( 2 3 ) 5 ( 2 3 ) 4 ( 2 3 ) 3 ( 2 3 ) = 4 3 f 1

Transcrição

1 A afinação cromática pitagórica, a comma pitagórica e a medição por cents Texto por Igor S. Livramento 1 Como notado no último texto 2, construir-se-á aqui a afinação cromática pitagórica de 12 tons a partir da repetida iteração do intervalo de quinta justa, isto é, a relação entre frequências 3:2. #01 Construção da afinação Retomemos o que fora explicitado anteriormente: Pitágoras tomou a quinta justa (3/2) como base para sua escala diatônica, uma vez que era o intervalo mais consonante disponível na gama. Pois bem, sigamos mais uma vez o mestre grego e desenvolvamos uma afinação cromática composta de 12 tons a partir da repetida iteração da 3/2. Desta vez, para facilitar a notação e por uma questão de variedade, comecemos em D (f1 291 Hz). Como antes, as quintas justas, isto é, as potências de 3/2 (ou seja, as formas: 3/2 n ) estão divididas por potências de 2 (o mesmo que multiplicadas por potências de 1/2, uma vez que 2 -n = (1/2) n ) para ficarem dentro da gama, bem como as quartas justas, ou seja, as inversões de 3/2 (ou seja, (3/2) -n = (2/3) n ) estão multiplicadas por potências de 2 para estarem na gama. Assim, lembramos que as razões entre frequências de tipo a/b fazem parte da gama quando f1 < a/b < 2 f1 e podemos perceber pela Tabela 01 (abaixo) que a/b sempre fará parte da gama se: b < a < 2b. Tabela 01 Nota Intervalo Relações entre frequências Ab Quinta diminuta a ( 2 3 ) = f 1 Eb Bb F C Segunda menor Sexta menor Terça menor Sétima menor ( 2 3 ) 5 ( 2 3 ) 4 ( 2 3 ) 3 ( 2 3 ) = f = f = f = 16 9 f 1 G Quarta justa = 4 3 f 1 D Fundamental, uníssono 1 1 = f 1 1 Graduando do curso de Letras-Português da Universidade Federal de Santa Catarina. 2 A afinação pitagórica, do presente autor, disponível em: < acesso em 31 de janeiro de 2016.

2 A Quinta justa 3 2 f 1 E B Segunda maior Sexta maior F# Terça maior C# Sétima maior ( 3 2 ) = 9 8 f 1 ( 3 2 ) 3 ( 3 2 ) 4 ( 3 2 ) = f = f = f 1 G# Quarta aumentada a ( 3 2 ) = f 1 #01a A diferença entre A4 (quarta aumentada) e d5 (quinta diminuta) Como se pode ver na Tabela 01, temos dois intervalos marcados com a sobrescrito, os intervalos de quarta aumentada (A4) e quinta diminuta (d5). Em nossa afinação ocidental contemporânea de 12 tons equidistantes por oitava 3 esses intervalos são tidos como equivalentes, todavia, aqui, as razões entre frequências se mostram diferentes e, de fato, tratamse de tons diferentes. Mas qual desses tons escolhera Pitágoras? Dos dois o maior fora escolhido, G#, ignorando-se a d5 e valorizando a A4.Por uma questão de importância histórica e curiosidade, vejamos qual a relação entre frequências desses tons diferentes que, para nós, hoje, são enarmônicos 4 : = ( ) ( ) = = 312 = 1, A esse intervalo (3 12 /2 19 ) chamamos comma pitagórica 5. Uma comma é um intervalo bastante pequeno que surge quando se trabalha com afinações e, em geral, possui um caráter indesejado por produzir dissonâncias notórias. Apesar de ser 0,01 Hz poder-se-ia cogitar ser diferença pequeníssima não se trata de diferença que escape ao ouvido. Aqui é preciso levar em consideração a audição humana, não apenas as relações entre frequências, todavia, para que possamos falar das proporções da audição, precisaremos introduzir uma medida que condiga com a percepção humana. A essa medida chamamos cents. 3 Cf. Explicação geral da afinação padrão ocidental atual composta de 12 tons equidistantes, do presente autor, disponível em: < acesso em 31 de janeiro de De maneira simples: tons nomeados diferentemente que são tomados como equivalentes. 5 Utiliza-se a nomenclatura comma não coma para acordar o proposto às fontes anglófonas trabalhadas.

