2) Observe a matriz seguinte e responda:

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1 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO.... DEFINIÇÃO.... REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MATRIZ.... MATRIZES ESPECIAIS.... MATRIZ QUADRADA.... MATRIZ IDENTIDADE.... MATRIZ NULA.... MATRIZ TRANSPOSTA IGUALDADE DE MATRIZES.... ADIÇÃO DE MATRIZES SUBTRAÇÃO DE MATRIZES.... MULTIPLICAÇÃO DE N REAL POR MATRIZ MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES.... MATRIZ INVERSA... Referêncis.... INTRODUÇÃO Muits vezes, pr designr com clrez certs situções é necessário um grupo ordendo de números que se presentm dispostos em linhs e coluns, formndo o que se chm mtriz. Observe por exemplo seguinte situção: As vends de um editor em relção os livros de Mtemátic, Físic e Químic, no primeiro trimestre de um no, podem ser expresss pel tbel seguir. Jneiro Fevereiro Mrço Mtemátic 5 Físic 5 5 Químic 7 Se quisermos sber: Quntos livros de Mtemátic form vendidos em Fevereiro, bst olhrmos o número que está n primeir linh e n segund colun; Quntos livros de Físic form vendidos em Jneiro, bst olhrmos o número que está n segund linh e n primeir colun; Quntos livros de Químic form vendidos nos meses, bst somrmos os números d terceir linh. E ssim por dinte. Um tbel desse tipo, em que os números estão dispostos em linhs e coluns, denomin-se mtriz (lê-se três por três) e podemos representá-l por: 5 7. DEFINIÇÃO 5 5 ou 5 PROF. GILBERTO SANTOS JR MATRIZES Denomin-se mtriz m n (lê-se m por n) qulquer tbel retngulr formd por m linhs e n coluns, sendo m e n números inteiro mior que zero. Dizemos que mtriz é do tipo m n ou de ordem m n. Exemplo: A = é um mtriz de ordem dois por três. 5 ) Os estudntes de um colégio responderm seguinte pergunt: Você prefere Mtemátic ou Português? Cd estudnte escolheu um únic mtéri. As resposts form computds e lguns ddos colocdos no qudro: Sexo Mtéri Msculino Feminino Mtemátic 7 9 Português 5 7 ) Quntos estudntes escolherm Mtemátic? b) Quntos estudntes do sexo feminino responderm à pergunt? R: ) 5 lunos; b) 5 lunos c) Quntos estudntes, o todo, responderm à pergunt? R: 57 lunos ) Observe mtriz seguinte e respond: ) De que tipo ou ordem é mtriz dd? R: por b) Quis são os números d ª linh? R:,, e 5 c) E os d ª colun? R:, 7, e d) Qul é o número que está n ª linh e n ª colun? R: e) E n ª linh e n ª colun? R: 5 f) E n ª linh e n ª colun? R: g) Qul o resultdo d som dos números d ª colun? R: EXERCÍCIO DE VESTIBULAR )(Enem-) Um pesquis relizd por estudntes d Fculdde de Esttístic mostr, em hors por di, como os jovens entre e nos gstm seu tempo, tnto durnte semn (de segund-feir sext-feir), como no fim de semn (sábdo e domingo). A seguinte tbel ilustr os resultdos d pesquis. R:

2 c ij pri j d) C = (c ij ) tl que cij pri j e) D = (d ij ), com d ij = i - j R = ( ). R = ( ) De cordo com est pesquis, qunts hors de seu tempo gst um jovem entre e nos, n semn inteir (de segund-feir domingo), ns tividdes escolres? R: () (d) 5 7. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MA- TRIZ O elemento genérico de um mtriz A será indicdo por ij em que i represent linh e j colun n qul o elemento se encontr. Um mtriz A, do tipo m n será escrit, genericmente, ssim: n n A = n m m m mn ou, simplesmente, por A = ( ij ) m n. Lê-se: mtriz A, dos elementos ij, do tipo m n. Exemplo: Escrever mtriz A = ( ij ) x tl que ij = i + j. Resolução: A mtriz é do tipo x então, genericmente, Rest descobrir quem são esses termos,, e usndo sentenç ij = i + j. Então, usndo os cálculos uxilires: = + = = + = = + = = + = Logo mtriz é igul. ) Escrev s mtrizes: ) A = ( ij ) tl que ij = i + j. R = ( ) b) A = ( ij ) tl que ij = i - j. R = ( ). MATRIZES ESPECIAIS. MATRIZ QUADRADA É