Integral e derivada. Tarcisio Praciano-Pereira. Dep. de Matemática - Univ. Estadual Vale do Acaraú versão 2002

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1 2 Integrl e derivd de funções multivrids Trcisio Prcino-Pereir Dep. de Mtemátic - Univ. Estdul Vle do Acrú versão 22

2 2 SUMÁRIO 6 Fórmuls Integris Generlizções d integrl Teorem de Green Bibliogrfi Sumário Introdução 5. Equções prmétrics de um curv exemplos de curvs Notção Fmíli de curvs Dimensão e vriedde Hiperplno e hipersuperfície no R Um pouco sobre clssificção de vrieddes Conjunto berto e fronteir de um conjunto Complementos sobre Integrção Complementos sobre Geometri e Derivd Soms múltipls de Riemnn Integrl múltipl - Solução O cso d fronteir curv A integrl de linh Integrl de linh Derivds Prciis Aplicções ds derivds Vetor norml e grdiente Derivds de funções vetoriis Miscelâne de Exercícios O teorem de Green 3 4. Teorem de Green Cmpos vetoriis conservtivos ou não Form trivil do Teorem de Green Superficie 3 5. Superfície e áre Aplicções Superfície e áre Aplicções

3 4 LISTA DE FIGURAS List de Figurs. Cícloide desenhd à mão Arco de curv Curv prmetrizd Um conjunto berto P e um ponto Círculo de centro n origem coberto por um mlh uniforme O círculo como domínio de integrção Um curv e su proximção poligonl Um vriedde liner e seu vetor norml Gráfico proximdo d curv pln Um mlh retngulr em induz um prtição no conjunto de síd W Um superfície com ponto singulr Prmetrizção do qudrdo Q de ldo, com vértices (, ), (, ) Os distintos cminhos entre P, Q no domínio, ; α, β, A fronteir de um domínio inclue s fronteirs dos seus burcos... orientção d fronteir pode ser determind por tngênci A orientção de um curv pode ser incomptível com orientção d fronteir. 4.4 A indepenênci de cminhos; s curvs são percorrids de cordo com indicção ds sets O princípio do coseno Os distintos cminhos entre P, Q no domínio, ; α, β, A fronteir de um domínio inclue s fronteirs dos seus burcos... orientção d fronteir pode ser determind por tngênci A orientção de um curv pode ser incomptível com orientção d fronteir A indepenênci de cminhos; s curvs são percorrids de cordo com indicção ds sets A independênci de cminhos

4 6 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Reciprocmente, este conjunto de equções, qundo α [, 2π] descreve o círculo [, 2π] α (cos(α), sen(α)) R 2 (.2) Cpítulo Introdução e temos ssim definid um função [, 2π] R 2 (.3) [, 2π] α (cos(α), sen(α)) R 2 (.4) e dizemos que que cos(α), sen(α) são s equções prmétrics do círculo. 2. Cicloides são curvs obtids qundo se fix um ponto sobre o rio de um círculo enqunto ele gir sobre um ret. Neste cpítulo vmos reunir exercícios sobre Geometri Análitic Vetoril, derivds e integrção que possm servir de um rápid revisão pr o restnte do livro. Vmos estudr prmetrizção de curvs com objetivo de estbelecer relções com um tipo especil de curvs, quels em que P lim s= s = em que P é distânci entre dois pontos sobre curv e s é distânci, sobre curv, entre estes dois pontos. Ests curvs têm proprieddes que desejmos enftizr e els serão clsse de curvs que considerremos, preferencilmente, neste livro.. Equções prmétrics de um curv () Se o ponto escolhido for o centro do círculo o resultdo é um ret prlel outr ret sobre qul o círculo se desloc. (b) O outro extremo é se o ponto escolhido for o outro extremo do rio. O resultdo é um curv que se encontr com ret sobre qul o círculo se desloc cd intervlo de 2πR em que R é medid do rio do círculo. Pr simplificr notção vmos considerr R =, e bst multiplicr por R s equções que vmos obter. Est curv tem um ponto crítico, sem derivd, nos múltiplos inteiros de 2π. Entre s dus situções extrems presentds cim, existe um fmíli de curvs muito regulres. voir Hocquenghem et Jffrd pge 295 vol I Vej n figur (fig..) págin 6, um cicloide desenhd mão. Pr isto um proximção d cicloide Vmos começr construindo lguns exemplos de curvs e sus prmetrizções... Curvs e sus equções. O círculo trigonométrico é o exemplo mis simples de curv prmetrizd, é ssunto típico d Ensino Médio. O círculo trigonométrico é quele em que cd ponto tem por cordendo o seno e coseno do ângulo centrl ssocido um ponto sobre o círculo. Se designrmos por α o ângulo centrl que cd ponto sobre o círculo determin com o segmento de ret que o une o centro, s coordends deste ponto serão cos(α), sen(α) (.) Figur.: Cícloide desenhd à mão copiei o círculo de rio com centro sobre OY e tngente em (, ) pr 5

5 .. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA CURVA 7 8 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO π três outrs posições: 2, π, 3π 2, 2π e mrquei em cd um deles posição do ponto escolhido. Depois juntei os pontos com um curv diferenciável construid com uxílio de um spline do xfig. O resultdo é um proximção d cicloide, feit à mão, com uxílio do xfig...2 Notção Começremos discutindo lguns itens bstnte geris ntes de nos lnçrmos n geometri ds curvs, que é o nosso objetivo principl, vmos estbelecer notção que usremos ssim como s primeirs definições e exemplos. Um curv no R n é um função contínu e continumente diferenciável, α definid em um intervlo fechdo [, b] R. Vmos crescentr mis um hipótese d qul fremos uso em breve: α (t). Est últim hipótese será logo substituid por outr mis forte. Poderimos considerr objetos mis geris, ms entrrimos em questões que não interessm neste texto 2. O nosso objetivo qui é ind o de restringir ind mis o tipo de objeto que chmmos curvs, porque els serão usds, com frequênci, neste texto, pr trnsformções uxilires n derivção e n integrção, e neste cso els devem intervir sem deixr rstros. Est restrição se justific um vez que estmos selecionndo um fmíli de curvs que usremos como instrumento, portnto, estmos selecionndo o tipo de instrumento que nos serve. Aind que preç estrnho, est prticulrizção de plic um clsse muito grnde de curvs, prticmente todos s curvs que você conseguiri trçr com um progrm de computdor, por exemplo. Então um função de clsse C α [, b] R n (.5) é um curv, e menos que digmos expressmente o contrário, tod curv será um função deste tipo. Com frequênci desejmos fzer referênci à imgem α([, b]) do domínio por est curv e é comum cometermos o erro de novmente chmrmos est imgem de curv. Em gerl o leitor conseguirá fcilmente seprr qul dos dois sentidos estremos dndo plvr curv 3 de forms que seguiremos, sem pejo, cometendo este erro, com o objetivo de usr um lingugem mis simples fzendo observção pertinente, por exemplo, crescentndo o predicdo cuj imgem se houver risco n interpretção. Comprimento de rco de um curv Relembrndo o comprimento de rco de um curv α, considere curv α [, b] R n (.6) xfig é um progrm pr desenhos distribuido com Linux 2 ver Intr. do Top nd modern nlysis, de G.F.Simmons, um pêndice sobre curvs que preenchem os pontos de um retângulo sendo contínus ms não diferenciáveis, procure por filling curves 3 lguns utores preferem usr notção α pr designr imgem do intervlo [, b] e um prtição {t =,, t k = + k t,, t n = b} do intervlo [, b], ger sobre imgem d curv α um sequênci de pontos vej figur (fig..2) págin 8, b Figur.2: Arco de curv t =,, t k = + k t,, t n = b (.7) P = α(), P k = α(t k ),, P n = α(b) (.8) T k = d(p k, P k+ ) = P k+ P k (.9) Σ = n T k (.) k= sendo equção (eq. ) o resultdo d som dos comprimentos dos ldos d poligonl com vértices (P k ) n k=. Multiplicndo e dividindo n equção (eq. ) por t k = t k+ t k temos Σ = n k= k= Pk+ Pk t k t k = (.) n α(tk+) α(tk) t k t k (.2) Como α é integrável (é contínu) podemos identificr n equção (eq. 2) um som de Riemnn que produz sucessões de Cuchy equivlentes integrl b α (t) dt (.3)

