COMPETÊNCIAS DE CONEXÃO E REFLEXÃO EM AULAS DE CÁLCULO

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1 COMPETÊNCIAS DE CONEXÃO E REFLEXÃO EM AULAS DE CÁLCULO Marcele Tavares Mendes Universidade Tecnológica Federal do Paraná marceletavares@utfpr.edu.br André Luis Trevisan Universidade Tecnológica Federal do Paraná andrelt@utfpr.edu.br Resumo: Esse artigo trata de questões acerca das competências mobilizadas na resolução de tarefas matemáticas, tendo por pano de fundo as ideias da Educação Matemática Realística. Segundo essa abordagem, aos estudantes devem ser propostas situações que possam ser organizadas por meio de ferramentas matemáticas, que favoreçam o desenvolvimento de competências de conexão e reflexão, para além da mera reprodução e memorização. Nesse sentido, propõe-se uma análise de três tarefas para aulas da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. São propostos também questionamentos e intervenções que o professor pode fazer uso durante o trabalho com essas tarefas, numa intenção de oferecer alternativas para mudança de cenário de ensino e de aprendizagem dessa disciplina. Palavras-chave: Educação Matemática. Cálculo Diferencial e Integral. Tarefas de ensino e de aprendizagem. Funções Quadráticas. Introdução O ensino de Cálculo Diferencial e Integral (CDI) nos cursos de engenharia representa um desafio para os educadores da área. Altos índices de evasão e reprovação nessa disciplina vêm se repetindo e muitos trabalhos no campo da Educação Matemática tem se preocupado com essa questão. As dificuldades intrínsecas da disciplina, os conteúdos oriundos dos níveis anteriores de escolaridade (como se eles tivessem tido oportunidade de aprendê-los?) dos estudantes e um grande distanciamento metodológico entre o Ensino Médio e o Ensino Superior são apontados como causas para estes altos índices de evasão e reprovação (NASCIMENTO, 2001; PEDROSO, 2009; BARRICHELLO, 2008; CURY, 2003; REIS, 2001, 2009).

2 Algumas das causas apontadas refletem uma perspectiva tecnicista de ensino que, conforme Baldino (1995, p.3), supõe-se que o aluno aprenda vendo a exposição do professor e não se supõe que, tendo-a visto, vá ter dificuldades. Nessa prática pedagógica, os professores usam o mesmo plano de ensino para disciplinas de mesma ementa em cursos diferentes, ou seja, mesma distribuição do programa, mesma metodologia, mesmos livros, mesmos instrumentos de avaliação, sem levar em consideração as idiossincrasias de cada curso (TREVISAN, MENDES, 2013). Nessas aulas as competências desenvolvidas pelos estudantes restringem-se às de reprodução e de memorização, que na maioria das vezes desaparecem logo após a realização das avaliações de rendimento escolar. Propomo-nos neste artigo apresentar o modo que temos buscado lidar com tarefas de CDI, para que nossas aulas favoreçam ao estudante o desenvolvimento de competências de conexão e reflexão, para além da mera reprodução e memorização, com a intenção de buscar meios que favoreçam uma mudança no cenário de ensino e de aprendizagem na disciplina de CDI. A elaboração/adaptação de tarefas de CDI tem sido mote do projeto de pesquisa intitulado Problemas de contexto para o ensino e a aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral da UTFPR câmpus Londrina, sob coordenação dos autores. Parte-se do pressuposto que essas tarefas podem funcionar como pontos de ancoragem para a reinvenção da matemática por parte dos estudantes, ajudando-os a lidar com o dilema em estabelecer relações do conhecimento informal e matemática formal. Baseamo-nos em pressupostos 1 da Educação Matemática Realística, preconizada por Hans Freudenthal (1973, 1991), e que valoriza a ideia da matemática como atividade humana. Para esse autor, matematizar consiste em organizar a realidade utilizando ferramentas matemáticas na busca de soluções de problemas. Por conseguinte, aos estudantes devem-se propor situações que oportunizem a imersão de ideias e conceitos matemáticos a partir da organização matemática de situações, favorecendo a oportunidade de o estudante ser construtor/elaborador/reinventor da matemática. 1 Esses pressupostos tem se tornado um referencial teórico para os estudos/pesquisas do GEPEMA - Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática e Avaliação (Universidade Estadual de Londrina), grupo do qual os autores também fazem parte e que tem utilizado-os como subsídio em suas aulas e para o desenvolvimento de suas pesquisas.

