Uma Proposta para a Análise de Estabilidade de Taludes Utilizando o Método dos Elementos Discretos

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1 Uma Proposta para a Análise de Estabilidade de Taludes Utilizando o Método dos Elementos Discretos Ferreira, Y. A. Centro de Tecnologia/Universidade Federal de Alagoas, Maceió, Alagoas, Brasil, ynaeaf@hotmail.com Lira, W. W. M. Centro de Tecnologia/Universidade Federal de Alagoas, Maceió, Alagoas, Brasil, william@lccv.ufal.br Ramos, V. C. L. Centro de Tecnologia/Universidade Federal de Alagoas, Maceió, Alagoas, Brasil, vramos@lccv.ufal.br Vieira, L. C. L. M. Centro de Tecnologia/Universidade Federal de Alagoas, Maceió, Alagoas, Brasil, lucianaclmv@lccv.ufal.br Resumo: Este trabalho propõe a utilização do Método dos Elementos Discretos em análises de problemas geomecânicos. O emprego de ferramentas computacionais para estudos de problemas de engenharia é de grande relevância, apresentando atualmente elevado nível de desenvolvimento. O Método dos Elementos Discretos (MED) é uma técnica de modelagem numérica que lida com problemas de natureza descontínua, como os que envolvem os meios granulares. O software EDEM é um programa computacional que lida com elementos discretos, sendo utilizado na simulação numérica, modelagem e análise de resultados. A problemática a ser analisada através do software EDEM é a estabilidade de taludes. Propõe-se fazer uma análise comparativa da solução numérica obtida com o Método dos Elementos Discretos e a solução analítica utilizando a técnica de equilíbrio limite, considerando o método das fatias de Bishop simplificado, validando o uso do Método dos Elementos Discretos para o estudo de problemas que envolvem taludes. Abstract: The use of computational techniques in the engineering problems has a great relevance. These numerical tools have been achieving a high level of development. The Discrete Element Method (DEM) consists of a numerical technique which handles with discontinuous problems like the simulation of granular media. The EDEM software is based on this method and is used for simulation, modeling and analysis of particulate flows. In this research the EDEM software is applied to the slope stability problem. The proposed focus is to realize a comparative analysis between the numerical solution obtained by the DEM and the analytical solution achieved by the Bishop s Simplified Method. This analysis is carried out to validate de use of Discrete Element Method in the slope stability problems. 1 INTRODUÇÃO O crescente avanço tecnológico e a procura por uma maior sofisticação em projetos e obras de engenharia fazem com que se busquem respostas para problemas cada vez mais complexos. Na maioria dos casos, a resposta analítica nem sempre é 1 de fácil obtenção, existindo fenômenos naturais cujo comportamento ainda não pode ser modelado matematicamente. O emprego de ferramentas computacionais tem sido relevante para o estudo de problemas de engenharia, apresentando elevado nível de desenvolvimento.

2 A simulação computacional é uma das alternativas disponíveis para solucionar problemas que, a priori, não possuem solução analítica ou essa solução é de difícil obtenção. Por meio dela, pode-se reproduzir o problema e aplicar as condições desejadas, utilizando os resultados alcançados na análise do problema real. Os problemas de engenharia podem ser divididos em dois domínios: os problemas de natureza contínua (por exemplo, as ligas metálicas e os plásticos) e os problemas de natureza descontínua ou discreta (por exemplo, o solo). O Método dos Elementos de Contorno, Brebbia & Dominguez (1992) e o Método dos Elementos Finitos, Zienkiewicz & Taylor (2000) são atualmente os métodos mais utilizados ao se tratar de problemas em meios contínuos. Já para a análise de problemas de meio discreto, o Método dos Elementos Discretos (MED) vem se mostrando bastante eficiente. O Método dos Elementos Discretos é um método numérico capaz de lidar com problemas de natureza descontínua. Como dito acima, uma grande quantidade de problemas Tannant e Wang (2004). de engenharia é desta natureza, como por exemplo, problemas que envolvem os meios granulares, fenômenos de fragmentação, fraturamento, impacto, colisão e cravação. Através desse método as partículas são tratadas como corpos sólidos independentes, que ao entrar em contato uns com os outros, transmitem as forças através desses pontos, assim como ocorrem nos meios granulares. Devido a essas características, esse método tem sido utilizado em problemas de diversas áreas como em aplicações industriais de grande