AB BA ABC CBA A(B + C) B = B =

ÁÒ Ø ØÙØÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ö Ó Ä Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ü Ö Ó ýð Ö Ä Ò Ö ÂÓÓ Ó Ø Ë Ö Ó Å Ò À Ð Ò ËÓ Ö

½ Å ØÖ Þ ÆÓØ Ó M m n ÒÓØ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ñ ØÖ Þ Ö Ó Ø ÔÓ m nº ÉÙ Ò Ó m = n Ö ¹ Ú ÑÓ M n º ½º½ ýð Ö ÔÖÓ ÙØÓ ØÖ Ò ÔÓ Ó Ñ ØÖ Þ ½º A ÙÑ Ñ ØÖ Þ 4 3 B ÙÑ Ñ ØÖ Þ 3 4 C ÙÑ Ñ ØÖ Þ 4 1º ÌÓ ÒØÖ Ø Ñ ØÖ Þ Ó Ù 1º ÉÙ Ù ÒØ ÓÔ Ö Ó Ô ÖÑ Ø ÕÙ Ð Ó Ù Ö ÙÐØ Ó AB BA ABC CBA A(B + C). ¾º È Ö ÙÑ Ó Ù ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Þ A B Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ò Ó Ø Ú Ö Ñ Ò Ñ ØÖ Þ A+2B A B 4A 3B A 2 B 2 AB BA (3A)(2B) A T B (AB) T º A = A = [ 1 0 1 2 1 1 [ 1 2 0 1 µ A = [ 2 B = B = 1 0 2 1 3 2 [ 1 0 B = 5 0 4 2. 3 A = [ 1 0 2 B = 1 2 3.. º Ø ÖÑ Ò Ó Ø ÔÓ Ñ ØÖ Þ A B C Ò Ó ÕÙ A 2 B = C ÕÙ B Ø Ñ ÓÐÙÒ ÕÙ C Ø Ñ ¾ Ð Ò Ò Ó ÕÙ A+BC = I 3 ÕÙ C Ø Ñ ¾ Ð Ò º º ÓÒ Ö Ñ ØÖ Þ A = ÐÙÐ Ñ ØÖ Þ X Ø Ð ÕÙ 1 2 0 1 1 3., B T = [ 1 0 1 2 1 1 ( B T 3X ) T 3A = 2B.. ¾

º Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº ÂÙ Ø ÕÙ º Ë Ð Ò 1 3 ÙÑ Ñ ØÖ Þ B Ó Ù ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Ó Ð Ò 1 3 Ñ ØÖ Þ ABº Ë ÓÐÙÒ 1 3 ÙÑ Ñ ØÖ Þ B Ó Ù ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Ó ÓÐÙÒ 1 3 Ñ ØÖ Þ ABº µ (AB) 2 = A 2 B 2 º Ë A 2 Ø Ò ÒØÓ A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º Ë AB BA ØÓ Ò ÒØÓ A B Ó Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º Ë AB BA ØÓ Ò ÒØÓ AB BA Ó Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º Ë AB = B ÒØÓ A = Iº Ë B = A 2 A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö n n Ñ ØÖ ÒØÓ b ii 0 Ô Ö i = 1,2,...,nº º Ø ÖÑ Ò A n n N Ô Ö [ π 0 A = 0 π A = [ 1 1 1 1 ; A = [ 0 1 1 0 [ 2 2 ; A = 0 0 º Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ A Ó Ø ÔÓ 3 3 Ù ÒØÖ Ó a ij = ( 1) i+j a ij = i/jº. [ cosα sinα ; µ A = sinα cosα º Ë A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö º ÅÓ ØÖ ÕÙ Ñ ØÖ Þ A T +A Ñ ØÖ º ; ½º¾ ÓÑ Ò Ð Ò Ö Ô Ò Ò Ò Ô Ò Ò Ð Ò Öº ¹ Ö Ø Ö Ø º ½º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ú ØÓÖ R 4 u = (4, 2,0, 2), v = (3,2,1,0) w = (1, 1,2,5). ÐÙÐ Ù ÒØ ÓÑ Ò Ð Ò Ö u v w u+v +w u 2v +3w µ 1 2u v +2w 2u+v +5w

