ÙÐ ½¾ ¹ Å ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ô Ö È³ È Ö Ð Ð ØÓÒ ÓÒØ Ò ÓÑÓ Ú ØÓ Ñ ÙÐ ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð ÔÓ Ù Ñ ÙÑ Ô Ö Ó ÒØÖ Ó ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ò Ó ÓÑ Ò Ó Ô Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ º ÔÖ Ò Ô Ð Ø ÓÖ ÕÙ Ô Ö Ð Ó Ö Ð ÓÒ ÓÑ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ t = α 2 u Ë Ò Ó ÕÙ Ø ÕÙ Ó ÓÚ ÖÒ Ú Ö Ó ÙÑ ÔÓØ Ò Ð u Ó ÐÓÒ Ó Ó Ø ÑÔÓ Ö Ô º È Ö ÕÙ Ô Ö Ð Ô Ö Ó ÒØÖ Ó ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ò Ô Ò Ò¹ ÔÓ Ð Ø Ó Ù Ó Ñ ØÓ Ó Ñ Ö Ô Ö Ú Ð Ö ÓÐÙÓ Ô ÖØ Ö ÙÑ ÓÒ Ó Ò Ð Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Ð ÕÙ ÒÓ ÔÖ Ö ÔÖ Ú Ñ ÒØ Ò Ó ÓÙ ÔÓ ¹ ÓÒ¹ ØÖÙ Ö Ó ÓÑ Ò Ó Ö Ø Þ Ó ÓÒ ÓÖÑ Ú Ò Ò ÓÐÙÓº ½ ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ ÍÒ Ñ Ò ÓÒ Ð È Ö ÐÙ ØÖ Ö ÔÐ Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ô Ö Ö Ø Þ Ó ÕÙ Ô Ö Ð Ö ÓÒ Ö Ó ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÓÖ ÑÔÐ ¹ t = u α 2 x 2 Æ Ø Ó Ñ ÓÑÓ Ô Ö ÕÙ Ó Ä ÔÐ Ú Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ó ÓÑ Ò Ó ÓÐÙÓ Ø Ñ Ñ ÔÓ Ù Ù Ñ Ò ÑÓ Ó ÕÙ Ú Ö Ú Ð Ö Ø Þ Ö ÒØ ¹ ÓÑÓ u[i,m] = u i,m ÓÒ i Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó x m Ó Ø ÑÔÓº ÓÐÙÓ È Ò Ø Ó Ö ÓÖÑ u(x,t) ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ù ÔÖÓÜ Ñ Ó Ö Ø Ö ÓÖÑ u i,m º ½
È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø ÕÙ Ó Ò Ö Ó Ô Ö Ù ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓ Ñ x ÙÑ ÓÒ Ó Ò Ð ÒÓ Ø ÑÔÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö ÕÙ ÜØÖ Ñ x = 0 x = L Ñ Ñ ÒØ Ñ ÙÑ ÓÒ Ó Ø Ð ÕÙ u = 0 Ô Ö ØÓ Ó Ó Ø ÑÔÓº u(0,t) = 0 u(l,t) = 0 Ð Ñ Ó ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ñ ÒØ Ó Ñ ÙÑ ÓÒ Ó u = 1 Ó ÐÓÒ Ó ØÓ Ö Ó x u(x,0) = 1 ÍÑ ÔÖ Ò Ô Ö Ò Ñ Ö Ð Ó ÕÙ Ð ÔØ ÕÙ ÒÓ Ó Ô Ö Ð Ó ÓÑ Ò Ó ÓÐÙÓ ÖØÓ Ñ ÙÑ Ö ÒÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ñ Ö Ð Ó Ó Ø ÑÔÓº Á ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ÒÓ Ò Ö Ó ÓÒ Ö ÓÒ Ñ ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ Óº Æ ÙÖ Ù Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ö ÒÙÑ Ö Ó Ó Ó ÙÑ ÕÙ Ó Ô Ö Ð º Ç Ö Ò Ø Ó ÔÓ Ù N i Ð Ñ ÒØÓ Ò Ö Ó x ÓÙ Ø Ö Ó Ø ØÓØ ÐÑ ÒØ Ò º Æ Ö Ó t ÔÓ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ö Ú Ð Ò Ó Ó Ø Ñ ÓÒ ÓÖÑ ÓÖ Ò Ö Óº Æ Ø Ó ÓÑÙÑ Þ Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ m ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ Ø ÒØÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ u 2,4 Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ô Ö ÓÐÙÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ i = 2 ÒÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m = 4º Ñ Ø ÖÑÓ Ó ÓÑ Ò Ó ÓÒØ ÒÙÓ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ò ÔÓ Ó x = 2 x ÒÓ Ø ÑÔÓ t = 4 tº ¾
È Ö ÔÐ Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø Ò Ø ÕÙ Ó Ú ¹ Ö Ø Þ Ö Ö Ú Ô Ð Ñ ÓÑÓ Ö Ð Þ Ó Ô Ö ÕÙ Ó Ä ÔÐ Ö Ú Ø ÑÔÓÖ Ð ÓÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ù Ö ½º½ Ö Ø Þ Ó Ö Ú Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ð Ü Ø Ò ÙÑ Ñ Ò Ó ÔÖ Ö Ò Ð Ò È³ Ô Ö Ð Ð Ø Ù Ò Ð ÒÙÑ Ö ÔÓ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÓÐÙÓ Ñ ÙÑ Ó ÔÓÒØÓ u i,m Ø ÓÒ Ö Ö Ó Ù ÓÑ Ò Ó Ô Ò Ò º Ò Ð Ò Ó Ñ Ø ÖÑÓ Ó ØÓ Ò ÕÙ ÒÓ ÔÖ Ó Ú Ð Ö ÙÑ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m+1 ÙØÙÖÓµ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÓÐÙÓ Ñ ÙÑ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m ÔÖ ÒØ µº Ñ Ô Ö Ú Ð Ö Ö Ú ÔÖ Ñ Ö Ñ ÙÑ ÔÓ Ó i Ñ ÙÑ Ò Ú Ð m Ú ¹ ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ ÕÙ Ñ Ô Ö ØÖ ÓÖÑ ÕÙ t = u[i,m] u[i,m 1] t È Ö Ö Ø Þ Ó Ö Ú Ô Ð Ñx ÓÑÓ ÓÑ ÒØ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÒ Ö ¹ Ñ Ú Ö Ú Ò Ô Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ º Æ Ø Ó Ü Ø Ñ Ù ÔÓ Ð Ô Ö Ö Ø Þ Ó Ñ ÒØ Ö Ó Ø ÑÔÓ ÓÒ Ø ÒØ ÒÓ Ò Ú Ð m ÓÙ ÒÓ Ò Ú Ð m 1º ÙÑ ÔÓ Ð ÔÓ Ù Ù Ú ÒØ Ò Ú ÒØ Ò º Ú Ð Ó ÒÓ Ò Ú Ð m 1 ÓÒ ÓÑÓ ÓÖÑÙÐ Ó ÜÔÐ Ø ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÑ ÕÙ Ñ ÒØÖ Ð Ö ÙÐØ Ñ 2 u x = u[i 1,m 1] 2u[i,m 1]+u[i+1,m 1] 2 x 2 ÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖÑÙÐ Ó ÒÓ Ò Ú Ð m ÓÒ ÓÑÓ ÓÖÑÙÐ Ó ÑÔÐ Ø Ö ÙÐØ Ñ 2 u x = u[i 1,m] 2u[i,m]+u[i+1,m] 2 x 2 ÈÓ ¹ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ö Ú ÙÒ ÓÖ Ù Ø ØÙ ÔÓÖ ÙÑ ÙÒÓ f(t,y) ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÖÑÙÐ Ó ÜÔÐ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ó