escala, Cleary (2004). Mais especificamente na engenharia geotécnica, suas funcionalidades têm sido utilizadas em casos como mecânica de rochas, inicialmente com Cundall (1971) e mais recentemente com outros autores como Tannant e Wang (2004). Na área da mecânica dos solos, o seu uso é bastante variado, como por exemplo, localização de gradientes de deformação em meios granulares, Kuhn (2005), comportamento de argilas, Yao e Anandarajah (2003), interação fluido-partículas, Preece et al. (1999); Cook et al. (2004) e impacto de projétil em meio granular, Tanaka et al. (2002). Um dos principais problemas de engenharia geotécnica é a análise de estabilidade de taludes e o seu estudo está inserido nos casos que envolvem meios granulares. Taludes são definidos como superfícies inclinadas de maciços terrosos, rochosos ou mistos. Podem ter origem natural (encostas naturais) ou são feitos pelo homem (cortes, aterros, barragens). O estudo dos processos de estabilização de taludes e suas formas de contenção são necessários, em virtude das desastrosas conseqüências que os escorregamentos acarretam. Esses escorregamentos geram custos, que podem ser classificados como custos diretos e indiretos. Os custos diretos correspondem ao reparo de danos e manutenção de obras e instalações de contenção. Já os custos indiretos podem ser citados como a perda de produtividade industrial, agrícola e florestal até mesmo perda de vidas humanas. Muitos pesquisadores preocuparam-se com o estudo desta problemática, desenvolvendo trabalhos que utilizavam Método dos Elementos Finitos e Método dos Elementos Discretos. Rojas (1999) estudou a estabilidade de taludes por meio dos Métodos dos Elementos Finitos, assim como Hammouri et al.(2008) e Tan & Wang (2009). A utilização do Método dos Elementos Discretos vem se mostrando eficiente no estudo de meios granulares. Nascimento et al. (2007) realizou uma análise qualitativa da estabilidade de taludes fazendo uma comparação do Método dos Elementos Discretos com o Método dos Elementos Finitos. Nesse contexto, o presente trabalho propõe o estudo da estabilidade de taludes visando a utilização da modelagem do problema físico através do Método dos Elementos Discretos, a fim de realizar uma representação do meio granular e analisar o problema quando exposto a determinadas solicitações. Essa simulação será realizada utilizando o software EDEM. Propõe-se ainda, após a etapa da análise numérica, comparar o resultado obtido com uma análise analítica fazendo uso de um método de equilíbrio limite, sendo este, o método de Bishop simplificado. 2 METODOLOGIA A metodologia proposta para o desenvolvimento deste trabalho é dividida em 6 etapas principais, conforme pode ser visto na Figura 1. Estudo do MED Definição das análises a serem determinadas Realização das etapas de simulação Exploração do uso do software EDEM Estudo sobre taludes Comparação do resultado com a solução analítica Figura 1: Etapas para o desenvolvimento do trabalho. A primeira etapa consiste no estudo dos métodos computacionais para a análise de problemas complexos. Problemas relacionados com o meio granular, como o que se propõe realizar neste 2

3 trabalho, faz-se uso dos Métodos dos Elementos Discretos. Um estudo amplo deste método auxilia na análise do problema proposto. A segunda etapa trata-se em explorar o uso do software EDEM. Esse software refere-se a um programa computacional comercial que faz uso do Método dos Elementos Discretos. Após a etapa do estudo do método numérico determinado, exploramse suas principais funcionalidades, os problemas que são possíveis de serem solucionados. O estudo de estabilidade de taludes é um importante item necessário para o entendimento dos fatores que acarretam os escorregamentos. Além disso, também é necessário entender quais são os métodos analíticos mais usuais para realizar esses estudos, incluindo a realização de um levantamento das principais características dos métodos de equilíbrio limite. Esse estudo de taludes consiste na terceira etapa do desenvolvimento do trabalho proposto. A etapa seguinte relaciona-se a definição das análises que serão realizadas, incluindo a definição dos modelos geométricos correspondentes e dos parâmetros do solo que devem ser considerados. A quinta etapa corresponde à realização das simulações. Essa etapa consiste de três partes principais: a fase de pré-processamento, a qual está associada a definição computacional da modelagem geométrica e geração dos elementos discretos; a fase de processamento dos dados, onde o Método dos Elementos Discretos é aplicado na busca da solução numérica do problema; e a fase de pósprocessamento, onde os resultados alcançados são visualizados graficamente, permitindo uma melhor interpretação física do problema estudado. Nesta etapa, o software EDEM, explorado anteriormente, é utilizado com plataforma de desenvolvimento deste trabalho. A última etapa para o desenvolvimento deste trabalho relaciona-se a comparação dos resultados obtidos numericamente com a solução analítica do problema. O método analítico utilizado é o método de Bishop simplificado que consiste em um método de equilíbrio limite. 