Processamento Digital de Imagens

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1 Ciência da Computação Processamento Digital de Imagens Tópicos Abordagem Contínua da Equalização Equalização Exemplo de Equalização Prof. Sergio Ribeiro 2 Técnica que procura redistribuir os valores de tons de cinza dos pixels em uma imagem. Objetivo tornar o histograma uniforme ou seja, o número (percentual) de pixels de qualquer nível de cinza é praticamente o mesmo. Para isso, utiliza-se uma função auxiliar função de transformação. 3 r variável que representa os níveis de cinza de uma imagem a ser realçada. Formulação contínua valores dos pixels são quantidades contínuas normalizadas com valores no intervalo [0,1]. r = 0 representando o preto r = 1 representando o branco Formulação discreta valores de pixels no intervalo [0, L-1]. 4

2 Para qualquer r no intervalo [0,1], considerar transformações da forma: s = T(r) que produz um nível s para todo pixel r na original. Assumir que a função de transformação acima satisfaz as condições: (a) T(r) é univariada e monotonicamente crescente; e (b) 0 T(r) 1 para 0 r 1 Condição (a) preserva a ordem de preto para o branco na escala de cinza. Condição (b) garante um mapeamento consistente com o intervalo permitido. 5 A figura ao lado ilustra uma função de transformação que satisfaz essas condições. A transformação inversa de s para r é dada por: r = T -1 (s) 0 s 1 T -1 (s) também satisfaz as condições (a) e (b) com relação à variável s. 6 Os níveis de cinza numa imagem podem ser vistos como quantidades randômicas no intervalo [0,1]. Se os N.C. numa imagem forem variáveis contínuas, então os N.C. originais e transformados podem ser caracterizados por suas funções densidade de probabilidade p r (r) e p s (s), respectivamente. Subscritos de p são usados para indicar que p r e p s são funções diferentes. Teoria elementar das probabilidades: se p r (r) e T(r) são conhecidas e T -1 (s) satisfaz (a) então a função densidade de probabilidade dos N.C. transformados é: 7 Realce por equalização baseia-se na modificação da imagem através do controle da função densidade de probabilidade dos N.C. via função de transformação T(r). Se a densidade p s (s) for constante, então a imagem apresenta uma densidade uniforme. Neste caso, Lado direito da equação reconhecido como uma função de distribuição acumulada (cdf ) de r. (1) 0 r 1 (2) 8

3 Abordagem Contínua da Da equação (2), a derivada de s com relação a r é: Substituindo-se dr/ds na equação (1) resulta: Ilustração do método de transformação por densidade uniforme: que é uma densidade uniforme no intervalo da definição da variável transformada s. Consequência uso de função de transformação igual à cdf de r produz uma imagem com N.C. com densidade uniforme. Em termos de realce, resultado implica num aumento da escala dinâmica dos pixels. Função densidade de probabilidade original Função de transformação Densidade uniforme resultante 9 10 Abordagem Contínua da Abordagem Contínua da Antes de apresentarmos a abordagem discreta, vamos considerar a abordagem contínua usando as equações vistas. Assumimos que os níveis r tenham função densidade de probabilidade mostrada na fig (a). Nesse caso p r (r) é: Embora T(r) seja suficiente para a equalização do histograma, é interessante mostrar que a densidade resultante p s (s) é de fato uniforme. Resolvendo para r em termos de s temos: substituindo-se esta expressão na eq. (2) resulta a função de transformação: Desde que r fica no intervalo [0,1], apenas a solução: é válida

4 Abordagem Contínua da A função densidade de probabilidade de s é obtida através da equação (1): Para serem úteis em processamento de imagens, os conceitos mostrados anteriormente devem ser formulados em forma discreta. Maneira mais usual de se equalizar um histograma utilizar a função de distribuição acumulada (cdf cumulative distribution function) da distribuição de probabilidades original. Pode ser expressa por: que é uma densidade uniforme no intervalo desejado. Figura (b) T(r) Figura (c) p s (s) 13 s k = T(r k ) = Σ j=0 k k n j n = Σ p r (r) j j=0 onde: 0 r k 1 K = 0,1,...,L-1 14 Convém notar que outras funções de transformação, que não a cdf, podem ser especificadas. Veremos passo a passo os procedimentos para realizar a equalização de histograma a partir de um exemplo. No final faremos a interpretação da equalização obtida comparando com o resultado ideal. Considere o histograma da tabela ao lado, ilustrado graficamente na figura seguinte. Equalizá-lo utilizando a função de distribuição acumulada e plotar o histograma resultante. n.c. (r k ) n k p r , , , , , , , ,028 total ,

