As leis dos grandes números

As leis dos grandes números PE0708 25 de Fevereiro de 2008 Introdução este capítulo estudamos algumas formulações da lei dos grandes números. Uma lei dos grandes números dá o comportamento limite, ou assimptótico, de uma média de observações aleatórias. As leis dos grandes números, de que já vimos exemplos no capítulo dedicado à representação diádica de um número real, podem ser usadas para justiifcar a interpretação frequentista das probabilidades. O estudo do comportamento assimptótico necessita, naturalmente, da introdução de noções de limite. Consoante o limite seja tomado em probablidade ou quase certamente assim teremos uma lei dos grandes números fraca ou forte, respectivamente. 2 A convergência em probabilidade Relembremos a noção de convergência em probabilidade introduzida anteriormente bem como algumas das propriedades essenciais desta noção que importa conhecer. Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade. Definição. Uma sucessão de variáveis aleatórias (X n ) n tomando valores em R converge em probabilidade para X se e só se: ɛ > 0 lim P X n X > ɛ = 0. Observação. Esta noção de convergência diz-nos que escolhido um tamanho para as vizinhanças em R, dado por ɛ, a probabilidade do acontecimento formado pelos pontos ω Ω tais que X n (ω) fica fora do intervalo X(ω) ɛ, X(ω) + ɛ tende para zero quando n tende para infinito. A definição pode estender-se imediatamente a variáveis aleatórias tomando valores em R n bastando substituir a distância em R, dada pelo valor absoluto, pela distância em R n dada por uma qualquer norma, por exemplo, a norma Euclideana. otação. Para uma sucessão satisfazendo a definição anterior escreve-se: X n pr. X. aturalmente que há relações entre as diferentes formas de convergência estudadas.

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 2 Um primeiro resultado é que se houver convergência em L então há convergência em probabilidade. Relembre que havendo convergência em L não tem que haver convergência quase certa. O melhor que se pode afirmar é que é possível extrair uma subsucesão convergindo quase certamente. Proposição. Seja (X n ) n convergindo em L para X. Então, (X n ) n converge em probabilidade para X, isto é: L X n X X pr. n X. Demonstração. A hipótese implica que lim E X n X = 0. Pela desigualdade de Tchebycheff tem-se que, para qualquer ɛ > 0 E X n X > ɛ E X n X ɛ pelo que o resultado anunciado decorre imediatamente. Um segundo resultado relaciona a convergência em probabilidade com a convergência quase certa. Proposição 2. Seja (X n ) n convergindo quase certamente para X. Então, (X n ) n converge em probabilidade para X, isto é: q.c. X n X X pr. n X. Demonstração. A hipótese pode ser expressa escrevendo que há convergência pontual da sucessão de funções mensuráveis (X n ) n para a função mensurável X salvo, talvez, num conjunto de probabilidade nula. Ou seja, tem-se para um dado Ω : { } Ω := ω Ω : lim inf X n(ω) = X(ω) = lim sup X n (ω) A, PΩ =. Seja ɛ > 0 fixo. Pela definição; o que implica. Ω n ω Ω m n n m n X n (ω) X n (ω) ɛ { X m X n ɛ} = lim inf { X m X n ɛ}, ou passando aos complementares pelas leis de Morgan, lim sup { X m X n > ɛ} (Ω ) c. Em consequência do lema de Fatou inverso (veja-se a página 2) pode afirmar-se que: 0 lim inf m X n > ɛ} lim sup P { X m X n > ɛ} P lim sup { X m X n > ɛ} P(Ω ) c = 0, o que implica que lim P{ X m X n > ɛ} = 0, tal como pretendíamos demonstrar. PE0708 2 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 2 Observação 2. A recíproca não é verdadeira, isto é, uma sucessão de variáveis aleatórias pode ser convergente