Ñ ØÓ Ó ÙÐ Ö ÜÔÐ ØÓ ÓÖÑÙÐ Ó ÑÔÐ Ø Ó Ñ ØÓ Ó ÙÐ Ö ÑÔÐ ØÓº ÔÖ Ò Ô Ð Ú ÒØ Ñ Ó Ñ ØÓ Ó ÜÔÐ ØÓ Ù Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ó ÔÓ ÔÓ ¹ Ô ÖØ Ö ÓÒ Ó Ò Ð Ò ÒÓ Ò Ú Ð m = 0 Ô Ö Ú Ð Ö ÓÖÑ ÜÔÐ Ø ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ Ò Ú Ð m = 1 ÓÒØ ÒÙ Ö ÓÑ Ø ÔÖÓ Ó Ø Ø Ò Ö Ó Ø ÑÔÓ Ò Ð Óº  ÓÖÑÙÐ Ó ÑÔÐ Ø Ö ÕÙ Ö Ö ÓÐÙÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ô Ö Ò Ú Ð Ø ÑÔÓº ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ñ ÓÑÓ Ô Ö Ó Ñ ØÓ Ó ÙÐ Ö ÓÖÑÙÐ Ó ÜÔÐ Ø ÔÓ Ù Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð
Ò Ó Ñ ÑÙ ØÓ Ó Ò Ö Ó Ó Ù Ó Ô Ó Ø ÑÔÓ ÑÙ ØÓ Ô ÕÙ ÒÓ ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ ÓÖÑÙÐ Ó ÑÔÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ø Ú Ðº Ù Ö ÖÓ ÔÖ ÒØ Ó Ñ Ø Ð Ó Ö Ù ÔÓ Ú ÓÖÑÙÐ º ¾ Å ØÓ Ó ÜÔÐ ØÓ ÍØ Ð Þ Ò Ó ÓÖÑÙÐ Ó ÜÔÐ Ø ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÔÓ Ö ÜÔÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø Þ ÓÑÓ ( ) u[i,m] u[i,m 1] u[i 1,m 1] 2u[i,m 1]+u[i+1,m 1] = α t x 2 ÓÑÓ ÔÓ Ö Ú ØÓ Ø ÕÙ Ó ÔÓ Ù ÓÑ ÒØ ÙÑ Ø ÖÑÓ Ú Ð Ó ÒÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ mº Ò Ò Ó Ó Ù ÒØ Ô ÖÑ ØÖÓ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÓÙÖ Ö ÕÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ Fo = α t x 2 u[i,m] = u[i,m 1]+Fo(u[i 1,m 1] 2u[i,m 1]+u[i+1,m 1]) Ñ Ó Ø ÖÑÓ Fo(u[i 1,m 1] 2u[i,m 1]+u[i+1,m 1]) ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑÓ ÙÑ ÓÖÖ Ó Ô Ö Ó Ú ÐÓÖ ÒÓ ÔÓÒØÓ i Ú Ó ÙÑ Ô Ñ Ø ÑÔÓ tº Ø ÓÖÑ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö ÙÑ ÒÓÚÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓmÔÓ Ñ Ö Ó Ø Ó ÓÑ ÒØ ÓÑ ÒÓ Ú ÐÓÖ Ó Ô Ó ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ Ó µ ÓÖÑ ÕÙ Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ñ ØÓ Ó Ñ Ö ÒÓ Ø ÑÔÓ ÒÓ Ò Ö Ó ÓÒÚ Ö Ö ÒÓ Ô Ó ØÙ Ð Ô Ö Ú Ò Ö Ô Ö Ó ÔÖ Ü ÑÓµº Ø ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ Ù Ö ÓÒ ÓÖÑ ÓÑ ÒØ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ó ÔÖ Ò Ô Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ ÓÖÑÙÐ Ó ÜÔÐ Ø ÙÐ Ñ Ö ÒØ Ö Ø Ð º È Ö Ò Ð Ö Ø Ð Ø ÓÖÑÙÐ Ó
