Universidade do Algarve. Departamento de Física. de Electromagnetismo. Compilados por. Robertus Potting, Paulo Seara de Sá e Orlando Camargo Rodríguez

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1 Universidde do Algrve Deprtmento de Físic Exercícios de Electromgnetismo Compildos por Robertus Potting, Pulo Ser de Sá e Orlndo Cmrgo Rodríguez Fro, 12 de Setembro de 2005

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3 1 Cálculo Vectoril Elementr Ao longo dest secção r represent o vector-posição: r = xe x + ye y + ze z. 1.1 Grdiente, divergênci e rotcionl Exercício 1 Clcule: ) o grdiente de r. b) divergênci de r. c) o rotcionl de r. Exercício 2 Clcule divergênci dos seguintes vectores: ) r/r. b) e x (x 2 + yz) + e y (y 2 + xz) + e z (z 2 + xy). c) r (e x y + e y z + e z x). Exercício 3 Clcule o grdiente de um função esclr Ψ, tl que Ψ(x, y, z) = Ψ(r). Exercício 4 Clcule divergênci do grdiente d função Ψ(x, y, z) = e x+y+z. Exercício 5 Clcule o rotcionl dos seguintes vectores: ) (r A) r, onde A = e x + e y + e z. b) (r A) B, onde A = e x + e y + e z e B = e x e y e z. Exercício 6 Clcule (A ) r, onde A = A(x, y, z). 1.2 Identiddes Exercício 7 Demonstre s seguintes identiddes pr quisquer funções Ψ, Φ, A e B: i. (ΨΦ) = Φ Ψ + Ψ Φ. ii. (ΨA) = Ψ A + Ψ A. iii. (ΨA) = Ψ A + Ψ A. iv. (A B) = B ( A) A ( B). v. (A B) = (B )A (A )B B( A) + A( B). Exercício 8 Clcule (r n 1 r) (sugestão: plique identidde 7.ii). Exercício 9 Clcule (Ψ(r)r) (sugestão: plique identidde 7.iii). 1

4 1.3 Aplicções sucessivs de Exercício 10 Clcule 2 Ψ(r). Exercício 11 Clcule (Ψ Ψ) (sugestão: plique identidde 7.iii). Exercício 12 Verifique s seguintes identiddes: ) Ψ = 0. b) A = 0. c) A ( A) = 1 2 (A2 ) (A )A. d) ( A) = ( A) ( )A. e) 2 (ΨΦ) = Φ 2 Ψ + Ψ 2 Φ + 2 Ψ Φ. 1.4 Grdiente, divergênci e rotcionl em coordends cilíndrics Exercício 13 Demonstre que em coordends cilíndrics (r, φ, z) e x = e r cos φ e φ sin φ e y = e r sin φ + e φ cos φ. Exercício 14 Mostre que em coordends cilíndrics onde Ψ = Ψ(r, φ, z). Exercício 15 Mostre que Ψ Ψ = e r r + e 1 Ψ φ r φ + e Ψ z z, A = 1 r onde A = A r e r + A φ e φ + A z e z. r (ra r) + 1 A φ r φ + A z z, Exercício 16 Clcule div A e rot A, onde A = re r + ze z. Exercício 17 Mostre que rot A só tem componente z se A(r, φ) = e r A r (r, φ)+e φ A φ (r, φ). 1.5 Grdiente, divergênci e rotcionl em coordends esférics Exercício 18 Demonstre que em coordends esférics (r, θ, φ) e x = e r sin θ cos φ e φ sin φ + e θ cos θ cos φ e y = e r sin θ sin φ + e φ cos φ + e θ cos θ sin φ e z = e r cos θ e θ sin θ (sugestão: projecte os versores e r, e φ e e θ sobre os versores e x, e y e e z, determine mtriz de projecção e clcule respectiv invers). 2