3 Explorando tarefas de aprendizagens: transformações de funções quadráticas Os pressupostos da Educação Matemática Realística segundo Freudenthal (1991) considerados são: matemática como atividade humana: a matemática como a atividade de organizar matematicamente a realidade, que evolui e transforma-se sob a influência das modificações sociais; matematização da realidade: a matemática torna-se um meio de organizar uma situação e não um fim; reinvenção de conceitos: aos estudantes deve ser dada a oportunidade guiada para re-inventar conceitos matemáticos; realidade como fonte de ideias e conceitos matemáticos; articulação da matemática com outros domínios; compreensão ao invés da reprodução de mecanismos. À luz desses pressupostos transparece o desafio de organizar tarefas de CDI em ambientes que ofereçam aos estudantes oportunidades para matematizar, para reinventar matemática, com o intuito de propiciar o desenvolvimento de competências de conexão e de reflexão. Tarefas que possibilitam explorar a intuição e a capacidade de organizar matematicamente situações que sejam realizáveis para que, guiados pelo professor, os estudantes possam construir conceitos formalizados referentes aos tópicos do curso de CDI. Para De Lange (1999), uma tarefa que envolve informações de linhas curriculares diferentes, que requer a decodificação e interpretação de linguagem simbólica e formal, entendendo suas relações com a linguagem natural, ou ainda, diferentes representações de um mesmo problema, se enquadra no conjunto de tarefas ditas de conexão e exige competências para formulação e solução dos problemas e situações, para o desenvolvimento de estratégias e a previsão e verificação de soluções. Já uma tarefa de reflexão requer que os estudantes analisem, interpretem, desenvolvam seus próprios modelos e estratégias e, apresentem argumentos matemáticos incluindo provas e generalizações. Com tarefas desse nível de habilidade os estudantes são convidados a matematizar.

4 Van den Heuvel-Panhuizen (2000) ressalta a importância dos professores serem capazes de prever e retratar as principais ações e tarefas com base nos objetivos desejados. Afirma que sem essa perspectiva da trajetória de ensino e de aprendizagem não é possível orientar a aprendizagem dos estudantes. A título de exemplo, exploramos na sequência alguns encaminhamentos possíveis em três tarefas da disciplina de CDI, no intuito de estabelecer um possível trajeto a ser desenvolvido em sala de aula, orientado por pressupostos da Educação Matemática Realística. Enquanto dinâmica de trabalho na sala de aula, propõe-se um momento inicial em que os estudantes, em equipes, possam discutir e elencar procedimentos para sua resolução. Tal ação pode servir como ponto de partida para observar algumas maneiras de lidar 2 dos estudantes acerca do tema funções quadráticas. Na sequência, a partir dos encaminhamentos observados no trabalho das equipes, o professor problematizará a tarefa por meio de questionamentos, buscando sistematizar e formalizar conceitos subjacentes. Os objetivos a serem atingidos pelos estudantes a partir dessas tarefas eram: identificar diferentes representações de uma função quadrática e coordenadar essas representações (a saber, representação gráfica, tabular e algébrica); expressar-se por meio de intervalos reais; articular e interpretar transformação de funções por meio de translação, reflexão, compressão e alongamento; fazer uso de lei de formação de uma função. A primeira tarefa 3 é a seguinte: 2 Viola dos Santos (2007, p.22) substitui a palavra erro por maneiras de lidar, expressão com a qual caracteriza os estudantes pelo que eles têm num determinado momento, e não pelo que lhes falta. 3 Fonte:

5 1. Na figura abaixo estão representações gráficas de duas funções quadráticas, e, em referenciais ortogonais, cujos eixos coordenados se ocultaram. A unidade, em qualquer dos referenciais, é o lado do quadrado. a) Desenhe os eixos do referencial de, sabendo que a reta de equação é eixo de simetria da parábola e que o conjunto imagem da função é. b) Desenhe os eixos do referencial em, sabendo que: ( ). c) Defina analiticamente as funções e, considerando os referencias que desenhou. Em geral, estudantes matriculados na disciplina de CDI já tiveram, ao longo do Ensino Médio, contato com tarefas que envolvam o conceito de função quadrática, ao menos tarefas rotineiras de construção de gráficos de parábolas por meio de procedimentos que envolvam habilidades de reprodução. Essa tarefa envolve em seus itens habilidades de conexão, uma vez para se buscar uma solução é preciso decodificar e interpretar a linguagem simbólica e formal, entendendo suas relações com os conceitos envolvidos e ainda, explorar diferentes representações de um mesmo objeto matemático. Também pressupõe o caminho inverso ao frequentemente solicitado aos estudantes, já que é preciso que eles reconheçam a lei de formação de funções quadráticas a partir de suas representações gráficas e de alguns de seus elementos. No desenvolvimento do item (a) desta tarefa o professor pode guiar a discussão por meio dos conceitos de eixo de simetria de uma parábola e do conjunto contradomínio da função. Mesmo que os estudantes apresentem uma solução ao item, a