3 #02 A comma pitagórica e o problema da afinação; a medição em cents A medição em cents não é invenção recente, na verdade fora concebida por volta dos anos 1830 e já era utilizada extensivamente em Sua história, todavia, não nos interessa aqui. A audição humana percebe algumas frequências como repetições de outras trata-se claramente do que conhecemos no meio musical por oitavas. Como exposto anteriormente 6, essas oitavas formam uma progressão geométrica de razão 2 e termo inicial uma nota qualquer de frequência 7 f1. Assim deve ser fácil perceber que a audição humana possui resposta logarítmica 8 aos intervalos musicais, não aritmética, como as relações entre frequências poderiam sugerir. Para representar os intervalos musicais (distâncias entre frequências) como percebidos pela audição humana, a medida em cents foi definida como tendo por unidade 1/100 de um semitom da afinação de 12 tons equidistantes por oitava. Isto nos diz que: a) mover-se uma tecla (ou uma casa do violão), isto é, um semitom (ex.: de C a C#), nos faz andar 100 cents, bem como; b) ir de C a C (uma oitava acima ou abaixo) cobre uma distância de 1200 cents. Daí deduzimos que a medida geral para qualquer intervalo musical em cents é: α = 1200 log 2 ( f 2 f 1 ). Sabendo que a medida em cents representa em boa qualidade a audição humana para intervalos musicais e sabendo que o limiar humano para diferença 9 é aprox. de 1 a 5 cents, podemos medir a comma pitagórica em cents e descobrir se ela reside dentro desse intervalo imperceptível ou não. Vejamos, então: 1200 log 2 ( ) = 1200 log 2 ( ) = 23, ,46 cents. Ao contrário do esperado na sessão anterior, a diferença (de aproximadamente 0,1364 Hz de uma frequência à outra) é quase 5 vezes o limite do limiar humano de distinção entre notas (frequências). Com os cents em nosso aparato teórico, podemos medir intervalos com muito mais precisão e qualidade, de tal modo que refaremos a Tabela 01, agora em ordem intervalar crescente 10, e mediremos as distâncias em relação à afinação ocidental atual de 12 tons equidistantes por oitava. Senão vejamos: 6 Cf. nota 3. 7 Aqui se mantém a utilização de f1 e não f0 como se esperaria em contextos matemáticos mais estritos apenas para preservar a linguagem de textos anteriores e das Tabelas utilizadas neles. 8 Mais especificamente uma resposta de log 2q, leia-se: logaritmo de base 2 de um número qualquer q. 9 Utiliza-se aqui uma aproximação ampla, alguns estudos apontam que a audição atenta pode restringir a um intervalo de apenas 1 a 3 cents. 10 Em relação à fundamental (uníssono).

4 Tabela 02 Nota Intervalo Rel. entre freq. Cents Dif. 12-equi 11 D Fundamental, uníssono 1 1 = f 1 Eb E Segunda menor Segunda maior ( 2 3 ) = f 1 ( 3 2 ) = 9 8 f 1 = 00,00 00,00 90, ,78 203,91-03,91 F Terça menor F# Terça maior ( 2 3 ) 3 ( 3 2 ) = f = f 1 G Quarta justa = 4 3 f 1 Ab Quinta diminuta G# Quarta aumentada ( 2 3 ) 6 ( 3 2 ) = f = f 1 A Quinta justa 3 2 f 1 Bb B C Sexta menor Sexta maior Sétima menor C# Sétima maior ( 2 3 ) 4 ( 3 2 ) 3 ( 2 3 ) 2 ( 3 2 ) = f = f = 16 9 f = f 1 D Oitava 2 1 = 2 f 1 294, ,87 407,82-07,82 498, ,96 588, ,73 611,73-11,73 701,95-01,95 792, ,82 905,86-05,86 996, , ,77-09,77 = 1200,00 00,00 11 Chamamos 12-equi à afinação ocidental de 12 tons equidistantes por oitava. A diferença aqui é medida a partir de 12-equi, portanto, o sinal + significa que o intervalo de mesmo nome fornecido em 12-equi é x cents mais agudo que o pitagórico, o sinal - representa um intervalo mais grave em 12-equi que seu relativo pitagórico.

