A A ; B B ; C C. AB = A B ; AC = A C ; BC = B C.

Å ½ ¹ ÍÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Á Ë Ñ Ò ½»¼»¾¼½½ ¾½»¼»¾¼½½ ½ Ç Ó Ä Ä Ä ÄÄÄ ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ó Ù ÒØ Ü ÑÔÐÓ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ BC Ð Ó Ù lº ËÓÐÙÓº l Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓº ½

¾ Å ½ ¹ ÍÒ ¾º ÓÑ ÖØÙÖ Ó ÓÑÔ Ó Ù Ð l ÒØÖ ¹Ó Ñ ÓÒ ØÖÙ Ó ÖÙÐÓ ÒØÖÓ Ö Ó lº º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ØÖ Ö Ó B Ó Ö Ø Ð ÖÙÐÓ ÓÑ B º º ÓÑ ÖØÙÖ Ó ÓÑÔ Ó Ù Ð l ÒØÖ ¹Ó Ñ B ÓÒ ØÖÙ Ó ÖÙÐÓ ÒØÖÓ B Ö Ó lº º ÒÓØ Ò Ó ÔÓÖ C ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒØ Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ØÖ ¹ Ó ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÕÙ Ð Ø ÖÓ Ð Ó lº ÆÓ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ò Ó ÖØ ÔÖÓÔÖ ÔÖ ¹ Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÓÑ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ð Ó ÓÒ Óµº Ó Ö ÓÐÚ ¹ÐÓ Ø ÑÓ ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ó ØÓ ÕÙ Ú Ò ÐÑ ÒØ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Þ Ò Ó ÔÖÓÔÖ Ô ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ø Ú ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ó Ñ Ö Ö Ö ÕÙ Ð Ó ÓÑÓ Ù Ð Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ØÖÙ Ó ÙÑ Ú Þ ÕÙ Ö Ö ÔÓÖ Ù ÔÓ Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓº Ù Ó Ñ ÑÓØ Ú ÒÓÓ Ù Ð Ô Ö ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÓÑ Ô Ð ÓÒ ÖÙ Ò Þ ÑÓ ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÖ ÔÓ Ú Ð ÑÓÚ Ö ÙÑ Ð ÒÓ Ô Ó Ñ ÓÖÑ ¹ÐÓ Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ Ó ÓÙØÖÓº Ñ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C ÓÖ Ñ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ú Ü Ø Ö ÙÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ó Ú ÖØ ÙÑ Ó ÓÙØÖÓ ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ Ñ Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ñ Ù Ñ ÓÑÓ Ó Ñ Ó Ð Ó ÓÔÓ ØÓ Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÙÖ ½ ÑÓ ØÖ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ BC B C ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ ; B B ; C C. È Ö Ø ØÖ Ò ÙÐÓ Ø ÑÓ ÒØÓ {  =  ; B = B ; Ĉ = Ĉ B = B ; C = C ; BC = B C.

B C B ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ C ÙÖ ½ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ñ ØÓ ÕÙ ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ù ÔÖÓÔÖ ÒØ Ö ÒØ Ù Ö ½º Ë Ñ ØÖ Ø ÒØÓ Þ Þ ÖÑÓ ÕÙ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ ÖÙ ÒØ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ DEF ÕÙ ÒØÓ Þ Ö ÕÙ DEF ÓÒ ÖÙ ÒØ BC ÓÙ Ñ ÑÓ ÕÙ BC DEF Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º Á Ó ÔÓÖÕÙ ÔÙ Ö¹ ÑÓ ÑÓÚ Ö BC Ñ ÓÖÑ ¹ÐÓ Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ DEF Ò¹ ØÓ ÖØ Ñ ÒØ ÔÓ Ö ÑÓ Þ Ö Ó ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÓÒØÖ Ö Ó ÓÑ DEF Ø ÙÔ ÖÔ¹ÐÓ BCº ¾º ÌÖ Ò Ø Ú BC ÓÖ ÓÒ ÖÙ ÒØ DEF DEF ÓÖ ÓÒ ÖÙ¹ ÒØ GHI ÒØÓ BC Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ GHIº Á Ó ÔÓÖÕÙ ÔÓ ÑÓ ÑÓÚ Ö BC Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ GHI ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÖ Ñ ÖÓ ÑÓÚ ¹ ÑÓ BC Ø ÕÙ Ð Ó Ò ÓÑ DEF ÒØÓ ÑÓÚ ÑÓ DEF Ø ÕÙ Ø Ó Ò ÓÑ GHIº ÓÖ Ú ÒØ Ö Ú Ö ÑÓ BC B C Ô Ö ÒÓØ Ö ÕÙ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ ; B B ; C C. Ë Ö ÒØ Ö ÒØ ÔÓÖÑÓ Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ö Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ó ÓÙ ÒÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ì Ö Ø Ö Ó Ú Ö Ñ Ö Ó Ñ ÑÔÐ