5 histograma original: Assim como o eixo vertical, o eixo horizontal também pode ser normalizado para [0,1]. Nosso interesse no histograma está concentrado na interpretação. A forma e o significado do histograma não são afetados pela numeração dos eixos. 17 n.c. (r k ) n k p r , , , , , , , ,028 total ,0 Solução utilizando a cdf como função de transformação, calculamos: 0 s 0 = T(r 0 ) = Σ p r (r) j = p r (r 0 ) = 0,068 j=0 1 s 1 = T(r 1 ) = Σ p r (r) j = p r (r 0 ) + p r (r 1 ) = 0,264 2 j=0 s 2 = T(r 2 ) = Σ p r (r) j = p r (r 0 ) + p r (r 1 ) + p r (r 2 ) = 0,560 j=0 18 s 3 = 0,769 s 4 = 0,871 s 5 = 0,939 s 6 = 0,972 s 7 = 1 Esta função é plotada abaixo: Como a imagem foi quantizada com 8 níveis de cinza, cada valor s j deverá ser arredondado para o valor válido (múltiplo de 1/7) mais próximo. Desta forma: s 0 0 s 1 2/7 s 2 4/7 s 3 5/7 s 4 6/7 s 5 1 s 6 1 s 7 1 Função de transformação utilizada para a equalização

6 Concluindo o mapeamento verifica-se que o nível original r 0 = 0 foi mapeado para s 0 = 0 e, portanto, a raia correspondente não sofreu alteração. Os 3214 pixels que apresentavam tom de cinza 1/7 foram remapeados para s 1 = 2/7. Similarmente, os pixels com tom de cinza 2/7 foram modificados para 4/7. Aqueles com r = 3/7 passaram a 5/7 e os de 4/7 mapearam em 6/7. Notar que as três raias correspondentes aos pixels com tons de cinza 5/7, 6/7 e 1 foram somadas em uma só raia, com tom de cinza máximo (1). Agrupando os resultados em uma tabela, resulta o histograma após a equalização r k n k p r (r k ) s k n k eq. p s (s k ) ,068 S 0 = 0, ,068 1/ ,196 S 1 = 0,264 2/7 0 0,0 2/ ,296 S 2 = 0,560 4/ ,196 3/ ,209 S 3 = 0,769 5/7 0 0,0 4/ ,122 S 4 = 0,891 6/ ,296 5/ ,048 S 5 = 0, ,209 6/ ,033 S 6 = 0, ,122 Histograma original Histograma equalizado ,028 S 7 = ,109 total , ,

7 Pode-se notar que o histograma equalizado, apesar de estar longe de perfeitamente plano, apresenta melhor distribuição de pixels ao longo da escala de cinza em relação ao original. Fato: histograma equalizado não é plano. Isto não surpreende porque nada na aproximação discreta do resultado contínuo anteriormente derivado nos indica que ele deveria ser plano. O que acontece se for aplicado uma equalização a um histograma que já foi equalizado? Exemplo de Equalização Se a imagem original possui baixo contraste, a imagem equalizada apresenta uma melhora sobre a imagem original bastante evidente. Técnicas de equalização de histogramas também podem ser aplicadas a trechos de imagens (janelas m n). Técnicas locais servem principalmente para realçar detalhes sutis de pequenas porções da imagem Exemplo de Equalização Resultados equivalentes no realce poderiam ser obtidos no uso da técnica alargamento de contraste visto antes. Vantagem da equalização de histograma sobre técnicas manuais de alteração de contraste completamente automática. A figura a seguir apresenta um exemplo de aplicação da técnica de equalização de histograma para aumentar o contraste de uma imagem com 256 tons de cinza. 27 Exemplo de Equalização Aplicação da equalização a imagem com baixo contraste: Resultado aumento da escala dinâmica dos N.C. aumento do contraste 28

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