6 discussão se faz pertinente, uma fez que o conhecimento se constrói/reconstrói nas interações sociais. Alguns exemplos de questionamentos a serem abordados na discussão: i) Todo gráfico que representa uma função possui um eixo de simetria ii) iii) vertical? Construa gráficos de outras parábolas e identifique seus eixos de simetria, o que ele faz com a representação gráfica da função? É possível encontrarmos duas respostas corretas e diferentes para o item (a)? iv) A informação que é eixo de simetria nos dá indícios do eixo das abscissas ou das ordenadas? Por quê? v) O que significa dizermos que o contradomínio da função é? vi) A informação acerca do contradomínio da função nos dá indícios do vii) eixo das abscissas ou das ordenadas? Por quê Qual é a distância do eixo de simetria ao eixo das ordenadas? Nesta discussão o professor valoriza e explora as explicitações das perspectivas dos estudantes. Assim, supor outros questionamentos, a partir de cada maneira de lidar dos estudantes, pode se revelar necessário. No desenvolvimento do item (b) o elemento da função que se apresenta corresponde ao conjunto imagem positivo de e questionamentos como os que seguem são pertinentes para explorar as características de um gráfico que representa uma função: i) Como se lê e o que representa ( )? ii) Elabore outras sentenças em que se faz o uso do conectivo do bicondicional. iii) Qual é a diferença entre os símbolos e ( ) iv) A quais elementos de uma função a sentença ( ) nos remete?

7 Após a discussão destes questionamentos espera-se que os estudantes apresentem a seguinte solução para o item (a) e item (b): Os questionamentos aqui mencionados podem servir para desencadear diálogos entre os envolvidos no processo de aprendizagem, no qual cada estudante justifica, analisa e faz validações por meio da exploração da situação explorada e pode buscar meios de melhorar suas próprias estratégias. No item (c), uma vez que os eixos já foram estabelecidos nas representações gráficas, para encontrar a representação analítica das funções e os estudantes podem escolher diferentes estratégias que relacionam a equação geral de uma função quadrática com coordenadas de pontos da representação gráfica, três são apresentadas a seguir: Estratégia para obter a representação analítica da função : Três pontos da parábola são ( ), ( ) e ( ) e a equação geral de uma função quadrática é ( ), logo: { ( ) ( ) ( ).

8 Estratégia para obter a representação analítica da função : Dado que a abscissa do vértice da parábola é temos que, logo. Dois pontos da parábola são ( ) e ( ) e a equação geral de uma função quadrática é ( ), logo: { ( ) ( ). Estratégia para obter a representação analítica da função : As raízes dessa função são e e um ponto dessa função é ( ). Sabendo que toda função com duas raízes reais assume a fatoração ( ) ( )( ), tal que é o coeficiente do termo quadrático da forma geral ( ), tem-se que ( ) ( )( ) ( ) ( ). Substituindo o ponto ( ) encontra-se a representação analítica para ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Essas resoluções indicam que os estudantes são capazes de obter pares ordenados dessa representação gráfica, reconhecem a forma geral de uma função do segundo grau e a relação entre os coeficientes dessa forma geral com o valor da abscissa do ponto extremo da função. Todas essas habilidades podem ser classificadas como de reprodução. Por meio da análise e da discussão acerca das estratégias e procedimentos que foram utilizados, o professor pode guiar o estudantes a estabelecer ou comunicar as conexões entre os conceitos envolvidos, o que propicia ambientes de aprendizagem que alcançam níveis mais elevados de compreensão da matemática. Seguem alguns questionamentos que podem conduzir a análise e discussão: i) É possível representar por meio de um diagrama a relação entre os conjuntos representados por estas parábolas?

9 ii) XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática O que é possível afirmar acerca dos coeficientes da forma geral da função apenas observando o gráfico? iii) A partir das representações gráficas de e, explique os valores dos iv) coeficientes dos termos quadráticos encontrados. De modo geral, é possível estabelecer alguma relação entre os coeficientes da equação da função quadrática e sua forma gráfica? v) Prove que dado ( ), então a abscissa do vértice é dada por. vi) vii) Quando que uma função quadrática é fatorável? O que isso significa? O que é uma raiz de uma função? O que uma raiz representa na representação gráfica e na representação analítica? Terminada a exploração dessa primeira atividade, na expectativa de explorar as transformações gráficas, pode-se sugerir aos estudantes que elaborem uma solução equivalente a encontrada para a alternativa (c), mas sem nenhum procedimento algébrico. Essa fase da tarefa pode ser discutida após a exploração da tarefa 2, conforme enunciada a seguir. 2. Seja a função, ( ). Explore os gráficos que representam as funções e a partir das transformações do gráfico ( ) ao considerarmos. a), ( ) ( ) b), ( ) ( ) c), ( ) ( ) d), ( ) ( ) No Ensino Médio, não é frequente a exploração das transformações de um gráfico de uma função a partir de sua forma canônica; no caso das funções quadráticas a forma canônica é, ( ). Uma possibilidade para a exploração dessas transformações é uso de softwares que permitem variação dos coeficientes da função em estudo. Para além de elaborar estratégias para obter leis de formação de uma função quadrática e reconhecer as transformações do gráfico, é desejável que os estudantes reconheçam as equivalências entre as diferentes representações algébricas de uma