ÔÓ ¹ ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ Ñ ØÓ Ó Ñ Ó Ñ ØÓ Ó ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒº Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ø Ö Ó Ø Ð ÒÓ Ö ÔÖ ÒØ ÕÙ ÔÓÖ Ö Ú ÔÓÖ Ñ ÔÓ ¹ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ø Ú Ð ÓÑ ÒØ Fo = α t x 2 < 1 2 ÓÙ Ú ¹ ÙØ Ð Þ Ö Ú ÐÓÖ x t ÕÙ Ö ÒØ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ¹ Ø º Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ Ó Ö Ø Ö Ó ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ñ ÒØ Ö Ø Ð Ó Ñ ØÓ Ó ÙÐ Ö Ø ÓÒ Ó ÒÓ Ö ÒØ ÕÙ ÔÖ Ó Ö Ø Ò Ö ÒØ Ó¹ Ñ ÒØ ÕÙ Ó ÖÖÓ ÖÖ ÓÒ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÖÓ ÑÔÐ Ó Ó ÐÓÒ Ó ÓÐÙÓº ØÓ Ö ÙÓ ÒÓ Ú ÐÓÖ x Ö ÙÑ ÒØ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÙÖ Ö ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò ÔÖ Ù Ö Ø Ð º ÈÓÖ Ñ ÓÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÔÓÖ Ö Ò Ò Ø Ñ ÙÑ ØÖÙÒ Ñ ÒØÓ Ö Ì ÝÐÓÖ Ö ÙÓ Ñ x Ö ÙÞ Ó ÖÖÓ ØÖÙÒ Ñ ÒØÓº ØÖ Ø ÕÙ Ó ØÙÑ Ö ÔÐ Ò Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ö Ó x Ø Ð ÕÙ Ó ÖÖÓ ØÖÙÒ Ñ ÒØÓ Ñ Ù ÒØ Ñ ÒØ ÜÓ ÓÑ Ò Ø Ú ÐÓÖ Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ð Ó Ô Ó Ø ÑÔÓ ÕÙ ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ ÖÓ Ô Ö Ö ÒØ Ö Ø Ð º È Ö ÐÙ ØÖ Ö ÔÐ Ó Ó Ñ ØÓ Ó ÜÔÐ ØÓ ÓÒ Ö ÙÑ Ó ÓÒ ¹ Ö ¹ ÑÓÚ Ö ÙÑ Ô ÕÙ Ñ A Ó ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ Ñ Ó ÔÓÖÓ Ó Ø Ó Ñ Ó ÜØ ÖÒÓ ÓÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÙÑ ÔÖÓ Ó ÜØÖ Ó Ð Ó¹Ð ÕÙ Ó ÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÓÑÓ ÐÙ ØÖ Ó Ò ÙÖ Ù Ö Å ÒØ Ð ÙÒ Ô Ø ÑÔÐ ÕÙ Ó ÕÙ Ö Ú ØÖ Ò Ö Ò Ñ Ô A ÔÓÖ C A t = D A 2 C A x 2
ÓÒ D A Ó Ó ÒØ Ù Ó C A ÓÒ ÒØÖ Ó Ô Aº ÓÐÙÓ Ò Ø Ó Ö ÓÖÑ C A (x,t)º ÓÑÓ ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓ Ø ÑÓ ÕÙ C A (L,t) = K p C A, = CA C A = 0 x x=0 ÓÑÓ ÓÒ Ó Ò Ð Ö ÓÒ Ö Ó ÕÙ Ó Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÑ ÓÒ ÒØÖ Ó ÓÒ¹ Ø ÒØ C A (x,0) = C A,0 È Ö Ð Ø Ö Ö ÓÐÙÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ ¹ Ò Ö ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÖÑ u = C A C A C A,0 C A ÓÖÑ ÕÙ ÕÙ Ó ÓÚ ÖÒ ÒØ ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓ ÓÒ Ó Ò Ð ÔÓ Ñ Ö Ö Ö Ø ÓÑÓ t = D 2 u A x 2 u(l,t) = 0 = 0 u(x,0) = 