ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Á ÄÇË ÄÁÅÁÌ Ë Å ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ÈÇÊ È ÊÌ Ë ÇÅ Í Ë ÇÆ Ë ÆÇ ÈÄ ÆÇ ÄÙ Þ ÖÒ Ò Ó ÓÒ ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÄÙ ÖÒ Ò

Transcrição

1 ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Á ÄÇË ÄÁÅÁÌ Ë Å ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ÈÇÊ È ÊÌ Ë ÇÅ Í Ë ÇÆ Ë ÆÇ ÈÄ ÆÇ ÄÙ Þ ÖÒ Ò Ó ÓÒ ÐÚ ÁØ Ù Ú Ö ÖÓ ¾¼½

2 ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Á ÄÇË ÄÁÅÁÌ Ë Å ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ÈÇÊ È ÊÌ Ë ÇÅ Í Ë ÇÆ Ë ÆÇ ÈÄ ÆÇ ÄÙ Þ ÖÒ Ò Ó ÓÒ ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ç Ö Ó Å ÐÐÓ ÖØ Ó Ù Ñ Ø Ó ÈÖÓ Ö Ñ È Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ì ØÙÐÓ Å ØÖ Ñ Ò Ñ Å Ø Ñ Ø ýö ÓÒ ÒØÖ Ó ÕÙ Ö Ò ÙÖ ÒØ Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ø ØÖ Ð Ó Ó ÙØÓÖ Ö Ù ÙÜ Ð Ó Ò Ò ÖÓ È Ë ÁØ Ù Å Ú Ö ÖÓ ¾¼½

3 ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÈÖÓ Ö Ñ È Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø Á ÄÇË ÄÁÅÁÌ Ë Å ËÁËÌ Å Ë ÄÁÆ Ê Ë ÈÇÊ È ÊÌ Ë ÇÅ Í Ë ÇÆ Ë ÆÇ ÈÄ ÆÇ ÄÙ Þ ÖÒ Ò Ó ÓÒ ÐÚ ÖØ Ó ÔÖÓÚ ÔÓÖ Ò Ü Ñ Ò ÓÖ Ñ ½ Ú Ö ÖÓ ¾¼½ ÓÒ Ö Ò Ó Ó ÙØÓÖ Ó Ø ØÙÐÓ Å ØÖ Ñ Ò Ñ Å Ø Ñ Ø º Ò Ü Ñ Ò ÓÖ ÈÖÓ º ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ç Ö Ó Å ÐÐÓ ÇÖ ÒØ ÓÖµ ÈÖÓ º Ó Ë ÐÓ Ó¹ÓÖ ÒØ ÓÖµ ÈÖÓ º Ì Ó ÖÚ Ð Ó ÈÖÓ º ÄÙ ÊÙ Þ Ó Ë ÒØÓ º ÁØ Ù Å Ú Ö ÖÓ ¾¼½

4 Ó Ñ Ù Ñ Ó Ô ÂÓ ÁÐÑ Ó Ñ Ù Ö Ò Ñ Ó Ó Ñ Ù Ñ ØÖ Óº

5 Ö Ñ ÒØÓ ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÁØ Ù ÍÆÁ Áµ Ñ Ô Ð Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ó ÁÅ µ Ô Ð ÓÔÓÖØÙÒ Ö Ð Þ Ó Ø ØÖ Ð Óº Ó ÔÖÓ ÓÖ Ó ÁÅ Ô Ð Ñ Þ Ò Ò Ñ ÒØÓ ÓÒ Ð Ó ÕÙ ÓÖ Ñ ÑÙ ØÓ ÑÔÓÖ¹ Ø ÒØ Ô Ö Ñ Ò ÓÖÑ Óº Ñ Ù ÓÖ ÒØ ÓÖ ÄÙ ÖÒ Ò Ó Ç Ö Ó Å ÐÐÓ Ô ÐÓ Ö Ò Ü ÑÔÐÓ ÔÖÓ ÓÒ Ð Óѹ Ô Ø Ò Ó ÖØ Ò Ò Öº Ñ Ù ÓÐ Ó Å ØÖ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÍÆÁ Áº Ñ Ò Ñ Ñ ÕÙ ÑÔÖ Ñ ÔÓ ÓÙ ÒÓÖ ÓÙ Ò Ø Ñ Ò º Ñ Ù Ñ Ó Ô Ô ÐÓ Ü ÑÔÐÓ Ú ÓÖ Ò ÒØ ÚÓ Óº Ó Ñ Ù Ö Ò Ñ Ó Ñ Ð Ö Ô ÐÓ Ö Ò Ó ÔÓ Óº Ò Ñ ØÓ Ó ÕÙ ÓÒØÖ Ù Ö Ñ Ö Ø ÓÙ Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ñ Ù Ò ÖÓ Ö Ñ ÒØÓ º

6 ÍÑ ÓÑ Ñ ÕÙ Ø Ñ Ø Ð ÒÓ ÓÒÕÙ Ø Ú Ø Ö º ÓÖ Êº ʺ Å ÖØ Ò

7 Ê ÙÑÓ Ç Ó Ø ÚÓ Ø ÖØ Ó ÓÖ Ö Ô ØÓ ÕÙ Ð Ø Ø ÚÓ Ø ÓÖ Ó Ë Ø Ñ Ö Ò ËÙ Ú ÔÓÖ È ÖØ Ø Ñ Ñ ÓÒ Ó ÓÑÓ Ë Ø Ñ ÓÒØ ÒÙÓ º ÈÖ Ñ ¹ Ö Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó Ó ØÓ ÙÒ Ñ ÒØ ÔÖÓÔÖ Ö Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÑÓ ÙÑ Ú Ö Ó ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö Ô Ö Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ º Ñ Ù ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó Å ØÓ Ó Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÑ Ó ÔÖÓÔ ØÓ ÒÚ Ø Ö Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö º ÈÓ Ø ¹ Ö ÓÖÑ ÒØ Ô ÖØ ÑÓ Ó ØÙ Ó ÐÓ Ð Ñ Ø Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Ð Ò Ö º È Ð ÚÖ Ú Ë Ø Ñ ËÙ Ú ÔÓÖ È ÖØ Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÐÓ Ð Ñ Ø º Ú

8 ØÖ Ø Ì Ñ Ó Ø ÛÓÖ ØÓ Ù ÕÙ Ð Ø Ø Ú ØÙÖ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó È Û Ö ÒØ Ð ËÝ Ø Ñ Ð Ó ÒÓÛÒ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ý Ø Ñ º Ö Ø Û ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ò Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÈÓ Ò Ö Ñ Ô ÓÖ Ô Û Ö ÒØ Ð Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø Ö Û ÔÖ ÒØ Ø Ê ÙÐ Ö Þ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ò ÓÖ Ö ØÓ ÒÚ Ø Ø Ø Ö ÙÐ Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÐÓ ÔÓÐÝ ØÖ ØÓÖ º Ä ØÐÝ Û Ø ÖØ Ø ØÙ Ý Ó Ð Ñ Ø ÝÐ Ò Ô Û Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ý Ø Ñ º Ã ÝÛÓÖ È Û Ö ÒØ Ð Ý Ø Ñ Ê ÙÐ Ö Þ Ø ÓÒ Å Ø Ó Ð Ñ Ø ÝÐ º Ú

9 ËÙÑ Ö Ó Ö Ñ ÒØÓ Ê ÙÑÓ ØÖ Ø Ò Ä Ø ÙÖ Ä Ø Ì Ð ÁÒØÖÓ ÙÓ Ú Ú Ú Ú Ü ½ ½ ÙÒ Ñ ÒØÓ Ì ÓÖ ÉÙ Ð Ø Ø Ú ½º½ Ê ÙÐØ Ó Ð Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ë Ø Ñ ËÙ Ú ÔÓÖ È ÖØ ½ ¾º½ Ë Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ¾ º½ Ç Ñ ØÓ Ó Ö ÙÐ Ö Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º ¾ Ú

10 Ú ÐÓ Ð Ñ Ø Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÓÖ Ô ÖØ ÒÓ ÔÐ ÒÓ º½ Ê ÙÐØ Ó ÔÖ Ð Ñ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÐÓ Ä Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒÐÙ Ð Ó Ö ½¼¼

11 Ä Ø ÙÖ ½º½ ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ ÖÓ Ó ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÖÓ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÖÓ Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ë Ð Ð ÔÔÓÚº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Ë Ð Ð ÔÔÓÚº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º Æ Ð ÔÔÓÚº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º Æ Ð ÔÔÓÚº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º½¼ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ Áº º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º½½ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁº º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º½¾ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁÁº º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 1 Ó Ñ ¾º µº º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 2 Ó Ñ ¾º µº º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 3 Ó Ñ ¾º µº º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 4 Ó Ñ ¾º µº º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½ Ú Ó ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö γº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Óº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Σ¹Ö ÙÐ Öº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú

12 Ü º Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÙÑ Σ¹ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØ Ö Ó ÒØÖ ϕ ε gº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚº º º ¾ º ÈÓÐ ¹ØÖ Ø Ö γº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Σ 0 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ð B ÓÒØ Ò Ó γº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¼ Ö Ø Ô Ö γ ε º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½½ Ö Ø È Ö γ = Σ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½¾ ÈÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁÁº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ò Ð ÓÒØ Ò Ó γº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ö Ø Z ε ÒØÖ ØÖ Ò Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ Ö Ó ÙÒÓ ψº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ ÁÒÚÓÐÙÓ ψº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÙÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÐÓ Ð Ñ Ø Ø Ú Ðº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÓ Ð Ñ Ø Ò Ø Ú Ðº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ø Ô Ö γº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÐÙÓ γ Ù ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÓÑ Ö Ø Ô Ö Ó Σº º º º º º ½ º Ê ØÖ ØÓ X + ÒÓ Ó µº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ØÖ ØÓ X + ÒÓ Ó µº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ØÖ ØÓ X + ÒÓ Ó µº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¼ Ê ØÖ ØÓ X + ÒÓ Ó Úµº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½½ Ê ØÖ ØÓ X + ÒÓ Ó Úµº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½¾ Ì ÓÖ Ñ ÊÓÐÐ Ô Ö ÙÖÚ ÒØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½ ÙÖÚ C f C F ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó Ñ Sº º º º º º º º º º º º º ¾ º½ ÙÖÚ C f C F C f2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

13 Ä Ø Ì Ð º½ Ì Ð ÓÑ ÜÔÖ f 1 λ δº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ì Ð ÓÑ ÜÔÖ Ô Ö f 1 f 2 λ δº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÜÔÖ Ô Ö f 1 λ δº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ü

14 ÁÒØÖÓ ÙÓ ÕÙ Ö Ò ÇÖ Ò Ö Ó Ð Ò Ù Ñ ÔÖ Ö Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ô Ö ÒÚ Ø Ö ÒÑ ÒÓ Ò ØÙÖ Þ º ÌÓ Ú ÑÓ ÕÙ ÑÙ Ø Ð ÒÓ Ñ Ø Ñ ÓÐÙ ÜÔÐ Ø Ó ÑÓØ ÚÓÙ Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ù Ö Ö ÒØ ÐØ ÖÒ Ø Ú º ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÓÖÑ ÓÑÓ ÕÙ Ö Ò ÇÖ Ò Ö Ö Ñ ØÙ ÑÙ ÓÙ Ö Ø Ñ ÒØ ÒÓ Ò Ð Ó ÙÐÓ XIXº Ì Ð ØÓ Ú À ÒÖ ÈÓ Ò Ö Ô ÔÙ Ð Ó Ù ØÖ Ð Ó Å ÑÓ Ö ÙÖ Ð ÓÙÖ Ò Ô Ö ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ñ ÕÙ ÈÓ Ò Ö ÒØÖÓ ÙÞ ÙÑ Ø Ò ÒÓÚ ÓÖ Ô Ö Ó ØÙ Ó Ç³ ÕÙ Ó Ó ÕÙ Ó Ñ ÑÓ Ì ÓÖ ÉÙ Ð Ø Ø Ú ÕÙ Ö Ò ÇÖ Ò Ö º Ø Ø ÓÖ ÒÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø ÚÓ Ö ÙÐØ Ó ÖÖ Ñ ÒØ Ô Ö Ó ØÙ Ó Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ò Ð Ù Ö ØÖ ØÓ Ñ ÓÒ Ö ÓÐÙ ÜÔÐ Ø Ñ Ñ ØÖ Ú Ô ØÓ ÓÑ ØÖ Ó ØÓÔÓÐ Ó Ò Ð Ø Ó ÒØÖ ÓÙØÖÓ º ØÙ ÐÑ ÒØ Ú Ö Ó ÑÓ ÐÓ ÙØ Ð Þ Ó Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð ÓÒ Ó Ò Ò Ö ÓÑÓ Ø ÓÖ ÓÒØÖÓÐ ÖÙ ØÓ Ð ØÖ Ó ÓÐÓ Ó Ø Ñ Ö Ò ÒÓ ¹ Ö Ò Ú Ñ Ù ØÓØ Ð Ñ Ñ Ö ÒØ Ô ÖØ º Ì Ø Ñ ÓÒ Ø Ñ Ö ÒØ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ò Ó Ñ Ö Ø ÒØ Ô Ö Ó ÔÓÖ ÙÑ ÙÖÚ ÓÒØ ÒÙ Ó ÓÒ Ó ÓÑÓ Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÙ Ø Ñ ÓÒØ ¹ ÒÙÓ º ØÙ Ó Ô ÓÒ ÖÓ Ò Ó ÔÓÖ Ò ÖÓÒÓÚ ½ Ð ÔÔÓÚ ÓÒ ÙÞ Ö Ñ ÙÑ ÙÒ¹ Ñ ÒØ Ó Ø Ö Ô Ö Ø Ø ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚÓÐÚ Ö Ñ ÖØ ÓÒÚ Ò Ô Ö ØÖ Ò Ó Ö Ø ÒØÖ Ö ÒØ Ö Ú Ò Ó Ò Ö Ó Ó ØÓ Ó Ì ÓÖ ÉÙ Ð Ø Ø Ú ÕÙ Ö Ò ÒÚ Ø Ó Ù ÒÑ º ½

15 ¾ Ø ÖØ Ó ÒÓ ØÙ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÓÑ Ù ÞÓÒ Ø ÓÖ Ò Þ Ù ÒØ Ñ Ò Ö º ÆÓ Ô ØÙÐÓ ½ Ö ÓÖ ÑÓ Ð ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ì ÓÖ ÉÙ Ð Ø Ø Ú ÕÙ Ö Ò ÇÖ Ò Ö º Ñ Ù ÒÓ Ô ØÙÐÓ ¾ Ô ÖØ ÑÓ Ò Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Ù Ó ØÓ ÙÒ Ñ ÒØ º Ç Å ØÓ Ó Ê ÙÐ Ö ¹ Þ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓ ÒØÖÓ ÙÞ Ó Ñ ½ ÔÓÖ ËÓØÓÑ ÝÓÖ Ì Ü Ö ÔÖ ÒØ Ó ÒÓ Ô ØÙÐÓ º Ì Ð Ñ ØÓ Ó ÓÒ Ø Ò ÔÖÓÜ Ñ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÓÖ ÙÑ Ñ Ð ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÓÒ ÔÓ¹ ÑÓ ÔÐ Ö Ø ÓÖ Ð Ø ÒØ Ö Ó Ø Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó ÑÔÓ ÓÒØ ÒÙÓº ÆÓ Ô ØÙÐÓ Ô ÖØ ÑÓ Ó ØÙ Ó ÙÒ ÐÓ Ð Ñ Ø Ñ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Ð Ò Ö Ó ÖØ Ö ØÖ Ò ÙÖÚ ÓÒØ ÒÙ º

