REPRESENTAÇÃO DE INCERTEZAS

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1 REPRESENTAÇÃO DE INCERTEZAS JUAN LAZO LAZO Incertezs: Definições e Tipos N litertur imperfeição d informção é gerlmente conhecid como incertez. Este termo é muito restritivo; o que se convencion chmr trtmento de incertez pode n verdde estr endereçndo outrs imperfeições d informção como imprecisão conflito ignorânci prcil etc.

2 Incertezs: Definições e Tipos Um exemplo: que hors começ um determindo filme?. Algums ds resposts que podemos oter são: Informção perfeit: O filme começ às 8h 5min. Inf. imprecis: O filme começ entre 8h e 9h. Inf. incert: Eu cho que o filme começ às 8h (ms não tenho certez). Inf. vg: O filme começ lá pels 8h. Inf. proilist: É provável que o filme comece às 8h. Inf. possiilist: É possível que o filme comece às 8h. Inf. inconsistente: Mri disse que o filme começ às 8h ms João disse que ele começ às 0h. Inf. incomplet: Eu não sei que hors começ o filme ms usulmente os filmes neste cinem começm às 8h. Ignorânci totl: Eu não fço menor idéi do horário do filme. Incertezs: Definições e Tipos Em gerl não se possui certez sore tods s informções. As informções podem vrir de perfeits prciis dinâmics completmente imperfeits sej pel totl usênci de informções ou por informções completmente conflitntes. Metrologi: Incertez é um prâmetro ssocido um medição crcteriz dispersão dos vlores que podem ser triuídos o mensurndo. 2

3 Incertezs: Definições e Tipos Do ponto de vist econômico os projetos são fetdos por incertezs econômics e incertezs técnics. Incertez econômic deve-se ftores externos o projeto sendo gerlmente representd pels oscilções estocástics do preço do produto e pelos custos. Incertez técnic deve-se ftores internos como incertez sore o tmnho d produção e o desempenho dos projetos em função do emprego de tecnologi. Incertezs: Definições e Tipos Comportmento rcionl: tomr decisões rzoáveis mesmo dinte informções imperfeits. Metodologi: encontrr um modelo dequdo pr representr informção imperfeit de cordo com seu tipo de imperfeição.

4 Representção de Incertezs Informção proilistic: teori de proiliddes ou teori d evidenci. Informção imprecis ou vg: teori de conjuntos Fuzzy ou teori de conjuntos de proximção (Rough Set) Informção possiilist: teori de possiiliddes. Informção incert: teori de proiliddes teori de possiiliddes ou teori d evidenci. Representção de Incertezs Técnics usds pr representr Incertezs: Cenários (com ou sem proiliddes) Distriuições de proiliddes Distriuições possiilístics Conjuntos Fuzzy (fuzzy sets) Teori Intervlr Números Fuzzy Processos estocásticos 4

5 Representção de Incertezs Representção d Incertez com Cenários: Assume um conjunto pequeno de cenários pr incertez: Cenário pr o pior cso Cenário pr o melhor cso Cenário pr o mis provável dos cso Representção de Incertezs Qunto petróleo? 8 poços explortórios pr oter informção Definição dos Cenários Cso Pessimist= 0 MM m Cso Médio = 20 MM m Cso Otimist= 0 MM m 5

6 Representção de Incertezs Representção d Incertez com Distriuições de Proiliddes : Construi um distriuição de proilidde pr vriável com incertez Est distriuição pode ser construíd prtir dos vlores d vriável que temos. Representção de Incertezs Qunto petróleo? 8 poços explortórios pr oter informção Construi Distri. de Proildde 0 MM 20 MM 0 MM 6

7 Representção de Incertezs Representção d Incertez com Distriuições de Proiliddes : Distriuição otid trves d informção do exemplo nterior Representção de Incertezs Representção d Incertez com Distriuições de Proiliddes : cso se tenh mis informção

