Veremos qui um breve revisão de oneitos de álgebr neessários pr o estudo do Cálulo. É bom lembrr que voê não pode prender Cálulo sem esses pré-requisitos, priniplmente álgebr, que podemos onsiderr omo lingugem do Cálulo. Frções Abr qulquer livro de Cálulo e, provvelmente, irá deprr-se om um frção não tem omo fugir dels. Ms, pr trblhr om els é neessário que voê onheç lgums regrs que iremos presentr seguir. Regr n o 1 A primeir regr é simples, ms muito importnte, pois pree o tempo todo no estudo do Cálulo: O denomindor de um frção NUNCA pode ser igul zero. 0 0 5 = ms 5 0 é inde inido. Regr n o : O reíproo de um número ou expressão é seu inverso multiplitivo isso signifi que o produto de lgum ois om seu reíproo é igul 1. - o reíproo de 5 4 é 4 5 - o reíproo de 7 é 1 7 - o reíproo de x 1 é 1 x 1
Regr n o 3: Multiplição de Frções A dição de números reis é bem mis fáil do que multiplição, ms no so de frções multiplição é que é mis fáil. Assim, pr multiplir dus frções, bst multiplir os numerdores e, em seguid, os denomindores. 5 5 10 5 = = = 3 4 3 4 1 6 e b b = d d Regr n o 4: Divisão de Frções Aprendemos que pr dividir um frção pel outr, é neessário inverter segund frção e, em seguid, fzer multiplição. 10 5 10 4 40 = = 3 4 3 5 15 8 = 3 (simplifir expressão) Observe que simplifição poderi ter sido feit ntes de multiplir. 10 5 10 // 4 8 3 4 3 5 3 = = / 1 Regr n o 5: Adição e Subtrção de Frções Aprendemos que pr diionr dus frções, om o mesmo denomindor, bst mnter o denomindor e somr os vlores dos numerdores. 5 ± 5 7 ± = = 3 3 3 3 Agor, pr trblhr om vriáveis, o proedimento é o mesmo, omo podemos ver no exemplo bixo: b ± b ± =
As vriáveis omportm-se extmente omo números n dição e subtrção de frções. Assim, qundo tiver que trblhr om vriáveis em um problem qulquer, pergunte-se omo voê o resolveri se, o invés de vriáveis, existissem números no problem. Então, resolv o problem om vriáveis d mesm mneir. Como exemplo, suponh que voê preise resolver o seguinte problem: b ± d ( 0 ed 0) Nesse so, não seri possível resolver o problem, omo no exemplo nterior, pois o denomindor ds frções não é o mesmo. Pense então, omo resolver o problem om números o invés de vriáveis, ou sej, omo lulr som ± 4? 3 5 Pr fzer isso, primeirmente é neessário enontrr o menor denomindor omum (mínimo múltiplo omum) e onverter s frções pr, em seguid, efetur som omo visto nteriormente. O mínimo múltiplo omum entre 3 e 5 é 15 e, portnto, temos que: 4 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5± 4 3 ± = ± = + = ± = 3 5 3 5 5 3 3 5 5 3 3 5 3 5 3 5 Agor, voê já está pronto pr resolver o problem iniil ± b. Nesse problem, voê tem um no d lugr do, um no lugr do 3, um b no lugr do 4 e um d no lugr do 5. Assim, repetindo os mesmos pssos seguidos pr lulr som ± 4 voê terá solução pr o problem iniil, ou sej, lulr 3 5 som ± b. d Assim, temos que: Observe que: b d± b ± = d d