6 .. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA CURVA 9 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO e que por outro ldo, ssocid cd cdei de prtições em que norm tend zero, poligonis que se proximm rbitrárimente d imgem d curv α portnto est integrl é o comprimento d curv α Há váris forms de construir curvs, por exemplo se F R n+ R (.4) for um função de clsse C, em que sej um berto do R n então F (x,, x n ) = c R ; c ddo (.5) é um vriedde de dimensão n e se considerrmos um curv α cuj imgem estej contid em então F oα é um curv cuj imgem estrá contid n vriedde F (x,, x n ) = c O nosso objetivo será o de estudr curvs deste tipo, cujs imgens estejm dentro de um determind vriedde de dimensão m, e que podem não ser tão simples como F (x,, x n ) = c nos obrigndo determinção de um mpemento dequdo d mesm. As curvs que vmos estudr qui estrão definids por equções prmêtrics. Quer dizer que α(t) = (α (t),, α n (t)) (.6) em que α i são funções reis de clsse C definids em [, b] pr todo i, com α (t) = (α (t),, α n (t)) (.7) Um ds operções que mis frequentemente precisremos fzer é reprmetrizção de um curv: β α [c, d] [, b] R n (.8) [c, d] R n (.9) = αoβ (.2) redefinindo est curv em outro intervlo [c, d] sendo nov prmetrizção, qundo desejremos entender função β, que obvimente é um curv, como um mudç de vriável 4 nos interess medir distorção de medid introduzid por β que é crcterizd por β = α oβ (.2) As integris são insensíveis ests distorções porque α(s)ds = α(β(t))β (t)dt (.22) [,b] [c,d] 4 est denominção é, possívelmente, pior possível porque em curvs ssim como ns integris, não existem vriáveis, ms s limitções linguístics terminm nos conduzindo usr est ligugem o que continremos fzer sem retornr este problem epistemológico entretnto derivd é sensível ficndo o seu tmnho distorcido pelo tmnho de β, o que é compreensível porque s mudnçs de prmetrizção trduzem, um lterção n velocidde com que imgem d curv é percorrid, sem lterr o comprimento d curv (imgem) clculdo por um integrl. Observe que s curvs definids em vrieddes como F (x,, x n ) = c podem ser vists tmbém como prmetrizções de um prte d vriedde, mudnçs de vriável com restrição do domínio. Vmos tomr est observção como um motivção pr restrição que fremos gor pr noss definição de curv:curvs serão quels cuj derivd tenh módulo. Como um reprmetrizção é tmbém um curv, somente considerremos qui reprmetrizções cuj derivd tenh módulo o que n prátic signific que podemos lterr o intervlo de prmetrizção, ms não medid do mesmo. Dest form eliminmos distorções que pens tornm teori mis complicd, e qundo for bsolutmente necessário introduzir um distorção, o fremos explicitmente, justificndo su necessidde. Vmos ver, num cálculo simples, vntgem que est long introdução nos dá. Considere um curv α cuj imgem se encontre num vriedde de dimensão n F (x,, x n ) = c, vej figur (fig..3) págin, Considere {t =,, t k = + k t,, t n = b} um prtição do intervlo [, b] em que estej definid curv α, e compnhe os cálculos seguintes: t =,, t k = + k t,, t n = b (.23) P = F (α()), P k = F (α(t k )),, P n = F (α(b)) (.24) T k = d(p k, P k+ ) = P k+ P k (.25) Σ = n T k (.26) k= A equção (eq. 26) é som dos comprimentos d poligonl que proxim imgem d curv α univocmente ssocid à prtição escolhid. O leitor pode fcilmente substituir t k pelos nós de um prtição rbitrári considerd em [, b], ms como s funções qui considerds são integráveis, é irrelevnte 5 se s prtições são ou não uniformes. Refzendo s conts cim, usndo o Teorem d função implícit podemos escrever, se tods s derivds prciis de F forem diferentes de zero sobre imgem de α e fixd um prtição, F (x,, x n ) = c = x n = g n (x,, x n ) (.27) x j = g j ((x k ) k j ) (.28) α(t j )) = α(g j ((t k ) k j ) (.29) P = F (α()), P k = F (α(t k )),, P n = F (α(b)) (.3) T k = d(p k, P k+ ) = P k+ P k (.3) Σ = n T k = (.32) k= 5 s soms de Riemnn vão gerr sucessões de Cuchy tods equivlentes definindo um número, um integrl.

7 .. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA CURVA 2 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO b imgem de α b J(F )(t) α (t) α (t) dt (.37) em que J(F )(t) α (t) represent derivd direcionl de F n direção do vetor α (t). Vmos terminr est introdução com um observção. Suponh que = F () e que portnto F sej função identidde, então equção (eq. 36) seri idêntic equção (eq. 2) 6. Vemos ssim que F tundo como um mudnç de vriável (pouco usd) no conjunto de chegd, e su derivd representndo distorção produzid n imgem, em F (), d curv α. F F( ) Exemplo Prmetrizção pelo comprimento de rco É interessnte mostrr um prmetrizção cuj derivd sej em módulo. Considere um curv qulquer (fugindo de noss restrição) e vmos definir [, b] R n (.38) [, b] [, d] ; [, b] t (t) = α t α (s) ds (.39) Figur.3: Curv prmetrizd = n k= F (α(t k+ )) F (α(t k )) = (.33) t k = t k+ t k ; k (α) = α(t k+ ) α(t k ) (.34) = n F (α(tk+)) F (α(tk)) k(α) k (α) = (.35) k= = n k= F (α(t k+)) F (α(t k)) k(α) k(α) t k t k = (.36) Como F e α são diferenciáveis, e últim som é um Som de Riemnn, considerndo-se qulquer cdei de ptições do intervlo [, b] cuj norm tend zero os quocientes de diferençs tem, respectivmente, como limite, o módulo d derivd direcionl de F n direção d derivd de α e derivd do módulo de α e vmos obter, ssim, integrl que nos dá o comprimento de rco d em que o leitor deve reconhecer o comprimento de rco de α no intervlo [, t] como o vlor de no ponto t [, b] e portnto podemos usr o conjunto de chegd ótimo tomndo d = b α (s) ds (.4) A derivd de (t) = α (t) > mostr que é um função bijetiv, portnto tem invers. Chmemos invers de β e temos [, d] r ; β (r) = t α (t) ; r = consequentemente reprmetrizção αoβ tem por derivd α (s) ds (.4) [, d] r ; α (β(r)) β (r) = α (t) α (t) = (.42) A prmetrizção αoβ é chmd prmetrizção pelo comprimento de rco. 6 porque F (α(t k+ )) = α(t k+ ); F (α(t k )) = α(t k )

