d = h 2 +2rh, (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 º

Transcrição

1 Ä Ø Ö Ð Ü Ö Ó ÈÖÓ º ÂÓÓ º ÇÐ Ú Ö ½ Ü Ö Ó ÕÙ Ò ½º¼ Ö Ú ÓÑÔ Ð Ü ÙØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑ ºº ÒÓØ Ó ÓÑ Ò Ó Ù Ó Ô Ö ÓÑÔ ¹ Ð Ö Ü ÙØ Öº Ñ Ù ÒØÖÓ ÙÞ Ô ÕÙ ÒÓ ÖÖÓ Ñ Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÙÑ Ú Þ µ Ú Ñ Ò Ò ÕÙ Ó ÒÓ ÔÖÓ Ó ÓÑÔ Ð Óº ½º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ô Ò ÑÔÖ Ñ Ù Ú Ö Ú a b Ñ Ö Ú ÐÓÖ Ð º Î Ó ÕÙ ÓÒØ º ½º¾ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ð ÙÒ ÒØ ÖÓ Ó Ø ÔÓ ÑÔÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ ÕÙ ØÓ Ò Ð ÓÙ ÕÙ ÚÓ ÓÐÓÓÙ Ò Ð º È Ö Ó ÔÖ ÒØ µ Ù Ö ÕÙ Þ Ñ ÓÔ ± ± ±¼ ± ±½¾º ±¾º¾ ± ± º ½º Ù Ö Ó ÕÙ Þ Ó ÓÔ Ö ÓÖ Þ Ó µº ½º Ù Ö ÕÙ ÒØÓ Ø Ó Ù Ó ÒÓ Ù ÓÑÔ Ð ÓÖ ÔÖ Ö Ó Ô Ö ÖÑ Þ Ò Ö Ó Ø ÔÓ ÓÖØ ÒØ ÒØ ÐÓÒ ÒØ ÐÓÒ ÐÓÒ Òغ Í ÙÒÓ Þ Ó µ Ô Ö Óº ½º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ð Ö Ù Ú Ö Ú ÒØ Ö a b Ò Ó Ú ÐÓÖ Ð º ÔÓ ÓÑ ÕÙ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ØÖÓÕÙ Ó Ú ÐÓÖ Ú Ö Ú Ô Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ a Ô Ö b Ú ¹Ú Ö º ½º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Þ ÓÒÚ Ö Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö Ò Ø Ô Ö Ð Ù ÙÒ Ó ÖÑÙÐ ÓÒ C = 5 (F 32) 9 ÔÓ ÔÖÓÒØÓ Ù Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ó Ö Ö Ñ ÕÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù Ð Ó Ò Ñº Í Ô Ô Ð Ð Ô ÙÑ ÔÓÙÓ Ð Ö Ó ÔÖ Ñ Ö Ó ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ù ÔÖÓ Ö Ñ º Ò Ð ÙÑ ÔÓÙÓ ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Ö Ô Ò Ò Ó ÚÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ÖÑÙÐ ÓÒÚ Ö Ó Ò Ñ ÓÖ Ð Ò Ù Ò ÔÖÓ Ö Ñ Óµ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÑÓ Ð Ó Ñ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÒÚ Ö Ó Ö ÑÔÖ Þ ÖÓº ÜÔÐ ÕÙ Ó ÑÓØ ÚÓ ÓÖÖ º ½º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ñ Ò Ñ Ñ ØÖÓ µ ÙÑ Ø ÖÖ ÒÓ Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ñ Ù Ñ Ò ÙÑ Ø Ñ Ñ Ñ Ñ ØÖÓ Ö Ø Ò ÙÐ Öµ Ó Ö Ø Ø ÖÖ ÒÓº Ñ Ù ÐÙÐ ÔÖ ÒØ Ö Ð ÚÖ Ó Ø ÖÖ ÒÓ Ñ Ñ ØÖÓ ÕÙ Ö Ó Ñ Ô Ö ÒØ Ñº ½º ÐØ Ö Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ü Ö Ó ½º Ô Ö ÙÒ ÓÒ Ö ÓÑ ÙÑ Ö ÓÒ Ñ ÙÑ Ø ÖÖ ÒÓ Ö ÓÒ Óº ½º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÙÑ Ü ÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ R Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ ÒÓØ ½¼¼ ¼ ½¼ ½ Ö Ò Ö Ó Ô Ö Ô Ö ÕÙ ÒØ Rº ÓÖÑ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ÒÓØ Ù Ó Ó Ñ ÒÓÖ ÔÓ Ú Ðº ½º½¼ ÐØ Ö Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ÕÙ Ð ØÖ Ð ÓÑ ÒÓØ ½½ ½ Ö ÓÖÑ Ö ØÖÓÓ ½ Ö º ½º½½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ ÓÖ Ö Ó ÓÖ Ñ ÒÙØÓ ÙÒ Ó µ Ø ÖÑ Ò ÕÙ ÒØÓ ÙÒ Ó Ô Ö Ñ ÕÙ Ó ÓÑ ÓÙº

2 ½º½¾ Ë ÚÓ Ø Ú Ö ÙÑ ÐØÙÖ h Ñ Ñ ØÖÓ µ Ó Ö Ó Ò Ú Ð Ó Ñ Ö Ù ØÒ d Ø Ñ Ñ Ñ Ñ ØÖÓ µ Ø Ó ÓÖ ÞÓÒØ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ô Ð ÖÑÙÐ d = h 2 +2rh, ÓÒ r Ó Ö Ó Ì ÖÖ Ö ½ ¼ Ñ ØÖÓ µ ½ º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ ÐØÙÖ h Ø ÖÑ Ò ÕÙ ØÒ Ø Ó ÓÖ ÞÓÒØ º È Ö Ñ Ø Ö ÙÖ Ó ÕÙ ØÓ ÐØÙÖ Ð ÙÒ ÐÓ ÒØ Ö ÒØ ÄÓ Ð ÌÓÖÖ È ØÓÔÓµ Ì Å Ð ØÓÔÓ ÔÙÐ µ Ó Ù Ø Ë ØÙÖÒÓ ÌÓÖÖ Ð ÔÐ Ø ÓÖÑ µ ÈÓ Ö ÏÓÖÐ ÌÖ ÒØ Ö ØÓÖÖ ½µ Ö ØÓ Ê ÒØÓÖ ÅÓÒØ Ð Ò Ã¾ ÅÓÒØ Ú Ö Ø Ú Ó ÐØÙÖ Ñ Ñ ½½¼ Ñ ¾ Ñ Ñ ½ Ñ ¼ Ñ ½¼ Ñ ½½ Ñ ¼ Ñ ¼ ¼º¼¼¼ Ñ ½º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ ÔÐ ÒÓ P 1 = (x 1,y 1 ) P 2 = (x 2,y 2 ) ÐÙÐ µ ØÒ ÒØÖ Ð ÔÓÖ d(p 1,P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 º µ ÒÐ Ò Ó Ö Ø y = ax + b ÕÙ ÙÒ Ø Ó ÔÓÒØÓ ÔÓÖ a = (y 2 y 1 )/(x 2 x 1 )º ÙÑ Ò Ð Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö ÕÙ ÕÙ Ü Ø Ñ ÖØÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ Þ Ñ ÓÑ ÕÙ Ð ÔÖ ÒØ ÙÑ ÖÖÓº Á ÒØ ÕÙ Ó ÖÖÓº ½º½ ÔØ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ü Ö Ó ½º½ Ô Ö Ö Ö ÓÓÖ Ò Ó ÒØÖÓ Ó ÖÙÐÓ ÙÒØÓ ÓÑ Ù Ö Ó º Ñ Ù Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ó ÖÙÐÓ ÒØ Ö Ø Ñ ÓÙ ÒÓº ÔÓ ÔØ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÒÓ ÔÖ Ö Ù Ö ÙÑ Ö Þ ÕÙ Ö º ½º½ ÎÓ Ö ÓÐÚ Ù Ö ÙÑ ÓÖ Ô Ö Æ Ë ÕÙ ÐÙÐ Ö Ó Ô Ó Ô Ó Ñ Ö ÒØ ÔÐ Ò Ø Ó Ø Ñ ÓÐ Öº Á Ó Ú Ø Ö ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒ ÕÙ Ò Ò ÜÔ Ò Ó ÙÑ Ò Ô ÐÓ ÔÐ Ò Ø Ó ÓÖ Ò Ó ÚÓ ÔÖ Ö Ö ÔÐ Ò Ø ÓÒ Ü Ñ Ô Ó Ó Ñ Ö Ò Ó ÚÓ ÕÙ Ö Ö Ó ÓÒØÖ Ö Óµº Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ó Ô Ó ÙÑ Ô Ó Ñ Æ ÛØÓÒ µ ÐÙÐ Ó ÒÓÚÓ Ô Ó ÒÓ ÓÖÔÓ Ð Ø ÓÖ Ó ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ú Ø ÓÒ ÔÐ Ò Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ ØÓ ÒÓÖÑ Ð Þ Ñ Ö Ð Ó ÓÒ Ø ÒØ Ì ÖÖ µ ÜÓ ½ Ø ÒÓ Ø ÖÑÙÐ ÙÑ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ô Ò Ñ ÓÑ ØÖ ÑÔÐ Ñ Ð Ú Ö Ñ ÓÒØ ÙÑ Ö ØÓÖ ØÑÓ Ö Ó º Ì Ñ Ñ Ô Ö ÕÙ ÚÓ Ù Ö ÙÒ Ñ Ñ ØÖÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ø ÒØ Ö Ò ÔÓ Ò Ó Ù Ö ÔÖÓ Ð Ñ º