10 função quadrática. Com a intenção de provocar uma discussão nessa direção pode ser proposto a seguinte tarefa: 3. Investigue a seguinte afirmação: i) Não é possível reconhecer as transformações que a função quadrática completa, ( ) sofreu em relação a função, ( ). Nesta tarefa os estudantes poderão ser guiados a reescrever a lei de formação ( ) como ( ) ( ) ( ), no qual poderão relacionar aspectos abordados nas estratégias escolhidas para as duas primeiras tarefas, competências de conexão e, uma generalização das transformações gráficas e algébricas de uma função quadrática, competências de reflexão. Considerações Finais Novos pontos de vista a respeito da disciplina de CDI pedem por tarefas favoreçam ao estudante o desenvolvimento de competências de conexão e reflexão, para além da mera reprodução e memorização. Tais tarefas devem ter como pressuposto o fato de que o conhecimento matemático mostra-se dinâmico e construído a partir das relações, justificativas, análise e validações estabelecidas pelos envolvidos e não como algo pronto e acabado. Aos estudantes devem ser incentivados a justificaram seus pensamentos por meio da exploração de situações, questionamentos e conjecturas (TREVISAN, MENDES, 2013, p. 137). Como apontou Reis (2001, p.196), a proposta de ensino de Cálculo apresentada pelos livros didáticos é, ainda, predominantemente formalista e procedimental. Lembra que tanto os aspectos conceituais quanto procedimentais presentes nos livros vêm carregados de aspectos intuitivos que devem ser explorados na prática das aulas. Nesse sentido, as três tarefas aqui discutidas são propostas para essa exploração, orientadas por pressupostos da Educação Matemática Realística. Ao apresentarmos para cada uma delas um possível trajeto a ser desenvolvido em sala de aula, buscamos

11 oferecer alternativas para que os estudantes possam produzir significados e melhor compreender conceitos. Hadji (1994, p.167) aborda a necessidade de reflexão a respeito da disciplina desenvolvida e da atenção a ser dada às capacidades e ao saber-fazer pelos estudantes, competência pedagógica denominada por ele de saber imaginar e realizar situaçõesproblemas adequados. Assim, dependendo do uso que delas o professor faça, os estudantes podem ser conduzidos a analisar, interpretar, desenvolver seus próprios modelos e estratégias, e, apresentar argumentos matemáticos incluindo provas e generalizações. Referências BALDINO, R. R. Ensino Remedial em Recuperação Paralela. Zetetiké, n. 3, p , BARICHELLO, L. Análise de resoluções de problemas de cálculo diferencial em um ambiente de interação escrita f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro, CURY, H. N. Análise de erros em cálculo diferencial e integral: resultados de investigações em cursos de engenharia. In: XXXI Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, 2003, Rio de Janeiro. Cobenge Rio de Janeiro: IME, DE LANGE, J. Framework for classroom assessment in mathematics. Utrecht: Freudenthal Institute and National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science, Disponível em: < Acesso em: 07 abr FREUDENTHAL, H. Mathematics as an Educational Task. Dordrecht: Reidel Publishing Company, FREUDENTHAL, H.. Revisiting Mathematics Education. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, HADJI, C. A avaliação, regras do jogo: das intenções aos instrumentos. Tradução Júlia Lopes Ferreira e José Manuel Cláudio. 4. ed. Portugal: Porto, NASCIMENTO, J.L. A recuperação dos pré-conceitos do Cálculo. In: Anais do XXVIII COBENGE - Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, Ouro Preto, MG, 2001.

12 PEDROSO, C.M. Análise de alternativas para recuperação de fundamentos de matemática no ensino de cálculo em cursos de engenharia. XXXVII Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia, COBENGE, Recife PE, REIS, F. S. A Tensão entre Rigor e Intuição no Ensino de Cálculo e Análise: A Visão de Professores-Pesquisadores e Autores de Livros Didáticos f. Tese (Doutorado) Programa de Pós-Graduação em Educação, UNICAMP, Campinas, REIS, F. S. Rigor e intuição no ensino de cálculo e análise. In: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (orgs.). Educação Matemática no Ensino Superior: pesquisas e debates. Recife: SBEM, p , TREVISAN, A. L.; MENDES, M. T. Possibilidades para matematizar em aulas de Cálculo. Revista Brasileira de Ensino de Ciência e Tecnologia, v. 6, p , VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, M. Mathematics education in the Netherlands: A guided tour. In: Freudenthal Institute. Utrecht: Utrecht University, CD-ROM.