8 .2. FAMÍLIA DE CURVAS 3 4 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO.2 Fmíli de curvs As curvs de nível de um superfície servem pr descrevê-l. Vmos generlizr este método pr gerr superfícies como fmíli de curvs. Superfícies são vrieddes (não necessrimente lineres) de dimensão dois. No prágrfo precedente considermos um cso prticulr de superfície d form F (x, y, z) = c em que R 3 : F R (.43) é um função de clsse C defin num berto. Se J(F ) = em então F é função constnte e superfície F (x, y, z) = c nd mis do que um trnslção rígid de pr o espço. Vmos supor então que J(F ) exceto em lguns pontos isoldos de pr evitr triviliddes..3 Dimensão e vriedde Flndo de um form imprecis, ms que express o fundmentl, dizemos que se um equção tiver pens um vriável livre el represent um curv. Se tiver dus vriáveis livres, represent um superfície... Vejmos um exemplo. Exemplo 2 Vriável livre Considere equção w = F (x, y, z), um função de tres vriáveis. Dizemos que w é um vriável dependente porque seus vlores são deduzidos dos vlores que dermos cd um ds vriáveis x, y, z. Consequentemente s vriáveis x, y, z se chmm livres porque els podemos ssocir, rbitrrimente vlores. Observe que este conceitos são difusos porque podemos intercmbir posição ds vriáveis e, consequentemente, considerr outr ds vriáveis como dependente... O que interess qui é quntidde de vriáveis livres, três. Por exemplo, poderimos clculr, se o ponto ( 3,, 2) estiver no domínio de F, usndo um pcote computcionl, scilb, por exemplo, que é softwre livre, F (x, y, z) = x 3 + 3x 2 y 4xy 2 + y 5 (.44) w( 3,, 2) = F ( 3,, 2) ; x = 3; y = ; z = 2 (.45) w = F ( 3,, 2) = 27 (.46) Com mesm form de pensr, dizemos que s vriáveis x, y, z são livres porque tribuimos vlores de noss escolh pr ests vriáveis e ssim clculmos o vlor de w ssocido. Considere gor equção F (x, y, z) =. Pelo Teorem d Funç~o Implícit 7 podemos escrever x = f (y, z) ; y = f 2 (x, z) ; z = f 3 (x, y), 7 vej no índice remissivo onde se encontr este teorem e o lei gor! sob certs condições. Isto mostr, usndo o mesmo rciocínio nterior, que em F (x, y, z) = existem dus vriáveis livres. Portnto F (x, y, z) = represent um superfície, um objeto de dimensão 2, enqunto que w = F (x, y, z) represent um objeto de dimensão 3. Observe que você pode substituir o zero por qulquer constnte. Ao fzermos w = c eliminmos um vriável, o que pode tmbém ser feito com qulquer ds outrs vriáveis n expressão. Vej tmbém que se F (x, y, z) = é de dimensão 2, um superfície, então cberi perguntr o que é w = F (x, y, z) tnto do ponto de vist de dimensão, como do ponto de vist geométrico. Diremos logo que é de dimensão 3 e que lhe dremos o nome de hipersuperfície. É o método subversivo que dotmos, esplhndo s idéis sem discutí-ls, pr que você se costume com els. O que se encontr por trás do número de vriáveis é o conceito de dimensão e um outr form de expressr o conteúdo do prágrfo nterior consiste em dizer-se que curvs são vrieddes de dimensão, superfícies são vrieddes de dimensão dois, e que w = F (x, y, z) represent um vriedde de dimensão três. A dimensão é o número de vriáveis menos um. Acbmos de introduzir dois novos conceitos, por comprção: vriedde, hipersuperfície. Curvs, rets, plnos, superfícies, são vrieddes. A plvr vriedde vi nos libertr d prisão dimensionl em que noss intuição geométric nos corrent e que lingugem que flmos reflete. Vmos definir, informlmente, vriedde. Que o leitor sej crítico e vej qui um flh n xiomátic. Definição Vriedde O conceito de vriedde nos liber d prisão tridimensionl d lingu que flmos. Um vriedde é um objeto geométrico do espço. O gráfico de um função {(x, y); y = f(x) ; R n f R} R n x R = R n+ é um vriedde, tmbém designd pelo nome de hipersuperfície do R n+.

9 .3. DIMENSÃO E VARIEDADE 5 6 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO As vrieddes são portnto, s superficies, os plnos, s rets, s curvs, os gráficos de funções, os pontos. Distinguimos dois tipos de vrieddes: s vrieddes lineres, rets, plnos enfim tods cuj equção sej um combinção liner de coeficientes com vriveis que representm s coordends dos pontos do espço e s outrs, s vrieddes não lineres. Mis frente flremos de um outr clssificção. As vrieddes lineres são os gráficos de funções lineres que se podem expressr mtricilmente como R n x y = T x. Os hiperplnos são s vrieddes lineres de dimensão máximl, imeditmente inferior do espço que estivermos considerndo. As hipersuperfícies são s vrieddes (não necessrimente lineres) de dimensão máximl, imeditmente inferior do espço que estivermos considerndo. Exemplo 3 Vriedde e dimensão Sbemos o que são pontos, pesr de que nunc tenhmos visto nenhum. São s vrieddes de dimensão zero. São os hiperplnos de R e tmbém são s hipersuperfícies deste espço. Neste nível não distinguimos os tipos de vriedde... O próximo item n hierrqui dimensionl, são s vrieddes de dimensão, s curvs. As rets são vrieddes lineres de dimensão. Um circunferênci não é um vriedde liner, é um vriedde não liner de dimensão. As rets são os hiperplnos do R 2, são tmbém hipersuperfícies deste espço. As curvs são s hipersuperfícies do R 2. Seguindo pr um dimensão mior temos s superfícies, s vrieddes de dimensão dois. Plnos são vrieddes lineres de dimensão dois. É um tipo de superfície. Tem superfícies que não são plns, não são vrieddes lineres, são vrieddes de dimensão dois. Os plnos são os hiperplnos do R 3, s superfícies são s hipesuperfícies do R 3. Depois temos s vrieddes de dimensão 3, o espço em que vivemos é um vriedde liner de dimensão 3. O globo terrestre, Lu, os plnets, são vrieddes não lineres de dimensão 3. Um vriedde liner de dimensão três é um hiperplno do R 3. Nós vivemos n superfície terrestre, um exemplo de vriedde não liner de dimensão dois. O globo terrestre, com o seu interior, é um exemplo de vriedde não liner de dimensão três. As hipersuperfícies são s vrieddes de dimensão máximl, imeditmente inferior do espço que estivermos considerndo. Assim s rets são os hipersuperfícies do R 2, como os círculos, s prábols, s elipses. Enfim s curvs são s hipersuperfícies do R 2. os plnos, fronteir ds esfers, s fces de um cubo, os prbolóides hiperbólicos (sel do mcco), são hipersuperfícies do R 3. Um vriedde de dimensão 3 contid no R 4 é um hipersuperfície deste espço. Um vriedde de dimensão n contid no R n é um hipersuperfície deste espço. Os dois conceitos, hiperplnos, hipersuperfícies são conceitos reltivos. Não podemos flr de hiperplnos sem mencionr qul é o espço em que os considermos. O mesmo se dig ds hipersuperfícies..3. Hiperplno e hipersuperfície no R 4 Ms podemos nos colocr em dimensão ind mis elevd, o R 4 é um espço de dimensão 4, porque os seus elementos se expressm usndo qutro vriáveis livres (x, x 2, x 3, x 4 ) tods de su livre escolh. O espço em que vivemos é um vriedde liner, um hiperplno do R 4. O globo terrestre e os plnets são hipersuperfícies do R 4. hiperplno Um vriedde liner de dimensão 3 é um hiperplno do R 4. Quer dizer que o R 3 é um hiperplno do R 4. Qulquer trnslção R 3 + r é um hiperplno do R 4. Nos vivemos num hiperplno do R 4 bordo de um hipersuperfície do R 3. hipersuperfície Um vriedde não liner de dimensão 3 é um hipersuperfície do R 4. A Terr por exemplo, não superfície em que vivemos, ms o globo terrestre todo, é um hipersuperfície do R Um pouco sobre clssificção de vrieddes Nem tod vriedde tem um equção explicit, porém, e isto é consequênci do Teorem d Função Implícit, que tods s vrieddes tem um equção. O tipo de equção de um vriedde serve pr clssificá-l: Vrieddes lgébrics são quels que tem um equção polinomil; Vmos incluir neste cso um vriedde que sej definid por um progrm em um lingugem de lto nível. Vrieddes não lgébrics qundo equção que s definem tem expressões trnscendentis.