3 ÓÖÔÓ Ð Ø Å Ö Ö Ó Î ÒÙ Å ÖØ ÄÙ Ì ÖÖ Â Ô Ø Ö Ë ØÙÖÒÓ ÍÖ ÒÓ Æ ØÙÒÓ ÈÐÙØÓ ØÓÖ ÓÒÚ Ö Ó ¼º ½¼ ¼º ¼ ½ ¼ ¼º ½¾ ¾ ¼º½ ½ ½ ½ ¾º ½ ½ ½º½ ¼ ½º¼ ½ ¼¾ ½º ¼ ¾ ½ ¼º¾¾ ¾ ¼ ¾ ½ ÔÓ Þ Ö ÓÒÚ Ö ÑÔÖ Ñ Ó ÕÙ ÒØÓ Ô Ó Ô Ö Ñ Ø Ú Ñ Ò Ì ÖÖ º ¾ Ü Ö Ó ÓÑ Ó ¾º¼ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÒØ a b c ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ÙÒ Ó Ö Ù ax 2 +bx+c Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ò Ó Ø ÔÓÐ ÒÑ Ó Ù Ð Þ ÖÓº ÌÓÑ Ù Ó Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÙ Ó ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ú Ó Ù Ù Ö Ó ÓÙÚ Ö Ñ ØÙ ÖÖÓº ¾º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ØÖ Ú ÐÓÖ ÑÔÖ Ñ Ø ØÖ Ú ÐÓÖ Ñ ÓÖ Ñ Ö ÒØ º ÔÓ Ó Ñ ÑÓ Ô Ö ÕÙ ØÖÓ Ú ÐÓÖ Ú ÓÑÓ Ñ ÓÑÔÐ Óº Ç ÕÙ ÚÓ Ô Ö Ô Ö ÒÓ Ú ÐÓÖ ¾º¾ ÎÓ ÔÓ Ö Ö ÙÑ ÖÒ Ø ÔÓÙÔ Ò ÔÓ Ø Ò Ó Ó Ú ÐÓÖ a ÒÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ñ Ó Ú ÐÓÖ b ÒÓ Ñ Ù ÒØ º ËÙÔÓÒ Ó ÕÙ Ø Ü ÙÖÓ ÕÙ ÚÓ Ö Ô ÐÓ Ù Ò ÖÓ j ÓÑ j > 1 Ô Ö ÑÓ º º º µ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ð Ø ÕÙ ÒØÓ Ò ÖÓ ÚÓ Ø Ö Ò ÓÒØ Ñ º Ó Ú ÐÓÖ ÓÖÖ ØÓ j ÔÓ ÙÔÓÒ ÕÙ a = b ÓÒØ ÔÖ Ú Ö ÕÙ ÒØÓ ÚÓ ÔÓ ÓÐÓ Ö Ò Ù ÔÓÙÔ Ò ØÓ Ó Ñ º ÔÓ Ù Ö ÕÙ Ò Ó ÚÓ Ø Ö ÙÑ Ñ Ð Óº ¾º ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ö ÙÑ ÒÓ Ú Ö Ø ÒÓ Ö ÜØÓ ÑÔÖ Ñ Ò Ó ÙÑ Ñ Ò Ñº Ö Ö ÔÓÙÓ ÓÒ µ Ô Ö ÙÑ ÒÓ Ö ÜØÓ Ó µ Ð Ú Ö Ú Ú Ð ÔÓÖ ÕÙ ØÖÓº µ Ë ÓÖ ÙÑ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ ¼¼ Ú Ö Ø Ñ Ñ Ú Ú Ð ÔÓÖ ¼¼º ¾º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÕÙ ØÖÓ ÒÓØ Ú Ð Ó ÙÑ ÐÙÒÓ ØÖ ÔÖÓÚ ÙÑ ÒÓØ Ó ØÖ Ð Ó µ ÔÖ ÒØ Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó µ Ñ Ó ÐÙÒÓ ÙÔÓÒ Ó Ô Ó Ù µº µ Ë ÐØ Ñ ÒÓØ Ö Þ ÖÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÙÑ ÕÙ Ø ÒÓØ Ò ÒÓ Ü Ø Þ Ó ÐÙÒÓ ÕÙ Ð ÒÓØ Ð Ú Ø Ö Ö Ô Ö Ø Ö Ñ Ø º ¾º Æ ÓÑÔ Ø Ó Ñ Ö ÙÐ Ó ÓÐ ÑÔ ÒÓØ ÙÑ ØÐ Ø Ó Ñ Ó ØÓ Ù Þ Ó ÒÓØ ÒØÖ ¼ ½¼º Ñ Ù ÒÓØ Ñ Ü Ñ ÐØ Ó ÖØ ÒÓØ Ò Ð Ó ØÐ Ø Ô Ð Ñ ÒÓØ Ö Ø ÒØ º ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ó ØÓ ÒÓØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÑ ØÐ Ø ÔÖ ÒØ Ù ÒÓØ Ò Ðº ¾º Æ Ò Ø ÓÐ ÑÔ ÒÓØ ÙÑ ÕÙ Ô Ó Ñ ØÐ Ø Þ Ñ Ù Ü Ö Ó Ö Ñ Ù ÒÓØ ÒØÖ ¼ ½¼º Ñ Ù ÒÓØ Ö Ð ÕÙ Ô Ô Ð Ñ ÕÙ ØÖÓ Ñ ÓÖ ÒÓØ Ö º ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÒÓØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó ØÐ Ø ÔÖ ÒØ ÒÓØ Ö Ð ÕÙ Ô º

4 ¾º ÔÓ Þ Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÒØ ØÓ ÓÑ ÙÑ Ú Ð Þ Ó ÜØÖ Ø ÖÖ ØÖ Ó Ø ÖÑÓÔ Ð Ø µ ÚÓ ÓÙ Ò ÖÖ Ó Þ Ö ÓÒÚ Ö Ó Ø ÒØÖ Ù Ú Ð Þ º ÈÓÖ Ó Ò Ò Ó ÒÓ Ó Ø ÖÑÓÔ Ð Ø Ø Ñ Ñ Ñ ÙÖ Ó Ó ÒÓ Ø ÖÖ ØÖ Ñ Ú Ó Ñ Ò Ö Ö ÒØ Ñ ÒÓÖ ÙÒ Ø ÑÔÓ Ó Ð Ô ÕÙ ÙÖ ÙÒ Ó Ø ÖÖ ØÖ º ÉÙ Ö ÒØ Ð Ô Þ Ñ ÙÑ Ø ÕÙ ÔÖ Ü Ñ ÙÒ º ÉÙ ÒÞ Ø Þ Ñ ÙÑ Ð ¼ Ð Þ Ñ ÙÑ Ñ Þ Ðº Ç ØÓ Ñ Þ Ð Þ Ñ ÙÑ Ö Ø Ö Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ Ó ÒÓ ÒØ ÖÓº ÓÑ Ø Ò ÓÖÑ Ö ÓÐÚ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ Ø Ø ÖÖ ØÖ ÒÓ ÓÖÑ ØÓ Ñ ÓÖ Ñ Ò ÑÔÖ Ñ Ø ÒÓ ÓÖÑ ØÓ Ø ÖÑÓÔ Ð Ø Ö Ø Ñ Þ Ð Ð Ø Ð Ôº ÙÑ ÙÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Þ ÓÒÚ Ö Ó ÓÒØÖ Ö Ó ÒÓ Ø ÖÑÓÔ Ð Ø Ô Ö Ó ÒÓ Ø ÖÖ ØÖ º ÔÖÓÚ Ø ÓÒ ØÖÙ ÙÑ Ø Ð ÓÒÚ Ö ÙÒ Ø ÑÔÓ Ø ÖÑÓÔ Ð Ø Þ Ò Ó Ó ÕÙ ÒØÓ ÙÑ Ð Ú Ð Ò ÙÒ Ø ÖÖ ØÖ º ¾º Ñ ÓÙØÙ ÖÓ ½ Ö Ñ Ò Ø ØÙ Ê Ô Ð Ö Ò ÓÐÓÓÙ Ñ Ú ÓÖ ÙÑ ÒÓÚÓ Ð Ò Ö Ó ÕÙ Ó Ù Ó Ø ½ ¼ º Æ Ø Ð Ò Ö Ó Ó ÒÓ Ö Ú Ó Ñ ½¾ Ñ Ü Ø Ñ ÒØ ¼ ÙÑ Ù Ó Ñ Ñ Ö Ñ Ñ ÒÓ ÜØÓ µº Ç ÒÓÑ Ø ½¾ Ñ Ö Ñ ½µ Î Ò Ñ Ö Ú Ò Ñ µ µ ÈÐÙÚ ÙÚÓ Óµ µ ÈÖ Ö Ð Ô Ø Ñµ ¾µ ÖÙÑ Ö Ò ÚÓ ÖÓµ µ Î ÒØ Ú ÒØÓ Óµ ½¼µ Å ÓÖ ÓÐ Ø µ µ Ö Ñ Ö µ µ ÖÑ Ò Ð Ñ ÙÖ µ ½½µ Ì ÖÑ ÓÖ ÐÓÖµ µ Æ Ú Ò Ú Óµ µ ÐÓÖ Ð ÓÖ Ò µ ½¾µ ÖÙØ ÓÖ ÖÙØÙÓ Óµ Ð Ñ Ó Ñ Ö Ú Ó Ñ ØÖ ½¼ Ó ÑÓ Ö ÙÑ Ò Ó Ó ÒÓ ÜÓÙ Ó Ð Ò Ö Ó Ñ ÕÙ Ö Ó ÔÓ ÒÓ Ð Ò Ö Ó ÒØ Ó Ó Ò Ó ÓÒØ Ø µº Ç Ö Ñ Ñ Ó ÈÖ Ñ ÖÓ Ø ÑÓ Ö Ñ Ú Ó Ñ ½¼ ÓÖ ½¼¼ Ñ ÒÙØÓ ÙÑ Ú Ñ ½¼¼ ÙÒ Ó Ò Ò ÙÑ Ø Ò Ñ Ñ ÙÖ Ó ÙÒ ÕÙ Ø ÑÓ Ó µº Ç ÒÓ» Ñ Ñ ÕÙ ÓÑÔÐ Ø Ú Ñ Ó ÒÓ Ö Ñ Ñ Ó Î ÖØÙ Ó Ò Ó Ó ÌÖ Ð Ó Ê ÞÓ Ê ÓÑÔ Ò Ê ÚÓÐÙÓ Ö Ñ ÑÔÖ Ö Ó º Ë Ò Ó ØÙ Ó Ó Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Þ ÓÒÚ Ö Ó Ø ÒØÖ Ó Ð Ò Ö Ó º Ü Ö Ó ÓÑ Ö Ô Ø Ó º¼ Ê Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ü Ö Ó ¾º¾ Ù Ò Ó Ö Ô Ø Ú ÓÑÓ Ù Ú Ú Ö ÑÙ ØÓ Ñ Ðº º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ð ÙÑ Ö Ò Ñ ÖÓ ÑÔÖ Ñ Ò Ó Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÒØÖ Ö Ñº Ç ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ô Ö ÙÒØ Ò Ó ÕÙ ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ø Ó Ñ ÒÓ ÔÓ ÖÑ Þ Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ ÕÙ ÚÓ Ò Óº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Æ Ñ ÖÓ ¾ ¾ Å ¾ º º º¾ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ ÓÖ Ú ÓÖ ÓÑÙÑ Ó Ò Ñ ÖÓ a b Ù Ò Ó Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÐ ÕÙ Ò Ú Ö Ó ÜÓ Ü Ó Ú ÐÓÖ Ó Ñ ÓÖ Ú ÓÖ ÓÑÙÑ Ñ aº Ì Ø Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ô Ö Ø Ö ÖØ Þ Ó ÕÙ Ø Þ Ò Ó