5 Exercício 19 Mostre que onde Ψ = Ψ(r, θ, φ). Exercício 20 Clcule grd (r n ). Exercício 21 Clcule div (r n e r ). Exercício 22 Clcule (r n ). Ψ Ψ = e r r + e 1 Ψ θ r θ + e 1 Ψ φ r sin θ φ, 1.6 Integris de volume, de superfície e de linh Exercício 23 Escrev em coordends crtesins: () O elemento de volume dv ; (b) O elemento de áre nos plnos XY, Y Z e XZ; (c) As normis correspondentes os elementos de áre, ds; (d) O elemento de comprimento, dl, o longo dos eixos X, Y e Z. Exercício 24 Demonstre que em coordends cilíndrics (r, φ, z) o elemento de volume corresponde dv = r dr dφ dz. Use dv pr demonstrr que os volumes de um cilíndro e de um cone, de rio R n bse e ltur h, correspondem respectivmente V cilíndro = π R 2 h e V cone = 1 3 π R2 h. Exercício 25 Escrev em coordends cilíndrics o elemento de áre d bse de um cilindro, cuj bse está poid n plno XY. Indique norml correspondente. Exercício 26 Escrev em coordends cilíndrics o elemento de áre d superfície lterl de um cilindro, cuj bse está poid n plno XY. Indique norml correspondente. Exercício 27 Escrev em coordends cilíndrics o elemento de comprimento, dl, o longo d coordend r e o longo do perímetro de um círculo de rio r. Exercício 28 Demonstre que em coordends esférics (r, θ, φ) o elemento de volume corresponde dv = r 2 sin θ dr dθ dφ. Use dv pr demonstrr que o volume de um esfer de rio R corresponde V = 4 3 π R3. Exercício 29 Escrev em coordends esférics o elemento de áre d superfície de um esfer e norml esse elemento de áre. Mostre que áre de um esfer de rio R corresponde 4πR 2. 3

6 Exercício 30 Clcule o integrl de volume rdv, onde V é o volume delimitdo por um esfer de rio R. Exercício 31 Clcule o integrl de superfície F ds, onde S é superfície { (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0 } V S e F = F 0 e z (F 0 = constnte). Exercício 32 Clcule o integrl de superfície 1 3 S r ds, onde S corresponde à áre do cubo unitário definido pelos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Exercício 33 A forç que ctu sobre um oscildor hrmónico em dus dimensões pode ser descrit trvés d relção F(x, y) = k (e x x + e y y), onde k é um constnte. Compre o trblho relizdo por est forç o longo dos percursos (1, 1) (4, 1) (4, 4), (1, 1) (1, 4) (4, 4) e (1, 1) (4, 4) o longo d rect x = y. Resolv este exercício usndo coordends crtesins e coordends polres. Exercício 34 Determine o trblho relizdo pelo cmpo de forç o longo do círculo unitário no plno XY : y F(x, y) = e x x 2 + y + e x 2 y x 2 + y 2 ) no sentido contrário do ponteiro do relógio de 0 π; b) no sentido do ponteiro do relógio de 0 π. 4

7 2 Electrostátic 2.1 Lei de Coulomb, cmpo e potencil electrostáticos Exercício 35 Dus crgs pontuis q 1 = 2e e q 2 = 5e encontrm-se seprds por um distânci = 2 m. Determine o ponto (ou pontos) do plno onde o cmpo electrostático e o potencil são nulos. Exercício 36 Nos vértices de um qudrdo de ldo L encontrm-se qutro crgs, Q 1 = Q 3 = + q e Q 2 = Q 4 = q ; crgs do mesmo sinl encontrm-se em vértices opostos. Clcule: ) forç que s crgs Q 1, Q 2 e Q 3 exercem sobre crg Q 4 ; b) o cmpo electrostático crido pels qutro crgs no ponto médio de um dos ldos do qudrdo; c) o potencil electrostático no mesmo ponto d líne nterior. Exercício 37 Três crgs eléctrics iguis são colocds nos vértices de um triângulo equilátero de ldo l. Clcule: ) forç de cd crg como resultdo ds intercções com s outrs; b) o cmpo electrostático no centro do triângulo; c) o potencil electrostático no centro do triângulo. Exercício 38 Dois protões estão seprdos por um distânci 2 = 4 fm, como mostr Fig.1 (os dois protões encontrm-se fixos nos pontos P 1 e P 2 ). ) Qul é direcção do cmpo electrostático em qulquer ponto do plno trcejdo indicdo n figur? b) Suponh que se substitui um dos protões por um electrão. 1 - Qul seri gor respost à líne )? 2 - Qul o vlor do potencil no plno trcejdo? Como se chm esse plno? 3 - Qul é o trblho que é necessário relizr pr deslocr um crg q de P 3 pr P 4? Exercício 39 Mostre que um cmpo electrostático E 0, uniforme num região de espço, corresponde o potencil Φ(r) = Φ(0) E 0 r. Exercício 40 Um fio, de comprimento l, está uniformemente crregdo com um crg totl q. Determine o cmpo electrostático e o potencil, num ponto P situdo o longo do eixo do fio, um distânci do seu extremo mis próximo (ver Fig.2). 5