1 x x=0 Ö Ø Þ Ó ÕÙ Ó ÓÚ ÖÒ ÒØ ØÖ Ú Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø ÜÔÐ ØÓ Ö ÙÐØ Ñ u[i,m] = u[i,m 1]+Fo(u[i 1,m 1] 2u[i,m 1]+u[i+1,m 1]) ÓÙ Ñ ÒÓØ Ó ÓÑÔ Ø u i,m = u i,m 1 +Fo(u i 1,m 1 2u i,m 1 +u i+1,m 1 ) ÓÒ Ò Ø Ó Fo = D A t/ x 2 º ÓÑÓ Ù Ú ÙÑ ÔÖÓÔÖ Ó Ø Ñ Ø ÙÑ Ú ÐÓÖ ÜÓ ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÓÒ Óº Ñ Ò Ö Ó Ò Ö Ó Ô ÖÑ ØÖÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ x Fo ÑÓ Ó ÕÙ t ÔÓ Ö ÐÙÐ Óº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ Ö ÙÑ Ó ÓÒ L = 1mm x = 0.2 ÑÓ Ó ÕÙ N i = L/ x = 5º Ç Ú ÐÓÖ t Ú Ö Ô ÕÙ ÒÓ Ó Ù ÒØ Ô Ö Ö ÒØ Ö Ø Ð º Ç Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ð Fo < 0.5 ÔÓÖ Ñ Ö ÓÑ Ò Ú Ð ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Ö Ð Ø Ú ¹ Ñ ÒØ Ñ ÒÓÖº Æ Ø Ó Ö ÓÒ Ö Ó ÕÙ Fo < 0.25 ÑÓ Ó ÕÙ Ó Ô Ó Ø ÑÔÓ Ö t = Fo x2 D A
ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÔÓ ¹ ÓÒ Ö Ö ÕÙ ÙÑ Ú ÐÓÖ Ö ÞÓ Ú Ð Ô Ö D A 0.01mm 2 /s ÑÓ Ó ÕÙ Ù Öº t = (0.25)(0.2)2 0.01 = 1s ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ N i = 5 Ó Ö ÒÙÑ Ö Ó Ö ÓÖÑ ÓÑÓ ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ È Ö Ò Ö Ó ÔÖÓ Ó ÔÖÓÜ Ñ Ó ÓÐÙÓ ÔÓ ¹ ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ Ò Ö ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓ ÓÒ Ó Ò Ðº ÆÓÚ Ñ ÒØ ÒÓ Ú ÖØ Ó Ö Ü Ø ÙÑ Ó Ö ÔÓ Ó ÓÒ ÔÓ ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓ Ò Ñ ÕÙ u(0,t) = u(l,t) = 0 Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö t ÓÒ Ó Ò Ð Ò ÕÙ u(x,0) = 1 Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö xº Æ Ø Ó Ö ÓÒ Ö Ó ÕÙ ÓÒ Ó Ò Ð Ø Ø ÒÓ Ú ÖØ ÑÓ Ó ÕÙ Ô Ö Ó Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m = 0 ÓÒ Ó Ò Ðµ Ø ÑÓ ÕÙ u 0,0 = u 1,0 = u 2,0 = u 3,0 = u 4,0 = u 5,0 = 1 ÓÑ Ò Ø Ú ÐÓÖ ÔÓ ¹ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m = 1º ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÔÓ ¹ Ò Ö ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓº Æ ÜØÖ Ñ x = L ÓÒ Ó ÔÖ Ñ Ö Ô ÔÓ Ö ÜÔÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø ÓÑÓ u(l,t) = 0 u 5,m = 0 m 1 Ò Ó Ø ÓÒ Ó Ú Ð Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ Ð Ñ Ó Ò Ðº ÓÖÑ Ñ Ð ÒØ ÓÒ Ó ÙÒ Ô Ò ÖÓÒØ Ö x = 0 ÑÔÐ ÕÙ = 0 u 0,m = u 1,m m 1 x x=0