tod mtriz cujo número de linhs é igul o número de coluns. Exemplo: A mtriz A bixo é de ordem dois por dois ou simplesmente ordem. A = 5 ou simplesmente, A = 5 Observção: Num mtriz qudrd A de ordem n, os elementos ij tis que i = j formm digonl principl d mtriz, e os elementos ij tis que i + j = n + formm digonl secundári. digonl secundári digonl principl. MATRIZ IDENTIDADE É um mtriz qudrd de ordem n em que todos os elemento d digonl principl são iguis e os outros elementos são iguis zero, seu símbolo é igul I n. Exemplos: I =, I =.. MATRIZ NULA É qulquer mtriz que possui todos os elementos iguis zero. Simboliz-se mtriz nul de ordem m n por m n e de ordem n por n. Exemplos: = =, =,, =. MATRIZ TRANSPOSTA Sej A um mtriz de ordem m n denomin-se trnspost de A mtriz de ordem n m obtid, isto é, trocndo-se ordendmente s linhs pels coluns. Indic-se trnspost de A por A t. Exemplo: Sej mtriz A = su trnspost é A t = c) B = (b ij ) de modo que b ij = i j. R = ( )

3 5. IGUALDADE DE MATRIZES Dus mtrizes A e B são iguis se, e somente se, tem mesm ordem e seus elementos correspondentes (que estão n mesm linh e n mesm colun) são iguis. 5) Clcule os termos desconhecidos: b ) = c d 5 x b) = 5 y 5 R: = ; b = ; c = 5 e d = R: x = e y = m n c) = I R: m = ; n = ; p = e q = p q m d) = n 5 y e) = I R: x = e y = x y x y b 5 f) = y - b b d 5 9 g) = b - d 7 h) z x - 5x y - R: m = e n = R: x = ; y = ; = ; b = R: = ; b = e d = = I R: x = ou x = ; y = e z = ) Sej A = ( ij ) um mtriz qudrd de ordem tl que ij = i + j. Determine x, y, z e t pr que x y t z se tenh = A. R: x = ; y = t = 7/ e z = -/ x y t z. ADIÇÃO DE MATRIZES (Vej resolução dess questão ) Dd dus mtrizes A e B do mesmo tipo m n denomin-se som d mtriz A com mtriz B, que representmos por A + B, mtriz C do tipo m n n qul cd elemento é obtido dicionndo os elementos correspondentes de A e B. 7) Dds s mtrizes A = C = 5, clcule: -, B = 7 ) A + B c) B + C b) A + C d) A + B + C ) Determine x, y, z e t, sbendo que: x ) y + = z 5 5 R: x = 7; y = e z = e x b) y + z y z = 5 9 R: x = ; y = e z = 5 x y x c) + = z t z x y d) y z + x t 7 = - y 7. SUBTRAÇÃO DE MATRIZES R: x = 5; y = -; t = e z = R: x = 5; y = ; t = - e z = Sendo A e B dus mtrizes do tipo m n, denomin-se diferenç entre A e B (representd por A B) som d mtriz opost de B. 9) Clcule: ) 7 - A B = A + (-B) b) - 5 c) - 5 ) Dds s mtrizes A = C =, clcule: R: ) ( ); b) ( ) e c) ( ) -, B = ) A + B C b) A B + C c) A B C ) Determine x, y e z sbendo que: x ) y - z 5 = x y 5 b) y - z = z R: x = ; y = e z = R: x = 5; y = e z = x - x y c) - = z - z d) x y - - z - = R: x = ; y = e z = e R: x = - ou x = ; y = e z = - ou z =. MULTIPLICAÇÃO DE N REAL POR MATRIZ Se A é um mtriz m n, de elementos ij, e é um número rel, então A é um mtriz m n cujos elementos são ij. - e B = 5 ) Sendo A =, determine: ) 5A

4 b) -B c) A d) A + B e) 5A x ) Se A = -, B = - clcule A + B - C. R: ( ) e C = 9. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Dd um mtriz A = (ij) do tipo m x n e um mtriz B = (bij) do tipo n x p, o produto d mtriz A pel mtriz B é mtriz C = (cij) do tipo m x p tl que o elemento cij é clculdo multiplicndo-se ordendmente os elementos d linh i, d mtriz A, pelos elementos d colun j, d mtriz B, e somndo-se os produtos obtidos. Pr dizer que mtriz C é o produto de A por B, vmos indicá-l por AB., Observe que só definimos o produto AB de dus mtrizes qundo o número de coluns de A for igul o número de linhs de B; lém disso, notmos que o produto AB possui o número de linhs de A e o número de coluns de B. ) Determine os produtos: 5 ) 5 7 b) c).i 5 5 d) - - e) f) - - = R: [ ] = R: [ ] 5) O qudro bixo registr os resultdos obtidos por qutro times em um torneio em que todos se enfrentm um vez: Vitóris Emptes Derrots