8 P 3 +e +e P 1 P 2 P 4 Figur 1 Y l P X Figur 2 Exercício 41 Considere um fio de comprimento infinito, orientdo o longo do eixo Z e crregdo com um densidde liner de crg λ (ver Fig.3). Determine o cmpo e o potencil electrostáticos num ponto P de coordends (x, y, z). Qul é simetri do cmpo? Exercício 42 Considere um rco circulr de rio R no plno XY (ver Fig.4), definido pels coordends polres φ 1 e φ 2, e crregdo com um densidde liner de crg λ. Determine o cmpo e o potencil electrostáticos no ponto de coordends (0, 0, 0). Indique o vlor do cmpo e do potencil pr φ 1 = 0 e φ 2 = π, e pr φ 1 = 0 e φ 2 = 2π. Exercício 43 Considere um círculo de rio R no plno XY (ver Fig.5()), crregdo com um densidde liner de crg λ. Determine o cmpo e o potencil electrostáticos no ponto P com coordends (0, 0, z). Considere igulmente o cso em que metde do círculo tem um densidde de crg λ, enqunto que outr metde tem um densidde de crg λ. Exercício 44 Determine o cmpo e o potencil electrostáticos no ponto P com coordends (0, 0, z), cridos por dois círculos concêntricos de rios R 1 e R 2, loclizdos no plno XY (ver Fig.5(b)), e crregdos com densiddes lineres de crg λ 1 e λ 2, respectivmente. 6

9 z λ r (x, y, z) y Y x X Figur 3 Y λ R φ 2 φ 1 X Figur 4 Exercício 45 Considere um disco circulr de rio R no plno XY, e com densidde superficil de crg σ (ver Fig.6). Determine o cmpo e o potencil electrostáticos no ponto P de coordends (0, 0, z). Determine igulmente o cmpo de um plno infinito considerndo um disco de rio infinito, ssim como o cmpo crido por dois plnos infinitos prlelos, com densiddes de crg oposts e seprdos por um distânci d. Exercício 46 Mostre que o vlor médio do potencil dentro de um crg esféric com distribuição uniforme é Φ = 6 Q 5 4πɛ 0 R. Exercício 47 Um cilindro longo de rio R está orientdo o longo do eixo dos Z, perpendiculrmente um cmpo eléctrico uniforme E 0 = (E 0, 0, 0). A superfície do cilindro tem um crg 4πɛ 0 E 0 R por unidde de comprimento uniformemente distribuíd. ) Mostre que no ponto (2R, 0) o cmpo electrostático é nulo. 7

10 Z P Z P r R R 1 R 2 X () Y λ X (b) λ 2 λ 1 Y Figur 5 Z P R x y X dq Y Figur 6 b) Mostre que o potencil for do cilindro (negligencindo os efeitos dos extremos do cilindro) é ( )] x2 + y Φ(x, y) = E 0 [ x + 2R ln 2. R Exercício 48 A densidde d crg num átomo de hidrogénio no seu estdo fundmentl é ( ρ el = e ) ( exp 2r ), π onde r é distânci o protão e 0 o rio de Bohr. Mostre que o potencil electrostático totl é ddo por Φ(r) = e ( 1 4πɛ 0 r + 1 ) ( exp 2r ) Lei de Guss Exercício 49 Use lei de Guss pr clculr intensidde do cmpo electrostático de um fio de comprimento infinito. Exercício 50 Um superfície esféric de crg uniforme tem rio R e crg totl Q. Utilizndo lei de Guss, mostre que: 8

11 ) E = 0 no interior d superfície esféric; b) no exterior d superfície esféric o cmpo eléctrico é igul àquele crido por um crg pontul com crg Q situd no centro d esfer. Exercício 51 Utilize lei de Guss pr obter expressões pr o cmpo electrostático nos pontos dentro e for de um distribuição esféric e uniforme de crg ( crg totl é Q). Exercício 52 Um esfer de rio R 1, com crg q 0 uniformemente distribuíd, está roded por um cmd esféric de rio interior R 2 e rio exterior R 3, com crg 2q 0 tmbém uniformemente distribuíd (q 0 > 0). Utilizndo lei de Guss, obtenh expressões pr o cmpo electrostático em r < R 1, R 1 < r < R 2, R 2 < r < R 3 e r > R 3. Exercício 53 Um crg q encontr-se distribuíd no interior de um esfer sólid de rio R, de cordo com distribuição de densidde de crg volúmic: ρ(r) = C r 2, onde C é um constnte. Determine o vlor de C prtir d condição q = V ρdv. Seguidmente plique lei de Guss pr determinr o cmpo electrostático no interior e no exterior d esfer. Exercício 54 Num esfer, uniformemente crregd com densidde de crg volúmic ρ, é feit um cvidde esféric, o centro d qul se encontr à distânci d do centro d esfer (ver Fig.7). Determine o cmpo electrostático no interior d cvidde. R 2 d R 1 Figur 7 Exercício 55 Determine o potencil electrostático dentro e for de um cilindro infinito de rio R, uniformemente crregdo com densidde de crg volúmic ρ. O potencil n superfície do cilindro é Φ(R) = Φ 0. 9