Ñ Ö Ø Ú Ð Ö Ó ÔÓÒØÓ ÒØ ÖÒÓ i = 1 Ø i = 4µº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ô Ö i = 1 Ø ÑÓ ÕÙ u 1,1 = u 1,0 +Fo(u 0,0 2u 1,0 +u 2,0 ) = 1+0.25(1 2+1) = 1 ÓÖÑ Ñ Ð ÒØ Ô Ö Ó Ñ ÔÓÒØÓ u 2,1 = u 2,0 +Fo(u 1,0 2u 2,0 +u 3,0 ) = 1+0.25(1 2+1) = 1 u 3,1 = u 3,0 +Fo(u 2,0 2u 3,0 +u 4,0 ) = 1+0.25(1 2+1) = 1 u 4,1 = u 4,0 +Fo(u 3,0 2u 4,0 +u 5,0 ) = 1+0.25(1 2+1) = 1 ÓÑÓ ÔÓ Ö Ú ØÓ ÓÑ ÒØ Ó ÔÓÒØÓ Ó Ó ÓÒ Ó ÓÒØÓÖÒÓ Ñ x = L Ó ÐØ Ö Óº Ê ÙÑ Ò Ó u 0,1 = u 1,1 = u 2,1 = u 3,1 = u 4,1 = 1 u 5,1 = 0 Ø Ö Ø Ö Ø ÓÑÙÑ Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ò Ò Ø ÜÔÐ ØÓº ÆÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m = 2 ÓÑ ÒØ Ó Ú ÐÓÖ Ñ i = 5 i = 4 ÖÓ Ö ÒØ Ó Ú ÐÓÖ Ò ÓÙ Ô Ö Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ ÓÑ ÒØ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ð Ø Ó Ô Ð ÓÒ Ó ÓÒØÓÖÒÓº Æ Ø Ó Ó Ú ÐÓÖ Ò Ø ÔÓÒØÓ ÖÓ u 5,2 = 0 ÑÓ Ó ÕÙ u 4,2 = u 4,1 +Fo(u 3,1 2u 4,1 +u 5,1 ) = 1+0.25(1 2+0) = 0.75 u 0,2 = u 1,2 = u 2,2 = u 3,2 = 1 u 4,2 = 0.75 u 5,1 = 0 ÓÖÑ Ñ Ð ÒØ Ô Ö Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ ÓÑ ÒØ Ó Ú ÐÓÖ Ó Ó i = 3 i = 4 i = 5 ÖÓ Ö ÒØ ÓÒ Ó Ò Ð u 5,3 = 0 Ñ u 4,3 = u 4,2 +Fo(u 3,2 2u 4,2 +u 5,2 ) = 0.75+0.25(1 2(0.75)+0) = 0.625 u 3,3 = u 3,2 +Fo(u 2,2 2u 3,2 +u 4,2 ) = 1+0.25(1 2+0.75) = 0.9375 u 0,3 = u 1,3 = u 2,3 = 1 u 3,3 = 0.9375 u 4,3 = 0.625 u 5,1 = 0
È Ö m = 4 Ó Ø Ñ¹ u 5,4 = 0 u 4,4 = u 4,3 +Fo(u 3,3 2u 4,3 +u 5,3 ) = 0.625+0.25(0.9375 2(0.625)+0) = 0.54687 u 3,4 = u 3,3 +Fo(u 2,3 2u 3,3 +u 4,3 ) = 0.9375+0.25(1 2(0.9375)+0.625) = 0.875 u 2,4 = u 2,3 +Fo(u 1,3 2u 2,3 +u 3,3 ) = 1+0.25(1 2+0.9375) = 0.9844 Ñ u 0,4 = u 1,4 = 1 u 2,4 = 0.9844 u 3,4 = 0.875 u 4,4 = 0.54687 u 5,1 = 0 ÈÓ ¹ ÓÒØ ÒÙ Ö ÓÑ Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ø Ø Ò Ö Ó Ø ÑÔÓ Ò Ð Óº Å ØÓ Ó ÁÑÔÐ ØÓ Æ ÓÖÑÙÐ Ó ÑÔÐ Ø Ö Ú Ô Ð Ú Ð ÒÓ Ñ ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ó ÔÓÒØÓ Ø Ò Ó Ú Ð Óº ÓÑ Ó ÕÙ Ó Ó ÐÓÖ ÙÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ö Ø Þ ÓÑÓ u[i,m] u[i,m 1] t ( ) u[i 1,m] 2u[i,m]+u[i+1,m] = α x 2 ÓÒ Ö Ò Ó ÒÓÚ Ñ ÒØ Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÙÖ Ö Ø ÜÔÖ Ó