3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS O Método dos Elementos Discretos ganhou grande impulso com ascensão da capacidade de processamento de dados oriundos dos avanços da tecnologia da computação. Isto, em parte, está relacionado com a elevada necessidade de processamento computacional requerida. Tradicionalmente este método tem sido empregado para simular o movimento de partículas de materiais granulares e rochosos, mas tem se tornado popular também como um método para representar materiais sólidos e principalmente estudo de problemas de fluxo. Os materiais analisados apresentam comportamentos especiais. Eles podem fluir e assumir a forma do meio em que estão contidos, a exemplo dos líquidos. Tem-se alcançado progresso na análise mecânica dos meios granulares considerando-os como contínuo. Mas, essa perspectiva de análise é apropriada quando os efeitos das descontinuidades micro-mecânicas são desprezíveis. Neste caso, do ponto vista macroscópico o material realmente se comporta como um meio contínuo. Para problemas que apresentam comportamento descontínuo em grande escala, os modelos contínuos não são capazes de representar os fenômenos que ocorrem em micro-escala, utilizando assim métodos discretos. Os meios granulares são considerados pelo Método dos Elementos Discretos como um sistema de partículas individuais, conforme podemos observar na Figura 2. O comportamento de cada partícula durante o intervalo de tempo analisado é baseado nas formulações de equilíbrio de forças e deslocamentos gerados por contatos. Os contatos entre as partículas podem ser criados ou extintos à medida que o conjunto de partículas se deforma como um todo. A representação do meio contínuo como um sistema de partículas discretas ou descontínuas caracteriza-se como um processo altamente dinâmico e com mudanças rápidas da configuração do domínio. A partir do entendimento das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o comportamento da interação entre elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o comportamento físico e mecânico do modelo estudado. Pelo fato de exigir uma forte base discreta, esse método computacional descreve problemas discretos de forma mais fiel à natureza do meio. Figura 2: O solo representado por partículas. Conforme dito anteriormente, o MED é aplicado por uma simulação composta por três etapas distintas e complementares. A etapa inicial, etapa de pré-processamento, em uma análise através deste método, define informações relativas ao meio descontínuo estudado. São definidas geometrias e parâmetros e tem-se a geração de partículas, onde se constrói a base discreta do sistema. A segunda etapa corresponde à fase de processamento, onde o algoritmo de solução do MED apresenta geralmente uma rotina de repetição de processos, descrevendo assim o comportamento dinâmico do meio. Durante a fase da análise 3

4 numérica são aplicados os aspectos físicos e matemáticos presentes na formulação numérica. A tarefa de visualização das análises, o pósprocessamento, é a etapa na qual se terá a realização da análise e interpretação dos resultados obtidos a partir de todas as etapas anteriores. Esta última fase consiste em um ambiente de interface gráfica nos quais os dados fornecidos podem ser interativamente apresentados ao usuário, que pode, por exemplo, esboçar animações do processo de análise, exibir gráficos, a partir das propriedades de partículas de interesses específicos, tais como: posições, vetores de velocidade, acelerações, dentre outros. O equacionamento do método é resumido na aplicação da Segunda Lei de Newton às partículas, levando ao cálculo dos deslocamentos devido às forças que agem nelas, e na aplicação das Leis de Força-Deslocamento nos contatos. Assim, cada partícula possui uma equação de movimento descrita da seguinte forma: =, + 1 onde M corresponde à matriz de massa da partícula. A parcela total de forças é composta pela força de contato entre as partículas (F cont ) e pelas ações externas aplicadas (F ext ). Um sistema típico de elementos discretos