¾º Ñ ÙÑ Ð Ò Ù ÒØ Ø ÖÑ Ò Ó Ü Ø Ñ ØÓ Ó Ó Ð Ö a Ø ÕÙ Ó Ú ØÓÖ ( 6,a) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (1,3) (2,1) Ó Ú ØÓÖ ( 2,1) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (1,0) (a,3) µ Ó Ú ØÓÖ (1,a, 3) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (1,1,0) (0,1,3) Ó Ú ØÓÖ (2,0,3) ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö Ó Ú ØÓÖ (a, a,0) (1,1,2)º º Î Ö ÕÙ Ö ÓÖÖ Ò Ó Ò Ó Ô Ò Ò Ð Ò Ö Ó Ù ÒØ Ú ØÓÖ (1,2) ( 2, 4) (1,0) (1, 2) (3,4) µ (1,1,0) (1, 1,2) (1,0,0) (1, 2,0) (0,1,3) (1,0,0) (2,1,0) (1,2,0) º Ê ÓÖÖ Ò Ó ÓÒ Ò Ó Ñ ØÖ Þ Ú Ö ÕÙ Ó Ù ÒØ Ø Ñ Ú ØÓÖ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ º (1,1) (2,2) (1,1) (1, 2) µ (1,1) ( 1,0) (1,2) (1,0,0) (1, 2,3) (1,0,0) (1, 2,3) (0,1,1) (1,0,0) (1, 2,3) (0,1,1) (π,e, 2) º ÐÙÐ Ö Ø Ö Ø Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ 2 1 4 1 3 2 3 1 6 µ 2 4 2 4 8 5 2 6 0 2 6 0 2 8 1 3 0 0 1 1 3 1 2 0 0 0 3 9 12 0 0 3 2 0 0 1 2 1 3 2 4 0 2 1 3 1 1 3 3 2 2 4 0 1 5 5 9 2 4 1 3 2 1 0 0 0 2 2 6 0 0 1 2 1 4

º Ø ÖÑ Ò Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ ÓÐÙÒ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ 1 1 [ 1 2 4 0 A = α β α 1 B = C = 1 1 2 1 1 2 0 1 2 α º 1 β 1 0 α 2 0 ½º ÁÒÚ Ö Ó Ñ ØÖ Þ ½º Î Ö ÕÙ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ Ó ÒÚ ÖØ Ú Ñ Ó ÖÑ Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò Ù ÒÚ Ö [ [ 1 3 3 1 2 9 1 1 1 2 A = B = C = 1 4 3 D = 0 0 0 2 2 3 1 1 3 4 10 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 3 3 E = 4 5 6 F = 0 4 3, G = 10 24 13 0 1 2 3 4 º 7 8 9 0 0 4 1 0 0 9 ¾º ÐÙÐ Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö Ñ ØÖ Þ 0 0 0 2 A = 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 0 º ÐÙÐ Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö Ñ ØÖ Þ A =, B = 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 3 2 0 0 4 3 0 0 0 0 6 5 0 0 7 6. Ë Ñ ØÙ Ö ÐÙÐÓ ÙÞ ÕÙ Ð ÒÚ Ö Ñ ØÖ Þ B = 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÐÙÐ Ò Ó BB 1 º [ a b º ÅÓ ØÖ ÕÙ A = ÒÚ ÖØ Ú Ð ad bc 0 Ò Ó Ø ÖÑ Ò c d Ù ÒÚ Ö º..