Regr n o 6: Simplifição de Frções Pr finlizr lguns problems de Cálulo, s vezes é neessário lguns proessos lgébrios dentre os quis dest-se o nelmento. Nesse so, tenh ertez de que voê sbe omo nelr e qundo é que pode fzer isso. Como Cnelr? n frção 4 3 x y ( x 0) x z existem xs que podem ser neldos do numerdor e denomindor (desde que o vlor de x sej diferente de zero), resultndo n frção simplifid 3. x y z Se voê esrever por extenso os xs o invés de usr expoentes, poderá ver lrmente omo isso funion: 4 3 x y x x x x y y y = x z x x z z Agor bst nelr dois xs do numerdor e denomindor: x/ x/ x x y y y x/ x/ z z o que deix voê om 3 x x y y y x y ou. z z z (voê tmbém poderi ter utilizdo regr d potenição num divisão: onserve bse e subtri os expoentes) Um expressão é lgum ois do tipo 3 v w 3 ou xy ou sej, não possui o sinl de igul (se tiver um sinl de igul, então é um equção). As expressões omportm-se extmente iguis s vriáveis. n expressão substituído por ( xy p) terímos ( ) ( ) 4 3. xy p y xy p z 4 3 x y x z se d x é
Nesse so, d mesm mneir que nteriormente, poderímos nelr dus ds expressões( xy p) do numerdor e do denomindor obtendo omo resultdo: Qundo Cnelr? ( ) 3 xy p y z. Agor que sbe omo nelr, é igulmente importnte sber qundo voê pode nelr em um frção. o nelmento é permitido em um frção do tipo: ( ) ( + ) 4 b z ( xy p) 3 3 b xy p y d em que o numerdor e o denomindor é formdo por números, vriáveis e expressões unidos pel multiplição (observe que os sinis de dição e subtrção estão dentro de prênteses n multiplição). Nesse so, voê pode nelr um, três bs, e um expressão( xy p) obtendo o resultdo: Agor, no so d frção 3 ( ) ( + ) xy p y d bz não é permitido o nelmento, pois o sinl de dição n frente do x quebr sequêni d multiplição no numerdor. Módulo ou Vlor Absoluto Apens pr motivr definição de módulo, vmos onsiderr o número e su representção n ret, ou sej, P é o ponto de oordend. Vmos indir distâni de P à origem O por. Então, temos que =. Considere gor o ponto Q que represent o número - n ret, ou sej, Q é o ponto de oordend -. Observe que su distâni à origem O tmbém é e é indid por. Então, temos que =.
De mneir gerl, se u é um número rel, distâni do ponto que o represent té origem será indido por u e denomindo de módulo ou vlor bsoluto de u. Assim, 5 = 5, 5 = 5, 0 = 0. Resumindo: u u se u 0 = u se u < 0 Um erro bstnte omum, que se omete qundo trblhmos om o módulo de um expressão, é o seguinte: x se x 0 x = (que está inorreto) x + se x < 0 esqueendo-se que n definição de módulo de u tem-se: ou sej, se u= x então Potêni Pr voê trblhr om o Cálulo, é neessário que onheç lgums regrs de potenição. 0 = 1 pr todo 0 1 x 1 = e = x 5 5 5 y y ( ) ( ) x x y = = e = = x (Voê pode utilizr ess regr pr onverter um problem, que envolve riz, em um problem mis fáil envolvendo potêni) 3 + 3 5 x y x+ y = = e =
3 Não podemos somr om porque vriável não tem mesm potêni. Voê pode somr ou subtrir termos pens qundo prte vriável de d termo é mesm. 3 3 3 x yz + 5x yz = 7x yz 7 5 x 7 5 5 7 x y ; ; 5 7 y = = = = = (qui voê subtri s potênis) ( 5 ) 5 10 e x ( ) y xy = = = (qui voê multipli s potênis) ( b) 3 b 3 3 3 e ( ) x x x x = b = b (qui voê distribui s potênis pr d um ds vriáveis) 3 3 x x e = 3 = x b b b b (qui voê distribui s potênis pr d um ds vriáveis) ( ) + b + b Neste so voê não deve distribuir potêni. Ao invés, fç o seguinte: ( ) ( )( ) + b = + b + b = + b+ b+ b = + b+ b Observe o que ontee se voê, erronemente, utilizr iguldde ( ) + b = + b om números: ( ) 4+ 3 = 7 = 49 4 + 3 = 16+ 9= 5 Rdiição Rízes, em espeil s rízes qudrds, preem o tempo todo no Cálulo. Então, sber omo els trblhm e onheer relção entre rízes e potênis é fundmentl. Qulquer riz pode ser onvertid em um potêni, omo por exemplo, 1 1 3 3 5 5 x = x, x = x, x = x.