12 Exercício 56 Um cilindro oco, infinitmente longo, está crregdo uniformemente. O rio interior é R e o rio exterior é 2R. ) Determine o cmpo electrostático em todo o espço. b) Sbendo que o potencil n superfície exterior do cilindro é Φ 0, determine o potencil n superfície interior. Exercício 57 Dois condutores longos, prlelos, situdos à distânci L um do outro, encontrm-se crregdos uniformemente com crg por unidde de comprimento igul q e q. Por plicção d lei de Guss pr cd um dos condutoress, determine o cmpo electrostático no ponto P, situdo à distânci H do plno que contém os dois condutores. 2.3 Energi electrostátic Exercício 58 Um núcleo tómico contém N neutrões e Z protões. Considere que o núcleo é construído dicionndo um nucleão pós outro e suponh ind que os núcleos são distribuídos uniformemente sobre um esfer de rio R. Mostre que contribuição electroestátic pr energi do sistem é 3 Z (Z 1) e 2 5 4πɛ 0 R Exercício 59 Suponh que um electrão em repouso não é pontul, ms um cmd esféric de crg com rio. Qul será o vlor de, supondo que tod mss do electrão é electrostátic n origem, de modo que energi do cmpo poss ser iguld mc 2? 2.4 Dipolos Exercício 60 Mostre que o momento do dipolo eléctrico de um distribuição de crg globlmente neutr (Q = 0) é independente d origem do sistem de coordends. Exercício 61 No interior de um cubo de rest L está distribuíd, uniformemente, um crg Q. Escolhendo origem do sistem de coordends no centro do cubo, mostre que o momento dipolr d distribuição é nulo. Exercício 62 Um distribuição de crg é dd, em coordends esférics, pel seguinte densidde volumétric: ρ 0 ρ = R 2 sin2 θ, r < R 0, r > R. Clcule os momentos monopolr e dipolr d distribuição. Exercício 63 Mostre que intensidde do cmpo eléctrico de um dipolo eléctrico é E = p cos2 θ, 4πɛ 0 r 3 onde p é o momento do dipolo, R e θ são, respectivmente, s coordends rdil e polr. O centro do dipolo está situdo n origem do sistem de coordends e orientdo n direcção θ = 0. O potencil do dipolo é Φ(r) = p r 4πɛ 0 r

13 Exercício 64 Qul energi potencil de dois dipolos p 1 e p 2 com distânci reltiv r? Exercício 65 Um molécul de águ (considerd como um dipolo eléctrico com p = 6, C.m) está à distânci de 2,5 Å de um ctião com crg +e. ) Qul é configurção em que energi potencil d molécul de águ no cmpo do ião é mínim? b) Ness configurção, forç é trctiv ou repulsiv? c) Qul é energi necessári pr inverter orientção d molécul? 2.5 Método ds imgens Exercício 66 Um crg Q está à distânci d superfície de um plc condutor infinit (ver Fig.8). ) Mostre que densidde superficil de crg é σ = Q 2π ( 2 + r 2 ) 3/2. b) Mostre que crg totl induzid n plc é igul Q. c) Mostre que forç de trcção entre crg Q e plc é igul à forç de trcção entre dus crgs Q e Q, situds à distânci 2d um d outr. Q r Figur 8 Exercício 67 Determine intensidde d forç que ctu num crg pontul Q, que se encontr situd sobre bissectriz do ângulo recto formdo por dois plnos condutores e à distânci d rest (ver Fig.9()). Exercício 68 Dus crgs +Q e Q estão à distânci um d outr e à distânci b de um plno condutor infinito (ver Fig.9(b)). Sbendo que = 2b determine intensidde d forç que ctu n crg Q. Exercício 69 Utilizndo o método ds imgens, determine forç de trcção entre um crg Q e um esfer metálic de rio R. A crg e o centro d esfer estão à distânci L e esfer está ligd à terr (ver Fig.10). 11

14 Q Q Q b θ () (b) Figur 9 Y R Q X L Figur Condutores Exercício 70 Um esfer condutor de rio é colocd num cmpo eléctrico uniforme E 0. Mostre que σ(θ) = 3ɛ 0 E 0 cos θ e que p ind = 4πɛ 0 3 E A equção de Lplce Exercício 71 Utilizndo coordends cilíndrics, (r, φ, z), verifique quis dos seguintes cmpos potenciis são soluções d equção de Lplce: ) Φ = ln r ; b) Φ = r 2 tn φ ; c) Φ = r cos φ ; d) Φ = ln r/z ; e) Φ = (cos φ) /r. Exercício 72 Um fio condutor longo de rio, com crg por unidde de comprimento igul λ, é colocdo o longo do eixo Z num cmpo eléctrico uniforme E = E 0 e x. Mostre que o potencil resultnte é Φ(r, φ, z) = E 0 ( ) r 2 r cos φ 12 λ 2πɛ 0 ln r + constnte (r ).