ÔÓ Ö Ö Ø ÓÑÓ u[i,m] = u[i,m 1]+Fo(u[i 1,m] 2u[i,m]+u[i+1,m]) Ñ Ó Ú ÐÓÖ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ö Ô Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ ÒÓ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓ ÒÓ Ø ÑÔÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ú ÐÓÖ Ú Þ Ò Ó ÒÓ Ñ ÑÓ Ô Ó Ø ÑÔÓ ÓÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÖ Ù Öº ÓÖÑÙÐ Ó ÑÔÐ Ø ÙØÓÑ Ø Ñ ÒØ Ø Ú Ð Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖ Óº
È Ö ÐÙ ØÖ Ö ÔÐ Ó Ó Ñ ØÓ Ó ÑÔÐ ØÓ Ö ÓÒ Ö Ó Ó Ñ ÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÙØ ¹ Ð Þ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ô Ö Ó Ñ ØÓ Ó ÜÔÐ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ó ÙÑ Ö ÓÑ N i = 5 Ð Ñ ÒØÓ º Æ Ø Ó ÔÓ ¹ ÙØ Ð Þ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ Fo Ñ ÓÖ ÕÙ ÒÓ Ü Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ¹ Ð º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ö ÓÒ Ö Ó Ó Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ Fo = 0.25 Ô Ö ÔÓ Ð Ø Ö ÙÑ ÓÑÔ Ö Ó Ö Ø º Ê Ð Ñ Ö Ò Ó ÕÙ Ó ÓÚ ÖÒ ÒØ ÓÒ Ó Ó t = D 2 u A x 2 u(l,t) = 0 ÕÙ Ó Ö Ø Þ ÔÓÖ = 0 u(x,0) = 1 x x=0 u i,m = u i,m 1 +Fo(u i 1,m 2u i,m +u i+1,m ) = u i,m 1 +Fo(u i 1,m +u i+1,m ) 2Fou i,m Ø Ö Ð Ó Ø Ñ Ñ ÔÓ Ö ÜÔÖ ÓÑÓ (2Fo+1)u i,m u i,m 1 Fou i 1,m Fou i+1,m = 0 ÆÓÚ Ñ ÒØ Ô Ö Ó Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ Ò Ð Ø ÑÓ ÕÙ ÓÒ Ó Ò Ð Ö ÙÐØ Ñ u 0,0 = u 1,0 = u 2,0 = u 3,0 = u 4,0 = u 5,0 = 1 È Ö Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓ Ö ÙÐØ Ñ Ñ u 5,1 = 0 u 0,1 = u 1,1 È Ö Ó ÔÓÒØÓ ÒØ ÖÒÓ Ò Ø Ó Ö Ó Ø Ó Ó Ù ÒØ Ø Ñ ÕÙ (2Fo+1)u 1,1 u 1,0 Fou 0,1 Fou 2,1 = 0 (1.25)u 1,1 0.25u 2,1 = 1 (2Fo+1)u 2,1 u 2,0 Fou 1,1 Fou 3,1 = 0 (1.5)u 2,1 0.25u 1,1 0.25u 3,1 = 1 (2Fo+1)u 3,1 u 3,0 Fou 2,1 Fou 4,1 = 0 (1.5)u 3,1 0.25u 2,1 0.25u 4,1 = 1 (2Fo+1)u 4,1 u 4,0 Fou 3,1 Fou 5,1 = 0 (1.5)u 4,1 0.25u 3,1 = 1 Ø Ø Ñ Ð Ò Ö ÔÓ Ö ÜÔÖ Ó ÓÑÓ 1.25 0.25 0 0 0.25 1.5 0.25 0 0 0.25 1.5 0.25 0 0 0.25 1.5 ½¼ u 1,1 u 2,1 u 3,1 u 4,1 1 1 = 1 1