5 ÒÕÙ ÒØÓ ÓÖ Ö ÒØ Þ ÖÓ ØÑÔ ØÑÔ ± º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ö ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ n Þ Ø Ú ÐÓÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓº Ë ÒÓ ÓÖ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÔÖ ÒØ ÙÑ Ð Ø Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ú Ñ nº º ÍÑ Ñ ØÓ Ó ÑÔÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ a b Ù Ó ÒÓ ÒØ Ö ÓÖ Ê Ø Ó º ÔØ Ò Ó¹Ó Ô Ö Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÓ Ö Ó Ù ÒØ µ Ö ¹ ÙÑ ÙÑÙÐ ÓÖ x Ò Ð Þ Ó ÓÑ Þ ÖÓº µ Ë a ÑÔ Ö ÓÑ ¹ b Ñ xº µ ÅÙÐØ ÔÐ ¹ b ÔÓÖ ¾º µ Ú ¹ a ÔÓÖ ¾ ØÖÙÒ ¹ Ò Ö Óº µ Ê Ô Ø ¹ Ó Ô Ó ÒØ Ö ÓÖ Ü ØÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ú Ñ ÒØ µ Ø ÕÙ a Þ ÖÓº Ó Ò Ð Ø Ð ÓÖ ØÑÓ x ÖÑ Þ Ò Ö Ó Ú ÐÓÖ a bº ËÙ Ø Ö Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ Ñ Ö ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ º ÜÔÐ Ö ÔÓÖ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ º º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ö Ó Ó ÒØ ÙÑ ÔÓÐ ÒÑ Ó ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 +ex+f Ù Ó Ñ ØÓ Ó Ó ØØÔ»»ÔØºÛ Ô ºÓֻۻŠØÓ Ó Óµ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ò Ó Ø ÔÓÐ ÒÑ Ó Ù Ð Þ ÖÓº º Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ö Ö Ó ÒØ ÖÓ n b Ö Ú Ó Ú ÐÓÖ n ÓÒÚ ÖØ Ó Ô Ö bº ÆÓØ ÕÙ b Ú Ö Ñ ÓÖ Ó ÕÙ ½ Ñ ÓÖ Ü Ø Ñ Ø Ñ Ñ ÓÒÚ Ö Ô Ö Ò Ø Ú µº º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÓÐÙ ÒØ Ö ÕÙ Ó 3X +2Y 7Z = 5 Ô Ö Ú ÐÓÖ X Y Z ÒØÖ Þ ÖÓ ½¼¼º ÓÐÙ º º º ÈÖ Ô Ö ¹ ÔÓ Ó Ð ÙÑ Þ º Ä ÔÒ Ú Ø Ð Ö ÙÑ Ø Ñ ÓÑ Ô Ò ØÖ Ø ÔÓ ÑÓ Ò ÒØ ÚÓ Ð Ô Ó Ö Ù ÕÙ ÒÓ Ú Ú Ö ÙÑ ÑÓ ÙÑ ÒØ ÚÓº Ç Ñ Ò ØÖÓ Þ Ñ ÕÙ ÓÑ Ó Ð ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ñ Ö ÑÔÓ Ú ÓÖÒ Ö ÓÑÓ ØÖÓÓ ÚÓ Ú Ö Ú Ö ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ØÖ Ú ÐÓÖ ÔÖÓÔÓ ØÓ Ô Ö ÑÓ Ò Ó Ö ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÒØÖ ½ ½¼¼ ÒØ ÚÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÓÑ Ð º ÓÖÒ Ó Ö ÙÐØ Ó Ô Ö Ó Ù ÒØ Ó Ø Ø ÅÓ ¾ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ¾ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ¾ ½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½ ½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½ ÒØ ÚÓ º

6 ÅÓ ½ ÒØ ÚÓ º º ÍÑ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÐÙÐÓ Ö Þ ÕÙ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ N Ö ÓÒ Ó Ô ÐÓ ÐÒ Ó Ñº º º ÓÑ ÑÙ ØÓ Ø ÑÔÓ ØÖ º Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ñ Ñ ÓÒ Ó ÓÑÓ Ñ ØÓ Ó À ÖÓÒ ÙÑ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ö Ó ÕÙ Ó Ö Ú Ù ¾¼ ÙÐÓ ÔÓ Ó ÐÒ Ó Ô ÖØÓ Ó ÒÓ ¼ ºµ ÓÑ Ò Ó ÙÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð k Ö ÐÑ ÒØ Ú Ð Ò Ó Ùѵ Ó ÐÒ Ó Ö Ú Ñ ÙÑ ÒÓÚÓ Ú ÐÓÖ k ÓÖ Ó ÓÑ Ö Ö k = k +N/k. 2 ü Ñ ÕÙ Ó ÔÖÓ Ó Ö Ô Ø Ó Ó ÒÓÚÓ Ú ÐÓÖ k ÔÖÓÜ Ñ Ñ Ú Þ Ñ Ö Þ Nº Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ó Ú ÐÓÖ N ÑÔÖ Ñ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÞ Ú ÐÓÖ Ó Ø Ó ÓÑ Ø ÖÑÙÐ Ø Ø Ò Ó¹Ó Ô Ö Ú Ö Ð Ö ÐÑ ÒØ ÔÖÓÜ Ñ Ñº º½¼ ÎÓ Ø Ñ ÙÑ Ô Ò ÙÐÓ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ L ÓÒ Ø Ô Ò ÙÖ Ó ÙÑ Ô Ó ÕÙ ÐÕÙ Öº Ç Ô Ò ÙÐÓ Ø Ó Ð Ò Ó ÓÑ ÙÑ Ò ÙÐÓ θ(t) ÙÑ Ú ÐÓ Ò ÙÐ Ö ω(t) ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ù Ñ ÔÖÓÜ Ñ ÜÓ θ(t+ t) θ(t)+ t ω(t) ω(t+ t) ω(t) t (g/l sinθ(t)) ÓÒ g ÓÒ Ø ÒØ Ö Ú Ø ÓÒ Ðº Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ó Ú ÐÓÖ θ(0) ω(0) ÙÑ Ú ÐÓÖ Ô Ö t ÔÓ ÐÙÐ ÔÓ x y Ó Ô Ò ÙÐÓ Ò Ø ÒØ Ø ÙÑ Ø ÑÔÓ Ø ÖÑ Ò Óº º½½ ÎÓ Ø Ñ N 0 ØÓÑÓ ÙÑ Ù ØÒ Ö Ó Ø Ú Ñ ÕÙ ÙÑ ØÓÑÓ Ó Ö ¹ Ñ ÒØÓ τ ÙÒ Ø ÑÔÓ Ñ Ñ º Ë Ò Ó Ó Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓÑÓ N(t) Ó ÐÓÒ Ó Ó Ø ÑÔÓ Ù ÜÔÖ Ó N(t) = N 0 e t/τ. Ë Ò Ó Ó Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ó Ú ÐÓÖ N 0 τ ÔÓ ÐÙÐ ÕÙ ÒØ ØÓÑÓ Ò Ø ÒØ Ø ÙÑ Ø ÑÔÓ Ø ÖÑ Ò Óº ÔÖÓÚ Ø Ð¹ ÙÐ ØÙ Ó ÓÙØÖ Ú Þ Ù Ò Ó ÔÖÓÜ Ñ Ó ÜÓ Ô Ö ÓÑÔ Ö Ö Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÙÐØ Ó N(t+ t) N(t) τn(t) t. º½¾ Ë Ù ÓÐ ÓÐÓ Ö Ö Ñ ÙÑ Ø Ö ÕÙ ÓÑ Ð ÜÓ ÓÒ ÙÑ Ò Ó Ö Ñ Ø Ù Ô Ó Ñ Ð ÜÓ ØÓ Ó Ó º È Ö Ð Ø Ö Ú ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ ÙÑ Ø Ö Ô Ö Ö Ñ µº Ë Ù ÓÐ Ø Ñ Ô Ò ÒÓ Ø Ö Ñ Ð Ú Ñ Ñ Ù ØÓ Ó Ó º Ô ÖØ Ö Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÑÔÖ Ñ ÙÑ Ø Ð Ô ÖØ Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ò Ó Ü Ø Ñ Ô Ò ÒÓ Ø Ö Ø Ó Ñ ÔÓ ÚÓ Ø Ö Ù Ö ÒØ ÖÓ ÐÓÒ Ó ÓÙ Ò Ñ ÖÓ ÔÓÒØÓ ÙØÙ ÒØ Ô Ö Óµº Ø Ð Ú Ð Ø Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ó ÕÙ ÒØ Ø Ö Ü Ø Ñ Ø Ó ÑÓÑ ÒØÓ ÕÙ ÒØÓ Ð ÜÓ Ð ÓÑ Ö Ñ Ò ÕÙ Ð º ÔÓ Þ Ö Ó ÔØ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ø ØÙ µ ËÙÔÓÒ ÕÙ Ø Ö Ú Ú Ñ Ô Ò ÒÓ º ÑÓÖÖ Ñ Ú Ñ Ö ÓÒØ Ó ØÓØ Ðº Æ Ø Ó Ø Ö ÕÙ µ Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÔØ Ö ÙÒ Ô Ó ÓÖ Ó ÓÑ ÕÙ ÒØ Ð ÜÓ ÓÒ ÙÑ ÙÒ Ú Ñ Ö Ö Ø Ñ Ñ ÖÓ Ö Ñ 10 6 µ Ñ Ð Ö Ñ 10 3 µ Ö Ñ ÕÙ ÐÓ Ö Ñ ÓÙ ØÓÒ Ð Ù Ò Ó Ñ ÓÖ ÙÒ ÓÒ Ó Ô Ó Ñ ÓÖ Ó ÕÙ ÙѺ ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÖ ÔÖ Ó ÑÔÖ Ñ Ö ¼º¼¼ Ö Ñ ÚÓ Ú ÓÐ Ö º Ñ Ð Ö Ñ ÒÓ ¼¼ Ñ ÖÓ Ö Ñ º