Améric Botfogo Ncionl Comercil ) Represente mtriz A = ( ij ) correspondente. b) Qul é ordem d mtriz A? R: x c) O que represent o elemento d mtriz A? R: quntidde de derrots do Bot-Fogo d) Qul o elemento d mtriz A que indic vitóri do Comercil? R: e) Considerndo que um time gnh três pontos n vitóri e um ponto no empte, clcule, fzendo um multiplicção de mtrizes, quntos pontos fez cd time. R: ( ); Améric: pt, Bot Fogo: 7 pts, Ncionl: pts e Comercil: 5 pts f) Qul foi clssificção finl do torneio? R: Bot Fogo cmpeão: Comercil vice-cmpeão; Ncionl º lugr; Améric º lugr ) Pr fbricção de cminhões, um indústri montdor precis de eixos e rods pr seus três modelos de cminhões, com seguinte especificção: Componentes/modelos A B C Eixos Rods Pr os primeiros meses do no, produção d fábric deverá seguir tbel bixo: Modelo/Meses Jneiro Fevereiro A B 5 C 5 Usndo multiplicção de mtrizes, respond: nesss condições, quntos eixos e qunts rods são necessários em cd um dos meses pr que montdor tinj produção plnejd? R: 5 eixos e rods no mês de Jneiro; 5 eixos e rods no mês de Fevereiro.. MATRIZ INVERSA Dd um mtriz qudrd A, de ordem n, se X é um mtriz tl que AX = I n e XA = I n, então X é denomind mtriz invers de A e é indicd por A -. Qundo existe mtriz invers de A, dizemos que A é um mtriz inversível ou nãosingulr. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7) Determine, se existir, invers de cd um ds seguintes mtrizes: ) A = R: ( ) c) A = 5 5 b) A = (Vej resolução ) R: ( ) d) A = R: ( ) R: ( ) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ) Um técnico de bsquetebol descreveu o desempenho dos titulres de su equipe em sete jogos trvés d mtriz: Cd elemento ij dess mtriz é um número de pontos mrcdos pelo jogdor de número i no jogo j. ) Quntos pontos mrcou o jogdor de número no jogo 5? R:

5 b) Quntos pontos mrcou equipe no jogo? R: 9 c) Quntos pontos mrcou o jogdor de número em todos os jogos? R: 9) Obtenh,, de modo que mtriz: A = x 5x x - x Sej igul à mtriz nul de ordem. R: S = {,, } EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES )(Ftec-SP) Sej A = ( ij ) um mtriz qudrd de ordem tl que ij =. i j pr i j i pri j Nesss condições: R: () A = A = 5 5 A = (d) A = n.d.. )(FEI-SP) Se s mtrizes A = ( ij ) e B = (b ij ) estão ssim definids: R: (d) ij ij sei j sei j b b ij ij sei j sei j em que i, j, então mtriz A + B é: () (d) )(Enem-) Um luno registrou s nots bimestris de lgums de sus disciplins num tbel. Ele observou que s entrds numérics d tbel formvm um mtriz x, e que poderi clculr s médis nuis desss disciplins usndo produto de mtrizes. Tods s provs possuím o mesmo peso, e tbel que ele conseguiu é mostrd seguir. Pr obter esss médis, ele multiplicou mtriz obtid prtir d tbel por: R: () (d) )(Unificdo-RJ) Cláudio notou sus médis bimestris de mtemátic, português, ciêncis e estudos sociis em um tbel com qutro linhs e qutro coluns, formndo um mtriz, como mostr figur: R: º b º b º b º b Mtemátic 5,,5, 5,9 Português,,5 7,, ciêncis 9, 7,,, est. sociis 7,7 5,9 5,, Sbe-se que s nots de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, pr clculr médi nul do luno em cd mtéri bst fzer médi ritmétic de sus médis bimestris. Pr gerr um nov mtriz cujos elementos representem s médis nuis de Cláudio, n mesm ordem cim presentd, bstrá multiplicr ess mtriz por: () (d) )(UFRS) A mtriz C fornece, em reis, o custo ds porções de rroz, crne e sld usdos num resturnte. A mtriz P fornece o número de porções de rroz, crne e sld usdos n composição dos prtos tipo P, P, P desse resturnte. rroz C crne sld P rroz crne sld prto prto prto A mtriz que fornece o custo de produção, em reis, dos prtos P, P, P é: R: () () 7 9 (d) 9 P P P 5)(UNAMA-/) Ns mtrizes Modelo Pr eço Unitário X R$ 5., A e Y R$ 5., Z R$., Trimestre\ Modelo X Y Z B º Trimestre 5 5 estão representdos os preços unitário ds motonets em º Trimestre 5 função do modelo e quntidde vendid no º e º trimestres de por um revendedor de motonets, respectivmente. Com bse nesses ddos, podemos firmr que receit obtid por 5