16 Ô ØÙÐÓ ½ ÙÒ Ñ ÒØÓ Ì ÓÖ ÉÙ Ð Ø Ø Ú Æ Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ð Ó Ì ÓÖ ÉÙ Ð Ø Ø Ú ÕÙ Ö Ò ÕÙ ÖÓ Ö Ò ÑÔÓÖØÒ ÒÓ ÓÖÖ Ö Ø ØÖ Ð Óº Ø Ô ØÙÐÓ Ó Ñ ½ º ½º½ Ê ÙÐØ Ó Ð Ó ÍÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C r r 1 Ò Ó Ñ ÙÑ ÖØÓU R n ÙÑ ÔÐ Ó Ð C r F : U R n ÕÙ Ð ÔÓ ÑÓ Ó Ö ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð x = F(x). Ò Ó ½º½º½º ÍÑ ÔÓÒØÓ x 0 R n ØÓ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ F F(x 0 ) = 0º Ë F(x 0 ) 0 ÒØÓ Þ ÑÓ ÕÙ x 0 ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö F º ÓÐÙ Ø ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ó ÙÒ Ö Ò Ú ϕ : I R U ÕÙ Ø Þ Ñ Ô Ö ØÓ Ó t Iº d ϕ(t) = F(ϕ(t)), dt ÓÐÙ ÙÑ ÓÒ Ó Ò Ð Ó Ñ ØÖ Ø Ö ÙÖÚ ÒØ ¹ Ö ÓÙ Ö Ø Ó ÑÔÓ F ÓÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ó Ö Ò Ðº Ô ÖØ Ö Ó

17 ÑÔÓ F ÔÓ ÑÓ ØÙ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ Ô ØÓ ÕÙ Ð Ø Ø ÚÓ Ó Ö Ó Ö ØÖ ØÓ Ø Ø Ñ Ñ Ò Ö Ñ ÒØ ÒÓÒØÖ Ö ÓÐÙÓ ÜÔÐ Ø ÕÙ Ó Ö Ò Ðº Ò Ó ½º½º¾º ÍÑ ÔÐ Ó f : Ω R R n R n Ø Ä Ô ØÞ Ò Ñ Ω ÓÑ Ö Ð Ó ÙÒ Ú Ö Ú Ð Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ K > 0 Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó (t,x),(t,y) Ωº f(t,x) f(t,y) K x y, Ì ÓÖ Ñ ½º½º½ Ü Ø Ò ÍÒ È Ö µº Ë f : Ω R R n R n ÓÒØ ÒÙ Ä Ô ØÞ Ò ÓÑ Ö Ð Ó ÙÒ Ú Ö Ú Ð Ñ Ω = I a B b ÓÑ I a = {t : t t 0 a} B b = {x : x x 0 b}º Ë f M Ñ Ω Ü Ø ÙÑ Ò ÓÐÙÓ Ò Ñ I α ÓÑ α = min{a,b/m}º x = f(t,x) x(t 0 ) = x 0 ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º Ò Ó ½º½º º ÍÑ ÓÐÙÓ ϕ : I R n x = f(t,x) Ø ÓÐÙÓ Ñ Ü Ñ ÒÓ Ñ Ø Ò Ò ÙÑ ÜØ Ò Ó ÕÙ Ø Ñ Ñ ÙÑ ÓÐÙÓ ÓÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖ ÓÐÙÓ ψ : J R n Ø Ð ÕÙ I J ϕ = ψ I ÒØÓ I = Jº Ó ÙÑ Ø Ñ n ÕÙ Ö Ò x 1 = a 11 (t)x 1 + +a 1n (t)x n +b 1 (t) º º x n = a n1 (t)x 1 + +a nn (t)x n +b n (t) ½º½µ ÓÑ a ij b i i,j = 1,...,n ÙÒ ÓÒØ ÒÙ Ú ÐÓÖ Ö ÓÙ ÓÑÔÐ ÜÓ Ò Ñ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ I ÔÓ ÑÓ Ö Ð ÓÒ ÐÓ ÙÑ ÕÙ Ó Ú ØÓÖ Ð X = A(t)X +B(t), ½º¾µ Ñ ÕÙ X = (x 1,...,x n ) A(t) = (a ij (t)) Ñ ØÖ Þ ÓÖ Ñ n Ù Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó a ij B(t) = (b i (t)) Ó Ú ØÓÖ ÓÐÙÒ Ù Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó b i (t) Ù ÒØ ÓÖÑ ÍÑ Ñ Ð {ϕ 1,...,ϕ n } ÓÐÙÓ ½º½µ ÓÑ ÒØ ϕ = (ϕ 1,...,ϕ n ) ÓÐÙÓ ½º¾µº

18 Ò Ó ½º½º º ÍÑ Ñ ØÖ Þ φ(t) ÓÖ Ñ n Ø Ö ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÙÒ Ñ ÒØ Ð X = A(t)X ½º µ Ù ÓÐÙÒ ÓÖÑ Ñ ÙÑ Ó Ô Ó ÓÐÙ ½º µº ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º½ ÖÑÙÐ Ä ÓÙÚ ÐÐ µº Ë φ(t) ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ½º µº ÒØÓ Ô Ö ØÓ Ó t I t 0 I Ü Ó ( t ) detφ(t) = det(φ(t 0 ))exp tr(a(s))ds t 0 ½º µ Ñ ÕÙ tr(a) Ó ØÖ Ó Ñ ØÖ Þ Aº ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º Ò Ó ½º½º º ÍÑ ÔÐ Ó ϕ : R R n R n Ð C 1 Ø ÙÑ ÙÜÓ µ ϕ(0,x) = x µ ϕ(t+s,x) = ϕ(t,ϕ(s,x)) Ô Ö ØÓ Ó x R n t,s Rº Ç ÔÖ Ü ÑÓ Ø ÓÖ Ñ ÒÓ Ö ÒØ ÕÙ ÓÐÙ ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð ÔÓ Ù Ñ Ñ Ñ Ð Ö Ò Ð Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÕÙ Ò º Ì ÓÖ Ñ ½º½º¾º Ë ÖØÓ R n º ÓÒ Ö F : R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C r r 1 ÕÙ Ó Ö Ò Ð X = F(X). ½º µ ÒØÓ µ È Ö x Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ I x ÓÒ Ø Ò Ò ÓÐÙÓ Ñ Ü Ñ ϕ x ½º µ Ø Ð ÕÙ ϕ x (0) = xº µ Ë y = ϕ x (s) ÓÑ s I x ÒØÓ I y = {r s : r I x } ϕ y (0) = y ϕ y (t) = ϕ x (t+s) Ô Ö ØÓ Ó t I y º

19 µ Ç ÓÒ ÙÒØÓ D = {(t,x) : x,t I x } ÖØÓ Ñ R R n ÔÐ Ó ϕ(t,x) = ϕ x (t) Ð C r º Ð Ñ Ó D 1 D 2 ϕ(t,x) = DF(ϕ(t,x))D 2 ϕ(t,x), Ô Ö ØÓ Ó (t,x) Dº ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º Ò Ó ½º½º º ÔÐ Ó ϕ : D (t,x) ϕ(t,x) = ϕ x (t) Ñ ÙÜÓ Ö Ó ÓÙ ÙÜÓ ÐÓ Ðº Ò Ó ½º½º º ÍÑ Ö Ø γ p = {ϕ(t,p) : t I p } ÒÓ Ö ÙÞ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ø ÓÙ Ô Ö Ô Ö ØÓ Ó x γ p Ü Ø t 0 > 0 Ø Ð ÕÙ ϕ(t,x) = ϕ(t+t 0,x). ÆÓØ ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ö Ò Ò ØÖ Ú ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ö Ò ¹ Ú Ø ÑÓ ÙÒ ÓÐÙ º Æ Ø Ó Ù Ö Ø γ p γ q ÒØÓ Ð Ó Ò Ñ ÓÙ Ó ÙÒØ º ØÓ q γ p ÒØÓ Ô Ð ÔÖÓÔÖ ÖÙÔÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö q = ϕ(t 0,p) ÐÓ Ó ϕ(t,q) = ϕ(t,ϕ(t 0,p)) = ϕ(t+t 0,p) Ñ γ p = γ q º Ò Ó ½º½º º ÓÒ Ö 1 2 ÖØÓ R n Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ F 1 : 1 R n F 2 : 2 R n Ó Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙ Ö Ò X = F 1 (X) X = F 2 (X)º Ë Ñ ϕ 1 : D 1 R n ϕ 2 : D 2 R n Ó ÙÜÓ Ö Ó Ô ÐÓ ÑÔÓ F 1 F 2 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Þ ÑÓ ÕÙ F 1 ØÓÔÓÐÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ù Ó F 2 ÕÙ Ò Ó Ü Ø ÙÑ ÓÑ ÓÑÓÖ ÑÓ h : 1 2 Ø Ð ÕÙ h(ϕ 1 (t,x)) = ϕ 2 (t,h(x)), Ô Ö ØÓ Ó (t,x) D 1 º ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ ÓÒ Ù Ó ØÓÔÓÐ Ð Ñ ÔÖ ÖÚ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÒÚ ¹ Ö ÒØ Ó Ö ØÖ ØÓ Ø Ñ Ñ Ñ ÒØ Ñ Ô Ö Ó Ö Ø Ô Ö º

20 ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º¾º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ F 1 : 1 R n F 2 : 2 R n Ð C r h : 1 2 ÙÑ ÓÑÓÖ ÑÓ Ð C r º ÒØÓ h ÙÑ ÓÒ Ù Ó ÒØÖ F 1 F 2 ÓÑ ÒØ Dh(p)F 1 (p) = F 2 (h(p)), Ô Ö ØÓ Ó p 1 º ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º È ÖØ Ö ÑÓ ÓÖ Ô Ö Ò Ó Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ô Ö Ó Ø ÓÖ Ñ Ó ÙÜÓ ØÙ ÙÐ Ö ÕÙ ÒÓ Ö ÒØ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÓÐ Ö Ö Ø ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ò ØÖ Ú ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö Ò Ú Ð ÐÓ ÐÑ ÒØ ÓÑÓ ÙÑ ÑÔÓ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ú Þ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Öº Ò Ó ½º½º º Ë Ñ R n ÖØÓ F : R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C r r 1 Ó ÖØÓ A R n 1 º ÍÑ ÔÐ Ó f : A Ð C r Ñ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÐÓ Ð F ÕÙ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó a A Df(a) R n 1 F(f(a)) Ö Ñ Ó Ô Ó R n º Ë Σ = f(a) ÑÙÒ Ó ØÓÔÓÐÓ Ò ÙÞ ÔÓÖ º Ë f : A Σ ÓÖ ÙÑ ÓÑ Ó¹ ÑÓÖ ÑÓ Þ ÑÓ ÕÙ Σ ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð F º Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ì ÓÖ Ñ Ó ÐÙÜÓ ÌÙ ÙÐ Öµº Ë p ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F : R n Ð C r ÓÒ Ö f : A Σ ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÐÓ Ð F ÓÑ f(0) = pº ÒØÓ Ü Ø ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p Ñ ÙÑ ÓÑÓÖ ÑÓ h : V ( ε,ε) B Ð C r ÓÑ ε > 0 B ÙÑ ÓÐ ÖØ Ñ R n 1 ÒØÖ Ò ÓÖ Ñ Ø Ð ÕÙ µ h(σ V) = {0} B µ h ÙÑ C r ÓÒ Ù Ó ÒØÖ F V Ó ÑÔÓ ÓÒ Ø ÒØ Y : ( ε,ε) B R n Ó ÔÓÖ Y (1,0,0,...,0) R n º

21 ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º Ç Ø ÓÖ Ñ Ó ÙÜÓ ØÙ ÙÐ Ö ÒÓ Ö ÒØ ÙÑ ÓÑ ÓÒ Ñ ÒØÓ ÒÑ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ò Ú Þ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Öº Â Ô Ö Ú Þ Ò Ò ÔÓÒØÓ Ò Ù¹ Ð Ö ÓÙ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó Ø ÑÓ ÙÑ Ö Ò Ú Ö ÓÒ Ù º Ò Ó ½º½º½¼º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙ Ð Ö Ó p ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F : R n R n x = (x 1,...,x n ) F(x) = (F 1 (x),...,f n (x)) Ð C r r 1 Ô Ö Ð Ó ØÓ Ó Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ Ñ ØÖ Þ Ð Ò Ö Þ Ó F 1 (p) F x 1 1 (p) x n º DF(p) = º º º º F n(p) x 1 ÔÓ Ù Ñ Ô ÖØ Ö Ö ÒØ Þ ÖÓº F n(p) x n Î Ö ÑÓ ÓÖ Ó Ø ÓÖ Ñ À ÖØÑ Ò ÖÓ Ñ Ò ÕÙ Ö ÒØ ÕÙ ÒÑ Ò Ú ¹ Þ Ò Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó ØÓÔÓÐÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ù Ó Ø Ñ Ð Ò Ö Þ Ó Ò ÕÙ Ð ÔÓÒØÓº Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ì ÓÖ Ñ À ÖØÑ Ò ÖÓ Ñ Òµº Ë Ñ F : R n R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C r r 1 p ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Óº ÒØÓ Ü Ø Ñ Ú Þ Ò Ò W p Ñ V ÓÖ Ñ Ó R n Ø ÕÙ Ó ÑÔÓ F W ØÓÔÓÐÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ù Ó DF(p) V º ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º È ÖØ Ö ÑÓ ÓÖ Ô Ö Ò Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÈÓ Ò Ö ÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ØÓÖÒÓ ÒÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö Ò Ú Ð ÕÙ Ð Ö ÑÙ ØÓ Ø Ð Ò Ø ØÖ Ð Óº Ø ÔÐ Ó Ö Ú Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò ÙÑ Ö Ø º ÓÒ Ö ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F : R 2 R 2 Ð C r r 1 ÙÑ Ö Ø Ô Ö γ Ô Ö Ó Ó τ 0 º Ë Σ ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð F Ñ p γº ÓÒØ ÒÙ Ó ÙÜÓ ϕ F Ö ÒØ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó ÔÓÒØÓ q Ù ÒØ Ñ ÒØ ÔÖ Ü ÑÓ p ØÖ Ø Ö