º ÈÖÓÚ ÕÙ a 0 a b ÒØÓ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ ÒÚ ÖØ Ú Ð a b b A = a a b. a a a ½º Ë Ø Ñ ½º Ê ÓÐÚ Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö Ù Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ù º ÁÒØ ÖÔÖ Ø ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ó º µ x y +2z +t = 5 x 4y z 2t = 14 2x+2y +z +t = 7 x 7y +z +2t = 10 x+y z = 1 2x y +3z = 2 4x+y +z = 5 2x+y +z = 8 x+y +4z = 15 3y +2z = 9 { x+2y = 0 3x 6y = 1 ¾º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö x 1 +x 2 x 3 +x 4 = 0 x 1 2x 2 x 3 x 4 = 0 3x 2 = 2x 4 2x 1 x 2 2x 3 = 0 Ö Ú ÕÙ Ó Ñ ØÖ Ð Ó Ø Ñ º { x 3y +2z t = 6 3x 7y +t = 0 x+y = 3 x y = 1 3y +2z = 9 { x+y +4z = 15 3y +2z = 9 x+7y = 2 2x 8y = 1 3x y = 3 ÂÙ Ø ÕÙ Ù ÒØ ÖÑ Ó Ç Ø Ñ ÒÙÒ ÑÔÓ Ú Ðº µ Ê ÓÐÚ Ó Ø Ñ Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ù º º Ð ÕÙ Ó Ø Ñ [A b ÓÒ b ÙÑ Ú ØÓÖ Ö ØÖ Ö Ó R n A Ñ ØÖ Þ 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 3 1 3 4 µ [ 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 2 1 0 0 0

º Ð ÕÙ Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ α β µ { x+y = 15 αx+βy = 1 { αx+βy = α+β 2x 2βy = β { 2x1 +x 2 x 3 2x 4 = 1 4x 1 +2x 2 2x 3 +2αx 4 = β { x+y = α 2x+2y = β x+2y αz = 1 2x y z = β 9x 2y +z = 1 αx 1 +x 2 x 3 +x 4 = 0 2x 1 +3x 2 +x 3 = 1 x 2 +2x 3 x 4 = 0 x 1 +3x 3 +2x 4 = β º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ú x y z 2x+y +z = 6α 2x+y +(β +1)z = 4 βx+3y +2z = 2α Ö Ú Ó Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ðº ØÙ Ò ØÙÖ Þ Ó Ø Ñ Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ α βº º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ú x y z t y +z = (b a)t bx y +(a+1)t = bz 2z +2t = x 2a+at = y z º Ë Ö Ú ÕÙ Ó Ñ ØÖ Ð Ó Ø Ñ º Ð ÕÙ Ô Ð Ø ÓÖ Ñ ØÖ Þ Ó Ø Ñ Ñ ÙÒÓ Ó Ô ÖÑ ØÖÓ a bº µ ËÙÔÓÒ a = 1 b = 0º Í Ó Ö ÙÐØ Ó Ó ÐÙÐÓ Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ø Ñ º A α = α 1 α 1 α 1 α 1 α ÓÒ α ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ Ö Ðº Ö Ú Ó Ø Ñ A α X = Bº, X = x y z, B = Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ó α Ô Ö Ó ÕÙ Ð A α X = B ÑÔÓ Ú Ðº µ ÓÒ Ö Ò Ó α = 1 Ø ÖÑ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÐÙÓ Ó Ø Ñ A 1 X = Bº 1 1 1