10 .3. DIMENSÃO E VARIEDADE 7 8 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Gráficos de funções qundo tivermos um função então grf(f) será R n W f V R m um vriedde lgébric, se f for um expressão polinomil; um vriedde não lgébric, se f for um expressão não polinomil, contiver funções trnscendentis em su fórmul. Vrieddes Diferenciáveis são quels cuj expressão que s definem são diferenciáveis. As vrieddes lgébrics são diferenciáveis, por exemplo. Definição 2 Vrieddes tngentes Sejm dus funções f, g W f,g V e s correspondentes vrieddes, do tipo gráfico de função, grf(f), grf(g). Diremos que s dus vrieddes grf(f), grf(g) são tngentes no ponto (, b) W x V se houver um vizinhnç D(, r) W tl que { f() = g() = b (.47) f( + h) g( + h) = o( h ) ; h < r Definição 3 função diferenciável Considere W f V um função contínu definid num berto W R n e tomndo vlores em outro berto V R n. Diremos que f é diferenciável no ponto W se houver um função liner T tl que grf(f), grf(t ) são tngentes no ponto. f( + h) f() T (h) = o( h ) Definição 4 dimensão de um vriedde liner As vrieddes lineres são s vrieddes d form grf(t ) em que T é um função liner fim. Podemos definir de form nturl dimensão ds vrieddes lineres porque o gráfico grf(t ) é um espço vetoril (fim), então dimensão de grf(t ) é dimensão do espço vetoril fim grf(t ). Considere um vriedde e um vizinhnç bert de um ponto. Se houver um vriedde liner grf(t ) tngente no ponto, então diremos que dimensão locl d vriedde em é dim(grf(t )). Exemplo 4 Vrieddes com componentes de dimensão vrid Observe que definição cim dmite possibilidde de que um vriedde sej compost de componentes-vrieddes com dimensões distints. Por exemplo, um ret e um ponto que não pertenç est ret formm um vriedde que tem um componente de dimensão zero e outr componente de dimensão. Observção Gráfico e outros conceitos indefinidos Observe que precismos do conceito de dimensão locl pr vrieddes que não sejm lineres. As vrieddes lineres terão mesm dimensão em qulquer de seus pontos, porque são espços vetoriis fins. Ms s vrieddes não lineres podem ser glomerdos os mis extrnhos de sub-vrieddes com dimensões locis distints. Considere Sturno e seus neis, supondo que os neis sejm de dimensão dois e Sturno de dimensão três, obvimente, estmos dentro de um exemplo forçdo um vez que nenhum vriedde do espço x tempo em que vivemos tem dimensão diferente de três... Não definimos gráfico, este conceito fic entre os muitos que iremos usr implícitmente sem lertr o leitor pr isto, fim de não tornr enfdonh leitur. Vejmos de imedito qul relção que pode hver com distints funções lineres T, T 2 que sejm tngentes o gráfico de f no ponto (, f()). f( + h) f() T (h) = o( h ) (.48) f( + h) f() T 2 (h) = o( h ) (.49) T (h) T 2 (h) = o( h ) (.5) (T T 2 )(h) = o( h ) (.5) porque tmbém vriável é liner reltivmente às funções lineres... e como S = T T 2 é um função liner, temos S(h) = o( h ) ms únic função liner que tem est propriedde é função identicmente nul, logo T = T 2 e concluimos Teorem Unicidde d derivd Se f for diferenciável, função liner tngente é unic. Neste momento é interessnte fixrmos um bse pr o espço vetoril. Como não precisremos de mudr o referencil, vmos usr bse usul e = (,,..., ),, e n = (,,...,, ). Consequentemente, cd trnsformção liner lhe corresponde um únic mtriz. Considere gor um função R n : R m f