7 º½ ÍÑ Ó Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö Þ N Ó Ñ ØÓ Ó ÂÓÓÞ Ò Ó Ø ÒØ Ñ Ð ÒØ Ó À ÖÓÒº ÁÒ Ò Ó ÓÑ k = 1 Ó Ñ ØÓ Ó Ù Ö Ö k = 2k +N/k2. 3 Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÐÙÐ Ö Þ ÓÑ Ø Ð ÓÖ ØÑÓº ÔØ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÕÙ Ð ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó º½ Ê Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ü Ö Ó º ÔØ Ò Ó¹Ó Ô Ö ÙÒ ÓÒ Ö ÓÑ Ø Ñ ÒÓ Ö ÒØ ÒÐÙ Ò Ó ÒÓ ÜØÓ ÓÑ Ò ÓÖÑ Ó Ó Ü Ö Ó ¾º º Í ¹Ó Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ ÒØÓ ÚÓ Ò Ùº Ì Ø Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ù ÓÐ ÓÒ ÖÑ ÕÙ ØÓ Ó Ó Ó Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ º º½ ÓÑ Ö Ö ÕÙ ÚÓ ÔÓ Ô Ö Ö Ô ÖØ Ö ÕÙ ÜÓ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ S n Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖ n Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Þ ÖÓ S 1 = 1 S 2 = 2+3 S 3 = S 4 = S 5 = º½ ÍÑ Ö Ô Ò Ð ÔÓ ÓÖØ Ö Ñ Ò Ö Ö ÒØ Ô Ó Ù Ô Ö Þ Ö Ô Ò Ð Ö Ò Ô ÕÙ Ò Ñ Ò Ö Ó ÐÙ ØÖ Ù Ö ÓÖØ Ô ÖÑ Ø ÔÖÓ ÙÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ö ÒØ Ô Ò Ð Ó Ù ØÓ ÓÖØ Ö Ô ½ Ê ½¾ Ó Ù ØÓ ÓÖØ Ö Ô ¾ Ê ½ Ó Ù ØÓ ÓÖØ Ö Ô Ê Ó Ù ØÓ ÓÖØ Ö Ô Ê ½ º Æ Ø Ó Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÓÒØÖ Ñ Ò Ö Ñ Ö Ø ÔÖÓ ÙÞ Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ¾¾¼ Ô Ò Ð Ô ÕÙ Ò ½ Ô Ò Ð Ö Ò º º½ ÎÓ ÑÔÖ ÔÓ Ò Ö ÙÑ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö ÒØÖÓ ÙÑ ÖÙÐÓ Ð Ø Ú Ö ØÖ ÓÙ Ñ Ð Ó ÓÑÓ Ò ÙÖ ÜÓ Três lados Quatro lados Cinco lados

8 ËÙÔÓÒ Ó ÕÙ Ó ÖÙÐÓ Ø Ñ Ö Ó ÙÑ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ n 3 Þ Ù ÒØ ÓÔ Ö µ Ø ÖÑ Ò Ó ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ÙÑ Ð Ó Ó ÔÓÐ ÓÒÓ n Ð Ó º µ Ø ÖÑ Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ó ÔÓÐ ÓÒÓº Ö ÉÙ Ð Ó Ú ÐÓÖ Ó Ô Ö Ñ ØÖÓ Ñ ÕÙ n µ Ø ÖÑ Ò Ö ÒØ ÖÒ Ó ÔÓÐ ÓÒÓº ÈÓ Ö Ø Ð Ö Ö ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ó ÓÒ Ó Ó Ð Ó a b c ÔÓÖ Ó Ò Ò Ø ÖÑÙÐ Ó Ó ÖØ Ô ÐÓ Ñ ÑÓ À ÖÓÒ Ó Ü Ö Ó º º º º µº Ë s = (a+b+c)/2 ÒØÓ Ö ÔÓÖ A = s (s a) (s b) (s c). µ Ø ÖÑ Ò Ö ÜØ ÖÒ Ó ÔÓÐ ÓÒÓº µ Ø ÖÑ Ò ÕÙ ÒØ Ð Ò Ö Ñ ÔÖÓ ÙÞ ØÓ Ó Ó Ú ÖØ ÒØÓ µ Ó ÔÓÐ ÓÒÓ Ó Ñ Ð Ó ÓÑ Ó ÓÙØÖÓ Ú ÖØ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ô Ö Ó ÔÓÐ ÓÒÓ ÙÖ Ø Ö ÑÓ ¼ ¾ Ö Ø º ÙÒ º¼ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ ÒØ ÖÓ n Ö ØÓÖÒ n/2º ÔÓ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ ÒØ ÖÓ n Ö ØÓÖÒ 3n+1º º½ Ö Ú ÙÑ ÒÓÚ ÙÒÓ ÕÙ Ù ÙÒ Ö Ø Ñ º¼º ÒÓÚ ÙÒÓ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ n Ð ÓÖ ÑÔ Ö Ö ØÓÖÒ 3n + 1 ÓÖ Ô Ö Ö ØÓÖÒ n/2º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ö ÙÑ ÒØ ÖÓ Ù Ø ÙÒÓ Ö Ô Ø Ú Þ Ø ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó ½ ÑÔÖ Ñ Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó º º¾ ÔØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ü Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ö Ö ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØÖ ½ ½¼¼¼¼¼¼ ÔÖÓ ÙÞ ÕÙ Ò Ñ ÐÓÒ Ø Ö Ñ ½º º Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ ÒØ ÖÓ n ÚÓÐÚ Ó ØÓÖ Ð nº Í ÙÒÓ ØÓÖ Ð Ô Ö Ö Ú Ö ÙÒÓ ÓÑ Ò µ ÕÙ Ö ØÓÖÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ò n Ð Ñ ÒØÓ ØÓÑ Ó k kº º Ö Ú ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÕÙ Ö ÙÑ Ø Þ ÕÙ ÒØÓ Ô Ö Ñ Ó Ò Ó Ó ÒÓº º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ù Ø Ó Ñ ÑÓ ÒÓ ÓÙ Ö Ô Ò Ñ µ ÐÙÐ ÕÙ ÒØÓ Ü Ø Ñ Ö Ò ÒØÖ Ù Ø º È Ö Ð Ø Ö ÓÒ Ö ÕÙ Ó ÒÓ ÒÓ ÜØÓº º Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÒØ ÖÓ m n Ø ÖÑ Ò Ó Ñ ÓÖ Ú ÓÖ ÓÑÙÑ m nº ËÙ ØÓ Ù Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÐ Ô Ö Óº º Ö Ú ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÔÓÛ ÒØ Ü ÒØ Òµ ÕÙ Ö Ü Ò ÐÙÐ x n º Ø Ñ Ñ Ú ÙÒ ÓÒ Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ò Ó n = 0 ÓÙ n = 1º Ë Ù Ñ ØÓ Ó º Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÒÙÑ Ú ÒØ Òµ ÕÙ Ö ÙÑ ÒØ ÖÓ n Ö ØÓÖÒ Ó Ò Ñ ÖÓ Ú ÓÖ nº ÔÓ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÔÖ ÑÓ ÒØ ÒµÕÙ Ú Ö n ÔÖ ÑÓ ÑÔÖ Ñ ÙÑ Ñ Ò Ñ Ò Ø Ð Þ Ò Ó ÓÙ ÒÓ º º Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ú ÓÐ Ö Ü Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ó Ù ÔÐ Ý Ö ÅÈ º ÎÓ ÕÙ Ö ÓÐ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ü ÒØÖ ½ n ÒÓ ÕÙ Ö ÕÙ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ù Ð Ó Ó ÐØ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÓÖØ Ó º