Å ½ ¹ ÍÒ ÔÓ Ú Ñ Ð Ø Ö Ú Ö Ó ÓÒ ÖÙ Ò º Ö Ø Ö Ó Ü ¹ Ø Ñ Ó Ñ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ º ÆÓ ÕÙ Ù Ú ÑÓ ØÙ Ö Ó Ú Ö Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ú Ø Ò ÓÖÑ Ðº Ó ÔÖ Ó ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ØÖÙÓ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ù ÓÐÙÓ ÑÓØ Ú Ù ÓÖÑ Ð Þ Óº Ü ÑÔÐÓ ¾º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó BC = a C = b Ĉ = γº ËÓÐÙÓº a b γ Ö Ó Ó Ô Ó º ½º Å ÖÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ C ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ñ Ù ØÖ ÙÑ Ñ ÖÖ Ø CX ÓÖ Ñ Cº ¾º ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ó Ò ÙÐÓ Ó Ô Ö ÙÑ Ò ÙÐÓ XĈY = γ Ú ÖØ C Ø ÖÑ Ò Ò Ó Ñ ÖÖ Ø CY ÓÖ Ñ Cº º ËÓ Ö Ñ ÖÖ Ø CX B Ø ÕÙ C = b BC = aº CY Ñ ÖÕÙ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ò Ð Ò Ó Ó Ô Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ñ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÐ Ò Ó ÓÙØÖ ÔÓ Ó Ô Ö Ó Ú ÖØ C ÓÙØÖ Ö Ó Ô Ö Ó Ð Ó Ó Ò ÙÐÓ XCY ÓÒ ØÖÙÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒØ ÒÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ô ÐÓ Ó Ó Ü Ñ¹ ÔÐÓ Ó Ø Ö ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÖØ Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº Ù Ó ÑÓØ Ú ÒÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÓÒ Ó ÓÑÓ Ó Ó Ä Ä

B C B ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Ü ÓÑ º Ë Ó Ð Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó Ð Ó ÓÖ Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù Ó Ð Ó ÓÙØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó Ð Ó ÒØÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º C ÙÖ ¾ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ä Äº Ñ Ñ ÓÐÓ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ö ÒØ ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C B = B C = C  = Â Ä Ä = BC B C, ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ B B C C º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ÕÙ ÓÒ Ö ÓÖ Ó Ù ÒØ B = B, Ĉ = Ĉ BC = B C. Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó BC = a ÕÙ B = β Ĉ = γº ËÓÐÙÓº a β γ

Å ½ ¹ ÍÒ Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÌÖ ÙÑ Ö Ø r Ó Ö Ñ Ñ Ñ ÖÕÙ ÔÓÒØÓ B C Ø ÕÙ BC = aº ¾º ÓÒ ØÖÙ ÙÑ Ñ ÖÖ Ø BX Ø Ð ÕÙ C BX = βº º ÆÓ Ñ ÔÐ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ r X ÓÒ ØÖÙ Ñ ÖÖ Ø CY Ø Ð ÕÙ BĈY = γº º Å ÖÕÙ Ó ÔÓÒØÓ ÓÑÓ ÒØ Ö Ó Ñ ÖÖ Ø BX CY º ÕÙ ÒÓÚ Ñ ÒØ Ò Ð Ò Ó Ó Ô Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ñ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÐ Ò Ó ÓÙØÖ ÔÓ Ó Ô Ö Ó Ð Ó BC Ñ ÒØ Ò Ó BC = a ÓÒ ØÖÙÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓBC ÓÒØ ÒÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ô Ð Ñ ÑÔÓ Ø Ó Ò Ù¹ ÐÓ B C ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ø Ö ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº Ì ÑÓ ÒØÓ Ñ ÙÑ Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ó Ó Ä Ü ÓÑ º Ë Ó Ò ÙÐÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ð Ó ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ Ó Ò ÙÐÓ ÓÖ Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ù Ó Ò ÙÐÓ ÓÙØÖÓ ØÖ Ò¹ ÙÐÓ Ó Ð Ó ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ Ó Ò ÙÐÓ ÒØÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º C B C B ÙÖ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ä º

ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ Ñ Ñ ÓÐÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C Ø ÑÓ Â =  B = B B = B Ä = BC B C, ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ B B C C º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ñ Ñ Ú ÑÓ Ø Ö Ĉ = Ĉ, C = C e BC = B C. Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó B = c C = b BC = aº ËÓÐÙÓº a b c Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÌÖ ÙÑ Ö Ø r Ó Ö Ñ Ñ Ñ ÖÕÙ ÔÓÒØÓ B C Ø ÕÙ BC = aº ¾º ÌÖ Ó ÖÙÐÓ ÒØÖÓ B Ö Ó c ÒØÖÓ C Ö Ó bº º Å ÖÕÙ Ó ÔÓÒØÓÓÑÓ ÙÑ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ØÖ ¹ Ó ÒÓ Ø Ñ ÒØ Ö ÓÖº ÍÑ Ú Þ Ñ Ó Ô Ó ÓÒ ØÖÙÓ Ú Ò Ñ ÕÙ ÓÑ ÓÙØÖÓ ÔÓ ¹ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ó BC Ñ ÒØ Ð ÖÓ ÓÒ Ó BC = aµ Ó Ø Ö ÑÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº ÈÓ ÑÓ ÒØÓ ÒÙÒ Ö ÒÓ Ó Ø Ö ÖÓ Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ó Ó ÄÄÄ

B C B Å ½ ¹ ÍÒ Ü ÓÑ º Ë Ó ØÖ Ð Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ñ Ð ÙÑ ÓÖ Ñ Ö ¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ØÖ Ð Ó ÓÙØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÒØÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º C ÙÖ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄĺ Ñ Ñ ÓÐÓ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC B C Ø ÑÓ B = B BC = B C C = C ÄÄÄ = BC B C, ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ú ÖØ B B C C º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ñ Ñ Ø ÑÓ Â = Â, B = B e Ĉ = Ĉ. Î Ð Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ä ÄÄÄ ÓÖÖ Ñ Ó Ó Ä Ä ÒÓ Ù ÒØ ÒØ Ó Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÕÙ Ö ÔÓ Ö ÑÓ ØÖ Ó ÕÙ Ú Ð ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ Ä ÓÙ ÄÄÄ Ô Ö Ó Ñ ÑÓ ÖÖ Ø Ú Ð ÙÑ ÓÒ Ó Ó Ø ÔÓ Ä Äº ÆÓ ÒØ ÒØÓ ÓÑÓ Ø Ù ÒÓ ÑÔÐ Ö Ñ Ñ Ò Ó Ù Ø Ò Ð Ô Ö Ó ÔÖÓÔ ØÓ Ø ÒÓØ ÒÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÕÙ Ô Ö ÙÑ ÜÔÓ Ó Ö Ö ÑÓ Ó Ð ØÓÖ ½ ÓÙ ¾ º ÈÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ó Ó ÐØ ÑÓ Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ÒÓ ÓÖÓÐ Ö Ó ÒÓ ÈÖÓ Ð Ñ ½ ÍÒ ÑÓ ØÖ Ò Ó ÓÑÓ Ø Ó ÔÓ Ñ Ö ÙÞ Ó Ô ÖØ Ö Ó Ó Ä ÄÄÄ ØÙ Ó Ñ º

ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ó ½ ½º µ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ÑÓ ØÖ Ò Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ô Ö Ó ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ú Ð ÑÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ ÙÑ Ð ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ Ó ÓÙØÖÓº µ Ñ ÕÙ Ö Ñ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó Ø Ñ µ ÕÙ Ù Ø ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÖÑÓ Þ Ö Ø Ð ÑÓÚ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ µ È Ö Ó Ü ÑÔÐÓ Ó Ø Ñ µ ÑÓ ØÖ ÓÑÓ ÑÓÚ Ö Ö Ñ ÒØ ÙÑ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÒÓ Ô Ó Ø Þ ¹ÐÓ Ó Ò Ö ÓÑ Ó ÓÙØÖÓº ¾ ÔÐ ÓÐ ÓÒ ÑÓ Ò Ø Ó Ð ÙÑ ÔÐ Ø Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ØÙ Ó Ñ º Ì ÔÐ Ô Ö ÖÓ ÓÖ Ú ÒØ ÓÑ Ø ÒØ Ö ÕÙ Ò ÕÙ ÚÓ Ú ÓÖ Ö ÔÓÖ Ñ ÑÓÖ Þ ¹Ð Ó ÕÙ ÒØÓ ÒØ º Ò Ó º Ó ÙÑ Ò ÙÐÓ OB ØÖ Þ OB Ñ ÖÖ Ø OC ÕÙ Ó Ú Ñ Ó Ò ÙÐÓ Ù º Æ Ø Ó Þ ÑÓ Ò ÕÙ OC Ø OBº Ñ OC Ø OB ÔC = BÔC. Ð Ö Ñ ÒØ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ ÙÑ Ò ÙÐÓ Ó Ü Ø Ò º ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓ Ò Ò ÓÑÓ ÓÒ ØÖÙ ¹Ð º Ç Ü ÑÔÐÓ º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ØÖ Þ Ó Ò ÙÐÓ OB Ó ÜÓº ËÓÐÙÓº