11 .3. DIMENSÃO E VARIEDADE 9 2 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO e um ponto = Dom f. A derivd, J(f), clculd em é um função liner cujo gráfico é tngente o gráfico de f no ponto (, f()). Sej T mtriz dest trnsformção liner Como 2 n n T =.... = J(f)() = (.52).... n n2 nn T e i = ( ) i i2 in (.53) derivd n direção de e i. Observndo que est é tmbém derivd de f n direção de e i, podemos concluir que e i f e j = e i T e j = ij = e j T e i = ji = e j T e i = e j f e i Assim, se f for derivável, (tiver um vriedde liner tngente o seu gráfico), então Teorem 2 Teorem de Schwrtz 2 f e i e j = e i f e j = 2 f e j e i = As derivds prciis de ordem 2, mists, são iguis. e j f e i Devido erros de concepção os que nos ntecederm chmrm T de jcobin de f no ponto, J(f)(), em vez de chmá-l simplesmente de derivd de f. Continuremos com notção históric ms corrigindo idéi. Observção 2 A notção J(f)() A mtriz jcobin é um mtriz funcionl, um função de n vriáveis no contexto dests nots. Consequentemente tem sentido escrevermos o seu vlor no ponto R n identicndo ssim um mtriz que foi obtid o substituirmos cd um ds vriáveis pels coordends de..3.3 Conjunto berto e fronteir de um conjunto Precismos de mis dois conceitos básicos. Um deles usmos indiretmente cim o dizermos que vivemos n superfície do globo terrestre. É o conceito de fronteir. O outro é o conceito de conjunto berto. Disco berto é generlizção de intervlo berto. Disco berto é o conjunto dos pontos cuj distânci um ponto P chmdo centro é menor do que o rio r: D(P, r) = {(x, y) R 2 ; d((x, y), P ) < r} A plvr disco é prisioneir d dimensão, e os mtemáticos liberrm plvr bol d prisão tres dimensionl usndo sem est preocupção. Um bol bert é B(P, r) = {x R n ; d(x, P ) < r} ou ind, se quisermos presentr s coordends, e escrevemos em que P = (p,... p n ) R n B(P, r) = {x = (x,... x n ) R n ; d(x, P ) < r} A fronteir d bol é o conjunto d(x, P ) = (x p ) 2,... (x n p n ) 2 B(P, r) = {x R n ; d(x, P ) = r} é um hipersuperfície ou um hiper-esfer. Nós vivemos n fronteir do globo terrestre: {(x, y, z) d((x, y, z), C) = 6.5km} portnto vivemos num vriedde não liner de dimensão dois, cujo costume geométrico é chmr de superfície. Vivemos n fronteir de um hipersuperfície do R4 chmd por nós mesmos de Terr. Clro, lguns contestrão est firmção dizendo que tmosfer pertence o globo Terrestre, o que é verdde, portnto nós não vivemos n fronteir... vivemos no interior d Terr. Deixmos que você escolh qul é verdde mtemátic onde você vive. Observe que não definimos interior o que deixremos que você fç como exercício. A fronteir de um vriedde tem dimensão inferior d vriedde. A bol do R n é um vriedde de dimensão n. A fronteir d bol do R n é um vriedde de dimensão n portnto um hipersuperfície. Vej o cso de noss prisão tridimensionl: A bol do R 3 é um vriedde de dimensão 3. A fronteir d bol do R 3 é um superfície, um vriedde de dimensão dois (dimensão imeditmente inferior à dimensão do espço). A bol do R 2, um disco, é um vriedde de dimensão 2. A fronteir do disco, um circunferênci, é um curv, um vriedde de dimensão um (dimensão imeditmente inferior à dimensão do espço). Vmos fzer definições gor.

12 .3. DIMENSÃO E VARIEDADE 2 22 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Designmos por fronteir de. O ponto Q n figur (fig..4) págin 2, se encontr fronteir de. P Exemplo 5 Ou exercícios resolvidos.... Conjunto Fechdo e fronteir Conjunto Fechdo é o complementr de um berto. O flt um berto pr ser fechdo é fronteir. Mostre que todo conjunto fechdo contem seus pontos fronteir. Dem : Sej F um conjunto fechdo, então F c é berto. Considere e um bol B(P, ) r >. q.e.d. P P Q Exercícios Curvs. Quis dos gráficos ds relções definids n questão??, são gráficos de funções? 2. Defin gráfico e função f : A B usndo definição de gráfico. Os conjuntos A, B serão sempre, qui, intervlos d ret. O ponto Q está n fronteir de Figur.4: Um conjunto berto P e um ponto. Definição 5 Conjunto berto do R n Um conjunto se diz berto se em qulquer ponto x pudermos considerr um bol bert B(x, r). Vej figur (fig..4) págin 2, em que Q é um ponto fronteir e P é um ponto interior. O que torn figur bert é usênci d fronteir como um subconjunto de. Se fronteir pertencesse à figur, e se considerssemos um ponto P sobre fronteir, não poderimos desenhr nenhum bol bert centrd em P dentro de. Porque prte d bol ficri for de. Este exemplo fcilit definição de fronteir: Definição 6 Fronteir de um conjunto Fronteir de um conjunto é o conjunto dos pontos Q tl que, tod bol bert de centro Q tem pontos diferentes de Q tnto em como no complementr c. 3. curv Definição 7 Curv. Um curv em A x B é um gráfico que pode ser prmetrizdo continumente sobre um intervlo I R. Em outrs plvrs, um curv é um função contínu I α A x B ; I t α (x(t), y(t)) R. ; I R. () Escrev s equções prmétrics d curv y = 2x. (b) Escrev s equções prmétrics do círculo unitário. (c) Dê exemplos de curvs presentndo um prmentrizção dequd. (d) curv diferenciável Defin curv diferenciável. Dê exemplos. 4. Sentido de percurso - nti-horário () Clcule derivd d curv t e it = s(t) = (cos(t), sen(t)) (b) Verifique que s (t) é um vetor cuj direção é prlel à ret tngente no ponto s(t). Prove isto.

13 .4. COMPLEMENTOS SOBRE INTEGRAÇÃO CAPÍTULO. INTRODUÇÃO (c) Desloque s (t) pr o ponto de tngênci e verifique que o vetor tngente indic (ou induz) o sentido de rotção de um prtícul que tenh curv s(t) como orbit, e que isto justific porque o sentido nti-horário é considerdo positivo. Definição 8 Curv diferenciável Um curv é um função, se est função for diferenciável, diremos que curv é diferenciável. Um curv é um vriedde de dimensão. Se for diferenciável temos um vriedde diferenciável de dimensão. 5. vriedde liner tngente Considere vriedde diferenciável de dimensão dd pels equções prmétrics Verifique que função derivd r(t) = (x(t), y(t), z(t)). t r (t) define um cmpo vetoril, que dimensão comum todos os vetores deste cmpo é. Use isto pr justificr por que tngente em qulquer ponto de r é um ret, que r deve ser um vriedde de dimensão o que se chm comumente de curv. 6. vriedde liner tngente Considere função diferenciável z = F (x, y) definid em um domínio do plno R 2..4 Complementos sobre Integrção Exercícios 2 Complementos. Verifique os itens d tbel de Hughes-Hllet de té 7. Solução () F (x) = x n dx represent um primitiv d função f(x) = x n. Como sbemos que derivd de um função polinomil é outr função polinomil d dx xm = mx m então, escrevendo ests expressões com o símbolo d integrl temos F (x) = mx m dx = x m +C = ou simplesmente x m dx = xm m + C x m dx = xm + C m = xm m +C Se n = m = n + = m então x n dx = xn+ n + + C n + n (b) O cso n = - Não existe um função lgebric que sej primitiv de f(x) = x. Ms integrl x t dt existe se x > o permite definição d função x F (x) = t dt cujos vlores só podem ser clculdos proximdmente. Est função é função logritmo nturl o que se trduz com expressão d tbel. Observe que não fizemos nenhum demonstrção. A tbel fz referênci os vlores e se encontr ml escrit. A correção é x t dtln(x) + C ; x > ms função F (x) = ln x está definid pr qulquer vlor de x e neste cso derivd dest função é f(x)f (x) = x (c) x dx = x ln Observe que tbel não diz, fic sub-entendido, >. Um form de obter este resultdo é usndo derivção d função compost (regr d cdei) e como h(x) = x = e xln() então d dx f(g(x)) = f (g(x))g (x) h (x) = e xln() (xln()) = e xln() ln() = ln() x ou, dividindo tod equção pel constnte ln() temos h (x) ln() = exln() (xln()) = e xln() = x ln() Então, um primitiv de x é tmbém um primitiv de h (x) ln() que é h(x) ln() = x ln() provndo ssim o item 3 d tbel.