9 º½¼ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö Þ ÕÙ Ö Ù Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ º º Ø ÙÒÓ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ x Ö ØÓÖÒ Ú ÒØ Ñ ÒØ µ xº º½½ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Óµ cos(x) Ó Ô Ð ÔÖÓÜ Ñ Ó ÜÓ cos(x) 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + ÓÑ ÓÑ ØÖ Ø ÖÑÓ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ö Ú ÐÓÖ x ÐÙÐ Ù Ó ÒÓ ÐÙÐ Ò Ó Ø Ñ Ñ ÙÒÓ Ó ÒÓ ÔÓÒ Ú Ð Ò Ù Ð Ò Ù Ñ ÔÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ó Ö Ò ÒØÖ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó º Ë ÚÓ Ö Ó ÖÖÓ Ö Ò Ñ Ö ÐÙÐ ÓÑ Ñ Ø ÖÑÓ ÓÑÔ Ö ÓÙØÖ Ú Þº ÎÓ ÔÓ Ö Ø ÒØ Ø Ð Ö Ú Ö ÙÒ Ô Ö Ô Ö ÐÙÐ Ö ÔÓØ Ò Ô Ö ÐÙÐ Ö ØÓÖ º º½¾ Æ Ò Ù Ñ ÕÙ Ñ ÔÖÓÔ ÓÒ ØÙÖ Ó ÔÖ ÑÓ Ñ Ó Ñ Ð Ù Ö ÕÙ Ü Ø ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò Ò ØÓ Ô Ö Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ Ò ÓÖÑ k k+2º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ½ ½ Ó ÔÖ ÑÓ Ñ Ó Ñ ÓÑÓ ¾¾ ¾¾ ÑÙ ØÓ Ò Ò ØÓ µ ÓÙØÖÓ Ô Ö º Í Ò Ó Ó ÓÒ Ñ ÒØÓ Ó Ü Ö Ó º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ô Ö Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ Ñ Ó º º½ Ö Ú ÙÑ Ñ ØÓ Ó ÓÑ ÒØ ÒØ µ ÕÙ Ö Ö ØÓÖÒ ÓÑ ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ø Ñ Þ Ó Ú Ò Ó Ó ØÖ Ó Ñ Ù Ô ÖØ ÔÓ ÓÑ Ô ÖØ Ô Ö Ñ ÒØ º º½ Ö Ú ÙÑ Ñ ØÓ Ó Ö ÙÖ ÚÓ ØÓÖ Ð ÒØ Òµ ÕÙ ÐÙÐ Ó ØÓÖ Ð Ò ÔÖÓ ÙÞ Ü Ø Ñ ÒØ ÜÓ Ô Ö Ó Ó Ò ØÓÖ Ð ØÓÖ Ð ØÓÖ Ð ØÓÖ Ð ¾ ØÓÖ Ð ½ ØÓÖ Ð ¼ Ê ØÓÖÒ ½ Ê ØÓÖÒ ½ Ê ØÓÖÒ ¾ Ê ØÓÖÒ Ê ØÓÖÒ ¾ Ê ØÓÖÒ ½¾¼ Ú Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ù Ô ÖØ ÑÔÖ Ñ Ö Ñ Ò Ò Ò ÓÖ Ñ ÖØ ÔÓ ÓÐÓ Ö Ô Ó Ñ Ö ÒÓ ÒØ Ñ Ò Ò º º½ Í Ù ÓÒ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ö Ó ÒÓ Ü Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ÑÔÖ Ñ Ö ÔÖ Ñ Ö ÓÞ Ð Ò Ó ØÖ Ò ÙÐÓ È Ð ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ó ÜÓº Ó Ù Ò Ó ÙÒ ÒÓ ÑÔÓÖØ ÓÑ Ó Ø ÑÔÓ ØÓº º½ Ö Ú ÙÑ Ñ ØÓ Ó Ö ÙÖ ÚÓ ÒÙÑ ÖÓ ÙÒ ÒØ Òµ ÕÙ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò Ö ØÓÖÒ ÕÙ ÒØÓ ØÓ ½ Ü Ø Ñ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ö Òº

10 º½ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ ÒØ ÖÓn Ú Þ ÕÙ ÓÖ Ñ Ö ØÓÖÒ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ ÒØÖ ¼ n 1. ÆÓ Ð ÒÚ ÒØ Ö ÙÑ ÙÒÓ Ñ Ñ Ü Ô ÓÒ ÐÑ ÒØ Ð Þ Ö ÙÑ Ó ÙÒÓ ÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÒÓ ÕÙ Ñ Ö Ô Ø Ò Ó ÓÖÑ Ú ºµ Ë ÚÓ ÕÙ Ö Ñ Ø Ð Ù Ö ¹ ÙÑ ÓÐ Ò Ô Ò µ ØØÔ»» Ö Ú ºÒ ºÙ Ùº Ù» ÔÔ» ÅÈ»ÊÆ»ÛÛÛ¹ÖÒ º ØÑÐ µ ØØÔ»»ÛÛÛºÒÔ º ÝÖº Ù»ÔÖÓ Ø»Ö Ò ÓÑ µ ØØÔ»»ÛÛÛºÔ Ý º ÖÐ ØÓÒº»ÓÙÖ» º ¼¾» л Ú»Ê Ò ÓÑ ÔÔÐ Ø» Ê Ò ÓÑ ÔÔРغ ØÑÐ º½ ÓÒ ØÙÖ ÓÐ Ó ÔÖ ÒØ ÔÓÖ Ö Ø Ò ÓÐ Ñ ÙÑ ÖØ Ä Ó¹ Ò Ö ÙÐ Ö ÒÓ ÒÓ ½ ¾ Þ ÌÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ ÓÖ Ó ÕÙ Ó ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó Ô Ð ÓÑ Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ º Ô Ö Ø Ó ÒÓ Ø Ö Ó ÔÖÓÚ ÓÒ ØÙÖ ÙÒ ÓÒÓÙ Ô Ö ØÓ Ó Ó Ó ÕÙ ÓÖ Ñ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ó º ÔØ Ó ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ ÒÓ Ü Ö Ó º Þ Ò Ó ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ n Ö ØÓÖÒ Þ ÖÓ ÓÙ ÙÑ Ô Ö Ò Ö n ÔÖ ÑÓº Ñ Ù Ù Ø ÙÒÓ Ñ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÓÖ ÕÙ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö m Ø ÒØ ÓÑÔÖÓÚ Ö ÓÒ ØÙÖ Ô Ö mº º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ x < 1 ÔÖ ÒØ ÙÑ ÓÑ Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ xº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ö ÖÑÓ x = ÙÑ ÓÑ Ö ÕÙ ÔÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö x Ö x 1/2+1/24+1/750 = Ë Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ø Ö Ð ÙÑ Ø ÔÓ ÓÒØÖÓÐ Ô Ö Ó Ö Ù ÔÖÓÜ Ñ Ó Ó Ô ÐÓ Ù Ù Ö Óº Î ØÓÖ»Ð Ø º¼ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ½¼ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ù Ö ¹Ó Ñ ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓ Ö Ú Ø Ò Ñ ÖÓ Ò ÓÖ Ñ ÒÚ Ö ÒØÖ º º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ½¼ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ù Ö ¹Ó Ñ ÙÑ Ú ØÓÖ ÔÓ ÐÙÐ Ñ Ó Ú Ó Ô ÖÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó º º¾ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ Ô Ð ÚÖ ÓÑ Ó Ñ Ü ÑÓ ¾¼ Ö Ø Ö ØÖÓ ÔÓ Ó ÙÔÐ Ö Ø Ö Ö Ñ ÐÓ Ú Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ñ Ö ÑÓк º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ Ð Ò Ø ÜØÓ Ó ØÖÓ Ò Ó Ð ØÖ Ô Ð Ð ØÖ Ù ÒØ ÒÓ Ð ØÓº ÆÓ Ó Ô Ö Ö ÙÑ Þ ÓÒÚ ÖØ ¹Ó Ô Ö µº ÌÓÑ Ù Ó Ô Ö ÓÒÚ ÖØ Ö Ð ØÖ Ñ ÙÐ Ñ ÓÙØÖ Ð ØÖ Ñ ÙÐ Ñ Ò ÙÐ Ñ Ñ Ò ÙÐ º º Ò Ù Ò Ó ÙÑ Ú ØÓÖ ÓÑ Ù ÒÓÑ ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ó Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÕÙ Ú ÖÖ Ó Ú ØÓÖ Ö ÑÓÚ ÚÓ º ÁÑÔÖ Ñ Ù ÒÓÚÓ ÒÓÑ Ò Ø ÓÖÑ ØÓ ÓÒ Ò Ó Ú Ô Ö ÒØ Ò Öº ÆÓØ ÕÙ Ö ÑÓÚ Ö Ò Ö Ø Ö Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÒÓ ÕÙ Ö Þ Ö ÕÙ ÚÓ ÔÓ Ù Ø ØÙ ¹Ð ÔÓÖ Ô Ó Ñ Ö ÒÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓº º Ö Ú Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ó Ó Ø ÜØÓ Ó Ó Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ Ñ º º º Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ ¼ Ð Ñ ÒØÓ ÐÙÐ Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó Ú ØÓÖº

