP Ilha olteira, Agosto de 6 Orientador: Prof. Dr. José Palo Fernandes Garcia FEI/UNEP

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3 Qando passares pelas ágas, estarei contigo, e qando passares pelos rios, eles não te sbmergirá. Qando passares pelo fogo, não te qeimarás, nem a chama arderá em ti. Pois e so o enhor te Des o anto de Israel, o te alvador... não temas! Isaías 43:- A Des pelo se imensrável amor e fidelidade, por ser minha retagarda e me lgar segro e por dar sentido ao me viver. OFEREÇO Aos mes pais, Ferrari e Flasina, pelo incentivo, força, apoio e, principalmente, pelo amor incondicional qe me sstenta em cada momento de lta. DEDICO ii

4 Agradecimentos oda minha força vem d Ele e não teria sentido começar mes agradecimentos sem mencioná-lo: Obrigado Des! Aos mes pais qe, com sabedoria e paciência, me dão força nos momentos de dificldade, me ajdam em cada nova fase, novo passo, novo objetivo e qe fazem minha vida valer a pena. As minhas irmãs Joice e Gisley, pela força, amizade e carinho. Ao me sobrinho Vitor qe me dá ânimo só de estar por perto. Ao me orientador Prof. Dr. José Palo, pela amizade, sabedoria, compreensão, edcação, conselhos, enfim por todos anos de boa convivência, minha eterna gratidão. A qerida professora Lizete, qe teve ma importante participação em minha formação desde os anos gradação e qe acompanho de perto todos mes passos no programa de pós-gradação, me ajdando, aconselhando e dando idéias no desenvolvimento do me trabalho. A minha namorada, pelo amor, paciência, apoio e força em minhas ltas. Aos professores Edvaldo e Marcelo pelas importantes contribições científicas e pela amizade fortalecida ao longo desses anos. Aos técnicos Adilson, Aderson, Chaves, Everaldo e Hidemassa, qe participaram sempre de todo desenvolvimento da pesqisa. Minha gratidão também às professoras Érica e Nesinha pelas sgestões no trabalho. A todos amigos do Laboratório de Controle e Atomação da FEI, com os qais pde compartilhar conhecimentos, idéias, boas risadas e amizades vedadeiras. Finalmente à Capes pelo sporte financeiro e aílios fornecidos drante a eecção deste trabalho. iii

5 REUMO Este trabalho apresenta três novas estratégias de controle discreto. O enfoqe principal do trabalho foi dado ao Controle Discreto com Modos Deslizantes CDMD aplicados em sistemas qe possem atraso no processamento do sinal de controle. As novas estratégias de controle objetivam a elaboração de leis de fácil implementação prática e qe ao mesmo tempo sejam robstas a incertezas da planta. Uma característica destas novas abordagens para controle discreto com atraso no tempo é a tilização de m Controle com Modos Deslizantes sem a necessidade de predição do sinal de controle. Os métodos de projeto propostos podem ser aplicados no controle de plantas estáveis o instáveis com atraso no sinal de controle. Uma das estratégias foi elaborada para realizar controle apenas em sistemas discretos qe não possem atraso no sinal de controle, enqanto qe as demais são tilizadas para controle em sistemas com atraso. ão apresentadas simlações e resltados de implementações práticas, sobre ma planta estável de Controle Atomático da Geração CAG e sobre m istema Pêndlo Invertido, qe caracteriza bem ma planta instável. Os resltados comprovam a eficácia dos novos controladores. iv

6 ABRAC his wor presents three new strategies of discrete-time control. he main focs of the wor was given to the liding Mode Control MC applied in systems that present delay in the processing of the control sign. he new control strategies provide laws of control of easy practical implementation and that at the same time are robst to ncertainties of the plant. A characteristic of these new approaches, for discrete-time control with delay-time, is the se of a liding Mode Control withot the need of prediction of the control signal. he proposed design methods can be applied in the control of stable or nstable plants, with delay in the control signal. One of the strategies was elaborated to accomplish control jst in discrete-time system withot delay-time in the control sign, while the others are sed for control in systems with delay-time. imlations and eperimental reslts are shown on a stable plant of Atomatic Generation Control AGC and on Inverted Pendlm ystem, that is an nstable plant. he reslts prove the controllers' effectiveness. v

7 Lista de Figras. A sperfície deslizante é a intersecção das i-ésimas sperfícies eistentes..... Ilstração bidimensional do domínio do modo deslizante Diagrama de blocos do sistema em eemplo Controle descontíno sem camada limite e com camada limite rajetória dos estados e lei de controle sem sar camada limite rajetória dos estados e lei de controle sando camada limite Diagrama de bloco descrevendo m típico sistema com atraso Diagrama de bloco descrevendo m típico sistema com atraso Estratégia de controle com preditor proposto por mith Controle EV/MD para o sistema sem atraso - robstez Controle EV/MD para o sistema com atraso istema pêndlo invertido Eqipamento tilizado para realização do controle sobre o sistema pêndlo invertido Representação esqemática do sistema pêndlo invertido com o dispositivo de controle Representação em diagrama de blocos da simlação do pêndlo invertido tilizando CCMD CCMD realizado por m comptador: simlações com período de amostragem de. seg CCMD realizado por m comptador: simlações com período de amostragem de.65 seg Controlador contíno emlado em m comptador digital CCMD realizado por m comptador: resltados eperimentais com período de amostragem de. seg CCMD realizado por m comptador: resltados eperimentais com período de amostragem de. seg Diagrama de blocos representando o procedimento para simlação do CDMD aplicado ao pêndlo invertido CDMD realizado por m comptador digital: simlação com período de amostragem de. seg CDMD realizado por m comptador digital: simlação com período de amostragem de. seg Controlador discreto implementado em m comptador digital CDMD realizado por m comptador: resltados eperimentais com período de amostragem de. seg CDMD realizado por m comptador: resltados eperimentais com período de amostragem de. seg a Planta, observador e lei de controle tilizando a estratégia CDMD-A b Planta, observador e lei de controle tilizando a estratégia CDMD-B Planta do sistema de Controle de Geração vi