º Ë Ñ p q Ò Ñ ÖÓ Ö Ø ÕÙ p+q = 1º ÅÓ ØÖ ÕÙ X 1 X 2 Ó ÓÐÙ ÙÑ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö Ax = b ÒØÓ px 1 + qx 2 Ø Ñ Ñ ÙÑ ÓÐÙÓ Ó Ø Ñ º ÓÒÐÙ ÕÙ Ax = b Ø Ñ Ò Ò Ø ÓÐÙ º º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ÕÙ Ö [A b ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑ Ø Ñ ÑÔÓ Ú Ð ÒØÓ [A c ÑÔÓ Ú Ð ÓÙ ÔÓ Ú Ð Ò Ø ÖÑ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÐÙÒ cº ½¼º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ÕÙ Ö [A b ÔÓ Ú Ð Ø ÖÑ Ò Ó ÒØÓ [A c ÔÓ Ú Ð Ø ÖÑ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÐÙÒ cº ½º Ø ÖÑ Ò ÒØ ÔÖÓÔÖ ½º ÐÙÐ Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ [ 2 3 A = B = 2 1 1 2 3 E = 4 5 6 F = 7 8 9 I = 0 1 5 3 6 9 2 6 1 1 2 3 1 L = 5 9 6 3 1 2 6 2 2 8 6 1 [ 1 2 2 4 2 0 0 0 3 0 0 0 4 J = M = [ [ 1 0 2 0 C = D = 2 0 0 3 2 a b G = 0 3 c H = 0 0 4 0 0 5 3 0 9 2 0 1 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 K = N = 1 2 3 2 4 6 2 0 1 2 0 0 a 3 0 b c 4 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 4 0 1 0 ¾º Í Ò Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ö ÕÙ Ó Ù ÒØ Ø Ñ Ú ØÓÖ Ó Ð Ò Ö¹ Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ {(1,1),(1,2)} {(1,1),(2,2)} µ {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} {(2,1,4),(0,1,2),(1,0,1)} º Î Ö ÕÙ ÕÙ Ô Ö Ñ ØÖ Þ 2 2 Ø Ñ AB = A B º º Ë Ò Ó ÕÙ a b c d e f g h i = 4 ÙÞ Ó Ù ÒØ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ñ Ó ÐÙÐ Ö Ö Ø Ñ ÒØ µ a b c 2d 2e 2f g h i

µ a b+3a c d e+3d f g h+3g i a c b d f e g i h a 3b 2c d 3e 2f g 3h 2i º Ë B M 12 12 Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ó Ø Ñ Ô ÖØ Ö A Ù Ò Ó ÓÔ Ö µ l 1 l 4 ; µ l 2 l 2 +5l 6 ; µ l 1 3l 1. Ë Ò Ó ÕÙ det(b) = 8 ÐÙÐ det(a)º º Ë B M 7 7 Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ó Ø Ñ Ô ÖØ Ö A Ù Ò Ó ÓÔ Ö µ l 5 l 5 3l 2 ; µ l 4 l 4 + l 2 ; µ l 1 3l 1 ; Úµ l 7 2l 7 ; Úµ c 3 c 4. Ë Ò Ó ÕÙ det(a) = 3 ÐÙÐ det(b)º º ÐÙÐ det(a 2 ) det(2a) µ det ( A 1) det ( A t) det(ab) det ( 3A 2 B 2 A t) det ( A 1 B t) +det ( AB 2) det( AB)+ ( det(ab) 1) det ( (A 1 ) t) +det ( ( 2AB) t) Ò Ó ÕÙ A,B M 3 3 Ó ÒÚ ÖØ Ú ÕÙ det(a) = 2 det(b) = 3 µ Ò Ó ÕÙ A,B M 2 2 Ó ÒÚ ÖØ Ú ÕÙ det(a) = 1 det(b) = 2º º Ñ ØÖ Þ A B ÓÖ Ñ n ÑÓ ØÖ ÕÙ A ÒÓ ÒÚ ÖØ Ú Ð ÒØÓ AB ÒÓ ÒÚ ÖØ Ú Ðº º Ñ ØÖ Þ A C ÓÖ Ñn ÑÓ ØÖ ÕÙ C ÒÚ ÖØ Ú Ð ÒØÓdet ( C 1 AC ) = det(a)º ½¼º ÍÑ Ñ ØÖ Þ A ÓÖ Ñ n Þ¹ ÓÖØÓ ÓÒ Ð AA t = Iº ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÒØÓ A = ±1º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ½½º Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº ÂÙ Ø ÕÙ º det(a+b) = det(a)+det(b)º det(ab BA) = 0º µ Ç Ú ØÓÖ ÓÐÙÒ ÙÑ Ñ ØÖ Þ A ÓÖ Ñ n Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò ¹ Ô Ò ÒØ det(a) 0º Ë A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÓÖ Ñ n Ó Ø Ñ ÓÑÓ Ò Ó Ax = 0 Ø Ñ ÙÑ ÓÐÙÓ ÒÓ ÒÙÐ det(a) = 0º