11 º Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Þ Ð ØÙÖ ¼ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÓÐÓ ¹Ó Ñ ÙÑ Ú ØÓÖ Ñ ÑÔ Ò Ó ÕÙ Ú ÐÓÖ Ö Ô Ø Ó ÒØÖ Ñ ÒÓ Ú ØÓÖº º Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ ¾¼ Ð Ñ ÒØÓ Ó Ñ ÓÖ Ó Ñ ÒÓÖ Ð Ñ ÒØÓ Ó Ú ØÓÖ Ñ Ô Ò Ó ÒÓ Ú ØÓÖ ÙÑ Ú Þ º º ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ ÒØ ÖÓn Ö ÙÑ Ú ØÓÖ V Ò Ò Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÑ ÒØ ÖÓ ÒØÖ Þ ÖÓ n. È Ö Ö Ö Ó ÒØ ÖÓ Ù ÙÒÓ ÕÙ ÚÓ ÒÚÓÐÚ Ù Ñ º½ º ÐØ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ØÓ Ô Ö Ó Ü Ö Ó º Ô Ö ÐÙÐ Ö Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ ÒÓ Ú ØÓÖ ÔÓ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÒÓ Ú ØÓÖ ÕÙ Ø Ñ ÔÖ Ü ÑÓ Ñ º º½¼ Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö Ó Ú ØÓÖ A B ÒÓÒØÖ Ó Ñ ÓÖ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ø ÓÒØ Ó ÒÓ Ó Ú ØÓÖ ÓÙ ÑÔÖ Ñ ÙÑ Ñ Ò Ñ ÒÓ ÓÙÚ Ö ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ñ ÓÑÙѺ º½½ Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ A ÓÒØ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓ ÑÔÖ Ñ Ó ÐØ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÒÓ Ú ØÓÖº º½¾ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÔÖ Ò ÙÑ Ú ØÓÖ V ÓÑ ØÖ ÒØ ÒØ ÖÓ ÓÑ Ú ÐÓÖ ÒØÖ Þ ÖÓ ÒÕÙ ÒØ Ù Ò Ó ÙÒÓ Ó Ü Ö Ó º º Ñ Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù ÓÙØÖ ÙÒ Ñ Ù ÔÖÓ Ö Ñ µ ÍÑ ÙÒÓ ÕÙ Ü Ñ Ò Ó Ú ØÓÖ ÑÔÖ Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ö Ô Ø Ó µ ÍÑ ÙÒÓ ÕÙ Ü Ñ Ò Ó Ú ØÓÖ ÑÔÖ Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ Ö Ô Ø Ñº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÑÔÖ Ñ Ò Ó Ó Ú ØÓÖ ÓÖ Ò Ð ÓÑÔ Ö Ò Ó ÓÑ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù ÙÒ º Î Ö ÕÙ Ø ØÙ Ó Ó º º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÖÑ Þ Ò ¹Ó ÒÓ Ú ØÓÖ Aº Ñ Ù ØÖ Ù Ó Ð Ñ ÒØÓ A ÒØÖ ÓÙØÖÓ Ó Ú ØÓÖ B C, ÓÐÓ Ò Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ Ô Ö Ñ B Ó ÑÔ Ö Ñ Cº ÔÓ ÑÔÖ Ñ A B C Ú Ö ÕÙ ÕÙ Ø ØÙ Ó ÖØÓº º½ Ë ÚÓ ÕÙ Ó Ó ÓÖ Ó Ü Ö Ó º ÑÙ ØÓ ÔÖ Ñ Ø ÚÓ ÔÓ Þ Ö ÙÑ Ñ Ú Ò Ó Ñ Ú Þ Ù Ø ØÙ Ö Ö Ø Ö Ô ÐÓ Ö Ø Ö ÕÙ Ø Ò ÔÓ Ó Ù ÒØ ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÔØ ÔÖ Ñ Ö Ð ØÖ ØÖÓ Ô Ð Ù ÒØ ÒÓ Ð ØÓ Ñ ÙÒ ØÖÓ Ô Ð Ð ØÖ ÕÙ Ø Ù ÔÓ ÔÓ Ø Ö Ö Ô Ð Ð ØÖ ØÖ ÔÓ ÔÓ Ñ ÔÓÖ ÒØ º Ø ÓÖÑ Ñ Ò Ñ ÓÓÖÖÓ Ó Ô Ö ØÕ ÛÜÚ º º½ Ö Ú Ó ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ó Ñ Ò Ò Ö Ô ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ Ñ º½ º Ì ÒØ ÒÓ ÖÖ Ò Ö ÑÙ ØÓ ÐÓ º º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ ØÖ Ò Ö Ø Ö Ô Ö Ô Ð ÚÖ ØÖ Ò ÑÔÖ Ñ Ò Ó¹ ÙÑ ÙÑ º ÔÓ ÔØ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÑÔÖ Ñ Ö Ö ÓÑ Ô ¹ Ð ÚÖ Ò ÓÖ Ñ ÖØ Ñ Ö Ø ØÖ Ô Ö Ö ÒØ Î ÐÓÒ ÔÖÓ Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ Î ÒÓÐ Ö Ô ÓÖÔ º º½ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ ÑÔÖ Ñ ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ó ØÖ Ò ÙÐÓ È Ðº ÐÙÐ ÑÔÖ Ñ ÔÖ Ñ Ö ÕÙ ÒÞ Ð Ò ÙÑ ÔÓ ÓÙØÖ Ñ Ô Ö Þ Ö Ó ÚÓ Ú Ù Ö ÙÑ Ò Ó Ú ØÓÖ Ú ÒØ ÒØ ÖÓ º Ø Ú Þ ÒÓ Ù ÙÒ Ø ÒØ Ö Ó Ñ Ú ÐÓÞ ÔÓ Ú Ðº º½ Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ Ë ½¼¼ Ö Ø Ö ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ð Ò Ø ÜØÓ ÓÒØ Ò Ó Ô Ð ÚÖ Ô Ö ÔÓÖ Ô Ó Ñ Ö ÒÓ ÑÔÖ Ñ Ô Ð ÚÖ Ð Ò ÙÑ Ú Þº Æ Ø ÒØ ÒÓ Ü Ö Ð Ò Ñ Ö ÒÓº

12 º½ Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ A Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ Ö ÓÖ Ò Þ A ÓÖÑ ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö Ø Ñ Ò ÔÓ Ò A Ó Ú ÐÓÖ ÑÔ Ö Ñ ÓÐÓ¹ Ó ÒÓ Ò Ðº ÎÓ ÒÓ Ú Ù Ö ÓÙØÖÓ Ú ØÓÖ Ô Ö Ù Ö Ò Ø Ö º¾¼ ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ ÓÖ Ò Ó ÓÖ Ñ Ö ÒØ µ Ö ÓÖ Ò Þ Ù Ð Ñ ÒØÓ Ô Ö ÕÙ Ó Ñ ÓÖ Ø Ñ ÒÓ Ò Ó Ñ Ó Ú ØÓÖ Ó Ñ ÒÓÖ Ø Ñ ÒÓ ÒØÖÓº º¾½ ÓÖ Ó ÓÑ ÙÑ ÔÕ Ù ÙÑ Ù ÒÖÚ Ö ÒÐ ÒÓ ÔÓÑØÖ Ñ Õ ÙÐ Ó Ö Ñ ÐÖØ ÙÑ ÔÐÖ Ú Ø Ó Ò Ó ÔÖÓØÑ ØÒ ÕÙ Ô Ö ÑÖ ØÑÐ ÐÖØ Ø Ñ ÒÓ Ð ÙÖ ÖØ Óº Ç Ö ØÓ Ô Ó Ö ÙÑ ØØ ÓÐ Ù Ò ÕÙ ÚÓ Ô Ó Ò Ð Ö Ñ ÔÓ ÖÐÑ º ÁØ Ó ÔÓÕÖÙ Ò ÒÓ ÐÑ Ó ÐÖØ Ð Ó Ñ ÔÐÖ Ú ÑÓÓ ÙÑ Ø ÓÓº È Ö ÔÖÓÚ Ø Ö Ø ØÓ Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ð Ò Ø ÜØÓ Þ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ö Ø Ñ ÓÙ ØÖÓ Ð ÙÑ Ð ØÖ ÔÓ Ó ÒØÖÓ Ô Ð ÚÖ Ñ Ü Ð ØÖ Ó Ò Ó Ó Ñ ÒÓ ÐÙ Ö ÖØÓº Ñ Ù ÔØ Ù Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÙÑ Ø ÜØÓ ÒØ ÖÓ Ð Ò ÔÓÖ Ð Ò º º¾¾ ÎÓ Ø Ù Ò Ó Ú ØÓÖ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÒ ÙÒØÓ Ú ÐÓÖ º ÓÖ ÚÓ ÔÖÓ¹ Ö Ñ Ö Ñ ØÓ Ó Ô Ö Þ Ö ÓÔ Ö Ñ ÓÑÙÒ ÒØÖ ÓÒ ÙÒØÓ µ ÙÒ Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B µ ÒØ Ö Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B µ Ö Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ A B Ö Ú ÓÑÓ Ö Ñ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Þ Ö Ø ÓÔ Ö º È Ò ÕÙ A B ÔÓ Ñ Ø Ö Ø Ñ Ò Ó Ö ÒØ º º¾ Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö ¼ Ô Ð ÚÖ Ñ Ù ÑÔÖ Ñ Ô Ð ÚÖ Þ Ò Ó¹ Ö Ñ Ð Ò ¼ Ö Ø Ö Ò Ó Ø Ñ Ö Ñ Ö Ø º Ë Ù Ð ÓÖ ØÑÓ Ú ÓÐ Ö ÕÙ Ô Ð ÚÖ ÖÓ Ñ ÕÙ Ð Ò ÓÒ Ö Ö ÒÓ ÒØÖ Ô Ð ÚÖ Ô Ö ÕÙ Ð Ò ÑÔÖ Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÔÓ Ó ¼º º¾ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö ÙÑ Ú ØÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ú Ö Ð ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ø ÒÓ Ú ØÓÖ ÓÑ ÓÙØÖÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ú ØÓÖº ÓÑÓ Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÓÖØ ÙÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó Ú ØÓÖ ÓÖ Þ ÖÓ º¾ Ö Ú Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö Ù Ô Ð ÚÖ a b ÙÑ Ø ØÖ Ò Ø Ó µ Ô Ð ÚÖ a b Ó Ù µ Ô Ð ÚÖ a b Ø Ñ Ó Ñ ÑÓ Ø Ñ Ò Ó Ñ Ð ÙÒ Ö Ø Ö Ó Ö ÒØ Þ Ö ÕÙ ÒØÓ µ µ Ô Ð ÚÖ a ÒÐÙ Ô Ð ÚÖ b Þ Ö ÕÙ ÒØ Ú Þ µ µ Ô Ð ÚÖ b ÒÐÙ Ô Ð ÚÖ a Þ Ö ÕÙ ÒØ Ú Þ µ º¾ Ö Ú ÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ü Ø Ó º Ö ÙÑ Ú ØÓÖ Ð ÓÑÓ ÐÔ³ ØÖ Ñ³ Рس Ö Ñ³ Ø ÓÖ³ Ú Ü³ ÐÓݳ Ò³ Ò Ü³ ÕÙ ÕÙ Ö ÓÙØÖ ÕÙ ÚÓ ÒØ Ö ÒØ ÕÙ ÒØÓ Ñ Ñ Ð ÓÖ µº Ñ Ù Ö Ô Ð ÚÖ Ó Ó ÓÑ Ø Ñ Ò Ó Ö ÒØ ÓÖØ Ó Ò Ñ ÖÓ Ð µº ÓÐ Ñ ÒØ Ö ÒØ ÓÑÔ Ö ÓÑ Ù ÓÐ º Ë ÕÙ Ö Ö Ö ÐÑ ÒØ Ó Ø Ó Ö Ú ØÓÖ Ô Ö Ð Ò Ð Ñ Ó Ð Ò Ô Ð ÚÖ Ñ ÚÓ ÔÓ ÓÐ Ö ÓÒ Ð ÚÓ Öº