8 8.3 Resposta do sistema com entrada atrasada h.5 seg e período de amostragem de. seg, tilizando o projeto contíno convencional CEV-MD Resposta do sistema com CEV-MD, proposto no Capítlo 5 eqação 5.3, com entrada atrasada em h.5 seg e período de amostragem de. seg Resposta do sistema com CDMD-A, proposto no Capítlo 6 eqação 6., com entrada atrasada em h.5 seg e período de amostragem de. seg Resposta do sistema com CDMD-B, proposto no Capítlo 7 eqação 7.3, com entrada atrasada em h.5 seg e período de amostragem de. seg Representação em diagrama de blocos do sistema pêndlo invertido, controlado com CDMD, na presença de atraso do sinal de controle Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD, proposto no Capítlo 5 eqação 5.3, com atraso de. seg e período de amostragem de.6 seg Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD, proposto no Capítlo 5 eqação 5.3, com atraso de.4 seg e período de amostragem de.6 seg instável Representação em diagrama de blocos do sistema pêndlo invertido, controlado com CDMD-A, na presença de atraso do sinal de controle a Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-A, proposto no Capítlo 6 eqação 6., com atraso de. seg e período de amostragem de.6 seg b Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-A, proposto no Capítlo 6 eqação 6., com atraso de.4 seg e período de amostragem de.6 seg Representação em diagrama de blocos do sistema pêndlo invertido, controlado com CDMD-B, na presença de atraso do sinal de controle e com incertezas Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-B, proposto no Capítlo 7 eqação 7.3, com atraso de. seg e período de amostragem de.6 seg Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-B, proposto no Capítlo 7 eqação 7.3, com atraso de.4 seg e período de amostragem de.6 seg Eqipamento tilizado para realização da implementação prática dos controles sobre o sistema pêndlo invertido Esqema do sistema pêndlo invertido com o dispositivo de controle Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-A, com período de amostragem de.5 seg e atraso de.4 seg. Implementação através de comptador Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD, com período de amostragem de.5 seg e atraso de.4 seg. Implementação através de comptador Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-A, com período de amostragem de. seg e atraso de.9 seg. Implementação através de comptador Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD, com período de amostragem de. seg e atraso de.9 seg. Implementação através de comptador Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-B, com período de amostragem de.5 seg e atraso de.5 seg. Implementação através de comptador Resposta do sistema Pêndlo Invertido com CDMD-B, com período de amostragem de. seg e atraso de.5 seg. Implementação através de comptador vii

9 Lista de ímbolos e Abreviatras A/D B C CAG CCMD CDMD CEV CMD D/A EDF EDO EDP EV FMF Conversor Analógico/Digital Matriz de entrada Matriz de saída Controle Atomático da Geração Controle Contíno com Modos Deslizantes Controle Discreto com Modos Deslizantes Controle com Estrtra Variável Controle com Modos Deslizantes Conversor Digital/Analógico Eqação Diferencial Fncional Eqação Diferencial Ordinária Eqação Diferencial Parcial Estrtra Variável Fnção de ransferência de Malha Fechada f t, Matriz de estados não-linear da planta G G m grad h K m MD MIMO n p Planta Modelo da Planta Gradiente Atraso Ganho escalar Dimensão do vetor de entradas Modos Deslizantes istema com múltiplas entradas e múltiplas saídas Dimensão do vetor de estados Dimensão do vetor de saída Ganhos da sperfície de deslizamento viii

10 A sgn IO m istemas com Atraso no empo Fnção sinal istema com ma entrada e ma saída Modelo do Atraso t inal de controle contíno no tempo Controle eqivalente eq ± n inal de controle discreto no tempo Controle descontíno V t, Fnção de Lyapnov ˆ Vetor de estados estimado t Estados da planta no sistema contíno y Estados da planta no sistema discreto aída discreta y t aída contína σ α f perfície de deslizamento contína no tempo Ganho escalar Incertezas i

11 mário. INRODUÇÃO CONROLE COM ERUURA VARIÁVEL E MODO DELIZANE Modelo do istema perfície de Deslizamento Modos Deslizantes Condições de Eistência de m Modo Deslizante.... O Método do Controle Eqivalente Redção de Ordem Forma Reglar Projeto do Controlador istemas Incertos e CEV/MD repidação Comentários IEMA COM ARAO NO CONROLE Motivação e Apresentação do Problema sob o Enfoqe CEV/MD Comentários OBERVADORE DE EADO DE IEMA INCERO COM ARAO NO CONROLE COM EV/MD Projeto do Observador Algoritmo para o Projeto do Observador Robsto Comentários UM NOVO CONROLADOR COM MODO DELIZANE DICREO NO EMPO CDMD Controle Contíno com Modos Deslizantes CCMD Projeto da perfície de Deslizamento Projeto da Lei de Controle Contína Nova Estratégia de Controle Discreto com Modos Deslizantes CDMD Projeto da perfície de Deslizamento Projeto da Lei de Controle Discreta Análise da Robstez da Estabilidade O Modelo Pêndlo Invertido istema Pêndlo Invertido com CMD... 7

12 5.5 imlações e Resltados Eperimentais Controle Contíno com Modos Deslizantes CCMD imlações Implementação prática Controle Discreto com Modos Deslizantes CDMD imlações Implementação prática Comentários CONROLE DICREO COM MODO DELIZANE PARA IEMA COM ARAO NO INAL DE CONROLE E EM EIMAIVA DA INCEREZA CDMD-A Modelo Discreto com Atraso Projeto da perfície Deslizante Discreta Projeto da Lei de Controle Discreta Análise da Robstez da Estabilidade Comentários CONROLE DICREO COM MODO DELIZANE PARA IEMA EM E COM ARAO NO INAL DE CONROLE E COM EIMADOR DE INCEREZA CDMD-B Controle Discreto com Modos Deslizantes CDMD-B sem atraso no sinal de controle Projeto da perfície Deslizante Discreta Projeto da Lei de Controle Discreta Controle Discreto com Modos Deslizantes CDMD-B com Atraso no inal de Controle Projeto da perfície Deslizante Discreta Projeto da Lei de Controle Discreta Comentários REULADO: IMULAÇÕE DO CONROLE CDMD, CDMD-A E CDMD-B APLICADO A UMA PLANA EÁVEL E UMA INÁVEL, E IMPLEMENAÇÕE DO CONROLADORE OBRE O IEMA PÊNDULO INVERIDO imlações do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a ma Planta Estável: Controle Atomático de Geração CAG com Entrada Atrasada istema CAG com Projeto Contíno Convencional CEV-MD istema CAG com o Novo Projeto CDMD istema CAG com o Novo Projeto CDMD-A istema CAG com o Novo Projeto CDMD-B imlações do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a ma Planta Instável: Modelo Pêndlo Invertido com Entrada Atrasada istema Pêndlo Invertido com a Nova Estratégia CDMD istema Pêndlo Invertido com a Nova Estratégia CDMD-A istema Pêndlo Invertido com a Nova Estratégia CDMD-B Implementações do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a ma Planta Instável: Modelo Pêndlo Invertido com Entrada Atrasada Resltado da Implementação das Estratégias CDMD e CDMD-A Resltado da Implementação da Estratégia CDMD-B... 5 i