15 2.8 Condensdores Exercício 73 Um fio, de rio e crg Q, é colocdo o longo do eixo de um condutor cilíndrico oco, de rio interior b e rio exterior c, ligdo à terr. Negligencindo os efeitos de fronteir, determine cpcidde do sistem. Exercício 74 Dois fios condutores infinitos, de rio, encontrm-se à distânci d um do outro. A crg por unidde de comprimento de um fio é Q, no outro é Q. Sbendo que d, obtenh um expressão proximd pr cpcidde do sistem. 13

16 3 Mgnetostátic 3.1 Densidde de corrente e cmpo mgnético Exercício 75 A densidde de portdores de crg no cobre corresponde 8, m 3. Um fio de cobre, com um diâmetro de 1 mm, trnsport um corrente de 10 A. Determine velocidde médi dos portdores de crg. Exercício 76 Suponh que entre dus plcs condutors com espessur, colocds prlelmente o plno XY, um entre z = 0 e z =, outr entre z = e z = +, existe um cmpo mgnético uniforme e constnte (B 0, 0, 0). Dentro ds plcs o cmpo vri linermente: ( ) zb0, 0, 0 se 0 < z < B = ( B 0 (z ) B ). 0, 0, 0 se < z < + For ds plcs (z < 0 e z > + ) o cmpo é nulo. Qul distribuição de corrente que produz tl cmpo? 3.2 Proprieddes do cmpo mgnético Exercício 77 Mostre que um cmpo mgnético rdil, B(r) = B(r)e r, não pode existir. Exercício 78 Um cmpo mgnético B (r) é desprezável grndes distâncis. Determine um potencil vector A(r), tl que A z (r) = 0 (guge xil). Exercício 79 Determine um potencil vector A(r) tl que B = A = B 0 e z, onde B 0 é constnte. 3.3 Forç de Lorentz Exercício 80 Um electrão tem um velocidde inicil perpendiculr um cmpo mgnético uniforme B = (0, 0, B). Mostre que o electrão se move em círculos com um frequênci ngulr ω c = eb/m. Mostre tmbém que trjectóri do electrão é helicoidl, no cso de um orientção rbitrári d velocidde inicil em relção o cmpo mgnético uniforme. Exercício 81 Um prtícul com crg e e mss m move-se num região com um cmpo eléctrico uniforme E = (E, 0, 0) e um cmpo mgnético B = (0, 0, B). Qul trjectóri d prtícul? Exercício 82 A equção do movimento pr um crg que se move num cmpo electromgnético estável é m dv = Q (E + v B). dt Mostre que equção d energi se escreve sendo Φ(r) o potencil electrostático. 1 2 mv2 + QΦ = constnte, 14

17 3.4 Lei de Biot-Svrt Exercício 83 Considere um fio condutor de comprimento infinito, orientdo o longo do eixo Z, e percorrido no sentido positivo do eixo por um corrente I (ver Fig.11). Determine o cmpo mgnético num ponto P de coordends (x, y, z). Com bse n solução obtid indique qul é o vlor do cmpo no ponto de coordends (0, 0, z). z I r (x, y, z) y Y x X Figur 11 Exercício 84 Dois fios infinitos prlelos estão seprdos por um distânci (ver Fig.12). Determine o cmpo mgnético entre os dois condutores qundo eles são percorridos por correntes no mesmo sentido (Fig.12.) ou em sentidos opostos (Fig.12.b). I I I I () (b) Figur 12 Exercício 85 Usndo lei de Biot-Svrt, determine o cmpo mgnético (intensidde e direcção) crido por um lço circulr de rio R, percorrido por um corrente I, 15

18 ) no centro do lço; b) no ponto P com coordends (0, 0, z) (ver Fig.13). Z P r I R I X Y Figur 13 Exercício 86 Um bobin cilíndric é compost por fios circulres de rio, cd um trvessdo por um corrente I, hvendo n fios por unidde de comprimento (ver Fig.14). Mostre que o módulo do cmpo mgnético no eixo d bobin é B = 1 2 niµ 0 (sin θ 2 sin θ 1 ), com os ângulos θ 1 e θ 2 indicdos n figur. Qul o vlor de B no limite qundo o comprimento d bobin tende pr infinito? θ 1 θ 2 z 0 z 1 z 2 Z Figur 14 16