14 .4. COMPLEMENTOS SOBRE INTEGRAÇÃO CAPÍTULO. INTRODUÇÃO (d) Derivndo mbos os membros no item 4 temos: d dx lnxdx = d dx (xln(x) x + C) ln(x) = d d dx (xln(x) x) = dx (xln(x)) ln(x) = ln(x) + x x = ln(x) chegmos um identidde trvés de operções lógics concluindo então que prtimos de um expressão verddeir que é o item 4 d tbel. (e) Os itens 5,6 se encontrm feitos n miori dos livros de Cálculo. São consequênci de que d d sin(x) = cos(x) ; dx (f) tnxdx = ln cos(x) + C cos(x) = sin(x) dx Escrevendo definição de tn(x) = sin(x) cos(x) n integrl e observndo que sin(x) = d dxcos(x) temos: = du u tn(x)dx = sin(x) cos(x) dx = = sin(x)dx cos(x) = dcos(x) cos(x) = = ln u + C = ln cos(x) + C porque n últim linh fizemos substituição u = cos(x). Usmos tmbém o item 2 d tbel Hughes- Hllet. Est expressão merece lgums considerções como já observmos ntes. El deve ser usd com cuiddo observndo o domínio ds funções envolvids. 2. Clcule s integris bixo: π π π ) sen(x)dx b) sen(2x)dx c) sen(4x)dx π π π d) 2 cos(2x)dx e) 3 cos(3x)dx f) 4 cos(4x)dx Fç os gráficos correspondentes e procure deduzir um lei gerl descrevendo o comportmento multiplictivo em observndo que α b f(αx)dx sen(αx) αsen(x) e cos(αx) αcos(x). Fç um demonstrção deste teorem usndo soms de Riemnn. Solução 2 π π sen(2x)dx = 2 sen(2x)2dx π sen(2x)dx = 2 π 2 sen(u)du π π sen(3x)dx = 3 sen(3x)3dx π sen(3x)dx = 3 π 3 sen(u)du π π n sen(nx)dx = n sen(u)du Vej que não tirmos o n do prâmetro do sen. O que fizemos foi, n integrl que envolve sen(nx), ltermos vriável de integrção. Estmos usndo um técnic chmd mudnç de vriável n integrção. Est é um ds denominções mis infelizes pr métodos em Mtemátic, mudnç de vriável, um vez que num integrl definid não nenhum vriável pr ser mudd. O nome correto, e que provvelmente ninguém pens serimente n mudnç, seri, mudnç de domínio n integrl, ms é preciso pelo menos fzer est observção. Mis frente vmos enuncir este método sob form de Teorem. Isto fic ptente n demonstrção fremos, mis frente, usndo soms de Riemnn. Use Gnuplot com os seguintes comndos, pr ver o significdo de f(x) = sen(nx). Não use numerção ), b), etc... no Gnuplot que el irá provocr erros. A numerção vi ser usd em seguid pr explicr o efeito de cd comndo. ) f(x) = sin(x) b) g(x) = sin(2*x) c) h(x) = sin(3*x) d) set yrnge [-:] e) plot f(x), g(x), h(x), () f(x) = sin(x) pr definir um função f no Gnuplot. (b) g(x) = sin(2 x) pr definir um função g no Gnuplot. (c) h(x) = sin(3 x) pr definir um função h no Gnuplot. (d) set yrnge [-:] pr tornr os gráficos com um visul melhor, experimente primeiro sem este item e rode o próximo, e verá que os gráficos ficm pouco clros. (e) Pede o Gnuplot que fç os gráficos simultâneos ds funções f, g, h e d função constnte zero - o eixo OX.

15 .4. COMPLEMENTOS SOBRE INTEGRAÇÃO CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Interpretndo o resultdo do Gnuplot. Você vê tres senoides, quer dizer, tres onds do tipo seno. A diferenç entre els é frequênci. Se considerrmos y = sen(x) como o pdrão, então g, h têm frequêncis miores do que o pdrão. Rode gor no Gnuplot sem usr numerção ),b), etc... ) f(x) = sin(x) b) g(x) = sin(2*x) c) h(x) = sin(3*x) d) set yrnge [-:]; set xrnge [:6.3] e) plot f(x), g(x), h(x), O item (d) lter o domínio dos gráficos pr o intervlo [, 6.3] [, 2π], e bst rodr (d),(e) não é necessário repetir os outros. O que você gor vê um ond complet ( do seno), um ond que se repete integrlmente ( do sen(2x)), e um ond que se repete dus vezes ( do sen(3x)). Durnte muito tempo se pensou que todos os fenômenos ondultórios fossem descritos perfeitmente pels onds f n (x) = sen(nx); g n (x) = cos(nx) té os nos 5 isto er um sentimento quse generlizdo. Entre os nos 5 e 8 descobriu-se que outros tipos de onde poderim ser usds o que terminou n construção de um teori chmd de wvelets. Isto qui é um tremendo resumo... Vmos ver gor o cso genérico b b f(αx)dx = α b f(αx)dx = α b f(αx)dx. b f(αx)αdx f(αx)d(αx) = α b/α /α f(u)du Observe que ns integris de sen(nx) um dos limites é zero e poristo prece que não foi dividido... Um expressão mis genéric ind pode ser obtid usndo-se um função g em lugr de x αx = g(x) que é o cso ns conts que fizemos cim. Qundo se plic mudnç de vriável num integrl é porque se descobriu que f(g(x)) = h(x) é um função mis simples no cálculo de integris (está n tbel de integrção). A sequênci de equções é: b h(x)dx = b f(g(x))dx = b f(g(x)) g (x) dg(x) [,b] b h(x)dx = [.b] h(x)dx = g (b) g () f(g(x))dx = f(u) u du g ([.b]) Observe que g (x) = está fzendo o ppel de u α não pode sir d integrl porque depende de x. f(u)du ; u = g(x) ns conts nteriores e.5 Complementos sobre Geometri e Derivd Exercícios 3. Use Gnuplot 8 com os comndos seguintes pr ver o uso d derivd n construção d ret tngente ## este um comentrio que Gnuplot vi ignorr set title "Grficos de f e de f " f(x) = sin(x) df(x) = cos(x) ## equco de um ret tngente o grfico de f ret(x) = f() + df()*(x-) set xrnge[:6.3]; set yrnge[-4:4] plot f(x), df(x), puse -2 ## grfico f d ret tngente o grfico de f set title "grfico d equco ret tngente em (-3, f(-3))" = -3 plot f(x), ret(x), puse -2 () f(x) = sin(x) pr definir função f; (b) df(x) = cos(x) pr definir um função chmd df(x); (c) set xrnge[ 6.3 : 6.3]; set yrnge[ 4 : 4] pr definir jnel do gráfico. Experimente rodr sem estes comndos pr ver diferenç; Troque os vlores nos intervlos pr ver o que contece. (d) plot f(x), df(x), pede o Gnuplot que fç os gráficos simultâneos de f, df,. O zero represent função constnte zero e no gráfico vi representr o eixo OX. (e) Vej que o vlor de é pode ser ddo em diversos locis sem ser preciso lterr equção d ret. 8 Gnuplot é um progrm pr fzer gráfico de funções, de domínio público, com versões pr LinuX,DOS, e outros sistems opercionis.

