Transformada de Fourier

Transcrição

1 Cpítulo 8 Trnsformd de Fourier 8. A Integrl de Fourier Se f : R R é um função periódic de período L, suve por prtes, então f(x = + n= ( n cos nπx L + b n sen nπx L (8. nos pontos de continuidde de f, com n = L b n = L L L L L f(t cos nπt dt, L n, f(t sen nπt dt, L n. (8. Se f não é um função periódic, então el não pode ser representd por um série de Fourier. Podemos, no entnto, representr f por um integrl de Fourier, se f for pelo menos suve por prtes e stisfizer lém disso condição f(x dx <, ou sej, se f for bsolutmente integrável. Neste cso, podemos escrever f(x = pr todo x R que sej um ponto de continuidde de f, com (A(ω cos xω + B(ω sen xω dω (8.3 A(ω = π B(ω = π f(t cos ωt dt, ω, f(t sen ωt dt, ω. (8.4 Mis precismente, Teorem. Sej f : R R um função suve por prtes, bsolutmente integrável. Então f tem um representção por integrl de Fourier que converge pr f(x nos pontos de continuidde de f e pr médi dos limites lteris nos pontos de descontinuidde de f.

2 Trnsformd de Fourier Est representção integrl pr f pode ser motivdo d seguinte form: restrinj f o intervlo fechdo [ L, L] e estend el periodicmente for deste intervlo. Então, no intervlo [ L, L], f tem representção em série de Fourier dd em (8. com os coeficientes ddos em (8.. Fzendo L, como função f é integrável em R, segue que necessrimente. Além disso, integrbilidde de f tmbém implic que integrl de f em R pode ser proximd pel integrl de f no intervlo [ L, L], desde que L sej suficientemente grnde. Assim, temos que os coeficientes n e b n podem ser proximdos por Logo, f(x n L b n L n= f(t cos nπt L dt = π L A ( nπ L f(t sen nπt L dt = π L B ( nπ L,. [ ( nπ A cos nπx ( nπ L L + B sen nπx ] π L L L. Ms, se denotrmos ω n = nπ/l e ω = π/l, o que equivle fzer um prtição do intervlo [, em subintervlos de comprimento ω, reconhecemos um som de Riemnn: f(x [A(ω n cos ω n x + B(ω n sen ω n x] ω. n= Fzendo L, o que corresponde fzer norm d prtição ω, est som de Riemnn converge pr integrl de Fourier de f. Exemplo. Obtenh representção integrl de Fourier d função se x, f(x = se x >. Temos A( = π A(ω = π B(ω = π f(t dt = π f(t cos ωt dt = π f(t sen ωt dt = π dt = π, cos ωt dt = sen ωt dt = sen ωt πω cos ωt πω = π =. sen ω ω, Observe que lim A(ω = A( (ou sej, obtivemos neste cso função A(ω contínu e função B é ω função identicmente nul, o que er de se esperr, porque f é um função pr. Logo f(x = π sen ω ω cos xω dω. Em prticulr, segue do teorem d integrl de Fourier que sen ω π/ se x <, cos xω dω = π/4 se x =, ω se x >, e, escolhendo x =, obtemos o vlor d integrl de Dirichlet sen ω ω dω = π.

3 Rodney Josué Biezuner 3 Como vemos no exemplo cim, qundo um função é pr ou ímpr, su integrl de Fourier é mis simples (d mesm form e pelo mesmo motivo que série de Fourier de um função periódic pr ou ímpr é mis simples: Se f é pr, então B(ω e integrl de Fourier de f é dd simplesmente por f(x = tmbém chmd integrl de Fourier cosseno de f. A(ω cos xω dω, Se f é ímpr, então A(ω e integrl de Fourier de f é dd simplesmente por f(x = tmbém chmd integrl de Fourier seno de f. 8.. Exercícios B(ω sen xω dω,. Encontre representção integrl de Fourier ds funções dds (em todos os csos, >. se < x <, x se < x <, f(x = h f(x = cso contrário. cso contrário. b f(x = c f(x = se < x <, cso contrário. se < x <, se < x <, cso contrário. se < x <, d f(x = se < x <, cso contrário. e f(x = f f(x = g f(x = x se < x <, cso contrário. cos x se π < x < π, cso contrário. sen x se < x < π, cso contrário. i f(x = j f(x = k f(x = l f(x = e x. m f(x = e x. x se < x <, cso contrário. x se < x <, cso contrário. x se < x <, cso contrário. x se < x <, n f(x = x se < x <, cso contrário.. ( Use o Exemplo pr mostrr que sen ω cos ω ω (b Use integrção por prtes e o item nterior pr obter dω = π 4. sen ω ω dω = π.