em probabilidade e não ser convergente quase certamente. Com efeito, considere-se uma sucessão de variáveis aleatórias independentes (X n ) n verificando: n PX n = = n, PX n = 0 = n. É imediato verificar que a sucessão converge para X 0 em probabilidade, uma vez que para ɛ > 0 se tem que P X n > ɛ = PX n = = /n. Para verificarmos que a sucessão indicada não converge quase certamente apliquemos o lema de Borel- Cantelli (veja-se adiante na página ). Observe-se que se, para n considerarmos o acontecimento A n := {X n = } tem-se que (A n ) n é uma sucessão de acontecimentos independentes tal que + PA n = + (/n) = +. Por Borel-Cantelli deduz-se que Plim sup A n = ou seja: + + P = P {X m = } =. m n A m m n Quer isto dizer que se pode considerar Ω A tal que PΩ\Ω = 0 e tal que para ω Ω, se tem ω + m n {X m = }, ou ainda: ω Ω n m n (ω) n X mn (ω) =, existindo assim uma subsucessão (X mn (ω)) n de (X n (ω)) n que admite como limite. Do mesmo modo, considerando os acontecimentos definidos para cada n por B n := {X n = 0} se pode inferir a existência de uma outra subsucessão (X ln (ω)) n de (X n (ω)) n que admite 0 como limite para ω Ω A e tal que PΩ\Ω = 0. Suponhamos que a sucessão de variáveis aleatórias (X mn ) n era convergente P quase certamente. Então, para cada ω pertencente a um conjunto de probabilidade plena (no caso Ω Ω, por exemplo) verificar-se-ia que a sucessão (X mn (ω)) n seria uma sucessão numérica convergente. Mas isso é impossível porque uma sucessão numérica convergente não pode admitir duas subsucessões numéricas distintas (no caso, (X mn (ω)) n e (X ln (ω)) n ) para dois números distintos (no caso, e 0, respectivamente). As propriedades enunciadas na proposição seguinte são importantes por permitirem operacionalizar a noção de convergência em probabilidade mas, sobretudo, porque as respectivas demostrações familiarizam o leitor com o modo de tratar os conjuntos que aparecem nas questões relacionadas com a convergência em probabilidade. Proposição 3. Sejam (X n ) n e (Y n ) n convergindo em probabilidade para duas variáveis aleatórias X e Y, respectivamente, variáveis finitas P quase certamente. Seja ϕ : R R uma função contínua. Então:. A sucessão (X n + Y n ) n converge em probabilidade para X + Y. 2. A sucessão (ϕ(x n )) n converge em probabilidade para ϕ(x). 3. A sucessão (X n Y n ) n converge em probabilidade para X Y. PE0708 3 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 2 Demonstração. A primeira propriedade resulta de uma observação simples. Considere-se Ω A tal que, sobre Ω X e Y são finitas e PΩ =. Como, para cada ω Ω, (X n (ω) + Y n (ω)) (X(ω) + Y (ω) X n (ω) X(ω) + Y n (ω) Y (ω), tem-se que para qualquer ɛ > 0 que { ω Ω : X n (ω) X(ω) ɛ } { ω Ω : Y n (ω) Y (ω) ɛ } { 2 } 2 ω Ω : (X n (ω) + Y n (ω)) (X(ω) + Y (ω)) ɛ, pelo que, pelas leis de Morgan, pela subaditividade da medida e pela condição sobre Ω, se tem que: P (X n + Y n ) (X + Y ) > ɛ P X n X > ɛ + P Y n Y > ɛ, desigualdade que implica o resultado anunciado. A segunda propriedade é muito importante. Para maior simplicidade da demonstração que vai seguir-se supomos que X toma valores em R, sendo assim finita P quase certamente. A título de exercício, o leitor deverá redigir a demostração no caso geral do enunciado. Formulamos primeiro um pequeno resultado técnico que mostra que no caso em que X é finita quase certamente, o conjunto em que X não é limitada tem uma probabilidade arbitrariamente pequena. Lema. Sendo X finita P quase certamente verifica-se que: δ > 0 A δ > 0 P X > A δ δ, () Demonstração. É suficiente considerar os conjuntos B n := { X n} para n. Verifica-se