½º ÁÒÚ Ö Ó Ñ ØÖ Þ ½º Í Ò Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÖÑ Ò ÔÓ Ú Ð ÒÚ Ö Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ [ 1 2 3 0 2 0 2 3 A =, B = 0 3 2, C = 3 0 0. 2 1 0 0 2 0 0 1 ¾º Ë A = ÒÚ ÖØ Ú Ðº º Ë A = k k 2 0 0 k 3 4 k 0 k 1 1 0 α 1 1 0 1 2 º A 1 Ô Ö Ó Ó Ñ ÕÙ Ü Ø º Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ k Ñ ØÖ Þ A ÒÓ º È Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ α ÒÚ ÖØ Ú Ð Ñ ØÖ Þ A ÐÙÐ º ÑÓÒ ØÖ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ñ ØÖ Þ ÙÒØ Â = A n 1 º ÂB = Bº ½º Ô Ó Ú ØÓÖ º ËÙ Ô Ó Ú ØÓÖ º ÓÑ Ò Ó Ð Ò Öº ËÔ Òº ½º Ø ÖÑ Ò Ó Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ù Ô Ó R n º Ê ÔÖ ÒØ Ö ¹ Ñ ÒØ Ó ÕÙ Ó Ù Ô Ó R 2 º V = {(x,y) R 2 : x+y 3}º V = {(x,y) R 2 : 3x = y}º µ V = {(x,y) R 2 : x = y +1}º S = {(x,y) R 2 : x 2 = y 2 }º V = {(x,y,z) R 3 : x = 2y z,}º V = {(x, x,y x) R 3 : x,y R}º V = {(x,y,z) R 3 : z = x y,y = 2}º V = {(a b,b c,c d,d a) R 4 : a,b,c,d R}º V = {(x 1,2x 2,3x 3,4x 4 ) R 4 : x i R}º V = {(x 1,...,x n ) R n : x n 1 = 0 R}º ¾º Ø ÖÑ Ò ÓÐÙÒ Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ [ [ 1 2 3 1 1 3 1 3 1 2 1 0 A = B = C = 4 5 6 D = 1 1 4 2 0 4 0 3 1 7 8 9 1 0 5 ½¼

E = 1 2 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 F = 1 2 3 0 4 4 0 1 1 1 0 1 G = 0 2 3 4 4 4 2 8 3 3 2 6 1 0 1 0 º Î Ö ÕÙ u 1 = (1,2,3,4) u 2 = (2,2,3,4) u 3 = (3,3,3,4) Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ º º ÈÖÓÚ ÕÙ {v 1,v 2,v 3 } ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ {v 1 v 2,v 2 v 3,v 3 +v 1 }º º Ë Ñ v 1,v 2,v 3 Ú ØÓÖ R n º ÈÖÓÚ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ w 1 = v 1 +3v 3 w 2 = v 1 + v 2 5v 3 w 3 = v 2 2v 3 Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º º Î Ö ÕÙ (1,4, 2) Ô Ò{u 1,u 2 } u 1 = (1,0,0) u 2 = (0, 2,1) µ u 1 = (1,0,1) u 2 = (1,1,0) º Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ S = Ô Ò{(1,2,0,1),(2,3,0,0),(0,1,0,1),( 1,0,0,2)}. º º ÓÑÔÐ Ø Ó Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ó Ø Ö ÙÑ V º V = R 3 {(0,0,1),(1,0,1)} V = R 4 µ{(2,3,1),(1,4,3)} {(0,0,0,1)} µ {(1,1,1,1),(0,1,1,1)} º Ø ÖÑ Ò [u B º º Ø ÖÑ Ò ÓÓÖ Ò u Ò B u = (1,2) B 1 = {(1,0),(0,1)} µ B 2 = {(1,1),( 1,1)}º u = (4,17) B 1 = {(1,2),(1, 1)} µ B 2 = {(1,2),(0,5)} µ u = (5,4,1) B 1 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} µ B 2 = {(1,0,0),(0,2,0),(1,1,1)} ½¼º Î Ö ÖÓ ÓÙ Ð Óº ÂÙ Ø ÕÙ º Ç Ù ÓÒ ÙÒØÓ {0,u} R n ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò¹ ÒØ º ÉÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ n+1 Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ R n ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º ½½