4 4 Trnsformd de Fourier (c Use identidde trigonométric sen ω + cos ω = e o item nterior pr obter sen 4 ω ω dω = π 4. (Sugestão: sen ω = sen 4 ω + sen ω cos ω = sen 4 ω + 4 sen ω. 3. Usndo representção integrl de Fourier, prove que s seguintes integris imprópris têm os vlores especificdos bixo. b c d cos xω + w sen xω + ω dω = cos πω ω sen xω dω = cos xω + ω dω = π e x se x >. cos πw cos xω ω dω = se x <, π/ se x =, πe x se x >. π/ se < x < π, se x > π. π cos x se x < π, se x > π. e f π sen πω sen xω sen x se x π, ω dω = se x > π. ω 3 sen xω ω dω = π e x cos x se x >. 8. A Trnsformd de Fourier 8.. Definição Recordmos fórmul de Euler: e iθ = cos θ + i sen θ. Del segue que cos θ = eiθ + e iθ e sen θ = eiθ e iθ. i

5 Rodney Josué Biezuner 5 Vmos escrever integrl de Fourier n form complex. Temos f(x = = π = π = = = = (A(ω cos xω + B(ω sen xω dω f(t(cos ωt cos xω + sen ωt sen xω dtdω f(t cos ω(x t dtdω f(t(e iω(x t + e iω(x t dtdω f(te iω(x t dtdω + f(te iω(x t dtdω + f(te iω(x t dtdω. f(te iω(x t dtdω f(te iω(x t dtdω onde no último psso fizemos mudnç de vriável ω. Portnto, form complex d integrl de Fourier é f(x = f(te iω(x t dtdω. (8.5 Por su vez, form complex d integrl de Fourier pode ser escrit como f(x = [ ] f(te iωt dt e iωx dω. Defin função f : R C por f(ω = f(te iωt dt. (8.6 Observe que pesr d função f ser um função definid n ret (isto é, um função de um vriável rel tomndo vlores reis, em gerl função f é um função definid n ret tomndo vlores complexos. De fto, função f pode ser escrit mis explicitmente, usndo fórmul de Euler, n form f(ω = ( f(t cos ωt dt i f(t sen ωt dt. A prte complex de f será nul e portnto f será um função rel se e somente se integrl f(t sen ωt =. Isso ocorrerá se e somente se função f for pr. Portnto, no estudo d trnsformd de Fourier é inevitável o precimento de funções de R em C, já que miori ds funções não são pres. Diremos que um função de R em C é bsolutmente integrável se s sus prtes rel e imginári (que são funções de de R em R forem bsolutmente integráveis. O espço de tis funções será denotdo por L (R, C. N notção cim, temos que f(x = f(ωe iωx dω. (8.7 Isso nos lev à seguinte definição. Definimos trnsformd de Fourier de f, como sendo função F que ssoci cd função bsolutmente integrável f : R R função f : R C definid pel expressão