Proprieddes 4= pois = 4 e 16= 4 pois 4 = 16 Apesr de existirem dois números ujos qudrdos vlem 16 (4 e -4) pens o número positivo é que reebe o nome de riz qudrd de 16. Ou sej, 4 é riz qudrd de 16. 4 4 6 6 x = x, x = x, x = x... e ssim por dinte Considere os seguinte problems: ) Determine um número ujo qudrdo é igul 36. b) Determine riz qudrd de 36. Espero que estej lro que se trt de dois problems distintos, om soluções distints. Enqunto o onjunto-solução do problem ) é {-6,6}, o onjunto-solução do problem b) é {6}. 3 3 5 5 x = x, x = x... e ssim por dinte 0= 0 e 1= 1 (ms isso voê já sbi, erto?) Voê não pode ter um número negtivo sobre um riz qudrd ou qulquer outr riz ujo índie é um número pr pelo menos não no onjunto dos reis. 3 3 3 n n x y = x y, x y = x y, x y = nx y 3 x x x x x x =, = 3, = n ( y 0) y 3 y n y y y y n 3 5 3 5 15 e m n mn x = x = x x = x ( ) m n m n x = x É muito omum utilizr iguldde Ms CUIDADO porque isso é FALSO, ou sej, x + y x+ y. x + y = x+ y omo se el fosse verddeir.
Simplifindo Rízes As dus últims oiss que iremos flr sobre rízes é: 1 ) Como simplifir rízes do tipo 400 ou 1600? 500 = 100 5= 100 5= 10 5 1600 = 3 3 5 5 7 esrev 1.600 omo um produto de ftores primos = 3 3 5 5 7 irule d pr de números = 3 5 7 pr d pr iruldo, oloque um número pr for d riz = 30 14 simplifique ) Por onvenção, não deixmos um riz no denomindor de um frção. no so d frção 5 fzemos o seguinte: 5 5 5 = = Logrítmos Um logritmo é pens um mneir diferente de expressr um relção exponenil entre números. Por exemplo, 3 = 9 log 9= (lê-se log n bse 3 de 9 é igul ) 3 Esss dus equções dizem extmente mesm ois, pens estão esrits de mneir diferente. 1) A bse de um logritmo log b pode ser qulquer número mior do que zero e diferente de 1( > 0 e 1). Voê onsegue explir o por que? ) Por onvenção, se bse de um logrítmo for igul 10, então voê não preis esrevê-l, ou sej, log100= signifi que log10 100=. 3) O logritmo de um número n bse e (e,7 onheid omo onstnte de Euler) é esrito ln o invés de log e, ou sej, ln 5 signifi log 5. e
Proprieddes log 1= 0 log = 1 ( ) log b = log b+ log b log log b log = log b = log b log logb b= log É muito omum onfundir log nterior só é válid no so de log b om ( log ) b. Ou sej, b. Lembre-se que propriedde 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 5 5 5 5 log 5 = log 15= 3= 3 log 5 ms log 5 = 1 = 1 3 log 5 = 3 (ess propriedde é bstnte útil qundo tiver que lulr o logritmo de um número qulquer, utilizndo um luldor) log b = b Ftorção Ftorr um expressão lgébri signifi esrevê-l n form de um produto de expressões mis simples. No Cálulo, não são rrs s vezes em que voê preisrá ser pz de ftorr expressões lgébris do tipo: 5xy+ 10yz ou x+ y+ bx+ by A seguir veremos lguns sos de ftorção, que drá voê ondições de ftorr grnde prte ds expressões lgébris om que se deprr no estudo do Cálulo. Csos de Ftorção 1) Ftor Comum A expressão lgébri 3 4 5 4 3 5x y + 10x y + 15x y z ontém o ftor omum olodo em evidêni, ou sej, podemos esrever: ( + + ) 3 5x y xy y 3x z que é form ftord d expressão dd. 3 5x y e, portnto, ele pode ser
) Agrupmento A expressão lgébri ( x y bx by) simples fzendo o seguinte: ( x y) ( bx by) + + + pode ser esrit n form de um produto de expressões mis + + + Agrupr os termos de modo que em d grupo hj um ftor omum. ( x y) b( x y) + + + Color em evidêni o ftor omum de d grupo. ( x y) ( b) + + Color o ftor omum (x + y) em evidêni. obtendo ssim, form ftord d expressão dd. 3) Diferenç de Qudrdos Sber omo ftorr diferenç de qudrdos é essenil: ( b ) ( b )( b ) Sempre que puder reesrever um expressão lgébri n form = + (*) [ ] [ ] voê pode utilizr equção (*) pr obter su form ftord. ( x) ( ) 9x 16= 3 4 Portnto, onsiderndo = 3x e b= 4n equção (*), obtemos form ftord d expressão dd, ou sej, ( ) ( ) ( )( ) 9x 16= 3x 4 = 3x+ 4 3x 4 Um diferenç de qudrdos, ( b ), qudrdos, ( +b ),NÃO pode ser ftord. pode ser ftord, ms um som de 4) Trinômio Qudrdo Perfeito ± b+b Um trinômio é qudrdo perfeito qundo: dois de seus termos são qudrdos perfeitos ( e b ). o outro termo é igul o dobro do produto ds rízes dos qudrdos perfeitos ( b ).