13 9. CONCLUÕE Conclsões Gerais rabalhos Pblicados gestões de rabalhos... 9 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... ii

14 Capítlo 3 CAPÍULO. INRODUÇÃO Há algmas décadas o estdo de sistemas dinâmicos com atraso no tempo tem sido foco de considerável atenção por parte de vários pesqisadores, qe se sentiram atraídos pela bsca de m melhor critério para análise e solção de problemas casados pelo atraso [,,3]. Esta concentração de esforços, na pesqisa de solções de problemas para sistemas com atraso no tempo, é motivada pelo fato de qe o fenômeno de atraso é encontrado em vários problemas da engenharia [4], e pode ser responsável pelo comprometimento do desempenho do controlador e, até mesmo, pode levar à instabilidade todo sistema controlado. istemas com Atraso no empo A também são chamados de sistemas com tempo morto, sistemas hereditários o eqações com argmento divergentes. Eles pertencem a ma classe de eqações diferenciais fncionais EDFs as qais são de dimensão infinita, ao invés de eqações diferenciais ordinárias EDOs. Mitas pesqisas estão sendo feitas sobre este tema [7]. O qe pode motivar esse interesse e desenvolvimento tão contíno? Qatro pontos podem dar ma possível eplicação: i A é m problema aplicado: é bem conhecido qe, jnto com as epectativas crescentes de desempenhos dinâmicos, engenheiros precisam dos modelos do processo qe se comportam mais próimo do real possível. Mitos processos inclem fenômenos com atraso no tempo na dinâmica interna deles. Por eemplo, Kolmanovsii e Myshis [8] e Niclesc [9] dão eemplos de atraso em biologia, qímica, economia, mecânica, viscoelasticidade, física, fisiologia, dinâmica de

15 Capítlo 4 poplação e também em ciências da engenharia. Além disso, atadores, sensores, redes de campo, qe normalmente são envolvidas em loops de realimentação, introdzem tal atraso. Assim, eles são fortemente envolvidos em áreas de comnicação e tecnologia de informação. Então, o interesse para EDF contína crescendo em todas as áreas científicas e, especialmente, em engenharia de controle. ii sistemas com atraso ainda não apresentam bom desempenho a mitos controladores clássicos: pode-se pensar qe a aproimação mais simples consiste no método sbstitir o atraso por fnções de dimensões finitas. Infelizmente, ignorar efeitos qe são representados adeqadamente por EDFs não é ma alternativa geral: a melhor sitação atrasos constantes e conhecidos, condz ao mesmo gra de compleidade no projeto de controle. Casos críticos atrasos com tempo variado, por eemplo, é potencialmente desastroso em termos de estabilidade e oscilações. iii Propriedades do atraso também trazem resltados srpreendentes já qe vários estdos mostraram qe a introdção volntária de atraso também pode beneficiar o controle [7]. Por eemplo, para EDOs: amortecimento e estabilização [6]. iv apesar de sa compleidade, A freqüentemente aparecem como simples modelos de dimensão infinita na área mais complea de eqações diferenciais parciais EDP: como mencionado em Kolmanovsii e Myshis [8], "normalmente não é difícil mostrar qe o aparecimento do atraso em ma eqação diferencial reslte de algma simplificação essencial do modelo". Em geral, os sistemas em malha fechada, com atrasos nas malhas, estão sjeitos a mais problemas de estabilidade do qe os sistemas sem atrasos. Um atraso h é modelado pela fnção de transferência h s e [], assim a eqação característica do sistema terá coeficientes qe dependem do atraso, podendo levar o sistema à instabilidade. Conhecendo-se eatamente o valor do atraso e tendo-se ma planta estável, mith [4] propôs ma técnica, com preditor, capaz de sprir os efeitos casados pelo atraso e garantir a estabilidade do sistema atrasado podendo-se assim tilizar normalmente os controladores. Controladores baseados em preditores inclem m preditor para compensar o atraso, o, pelo menos, minimizar se efeito. Para o

16 Capítlo 5 projeto de m controlador baseado em preditor, o sistema com atraso pode ser transformado em m sistema livre de atraso na malha de controle, contdo o efeito do atraso estará presente no nmerador da fnção de transferência em malha fechada, podendo assim alterar o desempenho de sistema [5,]. Contdo, na prática, nem sempre é possível ter-se ma planta estável com valor conhecido do atraso no tempo. O atraso está presente em vários sistemas dinâmicos devido a: i tilização, na planta e/o malha de controle, de dispositivos microprocessados, qe necessitam de m tempo para o processamento de informações; ii atraso no sistema de medição das variáveis de controle do sistema, e iii própria natreza da planta, qe pode apresentar atrasos embtidos em sa fnção de transferência. Vários eemplos de sistemas eletrônicos, biológicos, mecânicos, qímicos, podem ser dados a respeito da presença de atraso em m sistema, por eemplo, sistemas de controle indstrial através de dispositivos microprocessados, comptação do sinal de controle, controle via rede, fenômenos de transporte, transmissão pnemática, canais de comnicação, processos qímicos e térmicos, problemas de radiação etc []. Nestes sistemas, a saída não começará a responder a ma entrada antes de transcorrer o tempo de atraso []. Drante mito tempo as pesqisas, relacionadas ao controle de sistemas com atraso, sempre geravam trabalhos qe abordavam a estratégia de preditores, derivados dos preditores de mith, na tentativa de sanar os problemas de plantas instáveis e incertezas no atraso, eemplo disso é qe vários trabalhos são encontrados na literatra com o títlo A new mith Predictor.... Porém as malhas de controle propostas, embora apresentem bons resltados, nem sempre são de fácil implementação, por eemplo, Lee e Lee []; Mondié, Garcia e Lozano [3]. Este trabalho propõe ma solção simples e factível a este problema, através de m controlador robsto, qe tiliza a estratégia de Controle com Estrtra Variável e Modos Deslizantes CEV-MD. O CEV/MD foi primeiramente proposto e elaborado nos anos 5, na União oviética por Utin e otros [5,6,7]. Basicamente, sistemas CEV-MD têm como principais características: robstez na estabilidade e no desempenho diante de determinadas classes de incertezas e não linearidades [,]. No entanto, tais características podem não eistir em sistemas com atraso no sinal de controle, caso tais atrasos não sejam