8 Representção de Incertezs Representção d Incertez com Distriuições Possiilístics : Construi um distriuição de possiilidde pr vriável com incertez Est distriuição pode ser vist como função de pertinênci de um conjunto fuzzy dos possíveis vlores pr vriável. Representção de Incertezs Representção d Incertez com Distriuições Possiilístics : A verosimilhnç é descrit pel: Medid de possiilidde e Π( A) = sup x A π ( x) Medid de necessidde. N ( A) = inf π ( x) x A x : Vriável A : Conj. Fuzzy π : Dist. Possiilidde (função Pertinênci de A) 8

9 Representção de Incertezs ( ) N A : quntific qunto evidenci disponível suport hipóteses de que A contem o verddeiro vlor de x. ( ) Π A : quntific qunto evidenci não contrdiz est hipóteses. Assim N ( A) = Π( A) A é complemento de A Representção de Incertezs Representção d Incertez com Conjuntos Fuzzy : Us conjuntos fuzzy pr representr informções imprecis ou vg e empreg lógic fuzzy pr tomd de decisões. Inf. Poço Inf. Poço2 Inf. Poço N Lógic Fuzzy Quntidde de Petróleo 9

10 0 Representção de Incertezs Representção d Incertez com Teori Intervlr : Represent incertez trves de intervlos (intervlos de confinç). Utiliz ritmétic intervlr pr relizr operções pr tomd de decisões A Min A Mx B Min B Mx Representção de Incertezs Aritmétic Intervlr : [ ] ( ) [ ] [ ] B A + + = + = + [ ] ( ) [ ] [ ] B A = = { } { } [ ] mx min B A = { } { } [ ] 2 2 / / / / mx / / / / min / B A =

11 Representção de Incertezs Aritmétic Intervlr : Invers de um intervlo A = [ min{ / / } mx{ / / }] Multiplicção de um intervlo por um esclr se λ > 0 λa = λ se λ < 0 λa = λ [ ] = [ λ λ ] [ ] = [ λ λ ] Representção de Incertezs Representção d Incertez com Números Fuzzy: Us números fuzzy com mesm form que distriuição de proilidde pr vriável com incertez Fz uso d ritmétic fuzzy pr relizr s operções com Números fuzzy pr tomd de decisões. Permite trlhr com váris incertezs relizndo cálculos com tod incertez num operção.

12 Representção de Incertezs Números Reis R Números Fuzzy F 5 F F + 5 F 8 F R Representção de Incertezs Representção d Incertez com Números Fuzzy: Números fuzzy mis comuns: Tringulr trpezoidl e gussino. Ex. 0 MM 20 MM 0 MM Distriuição de Proilidde 0 MM 20 MM 0 MM Número Fuzzy Tringulr 2

13 Representção de Incertezs Revisão de Números Fuzzy: Número fuzzy é um conjunto fuzzy que deve cumprir s seguintes condições: Estr definido nos números reis; A função de pertinênci deve ser contínu; O conj. fuzzy deve ser normlizdo; O conj. fuzzy deve ser convexo A = [ ] 2 Cd α-cut define intervlos logo é possível utilizr ritmétic de intervlos u A (x) α α 0 (0) (α ) (0) (α) 2 (α) (α ) ( α ) ( α ) A α = [ ] ( α ' ) ( α ' ) A α ' = [ ] x Representção de Incertezs Revisão de Números Fuzzy: Forms de representção dos Números fuzzy M = [ m m m ] 2 m m 2 m [ m ] M = 2 m = m m 2 = m 2 + m m m 2

14 Representção de Incertezs Revisão de Números Fuzzy: Forms de representção dos Números fuzzy M = [ m m m m ] 2 4 m m 2 m 4 m [ m m ] M = 2 4 m = m m 2 = m 4 + m m 2 m 4 m Representção de Incertezs Operções com Números Fuzzy São definids seds n Teori de intervlos. + = Número Fuzzy A Número Fuzzy B Número Fuzzy Resultnte 4