µ Ë S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ñ R n º ÒØÓ Õ٠й ÕÙ Ö Ù ÓÒ ÙÒØÓ T S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º Ë S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ñ R n º ÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ù ÓÒ ÙÒØÓ T S ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò¹ ÒØ º Ë S = {u 1,...,u k } ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ñ R n º ÒØÓ T = {u 1,...,u k,u k+1 } ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ú ØÓÖ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º ÉÙ ÕÙ Ö ÕÙ ØÖÓ Ú ØÓÖ Ø ÒØÓ R 4 Ö Ñ R 4 º Ë {v 1,v 2 } ÙÑ W = Ô Ò{v 1,v 2 } ÒØÓ {v 1 +v 2,v 1 v 2,3v 1 2v 2 } Ø Ñ Ñ ÙÑ W º ½º ÌÖ Ò ÓÖÑ Ð Ò Ö ÆÓØ Ó M(T,B 1,B 2 ) ÒÓØ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó T Ñ Ö Ð Ó B 1 B 2 º b.c. ÒÓØ Ò Ò º ½º Î Ö ÕÙ Ó Ð Ò Ö Ù ÒØ ÙÒ T : R 2 R 2 T(x,y) = (x+y,x y) T : R 2 R 2 T(x,y) = (x 2,y) µ T : R 2 R 2 T(x,y) = (2x,1) T : R 3 R 3 T(x,y,z) = (x+y,y,0) T : R 3 R 3 T(x,y,z) = (x y,y 4z,x) T : R 3 R 2 T(x,y,z) = (xy, y) 1 0 [ T : R 2 R 4 T(x,y) = 2 1 x 1 1 y 0 1 ¾º Ø ÖÑ Ò ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö T(1,0) = (1,2), T(0,1) = (1, 1). º Ë f : R 4 R 5 ÙÑ ÙÒÓ Ð Ò Ö Ò ÔÓÖ f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (x 1 x 3 +2x 4,x 1 +2x 3 x 4,x 2 x 3 x 4,x 3 x 4,x 2 2x 3 ). Ø ÖÑ Ò ÙÑ Ker(f)º Ø ÖÑ Ò ÙÑ Im(f) ½¾

º Ë f : R 3 R 3 ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò ÔÓÖ f(x,y,z) = (x+y,y +z,x+z). ÅÓ ØÖ ÕÙ f ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Öº Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Óº µ Ø ÖÑ Ò Ker(f) Ñ(Im(f))º º Ë f : R 3 R 4 ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ò ÔÓÖ f(x,y,z) = (y x,0,z x,z 2y). ÅÓ ØÖ ÕÙ f ÙÑ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Öº Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Óº µ Ø ÖÑ Ò Ker(f)º ÐÙÐ dim(im(f))º º ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö T : R 2 R 3 Ò ÔÓÖ ÐÙÐ T(1,2)º Ø ÖÑ Ò A = M(T,b.c.,b.c.)º T(x,y) = (x+y, 2x+y,x y). µ ÐÙÐ T(1,2) Ù Ò Ó Ñ ØÖ Þ Aº ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ó Ø Ó Ò Ð Ò º Ø ÖÑ Ò B = M(T,B 1,B 2 ) ÓÒ B 1 = b.c. B 2 = {(1, 1,0),(0,1,0),(1,0,1)}º ÐÙÐ T(1,2) Ù Ò Ó Ñ ØÖ Þ Bº ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ó Ø Ó Ò Ð Ò µº º ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ð Ò Ö T : R 3 R 3 Ò ÔÓÖ 1 0 1 A = M(T,b.c.,b.c.) = 1 0 1 0 2 4 ÐÙÐ T(1,1,1)º Ø ÖÑ Ò ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø T T(x,y,z)º µ Ø ÖÑ Ò B = M(T,B 1,B 1 ) ÓÒ B 1 = {(1,1,0),(0, 1,0),(1,1,1)} ÐÙÐ T(1,1,1) Ù Ò Ó Ñ ØÖ Þ Bº ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ó Ø Ó Ò Ð Ò º ÐÙÐ T((1,2,3) B1 )º ½