engloba um grande número de partículas que interagem entre si. Para a resolução de um algoritmo dois aspectos são importantes nesse tratamento: a detecção dos contatos e a modelagem da interação entre as partículas no ponto de contato. A força de contato é originada da interação durante a análise entre as partículas e os obstáculos. A intensidade e a direção dessa força são definidas por relações força-deslocamento e pelas relações de interação geométrica entre as partículas. Essa força é dada para o caso de partículas circulares, quando a soma dos respectivos raios das partículas ( r1 e r2 ) for maior que a distância ( d ) entre os centros das mesmas, como pode ser visto na Figura 3. Para o modelo de Cundall & Strack (1979) as forças de contato estão relacionadas ao valor da interpenetração das partículas e das suas velocidades relativas. Essas forças são atuantes em ambas as partículas em contato, nas direções normais e tangenciais à superfície em que houve a colisão. O contato entre duas partículas circulares com velocidades translacionais e rotacionais e as forças atuantes na direção normal e tangencial ao plano de contato pode ser visto na Figura 4. ω 1 F T F n ω 2 F T F n v 1 Figura 4: Diagrama de corpo livre e decomposição da força de contato. Muitos autores têm se dedicado ao cálculo das relações de interação no contato entre partículas de formas variáveis onde é necessário definir, entre outros elementos, planos, zonas, pontos de contato. Alguns trabalhos relacionados a esse tema são os artigos de Cundall (1988), Williams e O Connor (1995), Williams e O Connor (1999) e outros um pouco mais recentes como Zhao et al. (2006). Logo após ter obtido o contato entre dois elementos, a interação entre as duas partículas pode ser representada pelas seguintes forças: v 2 = F + 2 na qual a força de contato (F c ) pode ser decomposta em suas componentes normais e tangenciais. Os valores de F n e F t são obtidos pela aplicação das relações força-deslocamento nos contatos. Na Figura 5 tem-se uma representação esquemática de um modelo reológico para o contato. O caso mostrado nesta figura corresponde ao modelo de Kelvin, porém vários outros modelos podem ser adotados, incluindo características como atrito, coesão e outros. y d r 2 r 1 r r > d Figura 3: Contato entre partículas circulares. x Figura 5: Modelo de contato do tipo Kelvin. 4

5 4 EDEM A DEM Solutions foi fundada por John Favier em 2002, com sede na Escócia, tendo seus escritórios nos EUA, Alemanha, Singapura e rede de distribuidores por vários países. A empresa possui equipe de engenheiros que desenvolvem aplicações industriais de simulações com partículas. O software EDEM é uma das ferramentas da empresa que visa a criação de uma plataforma para a integração de partículas, fluido e dinâmica de máquina. O programa trata da modelagem de elementos discretos para a simulação e análises de problemas de engenharia correspondentes a meios descontínuos. Pode-se, através deste programa, parametrizar modelos de meios granulares e utilizar modelos CAD de partículas reais. As propriedades mecânicas, físicas e materiais são informadas para o determinado modelo das partículas. O EDEM informa características individuais das partículas (massa, temperatura, velocidade) e as forças de contato. Os modelos de contato empregados no EDEM são o Hertz-Mindlin, Elástico Linear, Conveyor, Coesão e Partículas Coladas. A problemática a ser analisada neste trabalho através do software EDEM é a estabilidade de talude. O estudo da estabilização de taludes tem sido cada vez mais necessário a fim de evitar desastrosas conseqüências que os escorregamentos acarretam. Esses escorregamentos podem ocorrer devido ao aumento da urbanização, ao desflorestamento contínuo, dentre outros motivos. O EDEM realiza a interação entre partículas e possui diversas aplicações, como a simulação do ensaio de compressão de uma barra, a atuação de uma escavadeira e o parafuso de Arquimedes, conforme podem ser vistos na Figura 6 e 7. coladas. As partículas são comprimidas e uma vez que a tensão máxima é atingida, ocorre a fratura da rocha. A aplicação do EDEM pode ser feita também para a análise da eficiência do projeto de novas escavadeiras, como visto na Figura 6b. O material é coletado e a energia requerida para forçar a escavadeira através do material pode ser extraída e analisada para variações na forma da escavadeira. O modelo do parafuso de Arquimedes, representado na Figura 7, é bastante usado em indústrias químicas e de processamento de alimentos. Pode-se analisar diversos problemas, com diferentes materiais, analisando as partículas e as forças de interação. Figura 7: Simulação do Parafuso de Arquimedes (EDEM, 2009). No ambiente de trabalho do EDEM é possível fornecer os dados da geometria e parâmetros do que está sendo analisado, como expresso na Figura 8. (a) (b) Figura 8: Ambiente de trabalho do software EDEM (EDEM, 2009). 