19 Exercício 87 Dois lços de rio, com os centros sobre o eixo dos Z e contidos em plnos prlelos o plno XY, estão situdos à distânci (ver Fig.15). Sbendo que os lços são percorridos por correntes com mesm intensidde I e o mesmo sentido, mostre que o cmpo mgnético é proximdmente constnte n região entre os lços. Z I /2 I X /2 Y Figur 15 Exercício 88 Um condutor é enroldo em torno de um esfer de mdeir de rio R, de tl modo que s espirs descrevem círculos máximos que se intersectm nos extremos do diâmetro AB (ver Fig.16). O número de espirs é 6, e os plnos que s contêm formm ângulos de 30 entre si. O condutor é percorrido por um corrente de intensidde I. Determine intensidde do cmpo mgnético no centro d esfer. Exercício 89 Um condutor fino é enroldo em torno de um esfer isoldor de rio R, de tl modo que N espirs cobrem metde d esfer, ficndo prlels e igulmente espçds entre si (ver Fig.16). Sbendo que o condutor é percorrido pel corrente I, determine intensidde do cmpo mgnético no centro d esfer. Sugestão: Pr vlores grndes de N, s espirs podem ser considerds, num bo proximção, como tendo form de néis. 3.5 Lei de Ampère Exercício 90 Um condutor cilíndrico, de comprimento infinito e de rio R, é percorrido por um corrente eléctric I. Sbendo que densidde de corrente eléctric é uniforme no condutor, determine o cmpo mgnético dentro e for deste condutor. Exercício 91 Um cbo coxil consiste num condutor cilíndrico de rio, envolto num outro cilindro condutor de rio interno b 1 e de rio externo b 2. O espço entre os 2 condutores é preenchido por um mteril isolnte. Um corrente de intensidde I flui trvés do condutor interior e retorn pelo condutor exterior. Use lei de Ampère pr determinr o cmpo mgnético nos condutores e n região entre eles. Assum que densidde de corrente é constnte. 17

20 A R I B () 1 2 (b)... N N-1 Figur 16 Exercício 92 Um condutor cilíndrico infinito, percorrido por um corrente eléctric I, é constituído por dois cilindros coxiis: um cilindro centrl de rio r 1, com resistividde ρ 1, e outro cilindro oco de rio interior r 1 e rio exterior r 2, com resistividde ρ 2 (ver Fig.17). ) Mostre que que o cilindro interior é percorrido pel corrente ρ 2 r1 2 I 1 = I ρ 1 (r2 2 r1) 2 + ρ 2 r1 2, e o cilindro exterior é percorrido pel corrente ρ 1 r1 2 (r2 2 r 2 I 2 = I 1) ρ 1 (r2 2 r1) 2 + ρ 2 r1 2. b) Determine o cmpo mgnético pr r r 1, r 1 r r 2 e r r 2. r 2 r 1 ρ 2 ρ 1 Figur 17 18

21 3.6 Dipolos mgnéticos Exercício 93 Mostre que o cmpo mgnético B(r) ssocido o momento mgnético m é ddo pel expressão B(r) = µ [ ] 0 3 (m r) r m. 4πr 3 r 2 19

22 4 Cmpos dependentes do tempo Exercício 94 Considere um lço plno com áre S, rodndo num cmpo mgnético uniforme B em volt de um eixo no plno com velocidde ngulr ω, perpendiculr B. Supondo que no instnte t = 0 o plno que contém o lço é perpendiculr B, mostre que o fluxo mgnético trvés do lço é BS cos(ωt) e que f.e.m. é BSω sin(ωt). Exercício 95 Um esfer de rio 1 cm emite electrões por segundo, de tl modo que densidde de corrente for d esfer é rdil e tem simetri esféric. ) Há cmpo mgnético? b) Como é que equção de Mxwell que contém o termo é stisfeit neste cso? Exercício 96 Um cmpo mgnético dependente do tempo, B = B(r, t)e z, tem simetri cilíndric em relção o eixo Z. Mostre que o cmpo eléctrico é ddo por onde F (r, t) é o fluxo mgnético. E = 1 df 2πr dt e φ, Exercício 97 Considere o cbo coxil do Exercício 91. ) Mostre que energi mgnétic por unidde de comprimento n região entre os condutores é µ 0 I 2 ( ) 4π ln b1. b) Se b 1 e b 2 b 1 b 1, mostre que indutânci própri por unidde de comprimento é, proximdmente ( ) µ 0 2π ln b1. Exercício 98 Dois solenóides longos, com rios e b ( < b), têm cd um n espirs por unidde de comprimento. Um prte (com comprimento L) do solenóide mis fino é introduzid dentro do outro solenóide. Mostre que indutânci mútu é proximdmente L 12 = µ 0 n 2 π 2 L. Exercício 99 Mostre que indutânci mútu entre dois lços circulres concêntricos, de rios R 1 e R 2, é proximdmente R 2 µ 0 π 1R2 2 2 (R 2 R 1 ) 3. 20