17 Capítlo 6 considerados drante o projeto. Neste trabalho é proposta ma solção para o problema de atraso no sinal de controle gerado por m comptador digital, através de m controlador com Modos Deslizantes. Otro problema é o projeto de controladores capazes de minimizar os efeitos das incertezas. Mitos resltados podem ser encontrados na literatra, como a abordagem pela eqação de Riccati [6,7,], por Linear Matri Ineqalities LMI [4,5,6] e o método min-ma [7]. Essas abordagens não consideram ma compensação para a entrada com atraso. Em [8] investigo-se o problema de estabilização robsta para sistemas incertos com entradas com atraso sando a teoria de controle H. Em [9,3] aplica-se a teoria de modos deslizantes em sistemas incertos com atraso no estado. Nos trabalhos apresentados em [3,3,33] aplica-se CEV/MD em sistemas com atraso no controle considerando somente o caso em qe há acesso pleno aos estados. Especificamente em CEV/MD, o problema do atraso é mais evidente, ma vez qe este método tiliza ma lei de controle com chaveamento de alta velocidade para condzir e manter a trajetória dos estados de ma planta em ma sperfície específica escolhida no espaço de estados chamada de sperfície de deslizamento o sperfície de chaveamento. Este chaveamento depende dos estados atais e é eectado pelo sinal de controle. e o efeito do atraso não for minimizado, o chaveamento poderá não direcionar a trajetória do sistema para a sperfície de deslizamento planejada, podendo com isto levar o sistema à instabilidade. Para evitar qe os efeitos do atraso interfiram de maneira mais acintosa na estrtra de controle, este trabalho propõe a não tilização da componente chaveada da estrtra de controle CEV, qe será sbstitída por m controle sem descontinidade, tratando assim de m controlador apenas em Modos Deslizantes MD. Neste trabalho aborda-se o projeto de MD em sistemas incertos com atraso devido à comptação do sinal de controle. Além da sistematização do projeto, algmas análises são feitas considerando observadores preditivos qe também tilizam EV/MD. Do Capítlo ao 4 são apresentados análises e estratégias de CEV-MD para sistemas contíno no tempo.

18 Capítlo 7 No Capítlo, são apresentados os aspectos mais relevantes de istemas com Controle de Estrtra Variável e Modos Deslizantes. No Capítlo 3, descreve-se ma introdção sobre preditores de mith e algns conceitos relacionados a sistemas com atraso no sinal de controle. ambém, neste capítlo, apresenta-se m eemplo nmérico cjos resltados obtidos em simlações ilstram a importância de se considerar os atrasos na sistemática de projeto CEV/MD. No Capítlo 4, é apresentado m observador proposto por prgeon e Davies [,38], porém com ma abordagem qe leva em consideração o atraso no tempo [,6] e tiliza a estratégia CEV/MD. A partir do Capítlo 5 são apresentadas as novas estratégias de Controle com Modos Deslizantes CMD, considerando processamento digital e atraso no controle, além de incertezas na planta. No Capítlo 5, é apresentado m novo controlador discreto no tempo, qe leva em consideração o processamento digital, mas não leva em conta o atraso no sinal de controle [9,5]. imlações e resltados de implementações deste controlador também são apresentados neste capítlo. No Capítlo 6, é apresentado também m novo controlador discreto, com modos deslizantes, qe leva em consideração, além do processamento digital, também o atraso no sinal de controle [3]. No Capítlo 7 é apresentado mais m controlador discreto, cja estratégia é compensar os efeitos do atraso no sinal de controle e incertezas da planta, através de sa estimação. Finalmente, no Capítlo 8 são apresentados os resltados finais de simlações e implementações em laboratório das três novas estratégias de controle discreto proposto neste trabalho. ão mostrados os resltados de simlações do Controle Atomático da Geração CAG e também resltados obtidos de simlações e implementações realizadas sobre o sistema pêndlo invertido. No Capítlo 9 são dadas as conclsões finais e sgestões para próimos trabalhos.

19 Capítlo 8 CAPÍULO. CONROLE COM ERUURA VARIÁVEL E MODO DELIZANE A característica de m sistema de Controle com Estrtra Variável e Modos Deslizantes CEV/MD é ma lei de controle chaveada em alta velocidade, qe ocorre qando o estado do sistema crza certas sperfícies descontínas no espaço de estados. Essas sperfícies são projetadas de forma qe a dinâmica dos estados obedeça a m comportamento desejado qando em deslizamento. A estrtra de controle é salmente não-linear e reslta em m sistema com estrtra variável qe pode ser considerado como ma combinação de sbsistemas, cada m com ma estrtra fia e qe opera em ma região específica do espaço de estados [5]. Assim, a estratégia de CEV/MD tiliza ma lei de controle chaveada para condzir e manter a trajetória dos estados de ma planta em ma sperfície específica chamada sperfície de deslizamento o sperfície de chaveamento, o sobre a intersecção de todas as sperfícies escolhidas no espaço de estados. Qando a trajetória dos estados atinge esta sperfície e nela permanece, diz-se qe o sistema está na condição de deslizamento o em modo deslizante e, nesta sitação, o comportamento do sistema sofre menor inflência por parte de alterações paramétricas o de distúrbios eternos, o qe dá a característica robsta ao sistema controlado. A eistência de m modo deslizante reqer a estabilidade da trajetória de estado para a sperfície de deslizamento. Uma lei de controle chaveada deve então ser

20 Capítlo 9 projetada para assegrar qe a trajetória de estados se dirija à sperfície de deslizamento alcançabilidade e nela permaneça drante todo o tempo sbseqüente atratividade [6]. Assegrar a eistência de m modo deslizante na sperfície de deslizamento é m caminho necessário no projeto de CEV/MD. Projetar a dinâmica da sperfície é m caminho complementar do problema. Assim, são das as etapas principais no projeto: a Projeto de ma sperfície de deslizamento, tal qe a dinâmica da planta, qando em deslizamento, tenha ma trajetória desejada; b Desenvolvimento de ma lei de controle tal qe satisfaça as condições de eistência e alcançabilidade ao modo deslizante.. Modelo do istema Considera-se ma classe de sistemas não-linear no vetor de estado t e linear no vetor controle t, da forma [34] t fˆ t,, f t, B t, t. onde o vetor de estado R n, o vetor controle m R, f n t, R, e n m B t, R. Além disso, cada elemento de t, com derivadas contínas e limitadas com respeito à t e. f e B t, são assmidos contínos,.. perfície de Deslizamento A sperfície de deslizamento o sperfície de chaveamento σ é m espaço fechado n-m dimensional em R n, determinado pela intersecção de m sperfícies de chaveamento de dimensão n-m. As sperfícies de chaveamento são