22 ϕ q (t) Ô ÖÑ Ò ÔÖ Ü Ñ γ Ô Ö t Ô ÖØ Ò ÒØ ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÑÔ ØÓº ÒØÓ ØÓÑ Ò Ó Σ 0 Σ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö π : Σ 0 Σ Σ x π(x) Ñ ÕÙ π(x) ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ó ϕ x (t) ÓÑ Σ Ô Ö t > 0º ÆÓØ ÕÙ p Σ 0 π(p) = pº Σ x π(x) p γ ÙÖ ½º½ ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö º ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º º Ë ϕ ÙÑ ÙÜÓ Ð C r r 1º ÒØÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÈÓ Ò Ö π : Σ 0 π(σ 0 ) ÙÑ ÓÑÓÖ ÑÓ Ð C r º ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º Ò Ó ½º½º½½º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ö Ø γ Ø Ú Ð ÕÙ Ò Ó lim d(ϕ(t,q),γ) = 0, t Ô Ö ØÓ Ó q ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò γ ÓÑ d(ϕ(t,q),γ) = inf{ ϕ(t,q) r : r γ}º Ò Ó ½º½º½¾º ÓÒ Ö ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F : R 2 R 2 Ð C r r 1 ÙÑ Ö Ø Ô Ö γº Ë γ ÙÑ Ö Ø Ô Ö ÓÐ ØÓ Ü Ø ÙÑ Ú Þ Ò Ò V γ Ø Ð ÕÙ γ Ò Ö Ø Ô Ö Þ ÑÓ ÕÙ γ ÙÑ ÐÓ Ð Ñ Ø º ÈÖÓÔÓ Ó ½º½º º ÓÒ Ö ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F : R 2 R 2 Ð C r r 1 ÙÑ ÐÓ Ð Ñ Ø γº ÒØÓ Ø ÑÓ ÓÑ ÒØ Ó Ù ÒØ Ø ÔÓ ÐÓ Ð Ñ Ø

23 ½¼ µ Ø Ú Ð ØÓ ÕÙ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó q ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò V γ lim d(ϕ(t,q),γ) = 0, t µ ÁÒ Ø Ú Ð ÕÙ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó q V lim d(ϕ(t,q),γ) = 0, t µ Ë Ñ ¹ Ø Ú Ð ÕÙ Ò Ó Ô Ö ØÓ Ó q V Extγ Ô Ö ØÓ Ó q V Intγ ÓÙ Ú ¹Ú Ö º lim d(ϕ(t,q),γ) = 0, t lim d(ϕ(t,q),γ) = 0, t ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ó ÐÓ Ð Ñ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó ÔÓÒØÓ ÜÓ ÓÐ Ó ÔÐ ¹ Ó ÈÓ Ò Ö πº Ç ÔÖ Ü ÑÓ Ø ÓÖ Ñ Ø Ð ÙÑ ÜÔÖ Ó Ô Ö Ö Ú ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö ÓÒ Ô Ö ÕÙ ÙÑ Ö Ø Ô Ö γ ÙÑ ÐÓ Ð Ñ Ø Ô Ö Ð Ó ÓÙ ÕÙ Ò Ó π (p) 1 Ô Ö Ð ÙÑ p γº Ì ÓÖ Ñ ½º½º º ÓÒ Ö ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F = (F 1,F 2 ) : R 2 R 2 Ð C 1 ÙÑ Ö Ø Ô Ö γ F Ô Ö Ó Ó t 0 º Ë Ñ Σ ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ñ p γ π : Σ 0 Σ ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö º ÒØÓ Ö Ú ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö ÔÓÖ Ñ ÕÙ divf(x) = D 1 F 1 (x)+d 2 F 2 (x)º ( t0 ) π (p) = exp divf(γ(t))dt, ½º µ 0 Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö t 0 0 divf(γ(t))dt < 0 ÒØÓ γ Ø Ú Ð t 0 0 divf(γ(t))dt > 0 Ø ÑÓ ÕÙ γ Ò Ø Ú Ðº

24 ½½ ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º È ÖØ Ö ÑÓ ÓÖ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ñ Ø Ö Ø ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ ØÙ Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÒØ Ø Ó Ö Ø ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÒÓ ÔÐ ÒÓº Ò Ó ½º½º½ º Ë Ñ R n ÙÑ ÖØÓ F : R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C r r 1º ÓÒ Ö ϕ(t,p) Ö Ø F Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ p Ò Ñ Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ Ü ÑÓ I p = (I (p),i + (p))º Ë I + (p) = Ò ¹ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ω(p) = {q : {t n } ÓÑ t n ϕ(t n ) q, ÕÙ Ò Ó n }. Ò ÐÓ Ñ ÒØ I (p) = ÔÓ ÑÓ Ò Ö α(p) = {q : {t n } ÓÑ t n ϕ(t n ) q, ÕÙ Ò Ó n }. Ç ÓÒ ÙÒØÓ ω(p) α(p) Ó Ñ Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ ω Ð Ñ Ø ÓÒ ÙÒØÓ α Ð Ñ Ø pº Ì ÓÖ Ñ ½º½º º Ë Ñ R n ÙÑ ÖØÓ F : R n ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C r r 1º ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÔÓ Ø Ú γ + (p) = {ϕ(t,p) : t 0} Ó ÑÔÓ F Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ pº Ë γ + (p) Ø ÓÒØ ÒÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÔ ØÓ K ÒØÓ µ ω(p) µ ω(p) ÓÑÔ ØÓ µ ω(p) ÒÚ Ö ÒØ ÔÓÖ F ØÓ q ω(p) ÒØÓ ÙÖÚ ÒØ Ö Ð F ÔÓÖ q Ø ÓÒØ Ñ ω(p) µ ω(p) ÓÒ ÜÓº ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º Ì ÓÖ Ñ ½º½º Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö Ò Ü ÓÒµº Ë Ñ R 2 ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÖØÓ F : R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C r r 1º Ë ϕ(t,p) ÙÑ Ö Ø F Ò Ô Ö ØÓ Ó t 0 ÙÔÓÒ ÕÙ Ñ Ö Ø ÔÓ Ø Ú γ + (p) Ø ÓÒØ ÒÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÔ ØÓ K º Ò ÙÔÓÒ ÕÙ Ó ÑÔÓ F ÔÓ Ù ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ò ÙÐ Ö Ñ ω(p)º ÒØÓ Ø Ñ¹ Ù ÒØ ÔÓ Ð

25 ½¾ µ Ë ω(p) ÓÒØ Ñ ÓÑ ÒØ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö ÒØÓ ω(p) ÙÑ Ö Ø Ô Ö µ Ë ω(p) ÓÒØ Ñ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö Ò ÙÐ Ö ÒØÓ ω(p) ÓÒ Ø ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ø ÙÑ ÕÙ Ø Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÕÙ Ò Ó t ± º µ Ë ω(p) ÒÓ ÓÒØ Ñ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö ÒØÓ ω(p) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Öº ÑÓÒ ØÖ Ó ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ½ º

26 Ô ØÙÐÓ ¾ ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ë Ø Ñ ËÙ Ú ÔÓÖ È ÖØ Æ Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÒÓ Ó Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓ º È ÖØ Ö ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ Ò Ó Ó Ó ØÓ ÙÒ Ñ Ò¹ Ø Ø ÓÖ Ð ÓÑÓ ØÖ Ø Ö Ò ÙÐ Ö Ø Ò Ó ÓÑÓ ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ø ÓÖ Ð ÕÙ Ö Ò ÓÒÚ Ò Ð ÔÔÓÚº ¾º½ Ë Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÍÑ Ñ Ð Ø Ñ Ö Ò ÕÙ Ø Ñ Ñ Ó Ø ÒÓ ØÙ ÐÑ ÒØ Ó Ó Ø Ñ Ö Ò Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÓÑ Ù ÞÓÒ Ó ÕÙ Ð Ö Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ó ØÓ ØÙ Ó Ø ØÖ Ð Óº ÓÒ Ö X Y ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ØÓ Ð C r r 1 Ò Ó Ñ ÙÑ ÖØÓ ÓÒ ÜÓ M R 2 ÓÒØ Ò Ó ÓÖ Ñ f : M R 2 R ÙÑ ÙÒÓ Ù Ú Ø Ð ÕÙ 0 Ú ÐÓÖ Ö ÙÐ Öº ËÙÔÓÒ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Σ = f 1 (0) M ÓÒ ÜÓ Ú M Ñ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ü ÔÓÖ Σ + = {(x,y) M : f(x,y) > 0}; Σ = {(x,y) M : f(x,y) < 0}. ½

27 ½ Ò Ó ¾º½º½º Ó X Y ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú Ò Ó Ñ M R 2 f : M R 2 R ÓÑÓ Ñ Ò ¹ ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Z ÓÑÓ X(x,y), f(x,y) 0; Z(x,y) = ¾º½µ Y(x,y), f(x,y) 0. ÒÓØ Ö ÑÓ Z = (X,Y) Ñ Ð Ö Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÔÓÖ Ω r (M,f) Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÑ Ù ÞÓÒ ÒÓ ÔÐ ÒÓ Ò Ó Ñ M ÓÑ Ó ÙÜ Ð Ó ÙÒÓ fº ÆÓØ ÕÙ ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÒ Ö Ö Ö Σ + Σ ÓÑ ÖÓÒØ Ö ÓÑÙÑ Σ ÒÓ ÕÙ Ð Z ÔÓ Ö ÓÒ Ö Ó ¹Ú ÐÙ Óº Ç ÓÒ ÙÒØÓ Σ = {(x,y) M : f(x,y) = 0} Ñ Ó ÙÖÚ Ô Ö Ó ÓÙ ÙÖÚ ÓÒØ ÒÙ º Ñ Ø Ð Ö ÙÑ Ò Ó Ô Ö ØÖ Ø Ö ÙÑ Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô Ö¹ Ø ÒÓ ÔÐ ÒÓ ÓÑ Ù ÞÓÒ ØÙ Ö Ù ÒÑ ÔÖ ÑÓ ÙÑ Ö Ø Ö Ó Ô Ö ØÖ Ò Ó Ö Ø ÒØÖ Σ + Σ ØÖ Ú ÙÖÚ Ô Ö Ó Σº Æ Ö Σ + Σ ØÖ Ø Ö ÐÓ Ð ÙÑ ÔÓÒØÓ p Ô Ð ØÖ Ø Ö Ù Ù Ð Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú X ÓÙ Y º Ñ Ö Ø Ø Ò Ö Ò Ó ØÖ Ø Ö Ô Ö ÔÓÒØÓ Ñ Σº È Ö Ó ÔÖ Ö ÑÓ ÓÒÚ Ò Ð ÔÔÓÚº Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ p R 2 ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú X : R 2 R 2 (x,y) X(x,y) = (X 1 (x,y),x 2 (x,y)) ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ Xf(p) = X(p), f(p) = X 1 (p) f(p) x +X 2(p) f(p) y ¾º¾µ Ö Ú Ö ÓÒ Ð f Ó ÐÓÒ Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ ÐX Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ Ö Ú Ä º Ò ÐÓ Ñ ÒØ X 2 f(p) = X(p), Xf(p) = X 1 (p) Xf(p) x Ò Ó ¾º½º¾º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f)º ÒØÓ +X 2 (p) Xf(p). ¾º µ y µ ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ Σ C Σ ØÓ Ö Ó ØÙÖ Ô Ö ØÓ Ó p Σ C Ø Ú ÖÑÓ

28 ½ Xf(p)Yf(p) > 0º Î ÙÖ ¾º½º Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º½ ÖÓ Ó ØÙÖ º µ ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ Σ E Σ ØÓ Ö Ô Ô Ö ØÓ Ó p Σ E Ø Ú ÖÑÓ Xf(p) > 0 Yf(p) < 0º Î ÙÖ ¾º¾º Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º¾ ÖÓ Ô º µ ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ Σ D Σ ØÓ Ö Ð Þ Ô Ö ØÓ Ó p Σ D Ø Ú ÖÑÓ Xf(p) < 0 Yf(p) > 0º Î ÙÖ ¾º º Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º ÖÓ Ð Þ º

29 ½ ÆÓØ ÕÙ Ó ÖÓ Ó ØÙÖ Ô Ð Þ Ò Ñ ÖØÓ Ñ Σº Ò Ó ÜÐÙ Ó ÔÓÒØÓ p Σ Ø ÕÙ Xf(p) = 0 ÓÙ Yf(p) = 0º Ì ÔÓÒØÓ Ó Ñ Ó ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò º ÆÓØ ÕÙ Xf(p) = 0 X(p) 0 ÒØÓ ØÖ Ø Ö ÕÙ Ô ÔÓÖ p Ø Ò ÒØ Σº Ð Ñ Ó ÜÐÙ Ó ÔÓÒØÓ Σ ÕÙ Ó Ò ÙÐ Ö X ÓÙ Y º Ì ÔÓÒØÓ ÓÓÖÖ Ñ Ò ÖÓÒØ Ö Σ C Σ E Σ D Ó ÖÓ Σ C Σ E Σ D Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ò Ó ¾º½º º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f)º Ç ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú X ÔÓ Ù ÙÑ Ó Ö ÓÙ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø ÓÑ Σ Ñ p Σ Xf(p) = 0 X 2 f(p) 0º Þ ÑÓ ÕÙ p ÙÑ Ó Ö µ ÒÚ Ú Ð Z Xf(p) = 0 X 2 f(p) < 0º Ò ÑÓ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÙÑ Ó Ö ÒÚ Ú Ð Z ÕÙ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø Y ÓÑ Σº µ Ú Ú Ð Z Xf(p) = 0 X 2 f(p) > 0º Ò ÑÓ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÙÑ Ó Ö Ú Ú Ð Z ÕÙ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø Y ÓÑ Σº ÍÑ ÔÓÒØÓ p Σ ØÓ ÙÑ Σ¹ Ó Ö ÓÖ ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø Ô Ò Ó ÑÔÓ X ÓÙ Ô Ò Ó ÑÔÓ Y ÓÑ Σº Ò Ó ¾º½º º ÍÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú X ÔÓ Ù ÙÑ Ø Ò Ò ÓÑ Σ Ñ p Σ Xf(p) = X 2 f(p) = 0 X 3 f(p) 0º Ò Ó ¾º½º º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f)º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ò ÙÐ Ö p X Ö Ð p Σ + º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ò ÙÐ Ö p X Ú ÖØÙ Ð p Σ º È Ö Ò ÖÑÓ ØÖ Ø Ö Ô Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó ØÙÖ ÓÑÓ Ó ÑÔÓ X Y ÔÓÒØ Ñ Ò Ñ Ñ Ö Ó Ù ÒØ Ù Ø ÔÓÖ ØÖ Ø Ö X Y ÔÓÖ ÕÙ Ð ÔÓÒØÓº  ÒÓ ÖÓ Ð Þ Ô ÔÖ ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð ÙÜ Ð Ö ÓÒ Ó ÓÑÓ ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ ÓÙ ÑÔÓ Ð Þ ÒØ º ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð F Z Ñ ÕÙ ÔÓÒØÓ p Σ E Σ D Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö ÓÒÚ Ü X(p) Y(p) ÑÓ Ó ÕÙ F Z (p) Ø Ò ÒØ Σ ÓÙ F Z (p) Ó Ò Ó Ú ØÓÖ Ø Ò ÒØ Σ ÒÓ ÓÒ Ö Ó ÔÓÖ X(p) Y(p)º Î ÙÖ ¾º º