º ÓÒ Ö Ù ÒØ ØÙ T(x,y,z) = (x y,2z) L(x,y) = (2x,3y) B 1 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} B 2 = b.c. B 3 = {(1,1),(1,0)} u = ( 2,3,1)º T(x,y) = (3x,2y) L(x,y) = (x,y,x+2y) B 1 = b.c. B 2 = {(1,1),(1,0)} B 3 = b.c. u = ( 2,3)º Ø ÖÑ Ò Ñ Ó ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø L T µ Ñ ØÖ Þ A = M(T,B 1,B 2 ) B = M(L,B 2,B 3 ) µ Ñ ØÖ Þ C = M(L T,B 1,B 3 ) ÔÖ Ñ ÖÓ Ù Ò Ó Ñ Ù Ù Ò Ó µ Úµ (L T)(u) Ù Ò Ó µº º Ë T : V V Ð Ò Ö A = M(T,B 1,B 2 )º Î Ö ÕÙ ÕÙ Ù ÒØ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ T ÒÚ ÖØ Ú Ðº à Ö(T) = {0}º µ A ÒÚ ÖØ Ú Ðº r(a) = Ñ(V)º ½¼º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ó T(x,y) = (x y,x+y) B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = b.c. u = ( 1,2)º T(x,y) = (x,0) B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = b.c. u = (0,2)º µ T(x,y,z) = (x y,x+y,z) B 1 = {(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1)} B 2 = b.c. u = ( 1,2, 3)º Î Ö ÕÙ Ñ Ó T : V V ÒÚ ÖØ Ú Ð Ñ Ó ÖÑ Ø ÚÓ Ø ÖÑ Ò ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø T 1 µ A = M(T,B 1,B 2 ) µ B = M(T 1,B 2,B 1 ) ÔÖ Ñ ÖÓ Ù Ò Ó ÔÓ Ù Ò Ó µ Úµ T 1 (u) Ù Ò Ó µº ½

½½º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ó B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = {(1,2),(2,1)} u = ( 2,3)º B 1 = {(1,1),(1,0)} B 2 = b.c. u = ( 2,3)º µ B 1 = b.c. B 2 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} u = ( 2,3, 4)º È Ö ÙÑ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÓÖ Ò u Ò B 1 B 2 µ Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ÑÙ Ò B 1 Ô Ö B 2 A = M(id,B 1,B 2 ) µ Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ ÑÙ Ò B 2 Ô Ö B 1 B = M(id,B 2,B 1 ) Úµ Ú Ö ÕÙ ÕÙ B = A 1 Úµ Ú Ö ÕÙ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ó ÑÙ Ò ÓÖÖ Ø º ½¾º ÓÒ Ö Ó Ó Ù ÒØ T(x,y,z) = (x y,2x) B 1 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} B 2 = b.c. B 3 = b.c. B 4 = {(1,1),(1,0)}º T(x,y) = (x+2y,x) B 1 = B 2 = b.c. B 3 = B 4 = {(1,1),(1,0)}º µ T(x,y) = (x,y,0) B 1 = B 3 = b.c. B 2 = B 4 = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}º Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÙÑ Ð Ñ ØÖ Þ A = M(T,B 1,B 2 ) B = M(T,B 3,B 4 ) Ù Ò Ó Ó ÔÖÓ Ó ÜÔÖ Ó Ò Ð Ø T µ Ñ ØÖ Þ A Ñ ØÖ Þ ÑÙ Ò º ½º Î ÐÓÖ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó ½º Ë Ñ [ A = 1 2 1 2, B = 7 0 0 0 2 4 0 6 0. ÅÓ ØÖ ÕÙ u = ( 3,3) v = (2,1) Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Aº ÁÒ ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ó Ó º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ØÓÖ ÓÖÑ ( r,r) r 0 Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Aº µ ÅÓ ØÖ ÕÙ u = (1,0,0) Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó B Ò ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ó Óº ÅÓ ØÖ ÕÙ 6,4,7 Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Bº ½