21 Capítlo projetadas tal qe o sistema, restrito a sperfície σ, tenha comportamento desejado. eja a sperfície de deslizamento definida por { t t } σ.. Cada entrada i t do controle chaveado t m R tem a forma onde { t t } i i t, com σ it > it,,i,, m.3 - it, com σ it < σ é a i-ésima sperfície de deslizamento associada com a sperfície de deslizamento. de dimensão n-m. As sperfícies de deslizamento são projetadas tais qe a resposta do sistema restrito à { t t } σ tenha o comportamento desejado. Considera-se neste trabalho, a sperfície de deslizamento da forma { t t t } σ,.4 m n em qe é chamada matriz da sperfície de deslizamento, sendo R. Por simplicidade, a notação tilizada para designar a sperfície de deslizamento será σ t t..5.. Modos Deslizantes Depois de projetada a sperfície de deslizamento desejada, o próimo aspecto importante de CEV/MD é garantir a eistência de m modo deslizante. Um modo deslizante eiste se na vizinhança da sperfície de deslizamento, σ t, a tangente o vetor velocidade da trajetória de estado sempre está direcionado para sperfície de deslizamento. Conseqüentemente, se a trajetória do estado intercepta a

22 Capítlo sperfície de deslizamento, o valor da trajetória de estado o ponto representativo se mantém dentro de ma vizinhança ε de { / } σ. e o modo deslizante eiste em σ, então σ é chamado sperfície de deslizamento. Como visto na Figra., o modo deslizante não pode eistir na i-ésima sperfície deslizante σ separadamente, mas somente na intersecção de todas sperfícies. i, t, t σ σ σ Figra. A sperfície deslizante é a intersecção das i-ésimas sperfícies eistentes. Um modo deslizante ideal eiste somente qando a trajetória de estado t da planta controlada satisfaz σ t para todo t t, para algm t. Isto reqer chaveamentos infinitamente rápidos. Em sistemas reais, todas as fnções com controle chaveados tem imperfeições tais como retardamento, histereses, etc., qe forçam os deslizamentos ocorrerem em ma freqüência finita. A trajetória de estado então oscila em ma certa vizinhança da sperfície de deslizamento. Esta oscilação é chamada trepidação. Portanto, o modo deslizante real não ocorre sobre as sperfícies descontínas, mas dentro de ma camada limite [5,6]...3 Condições de Eistência de m Modo Deslizante A eistência de m modo deslizante reqer estabilidade da trajetória para a sperfície de deslizamento σ t, o no mínimo para ma vizinhança desta, o

23 Capítlo seja, os estados devem aproimar-se da sperfície assintoticamente. A maior vizinhança é chamada a região de atração. Geometricamente, o vetor tangente o derivada no tempo do vetor de estado, deverá apontar para a sperfície de deslizamento, na região de atração. O problema de eistência assemelha-se a m problema de estabilidade generalizada, então o segndo método de Lyapnov fornece m conjnto natral para a análise. Assim, a estabilidade para a sperfície de deslizamento reqer a seleção de ma fnção de Lyapnov generalizada V t, qe é definida positiva e tem ma derivada negativa em relação ao tempo, na região de atração [34]. Definição : Um domínio D no espaço fechado σ é m domínio de modo deslizante se para cada ε >, eiste δ >, tal qe qalqer movimento iniciado dentro de ma vizinhança δ de dimensão n de D pode deiar a vizinhança ε de dimensão n de D somente através da vizinhança ε de dimensão n da fronteira de D Figra.. σ Vizinhança do ponto limite de D Ponto limite de D D ε ε δ Figra. - Ilstração bidimensional do domínio do modo deslizante. eorema.: Para o domínio D, de dimensão n m ser o domínio de m modo deslizante, é sficiente qe, para Ω D, de dimensão n, eista ma fnção V t,, σ

24 Capítlo 3 diferenciável com respeito a todos os ses argmentos, satisfazendo as segintes condições [5]: a V t,, σ é definida positiva em relação à σ, isto é, V t,, σ > com σ e t, arbitrários, V t,, ; e na esfera σ ρ para todo Ω e algm t, tem-se: i inf Vt,, σ hp σ ρ, h p >.6 ii sp Vt,, σ H, H >.7 p σ ρ ρ onde h p e H dependem de ρ h p se ρ. p b A derivada em relação ao tempo de V t,, σ para o sistema. tem m spremo negativo para todo Ω, eceto para na sperfície de deslizamento onde o controle na entrada não está definido, e por isso a derivada de V t,, σ não eiste. Nota.: Um modo deslizante é globalmente alcançado se o domínio de atração é todo o espaço de estados. De otra forma o domínio de atração é m sbconjnto do espaço de estado. Considere o sistema de eqação., com a notação e a seginte estratégia geral de controle t ft,,.8 t, se σ >..9 t, se σ < De acordo com [35], as trajetórias de estado do sistema.8, com controle.9, na condição de deslizamento, σ t, são as solções da eqação t α f - αf - f, α - onde f ft,,, f - ft,,.

25 Capítlo 4 σ Resolvendo a eqação gradσ, f para α tem-se - gradσ, f α. - gradσ, f - f endo: - a grad, f - f >, e b gradσ, f e gradσ, f, em qe a notação, a, b, denota o prodto interno entre a e b, também escrito como a.b, e grad σ o gradiente de σ. Assim, pode-se conclir qe, a solção de.8 com controle.9 eiste e é nicamente definida em σ t [35]. Nota-se também qe esta técnica pode ser sada para determinar o comportamento da planta no modo deslizante [34, 35]. O método de Filippov [35] apresentado resmidamente acima é ma técnica qe torna possível a determinação do movimento de m sistema nm modo deslizante. f representa a velocidade média,, da trajetória de estado restrita à sperfície de deslizamento. Uma otra técnica mais simples é o método do controle eqivalente descrito a segir.. O Método do Controle Eqivalente O método do controle eqivalente [5, 34] é tilizado para determinar o movimento do sistema restrito à sperfície de deslizamento σ t. ponha qe em t, a trajetória de estado da planta intercepta a sperfície de deslizamento e m modo deslizante eiste para t t. A eistência de m modo deslizante ideal implica σ e σ t para todo t t. qe t Diferenciando σ, em relação à t, tem-se