30 ½ X(p) Σ Σ + Σ p Y(p) F Z (p) ÙÖ ¾º ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚº Ø ÑÓ Ó F Z (p) = (1 α(p))x(p)+α(p)y(p) Ñ ÕÙ ÄÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ F Z Ó ÔÓÖ α(p) = Xf(p) Xf(p) Yf(p). F Z (p) = Yf(p)X(p) Xf(p)Y(p). ¾º µ Yf(p) Xf(p) È Ö Ú Ö Ö ÕÙ F Z Ø Ò ÒØ Σ Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ F Z (p) ÓÖØÓ ÓÒ Ð f(p)º ØÓ F Z (p), f(p) = = ( f(p) (1 α(p))x(p)+α(p)y(p), x, f(p) ) y ( ) (1 α(p))(x 1 (p),x 2 (p))+α(p)(y 1 (p),y 2,(p)), = Xf(p) α(p)xf(p)+α(p)yf(p) = Xf(p)(Xf(p) Yf(p)) Xf(p)Xf(p)+Xf(p)Yf(p) Xf(p) Yf(p) = 0. ( ) f(p), f(p) x y ÈÓ ÑÓ Ö Ú Ö Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ ÓÙØÖ ÓÖÑ º ÄÓ ÐÑ ÒØ ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò p Σ E Σ D ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÓÓÖ Ò ÐÓ ÓÖÑ ÕÙ Σ = {y = 0} p = (0,0) f(x,y) = yº Ñ ÓÒ Ö Ò Ó X(x,y) = (a(x,y),b(x,y)) Y(x,y) =

31 ½ (c(x,y),d(x,y)) Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ Ó ÔÓÖ ( ) a(p)d(p) b(p)c(p) F Z (p) =,0. ¾º µ d(p) b(p) ØÓ ÙÔÓÒ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ p Σ E º ÓÒ Ö Ö Ø r ÕÙ Ô ÔÓÖ (a(p),b(p)) (c(p),d(p)) ØÓ r : y = d(p) b(p) c(p) a(p) (x a(p))+b(p). ÓÑÓ ÙÖÚ Ô Ö Ó Ó Ò ÐÓ ÐÑ ÒØ ÓÑ Ó ÜÓ x Ø ÑÓ ÕÙ F Z (p) = (x 0,0) ÓÑ (x 0,0) rº ÄÓ Ó Ø ÒÓÒØÖ Ö Ó ÔÓÒØÓ ÒØ Ö Ó ÒØÖ r Ó ÜÓ xº Ñ ÑÔÐ ÕÙ y = d(p) b(p) c(p) a(p) (x a(p))+b(p) = 0 x = a(p)d(p) b(p)c(p). d(p) b(p) Ò Ó ¾º½º º ÍÑ ÔÓÒØÓ p Σ E Σ D ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ F Z F Z (p) = 0 ÓÙ a(p)d(p) b(p)c(p) = 0º Ç ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ Ó Ñ Ó Ô Ù Ó¹ ÕÙ Ð Ö Ó º ÆÓØ ÕÙ a(p)d(p) b(p)c(p) = a(p) b(p) c(p) d(p) = det(x,y)(p). Ò Ó ¾º½º º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f) F Z Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ Ö Ó ÔÓÖ Zº Ë p Σ E Σ D ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö F Z ØÓ F Z (p) = 0º Ç ÔÓÒØÓ p ØÓ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó F Z 0 ÓÙ d(det(x,y) Σ)(p) 0º Ò Ó ¾º½º º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f) F Z Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ Ö Ó ÔÓÖ Zº Ë p ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó F Z º ÒØÓ

32 ½ µ p ÙÑ Ð Ð ÔÔÓÚ µ p Σ D ÙÑ Ò ÙÐ Ö Ö ÔÙÐ ÓÖ F Z ØÓ F Z > 0º Î ÙÖ ¾º º Σ + p Σ Σ ÙÖ ¾º Ë Ð Ð ÔÔÓÚº µ p Σ E ÙÑ Ò ÙÐ Ö ØÖ ØÓÖ F Z ØÓ F Z < 0º Î ÙÖ ¾º º Σ + p Σ Σ ÙÖ ¾º Ë Ð Ð ÔÔÓÚº µ p ÙÑ Ò Ð ÔÔÓÚ µ p Σ D ÙÑ Ò ÙÐ Ö ØÖ ØÓÖ F Z ØÓ F Z < 0º Î ÙÖ ¾º º

33 ¾¼ Σ + p Σ Σ ÙÖ ¾º Æ Ð ÔÔÓÚº µ p Σ E ÙÑ Ò ÙÐ Ö Ö ÔÙÐ ÓÖ F Z ØÓ F Z > 0º Î ÙÖ ¾º º Σ + p Σ Σ ÙÖ ¾º Æ Ð ÔÔÓÚº Ò Ó ¾º½º º ÍÑ ÔÓÒØÓ p ØÓ Σ Ö ÙÐ Ö Z p ÔÓÒØÓ Ó ØÙÖ p Σ E Σ D ÒÓ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ ØÓ F Z (p) 0º Ò Ó ¾º½º½¼º ÍÑ ÔÓÒØÓ p ØÓ Ö ÙÑ Σ¹ Ò ÙÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö Z p ÙÑ Σ Ó Ö Z p ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó F Z º ÓÖ ÔÓ ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ò Ó ØÖ Ø Ö ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÑ Ù ÞÓÒ ÒÓ ÔÐ ÒÓº

34 ¾½ Ò Ó ¾º½º½½º Ë γ ÙÑ ÙÖÚ Ñ R 2 ÓÑÔÓ Ø ÔÓÖ ÖÓ Ö ÙÐ Ö ØÖ Ø Ö X Ñ Σ +»ÓÙ Y Ñ Σ»ÓÙ ØÖ Ø Ö F Z Ñ Σº Æ ÓÒ Þ ÑÓ ÕÙ γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Z µ γ ÓÒØ Ñ ÖÓ ØÖ Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ó ÒØÖ Ó ÑÔÓ X Y F Z ÓÙ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÖÓ F Z µ ØÖ Ò Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö X Ô Ö ÖÓ ØÖ Ø Ö Y Ø ØÖ Ú ÔÓÒØÓ Ó ØÙÖ µ ØÖ Ò Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö X ÓÙ Y Ô Ö ÖÓ ØÖ Ø Ö F Z Ø ØÖ Ú Ø Ò Ò ÓÙ ÔÓÒØÓ Ö ÙÐ Ö Ó ÖÓ Ô ÓÙ Ó ÖÓ Ð Þ ÒØ Ö Ô Ø Ò Ó¹ Ó ÒØ Ó Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö º ÆÓØ ÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ ÙÒ ÓÐÙ ÔÓ Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ ÔÓ Ñ Ô ÖØ Ò Ö Ò Ò Ø ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö º ÙÖ ¾º ÔÖ ÒØ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö º γ Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö º È ÖØ Ö ÑÓ ÓÖ Ö Ø Ö Þ Ó Ö Ø ÙÑ Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÑ Ù ÞÓÒ ÒÓ ÔÐ ÒÓº Ò Ó ¾º½º½¾º Ë γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Z = (X,Y) Ω r (M,f)º Þ ¹ ÑÓ ÕÙ

35 ¾¾ µ γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ Á γ ÒÓÒØÖ Σ ÓÑ ÒØ Ñ ÔÓÒØÓ Ó ØÙÖ º Î ÙÖ ¾º½¼º γ Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º½¼ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ Áº µ γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁ γ = Σº Î ÙÖ ¾º½½º γ = Σ Σ + Σ ÙÖ ¾º½½ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁº µ γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁÁ γ ÓÒØ Ñ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Σ Ó Ö Zº Î ÙÖ ¾º½¾º γ Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º½¾ Ü ÑÔÐÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁÁº

36 ¾ Ö ÑÓ ÓÖ Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ Ô Ö ÐÙ ØÖ Ö Ò Ñ º Ü ÑÔÐÓ ¾º½º½º ÓÒ Ö Ó Ø Ñ Ó Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Z 1 = (X 1,Y 1 ) Ω r (R 2,f) Ó ÔÓÖ X 1 (x,y) = (1,x 2 ), y 0; Z 1 (x,y) = Y 1 (x,y) = (1,1), y 0. ¾º µ ÓÒ Ö Ó ÔÓÒØÓ p = (0,0)º ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ µ Σ = {(x,y) R 2 : y = 0} µ p ÒÓ Ò ÙÐ Ö X 1 ÓÙ Y 1 µ p ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò X 1 ÓÑ Σº ÓÑ ØÓ Ø ÑÓ ÕÙ X 1 f(x,y) = X 1 (x,y), f(x,y) = (1,x 2 ),(0,1) = x 2 ÐÓ Ó X 1 f(p) = 0º Ð Ñ Ó X 2 1f(x,y) = X 1 (x,y), X 1 f(x,y) = (1,x 2 ),(2x,0) = 2x Ñ X 2 1f(p) = 0º Ì Ñ Ñ X 3 1 f(x,y) = X 1(x,y), X 2 1 f(x,y) = (1,x2 ),(2,0) = 2 ÔÓÖØ ÒØÓ X1 3 f(p) 0º µ p Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò Ñ Σ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ (x,0) Σ ÓÑ x 0 ÔÓÒØÓ Ó ØÙÖ ÓÙ p Σ C º Æ ÙÖ ¾º½ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó Ö ØÖ ØÓ Ó Ø Ñ Ó Ó Ó ÑÔÓ Z 1 Ö Ø ϕ(t,p) Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ pº

37 ¾ p Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 1 Ó Ñ ¾º µº ÆÓØ ÕÙ Ñ Ð ÙÒ Ó ÔÓ Ú Ð Ð Ö Ñ Ø ÑÔÓ Ô Ó Ø ÑÔÓ ÙØÙÖÓ Ú Ó ÙÒ ÓÐÙ º Å Ñ Ö Ð Ó ÒÓ ÔÓ Ú Ðº Ü ÑÔÐÓ ¾º½º¾º ÓÒ Ö Ó Ø Ñ Ó Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Z 2 = (X 2,Y 2 ) Ó ÔÓÖ X 2 (x,y) = (1,2x), y 0; Z 2 (x,y) = Y 2 (x,y) = ( 2, 7x), y 0. ¾º µ ÓÒ Ö Ó ÔÓÒØÓ p = (0,0)º ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ p ÒÓ Ò ÙÐ Ö X 2 ÓÙ Y 2 Ñ p ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø Σ ÓÑ X 2 ÓÑ Y 2 º Î ÙÖ ¾º½ º Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 2 Ó Ñ ¾º µº ÆÓØ ÕÙ Ò Ø Ó Σ E = {(x,y) R 2 : y = 0 x > 0} Σ D = {(x,y) R 2 : y = 0 x < 0}º Ñ Ô Ö Ø ÔÓÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ Ó Ó Z 2 Ó ÕÙ Ð Ó ÔÓÖ F Z2 (q) = ( ) 1 3,0. Ü ÑÔÐÓ ¾º½º º ÓÒ Ö Ó Ø Ñ Ó Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Z 3 = (X 3,Y 3 ) Ó ÔÓÖ X 3 (x,y) = (1, 2x), y 0; Z 3 (x,y) = Y 3 (x,y) = ( 1, x+x 2 ), y 0. ¾º µ

38 ¾ ÓÒ Ö Ó ÔÓÒØÓ p = (0,0) q = (1,0)º ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ p q ÒÓ Ó Ò ÙÐ Ö X 3 ÓÙ Y 3 Ñ Ø ÑÓ ÕÙ p ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø ÓÑ X 3 Y 3 ÕÙ q ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø ÓÑ Y 3 º Î ÙÖ ¾º½ º Σ Σ p q Σ + ÙÖ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 3 Ó Ñ ¾º µº ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ø Ó Σ D = {(x,y) R 2 : y = 0 x > 1} Σ C = {(x,y) R 2 : y = 0,x < 1 x p}. ÆÓØ ÕÙ ϕ(t,p) = {p} ÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ ÙÒ ÓÐÙ Ñ qº Ü ÑÔÐÓ ¾º½º º ÓÒ Ö Ó Ø Ñ Ó Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Z 4 = (X 4,Y 4 ) Ó ÔÓÖ X 4 (x,y) = (1,x), y 0; Z 4 (x,y) = Y 4 (x,y) = ( 1,x), y 0. ¾º µ ÓÒ Ö Ó ÔÓÒØÓ p = (0,0)º ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ p ÒÓ Ò ÙÐ Ö X 4 ÓÙ Y 4 Ñ p ÔÓÒØÓ Ø Ò Ò ÕÙ Ö Ø ÓÑ X 4 ÓÑ Y 4 º Î ÙÖ ¾º½ º p Σ + Σ Σ ÙÖ ¾º½ Ê ØÖ ØÓ Ó ÑÔÓ Z 4 Ó Ñ ¾º µº ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ò Ø Ó ÒÓ ÔÓ Ú Ð Ð Ö Ñ Ø ÑÔÓ Ô Ó ÓÙ Ø ÑÔÓ ÙØÙÖÓ Ô Ö Ö Ø Ó ÔÓÒØÓ p ÔÓ ÒÓ ÙÒ ÓÐÙ º

39 ¾ ¾º¾ ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö Ñ Ò Ö ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ó Ò Ó ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö ÓÙ ÔÐ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ØÓÖÒÓ Ñ ÙÑ Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÑ Ù ÞÓÒ ÒÓ ÔÐ ÒÓº Ó Ó Ú ØÓÖ u,v R n ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ u 1 v 1 (u v) = º º u n v n Ñ ØÖ Þ Ù ÓÐÙÒ Ó Ó Ú ØÓÖ u vº Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½º Ë Ñ X ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 Ñ R 2 p 0 R 2 ϕ(t,p 0 ) Ö Ø X Ø Ð ÕÙ ϕ(0,p 0 ) = p 0 º ËÙÔÓÒ ÙÑ ÔÓÒØÓ p 1 R 2 t 0 R Ø ÕÙ p 1 = ϕ(t 0,p 0 )º Ë Ñ Σ 0 Σ 1 ØÖ Ò Ú Ö X Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ p 0 p 1 Ö ¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë σ 0 : I 0 R 2 σ 1 : I 1 R 2 Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Σ 0 Σ 1 ÓÑ σ 0 (s 0 ) = p 0 σ 1 (s 1 ) = p 1 ÒØÓ Ü Ø ÙÑ Ú Þ Ò Ò U p 0 Ù ÙÒ Ö Ò Ú τ : U R ρ : U I 1 Ø ÕÙ τ(p 0 ) = t 0 ρ(p 0 ) = s 1 ϕ(τ(p),p) = σ 1 (ρ(p)), Ô Ö ØÓ Ó p Uº ÑÓÒ ØÖ Ó Ò f : D I 1 R 4 R 2 ÔÓÖ f(t,p,s) = ϕ(t,p) σ 1 (s)º ÓÑÓ X Ð C 1 ÒØÓ Ô ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ô Ò Ò ÓÒØ ÒÙ ϕ Ð C 1 º Ò ÓÑÓ Σ 1 ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð ÒØÓ f ÙÑ ÙÒÓ Ö Ò Ú Ðº ÆÓØ ÕÙ f(p 0,t 0,s 1 ) = ϕ(t 0,p 0 ) σ 1 (s 1 ) = p 1 p 1 = 0; t f(p 0,t 0,s 1 ) = t ϕ(t 0,p 0 ) = X(ϕ(t 0,p 0 )) = X(p 1 ); s f(p 0,t 0,s 1 ) = σ 1 (s 1). Ò Ø ÑÓ ÕÙ Ñ ØÖ Þ ( ) D (t,s) f(p 0,t 0,s 1 ) = t f(p 0,t 0,s 1 ) s f(p 0,t 0,s 1 )