¾º ÓÒ Ö Ù ÒØ Ñ ØÖ Þ [ 0 9 1 6 [ 0 1 5 2 1 0 0 µ 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 2 0 3 0 0 1 3 5 1 3 5 1 3 5 1 0 0 0 2 1 1 3 5 È Ö ÙÑ Ð Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó µ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ô Ö Ó Ù Ô Ó ÔÖ ÔÖ Ó º º Ø ÖÑ Ò Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ù ÒØ ÙÒ Ð Ò Ö T(x,y) = ( x, y) P(x,y) = (x,0) [ cosθ sinθ µ R(x,y) = sinθ cosθ [ x y º Ë T : R 3 R 3 ÙÒÓ Ð Ò Ö Ò ÔÓÖ T(x,y,z) = (x+z,y,x+z). Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó T º º È Ö ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ù ÖÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ù Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ù Ô Ó ÔÖ ÔÖ Ó Ú Ö ÕÙ Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ð Þ Ú Ð Ë Ö ÔÓ Ø ÐØ Ñ Ð Ò ÓÖ ÔÓ Ø Ú µ ÓÒ Ð Þ ¹ º º Ø ÖÑ Ò ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÓÒ Ð D Ñ Ð ÒØ Ñ ØÖ Þ Ñ Ù µ Ò ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Þ Ó Ö Ö ½

Ù Ò Ó D ÐÙÐ Ó Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ [ [ [ 1 1 0 1 0 1 µ µ Úµ 1 1 0 0 1 0 1 1 2 1 2 3 Úµ 0 1 3 Ú µ A = 0 1 0 Ú µ A = 0 1 3 2 1 2 º Ë f : R 2 R 2 ÙÒÓ Ð Ò Ö Ò Ô Ð Ñ ØÖ Þ [ 1 2 A = M(f;b.c,b.c.) = 0 3 Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ó Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó f º [ 2 0 0 1 0 1 2 0 1 1 0 0 2 ÒÓÒØÖ ÙÑ B = {v 1,v 2 } R 2 ÓÖÑ ÔÓÖ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó f º Ø ÖÑ Ò Ñ ØÖ Þ D f ÓÑ Ö Ô ØÓ º º Ø ÖÑ Ò D = M(f;B,B)º ÈÖÓÚ ÕÙ P Ñ ØÖ Þ Ù ÓÐÙÒ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ú ØÓÖ v 1 v 2 Ò Ò Ò ÒØÓ D = P 1 AP. º Ë A ÙÑ Ñ ØÖ Þ 3 3 Ø Ð ÕÙ Au 1 = u 1 Au 2 = u 2 Au 3 = 3u 3 ÓÒ u 1,u 2,u 3 0º Ë Ò Ó ÕÙ {u 1,u 2 } Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ù Ø ÕÙ Ó Ú Ö Ö ÓÙ Ð Ù ÒØ ÖÑ {u 1,u 2,u 3 } ÙÑ R 3 º A = 3º µ A ÒÚ ÖØ Ú Ðº º ÅÓ ØÖ ÕÙ A ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö ÓÖ Ñ n ÒØÓ AA t A t A Ø Ñ Ó Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó º º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö A ÒÚ ÖØ Ú Ð Ó Ù Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ó ÒÓ ÒÙÐÓ º ½¼º ÅÓ ØÖ ÕÙ A C Ó Ñ ØÖ Þ Ñ Ð ÒØ º º C = S 1 ASµ ÒØÓ Ø(A) Ø(C)º. ½½º ÅÓ ØÖ ÕÙ u v Ó Ú ØÓÖ ÒÓ ÒÙÐÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ u ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó A ÓÑ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó λ ÒØÓ v Ø Ñ Ñ ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó A ÓÑ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó λº Í Ò Ó Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÕÙ Ú ÐÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ø ÒØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ Ú ØÓÖ ÔÖ ÔÖ Ó Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò ¹ Ô Ò ÒØ º ½