26 Capítlo 5 σ. bstitindo por., tem-se σ [ ft, Bt, ] σ eq. onde eq é chamado de controle eqivalente e é solção da eqação.. σ Para calclar eq, assme-se qe o prodto matricial Bt, singlar para todo t e. Então, é não eq - σ Bt, - σ ft,.. Após a sbstitição deste eq em., a eqação resltante descreve o comportamento do sistema restrito à sperfície de deslizamento, desde qe a condição σ. inicial t satisfaz t σ Assim, dado t deslizamento para t t, é dada por, a dinâmica do sistema sobre a sperfície de - σ σ I - Bt, Bt, ft,.. pondo qe a sperfície de deslizamento é linear e é dada por σ σ t t, então, e. redz-se a - [ I - Bt, [ Bt, ] ] ft,..3 Observe qe., jntamente com a restrição σ determina o movimento do sistema sobre a sperfície de deslizamento. Então, o movimento do

27 Capítlo 6 sistema., restrito à sperfície de deslizamento, será governado por m conjnto de eqações de ordem redzida. Algmas aplicações de controle reqerem ma sperfície de deslizamento variando no tempo: t, eqivalente toma a forma σ σ e o controle t σ. Neste caso, σ t, eq - σ Bt, - σ ft, σ t..4.3 Redção de Ordem Por simplicidade, será estdado o caso em qe a sperfície de chaveamento é linear, σ. Como mencionado anteriormente, em m modo deslizante, o sistema eqivalente deve satisfazer não somente a dinâmica de estado de dimensão n, mas também as m eqações algébricas, σ. Estas restrições redzem a dinâmica do sistema de m modelo de n-ésima ordem para m modelo de n-m-ésima ordem. ponha qe o sistema não-linear. é restrito à sperfície de deslizamento.4, isto é, σt t, com o sistema dinâmico dado por.3, então, é possível resolver m variáveis de estado, em termos das n m variáveis de estado, se o posto de [ ].,, e o posto [ ] m. σ m, implica qe Bt, é não singlar para todo t e Para obter a solção, resolve-se para as m variáveis de estado n-m n em termos das n m variáveis de estado qe permanecem. bstitindo estas relações nas n m eqações de.3 e nas eqações correspondendo a m variáveis de estado, o sistema resltante de ordem n m descreve o sistema eqivalente com condição inicial satisfazendo σ.

28 Capítlo 7 Eemplo.: Para esclarecer o procedimento acima, considere o sistema A t, t B t, sendo qe A t, a a t, t, t, t, 3 t, t, 4 t, t, 5 t, ; t, a a3 a4 a5 B a a a a Assme-se qe a terceira e qinta linhas de At, têm elementos nãolineares variantes no tempo e são limitados. O método de controle eqivalente leva ao seginte dinâmica, conforme.3. - [ I - B [ B] ] At, t σ para qalqer t. dado t e os parâmetros da sperfície de chaveamento linear são dados por: então 3 5 B 3 5 Para simplificar o eemplo, escolhe-se. Especificamente, escolhe-se,. Assim, B

29 Capítlo 8 O qe leva à seginte eqação, t sjeito a σ. 4 4 t 4 4 De σ reslta qe Observa-se da eqação, qe a principal vantagem do controle com estrtra variável é a eliminação da inflência dos parâmetros da planta qando o sistema está sobre a sperfície de deslizamento. Obs.: Isso é válido desde qe os parâmetros estejam casados, o seja, possam ser compensados pelas entradas do sistema. Resolvendo a eqação acima para 3 e por: O sistema linear invariante no tempo eqivalente de ordem redzida é dado ~ ~ ~ 3 sendo qe ~ ~, ~, ~ ~ ~ 3

30 Capítlo 9 Um eemplo de como o projeto de controle pode ser realizado é o seginte: sponha qe ma limitação de projeto eige qe o sistema eqivalente tenha os segintes pólos {-, -, -3}, resltando na eqação caracterísitica desejada. π λ λ λ λ A A eqação característica do sistema eqivalente é 3 πa λ λ 4 4 λ 4 4 λ 4 4 eqações Os coeficientes de potências semelhantes de λ prodzem o conjnto de Uma solção qe realiza o objetivo do projeto de controle é: Conclindo, o sistema eqivalente de ordem redzida com os atovalores desejados é ~ A ~ ~, sendo qe, ~ A A facilidade na resolção deste eemplo se deve ao fato de qe a dinâmica do sistema original foi dado na forma canônica de Lenberger. Os sistemas qe não estão nesta forma freqüentemente eigem ma transformação para ma forma mais geral denominada forma reglar.

31 Capítlo 3.4 Forma Reglar ponha qe a planta dinâmica. tenha a seginte forma reglar f t, f t, B t,.5 onde n-m m R e R. Assme-se qe t, B seja ma fnção matricial, m m, não singlar. Assme-se ma sperfície de deslizamento linear da forma σ [ ],.6 com m n m R e m m R não singlar. Então, no modo deslizante e ft, f, - t, -.8 Observe qe se f tem ma estrtra linear do tipo ft, A A então a dinâmica de ordem redzida fica, qe tem a estrtra de malha fechada, A - [ A - A ].9 A - A F com F -. e o par A é controlável, então é possível calclar F tal qe A A F proporcione a característica dinâmica desejada. endo encontrado F, pode-se calclar [ ] - qe F -. Assim, completa-se o projeto da sperfície de deslizamento. Para o caso de ma sperfície de deslizamento não-linear da forma tal σ σ.