( ) ( ) ( ) x + 6x+ 9= x + x 3+ 3 = x+ 3 ( ) ( ) ( ) 4x 4x+ 1= x x 1+ 1 = x 1 5) Trinômio do segundo gru x + Sx+ P Devemos prourr dois números e b que tenhm som S = + b e produto P = b de mneir que: ( )( ) x + Sx+ P= x+ x+ b ( )( ) x + 5x+ 6= x+ x+ 3 ( )( ) x + x 8= x+ 4 x 6) Som e Diferenç de ubos ( 3 + b 3 ) = ( + b )( b + b ) ( 3 -b 3 ) = ( -b )( +b + b ) Trblhndo om Equções Qudrátis Um equção qudráti é um equção n inógnit x, que pode ser olod n form onde, b e são números reis, om 0. x + bx+ = 0, Voê pode resolver equções qudrátis de três modos diferentes: Modo 1: Ftorção Pr resolver equção x 5x= 6 fzemos o seguinte: x 5x 6= 0 pssmos todos os termos pr o ldo esquerdo deixndo um dos ldos igul zero ( x )( x ) 6 + 1 = 0 ftormos o primeiro membro d equção ( x ) ( x ) 6 = 0 e + 1 = 0 igulmos d ftor zero e resolvemos Então, ess equção present dus soluções: x= 6 e x= 1.
Modo : A fórmul qudráti Nesse so, solução ou soluções de um equção qudráti, qudráti: x + bx+ = 0, são dds pel fórmul b± b 4 x= Modo 3: Completndo o qudrdo Completr o qudrdo envolve rir um trinômio qudrdo perfeito que voê poderá usr pr resolver um equção qudráti. pr resolver equção proedemos d seguinte mneir: 3x = 4x+ 7, utilizndo o método de ompletr qudrdos, 3x 4x= 7 oloque os termos que ontém x e x de um ldo e onstnte do outro x 8x= 9 divid mbos os ldos pelo oefiiente de x x 8x+ 16= 9+ 16 pegue metde do oefiiente de x, eleve o qudrdo e diione o resultdo nos dois ldos d iguldde (metde de -8 é -4 e (-4) = 16) ( x 4) = 5 ftore o ldo esquerdo (observe que o ftor sempre ontém o número enontrdo no psso 3 [ -4 neste exemplo]) ( x ) 4 = 5 x 4=± 5 extri riz qudrd de mbos os ldos, lembrndo de olor o sinl de ± no ldo direito d iguldde. x= 4± 5 x= 9 ou x= 1 Resolv
Não omet os seguintes erros! 1. Confundir --x om -(-x) - -5 = 5 ms -(-5) = 5. Confundir ( ) -x om -x ( ) 3 = 9 ms - 3 = 9 3. Esrever -( +b) omo -+b ( ) ( ) x+ 1 x+ x+ 1 x+ 4. Conluir que se x< então x < Nesse so, devemos tomr bstnte uiddo, pois onlusão im só é válid se > 0. 5. Esrever ( ) x+ omo x + b b 6. Confundir om ( ) ( ) 4 16 4 4 8 5 = 5 ms 5 = 5 = 5 7. Esrever oiss omo 1 > x > 3, omo sendo equivlente x < 1 ou x > 3 resolvendo desiguldde x 1 >, obtemos omo solução: x 1< 1 ou x 1> 1 x< 0 ou x> Aí, lguém resolve dr um respost urt, e esreve 0> x>. 8. Cnelr um prel do numerdor om um do denomindor, em um frção. s simplifições seguir ESTÃO INCORRETAS:
5x+ 5x/ + = = 5 + x x/ x + 5x+ x/ + 5x+ 5x+ = = x + x+ 1 x/ + x+ 1 x+ 1 Ou sej, pr nelr lgum ois do numerdor om lgum ois do denomindor, eles devem preer omo ftores, e não omo prels.