40 ¾ ÒÓ Ò ÙÐ Ö ÓÙ Ø D (t,s) f(p 0,t 0,s 1 ) 0 ÔÓ Σ 1 ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Xº ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ø ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò U p 0 ÙÒ Ö Ò Ú τ : U R ρ : U I 1 Ø ÕÙ τ(p 0 ) = t 0 ρ(p 0 ) = s 1 f(p,τ(p),ρ(p)) = 0, Ô Ö ØÓ Ó p Uº ÈÓÖØ ÒØÓ ϕ(τ(p),p) = σ 1 (ρ(p)), Ô Ö ØÓ Ó p Uº ÆÓØ ÕÙ Ó ÙÜÓ X Ð Ú ÔÓÒØÓ ÔÖ Ü ÑÓ p 0 Ñ ÔÓÒØÓ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Σ 1 º Ñ Ò ÓÒ Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö π : Σ 0 U Σ 1 p π(p) = ϕ(τ(p),p) = σ 1 (ρ(p)) ¾º½¼µ ÔÐ Ó ØÖ Ò Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ X ÒØÖ ØÖ Ò Ú Ö Σ 0 Σ 1 º Ò Ö ÑÓ Ø Ñ Ñ ÙÒÓ τ : Σ 0 U R p τ(p) = τ(p) ¾º½½µ ÕÙ Ð ÜÔÖ Ñ Ó Ø ÑÔÓ Ò Ö Ó Ô Ö ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ Σ 0 Ù Σ 1 ØÖ Ú Ó ÙÜÓ X Ô Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Þº ÆÓØ ÕÙ Ñ ÔÐ Ó Ö Ò Ú Ú Ó Ó ØÓ ØÓ ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ó Ö Ñº Ñ Ó Ø Ö Ö Ú ÔÐ Ó ØÖ Ò Ó ÓÒ Ö W 0 I 0 W 1 I 1 Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ s 0 s 1 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ö Π : W 0 I 0 W 1 I 1 s Π(s) = σ 1 1 (π(σ 0 (s))) = ρ(σ 0 (s)). ¾º½¾µ ÄÓ Ó ÔÓ ÑÓ Ø Ð Ö Ó Ù ÒØ Ö Ñ Σ 0 U σ 0 W 0 I 0 π Σ 1 σ 1 Π W 1 I 1

41 ¾ ÓÑÓ Π Ö Ò Ú Ð Ø ÑÓ ÕÙ Π (s) = d ds Π(s) = ρ(σ 0(s))σ 0(s). ¾º½ µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÔÐ Ó Ö Ò Ú Ð T : W 0 R s T(s) = τ(σ 0 (s)) ¾º½ µ ÐÓ Ó T (s) = d ds T(s) = τ(σ 0(s))σ 0(s). ¾º½ µ Ò Ñ ØÖ Þ ( ) M Σ0 = X(p 0 ) σ 0 (s 0), ( ) M Σ1 = X(p 1 ) σ 1 (s 1). Ä Ñ ¾º¾º½º Æ ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ A = 1 T (s 0 ) 0 Π (s 0 ) ÒØÓ M Σ1 A = D p ϕ(t 0,p 0 )M Σ0 º ÑÓÒ ØÖ Ó È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½ ÔÓÖ ¾º½½µ Ø ÑÓ ÕÙ ϕ( τ(p),p) = σ 1 (ρ(p)), ¾º½ µ Ô Ö ØÓ Ó p Uº Ö Ú Ò Ó ¾º½ µ ÓÑ Ö Ô ØÓ p Ô Ð Ö Ö Ø ÑÓ Ñ ÓÑÓ ØÓÑ Ò Ó p = p 0 Ø ÑÓ ÕÙ t ϕ( τ(p),p) τ(p)+d pϕ( τ(p),p) = σ 1(ρ(p)) ρ(p). ϕ( τ(p),p) = X(ϕ( τ(p),p)), t X(ϕ( τ(p 0 ),p 0 )) τ(p 0 )+D p ϕ( τ(p 0 ),p 0 ) = σ 1 (ρ(p 0)) ρ(p 0 ),

42 ¾ ÓÙ X(p 1 ) τ(p 0 )+D p ϕ(t 0,p 0 ) = σ 1 (ρ(p 0)) ρ(p 0 ), ¾º½ µ ÕÙ τ(p 0 ) = t 0 ϕ(t 0,p 0 ) = p 1 º ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó Ñ Ó Ó Ð Ó ¾º½ µ ÔÓÖ σ 0(s 0 ) Ø ÑÓ ÕÙ X(p 1 ) τ(p 0 )σ 0(s 0 )+D p ϕ(t 0,p 0 )σ 0(s 0 ) = σ 1(ρ(p 0 )) ρ(p 0 )σ 0(s 0 ). ¾º½ µ ¾º½ µ Ú Ñ ÕÙ X(p 1 )T (s 0 )+D p ϕ(t 0,p 0 )σ 0 (s 0) = σ 1 (s 1)Π (s 0 ). ÄÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ M Σ1 A = = = ( ) X(p 1 ) σ 1 (s 1) 1 T (s 0 ) 0 Π (s 0 ) ( ) X(p 1 ) X(p 1)T (s 0 ) σ 1 (s 1)Π (s 0 ) ( ) X(p 1 ) D pϕ(t 0,p 0 )σ 0(s 0 ). ÍØ Ð Þ Ò Ó Ù Ð X(p 1 ) = D p ϕ(t 0,p 0 )X(p 0 ), Ù ÕÙ ( ) M Σ1 A = D p ϕ(t 0,p 0 )X(p 0 ) D pϕ(t 0,p 0 )σ 0 (s 0) ( ) = D p ϕ(t 0,p 0 ) X(p 0 ) σ 0 (s 0) = D p ϕ(t 0,p 0 )M Σ0 ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Öº Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º¾º Ë Ñ X ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 Ñ R 2 p 0 R 2 ϕ(t,p 0 ) Ö Ø X Ø Ð ÕÙ ϕ(0,p 0 ) = p 0 º ËÙÔÓÒ ÙÑ ÔÓÒØÓ p 1 R 2 t 0 R Ø ÕÙ p 1 = ϕ(t 0,p 0 )º Ë Ñ Σ 0 Σ 1 ØÖ Ò Ú Ö X Ô Ò Ó Ô ÐÓ ÔÓÒØÓ p 0 p 1 Ö ¹ Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë σ 0 : I 0 R 2 σ 1 : I 1 R 2 Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ñ ØÖ Þ

43 ¼ Σ 0 Σ 1 ÓÑ σ 0 (s 0 ) = p 0 σ 1 (s 1 ) = p 1 ÒØÓ Ö Ú ÔÐ Ó ØÖ Ò Ó π : Σ 0 Σ 1 ÒÓ ÔÓÒØÓ p 0 Ò Ô ÐÓ ÙÜÓ X ÔÓÖ ( ) det X(p 0 ) σ 0(s 0 ) ( t0 ) π (p 0 ) = ( ) exp divx(ϕ(t,p 0 ))dt. ¾º½ µ det X(p 1 ) σ 0 1(s 1 ) ÑÓÒ ØÖ Ó È ÐÓ Ä Ñ ¾º¾º½ Ø ÑÓ ÕÙ ( ) X(p 1 ) σ 1(s 1 ) 1 ( ) T (s 0 ) = D p ϕ(t 0,p 0 ) X(p 0 ) 0 Π σ 0(s 0 ). (s 0 ) ÐÙÐ Ò Ó Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ñ Ñ Ó Ó Ð Ó Ù Ð Ø ÑÓ ( ) ( ) det X(p 1 ) σ 1 (s 1) Π (s 0 ) = det(d p ϕ(t 0,p 0 ))det X(p 0 ) σ 0 (s 0). ÆÓØ ÕÙ D p ϕ(t,p 0 ) ÙÑ Ñ ØÖ Þ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ø Ñ X = DX(ϕ(t,p 0 ))X ÄÓ Ó Ô Ð ÖÑÙÐ Ä ÓÙÚ ÐÐ D p ϕ(0,p 0 ) = Id. det(d p ϕ(t 0,p 0 )) = exp = exp ( t0 0 ( t0 0 ) tr(dx(ϕ(t,p 0 )))dt ) divx(ϕ(t,p 0 ))dt. Ò ÓÑÓ Σ 1 ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Ñ ØÖ Þ M Σ1 ÒÓ Ò ÙÐ Öº ÈÓÖØ ÒØÓ ( ) det X(p 0 ) σ 0(s 0 ) ( t0 ) π (p 0 ) = Π (s 0 ) = ( ) exp divx(ϕ(t,p 0 ))dt det X(p 1 ) σ 0 1(s 1 ) ( ) det X(p 0 ) σ 0 (s 0) ( t0 ) = ( ) exp divx(ϕ(t,p 0 ))dt. det X(p 1 ) σ 1 (s 0 1)

44 ½ ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Öº Ë γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ Á Z = (X,Y) Ω r (M,f) Ø Ð ÕÙ γ = γ 0 γ 1 γ n ÓÑ γ 2j Ò Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö X Ñ Σ + γ 2j+1 Ò Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö Y Ñ Σ Ô Ö j = 0,1,,(n 1)/2º È Ö j = 0,1,,n γ j Σ = {p j,p j+1 } ÓÑ p 0 = p n+1 º Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ ÓÐ Ó ÔÐ ØÖ Ò Ó Ñ p j π j : (Σ,p j ) (Σ,p j+1 ) Ø Ð ÕÙ ÔÐ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ØÓÖÒÓ Ó Ö Ø γ ÔÓÖ π = π n π n 1 π 0 ÓÑ π(p 0 ) = p 0 º Î ÙÖ ¾º½ º γ 0 γ 2 p 2 p 0 p 3 p 1 Σ + Σ Σ γ 3 γ 1 ÙÖ ¾º½ Ú Ó ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö γº

45 Ô ØÙÐÓ Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Æ Ø Ô ØÙÐÓ Ö ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö Ó Ñ ØÓ Ó Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Ó ÕÙ Ð Ó ÒØÖÓ ÙÞ Ó ÔÓÖ ËÓØÓÑ ÝÓÖ Ì Ü Ö Ñ ½ º Ø Ñ ØÓ Ó ÓÒ¹ Ø Ò ÔÖÓÜ Ñ Ó ÙÑ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÔÓÖ ÙÑ Ñ Ð ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÕÙ Ð ÔÓ ¹ ÔÐ Ö Ø ÓÖ Ð º º½ Ç Ñ ØÓ Ó Ö ÙÐ Ö Þ Ó Ç Ñ ØÓ Ó Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÓÒ Ø Ò ÔÖÓÜ Ñ Ó Ø Ñ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÓÖÑ X(x,y), f(x,y) 0; Z(x,y) = Y(x,y), f(x,y) 0, º½µ ÔÓÖ ÙÑ Ñ Ð ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ Ø Ñ Ù Ú Ò ÓÑ Ó ÙÜ Ð Ó ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Óº Ò Ó º½º½º ÍÑ ÙÒÓ Ð C ϕ : R R Ø Ö ÙÑ ÙÒÓ ¾

46 ØÖ Ò Ó ϕ(t) = 0, t (, 1], 1, t [1, ), ϕ (t) > 0, t ( 1,1). º¾µ ÙÖ º½ ÒÓ ÑÓ ØÖ Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Óº ϕ(t) t ÙÖ º½ Ö Ó ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Óº Ò Ó º½º¾º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f) ε > 0º ÍÑ ϕ ε ¹Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z Ñ Ð ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ù Ú Z ε ÔÓÖ Z ε (q) = (1 ϕ ε (f(q)))y(q)+ϕ ε (f(q))x(q) º µ Ñ ÕÙ ϕ ε (t) = ϕ( t ) ϕ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Óº ε Ö Ó ÓÒØ Ò Ó Σ ÓÒ Ó ÑÔÓ Z ε ÙÑ Ñ Ó ÑÔÓ X Y ÓÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Σ ( ε,ε) Ñ Ó Ü Ö ÙÐ Ö Þ Óº Î ÙÖ º¾º È Ö ε > 0 Ü Ó Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Z ε Ñ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Þ Óº

47 f 1 (ε) Σ f 1 ( ε) ÙÖ º¾ Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó Ü ÑÔÐÓ º½º½º ÓÒ Ö ÙÒÓ f(x,y) = y Ó Ø Ñ Ñ R 2 Ó ÔÓÖ x = 1 y = 2+sgn(y). ÄÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ø Ñ º µ Ó ÔÓÖ X(x,y) = (1,3), y > 0, (x,y ) = Y(x,y) = (1,1), y < 0. º µ º µ Ö Ñ ÒØ Ø ÑÓ ÕÙ Σ = {y = 0} ÙÑ Ö Ó Ó ØÙÖ º Ë ϕ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Óº ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ Z ε (x,y) = (1 ϕ ε (f(x,y)))y(x,y)+ϕ ε (f(x,y))x(x,y) ÙÑ ϕ ε ¹Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z = (X,Y)º = (1 ϕ ε (y))(1,1)+ϕ ε (y)(1,3) ( ( y ( y = 1 ϕ (1,1)+ϕ (1,3) ( ε)) ( ε) y = 1,1+2ϕ ε)) ÈÖÓÔÓ Ó º½º½º Ë p ÙÑ ÔÓÒØÓ Σ¹Ö ÙÐ Ö Z = (X,Y) Ω r (M,f)º ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p Ñ M ε 0 > 0 Ø ÕÙ Ô Ö 0 < ε < ε 0 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÒÓ ÔÓ Ù Ò ÙÐ Ö Ñ V º ÑÓÒ ØÖ Ó Ë p ÙÑ ÔÓÒØÓ Σ¹Ö ÙÐ Ö Z = (X,Y) Ω r (M,f)º ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ p ÔÓÒØÓ Ó ØÙÖ ÓÙ ÔÓÒØÓ Ð Þ ÓÙ Ô ÕÙ ÒÓ ÙÑ Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ F Z º ÓÒ Ö ÓÓÖ Ò ÐÓ ÑÓ Ó ÕÙ p = (0,0) f(x,y) = y Σ = {y = 0} X(x,y) = (a(x,y),b(x,y)) Y(x,y) = (c(x,y),d(x,y))º ÄÓ Ó ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ó ÑÔÓ