16 .5. COMPLEMENTOS SOBRE GEOMETRIA E DERIVADA 29 3 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO (f) puse -2 forç Gnuplot esperr por um enter ntes de continur. (g) Repit o bloco que se inici com o comentário grfico f d ret tngente o grfico de f trocndo pens o vlor de pr ver novos gráficos d ret tngente em outros pontos do gráfico. (h) Troque equção de f e de su derivd pr ver outros gráficos. Possivelmente você deverá tmbém terá que lterr jnel gráfic com os comndos set xrnge[ 6.3 : 6.3]; set yrnge[ 4 : 4] Se o rquivo gnuplot.dt estiver no diretório corrente, você poderá rodr gnuplot gnuplot.dt pr ver um exemplo funcionndo. Lei o rquivo gnuplot.dt e o ltere seu gosto, mesmo que você comet erros... Anlise, geometricmente, o significdo de f(x) = sin(x), df(x) = f (x) = cos(x). 2. Vetores () Ilustre com desenhos comuttividde e ssocitividde d som de vetores em R 3. (b) Mostre com um interpretção geométric que s digonis de um prlelogrm representm som e diferenç de dois vetores indicndo quem represent quem. (c) Resolv geometricmente equção A + X = C pr dois vetores A, C que você desenhr inicilmente. (d) Resolv geometricmente equção X A = C pr dois vetores A, C que você desenhr inicilmente. (e) Lei de Chsles i. Desenhe os vetores A, B, C no plno tl que A + B + C = ii. Desenhe os vetores A, B, C, D no plno tl que A + B + C + D = iii. Enuncie Lei de Chsles que ssoci vetores e polígonl fechd, e est sendo usd nos itens nteriores. Lei de Chsles. Ddos n vetores A, A 2, A n se som deles é zero, signific que um deles é resultnte dos demis, logo eles formm um poligonl fechd. (f) Ddos dois vetores A, B não colineres, determine o lugr geométrico (fç gráficos ilustrtivos) do espço descrito por i. A + t B ; t R Solução: É ret prlel o vetor B pssndo pelo ponto A. Est expressão depende de um único prâmetro o que lhe dá dimensão, (um vriedde de dimensão ). ii. t A + s B ; t, s R ; s + t = Solução: A relção s + t = lig linermente os prâmetros s, t de modo que existe um prâmetro dependente e outro independente. Isto signific que est expressão depende de um único prâmetro (dquele que for considerdo livre ). O resultdo é um vriedde de dimensão : um ret. Se s = então t = e ret pss pelo ponto A, reciprocmente, se s = vemos que ret pss pelo ponto B. iii. t A + s B ; t, s ; s + t = Solução: Semelhnte o nterior, um vriedde de dimensão, entretnto gor condição t, s restringe vrição dos prâmetros um domínio restrito, resultndo num segmento de ret: s [, ], por exemplo. Um outr form de ver: condição fz dos prâmetros s, t pesos e t, s ; s + t = t A + s B é médi ritmétic ponderd dos vetores A, B portnto um ponto qulquer do segmento de ret que lig os dois vetores. iv. t A + s B ; t, s Solução: Precismos de um pouco mis de sofisticção pr determinr que figur geométric é est. Primeiro observe que condição t, s descreve o primeiro qudrnte, portnto t A+s B tem que ser imgem do primeiro qudrnte pel função f(s, t) = t A + s B. Como f é liner, s fronteirs lineres do domínio serão preservds logo imgem vi ser um cone (um folh de um cone).

17 .5. COMPLEMENTOS SOBRE GEOMETRIA E DERIVADA 3 32 CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Como o pr de vlores (s, t) {(, ), (, )} é dmissível, então os pontos A, B pertencem est cone e um rciocínio semelhnte mostr que s rets determinds por A, B são s fronteirs do cone-imgem. v. t A + s B ; t, s R Solução: O plno porque é um vriedde de dimensão 2 um vez que não restrição sobre s vriáveis, são dus vriáveis livres. (g) Dependênci liner i. Prove que ddos A, B R n se houver s, t R tl que s A + t B = então A, B são prlelos. Solução: Como os esclres não podem ser nulos então podemos resolver equção explicitndo um dos vetores: A = t B s quer dizer que A está n ret determind por B logo são colineres (prlelos). Os dois vetores determinm um espço de dimensão obtido com vrição rbitrári dos prâmetros. Dizemos que eles são linermente dependentes porque sendo dois vetores germ um espço de dimensão menor do que dois. ii. Prove que ddos A, B, C R n se houver s, t, r R tl que s A + t B + r C = então s A, t B, r C formm um poligonl fechd. Solução: Mesmo rciocínio nterior, podemos clculr um vetor em função dos outros dois o que o torn resultnte d som dos outros dois pr um escolh dequd de esclres, logo um um poligonl fechd. Os tres vetores determinm um espço de dimensão 2 obtido com vrição rbitrári dos prâmetros. Dizemos que eles são linermente dependentes porque sendo tres vetores germ um espço de dimensão menor do que tres. iii. Como você descreveri um situção semelhnte às nteriores com 4 vetores. Junte s peçs e enuncie um lei gerl usndo s plvrs dimensão e dependênci liner, que nos liberm dos limites estreitos d geometri. Solução: Como nos outros csos, podemos explicitr um dos vetores como combinção liner dos demis: resultnte d som dos outros pr um seleção dequd de esclres. Os qutro vetores determinm um espço de dimensão 3 obtido com vrição rbitrári dos prâmetros. Dizemos que eles são linermente dependentes porque sendo qutro vetores germ um espço de dimensão menor do que qutro. (h) bricentro Se A, A 2,, A n forem ddos, e se os números tmbém forem ddos, qul é o significdo de B = p A + p 2 A2 + + p n An p + p p n ; p + p p n Solução: A expressão represent um médi ritmétic ponderd, portnto o significdo é este. O nome bricentro (centro de mss) signific que cd um dos vetores de um determind região é ssocido com mss específic d região que ele represent. Dest form B represent um médi ritmétic ponderd de um mostrgem de pontos A i de um corpo com su mss específic p i e portnto um proximção do centro de mss do corpo. 3. Produto Esclr Sejm A, B R n. () Decid se o que é verddeiro e justifique ) A B B é um número b) A B A é um vetor c) B B B é um vetor. Solução: () e (c) são verddeiros. (b) qul o significdo de A B B 2 B? Solução: O quociente por B B torn o vetor B unitário. Então temos o produto esclr de A por um vetor unitário, logo projeção de A n direção de B, um número. Este número multiplicdo pelo unitário n direção de B produz um vetor nest direção, com o comprimento clculdo por B A B. 4. Escrev s equções prmétrics d ret que pss nos pontos (,, 2), (, 2, 3) R 3. Solução 3 Pr encontrr equção prmétric d ret que pss por dois pontos, clculmos diferenç entre os vetores posição o que dá digonl-diferenç do prlelogrm. Os múltiplos deste vetor por um prmêtro rbitrário representm equção prmétric d ret: R = (,, 2) (, 2, 3) = (,, ) (x, y, z) = (,, 2) + t R = (,, 2) + t(,, ) (x, y, z) = ( t, t, 2 t) p, p,..., p 5. Clcule o vetor norml o plno 3x + 7y + z = 5