½¼ Å ½ ¹ ÍÒ B O Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÒØÖ Ó ÓÑÔ Ó Ñ O ÓÑ ÙÑ Ñ Ñ ÖØÙÖ Ñ ÖÕÙ ÔÓÒØÓ X O Y OBº ¾º Ü ÙÑ ÖØÙÖ r ØÖ Ó ÖÙÐÓ Ö Ó r ÒØÖÓ X Y ÖÓ ÕÙ ÒØ Ö Ø Ñ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ Cº Ñ ÖÖ Ø OC ØÖ Þ OBº ØÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ XOC YOC ÓÒ ØÖÙ Ó Ñ Ø ÑÓ OX = OY XC = YC ÓÑÓ Ó Ð Ó OC ÓÑÙÑ Ó Ñ ÑÓ Ù Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄÄ ÕÙ XOC YOCº ÄÓ Ó XÔC = YÔC ÓÙ Ò ÔC = BÔCº Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓBC ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú BC ÓÙ Ó Ú ÖØ µ ÔÓÖÓ P ØÖ Þ Ó Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ó Ð Ó BC Ó ÔÓÒØÓ P BC Ó Ô ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú BCº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø ÑÓ Ñ BC ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó C B ÓÙ Ó Ú ÖØ B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ ÑÓ Ó ÕÙ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ º ÓÑ Ò Ò Ó Ó Ó ÄÄÄ Ä Ä ÔÓ ÑÓ ÓÒØÖÙ Ö Ø Ñ Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó ÙÑ Ñ ÒØÓ º º Ó ÔÓÒØÓ ÕÙ Ó Ú Ñ Ù Ô ÖØ Ù º Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó Ñ ÒØÓ ÔÓ Ù ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Óº Ü ÑÔÐÓ ½¼º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ñ ÒØÓ Bº ËÓÐÙÓº

ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½½ B Ö Ó Ó Ô Ó º Ü ÙÑ ÖØÙÖ r > 1 B ØÖ Ó ÖÙÐÓ Ö Ó r ÒØÖÓ 2 B ÖÓ ÕÙ ÒØ Ö Ø Ñ ÒÓ ÔÓÒØÓ X Y º Ç ÔÓÒØÓ M ÒØ Ö Ó Ö Ø Ñ Ó Bº XY ÓÑ Ó Ñ ÒØÓ B Ó ÔÓÒØÓ ØÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ XY BXY Ø ÑÓ X = BX Y = BY ÓÑÓ Ó Ð Ó XY ÓÑÙÑ Ó Ñ ÑÓ Ù Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄÄ ÕÙ XY BXY º ÈÓÖØ ÒØÓ XY = B XY ÓÙ Ò XM = B XMº ÓÖ Ø ÑÓ ÒÓ ØÖ Ò ÙÐÓ XM BXM ÕÙ X = BX XM = B XM Ñ ÓÑÓ Ó Ð Ó XM ÓÑÙÑ Ó Ñ ÑÓ Ù Ó Ó Ä Ä ÕÙ XM BXMº ÄÓ Ó M = BMº Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓBC Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ó Ð ÓBC ÓÙ Ó Ú ÖØ µ Ó Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ó Ú ÖØ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð ÓBCº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø ÑÓ Ñ BC Ñ Ò Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó C B ÓÙ Ó Ú ÖØ B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ ÑÓ Ó ÕÙ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ Ñ Ò º ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ù Ö Ø r s Þ ÑÓ ÕÙ r Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö s ÕÙ s Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r ÓÙ Ò ÕÙ r s Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ò Ó r s Ø Ú Ö Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙÑ ÓÖÑ Ö Ñ Ò ÙÐÓ 90 Ò ÔÓÒØÓº Ö Ú ÑÓ r s Ô Ö ÒÓØ Ö ÕÙ Ù Ö Ø r s Ó Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º Ç ÔÖ Ü ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÑÓ ØÖ ÓÑÓ Ù Ö Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ØÙ Ó ÒØ ¹ Ö ÓÖÑ ÒØ Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÑ Ö Ø Ô Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ Óº