48 Ð ÔÔÓÚ ÓÑÓ Ò Ó ( ) a(p)d(p) b(p)c(p) F Z (p) =,0 d(p) b(p) Ë p ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó ØÙÖ º ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ Xf(p)Yf(p) > 0 ØÓ Xf(p)Yf(p) = (a(p)f x (p)+b(p)f y (p))(c(p)f x (p)+d(p)f y (p)) = b(p)d(p) > 0. ËÙÔÓÒ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ b(p) > 0 d(p) > 0º ÓÑÓ b d Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ε 0 > 0 ÑÓ Ó ÕÙ ÙÒ b d ÒÓ ÑÙ Ñ Ò Ð Ô Ö x ε 0 y ε 0 º Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p ÔÓÖ V = {(x,y) M : b(x,y) > 0 d(x,y) > 0}. ÆÓØ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Ó ÔÓÖ Z ε (q) = (1 ϕ ε (f(q)))y(q)+ϕ ε (f(q))x(q) = ( (1 ϕ ε (y))c(x,y),(1 ϕ ε (y))d(x,y) ) + ( ϕ ε (y)a(x,y),ϕ ε (y)b(x,y) ) ( ) = (1 ϕ ε (y))c(x,y)+ϕ ε (y)a(x,y),(1 ϕ ε (y))d(x,y)+ϕ ε (y)b(x,y). Ñ Ø ÑÓ ÕÙ Ô Ö 0 < ε < ε 0 ÙÒ ÓÓÖ Ò Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ñ V ÔÓÖØ ÒØÓ ÒÓ Ü Ø Ñ Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ñ V º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÙÔÓÒ ÕÙ p Σ E Σ D ÓÑ F Z (p) 0º ÄÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Xf(p)Yf(p) = b(p)d(p) < 0 Ø Ñ Ñ 0 F Z (p) = det[x,y](p) = a(p)d(p) b(p)c(p). ËÙÔÓÒ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ p ÔÓÒØÓ Ô ÓÙ b(p) > 0 d(p) < 0º ÓÑÓ b d Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ε 0 > 0 ÑÓ Ó ÕÙ ÙÒ b d ÒÓ ÑÙ Ñ Ò Ð Ô Ö x ε 0 y ε 0 º Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p ÔÓÖ V = {(x,y) M : a(x,y)d(x,y) b(x,y)c(x,y) 0}.

49 ÆÓØ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ (x,y) Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Z ε (x,y) = (0,0) ØÓ (1 ϕ ε (y))c(x,y) = ϕ ε (y)a(x,y) (1 ϕ ε (y))d(x,y) = ϕ ε (y)b(x,y) ÐÓ Ó Ó ÕÙ ÑÔÐ d(x, y) d(x,y) b(x,y) = ϕ ε(y) = c(x, y) c(x,y) a(x,y) a(x,y)d(x,y) b(x,y)c(x,y) = 0. ÈÓÖØ ÒØÓ Ô Ö 0 < ε < ε 0 ØÓ Ó (x,y) V ÒÓ Ø Þ Ù Ð Ñ Ñ Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÒÓ ÔÓ Ù Ò ÙÐ Ö Ñ V º Î ÙÖ º º ÙÖ º Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Σ¹Ö ÙÐ Öº ÓÖÓÐ Ö Ó º½º½º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f) K Σ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑÔ ØÓ ÔÓÒØÓ Σ¹Ö ÙÐ Ö º ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò V K Ñ M ε 0 > 0 Ø ÕÙ Ô Ö 0 < ε < ε 0 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÒÓ ÔÓ Ù Ò ÙÐ Ö Ñ V º ÔÖÓÔÓ Ó Ù Ö Ö ÒØ ÕÙ ÒÓ ÙÖ Ñ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÐ Ö Þ Ó Ñ ØÓÖÒÓ ÙÑ Σ¹ Ó Ö º ÈÖÓÔÓ Ó º½º¾º Ë p Σ ÙÑ Σ¹ Ó Ö Z = (X,Y) Ω r (M,f)º ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p Ñ M ε 0 > 0 Ø ÕÙ Ô Ö 0 < ε < ε 0 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÒÓ ÔÓ Ù Ò ÙÐ Ö Ñ V º

50 ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÓÓÖ Ò ÐÓ ÑÓ Ó ÕÙ p = (0,0) ÙÒÓ ÕÙ Ò Ó ÑÔÓ ÔÓÖ f(x,y) = y Ò Σ = {y = 0} X(x,y) = (a(x,y),b(x,y)) Y(x,y) = (c(x,y),d(x,y))º ËÙÔÓÒ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ Xf(p) = 0 Ò X 2 f(p) > 0 Yf(p) > 0º Ç ÓÙØÖÓ Ó Ó Ò ÐÓ Ó º Ì ÑÓ ÕÙ µ Xf(p) = X(p), f(p) = b(p) = 0 µ X 2 f(p) = X(p), Xf(p) = a(p)b x (p)+b(p)b y (p) = a(p)b x (p) > 0 Ó ÕÙ ÑÔÐ Ñ a(p) 0 µ Yf(p) = Y(p), f(p) = d(p) > 0. Ì ÑÓ Ò ÕÙ ÙÑ Ò ÙÐ Ö (x,y) Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ø Þ Ó ÕÙ ÑÔÐ ÆÓØ ÕÙ Ñ p Ø ÑÓ d(x, y) d(x,y) b(x,y) = ϕ ε(y) = c(x, y) c(x,y) a(x,y) a(x,y)d(x,y) b(x,y)c(x,y) = det[x,y](p) = 0. det[x,y](p) = a(p)d(p) b(p)c(p) = a(p)d(p) 0. Ñ ÓÑÓa d Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Öε 0 > 0 ÑÓ Ó ÕÙ det[x,y](x,y) 0 Ô Ö x ε 0 y ε 0 º Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p ÔÓÖ V = {(x,y) M : x ε 0 y ε 0 }. ÈÓÖØ ÒØÓ Ô Ö 0 < ε < ε 0 Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÒÓ ÔÓ Ù Ò ÙÐ Ö Ñ V º Î ÙÖ º º

51 ÙÖ º Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÙÑ Σ¹ Ó Ö º Ì ÓÖ Ñ º½º½º Ë Z = (X,Y) Ω r (M,f) p ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó F Z º ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p Ñ M ε 0 > 0 Ø ÕÙ Ô Ö 0 < ε < ε 0 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÔÓ Ù ÙÑ Ò Ò ÙÐ Ö p ε Ñ V ÕÙ Ð Ô Ö Ð Ó Ø ÔÓ Ð ÓÙ Ò ÓÒ ÓÖÑ p Ó ÓÖ Ô Ö F Z º ÑÓÒ ØÖ Ó Ë p ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó F Z ÙÔÓÒ p Σ D º Ç ÓÙØÖÓ Ó Ò ÐÓ Óº ÓÒ Ö ÓÓÖ Ò ÐÓ ÑÓ Ó ÕÙ p = (0,0) f(x,y) = y Σ = {y = 0} X(x,y) = (a(x,y),b(x,y)) Y(x,y) = (c(x,y),d(x,y))º Ñ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÐÓ ÐÑ ÒØ Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚ ÓÑÓ Ò Ó ( ) a(p)d(p) b(p)c(p) F Z (p) =,0. d(p) b(p) Ì ÑÓ ÕÙ µ Xf(p) = b(p) < 0 Yf(p) = d(p) > 0 µ F Z (p) = 0 ØÓ det[x,y](p) = a(p)d(p) b(p)c(p) = 0 µ F Z (p) 0 ØÓ d(det(x,y) Σ )(p) = x (det(x,y) Σ)(p) = a x (p)d(p)+a(p)d x (p) b x (p)c(p) b(p)c x (p) 0.

52 Ç ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ø Ñ ÓÖÑ ( ) Z ε (x,y) = (1 ϕ ε (y))c(x,y)+ϕ ε (y)a(x,y),(1 ϕ ε (y))d(x,y)+ϕ ε (y)b(x,y). Î ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ (x,y) Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ø Þ d(x, y) d(x,y) b(x,y) = ϕ ε(y) = c(x, y) c(x,y) a(x,y) º µ Ó ÕÙ ÑÔÐ a(x,y)d(x,y) b(x,y)c(x,y) = 0. Ñ (x,y) Ò ÙÐ Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÒØÓ det[x,y](x,y) = 0º ÓÑÓ det[x,y](p) = 0 x (det(x,y) Σ)(p) 0 Ô ÐÓ Ø ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ü Ø ÙÑ Ú Þ Ò Ò U 1 U 2 R 2 p ÙÑ ÙÒÓ Ö Ò Ú Ð α : U 2 U 1 Ø Ð ÕÙ x = α(y) det[x,y](α(y),y) = a(α(y),y)d(α(y),y) b(α(y),y)c(α(y),y)= 0. ÒØÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÙÖÚ (α(y),y) Ú Ð ÕÙ d(x, y) d(x,y) b(x,y) = c(x,y) c(x,y) a(x,y). Î ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø Ô Ò ÙÑ ÔÓÒØÓ p ε Ò Ø ÙÖÚ ÕÙ Ø Þ º µ ÓÙ ÕÙ ÖÙÞ Ó Ö Ó ϕ ε º ÓÑÓ b(p) < 0 d(p) > 0 b d Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ε 0 > 0 ÑÓ Ó ÕÙ b d ÒÓ ÑÙ Ñ Ò Ð Ô Ö x ε 0 y ε 0 Ø Ð ÕÙ U 2 [ ε 0,ε 0 ]º Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÑ Ú Þ Ò Ò V p ÔÓÖ V = {(x,y) M : x ε 0 y ε 0 }. ÆÓØ ÕÙ Ô Ö (x,y) V Ø ÑÓ ÕÙ Ò g : R R ÔÓÖ d(x, y) d(x,y) b(x,y) (0,1). g(y) = d(α(y),y) d(α(y),y) b(α(y),y).

53 ¼ Ë Ñ k = d(p) d(p) b(p) m = min{k,1 k}º ÓÑÓ k (0,1) Ó (x,y) V ÔÓ ÑÓ Ñ ÒÙ Ö ε 0 ÑÓ Ó ÕÙ d(x, y) (k d(x,y) b(x,y) m 2,k + m ). 2 Ñ ÓÑÓ ϕ ε ( ε 0 ) = 0 ϕ ε (ε 0 ) = 1 ÙÒ ϕ ε g Ó ÓÒØ ÒÙ ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÖÙÞ Ñ ÒØÓ ÒØÖ Ó Ó Ö Ó º 1 ϕ ε (y) g(y) ε ε y ÙÖ º ÁÒØ Ö Ó ÒØÖ ϕ ε gº ÓÑÓ ϕ ε0 (y) ÙÑ ÙÒÓ Ö ÒØ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [ ε 0,ε 0 ] Ó ÔÓÒØÓ ÖÙÞ Ñ ÒØÓ ÒÓ ÓÖ Ò Ó Ø Ñ ÒÙ Ö Ó Ú ÐÓÖ ε 0 Ø ÕÙ Ó ÖÙÞ Ñ ÒØÓ ÓÓÖÖ ÙÑ Ú Þº Ç Ñ ÑÓ Ú Ð Ó Ô Ö 0 < ε < ε 0 º Ë y ε Ó Ò Ó ÔÓÒØÓ ÖÙÞ Ñ ÒØÓ Ó Ö Ó Ô Ö 0 < ε < ε 0 º ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ p ε = (α(y ε ),y ε ) Ò Ò ÙÐ Ö Z ε Ñ V º Ê Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ p ε ÙÑ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð ÙÑ Ð p Ó ÓÖ Ô Ö F Z ÓÙ ÙÑ Ò p Ó ÓÖ Ô Ö F Z º Ñ ØÖ Þ Ó Ò Z ε ÐÙÐ Ñ p ε ÔÓÖ DZ ε (p ε ) = = Z 1 ε (pε) x Z 2 ε(p ε) x Z 1 ε (pε) y Z 2 ε(p ε) y (1 ϕ ε)c x +ϕ ε a x (1 ϕ ε )d x +ϕ ε b x ÄÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÔÓÐ ÒÑ Ó Ö Ø Ö Ø Ó Ó ÔÓÖ ϕ εa ϕ εc+(1 ϕ ε )c y +ϕ ε a y. ϕ ε b ϕ ε d+(1 ϕ ε)d y +ϕ ε b y P(λ) = λ 2 tr(dz ε )λ+det(dz ε )

54 ½ Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ DZ ε Ó λ 1,2 = ( tr(dz ε))± (tr(dz ε )) 2 4det(DZ ε ). 2 Ë = (tr(dz ε )) 2 4det(DZ ε ) B = tr(dz ε ) ÙÔÓÒ 0º È Ö ÕÙ ÙÑ Ò ÙÐ Ö ÓÑ ÙØÓÚ ÐÓÖ Ó ÔÓÖ λ 1,2 = B ± 2 ÙÑ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó Ø ÔÓ Ð Ú ¹ Ø Ö B + > 0 > B B < 0 > B > B > B 2. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÙÑ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ö ÙÑ Ò ÕÙ Ò Ó Å ÒÓØ ÕÙ ( B + )( B ) > 0 B 2 > 0 0 < B 2. B 2 = 4det(DZ ε ). º µ Ñ Ø Ò Ð ÖÑÓ Ó Ò Ð Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ó ÒÓ Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ñ p ε º Å Ò ÔÙÐ Ò Ó Ð Ö Ñ ÒØ ÜÔÖ Ó Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ø ÑÓ det(dz ε )(p ε ) = ϕ ε (bc x ad x da x +cb x )+L = ϕ ε(y ε )(a x d+ad x b x c bc x )+L(p ε ) = ϕ ε (y ε)d(det(x,y) Σ (p ε ))+L(p ε ), ÓÒ L(p ε ) = [c x d y c y d x ]+ϕ ε [ 2c x d y +2c y d x +b y c x +a x d y a y d x b x c y ]+ + ϕ 2 ε[c x d y c y d x b y c x a x d y +a y d x +b x c y ]. ÆÓØ ÕÙ ÓÑÓ ØÓ ÙÒ ÒÚÓÐÚ Ó ÓÒØ ÒÙ ÙÒÓ L Ð Ñ Ø º Ð Ñ Ó ÓÑÓ 0, t ε, ϕ ε (t) = h(t), ε < t < ε, 1, t ε,