32 Capítlo 3 qe é linear em e não-linear em, a dinâmica de ordem redzida do sistema.5 nm modo deslizante terá a forma f t, - t,, - σ f.. Nota.: Para transformar o sistema dinâmico. para a forma reglar.5, considera-se o caso de ma sperfície de deslizamento linear.6 e ma transformação invariante no tempo, linear e não singlar relação a t, vem e z. Derivando z em z f t, B t,.. B Bˆ.3 então, na nova coordenada, a dinâmica da planta. é: z z fˆ fˆ t, z t, z Bˆ..4 t, z dada por Logo, nm modo deslizante a dinâmica de ordem redzida é, por.8, ˆ ˆ - onde [ ] [ ]. ˆ ˆ - z f t, z, - ˆ.5 z Nota.3: Para transformar o sistema dinâmico. para a forma reglar.5, considera-se o caso de ma sperfície de deslizamento linear.6 e não eistindo ma transformação linear tal qe.3 seja satisfeita, então primeiro deve-se recorrer a ma transformação não-linear da forma z t, t, t,.6

33 Capítlo 3 onde a n n :, R R R é ma fnção diferenciável cja inversa é também diferenciável, b n-m n R R R :, e m n R R R :,. Diferenciando z em.6 em relação a t, tem-se t, t t, z..7 bstitindo. em.7 vem t t t, B t, f z..8 e a transformação tem a propriedade t, B t, B t, B ˆ.9 então nas novas coordenadas, as eqações descrevendo o sistema. são: t, z f t t, t, z f z ˆ ~ t, z B t, z f t, t, z B t, t, z t t, t, z f z ˆ ˆ ~ ~ ~..3.5 Projeto do Controlador No projeto de controle, o objetivo é a obtenção de ma lei de controle tal qe satisfaça as condições de eistência e alcançabilidade ao modo deslizante. A sposição é qe a sperfície de deslizamento já tenha sido projetada.

34 Capítlo 33 Em geral, o controle é m vetor m dimensional qe tem a estrtra da forma i t, para σ i > i.3 - i t, para σ i < σ σ σ. onde [,, ] m Uma estrtra mito tilizada para o controle.3 é.3 i ieq in onde ieq é a i-ésima componente do controle eqivalente eq qe é contíno e onde in é a parte descontína o parte chaveada do controle n. Para o sistema., com m controlador tendo a estrtra.3, tem-se σ σ σ σ Bt, σ [ ft, Bt, ] [ ft, Bt, ] n eq σ eq n Bt, n identidade. Então em perda de generalidade, assme-se qe σ n σ B t, I, sendo I a matriz. Esta condição permite ma fácil verificação das condições sficientes para a eistência e alcançabilidade de m modo deslizante, isto é, condições qe satisfazem a condição de Lyapnov σ σ < qando σ. A i i i segir, relacionam-se algmas possibilidades de estrtras com controle descontíno n. a Fnção sinal com ganhos constantes: σ, α i sgn i σ i, α i < in..33 σ i

35 Capítlo 34 Observe qe este controle satisfará as condições sficientes para a eistência de m modo deslizante, pois σ < se σ σ σ α σ sgn. i i i i i i b Fnção sinal com ganhos dependentes do estado: σ, αi sgn i σ i, αi < in..34 σ i Logo, σ < se σ iσ i α i σ i sgn i σ i. c Malha fechada com ganhos chaveados: com α < e β. ij ij > Logo, α ij, σ i j > in ψ ; ψ [ ψ ij ], ψ ij.35 βij, σ i j < d Malha fechada linear e contína σ ψ ψ ψ. i σi σi i i in n < α σ i e α..36 in i i < A condição para a eistência de m modo deslizante é σ σ i i α σ < i i o de forma mais geral -L σ n

36 Capítlo 35 onde L m m R é ma matriz constante definida positiva. A condição para a eistência de m modo deslizante é facilmente vista σ σ -σ Lσ <, se σ. e Vetor nitário não-linear com fator de escala σ n ρ σ, ρ <..37 A condição de eistência é σ σ ρ <, se σ. σ.6 istemas Incertos e CEV/MD Aqi a proposta é a apresentação da teoria de Controle com Estrtra Variável CEV para sistemas incertos e ma discssão sobre trepidação. Uma boa parte da literatra tem srgido nos anos recentes interessada na determinação da estabilidade de sistemas tendo parâmetros incertos dentro de limites conhecidos. ais estratégias de controle são baseadas no segndo método de Lyapnov. A motivação para pesqisar sistemas incertos está no fato de qe a representação matemática de sistemas reais na maioria das vezes não é fiel. Assim, pode-se ter não só incertezas paramétricas como também incertezas na própria modelagem do sistema real. eja o seginte sistema incerto { ft, t f t, t, rt } [ B t, t B t, t, rt ] t t.38 onde f t, t, r t, B t, t, r t e rt são fnções de parâmetros incertos cjos valores pertencem a algm conjnto fechado e limitado. Nota.4: Um sistema é chamado robsto se a propriedade de interesse do sistema permanece em ma região limitada em face de ma classe de pertrbações limitada [5].

37 Capítlo 36 Definição.: As parcelas de incertezas t f e B qe encontram-se na imagem de B, para todos valores de t e são chamadas incertezas casadas []. Considerando qe todas as incertezas são do tipo casadas, é possível representálas em m único vetor e t t, r t, t por,. Então o sistema.38 pode ser representado ft, t Bt, Bt, et,, r,..39 onde Considere a seginte estrtra de controle para o sistema.39 eq n.4 é o controle eqivalente assmindo todas incertezas et,, r, nlas e eq n é parte não-linear do controle projetado sem desconsiderar as incertezas. Considerando σ t,, tem-se eq - σ B σ t σ f.4 assmindo qe σ B é não singlar e qe e t,, r,. Agora, é necessário considerar as incertezas na planta e desenvolver ma epressão para n. Para isto, assme-se qe et,, r, ρ t,.4 onde ρ t, é ma fnção escalar com valores não negativos. ambém, introdz-se a fnção com valores escalares onde α >. ˆ ρ t, α ρt,.43

38 Capítlo 37 Antes de especificar a estrtra do controle, escolhe-se a fnção de Lyapnov generalizada, V t, σ t, σ t,..44 Para assegrar a eistência de m modo deslizante e atratividade para a sperfície, é sficiente escolher m controle com estrtra variável tal qe d V d t V t, σ σ <.45 enqanto σ t, onde σ σ σ t, t..46 Utilizando a lei de controle B t, grad V t, t, eq n eq - B t, grad V t, ρˆ t,.47 qando σ t,, com σ grad V t, t, σ t,.48 sendo grad V t, o gradiente da fnção de Lyapnov.44 generalizada, é garantida a atratividade para a sperfície de deslizamento.