6 ess revendedor no º trimestre de foi de: R: () R$ 7., R$ 5., R$., (d) R$., )(UEPA-) O cálcio é essencil pr trnsmissão nervos, cogulção do sngue e contrção musculr; tu tmbém n respirção celulr, lém de grntir um bo formção e mnutenção de ossos e dentes. A tbel bixo mostr que ingestão diári recomendd de cálcio por pesso vri com idde. Foi por ess importânci que o cálcio tem pr o corpo humno que diretor de um escol resolveu clculr quntidde de cálcio que teri de usr ns refeições diáris dos seus lunos pr suprir ess necessidde. A tbel bixo mostr quntidde de lunos por idde existente ness escol. - - (d) - X 9. Y = Z X 9. Y = Z X 9. Y = - Z )(UEPA-) Pr confecção de um crtz, um gráfic dispõe ds cores: preto, mrelo, vermelho e zul, cujs doses têm preços unitários, em reis, representdo pel mtriz A bixo. Atendendo à solicitção do cliente, gráfic presentou um orçmento com s possíveis combinções de cores, cujs quntiddes de doses utilizds em cd crtz estão representds pel mtriz B bixo. Nesss condições, o crtz de menor custo terá preço de: R: (d) Ddos: () R$, R$, R$ 9, A quntidde diári de cálcio, em mg, que teri que usr ns refeições desses lunos é: R: () (d). 7)(UEPA-) Um cmpnh foi deflgrd pr ngrir limentos não perecíveis com o objetivo de menizr problems gerdos em um região ssold pels secs. Os limentos dodos form: rroz; feijão e çúcr, todos em scos de kg, totlizndo.kg desses limentos. Sbe-se que terç prte do número de scos de feijão, somdos os do número de scos de çúcr, dá um totl de 9kg e que há kg de çúcr mis que de feijão. Se X é quntidde de scos de rroz; Y quntidde de scos de feijão e Z quntidde de scos de çúcr, representção mtricil do sistem formdo, tomndo por bse esses ddos, é: R: () () X. Y = 9 - Z - X. Y = Z R$, (d) R$, 9)(UFPA-9) Pedro, João e Antônio comercilizm três tipos de frut com períodos de sfr precidos: mng, bcte e cupuçu. No período d sfr os três vendem o quilo de cd um desss fruts por R$,, R$, e R$, e, n entressfr, por R$,, R$, e R$,. Sobre comercilizção desss fruts, considere que R: A =, mtriz que represent o preço ds fruts n sfr e n entressfr; 5 5 B = 5, mtriz que represent um 5 5 quntidde (Kg) comercilizd desss fruts; t u v C =, mtriz que represent o produto y w z A.B, em que ª, ª e ª coluns representm o vlor rrecddo, respectivmente, por Pedro, João e Antônio, com vend dess quntidde de fruts. Sobre o vlor rrecddo n vend, é correto firmr que

7 () N sfr, com vend de kg de mng, 5 kg der bcte e 5 kg de cupuçu, Pedro rrecdou t = R$ 5,. N entressfr, com vend de kg de mng, 5 kg de bcte e 5 kg de cupuçu, Antônio rrecdou z = R$,. N sfr, com vend de 5 kg de mng, kg de bcte e 5 kg de cupuçu, João u = R$,. (d) N entressfr, com vend de kg de mng, 5 kg de bcte e 5 kg de cupuçu, João rrecdou w = R$ 7, N entressfr, com vend de 5 kg de mng, kg de bcte e kg de cupuçu, Pedro rrecdndo y = R$ 7,. )(IFPA-) Considere três dis d semn, D, D e D, e três medids de temperturs feits em um hortliç, T, T e T. A mtriz seguir descreve medid de tempertur verificd nesses três dis d semn. Cd elemento ij d mtriz indic quntidde de tempertur em grus Celsius T i em cd di D j, sendo i {,, } e j {,, }. Anlisndo mtriz, não podemos firmr que () tempertur T, no di D, é 7 C. tempertur T, no di D, é de 9 C. médi ds temperturs, no di D, é de C. (d) som ds temperturs T i verificds nos dis D i, i =,, é, proximdmente,, C. som ds temperturs T e T, no di D, é 5 C. R: (d) EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS DE VESTIBULARES )(UFES) Os vlores de x e y que stisfzem equção mtricil: R: x - y 7 + x 5 = - y são: 5 () x = - e y = - x = e y = - x = e y = (d) x = e y = )(FGV-SP) Sendo A =, obtenh m- triz A + A. )(Unifor-CE) Os números reis x e y que stisfzem o sistem mtricil = - x - y são tis que seu produto é igul : R: () (d) )(PUC-SP) São dds s mtrizes A = ( ij ) e B = (b ij ), qudrds de ordem, com ij = i + j e b ij = -i j. Se C = A + B, então C é igul : () - - (d) - - R: 5)(PUCC-SP) Sej mtriz A = ( ij ), onde ij = i j sei j. Se A t é mtriz trnspost de A, i - j sei j então mtriz B = A A t é igul : () 7-7 (d) 7-7 EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS DE VESTIBULARES R: )(UFPA-) Num frmáci de mnipulção, pr fzer dois tipos de medicmentos (I e II), o frmcêutico precis ds substâncis A, B e C, expresss n tbel bixo, em grms: A B C I II 5 As substâncis podem ser comprds em dois fornecedores: F e F. O custo por grm ds substâncis em cd fornecedor está expresso em reis n tbel seguir: F F A B 5 C 5 Após construir mtriz cujos elementos indicm o preço de custo dos medicmentos pelo fornecedor, clcule os vlores ds despess se compr for tod feit no mesmo fornecedor. Considerndo que o pgmento é feito à vist, determine como o frmcêutico pode combinr compr ds três substâncis de modo gstr o mínimo possível. 7)(UF-MT) Os eroportos, e estão interligdos por vôos diretos e/ou com escls. A = (ij), bixo, descreve form de interligção dos mesmos, sendo que: ij = signific que há vôo direto (sem escl) do eroporto i pr o eroporto j; ij = signific que não há vôo direto do eroporto i pr o eroporto j. A digonl principl de A é nul, significndo que não há vôo direto de um eroporto pr ele mesmo. A = Sej A = A.A = (b ij ). Se b ij signific que há vôo do eroporto i pr o eroporto j com um 7

8 escl. Com bse nesss informções, julgue os itens. ) Há vôo direto do eroporto pr o eroporto, ms não há vôo direto do eroporto pr o. b) Há vôo do eroporto pr o eroporto com um escl. EXERCÍCIOS EXTRAS ) Dois lunos A e B, presentrm seguinte pontução em um prov de português e em outr de mtemátic: Português Mtemátic luno A luno B 9 ) Se o peso d prov de português é e o d prov de mtemátic é x, obtenh, trvés de produto de mtrizes, mtriz que fornece pontução totl dos lunos A e B. b) Qul deve ser o vlor de x fim de que A e B presentm mesm pontução finl? 9) Um fst-food de snduíches nturis vende dois tipos de snduíche, A e B, utilizndo os ingredientes (queijo, tum, sld, rosbife) ns seguintes quntiddes (em grms) por snduíches: Snduíche A Snduíche B queijo g g sld g g rosbife g g tum - g Durnte um lmoço form vendidos snduíches do tipo A e snduíches do tipo B. Qul foi quntidde necessári de cd ingrediente pr preprção desses snduíches? Represente- n form de produto de mtrizes. ) Um confecção vi fbricr tipos de roup utilizndo mteriis diferentes. Considere mtriz A = ( ij ) bixo, 5 A =, n qul ij represent qunts uniddes do mteril j serão empregds pr fbricr um roup do tipo i. ) Qunts uniddes do mteril serão empregds n confecção de um roup do tipo? b) Clcule o totl de uniddes do mteril que será empregdo pr fbricr cinco roups do tipo, qutro roups do tipo e dus roups do tipo. Um esfer ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são clssificdos como grupos de Lie. Um ds mis complicds estruturs desse tipo já estudds é o Excepcionl Grupo de Lie E. Ele é um objeto de 57 dimensões e pr descrevê-lo é necessári um mtriz de 5. linhs e coluns. Nunc deixe que lhe digm: Que não vle pen Acreditr no sonho que se tem Ou que seus plnos Nunc vão dr certo Ou que você nunc Vi ser lguém... Rento Russo Apostil tulizd em //7 Gostou d Apostil? Você encontr no Blog: Link! Dê um olhd. Referêncis DANTE, L.R. Mtemátic: Contexto & Aplicções.. Ed. São Pulo: Átic,, v..