Sistemas de Computação. Operações Aritméticas com Inteiros

Transcrição

1 Operações Aritméticas com Inteiros

2 Soma de números sem sinal Operandos: w bits Soma verdadeira: w+1 bits u + v u + v Descarta o vai um (carry): w bits Soma padrão Ignora o vai um (carry) Implementa aritmética modular s = UAdd w = u + v mod w UAdd w (u,v) u v u v w UAdd w u v w u v w

3 Visualizando a soma de inteiros sem sinal Soma de inteiros inteiros de -bit u, v Add Integer Addition Calcula soma verdadeira Add Valores aumentam linearmente com u e v Forma uma superfície plana u v

4 Visualizando a soma de inteiros sem sinal em C Descarta vai um, se soma real w UAdd Overflow Soma real w+1 Overflow w Soma modular u v 1

5 Soma de números em complemento a Operandos: w bits + u v Soma real: w+1 bits Descarta o vai um (carry): w bits u + v TAdd w TAdd e UAdd possuem o mesmo comportamento no nível de bits Soma com sinal vs. sem sinal em C: int s, t, u, v; s = (int) ((unsigned) u + (unsigned) v); t = u + v Terá como resultado s == t

6 Caracterizando TAdd Funcionalidade Soma real requer w+1 bits Joga fora MSB Trata bits que permanecem como inteiro compl. a Soma verdadeira w 1 w PosOver Resultado TAdd TAdd PosOver 1 1 w 1 1 > v < NegOver < u > TAdd w (u,v) 1 w u v w u v u v w NegOver u v TMin w (NegOver) TMin w u v TMax w TMax w u v (PosOver)

7 Visualizando soma em complemento a NegOver Valores comp. a com bits Valores entre -8 to +7 TAdd Descarta vai um 8 6 Se soma w 1 Se torna negativa Se soma < w 1 Se torna positiva u v PosOver

8 Detectando overflow em complemento a Tarefa Dada s = TAdd w Determine se s = Add w Exemplo int s, u, v; s = u + v; Situações de overflow u, v <, s (NegOver) u, v, s < (PosOver) ovf = (u< == v<) && (u<!= s<); w 1 w 1 - w 1 - w PosOver NegOver

9 Obtendo representação de números negativos em complemento a Para representação em complemento a ~x + 1 == -x Complemento Observação: ~x + x == == -1 + x ~x Incremento -1 ~x + x + (-x + 1) == -1 + (-x + 1) ~x + 1 == -x

10 Exemplos de representação complemento a x = 1513 Decimal Hexa Binário x B 6D ~x -151 C ~x C y C Decimal Hexa Binário ~ -1 FF FF ~+1

11 Multiplicação Cálculo do produto exato dos números (com sinal ou sem sinal) x, y com w bits Faixas de valores Sem sinal: x * y ( w 1) = w w Até w bits Valor min. compl. a : x * y ( w 1 )*( w 1 1) = w + w 1 Até w 1 bits Valor máximo compl. a : x * y ( w 1 ) = w Até w bits, mas somente para (TMin w ) Mantendo resultados exatos Precisa manter a expansão do tamanho da palavra para cada produto calculado Realizado em software por pacotes aritméticos com precisão arbitrária

12 Multiplicação sem sinal em C Operandos: w bits * u v Produto verdadeiro: *w bits u v Descarta w bits: w bits UMult w Função de multiplicação padrão Ignora w bits de mais alta ordem Implementa aritmética modular UMult w = u v mod w

13 Multiplicação com sinal vs. Sem sinal Multiplicação sem sinal unsigned ux = (unsigned) x; unsigned uy = (unsigned) y; unsigned up = ux * uy Trunca o produto para número com w bits up = UMult w (ux, uy) Aritmética modular: up = ux uy mod w Multiplicação complemento a int x, y; int p = x * y; Calcula o produto exato de dois números x, y com w bits Trunca resultado para número com w bits p = TMult w (x, y)

14 Multiplicação por potência de através de deslocamento Operação u << k fornece u * k Para números com e sem sinal Operandos: w bits * k u k 1 Produto verdadeiro: w+k bits u k Descarta k bits: w bits UMult w (u, k ) TMult w (u, k ) Exemplos u << 3 u << 5 - u << 3 == == u * 8 u * Maioria das máquinas desloca e soma mais rápido que multiplica Compilador gera o código automaticamente

15 Divisão por potência de para números sem sinal através de deslocamento Quociente da divisão de núm. sem sinal por potência de u >> k fornece u / k Utiliza deslocamento lógico Operandos: / u k k 1 Vírgula binária Divisão: u / k, Resultado: u / k Divisão Calculada Hexa Binário x B 6D x >> D B x >> B x >> B 11111

16 Divisão por potência para números com sinal através de deslocamento Quociente da divisão de número com sinal por potência de x >> k fornece x / k Utiliza deslocamento aritmético Arredonda para direção errada quando u < Operandos: / x k k 1 Vírgula binária Divisão: x / k, Resultado: Arr. p. baixo(x / k )

17 Divisão por potência de para números com sinal através de deslocamento Divisão Calculado Hexa Binário y C y >> E y >> FC y >> FF C