6 6 Trnsformd de Fourier (8.6; su invers, chmd trnsformd de Fourier invers, é função F que ssoci cd função f : R C que pertenç o conjunto imgem de F função bsolutmente integrável f : R R definid pel expressão (8.7. Assim, se f é contínu, Isso é um conseqüênci imedit ds definições cim: F (F(f(x = = F (F(f = f. (8.8 F(f(ωe iωx dω = f(te iω(x t dtdω = f(x. [ ] f(te iωt dt e iωx dω Exemplo. A trnsformd de Fourier de um função bsolutmente integrável, pesr de ser um função contínu, não é em gerl um função bsolutmente integrável. O contr-exemplo clássico é função pulso se x, f(x = se x >. De fto, clculndo trnsformd de Fourier de f, obtemos f(ω = f(te iωt dt = e iωt dt = e iωt iω = iω ( e iω e iω = iω (cos ω i sen ω cos ω i sen ω = i sen ω = sen ω. iω ω Segue que trnsformd de Fourier de f é função sen ω f(ω = π ω, que não é um função bsolutmente integrável, como pode ser verificdo. Observe porém que descontinuidde d função pulso foi suvizd pel su trnsformd de Fourier, já que f é um função contínu. Com efeito, f( = f(te iω dt = dx = = π e portnto lim ω f(ω = f(. Isso não foi um cidente e é sempre verdde. Teorem. Se f : R R é um função bsolutmente integrável, então su trnsformd de Fourier f : R C é um função contínu e limitd. Se, lém disso, f for bsolutmente integrável, então f é contínu. A trnsformd de Fourier d função pulso no Exemplo é um função rel porque el é um função pr. Em gerl, trnsformd de Fourier de um função rel é um função complex, como no próximo exemplo. Exemplo 3. Encontre trnsformd de Fourier d função e x se x >, f(x = se x.

7 Rodney Josué Biezuner 7 Temos f(ω = f(te iωt dt = e t iωt dt = e (+iωt dt = e (+iωt. ( + iω Como e iωt =, segue que lim e (+iωt = lim e t e iωt = lim e t =, t x t logo f(ω = iω = ( + iω ( + ω. 8.. Proprieddes Opercionis A trnsformd de Fourier se comport muito bem com relção váris ds operções comumente efetuds em funções: combinções lineres, trnslção, diltção, diferencição, multiplicção por polinômios e convolução. Propriedde (Lineridde. Se f, g : R C são funções bsolutmente integráveis e, b R, então F(f + bg = F(f + bf(g. Prov. Segue direto d definição e d propriedde de lineridde d integrl. Propriedde (Trnsformds de Fourier de Derivds. Se f : R C é um função diferenciável bsolutmente integrável tl que f tmbém é um função bsolutmente integrável, então F(f (ω = iωf(f(ω. Se f : R C é um função dus vezes diferenciável bsolutmente integrável tl que f e f tmbém são funções bsolutmente integráveis, então F(f (ω = iωf(f (ω = ω F(f(ω. Em gerl, se f : R C é um função k vezes diferenciável bsolutmente integrável tl que s sus derivds té ordem k tmbém são funções bsolutmente integráveis, então Prov. Integrndo por prtes, temos que F(f (ω = = iω F(f (k (ω = (iω k F(f(ω. f (te iωt dx = [ f(te iωt dt = iωf(f, f(te iωt ( iω porque, como f é bsolutmente integrável, necessrimente lim f (t =, logo t ±. ] f(te iωt dt lim t ± f (te iωt = As fórmuls pr s trnsformds de Fourier de derivds de ordem superior seguem d plicção iterd dest fórmul.

8 8 Trnsformd de Fourier Propriedde 3 (Derivds de Trnsformds de Fourier. Se f : R C é um função bsolutmente integrável tl que xf(x tmbém é um função bsolutmente integrável, então F(xf(x(ω = if(f (ω. Se f : R C é um função bsolutmente integrável tl que x f(x tmbém é um função bsolutmente integrável, então F(xf(x(ω = F(f (ω. Em gerl, se f : R C é um função bsolutmente integrável tl que x k f(x tmbém é um função bsolutmente integrável, então F(x k f(x(ω = i k F(f (k (ω. Prov. Pssndo derivd pr dentro do sinl de integrção, temos d dω F(f(x(ω = d f(te iωt dt = d dω dω [f(te iωt ] dt = ( itf(te iωt dt = ( i tf(te iωt dt = if(xf(x(ω. Multiplicndo mbos os ldos por i obtemos primeir fórmul. plicção iterd d primeir. As outrs fórmuls seguem d Propriedde 4 (Trnsformd de Fourier de um Trnslção. Se f : R C é um função bsolutmente integrável, então F(f(x (ω = e iω F(f(x(ω. Reciprocmente, Prov. Mudndo vriáveis, temos F(e ix f(x(ω = F(f(x(ω. F(f(x (ω = f(t e iωt dt = f(te iω(t+ dt A segund fórmul é obtid diretmente: = e iω f(te iωt dt = e iω F(f(t. F(e iωx f(x(ω = e it f(te iωt dt = f(te i(ω t dt = F(f(x(ω. Propriedde 5 (Trnsformd de Fourier de um Diltção. Se f : R C é um função bsolutmente integrável e, então F(f(x(ω = ( ω F(f. Em prticulr, F(f( x(ω = F(f ( ω.