imediatamente que a sucessão (B n ) n é uma sucessão decrescente de conjuntos mensuráveis pelo que: + lim B n = B n = { X = + }. Em consequência, pela popriedade de continuidade inferior da medida: 0 = P X = + = P lim B n = lim P B n = lim P X n. A igualdade entre o primeiro e o último termo desta cadeia de igualdades garante o resultado enunciado no lema. Fixe-se δ > 0. Vamos mostrar lim P ϕ(x n ) ϕ(x) > δ = 0. Seja agora ɛ > 0 qualquer e A ɛ/2 > 0 dado pela fórmula do lema acima. Considere-se o intervalo fechado limitado 2A ɛ/2, 2A ɛ/2. A restrição de ϕ, função contínua, a este compacto é uniformemente contínua pelo que: η > 0, η A ɛ/2 x, y 2A ɛ/2, 2A ɛ/2 x y η ϕ(x) ϕ(y) δ. PE0708 4 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 3 Em consequência de se ter, ω Ω X n (ω) X(ω) X n (ω) X(ω), vem que para X(ω) A ɛ/2 que X n (ω) X(ω) + η 2A ɛ/2 e por isso verifica-se que { X A ɛ/2 } { X n X η} { ϕ(x n ) ϕ(x) δ}, ou seja, pelas leis de Morgan que { ϕ(x n ) ϕ(x) > δ} { X > A ɛ/2 } { X n X > η}. Considere-se agora n 0 tal que para n n 0 se verifica que P X n X > η ɛ/2. Vem então que para n n 0 P ϕ(x n ) ϕ(x) > δ P X > A ɛ/2 + P Xn X > η ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, tal como se pretendia demonstrar. A terceira propriedade resulta de se ter que: X n Y n = 2 e das duas primeiras propriedades demonstradas. ( (Xn + Y n ) 2 Xn 2 Yn 2 ). Observação 3. A toda a noção de convergência de sucessões pode fazer-se corresponder uma noção de fecho e, por isso, uma topologia. Pode mostrar-se que existe uma métrica d sobre o espaço L das variáveis aleatórias limitadas P quase certamente que torna metrizável e completa a topologia da convergência em probabilidade, isto é, tal que, (L, d) é um espaço métrico completo no qual as sucessões de variáveis aleatórias convergentes são sucessões convergentes em probabilidade. A métrica d pode ser definida por X, Y L d(x, Y ) = E X Y. Veja-se a refereência 7 sobre este assunto 2. 3 A lei fraca dos grandes números A lei fraca dos grandes números faz intervir a convergência em probabilidade que é uma convergência mais fraca que a convergência quase certa uma vez que, de acordo com a proposição 2 acima, se houver convergência quase certa há convergência em probabilidade. Satisfazendo um conjunto de propriedades técnicas adequadas. 2 Pode obter-se em linha no endereço: http://www.univ-lr.fr/poles/sciences/formations/math/agregexternemath/ressources/probabilites/cours.pdf. PE0708 5 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 4 Teorema (Lei fraca - convergência em probabilidade). Seja (X n ) n uma sucessão de variáveis aleatórias iid (independentes e identicamente distribuídas com X L 2. Então se for por definição S := X n tem-se que ou o mesmo é dizer que ɛ > 0 lim P S ( pr. EX ) X n EX > ɛ = 0. Demonstração. Vamos detalhar a demonstração que é uma consequência da desigualdade de Tchebycheff. Com efeito, note-se primeiramente que: ( ) ( ) ( ) S EX = X n EX = (X n EX). Seja agora ɛ > 0 qualquer. Pela desigualdade de Tchebycheff tem-se que: ( P S EX > ɛ = P (X n EX) > ɛ ) 2 2 ɛ 2 E (X n EX). Observe-se agora que como pela hipótese de independência se tem cov(x n, X m ) = 0 então: ( ) 2 E (X n EX) = E (X n EX)(X m EX) = = E(X n EX) 2 + 2 = VX + 2 n,m=,n<m Em consequência, P S EX > ɛ tal como queríamos demonstrar. n,m= n,m=,n<m 4 Uma lei forte dos grandes números cov(x n, X m ) = VX. E (X n EX)(X m EX) = VX 2 VX = ɛ2 ɛ 2 0. + Apresentamos seguidamente um enunciado da lei forte dos grandes números sob a hipótese de existência de momentos de ordem quatro uniformemente limitados para as variáveis