½¾ Å ½ ¹ ÍÒ Ü ÑÔÐÓ ½½º Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ Ö Ø r ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÙÑ Ö Ø s Ø Ð ÕÙ r s sº ËÓÐÙÓº À Ó Ó ÓÒ Ö Ö µ r Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÓÑ Ó ÓÑÔ Ó ÒØÖ Ó Ñ Ö Ú ÙÑ ÖÓ ÖÙÐÓ ÕÙ Ò¹ Ø Ö Ø Ö Ø r Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ø ÒØÓ B Cº ¾º ÓÒ ØÖÙ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó M BC s = Mº ØÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BM CM Ø ÑÓ B = C BM = CM ÓÑÓ M Ð Ó Ñ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ù Ó Ó ÄÄÄ ÕÙ BM CM MB = MCº Å ÓÑÓ MB+ MC = 180 Ú ÑÓ Ø Ö ÒØÓ ÕÙ MB = MC = 90 ÓÙ Ò M rº µ r Ö Ó Ó Ô Ó º ½º ÓÑ Ó ÓÑÔ Ó ÒØÖ Ó Ñ Ö Ú ÙÑ Ñ ÖÙÐÓ ÕÙ ÒØ Ö Ø Ö Ø r ÒÓ ÔÓÒØÓ B Cº

ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ ¾º ÌÖ ÓÖ ÖÙÐÓ Ñ ÑÓ Ö Ó ÒØÖÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ B Ñ C Ò Ó ÙÑ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ø ÖÙÐÓ Ø ÑÓ rº ØÓ Ø ÑÓ B C ÔÓÖ ÄÄÄ ÂB = ÂCº Å ÓÑÓ ÂB + ÂC = 180 Ù ÕÙ ÂB = ÂC = 90 º Æ ÒÓØ Ó Ü ÑÔÐÓ Ñ / r ÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ö Ø s Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r ÔÓÖ Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ü rº Ç ÖÚ Ó ½¾º Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ö Ø r ÔÓ Ú Ð ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò Ö Ø s Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö r Ô Ò Ó ÔÓÖ º Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ö Ø r ÓÑ / r ØÒ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø r Ò ÓÑÓ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ñ ÒØÓ P ÓÒ P Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ü r ÙÖ µº ÒÓØ Ò Ó ÔÓÖ d ØÒ r Ø ÑÓ ÒØÓ d = P º ÈÖÓÚ Ö ÑÓ ÒÓ ÓÖÓÐ Ö Ó ¾ d P P r ÙÖ ØÒ Ó ÔÓÒØÓ Ö Ø rº ÍÒ ÕÙ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ Ó Ñ ÒØÓ P Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖÓ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ P r ÓÑ P P Ò ÒÓØ ÙÖ d < P º Ñ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó BC ÓÙ Ó Ú ÖØ µ Ó Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ Ó Ú ÖØ Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ü Ö Ø BCº Æ Ó ÒÓÑ Ò ÑÓ Ó Ô Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ñ ÕÙ ØÓ Ô ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú BCº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø ÑÓ Ñ BC ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú Ó

½ Å ½ ¹ ÍÒ Ð Ó C B ÓÙ Ó Ú ÖØ B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ ÑÓ Ó ÕÙ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ ÐØÙÖ º Ò Ð Þ ÑÓ Ó ØÙ Ò Ó Ð ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½ º Ë BC ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð BC ÒØÓ B = Ĉº ÈÖÓÚ º ÔÖÓÚ ÔÖÓÔÓ Ó Ø Ñ ÙØ Ò Ù Ø Ø Ú ÕÙ ÑÓ Ô Ö ÓÒ ØÖÙÓ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó ÙÑ Ñ ÒØÓº Ñ ØÓ Ó Ó Ú ÑÓ Ö Ô Ø ¹Ð º B M C ÙÖ BC Ð B = Ĉº Ë M Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ð Ó BC ÙÖ µº ÓÑÓ BM = CM B = C M Ð Ó ÓÑÙÑ MB MC Ù Ó Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÄÄÄ ÕÙ Ø ØÖ Ò ÙÐÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÄÓ Ó BM = ĈMº ÓÖÓÐ Ö Ó ½ º Ç Ò ÙÐÓ ÒØ ÖÒÓ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ Ó ØÓ Ó Ù º ÈÖÓÚ º Ø Ó ÖÚ Ö ÕÙ ØÓ Ó Ó Ð Ó ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÔÓ Ñ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ Ó Ñ ÑÓ ÓÒ Ö Ó ÓÑÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð º

ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ó ¾ ½º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÙÖ º C B ÙÖ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº ¾º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ñ Ò Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÙÖ º C B ÙÖ Ñ Ò ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó ÐØÙÖ Ó ØÖ Ò ÙÐÓBC ÙÖ º Ô Ó ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ú Ð Ô Ò Ø ÖÑÓ Ð ÙÒ ÓÑ Ò¹ Ø Ö Ó º Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö Ñ ØÓ Ô ÖØ Ö Ò ÕÙ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ñ Ò ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ØÓ ÑÔÖ

½ Å ½ ¹ ÍÒ C B ÙÖ ÐØÙÖ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓº ÓÒØ ÒÓ Ñ ÑÓ Ó ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ú Ö ÖÓ Ô Ö Ð¹ ØÙÖ ÓÒ ÓÖÑ ÚÓ Ô ÒÓØ Ö ÒÓ ÐØ ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÚÓ Ú Ø Ö ÒÓØ Ó ÕÙ Ò ÓÒ ØÖÙ ØÙ ÒÓ ØÖ ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ö Ö Ó ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC Ô Ö Ñ ØÓ ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓ Ó Ñ ÑÓ Ø Ò Ó ÓÓÖÖ Ó Ô Ö Ñ Ò ÐØÙÖ º Ì ÓÒÓÖÖ Ò ÒÓ Ó Ú Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÐ Ó ØÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ñ Ò ÐØÙÖ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÑÔÖ Ô Ñ ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓ Ö Ó ØÓ ÍÒ º º Ë Ñ Ó ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÑ Ö Ø r ÓÑ / rº Ç ÔÓÒØÓ ØÓ Ó Ñ ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó Ö Ø r ÕÙ Ò Ó r r Ô Ö Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ Ñ Ó Ó Ñ ÒØÓ º ÅÓ ØÖ ÓÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ÔÓÒØÓ º BF = CEº º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ B = c BC = a m a Ñ Ò Ö Ð Ø Ú º º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ò Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ B = c C = b m a Ñ Ò Ö Ð Ø Ú BCº º ÓÒ ØÖÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ò Ó Ö Ø r s ÙÔÓÖØ Ó Ð Ó B C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ h b h c ÐØÙÖ

ÓÒ ÖÙ Ò ÌÖ Ò ÙÐÓ ½ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ö Ð Ø Ú Ó Ú ÖØ B Cº º ÓÒ ØÖÙ ÓÑ Ö Ù ÓÑÔ Ó Ó ØÖ Ò ÙÐÓ BC ÓÒ Ó Ó Óѹ ÔÖ Ñ ÒØÓ B = c β a ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó BC Ñ ÓÑÓ Ñ BC = αº º Ë BC ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð BC ÔÖÓÚ ÕÙ ØÖ Þ Ñ Ò ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú BC Ó Ò Ñº ½¼º Ë Ñ BC ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ P M H Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ô ØÖ Þ ÒØ ÖÒ Ñ Ò ÐØÙÖ Ö Ð Ø Ú Ó Ð Ó BCº Ë P H ÓÙ M H Ó Ò Ö Ñ ÔÖÓÚ ÕÙ BC Ð BCº ½½º Ë Γ ÙÑ ÖÙÐÓ ÒØÖÓ O B ÙÑ ÓÖ Γº Ë M ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ö B ÔÖÓÚ ÕÙ OM B M = BM. Ð Ó Ö ½ º ĺ ź Ö Ó º ÓÑ ØÖ ÙÐ Ò ÈÐ Ò º Ë Å Ê Ó Â Ò ÖÓ ¾¼¼ º ¾ º Á ÞÞ º Ç ÙÒ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø Ð Ñ ÒØ Ö ÎÓк º ØÙ Ð ØÓÖ ËÓ È ÙÐÓ ½ ½º