5 PROBLEMÁTICA: ESTUDO DE ESTABILIDADE DE TALUDES Figura 6: Aplicações do EDEM: (a) Barra em compressão; (b) Escavadeira (EDEM, 2009). A Figura 6a corresponde à simulação do ensaio da barra em um teste uniaxial de compressão. Essa simulação usa um modelo de contato de partículas A utilização de técnicas computacionais, segundo Rojas (1999), influenciou a análise de problemas de estabilidade de taludes em dois aspectos principais. O primeiro aspecto é que um grande número de superfícies potenciais de deslizamento pode ser pesquisada, tornando possível a localização da 5

6 superfície crítica (circular ou não-circular) com um alto grau de confiabilidade. Ainda, as análises podem ser executadas usando método de cálculo mais avançados que satisfazem todas as condições de equilíbrio. De forma que, alguns aspectos relacionados com os efeitos das hipóteses simplificadoras introduzidas nas formulações do método de equilíbrio limite possam, por sua vez, ser mais bem avaliados qualitativa e quantitativamente. Os primeiros estudos sobre escorregamentos foram realizados há mais de 2000 anos, em países como China e Japão. A análise e o controle das estabilizações de taludes e encostas têm seu amplo desenvolvimento com as grandes obras da Geologia de Engenharia. Brabb (1991) estima em milhares de mortes e dezenas de bilhões de dólares de prejuízos por ano, relacionados à deflagração de escorregamentos no mundo inteiro. Os problemas de escorregamentos, como o ilustrado na Figura 9, podem ocorrer devido à ação das chuvas, desflorestamento e por outros motivos. Figura 9: Escorregamento Lagoa (1988) (UERJ, 2008). Tabela 1: Métodos de Cálculo de estabilidade analíticos e tipos de rupturas pesquisadas (adaptada da IPT, 1990a) TIPO NOME GEOMETRIA DE RUPTURA Planar 1 Plano Equilíbrio Limite Tensão/ Deformação Biplanar Multiplanar Espiral Logarítmica Taylor Fellenius Bishop Spencer Tridimensional Jambu Morgestern e Price Elementos Finitos Diferenças Finitas 2 Planos Vários Planos Rupturas Circulares Rupturas Não- Circulares O método analítico que será utilizado para a comparação com o método numérico será o método de Bishop simplificado. A análise de estabilidade usando o método das fatias pode ser mais bem entendida analisando a Figura 10a, na qual se pode observar que o arco de círculo AC representa a superfície de tentativa de ruptura. O solo acima da superfície é dividido em várias fatias verticais. Ao considerar um comprimento unitário perpendicular à seção transversal, as forças que atuam em uma fatia típica (n-ésima fatia), mostrado na Figura 10b. Alguns métodos analíticos baseados na teoria de equilíbrio limite são utilizados para a análise da estabilidade de encostas. A Tabela 1 apresenta alguns métodos de estabilidade analíticos e numéricos e os tipos de ruptura para os quais são empregados. (a) (b) Figura 10: Análise da estabilidade por meio do método comum das fatias: (a) superfície de ruptura tentativa; (b) forças atuantes na n-ésima fatia. 6 São destacadas as componentes das forças normais e tangenciais de reações, e que atuam na fatia, e o peso da fatia. Fazendo algumas considerações e utilizando as equações de equilíbrio de forças e momento em relação a O. Assim, obtémse a Equação 3 para o cálculo do fator de segurança

7 mínimo, ou seja, o fator de segurança para o círculo crítico. Devem-se fazer várias tentativas, mudando o centro do círculo de ensaio. Esse método é chamado de método comum das fatias. 3 Anos depois, Bishop propôs uma solução mais refinada para o método comum das fatias chamado de método simplificado de Bishop. Nesse método o efeito das forças nas faces de cada fatia é levado em conta até certo ponto. O estudo foi feito considerando a mesma figura anterior, Figura 10. As forças que atuam na n-ésima fatia da Figura 10b são redesenhadas na Figura 11a. A Figura 11b mostra o polígono de forças para o equilíbrio da n-ésima fatia. Somam-se as forças na direção horizontal e faz-se o equilíbrio da cunha ABC da Figura 10a, através do momento em relação a O. (a) (b) Figura 11: Método das fatias de Bishop simplificado: (a) forças que atuam na n-ésima fatia; (b) polígono de forças para o equilíbrio. Desta forma, a Equação 4 é obtida, e como no método comum das fatias, várias superfícies de ruptura devem ser investigadas, de modo a encontrar a superfície crítica que forneça o fator de segurança mínimo. 