9 Rodney Josué Biezuner 9 Prov. Mudndo vriáveis, se > temos que Se <, temos F(f(x(ω = f(te iωt dt = f(te i ω t dt = f(te i ω t dt = ( ω F(f(x. F(f(x(ω = f(te iωt dt = f(te i ω t dt = f(te i ω t dt = ( ω F(f(x. A convolução de dus funções bsolutmente integráveis f, g é definid como sendo função (f g(x = f(x tg(t dt. (8.9 Podemos ssegurr que el está bem definid (isto é, integrl imprópri que define converge pr todo x, se s funções f e g, lém de serem bsolutmente integráveis, são tmbém qudrdo-integráveis, isto é, seus qudrdos tmbém são bsolutmente integráveis: De fto, utilizndo desiguldde de Schwrz f(t dt, b + b, válid pr todos, b R, segue que f(x tg(t dt f(x tg(t dt g(t dt <. f(x t dt + g(t dt <. Denotmos o espço ds funções qudrdo-integráveis n ret por L (R. Além disso, convolução de funções bsolutmente integráveis, qundo está definid, é tmbém um função bsolutmente integrável, de modo que su trnsformd de Fourier está definid: ( (f g(x dx f(x t g(t dt dx = g(t f(x t dx dt ( ( ( = g(t f(x dx dt = f(x dx g(t dt <. A trnsformd de Fourier comport-se extremmente bem em relção convoluções: el trnsform convolução de funções essencilmente em produto de funções: Propriedde 6 (Trnsformd de Fourier de um Convolução. Se f, g : R C são funções bsolutmente integráveis, então F(f g = F(fF(g.

10 Trnsformd de Fourier Prov. Mudndo ordem de integrção e usndo Propriedde 4, temos F(f g(ω = (f g(te iωt dt = [ = = F(f(ω [ ] f(t se iωt dt g(s ds = f(t sg(s ds g(se iωs ds = F(f(ω F(g(ω. ] e iωt dt [ e iωs F(f(ω ] g(s ds 8..3 Trnsformd de Fourier d Função Gussin A trnsformd de Fourier d função gussin desempenh um ppel fundmentl n resolução d equção do clor n brr infinit, conforme veremos mis trde. Aqui vmos clculá-l. Recordmos integrl imprópri O seu vlor pode ser obtido d seguinte form: e x dx = π. ( ( ( e dx x = e x dx e y dy = = = e (x +y dxdy = dθ = π. e r rdrdθ = e x e y dxdy [ e r ] dθ Teorem. Sej >. Então, Em prticulr, F(e x = e ω. F(e x = e ω, isto é, trnsformd de Fourier d função e x é el própri. Prov. Sej f(x = e x. Então f stisfz equção diferencil f (x + xf(x =. Aplicndo trnsformd de Fourier mbos os ldos dest equção, obtemos (usndo s Proprieddes, e 3 ou iω f(ω + i f (ω = f (ω + ω f(ω =. Resolvendo est equção trvés de um integrção simples, obtemos f(ω = Ce ω

11 Rodney Josué Biezuner pr lgum constnte C. [Em um notção mis usul, equção diferencil é y + ω y =, donde y = ω y y ou y = ω ω ; integrndo mbos os ldos dest equção obtemos log y = + C e dí o resultdo cim.] A constnte C pode ser determind trvés d integrl imprópri relembrd cim: C = f( = f(t dt = e t dt = e s ds =. A função gussin e x não é únic função cuj trnsformd de Fourier é el própri.