aleatórias da sucessão. O resultado mais geral é o de Kolmogorov que para sucessões iid exige apenas a existência do primeiro momento. PE0708 6 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 4 Teorema 2 (Lei forte - convergência quase certa). Seja (X n ) n variáveis aleatórias independentes centradas (EX n = 0) e tais que: uma sucessão de Então, tem-se que: K > 0 n EX 4 n K. (2) S = X n qc. 0. Demonstração. A demonstração segue as linhas gerais da demosntração efectuada para a lei forte dos grandes números para sucessões de Bernoulli. uma primeira observação aproveita-se o facto das variáveis aleatórias serem independentes e com médias nulas para obter uma representação simplificada do quarto momento da sucessão das somas parciais. Tem-se então que: E ( S 4 ) 4 = E X n = E X i X j X k X l = E +6 E i= j= k= l= k= X 4 k i,j= i<j dado que, se tem que há ( 4 2) = 6 modos de escolher os termos da última soma e para i, j, k e l distintos se tem que: E X i X 3 j = E Xi X 2 j X k = E Xi X j X k X l = 0, em consequência da independência, de se ter X j L 4 L 3 L 2 L e do lema da página 6. Observe-se também que pela desigualdade de Jensen se tem para qualquer j: E X 2 j 2 E X 4 j K, o que por sua vez, conjuntamente com a independência, também implica que, para quaisquer i j: E X 2 i X 2 j 2 E X 2 i E X 2 j K. ote-se que há ( 2 ) = ( )/2 formas de escolher os termos da útima soma na fórmula 4, pelo que: Tem-se assim finalmente que: + ( ) 4 S E = E S 4 K + 3( ) K 3K 2. = + = E S 4 + 4 3K 2 < +. = Em consequência, a série + = (S /) 4 converge P quase certamente pelo que o termo geral converge para zero ou seja pode conscluir-se que, (S /) 0 tal como se pretendia. + PE0708 7 25 de Fevereiro de 2008 X i X j

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 5 O corolário seguinte mostra que o que de facto é importante é que as variáveis aleatórias tenham o mesmo valor médio e não a hipótese de serem centradas. Corolário. Seja (X n ) n uma sucessão de variáveis aleatórias independentes, tais que n EX n = µ. verificando a hipótese dada pela fórmula 2 do enunciado do teorema. Então tem-se que: S = qc. µ, Demonstração. Basta considerar a sucessãom de variáveis aleatórias definidas para cada n por Y n = X n µ que verifica evidentemente as hipóteses do teoremaa uma vez que, EY n = 0 e que pela desigualdade de Minkowski: EY 4 n = Y n 4 4 ( X n 4 + µ) 4 (K + µ) 4, podendo assim aplicar-se o resultado anterior. 5 Sobre a simulação esta secção apresentamos algumas consequências dos resultados anteriores que interessam aos estudos de simulação aleatória. Uma questão natural que aparece em consequência das leis dos grandes números é a determinação da velocidade de convergência das médias amostrais de uma dada variável aleatória para o valor esperado dessa variável aleatória. 5. Critério do erro absoluto Apresentamos primeiramente resultados simples cujas demonstrações recorrem apenas à desigualdade de Tchebycheff. Um primeiro caso simples é o das médias amostrais de uma variável aleatória uniforme num intervalo fechado limitado em que se pode mostrar que essa velocidade de convergência, para o critério do erro absoluto 3 é da ordem de onde é a dimensão da amostra. Como se poderá observar na demonstração, o resultado seguinte subsiste com uma demonstração semelhante para médias amostrais de uma qualquer variável aleatória desde que esta seja limitada. Proposição 4. Seja (X n ) n uma amostra de X variável aleatória com lei uniforme em 0,, isto é, (X n ) n é uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com X U(0, ). Então: k > 0 E X i EX 3 Veja-se para uma