55 ¾ ÓÒ h(t) ÙÑ ÙÒÓ Ö ÒØ Ñ ( ε,ε) ÔÓ ÑÓ ÒÓØ Ö ÕÙ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ø Ò ÙÒÓ À Ú ÓÙ ÙÒÓ º ÄÓ Ó ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ lim ε 0 ϕ ε (p ε) =. ÈÓÖØ ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ε Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÑÓ Ó ÕÙ ÓÑÓ ϕ ε (y ε)d(det(x,y) Σ (p ε )) > L(p ε ) ϕ ε (y ε) > 0 Ø ÑÓ ÕÙ Ó Ò Ð Ó Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ó ÒÓ Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ô Ò Ó Ò Ð d(det(x,y) Σ (p ε )). Ñ Ó Ò Ð det(dz ε )(p ε ) Ó Ñ ÑÓ d(det(x,y) Σ (p ε ))º ÄÓ Ó ÔÓÖ º µ Ø ÑÓ ÕÙ p ε ÙÑ Ð Ô Ö Ð Z ε p Ó ÓÖ Ô Ö F Z ÓÙ Ö ÙÑ Ò Z ε p Ó ÓÖ Ô Ö F Z º ÙÖ º ÒÓ ÑÓ ØÖ Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚº ÙÖ º Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö Ô Ö Ð Ó Ó ÑÔÓ Ð ÔÔÓÚº º¾ Ê ÙÐ Ö Þ Ó ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ Ò¹ Ø Ö ÌÖ Ø Ö ÑÓ ÓÖ Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö º Ç ÔÖ ¹ Ü ÑÓ ØÖ Ø ÓÖ Ñ ÒÓ Ö ÒØ Ñ ÕÙ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÙÞ ÙÑ

56 Ö Ø Ô Ö ÒÓ ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Óº Ò Ó º¾º½º Ë γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö º Þ¹ ÕÙ γ Ð Ñ ÒØ Ö µ γ Ó Ø ÔÓ Á π (p) 1 Ô Ö Ð ÙÑ p γ µ γ Ó Ø ÔÓ ÁÁ µ γ Ó Ø ÔÓ ÁÁÁ ØÓ Ó Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö F Z Ó Ð Þ ÓÙ ØÓ Ó Ó ÖÓ ØÖ Ø Ö F Z Ó Ô º ÑÓÒ ØÖ Ó Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ø Ñ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÑ Ò Ð Ñ ØÓÖÒÓ γ Ø Ð ÕÙ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Z Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÒØÖ Ò Ó ÓÙ Ò Ó Ø Ò Ðº Ñ Ø Ò Ð Ö ÑÔÐ Ö Ò Ü Ø Ò ÙÑ Ò Ð Ñ Ð ÒØ Ñ Z ε Ô Ö ε Ù ¹ ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ Ò Ü ÓÒ ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÚ Ö Ü Ø Ò ÙÑ Ö Ø Ô Ö Ñ Z ε º ÈÓÖ ÐØ ÑÓ Ó ØÓ γ Ö ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÑÔÐ Ö Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ γ ε º Ì ÓÖ Ñ º¾º½º Ë γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ø ÔÓ Á Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Z = (X,Y) Ω r (M,f)º ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò V γ Ñ M ε 0 > 0 Ø ÕÙ Ô Ö 0 < ε < ε 0 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÔÓ Ù ÙÑ Ò Ö Ø Ô Ö γ ε Ñ V ÕÙ Ð Ô Ö Ð º ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ γ ÔÓ Ù Ô Ò Ù ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ γ 0 γ 1 º Î ÙÖ º º Ë Ñ {p 0,p 1 } = Σ γ ÓÒ Ö Σ 0 Σ 1 ØÖ Ò Ú Ö ÓÖØÓ ÓÒ γ 0 Ñ p 0 p 1 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ì Ñ Ñ Ñ Σ 2 Σ 3 ÓÖØÓ ÓÒ γ 1 Ñ p 1 p 0 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Î ÙÖ º º

57 γ 0 Σ 0 Σ 3 θ 0 θ 1 θ 3 p 0 p 1 θ 2 Σ 1 Σ Σ 2 γ 1 ÙÖ º ÈÓÐ ¹ØÖ Ø Ö γº ÓÒ Ö ÔÐ ØÖ Ò Ó π 0 : Σ 0 Σ 1 π 1 : Σ 2 Σ 3 Ò Ô ÐÓ ÙÜÓ X Y º ÒØÓ ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö Ó γ Ñ p 0 ÔÓÖ π = π 1 π 0. ÓÒ Ö Ó Ò ÙÐÓ θ 0 θ 1 θ 2 θ 3 ÓÖÑ Ó ÒØÖ Σ Σ 0 Σ 1 Σ 2 Σ 3 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º¾ Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ú ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö π Ñ p 0 ÔÓÖ π (p 0 ) = (π 1 (π 0 (p 0 ))) = π 1(π 0 (p 0 ))π 0(p 0 ) = π 1 (p 1)π 0 (p 0) º µ = b(p ( t2 ) ( 0) d(p 0 ) exp d(p1 ) t1 ) divy(γ 1 (t))dt t 1 b(p 1 ) exp divx(γ 0 (t))dt. t 0 ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ Þ Σ 0 Σ 1 Σ 2 Σ 3 Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ b σ 0 (s) = p 0 +s a 2 +b 2( b,a), b σ 1 (s) = p 1 +s a 2 +b 2( b,a), d σ 2 (s) = p 1 +s c 2 +d 2( d,c)

58 d σ 3 (s) = p 0 +s c 2 +d 2( d,c). ÓÑÓ γ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÔÓÒ π (p 0 ) < 1º ÓÒ Ö s 0 s 1 Σ 0 Ø ÕÙ s 0 < 0 < s 1 º ÓÑÓ π (p 0 ) < 1 ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ s 0 < π(s 0 ) < 0 0 < π(s 1 ) < s 1 º Î ÙÖ º º Σ 0 γ 0 s 1 π(s 1 ) p 0 π(s 0 ) s 0 ÙÖ º Ë Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Σ 0 º ÓÒ Ö Ó Ò Ð B ÓÒØ Ò Ó γ Ø Ð ÕÙ B ÓÖÑ Ó Ô Ð ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Z ÔÓÖ s 0 ÒØÖ Σ 0 π(σ 0 ) ÔÓÖ s 1 ÒØÖ Σ 0 π(σ 0 ) Ô ÐÓ Ñ ÒØÓ s 0 π(s 0 ) s 1 π(s 1 ) ÓÒØ Ó Ñ Σ 0 º Î ÙÖ º º γ B Σ 0 π(s 1 ) s 1 π(s 0 ) s 0 Σ ÙÖ º Ò Ð B ÓÒØ Ò Ó γº È Ð ÓÒ ØÖÙÓ ÓÒØ ÒÙ Ó ÙÜÓ Ñ X Y Ø ÑÓ ÕÙ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Z ØÖ Ú Ó Ñ ÒØÓ s 0 π(s 0 ) s 1 π(s 1 ) ÒØÖ Ñ ÑBº ÓÒ Ö Ó Ø Ñ ÓÓÖ Ò

59 X(x,y) = (a(x,y),b(x,y)) Y(x,y) = (c(x,y),d(x,y)) f(x,y) = yº ÒØÓ Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ó ÔÓÖ ( ) Z ε (x,y) = (1 ϕ ε (y))c(x,y)+ϕ ε (y)a(x,y),(1 ϕ ε (y))d(x,y)+ϕ ε (y)b(x,y) = (Z 1 ε (x,y),z2 ε (x,y)). ÓÒ Ö ÔÐ Ó ØÖ Ò Óπ ε : Σ 0 Σ 0 Ó ÑÔÓ Ù Ú Ö ÙÐ Ö Þ ÓZ ε º ÒØÓ Ô Ð ÓÒØ ÒÙ ÙÒ ÒÚÓÐÚ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ε 0 > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÑÓ Ó ÕÙ π ε (s 0 ) > s 0 π ε (s 1 ) < s 1 Ô Ö ØÓ Ó 0 < ε < ε 0 º Ñ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ó Ò ÐB ε ÓÖÑ Ó Ô Ð Ö Ø Z ε ÔÓÖs 0 ÒØÖ Σ 0 π ε (Σ 0 ) ÔÓÖ s 1 ÒØÖ Σ 0 π ε (Σ 0 ) Ô ÐÓ Ñ ÒØÓ s 0 π ε (s 0 ) s 1 π ε (s 1 ) ÓÒØ Ó Ñ Σ 0 º ÄÓ Ó Ô Ð ÓÒ ØÖÙÓ B ε ÒÓ ÓÒØ Ñ ÔÓÒØÓ Ò ÙÐ Ö ÓÑÓZ ε Ù Ú Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ø Z ε ÒØÖ Ñ Ñ B ε º ÒØÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ Ò Ü ÓÒ Ü Ø ÙÑ Ö Ø Ô Ö γ ε Ñ B ε º Ê Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ γ ε Ô Ö Ð º Ì ÑÓ ÕÙ Ö Ú ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö π ε Ñ γ ε ÔÓÖ ÅÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ ( t1ε ) π ε (p ε) = exp divz ε (γ ε (t))dt t oε lim ε 0 π ε (p ε) = π (p 0 ). ÓÑ ØÓ ÓÒ Ö γ ε (t) = (x ε (t),y ε (t))º ÒØÓ Z ε (γ ε (t)) = Z ε (x ε (t),y ε (t)) ( = (1 ϕ ε (y ε (t)))c(x ε (t),y ε (t))+ϕ ε (y ε (t))a(x ε (t),y ε (t)), ) (1 ϕ ε (y ε (t)))d(x ε (t),y ε (t))+ϕ ε (y ε (t))b(x ε (t),y ε (t)).

60 Ñ Ø ÑÓ ÕÙ ( t1ε ) π ε(p ε ) = exp divz ε (γ ε (t))dt t ( oε t1ε [ Z 1 = exp ε x + Z2 ε y = exp = exp = exp t [ oε t1ε t [ oε t1ε t [ oε t1ε t oε ] (γ ε (t))dt ) ( (1 ϕ ε )c x +ϕ ε a x +d y (ϕ ε d+ϕ εd y )+(ϕ ε b+ϕ εb y ) ) ] (γ ε (t))dt ( (1 ϕ ε )(c x +d y )+ϕ ε (a x +b y )+ 1 ( y ) ) ] ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε ( (1 ϕ ε )(divy)+ϕ ε (divx)+ 1 ( y ) ) ] ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt. ε ÆÓØ ÕÙ Ø Ö ÑÓ Ø ÜÔÖ Ó ÓÑÔÐ Ø π ε (p ε) ÓÑ ÒØ ÒÓ ØÖ Ó Ñ ÕÙ γ ε Ô ÖØ Ò Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÔÓ ÓÖ Ü Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ó Ò ÓÑ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ Zº Ñ ÔÓ ÑÓ ÓÑÔÓÖ ÜÔÖ Ó Ñ Ò ÓÑ Ö Ú π ε (p ε ) ÒÓ ÖÓ Ò Ó Ô Ð Ü Ö ÙÐ Ö Þ Óº ÓÒ Ö [t oε,t ε] Ó Ø ÑÔÓ Ô Ö Ö Ø γ ε (t) Ö Σ 0 Ø Ö Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó [t ε,t ε ] Ó Ø ÑÔÓ Ô Ö γ ε (t) Ô ÖÑ Ò Ö ÒÓ ÑÔÓ X ÓÖ Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó [t ε,t ε ] Ó Ø ÑÔÓ Ô Ö γ ε (t) ØÖ Ú Ö ÒÓÚ Ñ ÒØ Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó [t ε,t ε ] Ó Ø ÑÔÓ Ô Ö γ ε(t) Ô ÖÑ Ò Ö ÒÓ ÑÔÓ Y ÓÖ Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó [t ε,t 1ε] Ó Ø ÑÔÓ Ô Ö γ ε (t) ÒØÖ Ö Ò Ü Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÖÙÞ Ö Σ 0 º Î ÙÖ º½¼º

61 γ ε Σ 0 t ε t ε t 0ε = t 1ε Σ 0 t ε t ε ÙÖ º½¼ Ö Ø Ô Ö γ ε º Ñ Ø ÑÓ ÕÙ [ t ε π ε(p ε ) = exp t ε t ε t ε t ε t ε t ε t1ε t oε ( (1 ϕ ε )(divy)+ϕ ε (divx)+ 1 ( y ) ) ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε divx(γ ε (t))dt ( (1 ϕ ε )(divy)+ϕ ε (divx)+ 1 ( y ) ) ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε divy(γ ε (t))dt ( + (1 ϕ ε )(divy)+ϕ ε (divx)+ 1 ( y ) ) ] t ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε ε [ t ε ( ) t ε ] = exp (1 ϕ ε )divy (γ ε (t))dt+ (ϕ ε divx)(γ ε (t))dt t oε t oε [ t ε ( 1 ( y ) ) ] [ t ε ] exp t oε ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt exp divx(γ ε (t))dt ε t ε [ t ( ) ε t ] ε exp (1 ϕ ε )divy (γ ε (t))dt+ (ϕ ε divx)(γ ε (t))dt t ε [ t ( ε 1 ( y exp ε ϕ ε exp exp t ε [ t1ε t ε [ t1ε t ε ( (1 ϕ ε )divy ) ) (b d) (γ ε (t))dt ) (γ ε (t))dt+ ( 1 ( y ) ) ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε t ε ] exp t1ε ]. t ε [ t ε t ε ] divy(γ ε (t))dt ] (ϕ ε divx)(γ ε (t))dt

62 Å ÒÓØ ÕÙ [ t lim exp ε ( ) t ε ] (1 ϕ ε )divy (γ ε (t))dt+ (ϕ ε divx)(γ ε (t))dt = 1. ε 0 t oε t oε ØÓ ØÓ ÙÒ Ñ Ó ÓÒØ ÒÙ ÓÒØ ÒÙÑ ÓÑÔ ØÓ ÐÓ Ó Ð Ñ Ø º Ñ ÕÙ Ò Ó ε Ø Ò Þ ÖÓ Ø ÑÓ ÕÙ Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒØ Ö Ó ØÓ Ø Ò Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ ÔÓÖØ ÒØÓ ÒØ Ö Ø Ò Ñ Þ ÖÓº Ó Ñ ÑÓ ÑÓ Ó Ø ÑÓ [ t1ε ( ) lim exp (1 ϕ ε )divy (γ ε (t))dt+ ε 0 t ε [ t lim exp ε ε 0 t ε ( ) (1 ϕ ε )divy (γ ε (t))dt+ t1ε t ε t ε t ε ] (ϕ ε divx)(γ ε (t))dt = 1; ] (ϕ ε divx)(γ ε (t))dt = 1. Ò Ø ÑÓ ÕÙ [ t lim exp ε ] ( t1 ) divx(γ ε (t))dt = exp divx(γ 0 (t))dt ; ε 0 t ε t 0 ÄÓ Ó Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ [ t ] ( lim exp ε t2 ) divy(γ ε (t))dt = exp divy(γ 1 (t))dt. ε 0 t ε t 1 lim ε 0 π ε (p ε) = π (p 0 ), Ö Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ lim ε 0 [ t ε exp exp exp t oε [ t ε t ε [ t1ε t ε = d(p 1)b(p 0 ) d(p 0 )b(p 1 ). ( 1 ( y ε ϕ ε ( 1 ( y ε ϕ ε ( 1 ( y ε ϕ ε ) ) ] (b d) (γ ε (t))dt ) ) ] (b d) (γ ε (t))dt ) ) ] (b d) (γ ε (t))dt ÓÑÓ Z ε Ø Ó Ó ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö dy dt = Z2 ε = (1 ϕ ε(y))d(x,y)+ϕ ε (y)b(x,y)