5 Parece não haver motivo real para Pitágoras escolher A4 sobre d5 quando comparamos com 12-equi e, de fato, a razão de Pitágoras era uma crença de seu tempo: frações com números relativamente pequenos são mais consonantes. Considerando que ambos os intervalos (A4 e d5) estão à mesma distância do trítono exato 12, escolha-se o que mais aprouver à composição em questão. Outra maneira de se encontrar a comma pitagórica é pensar pelo círculo de quintas, vamos a ela. #03 A comma pitagórica no círculo de quintas Se lembrarmos 13 que m.d.c.(7, 12) = 1, sabemos que são coprimos e, portanto, suficientes iterações de 7 em mod12 no darão todos os números naturais entre 0 e 12, o que nada é dizer senão: se acrescentarmos quintas justas suficientes obteremos os 12 tons cromáticos. Como estamos trabalhando com a afinação cromática pitagórica, queremos que nossas quintas sejam exatamente 3/2 de f1. Portanto, ascenderemos 12 quintas justas, o que é próximo de ascender 7 oitavas, vejamos: ( 3 2 ) 12 = 129, , enquanto 2 7 = 128. Novamente nos deparamos com uma diferença pequena nas relações entre frequências 14. Mas qual o tamanho dessa diferença? Agora que sabemos utilizar os cents, não podemos nos deixar enganar pelo aspecto aritmético das relações entre frequências, precisamos medir. ( 3 2 ) = = = 129, = 1, Caímos novamente na comma pitagórica, como sabemos, não é uma diferença tão pequena, na verdade, é bastante audível. Mesmo com o resultado igual, pode não se convencer o leitor, mas basta medir os cents, o resultado continua igual: 1200 log 2 ( 129, ) = log ( ) = 23, ou seja, 23,46 cents. E como poderíamos fazer, então, para que 12 quintas justas fossem iguais a 7 oitavas? Podemos distribuir o erro igualmente ao longo das 12 quintas ascendentes, de tal modo que chegaríamos a 128 em vez de 129,7... e parece bastante lógico, um rápido cálculo em cents nos mostrará qual o erro em cents que devemos espalhar pela afinação: 23, , cents. 12 Se a oitava tem 1200 cents, o trítono exato possui 600 cents. 13 Esta primeira parte é apenas uma rememoração do que fora apresentado em Propriedades das escalas diatônicas, do presente autor, disponível em: < acesso em 01 de fevereiro de Aqui temos o caso onde C# > D.

6 Ou seja, temos que reduzir as quintas justas (3/2) em 1, cents para que 12 delas parem exatamente a 7 oitavas da fundamental, uma vez que vamos acumular uma quinta justa sobre a outra doze vezes. Meçamos isso em cents para ver o resultado de nosso esforço: 1200 log 2 ( 3 ) 701, , portanto, 2 701, , = 700 cents. No mínimo fascinante e surpreendente! Voltamos 15 à afinação ocidental de 12 tons equidistantes por oitava por outro trajeto! Sabemos que voltamos ao lugar de partida, pois as quintas justas de 12-equi são realmente de 700 cents, veja-se: 1200 log 2 (2 ( 7 12 ) 12 ) = 1200 log = 700 cents. #04 Espécie de conclusão Para além da maravilhosa medição em cents a qual será usada deste texto adiante é necessário perceber em quais aspectos nossa afinação contemporânea (12-equi) abarca a afinação cromática pitagórica. Um ponto que deve ser óbvio são as quartas e quintas justas: nossa afinação 12-equi possui um erro de apenas ±1,96 cents, muito menos que a audição humana é capaz de perceber. Outro erro consideravelmente pequeno está no par M2-m7 (segunda maior e sétima menor): ±3,91 cents. É suficiente para sermos gregos antigos ainda hoje? Certamente não, uma vez que não fazemos música puramente melódica 16 e não tomamos a quinta justa além da oitava, certamente como único intervalo consonante e ponto de repouso. Por fim, o par m3-m6 está passando minimamente da fronteira de diferença, com um erro de ±5,86 cents. 15 Cf. nota A música pitagórica focava apenas na melodia, impedindo harmonias (permitindo apenas oitavas simultâneas).