23 5 Proprieddes eléctrics d mtéri Exercício 100 Encontre relção entre os ângulos com norml pr um cmpo eléctrico que pss pel superficie entre dois dieléctricos com permitividdes reltivs ε 1 e ε 2, respectivmente. Exercício 101 Um filme de meio dieléctrico condutor (ε r = 3,25, σ = Ω 1 m 1 ), com espessur de 25µm, é envolvido entre dois filmes de lumínio de lrgur 1 cm e comprimento 1 m. Qul cpcidde do condensdor ssim constituído? Qul resistênci entre os filmes de lumínio? Qunto electrões pssm entre os filmes de lumínio se diferenç de potencil for 1 V? Exercício 102 Um condensdor de plcs prlels está semi-preenchido com um líquido isolnte cuj constnte dieléctric é ε r. Se V h e V v são s diferençs de potencil entre s plcs qundo els estão n horizontl e n verticl, respectivmente, mostre que V h = (1 + ε r) 2. V v 4ε r Exercício 103 Considere dois condensdores plnos, contendo dois dieléctricos entre s sus plcs, tl como se mostr n figur Fig.18(). A superfície e espessur dos condensdores são, respectivmente, S e d; s constntes dieléctrics são ε 1 e ε 2. Qul dos dois condensdores, A e B, tem mior cpcidde? Exercício 104 O espço entre s plcs de um condensdor plno é preenchido com um mteril dieléctrico cuj permitividde reltiv é dd por ε r = 1 ( ε 1 + (ε 2 ε 1 ) x ) ε 0 D (ver Fig.18(b).) As plcs do condensdor, de áre S, estão crregds com s crgs Q e Q, e encontrm-se à distânci d um d outr. Clculr cpcidde do condensdor. X -Q ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 D Condensdor A () Condensdor B +Q (b) Figur 18 Exercício 105 Considere um condensdor de plcs prlels qudrds de ldo L, cuj distânci entre plcs é d L. Um dieléctrico tmbém de ldo L e espessur ligeirmente inferior d é inserido no condensdor té um distânci b d. Se o condensdor está 21

24 isoldo e contém um crg Q, mostre que energi eléctric é proximdmente dd por Q 2 d 2ε 0 L 2 + (ε r 1) bl. Qul forç exercid sobre o dieléctrico? Exercício 106 Um plc isoldor com constnte dieléctric ε e espessur L 2 é introduzid num condensdor, cujs plcs se encontrm à distânci L 1 + L 2 um d outr (ver Fig.19). A superfície d plc isoldor e ds plcs do condensdor é S. A diferenç de potencil entre s plcs do condensdor é V. Determine forç de trcção entre s plcs do condensdor. Figur 19 22

25 6 Constntes físics Significdo Símbolo Vlor Uniddes Acelerção d grvidde g 9,80665 m/s 2 Constnte grvític G, γ 6, m 3 /(kg s 2 ) Velocidde d luz no vácuo c 2, m/s Crg elementr e 1, C Constnte de Coulomb K N m 2 /C 2 (4πε 0 ) 1 8, N m 2 /C 2 Constnte eléctric ε 0 8, F/m Constnte mgnétic µ 0 12, H/m Constnte d estructur fin α = e 2 /2hcε 0 1/137 Constnte de Plnck h 6, J s Constnte de Dirc h = h/2π 1, J s Mgnetão de Bohr µ B = e h/2m e 9, Am 2 Ráio de Bohr 0 0, Å Constnte de Rydberg Ry 13,595 ev Mgnetão nucler µ N 5, J/T Momento mgnético µ e 9, A m 2 do electrão Momento mgnético µ p 1, A m 2 do protão c.d.o de Compton λ Ce = h/ (m e c) 2, m c.d.o de Compton λ Cp = h/ (m p c) 1, m pr o protão c.d.o de Compton λ Cn = h/ (m n c) 1, m pr o neutrão Rio do electrão r e 2, m Mss do electrão m e 9, kg Mss do protão m p 1, kg Mss do neutrão m n 1, kg u.m.. m u = 1 12 m(12 6C) 1, kg c.d.o = comprimento de ond u.m. = unidde de mss tómic, ou unidde elementr de mss 23