13 Å ØÖ Þ º¼ Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÓÒØÖÓÐ ÓÑÔÖ ÒØÖ Ñ ÙÑ Ò Ñ º Ç Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ö ÔÖ ÒØ Ö ÓÙÔ Ó Ó ÒØÓ ÔÐ Ø ¼ Ð ¼ ÒØÓ µ ÓÒ ÒØÓ ÔÓ Ø Ö Ö ÖÚ Ó Ñ Ö Ó ÓÑ Êµ ÓÑÔÖ Ó Ñ Ö Ó ÓÑ µ ÓÙ Ð ÚÖ Ñ Ö Ó ÓÑ ºµº ÎÓ Ú ÓÖÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ ÔÖÓÙÖ ÙÑ ÐÙ Ö Ð ÚÖ Ò ÔÐ Ø Ò ÓÖÑ Ù ÔÓ Ó Ñ ÓÑÓ ÓÙØÖ ÙÒÓ ÕÙ ÑÔÖ Ñ ÙÑ Ñ Ô ÔÐ Ø Ñ Ö Ò Ó Ó ÐÙ Ö ÓÖ Ó ÓÑ Ù ØÙ Ó ÑÔÖ Ñ Ò Ó Ñ Ù Ó ØÓØ ÐÙ Ö ÓÙÔ Ó Ö ÖÚ Ó Ú Ó º º½ Ö Ú Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ò Ñ ÕÙ ØÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó ÐÙ Ö Ð ÚÖ Ô Ö ÙÑ Ðº º¾ Ö Ú ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ò Ñ ÕÙ ØÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ ÐÓÓ Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÐÙ Ö Ð ÚÖ Ô Ö ÙÑ ØÙÖÑ ÓÐ º ÎÓ ÔÓ ÔÖ ÒØ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÒØ Ô Ò Ò Ó Ó ÓÑÓ Ó Ô Ó ÔÓ Ö ØÓ µ ÙÑ ÕÙ ØÙÖÑ ÔÖ ÙÑ ÐÓÓ Ö Ø Ò ÙÐ Ö m n ÐÙ Ö º µ ÙÑ ÕÙ ØÙÖÑ ÔÖ ÓÐÓ Ö n ÐÙÒÓ Ñ ÐÓÓ Ñ ÒÓ ÑÔÓÖØ Ñ Ñ Ò Ó ÐÓÓº º ÍÑ Ñ ØÖ Þ M ÔÓ Ö Ú Ñ Ù ¹Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ö Á ÁÁÁ ÁÁ ÁÎ Ö Ú Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ØÖÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ØÓ Ò Ù ¹Ñ ØÖ Þ ÁÁ ÁÁÁº Ñ Ù ÔÐ ÕÙ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ú Ø Ö ÕÙ ØÖÓ Ù ¹Ñ ØÖ Þ Þ Ò Ó Ñ Ñ Ú Ó ØÖÓ Ñ ÙÑ Ð º Ë Ù Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ô Ö Ö ÕÙ Ò Ó Ù ¹Ñ ØÖ Þ Ø Ú Ö Ô Ò ÙÑ Ð Ñ ÒØÓº ÁÒÚ ÒØ ÙÑ ÓÖÑ ÔÖ ÒØ Ö Ñ ØÖ Þ Ó Ò Ð ÕÙ Ò ÓÔ Ö Ö Ö Ø Ö Øºµº º ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ñ ØÖ Þ A 5 5 Ó ÒØ ÖÓ i j ØÖÓ Ò Ó Ð Ò i j Ñ ØÖ Þº ÁÑÔÖ Ñ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÒ ÖÑ º º ÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ö ÙÑ Ñ ØÖ Þ A ØÖ Ò Ô º º Ð Ö ÙÑ Ñ ØÖ Þ Ö Ø Ö M º ËÓ Ö Ø Ñ ØÖ Þ Ù ÒØ ÓÔ Ö µ ÁÒ Ð Þ ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ Ô Ó Ñ Ö ÒÓº µ Í Ò Ó ÙÒÓ Ó Ü Ö Ó º½ ÓÐ ÒÓ ÔÓ ÕÙ ÕÙ Ö Ñ ØÖ Þ ÓÐÓÕÙ ÙÑ Ö Ø Ö ³º³ Ò Ø ÔÓ º Ø ÔÓÒØÓ ÖÓ Ñ Ó Ñ ÒØ º µ È Ö ÔÓ m ij ÕÙ Ò ØÓ Ñ Ö ÒÓ Ù Ö ÕÙ Ð Ù ØÒ Ø Ñ ÒØ S kl Ñ ÔÖ Ü Ñ º ÖÑÙÐ ØÒ Ù Ö ÔÓ Ö Ó Ü Ö Ó ½º½ Ñ ÚÓ Ø Ñ Ñ ÔÓ Ù Ö Ú Ö Ó ÜÓ ÓÙ ÓÙØÖ ÕÙ ÚÓ µ d(m ij,s kl ) = max( i k, j l ) µ È Ö Ö Ø Ö Ò Ñ ØÖ Þ ÓÐÓÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒØ ÕÙ Ø Ñ ÔÖ Ü Ñ ³½³ ³ ³ ÓÙ Ù ÓÙØÖÓ Ö Ø Ö Öµ ÑÔÖ Ñ Ñ ØÖ Þ Ò Ðº Ë Ö Ø ÒØ ÓÑ ÓÙØÖ ÖÑÙÐ ØÒ Ñ Ñ ÒØ ÓÙ Ñ ØÖ Þ Ñ ÓÖ º Ñ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ù Ò Ó Ö Ø Ö Ö ÒØ Ó Ù Ö Ó Ñ Ó Ø Ú ÑÓ Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ó

14 »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» ºººººººººººººººººººº»»»»»»»»Ç»»»»»»»»»»»»»»» ººººººººººººººººººººº»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» ºººººººººººººººººººººº»»»»»»»»»»»»»»»» ººººººººººººººººººººººº»»»»»»»»»»»» ººººººººººººººººººººººº Ç»»»»»»»» Ç ºººººººººººººººººººººººº»»»» ººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººº ºººººººººººººººººººººººººº ººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹ººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ººººººººººººººººººººººººººº Ç ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹Ç¹¹¹¹¹¹¹ººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººÇºººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººººººººººººººººººººººº ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹ºººººººººººººººººººººººººººº º Í Ò Ó Ñ Ñ Ñ ØÖ Þ Ö Ø Ö Ó Ü Ö Ó º Ò Ð Þ ¹ ÓÑ Ö ÒÓ Ñ Ù Ô Ô Ò ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ m ij ÓÐÙÒ j Ô Ö ³Ç³º Ç Ð Ñ ÒØÓ Ö ÐØ Ö Ó Ø Ò Ð Ò i ÔÓÖ ÙÑ ÖÑÙÐ ÜÓ ÒÚ ÒØ ÓÙØÖ ÔÓ Ø Ø Ö Ø µ i(j) = sin(j/4) i(j) = 2+j j/300 i(j) = 12+j sin(j/6)/9 ÌÓÑ Ù Ó ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÚ Ö Ó ÒØÖ ÒØ ÖÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÓÒØÓ ÙØÙ ÒØ º Í Ò Ó Ñ Ñ Ñ ØÖ Þ Ö Ø Ö º ÓÙ Ñ ÓÖ Öµ Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ò Ð Þ ÓÑ Ö ÒÓ ÔÓ ÓÐÓ ¾¼¼ Ð Ñ ÒØÓ ³Ü³ ÕÙ ÖÚ Ñ ÓÑÓ Ñ ÒØ Ñ ÔÓ Ð Ø Ö º Ñ Ù Ù ÔÖÓ Ö Ñ ÔÐ Ù ÒØ Ö Ö Ó Ö ØÓ Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ Þ µ Ë ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ø Ñ ØÖ Ú Þ Ò Ó ÕÙ Ó Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ñ ÒØ º µ Ë ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ø Ñ Ñ ÒÓ Ó Ú Þ Ò Ó ÕÙ Ó Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ö ÒÓº µ Ë ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ Ø Ñ ÕÙ ØÖÓ ÓÙ Ñ Ú Þ Ò Ó ÕÙ Ó Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ö ÒÓº ÔÐ ÕÙ Ø Ö Ö Ú Ö Ú Þ Ó Ö ØÓ Ñ ØÖ Þ ÑÔÖ Ñ Ò Ó Ñ ØÖ Þ Ú Þ Ú Ö Ò Ó ÓÑÓ Ð ÚÓÐÙ º Ì ÒØ ÐØ Ö Ö Ö Ö ÓÙ ÑÙ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒØ Ö Ò Ó ÔÖÓ Óº ÔÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ö ÓÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ó Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø ºÓÑ» ØÙ ÒØ»ÛÓÒ Ö»Ð»Ð º ØÑÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÙÑ Ú Ö Ó Ñ ÓÖº º º º Ù Ö ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ Ó Ó Ó ¾¼ ØØÔ»» Ö Ð ÖÙÐÐ º Ø Ù º Ó»¾¼»µ ÔÖÓ Ö Ñ ¹Óº ÔÓ Ø ÒØ ÑÙ Ö Ö Ö Ô Ö Ú Ö Ñ Ðº ËØÖÙØ º¼ Ö ÙÑ ØÖÙØ Ñ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ö Óº ÒØÖ Ù ÐØ ÖÒ Ø Ú ÎÓ ÔÓ ÓÐ Ö µ Ô Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖº µ ÓÑ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò Ð Ö Óº