4 O método simplificado de Bishop é muito utilizado e quando incorporado a programas de computador, ele apresenta, na maioria dos casos, resultados satisfatórios. 6 CONCLUSÕES E PROPOSTAS Esta proposta consiste no emprego do Método dos Elementos Discretos para a simulação da estabilidade de taludes, utilizando-se o programa computacional EDEM. O foco do trabalho é direcionado para a comparação qualitativa entre a superfície formada pelo escorregamento dos grãos do modelo numérico e a superfície crítica obtida pelo método de Bishop simplificado. Propõe-se investigar se existe influência significante da micro-estrutura do meio na formação da superfície de ruptura e conseqüente estabilidade do talude. Para tanto, são simulados e comparados casos clássicos de estabilidade de taludes, respeitando as geometrias utilizadas e as propriedades dos materiais. 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Brabb, E. E. (1991) The world landslide problem. Episodes, v.14, n.1, p Braja M. Das. (2007) Fundamentos de Engenharia Geotécnica, Thomson (tradução da 6ª. edição norte-americana), SP, Brasil. Brebbia C. A. e Dominguez, J. (1992). Boundary Elements - An Introductory Course. 2th Edition. McGraw-Hill. Cleary, P. W. (2004) Large scale industrial DEM modelling. Engineering Computations, v. 21, n. 2/3/4, p Cook, B. K.; Noble, D. R.; Williams, J. R. (2004) A direct simulation method for particle-fluid systems. Engineering Computations, v. 21, n. 2/3/4, p Cundall P. A. (1971) A computer model for simulating progressive, large-scale movements in blocky rock systems. In: Proc. Symp. Int. Soc. Rock Mech. Nancy: [s.n.], v. 2, No. 8. Cundall P. A. (1988) Formulation of a threedimensional distinct element model - part i. a scheme to detect and represent contacts in a system composed of many polyhedral blocks. International journal of rock mechanics and mining sciences & geomechanics abstracts, v. 25, n. 3, p Cundall, P. A. e Strack, O. D. L. (1979) A discrete numerical model for granular assemblies Géotechnique, v. 29, n. 1, p EDEM, DEMSolutions, Website (consulta em junho de 2009): Hammouri, N. A.; Malkawi, A. I. H.; Yamin, M. M. A. (2008) Stability analysis of slopes using the finite element method and limiting equilibrium approach. Bull Eng Geol Environ. n. 67, p Kuhn, M. R. (2005) Are granular materials simple? an experimental study of strain gradient effects and localization. Mechanics of Materials, v. 37, p Nascimento, E. L.; Carvalho Jr., H; Ramos Jr., A. S.; Ramos, V. C. L. (2007) Aplicação do método de elementos discretos na análise de estabilidade de taludes. In. CMNE/CILAMCE 2007, Porto - Portugal. 7

8 Preece, D. S.; Jensen, R. P.; Perkins, E. D.; Williams, J. R. (1999) Sand production modeling using superquadric discrete elements and coupling of fluid flow and particle motion. In: Amadei, B.; Kranz, R. L.; Scott, G. A.; Smeallie, P. H. (Ed.).Proceedings of the 37th US Rock Mechanics Symposium. Amsterdam: Balkema. Rojas, M.E.R. (1999). Aplicação do Método dos Elementos Finitos na Análise da Estabilidade de Taludes em Solo. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil, ênfase: Geotecnia) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, PUC, Rio de Janeiro. Tan, X e Wang, J. (2009) Finite element reliability analysis of slope stability. J Zhejiang Univ Sci A. v.10, n.5, p Tanaka, K; Nishida, M.; Kunimochi, T.; Takagi, T. (2002) Discrete element simulation and experiment for dynamic response of twodimensional granular matter to the impact of a spherical projectile. Powder Technology. v. 124, p Tannant, D. D.; Wang, C. (2004) Thin tunnel liners modelled with particle flow code. Engineering Computations, v. 21, n. 2/3/4, p UERJ/PGECIV, (2008), Website (consulta em junho de 2009): estabilidade.pdf Williams, J. R..e O connor, R. (1995) A linear complexity intersection algorithm for discrete element simulation of arbitrary geometries. Engineering Computations, v. 12, p Williams, J. R. e O connor, R. (1999) Discrete element simulation and the contact problem. Arch Comput Methods Engng, v. 6, p Yao, M. e Anandarajah, A. (2003) Threedimensional discrete element method of analysis of clays. Journal of Engineering Mechanics, v. 129, n. 6, p Zhao, D.; Nezami, E. G.; Hashash, Y. M. A.; Ghaboussi, J. (2006) Three-dimensional discrete element simulation for granular materials. Engineering Computations, v. 23, n. 7, p Zienkiewicz, O. C., & Taylor, R. L., (2000) The Finite Element Method The Basis Volume 1. 5th Edition. Butterworth Heinemann. 8