12 Trnsformd de Fourier 8..4 Tbel de Trnsformds de Fourier.. 3. f(x se x <, se x >. se < x < b, cso contrário. x se x <, se x >, F(f(ω sen(ω π ω i(e ibω e iω ω sen ω, >. π ω 4. x se x <, se x >, ω cos(ω sen(ω, >. i π ω sen x se x < π, se x > π, sen(x se x < b, se x > b, cos(x se x < b, se x > b,,, b >.,, b >. sen(πω i π ω ( i sen[(ω b] + ω ( sen[(ω b] ω + sen[(ω + b] ω + sen[(ω + b] ω + 8. x +, >. π e ω 9.. π ω +, >. e x 4 sen x x, >. ω se ω <, se ω >.. e x, >. π + ω. e x se x >, se x <,, >. + iω 3. se x >, e x se x <, 4. x n e x, >, n >. 5. e x, >., >. iω ( Γ(n + ( iω n+ + ( + iω n+ e ω

13 Rodney Josué Biezuner Exercícios. Clcule trnsformd de Fourier ds funções seguir (em todos os csos, >. se x <, x se x <, f(x = g f(x = se x >. cso contrário. b f(x = e x. h f(x = x se x <, cso contrário. c f(x = d f(x = e f(x = f f(x = e x se x <, se x >. e x se x <, se x >. sen x se x < π, cso contrário. cos x se x < π, cso contrário. i f(x = j f(x = k f(x = x se x <, cso contrário. x se x <, cso contrário. x se x <, se x >.. (Relção de Reciprocidde pr Trnsformd de Fourier ( Use definição ds trnsformds pr provr que F(f(x = F (f( x. (b Use o item nterior pr obter seguinte relção de reciprocidde: F (f(x = f( x. (c Conclu que f é um função pr se e somente se F (f = f; f é um função ímpr se e somente se F (f = f. (d Mostre que pr qulquer função f temos F 4 (f = f. 3. Usndo Propriedde 4, conclu s identiddes seguir: F(f(ω + F(f(ω + F(cos(xf(x =, F(f(ω F(f(ω + F(sen(xf(x =. i 4. Use o exercício nterior e trnsformds de Fourier de funções conhecids pr clculr s trnsformds de Fourier ds seguintes funções: f(x = cos x sen x. b f(x =. e x e x cos x + cos x sen x + cos x c f(x = x. d f(x = + x. + 4 e f(x = cos x se x <, se x >. f f(x = sen x se x <, se x >.

14 4 Trnsformd de Fourier 5. Use um trnsformd de Fourier conhecid e s proprieddes opercionis pr clculr trnsformd de Fourier ds funções seguir. x se x, x f(x = f f(x = se x >. ( + x. b f(x = xe x. g f(x = ( x e x. c f(x = x e x. h f(x = ( x e x. d f(x = xe x se x <, se x >. i f(x = xe (x. e f(x = x. j f(x = ( xe x + x

15 Rodney Josué Biezuner O Método d Trnsformd de Fourier Suponh que u(x, t sej um função ds vriáveis x R e t. Se fixrmos vriável temporl t, u(x, t torn-se um função pens d vriável espcil x, definid n ret tod, e podemos tomr su trnsformd de Fourier com relção à vriável x. Denotremos est trnsformd por û(ω, t. Em outrs plvrs, û(ω, t = F(u(x, t = u(x, te iωx dx. (8. Agor, d Propriedde 3 d trnsformd de Fourier, segue que û xx (ω, t = iωû(ω, t, û xx (ω, t = (iω û(ω, t = ω û(ω, t, ou sej, derivds espciis são trnsformds em expressões que envolvem pens função û(ω, t multiplicd por um monômio em ω. Por outro ldo, derivndo dentro do sinl de integrção com relção t, temos que û t (ω, t = t (x, te u iωx dx = d ( dt u(x, te iωx dx = û t (ω, t, o que signific que derivd temporl é preservd pel trnsformd de Fourier. Assim, vemos que qundo plicmos trnsformd de Fourier um equção diferencil prcil em dus vriáveis, s derivds prciis espciis desprecem e pens s derivds temporis permnecem. Em outrs plvrs, plicndo trnsformd de Fourier trnsformmos equção diferencil prcil em um equção diferencil ordinári em t. Est observção é essênci do método d trnsformd de Fourier pr resolver equções diferenciis prciis. Em resumo, o método funcion d seguinte mneir: Psso : Obtenh trnsformd de Fourier de tods s equções envolvids (i.e., equção diferencil prcil e condição inicil. Psso : Resolv equção diferencil ordinári, obtendo solução û(ω, t. Psso 3: Aplique trnsformd de Fourier invers û(ω, t pr obter u(ω, t. À título de exemplo, vmos plicr este método às equções do clor e d ond A Equção do Clor pr um Brr Infinit Vmos resolver o problem de condução de clor em um brr homogêne, isold termicmente e infinit. Este é o problem de vlor inicil (problem de Cuchy ut = ku xx se < x < e t >, (8. u(x, = f(x se < x <. Assumimos que função f é contínu, limitd e bsolutmente integrável. Aplicndo trnsformd de Fourier este problem, obtemos equção diferencil ordinári em t ût (ω, t = kω û(ω, t A solução gerl dest equção é û(ω, = f(ω. û(ω, t = C(ωe kωt. Pr obter o vlor de C(ω, usmos condição inicil: f(ω = û(ω, = C(ω.