18 .5. COMPLEMENTOS SOBRE GEOMETRIA E DERIVADA CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Solução 4 O vetor norml é unitário n direção do vetor ortogonl. Há dois. Vetor ortogonl o plno pode ser (3, 7, ) se dividido pelo módulo produz um vetor unitário: u = (3, 7, (3, 7, ) = (3, 7, ) 6. Considerndo o plno 3x+7y +z = 5 como um função z = f(x, y) decid se f cresce ou decresce o longo do eixo OX Solução 5 z = f(x, y) = 5 3x 7y É derivd prcil, reltivmente OX quem vi responder isto: f = 3 < logo f é decrescente n direção de OX. 7. Considere superficie f(x, y) = x 2 + y. Verifique se z = f(x, y) cresce ou decresce no ponto (,, ) n direção de OX. Solução 6 É derivd prcil reltivmente OX (ou reltivmente x) quem vi flr do crescimento de f o longo d direção OX. f = 2x clculd no ponto (,, ) vle 2x x= = 2 portnto f é crescente neste ponto. 8. Verifique que s rets tngentes à curv x 2 + y 2 = são perpendiculres o vetor posição (x, y). 9. derivbilidde e continuidde Verifique que função definid por { 9 se x < 9 x 2 se x (.54) é continu, derivável em todos os pontos do domínio, ms su segund derivd é descontínu n origem. Clcule f (+), f ( ). Fç os gráficos ds tres funções f, f, f num único sistem de eixos. Solução 8 Ests funções estão definids por um sistem de dus equções conforme x (, ) ou x [, ). em cd um destes sub-domínios, els são definids por polinômios portnto tem derivds de qulquer ordem (e ntes são conínus). O problem se encontr (se houver) no ponto que é fronteir comum os dois domínios. Como f(+) = 9 = f( ) então f é contínu. f (+) = = f ( ) então f é contínu. f (+) = f ( ) = 2 então f não é contínu. Os gráficos dests funções podem ser obtids com Gnuplot. A sintxe, no Gnuplot pr definir expressões condicionis é: Ou mis gerlmente: f(x) = (x < )?9 : 9 x x condico?comndo : comndo2 se condico for verddeir, comndo será executdo, se condico for fls, comndo2 será então executdo. Dest form, função fic definid pel expressão que se encontr à direit d iguldde. Solução 7 Derivndo implicitmente temos 2xdx + 2ydy = equção d ret tngente: 2(x ) + 2b(y b) = O vetor (2, 2b) = 2(, b) o dobro do vetor posição (, b) é perpendiculr à ret tngente, logo o vetor posição (, b) é tmbém perpendiculr à ret tngente em qulquer ponto.. Redefin, com sintxe do Gnuplot, e fç o gráfico d função ssim definid: x < 4 f(x) = 2(x + 4) x [ 4, 4] f(x) = g(x) = 6 x2 4 x > 4 f(x) = g(x 8) (.55) Prove que f é de clsse C ms não é de clsse C 2 e clcule os sltos d segund derivd.

19 .5. COMPLEMENTOS SOBRE GEOMETRIA E DERIVADA CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Solução 9 Pr o gráfico rode gnuplot integrl.multipl..2..dt Como f está definid por polin ˆmios, em cd um ds componentes conexs do domínio, então f é de clsse C em cd um desss componentes. Temos que nlisr o que ocorre nos pontos-fronteir comuns cd um desss componentes: x { 4, 4} No ponto x = 4 os limites lteris de f coïcidem ssim como em x = 4. Fç s conts pr verificá-lo. Consequentemente f é contínu n ret. A derivd, tmbém tem os mesmo vlores à direit e à esquerd destes pontos, portnto f é contín n ret e ssim f é contínu e tem derivd contínu, o que fz pertencer à clsse C. Ms segund derivd tem um slto de mplitude.5 no ponto x = 4 e um slto de mplitude no ponto x = 4. A segund derivd é descontínu, portnto f C 2. Solução () mplitude dos sltos de f 2 (b) f 2 ( 2 + ) = 2; f 2 ( 2 ) = 2 então o slto no ponto 2 tem mplitude 2 ( 2) = 4. f 2 (2 + ) = 2; f 2 (2 ) = 2 então o slto no ponto 2 tem mplitude 2 (2) = 4 = 4. A mplitude é um núemro positivo, é o módulo d diferenç entre os limites lteris. f (x) = f ( 2 + ) = f ( 2 ) = x 4 f 2 (t)dt (.56) f 2 (t)dt (.57) f 2 (t)dt (.58) f ( 2 + ) = f ( 2 ) (.59). Construção de um função f C 2 Considere f 2 definid pelo conjunto de equções x < 2 f 2 (x) = 2 x [ 2, 2] f 2 (x) = x x > 2 f 2 (x) = 2 () Clcule mplitude dos sltos de f 2. (b) Defin f (x) = Verifique que f é contínu e que (c) Defin f(x) = x 4 f = f 2 x 4 f 2 (t)dt f (t)dt Verifique que f é contínu, que su derivd é f, e su segund derivd é função descontínu f 2. O vlor d dus integris [,b] f 2 (t)dt (,b) f 2 (t)dt porque s soms de Riemnn com que se clculm proximções pr els são tods iguis. Um ponto retirdo do domínio, não lter o vlor de um integrl. O mesmo vi ocorrer no ponto 2 e ssim f é um função contínu, ms su derivd é descontínu. (c) Pelo rciocínio nterior, f é contínu e tem um derivd contínu, logo é de clsse C ms su segund derivd sendo descontínu, f C Considere f definid pelo conjunto de equções e defin s dus primitivs de f x < 2 f(x) = 2 x [ 2, 2] f(x) = x x > 2 f(x) = 2 f (x) = f 2 (x) = x 4 f(t)dt x f(t)dt 2

20 .5. COMPLEMENTOS SOBRE GEOMETRIA E DERIVADA CAPÍTULO. INTRODUÇÃO Fç os gráficos com gnuplot pr mbs ests funções verificndo que você vi ter dus curvs prlels. Clcule diferenç f (x) f 2 (x) pr um ponto rbitrário x R. Solução As dus primitivs de f f (x) = x < 2 f (x) = x 4 x 4 x [ 2, 2] f (x) = f(t)dt f(t)dt = 2(x + 4) 2 4 f(t)dt + x 2 tdt x [ 2, 2] f (x) = 2f( 2) x = x [ 2, 2] f (x) = 4 x = x x x > 2 f (x) = 2dt + tdt + 2dt = 4 x > 2 f (x) = (x 2) = 2x 8 x x < 2 f 2 (x) = f(t)dt = 2(x + 2) 2 x x [ 2, 2] f 2 (x) = f(t)dt + tdt = x [ 2, 2] f 2 (x) = x = 2 2 x x > 2 f 2 (x) = 2dt + tdt + 2dt = x > 2 f 2 (x) = + + 2x Pr ver o gráfico rode gnuplot integrl.multipl..2.3.dt A diferenç, ponto ponto ds dus curvs é 2 f 2 (x) f (x) = f 2 (x) f (x) = f(t)dt = 4 4