definição do critério do erro absoluto, p. 320 (Kloeden). i= k. (3) PE0708 8 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 5 Demonstração. Considere-se para maior facilidade de leitura que, por definição, ( ) W := X i EX = (X i EX). i= Verifica-se imediatamente que EW = 0 e VW = VX/. Seja ɛ > 0 arbitrário. Decompondo o integral, temos, pela desigualdade de Tchebycheff que nos garante a maojoração P W ɛ EW 2 /ɛ2 e, uma vez que W /2: E W = W dp + W dp { W <ɛ} { W 2 <ɛ 2 } W dp + 2 i= { W ɛ} { W ɛ} dp ɛ 2 P{ W 2 < ɛ 2 } + 2 P{ W ɛ} ɛ 2 + 2 VX ɛ 2. Uma vez que ɛ > 0 é arbitrário, considere-se ɛ 2 = η e observe-se que a função f(η) = η + VX/(2η) definida para η 0, + admite um mínimo global para η 0 = VX/(2) tomando então o valor f(η 0 ) = 2VX/. Assim sendo, se for k = 2VX = /6 tem-se, em consequência da majoração 4, que a fórmula 5 está verificada. Uma generalização do resultado anterior dá-nos a velocidade de convergência forte do método de Monte Carlo para integrais. Proposição 5 (Método de Monte Carlo). Seja (X n ) n uma amostra de X variável aleatória com lei uniforme em 0,. Seja φ uma função definida, mensurável e limitada sobre 0,. Então: k > 0 E φ(x i ) i= 0 φ(x) dx (4) k. (5) Demonstração. Observe-se primeiramente que pelo resultado de integração relativamente à medida imagem se tem, considerando a medida de Lebesgue λ sobre 0, que: φ dλ = Eφ(X). 0, Pode-se pois recomeçar a demostração do resultado anterior considerando ( ) Z := φ(x i ) Eφ(X) = (φ(x i ) Eφ(X)), i= observando que EZ = 0 e VZ = Vφ(X)/. ote-se que se for para qualquer x 0,, φ(x) K, então tem-se que, Z 2K. Da mesma forma que no resultado anterior obtem-se que para qualquer η := ɛ 2 > 0: i= E Z ɛ 2 P{ Z 2 < ɛ 2 } + 2K Vφ(X) ɛ 2 = η + 2K Vφ(X) η. PE0708 9 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 6 Achando o valor mínimo do segundo membro, vem finalmente: tal como pretendido. 6 Exercícios E Z 2 2KVφ(X), Os exercícios seguintes exploram variantes simples da leis fortes dos grandes números. Exercício (Uma lei fraca para variáveis independentes não identicamente distribuídas). Seja (X n ) n uma sucessão de variáveis aleatórias independentes (note-se que não necessariamente identicamente distribuídas) tais que: n EX n = µ R ; K > 0 n VX n K. Mostre que então (S /) converge em probabilidade para µ. Exercício 2. Seja uma moeda tal que quando é lançada sai caras, representada por (), com probabilidade p 0, e sai coroas, representada por (0), com a probabilidade p. Seja X n o resultado de um qualquer lançamento da moeda ao ar.. Mostre que se os lançamentos forem independentes: ( ) ɛ > 0 lim P X n p > ɛ = 0. 2. Mostre que se os lançamentos forem independentes, com probabilidade um tem-se que: lim X n = p. Exercício 3. 2 Sejam X n, n, variáveis aleatórias reais e p >.. Prove que, qualquer que seja n, n n k= X p k n n k= X k p. 2. Se + k= E ( X k p ) <, prove que P ( n X + + X n > c ) 0, para todo o c > 0. 3. Suponha agora que as variáveis aleatórias são independentes, de médias nulas e tais que existe uma constante M > 0 que verifica sup k, V ar(x k ) M. Prove que, para todos os α > 2 e c > 0, se tem P ( n α X + + X n > c ) 0. Exercício 4. 2 Para cada n fixo, consideremos variáveis aleatórias X n,,..., X n,kn independentes e identicamente distribuídas, onde k n, n, é uma sucessão de números naturais não nulos. Suponhamos que todas as variáveis aleatórias têm médias nulas e que existe uma constante M > 0 tal que sup n,m V ar(x n,m ) M. Defina-se S n = X n, + + X n,kn. Prove que, dada ( uma sucessão ) de números reais v n, n, se 0 então, para todo o ε > 0 fixo, P Sn v n > ε 0. k n v 2 n PE0708 0 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 6 Exercício 5. 