39 Capítlo 38 De fato, diferenciando a eqação.44 em relação ao tempo, tem-se σ σ V σ σ f B Be..49 t bstitindo.47 em.49, vem V σ σ t σ σ f - σ σ f - σ σ - σ σ σ B σ ρ σ B e -α B σ <..5.7 repidação Os controladores EV desenvolvidos garantem o comportamento desejado do sistema em malha fechada. Estes controladores, porém, eigem m mecanismo de chaveamento infinitamente rápido no caso ideal o qe não é possível no caso real. Devido ao chaveamento finito, a trajetória do sistema sobre a sperfície de deslizamento oscila, esta oscilação é denominada trepidação chattering. As componentes de alta freqüência da trepidação são indesejáveis, pois podem ecitar dinâmicas de alta freqüência não modeladas da planta, resltando em instabilidades não previsíveis. Uma solção para esse problema consiste em introdzir no controlador ma camada limite, o seja, permitir qe a trajetória do sistema permaneça sobre ma região ao redor da sperfície de deslizamento e não restritamente sobre essa sperfície. Define-se o conjnto { / σ ε, ε > } como a chamada Camada Limite de espessra ε. Considere a lei de controle:

40 Capítlo 39 σ B, t, t σ ˆ eq ρ, se σ ε σ B, t σ, t eq p, se σ < ε onde eq é dado por, σ σ σ eq B f t e sendo p pt, qalqer fnção contína tal qe σ B t, σ t, pt, ˆ ρ σ B, t ε toda vez qe σ ε e p ˆ ρ. Este controle garante atratividade para a camada limite e no interior da camada limite, oferece ma aproimação contína para a ação de controle descontíno de σ B t, t, σ t,, n ˆ eq ρ σ B t, t, σ t, t eq, t Uma otra lei de controle com camada limite é dada por [36] t, ˆ ρ t eq N eq, σ σ ε

41 Capítlo 4 Eemplo.: Para ilstrar o efeito da camada limite sobre a lei de controle de m CEV, é mostrado o comportamento de m sistema de segnda ordem tilizando ma lei de controle sem camada limite e ma lei de controle tilizando a camada limite. A planta tilizada tem a seginte eqação, cjo comportamento desejado está sobre a seginte sperfície de deslizamento e cja a lei de controle é sendo qe eq, o controle descontíno é N σ σ σ, t eq N o N σ σ. Figra.3. Para este sistema temos o seginte diagrama de blocos, conforme mostra a Figra.3 - Diagrama de blocos do sistema.

42 Capítlo 4 Este sistema foi simlado no Matlab with imlin 5.3, e os resltados alcançados são mostrados nas figras a segir. A Figra.4 mostra como ata a lei de controle variando o valor da sperfície, onde se nota qe o controle, sem camada limite, ata abrptamente qando a sperfície mda de sinal, enqanto qe no caso em qe se aplica lei com camada limite o controle ata savemente na mdança de sinal da sperfície. Figra.4 - Controle descontíno sem camada limite e com camada limite. Figra.5 - rajetória dos estados e lei de controle sem sar camada limite.

43 Capítlo 4 COM CAMADA LIMIE LEI DE CONROLE COM CAMADA LIMIE.5.4 inal de Controle tempo, seg Figra.6 - rajetória dos estados e lei de controle sando camada limite. Comparando Figra.5 e.6 observa-se qe o controle com a camada limite do sistema pode ser considerado como o valor médio do controle sem a camada limite. Uma otra observação é qe o sistema atinge a sperfície de deslizamento de forma save qando sado m controle com camada limite. Porém é importante ressaltar qe a trajetória do sistema estará restrita a ma região ao redor da sperfície de deslizamento..8 Comentários Neste capítlo foram apresentados algns aspectos qe envolvem os istemas Incertos com Controle de Estrtra Variável e Modos Deslizantes. O enfoqe dado presspõe o acesso a todos os estados, ma vez qe a sperfície de deslizamento é definida como fnção dos mesmos. Na maioria dos sistemas reais, entretanto, tem-se acesso somente à saída da planta. Desta forma, eistem abordagens qe tilizam compensadores para compor a sperfície de deslizamento a partir da saída da planta [36,37]. Em particlar, pode-se projetar observadores de estado, também por estrtra variável e modos deslizantes [38]. ais observadores conservam as vantagens de robstez e bom desempenho diante de incertezas. Esta abordagem será detalhada no Capítlo 4, onde considera-se também sistemas com atraso no controle.

44 Capítlo 3 CAPÍULO 3 3. IEMA COM ARAO NO CONROLE O atraso no tempo ocorre freqüentemente em vários sistemas físicos como: qímico, biológico, mecânico e eletrônico [59]. Na literatra é comm a apresentação de teorias de controle qe desprezam o atraso devido as dificldades associadas a análise destes projetos. Considere m simples eemplo de projeto onde o sistema K G está em τs malha fechada realimentado com ganho nitário. a Fnção de ransferência em Malha Fechada FMF será Y R K τ s K É simples observar qe neste caso a escolha de m ganho K > é sficiente para estabilizar o sistema em malha fechada. Contdo, se m atraso na forma e -sh, sendo h o valor do atraso, for introdzido no caminho direto da sistema G, a estabilidade, sando a escolha do K anterior, não garante a estabilidade, pois a nova FMF é sh Y K e R τs K e sh, fazendo com qe a solção de K para estabilizar este sistema não seja óbvia. A eponencial no nmerador não é preocpante, pois pode ser considerada como m distúrbio o algo qe compromete apenas o desempenho do sistema. Contdo, a

45 Capítlo 3 44 componente eponencial presente no denominador é o qe dificlta o calclo do ganho K. Algmas técnicas de aproimação são tilizadas para o termo e -sh : epansão em série de aylor, aproimação Pade, transformação eqivalente digital no domínio z [59], entre otras. Porém, essas aproimações geram resltados divergentes e não precisos. Assim, mith [4] apresento m algoritmo com preditor cjo objetivo era eliminar os efeitos do atraso na eqação característica do sistema em malha fechada garantindo assim ma melhor realização da malha de controle. Para ilstrar o desenvolvimento de mith tiliza-se o diagrama de bloco, considerando o atraso na saída da malha R - L B C G P P Y P Figra 3. Diagrama de bloco descrevendo m típico sistema com atraso. onde, no domínio da freqüência, R representa a entrada, C o controlador, L os distúrbios, G P a dinâmica da planta, P o atraso e Y P a saída do sistema. Para m sistema simples de primeira ordem G P K P s h com atraso pro p P e, pode-se obter τ s P dois sistemas sbdivididos entre m sistema livre de atraso e m pramente com atraso, desde qe a variável fictícia B pdesse ser acessada como na Figra 3.. R - L B C G P P Y P Figra 3. Diagrama de bloco descrevendo m típico sistema com atraso. Nesta condição o atraso P é movido para fora da malha de controle e o sinal Y P será o mesmo sinal de B, porém com o atraso. Portanto a estabilidade do sistema é garantida, pois a eqação característica deste sistema não depende do atraso. Contdo