26 7 Apêndice Mtemático 7.1 Alfbeto grego A α lf N ν niu B β bet Ξ ξ csi Γ γ gm O o omicron δ delt Π π, ϖ pi E ɛ, ε epsilon P ρ, ϱ ró Z ζ zet Σ σ, ς sigm H η et T τ tu Θ θ, ϑ tet Υ υ upsilon I ι iot Φ φ, ϕ fi K κ kp X χ qui Λ λ lmbd Ψ ψ, ϕ psi M µ miu Ω ω omeg 7.2 Mudnçs de Sistems de Coordends 1. De coordends crtesins (x, y, z) pr coordends cilíndrics (r, φ, z): r = x 2 + y 2, tn φ = y/x. 2. De coordends cilíndrics (r, φ, z) pr coordends crtesins (x, y, z): x = r cos φ, y = r sin φ. 3. De coordends crtesins (x, y, z) pr coordends esférics (r, θ, φ): r = x 2 + y 2 + z 2, tn θ = x2 + y 2 /z ou cos θ = z/, tn φ = y/x. x 2 + y 2 + z 2 4. De coordends esférics (r, θ, φ) pr coordends crtesins (x, y, z): x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ. 24

27 8 Sistems de coordends Z e z (x, y, z) e y e x z x Y y X Coordends crtesins (x, y, z) Z Z θ e z (r, φ, z) (r, θ, φ) r e r e r r z Y e θ Y X φ e φ φ X Coordends cilíndrics Coordends esférics (r, φ, z) (r, θ, φ) e φ 25

28 9 Limites notáveis 1. lim x 0 ln (1 + x) x = Séries N i = i=1 N (N + 1) 2, N i 2 = i=1 N (N + 1) (2N + 1) 6, N i 3 = N 2 (N + 1) 2 i=1 4 N i m = 1 { N (N + 1) m+1 [ 1 (i + 1) m 1 i m+1 (m + 1) i m]}. i=1 m + 1 i=1, 11 Integris indefinids 1. dx (x ) = x 3/2 2 x C 2. 2 x (x ) dx = 1 3/2 x2 + + C 2 3. dx x2 + 2 = ln ( x + x ) + C 26

29 12 Grdiente, divergênci e rotcionl 1. Em coordends crtesins: Ψ grd Ψ Ψ = e x x + e Ψ y y + e Ψ z z, (1) diva A = A x x + A y y + A z z, (2) e x e y e z rota A =, (3) x y z A x A y A z onde Ψ = Ψ(x, y, z) e A(x, y, z) = A x (x, y, z)e x + A y (x, y, z)e y + A z (x, y, z)e z. 2. Em coordends cilíndrics: Ψ Ψ = e r r + e 1 Ψ φ r φ + e Ψ z z, (4) A = 1 r r (ra r) + 1 A φ r φ + A z z, (5) e r re φ e z A = 1, (6) r r φ z A r ra φ A z onde Ψ = Ψ(r, φ, z) e A(r, φ, z) = A r (r, φ, z)e r + A φ (r, φ, z)e φ + A z (r, φ, z)e z. 3. Em coordends esférics: A = Ψ Ψ = e r r + e 1 Ψ θ r θ + e 1 Ψ φ r sin θ φ, (7) [ 1 ( ) r 2 sin θa r 2 r + sin θ r θ (r sin θa θ) + ] φ (ra φ) e r re θ r sin θe φ A = 1 r 2 sin θ, (8), (9) r θ φ A r ra θ r sin θa φ onde Ψ = Ψ(r, θ, φ) e A(r, θ, φ) = A r (r, θ, φ)e r + A θ (r, θ, φ)e θ + A φ (r, θ, φ)e φ. 27

30 13 O Lplcino Pr funções esclres Ψ: div grd Ψ Ψ = Ψ = 2 Ψ. (10) 1. Em coordends crtesins (Ψ = Ψ(x, y, z)): 2. Em coordends cilíndrics (Ψ = Ψ(r, φ, z)): Ψ = 1 r 3. Em coordends esférics (Ψ = Ψ(r, θ, φ)): Pr funções vectoriis A: Ψ = 1 ( r 2 Ψ ) + 1 r 2 r r r 2 sin θ Ψ = 2 Ψ x Ψ y Ψ z 2. (11) ( r Ψ ) Ψ r r r 2 φ + 2 Ψ 2 z. (12) 2 ( sin θ Ψ ) + θ θ 1 2 Ψ r 2 sin 2 θ φ. (13) 2 A = grd div A rot rot A = ( A) ( A). (14) 14 O teorem de Stokes S ( A) ds = L A dl, onde L corresponde à fronteir d áre S, ds represent norml à superfície S e dl é o vector de deslocmento elementr o longo d curv fechd L. A direcção de dl deve estr relciond com direcção de ds pel regr d mão direit. 15 O teorem d divergênci V ( A) dv = S A ds, onde S corresponde à áre exterior do volume V. A norml à superfície, ds, dever estr orientd pr o exterior d superfície fechd S. 28