63 ¼ ÐÓ Ó t ε dt dy = 1 (1 ϕ ε (y))d(x,y)+ϕ ε (y)b(x,y). Ñ Þ Ò Ó ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ò ÒØ Ö ÓÑÓ t oε = t 1ε Ó Ø ÑÓ [ t ε ( 1 ( y ) ) t ( ε 1 ( y ) ) exp t oε ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt+ ε t ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε ε t1ε ( 1 ( y ) ) ] + t ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε ε [ t ε ( 1 ( y ) ) t ( ε 1 ( y ) ) ] = exp ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt+ ε ε ϕ (b d) (γ ε (t))dt ε [ ε 1 = exp ϕ ( y ε ε) (b d) ε 1 ε (1 ϕ ε (y))d+ϕ ε (y)b dy + ϕ ( y ] ε ε) (b d) ε (1 ϕ ε (y))d+ϕ ε (y)b dy [ ] = exp ln((1 ϕ ε (y))d+ϕ ε (y)b) ε ε +ln((1 ϕ ε (y))d+ϕ ε (y)b) ε ε ) [ = exp ln((1 ϕ ε (ε))d(p 0 )+ϕ ε (ε)b(p 0 )) ln((1 ϕ ε ( ε))d(p 0 )+ϕ ε ( ε)b(p 0 )) ] + ln((1 ϕ ε ( ε))d(p 1 )+ϕ ε ( ε)b(p 1 )) ln((1 ϕ ε (ε))d(p 1 )+ϕ ε (ε)b(p 1 )) [ ] = exp ln(b(p 0 )) ln(d(p 0 ))+ln(d(p 1 )) ln(b(p 1 )) = d(p 1)b(p 0 ) d(p 0 )b(p 1 ). ÈÓÖØ ÒØÓ Ø ÑÓ ÕÙ t ε lim ε 0 π ε (p ε) = π (p 0 ). ÑÓ Ó ÓÑÓ π (p 0 ) < 1 ØÓÑ Ò Ó ε 0 > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ø Ô Ö γ ε Ô Ö Ð ØÖ ØÓÖ Ô Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ô Ö ØÓ Ó 0 < ε < ε 0 º ÑÓ Ó Ò ÐÓ Ó ÙÔÙ ÖÑÓ π (p 0 ) > 1 Ü Ø Ö ε 0 > 0 Ø Ð ÕÙ π ε (p ε) > 1 Ô Ö ØÓ Ó 0 < ε < ε 0 Ñ γ ε Ô Ö Ð Ö ÔÙÐ ÓÖ Ô Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε º Ì ÓÖ Ñ º¾º¾º Ë γ ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁ Ó ÑÔÓ Z = (X,Y) Ω r (M,f)º ÒØÓ ÙÑ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ü Ø Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò V γ Ñ M ε 0 > 0 Ø ÕÙ Ô Ö 0 < ε < ε 0 Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÔÓ Ù ÙÑ Ò Ö Ø Ô Ö γ ε Ñ V ÕÙ Ð Ô Ö Ð º

64 ½ ÑÓÒ ØÖ Ó ÆÓØ ÕÙ Ó ÙÑ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁ Ø ÑÓ ÕÙ Ð ÓÒØ Ñ ÓÑ ÒØ ÖÓ Ð Þ ÓÙ ÓÑ ÒØ ÖÓ Ô ÔÓ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ø Ö ÑÓ ÙÑ Ø Ò Ò Ó ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö Ö Ó Ø ÔÓ ÁÁÁº ËÙÔÓÒ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ Σ ÓÑÔÓ Ø ÓÑ ÒØ ÖÓ Ð Þ º ÓÒ Ö ÑÓ ÓÓÖ Ò ÔÓÐ Ö (θ,ρ) Ñ ØÓÖÒÓ Σ Ñ M ÑÓ Ó ÕÙ Σ = {ρ = 0 : 0 θ 2π}. Ø ÑÓ Ó Ø ÑÓ Ø Ñ Ñ f(θ,ρ) = ρ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Z Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÓÖ X(θ,ρ) = (a(θ,ρ),b(θ,ρ)) Y(θ,ρ) = (c(θ,ρ),d(θ,ρ))º ÓÑÓ Σ ÓÑÔÓ Ø ÖÓ Ð Þ Ø ÑÓ ÕÙ Xf(θ,0) = b(θ,0) < 0 Yf(θ,0) = d(θ,0) > 0º ÓÑÓ b d Ó ÙÒ ÓÒØ ÒÙ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ε 0 > 0 ÑÓ Ó ÕÙ b(θ,ρ) < 0 d(θ,ρ) > 0 Ô Ö ρ ε 0 º Ñ ÔÓ ÑÓ Ò Ö V = {(θ,ρ) : ρ ε 0 }º Î ÙÖ º½½º V γ ÙÖ º½½ Ö Ø È Ö γ = Σ ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε Ó ÔÓÖ ( ) Z ε (θ,ρ) = (1 ϕ ε (ρ))c(θ,ρ)+ϕ ε (ρ)a(θ,ρ),(1 ϕ ε (ρ))d(θ,ρ)+ϕ ε (ρ)b(θ,ρ) = ( Z 1 ε(θ,ρ),z 2 ε(θ,ρ) ). Ñ Ô Ö ØÓ Ó 0 < ε < ε 0 Ö Ø Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε ÒØÖ Ñ Ñ V º Ð Ñ Ó V ÒÓ ÔÓ Ù Ò ÙÐ Ö ÔÓ Ø ÑÓ Ñ ÙÑ Ú Þ Ò Ò ÔÓÒØÓ Σ¹Ö ÙÐ Ö º ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ Ò Ü ÓÒ Ü Ø Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ö Ø

65 ¾ Ô Ö γ ε Ñ V º ÈÓÖØ ÒØÓ Ü Ø ε 0 > 0 Ø Ð ÕÙ 0 < ε < ε 0 ÒØÓ Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö ¹ Þ Ó Z ε ÔÓ Ù ÙÑ Ö Ø Ô Ö γ ε = {θ,ρ ε (θ) : 0 θ 2π} Ñ V º ÅÓ ØÖ ÑÓ ÓÖ ÕÙ γ ε Ô Ö Ð ØÖ ØÓÖ ÔÓÖØ ÒØÓ Ò º Ó p γ ε ÙÑ Ó ØÖ Ò Ú Ö Ð Σ 0 ÓÒ Ö ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö ÓÙ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ØÓÖÒÓ π : Σ 0 Σ 0 º Ñ Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ú ÔÐ Ó ÈÓ Ò Ö ÔÓÖ ( tε ) π (p) = exp divz ε (γ ε (θ))dθ, 0 Ñ ÕÙ divz ε = (Zε 1) θ +(Zε 2) ρº ÈÖÓÚ ÑÓ ÕÙ 0 < π (p) < 1º ÓÑ ØÓ ÒÓØ ÕÙ divz ε = (1 ϕ ε )c θ +ϕ ε a θ +d ρ (ϕ ε d+ϕ εd ρ )+(ϕ ε b+ϕ εb ρ ) = ϕ ε(d b)+ϕ ε (a θ +b ρ )+(1 ϕ ε )(c θ +d ρ ) = ϕ ε (d b)+l, Ñ ÕÙ L = ϕ ε divx +(1 ϕ ε )divy ÙÑ ÙÒÓ Ð Ñ Ø Ñ V º ÓÑÓ (b d) > 0 Ñ γ ε Ö Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ lim ε 0 ϕ ε (ρ ε(θ)) = +, θ [0,2π]. ÓÒ Ö Ò ÐÑ ÒØ ÙÑ ÑÔÓ Ù Ú ÔÓÖ Ô ÖØ ÑÔÐ Ó W = (X,Y) ÓÑ X(θ,ρ) = (1,b 0 ); Y(θ,ρ) = (0,1), b 0 < 0 ÓÒ Ø ÒØ º ÄÓ Ó Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó W ε Ó ÔÓÖ W ε (θ,ρ) = ( ϕ ε (ρ),1 ϕ ε (ρ)+ϕ ε (ρ)b 0 ). ÓÒ Ö ÑÙ Ò ÓÓÖ Ò ρ = ρ/ε θ = θ/εº Ñ ÓÑÓ ϕ ε (ρ) = ϕ ε (ρ ε) = ϕ(ρ ), Ø ÑÓ ÕÙ W ε (θ,ρ ) = ( ) ϕ(ρ ),1 ϕ(ρ )+ϕ(ρ )b 0. ÓÑÓ Ó ÑÔÓ Ú ØÓÖ Ð Ñ Ø Ö Ð ÓÒ Ó ÙÑ ÕÙ Ó Ö Ò Ð Ø ÑÓ ÕÙ dρ dθ = 1 ϕ(ρ )+ϕ(ρ )b 0. ϕ(ρ º µ )

66 Á Ù Ð Ò Ó º µ Þ ÖÓ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÓÐÙÓ Ô Ö Ó ÑÔÓ W ε Ú ØÓ ÕÙ Ó ÑÔÓ ÒÓ Ô Ò θ º Ñ Ø ÓÐÙÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ ÓÑÓ b 0 < 0 Ø ÑÓ ÕÙ ϕ(ρ 0) = 1 1 b 0. 0 < ϕ(ρ 0 ) = 1 1 b 0 < 1. ÄÓ Ó ÓÑÓ ÙÒÓ ØÖ Ò Ó Ö ÒØ Ñ (0,1) ϕ ÒÚ ÖØ Ú Ð ÓÐÙÓ Ô Ö Ò ÔÓÖ ÆÓØ ÕÙ Ô Ö ε > 0 ρ 0 = ερ 0 Ñ ( ) 1 ρ 0 = ϕ 1. 1 b 0 ( ϕ ε (ρ 0) = ϕ ρ0 ) = 1 ε ε ϕ (ρ 0 ). ÄÓ Ó ÓÒ ÓÖÑ ε Ö ϕ ε (ρ 0) ÙÑ ÒØ ÔÓ ϕ (ρ 0 ) ÓÒ Ø ÒØ Ú ØÓ ÕÙ ρ 0 ÒÓ Ô Ò εº Ø ÑÓ Ó ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö ε Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ ÑÓ Ó Ø Ö Ö Ú ØÓ Ö Ò ÕÙ ÒØÓ ÔÖ Óº ÈÓÖØ ÒØÓ γ ε = {(θ,ρ 0 = ερ 0 )} ÙÑ ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÜ Ñ Ó ÓÐÙÓ Ô Ö ÔÖÓÙÖ º ÅÓ ØÖ ÑÓ ÓÖ ÕÙ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö δ > 0 ÑÓ Ó ÕÙ ÓÐÙÓ Ó Ó Ö Ð Ñ ÕÙ Ó ÑÔÓ Ó Ó ÔÓÖ X(θ,ρ) = (a(θ,ρ),b(θ,ρ)) Y(θ,ρ) = (0,1) Ø ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ε(ρ 0±δ)º Ñ Ñ ÒÙ Ò Ó¹ ε Ó ÕÙ ÒØÓ ÓÖ Ò Ö Ó Ô Ö ÕÙ Ö Ú Ö Ò Ñ ε(ρ 0 ±δ) Ø Ö ÑÓ ÙÑ Ö Ø Ô Ö Ô Ö Ð º ÓÑÓ Ó ÔÓÒØÓ ÔÓÐ ¹ØÖ Ø Ö γ = Σ Ó ÔÓÒØÓ Σ¹Ö ÙÐ Ö Ø ÑÓ ÕÙ det[x,y](p) 0 Ô Ö ØÓ Ó p Σ ØÓ det[x,y](p) = a(p) b(p) 0 1 = a(p) 0. ËÙÔÓÒ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ a(p) > 0 ÓÒ Ö Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó Z ε (θ,ρ) Ó ÕÙ Ð Ó ÔÓÖ Z ε (θ,ρ) = ( ϕ ε (ρ)a(θ,ρ),1 ϕ ε (ρ)+ϕ ε (ρ)b(θ,ρ) ) = ( Zε 1 (θ,ρ),z2 ε (θ,ρ)).

67 Ë ÑÓ ØÖ ÖÑÓ ÕÙ Zε 2 Ò Ø ÚÓ Ñ (θ,ε(ρ 0 + δ)) ÔÓ Ø ÚÓ Ñ (θ,ε(ρ 0 δ)) Ø ÑÓ ÕÙ Ö Ø Ó ÑÔÓ Ö ÙÐ Ö Þ Ó ÒØÖ Ñ ÒÓ Ò Ð (θ,ρ = ε(ρ 0 ±δ)) Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ÈÓ Ò Ö ¹ Ò Ü ÓÒ Ö Ø Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ò Ðº Ì ÑÓ ÕÙ Z 2 ε(θ,ε(ρ 0 ±δ)) = 1 ϕ ε (ε(ρ 0 ±δ))+ϕ ε (ε(ρ 0 ±δ))b(θ,ε(ρ 0 ±δ)) = 1 ϕ((ρ 0 ±δ))+ϕ((ρ 0 ±δ))b(θ,ε(ρ 0 ±δ)). ÜÔ Ò Ò Ó b ϕ Ñ Ö Ø ÑÓ ÕÙ Ô ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ì ÝÐÓÖ ϕ((ρ 0 ±δ)) = ϕ(ρ 0 )±δϕ (ρ δ2 0 )+ 2 ϕ (ρ 0 )+r 3(δ), Ñ ÕÙ ÓÑ 0 < m < 1º r 3 (δ) = (±δ)3 ϕ (ρ 0 6 ±mδ) b(θ,ρ) = b 0 +b 1 (θ)ρ+b 2 (θ,ρ)ρ 2. ÄÓ Ó Ø ÑÓ ÕÙ Zε 2 (θ,ε(ρ 0 +δ)) = 1 ϕ(ρ 0 +δ)+ϕ(ρ 0 +δ)b(θ,ε(ρ 0 +δ)) = 1 [ϕ(ρ 0)+δϕ ] (ρ 0)+ δ2 2 ϕ (ρ 0)+r 3 (δ) + ] + [ϕ(ρ 0)+δϕ (ρ 0)+ δ2 2 ϕ (ρ 0)+r 3 (δ) ] [b 0 +b 1 (θ)ε(ρ 0 +δ)+b 2(θ,ε(ρ 0 +δ))ε2 (ρ 0 +δ)2 [ ] 1 = 1 +δϕ (ρ δ2 0 )+ 1 b 0 2 ϕ (ρ 0 )+r 3(δ) + [ ] 1 + +δϕ (ρ δ2 0 )+ 1 b 0 2 ϕ (ρ 0 )+r 3(δ) [ ] b 0 +ε(ρ 0 +δ)[b 1 (θ)+b 2 (θ,ε(ρ 0 +δ))ε(ρ 0 +δ)]. Ü Ò Ó δ > 0 ØÓÑ Ò Ó ε Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ ÕÙ Ó ØÓÖ ε(ρ 0 +δ)[b 1(θ)+b 2 (θ,ε(ρ 0 +δ))ε(ρ 0 +δ)]