ÓÑÓ ÔÓ Ö Ú ØÓ Ò Ø Ó Ó Ø Ñ ÙÑ Ø Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÕÙ ÔÓ Ö Ö ¹ ÓÐÚ Ó ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÑ Ó Ù Ó Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ì ÓÑ º Ê ÓÐÚ Ò Ó Ø Ø Ñ Ó Ø Ñ¹ Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ ÓÒ ÓÒØÓÖÒÓ u 0,1 = u 1,1 = 0.999 u 2,1 = 0.9949 u 3,1 = 0.9706 u 4,1 = 0.8284 u 5,1 = 0 Æ Ø Ó ÔÓ ¹ Ó ÖÚ Ö ÕÙ ÓÒ Ó ÓÒØÓÖÒÓ Ñ x = L Ø ØÓ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ó Ö º Ø Ö ÙÐØ Ó Ñ Ó Ö ÒØ ÓÑ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ó Ó Ø Ñ º Ú Ð Ò Ó Ô Ö Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m = 2µ (2Fo+1)u 1,2 u 1,1 Fou 0,2 Fou 2,2 = 0 1.25u 1,2 0.25u 2,2 = 0.999 (2Fo+1)u 2,2 u 2,1 Fou 1,2 Fou 3,2 = 0 1.5u 2,2 0.25u 1,2 0.25u 3,2 = 0.9949 (2Fo+1)u 3,2 u 3,1 Fou 2,2 Fou 4,2 = 0 0.5u 3,2 0.25u 2,2 0.25u 4,2 = 0.9706 (2Fo+1)u 4,2 u 4,1 Fou 3,2 Fou 5,2 = 0 1.5u 4,2 0.25u 3,2 = 0.8284 Æ ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð Ø Ø Ñ Ö ÙÐØ Ñ 1.25 0.25 0 0 u 1,2 0.999 0.25 1.5 0.25 0 u 2,2 0.9949 = 0 0.25 1.5 0.25 u 3,2 0.9706 0 0 0.25 1.5 0.8284 ÓÑÓ ÔÓ Ö Ú ØÓ Ñ ØÖ Þ Ó Ó ÒØ ÒÓ ÐØ Ö Ú Ò Ó ÙÑ ÑÙ Ò ÓÑ ÒØ Ò Ô ÖØ ÒÓ¹ ÓÑÓ Ò º Ê ÓÐÚ Ò Ó Ó Ø Ñ Ó Ø Ñ¹ u 4,2 u 0,2 = u 1,2 = 0.9968 u 2,2 = 0.9842 u 3,2 = 0.929 u 4,2 = 0.7071 u 5,2 = 0 Þ Ò Ó Ó Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ m = 3µ Ö Ó Ø Ó Ó Ø Ñ 1.25 0.25 0 0 0.25 1.5 0.25 0 0 0.25 1.5 0.25 0 0 0.25 1.5 u 1,3 u 2,3 u 3,3 u 4,3 0.9968 0.9842 = 0.929 0.7071 Ê ÓÐÚ Ò Ó Ó Ø Ñ u 0,3 = u 1,3 = 0.9912 u 2,3 = 0.9686 u 3,3 = 0.8839 u 4,3 = 0.6187 u 5,3 = 0 ½½
Ò ÐÑ ÒØ Ô Ö m = 4 1.25 0.25 0 0 0.25 1.5 0.25 0 0 0.25 1.5 0.25 0 0 0.25 1.5 Ê ÓÐÚ Ò Ó Ó Ø Ñ u 1,4 u 2,4 u 3,4 u 4,4 0.9912 0.9686 = 0.8839 0.6187 u 0,4 = u 1,4 = 0.9829 u 2,4 = 0.9495 u 3,4 = 0.8396 u 4,4 = 0.5524 u 5,4 = 0 ÓÑÔ Ö Ò Ó ÓÑ Ó Ú ÐÓÖ Ó Ø Ó ÓÑ Ó Ñ ØÓ Ó ÜÔÐ ØÓ Ô Ö Ó Ñ ÑÓ Ò Ú Ð Ø ÑÔÓ u 0,4 = u 1,4 = 1 u 2,4 = 0.9844 u 3,4 = 0.875 u 4,4 = 0.54687 u 5,1 = 0 ÓÑÓ Ú ØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó ÓÑ Ó Ó Ñ ØÓ Ó ØÓ Ñ ÔÖ Ü ÑÓ ÓÑ Ö Ò ÕÙ Ó Ñ ØÓ Ó ÜÔÐ ØÓ Ø Ò ÔÖÓÚÓ Ö ÙÑ Ú Ö Ó Ñ Ö Ô ÒÓ ÔÓÒØÓ ÔÖ Ü ÑÓ ÓÒ Ó ÓÒØÓÖÒÓ Ñ x = L ÙÑ Ú Ö Ó Ñ Ð ÒØ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ñ ÒØ ÖÒÓ º ÓÖÑ Ö Ð Ó Ø Ñ Ó Ø Ó Ô Ö Ò Ú Ð m Ö ÓÖÑ A u m = u m 1 ÓÒ u m = (u 1,m,u 2,m,u 3,m,u 4,m ) ½¾