15 Representção de Incertezs Operções com Números Fuzzy São definids seds n Teori de intervlos. + = Número Fuzzy A Número Fuzzy B Número Fuzzy Resultnte Representção de Incertezs Operções com Números Fuzzy: ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) α = [ ] α [ 0 ] A R B ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) α = [ ] α [ 0 ] R ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) α + Bα = [ ] ( + ) [ ] = + [ ] A + A ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) α Bα = [ ] ( ) [ ] = [ ] Assim tods s operções definids pel ritmetic intervlr são vlids pr os Números Fuzzy 5

16 Representção de Incertezs A vntgem dest representção é que se conseguem os proximções do vlor d vriável Com um redução significtiv do tempo computcionl. Representção de Incertezs Representção d Incertez com Processos estocásticos: São usdos csos que vriável com incertez present um comportmento dinâmico ou tem dependênci com outrs vriáveis (tempo). 6

17 Representção de Incertezs Representção d Incertez com Processos estocásticos: Um processo estocástico é um função que contém vriáveis letóris. Muitos dos processo estocásticos usdos pr representção de incertezs são processos mrkovinos (Tempo discreto). Processo mrkovino é quele no qul o último estdo contem tod informção relevnte pr o estdo seguinte. Representção de Incertezs Representção d Incertez com Processos estocásticos: Exemplos: Rndom Wlk x t = xt + ε ε ~ N ( 0) Movimento Geométrico Brownino x t x = t 2 exp α σ t + σε t ε ~ N 2 ( 0) 7

18 Referencis Biliográfics Moore Rmon E. Intervl Anlysis Prentice-Hll Series in Automtic Computtion. Prentice-Hll Englewood Cliffs New Jersey 966. Moore Rmon E. Methods nd Applictions of Intervl Anlysis SIAM Studies in Applied Mthemtics. SIAM Phildelphi 979. D. Duois nd H. Prde. Possiility Theory - An Approch to the Computerized Processing of Uncertinty. Acdemic Press 988. D. Duois H. Prde nd S. Sndri. On possiility/proility trnsformtions. In Fuzzy Logic. Kluwer 99. D. Duois H. Prde nd S. Sndri. Possiilistic logic ugmented with fuzzy unifiction. In Proceedings of the Interntionl Conference on Informtion Processing nd Mngement of Uncertinty in Knowledge-Bsed Systems (IPMU'96) Grnd Spin 996. Referencis Biliográfics Duois D. nd Prde H. On Severl Representtions of Uncertin Body of evidence in M.M. Gupt nd E. Snchez Eds. Fuzzy Informtion nd Decision Process North-Hollnd Amsterdm pp L.A. Zdeh. Fuzzy sets s sis for theory of possiility. Fuzzy Sets nd Systems : Lzo Jun G. Lzo Determinção do Vlor de Opções Reis por Simulção Monte Crlo com Aproximção por Números Fuzzy e Algoritmos Genéticos PhD. Thesis Doutorl Deprtment of Electricl Engineering of Pontificl Ctholic University of Rio de Jneiro - PUC-Rio Fng J. H. nd Chen H.C. Uncertinties re Better Hndled y Fuzzy Arithmetic The Americn Assocition of Petroleum Geologists Bulletin VI. 74 N. 8 pp

19 Referencis Biliográfics Hns Schjer-Jcosen Representtion nd Clcultion of Economic Uncertinties: Intervls Fuzzy Numers nd Proilities Interntionl Journl of Production Economics Volume 78 Issue July 2002 pp Hnss Michel; Willner Ki On Using Fuzzy Arithmetic to Solve Prolems with Uncertin Model Prmeter. Proceedings of the Interntionl Colloquium on Numericl Modelling of Uncertinties Vlenciennes Frnce 999 pp Go Lun S. The Fuzzy Arithmetic Men Fuzzy Sets nd Systems Vol pp Crlsson Christer Fullér Roert On Possiilistic Men Vlue nd Vrince of Fuzzy Numers Fuzzy Sets nd Systems Vol pp