16 6 Trnsformd de Fourier Portnto, û(ω, t = f(ωe kωt. (8. Tomndo trnsformds de Fourier inverss de mbos os ldos d equção, obtemos u(x, t = f(ωe kωt e ixω dω. (8.3 Às vezes, no entnto, est solução não é conveniente em certs plicções prátics. Usndo propriedde d trnsformd de Fourier com relção um convolução, podemos obter um solução em termos d condição inicil f(x. De fto, voltndo à equção que dá solução û(ω, t, observmos que segund função do ldo direito é um gussin em ω que, conforme vimos nteriormente, menos de um constnte é trnsformd de Fourier del própri. Mis precismente, F(e x = e ω. Dí, se então [Tome = /(kt.] Logo, podemos escrever g(x = kt e x ĝ(ω = e kωt. 4kt, û(ω, t = f(ωĝ(ω. Lembrndo gor que trnsformd de Fourier de um convolução é o produto ds trnsformds de Fourier ds funções multiplicds por, ou sej f(ωĝ(ω = f g(ω, segue que û(ω, t = f g(ω. Portnto, plicndo trnsformd de Fourier invers, obtemos ou u(x, t = (f g(x u(x, t = πkt f(se (x s 4kt ds. (8.4 Est é solução d equção do clor em um brr infinit, e lém disso únic solução do problem, se entendermos por solução um função contínu e limitd em t (existem outrs soluções, ms els não são limitds, e do ponto de vist físico espermos que solução do problem sej um distribuição de temperturs limitd. Exemplo 4. Resolv o problem u t = 4 u xx se < x < e t >, u(x, = e x se < x <.

17 Rodney Josué Biezuner 7 Solução: Denotndo f(x = e x, segue que Logo, û(ω, t = f(ωe kωt = e ω 4 e ω t 4 = e (+tω 4. u(x, t = F (e (+tω 4 = x + t e +t = e x + t pois fzendo +t 4 =, segue que = +t A Equção d Ond em um Cord Infinit Vmos resolver o problem ds vibrções trnsversis de um cord infinit, homogêne e de peso desprezível: u tt = c u xx se < x < e t >, u(x, = f(x se < x <, (8.5 u t (x, = g(x se < x <. Assumimos que s funções f, g são contínus, limitds e bsolutmente integráveis. Aplicndo trnsformd de Fourier este problem, obtemos equção diferencil ordinári em t A solução gerl dest equção é û tt (ω, t = c ω û(ω, t û(ω, = f(ω, û t (ω, = ĝ(ω. û(ω, t = A(ω cos cωt + B(ω sen cωt. Pr obter os vlores de A(ω e B(ω, usmos condições iniciis: Portnto, f(ω = û(ω, = A(ω, ĝ(ω = û t (ω, = cωb(ω. û(ω, t = f(ω cos cωt + ĝ(ω sen cωt. cω Aplicndo trnsformd de Fourier invers, obtemos solução do problem: u(x, t = [ f(ω cos cωt + ĝ(ω ] sen cωt e iωx dω. (8.6 cω Em lguns csos específicos, est integrl pode ser computd explicitmente. Exemplo 5. Resolv o problem Solução: Denotndo f(x =, segue que + x u tt = u xx se < x < e t >, u(x, = + x se < x <, u t (x, =. se < x <. û(ω, t = f(ω cos ωt = π e ω cos ωt. +t.