2 Sejam X n, n, variáveis aleatórias reais.. Prove que, se + P ( X n > ε) < + para todo o ε > 0, então X n 0 quase certamente. 2. Suponhamos que as variáveis aleatórias X n têm médias nulas, que Cov(X i, X j ) = 0 sempre que i j e que existe uma constante M > 0 tal que sup n V ar(x n ) M < +. Defina-se S n = X + + X n. (a) Prove que S n 2 0 quase certamente. n 2 (b) Defina-se q(n) como o maior quadrado perfeito inferior ou igual a n. Mostre que n q(n) 2 n. (c) Prove que Sn S q(n) n (d) Prove que Sn n 0 quase certamente. 0 quase certamente. Exercício 6. Os do fim das folhas de exercícios um dos quais, pleo menos, até ficou resolvido. Apêndice: Resultados complementares esta secção apresentamos alguns resultados importantes que embora sendo essenciais para uma completa compreensão do texto principal ou já foram estudados antes ou não tendo sido estudados anteriormente não devem figurar na linha principal de desenvolvimento do texto. O primeiro resultado é de importância capital nas probabilidades modernas. Lema 2 (Borel-Cantelli). Seja (A n ) n uma sucessão de acontecimentos na álgebrasigma A do espaço de probabilidade.. Se n=+ PA n < + então Plim sup A n =. 2. Se os acontecimentos forem independentes então se n=+ PA n = + verificase que Plim sup A n = 0. Demonstração. A primeira implicação resulta de se ter para qualquer n, em consequência da subaditividade que, Plim sup A n = P n m n A m P A m PA m 0, m n m n uma vez que o resto de uma série convergente tende para zero. A segunda implicação é verificada se se mostrar que Plim inf A c n = 0. Ora, sendo p qualquer, em consequência da subaditividade, da independência dos conjuntos, de se ter para x 0 PE0708 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 6 que x e x que Plim inf Ac n n ( n P n+p m=n exp( A c m n+p m=n n+p = PA c n = n m=n n ) PA n ) 0, p + n+p m=n ( PA n ) uma vez que pela hipótese sobre a série se tem que lim p + n+p m=n PA n = + para qualquer n. O segundo resultado é de grande utilidade na teoria das probabilidades e generaliza um dos teoremas de convergência, o lema de Fatou. Lema 3 (Lema de Fatou inverso). Seja (A n ) n uma sucessão de acontecimentos. Então: lim sup PA n P lim sup A n. Demonstração. O lema decorre de duas observações e da continuidade da medida para sucessões decrescentes. A primeira observação é que a sucssão de conjuntos ( m n A n ) n é decrescente e como tal verifica lim A m = m n n m n A m = lim sup A n e do mesmo modo a sucessão (sup m n PA m ) n é decrescente e por isso se verifica: ( ) ( ) lim sup PA m = inf sup PA m = lim sup PA n. m n n m n A segunda observação é que pela monotonia das medidas: n m PA m P A m n m n sup m n PA m P A m. m n Em consequência da continuidade da medida para sucessões decrescentes tem-se que: ( ) lim sup PA n = lim sup PA m lim P A m = P lim sup A n, m n m n tal como queríamos demonstrar. Corolário 2. Seja (A n ) n uma sucessão de acontecimentos na álgebra-sigma A do espaço de probabilidade. Tem-se então que: P lim inf A n lim inf PA n lim sup PA n P lim sup A n, PE0708 2 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 6 pelo que se lim A n existe, isto é se, lim inf A n = lim sup A n, então tem-se que P lim A n = lim P A n. Demonstração. A primeira desigualdade resulta do lema de Fatou para conjuntos, a segunda das definições de limite superior e de limite inferior de uma sucessão de conjuntos e a última desigualdade é o lema de Fatou inverso. O resultado seguinte é uma propriedade que resulta da indepêndencia. Proposição 6. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias integráveis e independentes. Então X Y L e verifica-se que: EX Y = EX EX. (6) Demonstração. Suponhamos inicialmente que X 0 e Y 0. Consideremos então sucessões crescentes de funçõe simples mensuráveis positivas (X n ) n e (Y n ) n convergindo quase certamente para X e Y, respectivamente. A existência destas sucessões é garantida pelo teorema de Lebesgue e pode-se escrever: X n := n2 n k=0 n2 k 2 n I { k 2 n X< k+ 2 n } + ni n {X n}, Y n := k=0 k 2 n I { k 2 n Y < k+ 2 n } + ni {Y n}. De forma mais condensada tem-se que para certos conjuntos de inteiros I X e J Y : X n = αk n I A n Y k n = βl n I B n. l k I X l J Y com A n k σ(x), Bn l σ(y ), αk n 0 e βn l 0. A hipótese de independência de X e Y implica a fórmula 6 para as variáveis X n e Y n. Com efeito tem-se que: EX n Y n = E αk n I A n β n k l I B l n = E αk n βn l I A ni k B n = l k I X l J Y k I X l J Y = αk n βn l E IA n I k Bl n = αk n βn l E IA n k Bn l = k I X l J Y k I X l J Y = αk n βn l P An k Bn l = αk n βn l P An k P Bn l = k I X l J Y k I X l J Y = αk n P An k βl n P Bn l = EX n EY n. k I X l J Y A a fórmula 6 para X e Y resulta agora do teorema da convergência monótona de Lebesgue às sucessões (X n Y n ) n, (X n ) n e (Y n ) n. Com efeito, tem-se que: EX Y = lim EX n Y n = lim EX n EY n = lim EX n lim EY n = EX EY. PE0708 3 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 7 Seja agora a decomposição na parte postiva e negativa de X = X + X e Y = Y + Y, variáveis aleatórias integráveis. Tem-se então que X Y = (X + X ) (Y + Y ) = X + Y + X + Y X Y + + X Y, tendo-se então pelo já demonstrado que: EX + Y + = EX + EY + < +, o mesmo acontecendo para cada um dos restantes três termos da soma acima. Pode-se pois concluir que X Y é integrável e que EX Y = E(X + X ) (Y + Y ) = EX + Y + X + Y X Y + + X Y = = EX + EY + EX + EY EX EY + + EX EY = = EX + (EY + EY ) EX (EY + EY ) = = (EX + EX ) (EY + EY ) = EX EY. uma vez que X e Y são integráveis. 7 Resoluções Resolução:Exercício 3 Para a primeira alínea, aplicamos a desigualdade de Jensen à função x p para p, + num integral relativo a P, probabilidade uniforme sobre n := {,..., n} que se pode escrever com a medida de contagem dado que P({k}) = (/n)µ c ({k}). n n p X k = X k dp(k) n k= p X k p dp(k) = n n n X k p. Para a segunda alínea, aplica-se a desigualdade de Markov, usa-se a alínea anterior e passa-se ao limite na seguinte fórmula. n P X n k > c k= c p E n n p X k k= c p E n n X k p k= k= + nc p E X k p. k= Para a última alínea, aplica-se de novo a desigualdade de Markov e usa-se a propriedade da variância da soma ser a soma das variâncias para variáveis aleatórias independentes: P n α n X k > c k= n 2α c 2 V n X k k= M n 2α c 2, ficando assim resolvidas as três questões. PE0708 4 25 de Fevereiro de 2008

Capítulo VII Leis dos Grandes úmeros Secção: 7 Referências Paul Maliavin, Intégration et Probabilités. Analyse de Fourier et Analyse Spectrale, Librairie Masson, Paris 982. 2 P. E. de Oliveira, Exercícios de Teoria das Probabilidades Coimbra 998-999. 3 J. Tiago de Oliveira, Probabilidades e Estatística, Vol. I, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lisboa 990. 4 J. Tiago de Oliveira, Probabilidades e Estatística Vol. II, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lisboa 99. 5 D. Williams Probability with Martingales Cambridge Mathematical Textbooks, 99. 6 M. Adams and V. Guillemin, Measure Theory and Probability, Birkhäuser, Boston 996. 7 Frédéric Testard, Calcul Intégral et Probabilités, Cours destiné aux candidats à lággrégation, 2006. PE0708 5 25 de Fevereiro de 2008