18 8 Trnsformd de Fourier Logo, ( π π e u(x, t = F (e ω cos ωt = F iωθ + e iωθ e ω = ( π F e iωθ e ω + ( π F e iωθ e ω = ( + (x + t + + (x + t, usndo propriedde d trnsformd de Fourier de um trnslção, pois F ( π e ω Observe que est respost coincide com solução de D Alembert. = + x Exercícios. Resolv equção do clor ou d ond dd. Em todos os csos, ssum < x < e t >. u tt = u xx u(x, = 4 + x u t (x, =. ut = u xx se < x < e t >, c u(x, = e x se < x <. u tt = u xx e u(x, = π u t (x, =. sen x x u t = 4 u xx g se x, u(x, = se x >. u tt = u xx cos x se π b u(x, = x π, cso contrário, u t (x, =. u t = d u(x, = u xx se x, se x >. u t = u xx f u(x, = x se x, se x >. u t = u xx h u(x, = se < x <, 5 se < x <, cso contrário... i ut = u xx u(x, = ut = u + x. j xx u(x, = e x.. Usndo o método d trnsformd de Fourier, resolv o problem de vlor inicil ddo. Em todos os csos, ssum < x < e t >.

19 Rodney Josué Biezuner 9 u xt = u xx u(x, = π e x b utt = u xxxx u(x, = f(x. c e g i k m 3ut + u x = u(x, = f(x. ut + tu x = u(x, = f(x. ut + (tu x = u(x, = f(x, ut = u x u(x, = f(x. ut = (tu xx u(x, = f(x, ut = e t u xx u(x, =, u tt = u xxt o u(x, = f(x, u t (x, = g(x. d f h j, (t >. l n ut + bu x = u(x, = f(x. ut = t u x u(x, = 3 cos x. ut + (sen tu x = u(x, = sen x. ut = tu xx u(x, = f(x, u tt + u t = u u(x, = f(x, u t (x, = g(x. ut = tu xxxx u(x, = f(x, u tt 4u xxt + 3u xxxx p u(x, = f(x, u t (x, = g(x. 3. Resolv o problem do clor com convecção n brr infinit (isto é, existe troc de clor d brr com o meio mbiente: ut = c u xx + ku x se < x < e t >, u(x, = f(x se < x <. 4. Resolv o problem d vibrção d cord infinit com mortecimento (b > : u tt = c u xx bu t se < x < e t >, u(x, = f(x se < x <, u t (x, = g(x se < x <. 5. Resolv o problem d vibrção n vig infinit: u tt = c u xxxx se < x < e t >, u(x, = f(x se < x <, u t (x, = g(x se < x <. 6. Resolv equção de Korteweg-de Vries linerizd: ut = c u xxx se < x < e t >, u(x, = f(x se < x <. Encontre solução pr f(x = e x/ e qundo f é função pulso (em mbos os csos tome c =.

20 Trnsformd de Fourier 7. Usndo o método d trnsformd de Fourier, mostre que solução d equção de Lplce no semiplno superior (problem de Dirichlet uxx + u yy = se < x < e y >, é dd por u(x, = f(x se < x <. u(x, y = y π f(s (x s + y ds. Use est fórmul (chmd fórmul integrl de Poisson pr resolver o problem de Dirichlet pr se x, f(x = se x >. Determine s isoterms no semiplno superior pr este problem específico. 8. Definimos o núcleo de Poisson como sendo função y P y (x = π x, pr < x < e y >. + y Usndo trnsformd de Fourier, mostre propriedde de semigrupo do núcleo de Poisson: (P y P y (x = P y+y (x. De posse dest propriedde e usndo tmbém o exercício nterior, resolv o problem de Dirichlet pr f(x =. Quis são s isoterms neste cso? + x