15 ÔÓ ÓÐ Ö ÓÑÓ ÕÙ Ö Þ Ö Ù ØÖÙØ Ò Ø Ñ Ñ ÙÒ ÕÙ ÓÔ Ö Ñ Ó Ö Ð µ Ö Ø ÓÒ ÑÙÐØ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ µ µ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ µ µ Ö Ø ÓÒ Ö Ù Ö Ø ÓÒ µ Ç ÙÒ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ù ÔÖ Ñ Ö ÙÒ Ú Ö Ú ÒØ º Ø Ö Ö ÙÒÓ Ö ÙÑ Ö Ó Ö ÙÞ Ø ÕÙ ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ ÒÓ Ø Ò Ñ Ú ÓÖ Ñ ÓÑÙѺ È Ö Ó ÚÓ Ú Ö Ø Ð Ø Ö ØÓ Ó Ü Ö Ó º¾µº ÔÓ ÔÖÓ Ö Ñ Ö ØÖ ÙÒ Ø Ø ¹ Ø Ò ÖØ Þ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ñ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ º Ü Ø Ð ÙÑ Ö Ò Ò Ø Ú Ñ Ù Ö Ö¹ Ó Ò Ð Ô Ö Ñ ÒØ ÓÙ Ó ÒÓ Ø Ñ ÑÔÓÖØÒ º½ Í Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ º¼ Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ó Ü Ö Ó º Þ Ò Ó ÓÒØ ÓÑ Ö ÕÙ ÚÓ Ò Ùº ÓÑ ØÓ ÚÓ ÒÓ Ú Ñ Ö ÐÓ Ø ÕÙ Ñ Ô ÖØÓ Ö Þ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ñ Ú Ö Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ñº º º Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÓÒ ÖÑ Ó Ö ÙÐØ Ó Â Ø Ð ÖØ Ô Ö Ó ØÓ ÕÙ Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ö Ñ Ö Ô Ñ ÒØ ÐÓ Ó ØÓÙÖ Ñ Ô ÖÑ Þ Ò Ñ ÒØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ô ÖÑ Ø Ò Ó Ô Ò ÕÙ ØÖÓ ÓÙ ÒÓ Ø Ö º º¾ ÈÐ Ò Ö ØÖÓ Ô Ö ÖÑ Þ Ò Ö Ó Ó Ð Ø Ð Ò Ó Ó Ù Ù Ö Ó Ø Ð ÓÒ º ÔÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ð Ø Ö ØÓ Ñ Ø ÔÓÖ ÙÑ Ù Ù Ö Ó Ñ ÙÑ Ñ Ù Ó Ó Ø Ð ÓÒ º ÆÓ ÕÙ Ù Ø Ö ÕÙ ÕÙ Ö ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÚÓ Ø Ò ØÓÑ Ó Ó ÔÐ Ò Ö Ó Ö ØÖÓ º º Ö ÙÑ Ö ØÖÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó ÙÑ Ø ÖÖ ÒÓ ÓÖÑ Ö Ø Ò ÙÐ Öº ÔÓ ÓÐ Ö ÓÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó Ø ÖÖ ÒÓ Ð Ö ÙÑ Ú ØÓÖ ½¼¼ Ø ÖÖ ÒÓ ÔÖ ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö µ Ä Ø Ö Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÕÙ Ó ÕÙ Ö Ó º µ ÒÓÒØÖ Ö Ó Ø ÖÖ ÒÓ Ñ ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÓº µ ÒÓÒØÖ Ö Ó Ø ÖÖ ÒÓ ÕÙ Ñ ÒÓ Ñ Ð ÙÑ ÕÙ Ö Óº º Ö ÙÑ ØÖÙØ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ ÔÐ Ò Ø Ô ÖØ Ò ÒØ Ö Ó ÓÒØ Ò Ó µ ÆÓÑ Ó ÔÐ Ò Ø Ö Ó Ñ Ñµ Ñ Ñ µº µ Æ Ñ ÖÓ Ø Ð Ø Ò Ñ ÖÓ Ø ÒØ º µ ÉÙ Ö ÒØ ØÓÖ Ð Ü º º Í Ò Ó Ó Ó Ó Ü Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ Ö Ú ÒØ ÔÐ Ò Ø ÔÖ ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö µ Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ø ÒØ ÒÓ ÕÙ Ö ÒØ ÑÑ Ó Ó Ô Ö Ó ÕÙ Ö ÒØ ÑÑ µº µ Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ð Ó ØÓÖ Ñ ÔÓÔÙÐÓ Ó Ð Ü º µ ÒÓÒØÖ Ö Ó Ñ ÓÖ ÔÐ Ò Ø ÕÙ Ö ÒØ º º Ö ÙÑ ØÖÙØ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ò Ú Ö Ó ÓÒØ Ò Ó µ ÆÓÑ Ò Ú Ð Ø Ñ Ò Ó ØÓÒ Ð µº µ Æ Ñ ÖÓ ØÖ ÔÙÐ ÒØ Ò Ú ÙÜ Ð Ö º µ ÈÐ Ò Ø ÓÖ Ñ ÔÐ Ò Ø Ø ÒÓº

16 µ ÉÙ Ö ÒØ ØÓÖ ÓÖÖ ÒØ Ð Ü º º Ö Ú ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ ÕÙ Ö Ú ÒØ ÔÐ Ò Ø Þ Ò Ú º ÈÖ Ò Ó Ó Ò Ú ÔÐ Ò Ø ÓÑ Ó Ö ÓÖ ÒÓÑ º¾ ØÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÐÓÕÙ Ò Ñ ÖÓ Ó Ó Ô Ö Ó Ú ÐÓÖ ÕÙ Ó º ÔÓ ØÙ Ó Ó Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ô Ö ÙÑ ÕÙ Ö ÒØ ÙÑ ØÓÖ Ð Ü ÑÔÖ Ñ Ò Ó ÙÑ Ö Ð Ø Ö Ó ÓÑ Ó Ó Ó ÔÐ Ò Ø Ò Ú ÒÓ ÐÓ Ðº º ÓÐÓÕÙ ÓÞ Ò Ú ÖÓÑÙÐ Ò Ñ Ù ÔÖÓ Ö Ñ º Ñ Ø ÙÑ Ö Ð Ø Ö Ó Ò Ú ÖÓÑÙÐ Ò Ò Ú Ö Ó Ø Ú Ö Ñ Ò Ñ Ñ ÔÓ Óº ÆÓ Ö Ð Ø Ö Ó ÕÙ Ò Ú ÒÓÒØÖ Ö Ñ ÕÙ Ð Ð Ó ØÖÙ º ÓÑ ÕÙ Ó Ö Ô Ò ÙÑ Ò Ú Ñ ÕÙ Ö ÒØ ØÓÑ Ù Ó ÔÓ ÔÓ Ñ Ú Ö Ñ Ù Ò Ú º º ÔØ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ô Ö Ó ÒÓÑ ÙÑ Ò Ú ÙÑ ÔÐ Ò Ø º Ê Ö ÓÒ Ò Ú Ô Ö Ó ÔÐ Ò Ø Ñ Ò Ó ÕÙ Ú Ö Ö Ò Ú Ó ÔÐ Ò Ø Ö ÐÑ ÒØ Ü Ø Ñ Î Ö ÕÙ ÖÓÑÙÐ ÒÓ ÓÙØÖ Ú Þ Ü ÓÙØÖ Ø Ð ÓÒØ Öº º½¼ Ö ÔÓÖØ Ô ÒÐÙ ÙÑ ÓÔÓ Ò ÕÙ Ð Ô Ó Ó ÒÓÑ ÙÑ Ò Ú º Ø Ò Ú ÒØÖ Ñ ÙÑ ÔÓÖØÓ Ñ ÓÙØÖÓ ÐÙ Ö Ð Ü º Ë Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú Þ Ö ÔÓ Ó ÒØ ÒÓÚ Ú Ö Ò Ó Ó ÖÓÑÙÐ ÒÓ ÓÙØÖ Ú Þº ÆÓ ÕÙ Ú Ö Ö ÚÓ Ù ÒÓ Ñ ÑÓ ÐÙ Ö ÓÒ Ù ØÓ ÒÓ ÔÓ ÓÒØ Ö º½½ Ö ÙÑ ØÖÙØ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó ÙÑ Ù Ñ Ö ÒÓ ÒÙÐ Ö µ ÆÓÑ Ð º µ ÐÓ Ñ ÒØÓ ØÓÒ Ð µ ØÖ ÔÙÐ ÒØ º µ Æ Ñ ÖÓ ØÓÖÔ Ó ÒØÖ ½¼ ½ µº µ ÈÓ Ó Ó ÒØ ÖÓ µ ÓÐÓÕÙ ÓÞ Ù Ñ Ö ÒÓ Ó Ø Ñ ÓÞ Ó Ø Ñ Ñ ÙÑ Ø ÙÐ ÖÓ ÔÓ ØÓÑ Ò Ó Ù Ó Ô Ö ÕÙ ÒÓ Ó Ù Ñ Ö ÒÓ Ò Ñ Ñ ÔÓ Óº Ñ Ù Ü ÕÙ Ð ØÖÙ Ñ Ñ ÖÓ Ù Ñ Ö ÒÓ ÕÙ Ò Ø Ñ ÑÙÒ Ó Ø Ö ÙÑ ØÓÖÔ Ó ÕÙ Ø Ò Ð ÙÑ ÓÙØÖ ÔÓ Ó Ó Ø ÙÐ ÖÓ Ò ÕÙ Ð Ò Ó Ó ÕÙ ÓÙÚ Ö Ð Ñ ÑÓ ÕÙ Ó Ñ ÑÓ Ø Ñ µº Ñ Ó ØÖÙ Ó ÙÑ Ö Ð Ø Ö Ó Ñ Ø Óº ÉÙ Ò Ó Ò Ò Ù Ñ Ñ Ø Ú Ö ØÓÖÔ Ó Ñ Ø ÙÑ Ö Ð Ø Ö Ó ÓÑ ØÙ Ó Ò Ðº º½¾ ÐØ Ö Ó Ó Ó Ó Ü Ö Ó º½½ ÑÓ ØÖ Ò Ó Ò Ø Ð Ó Ø ÙÐ ÖÓ ÓÒ ÖÑ Ò Ó Ú Ù ÐÑ ÒØ Ó ÕÙ Ø ÓÒØ Ò Óº ÈÖÓ Ð Ñ ÜØÖ Ð ÙÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ØÓ Ò Ø Ó ÔÓ Ñ Ø Ö ÓÐÙ Ø ÒØ Ð ÒØ Ù Ö Ñ Ô ¹ Ò Ð Ó Ñ Ò Ò ÙÑ ÖÑ Þ Ò Ñ ÒØÓº ÅÙ Ø Ú Þ Ü Ø Ñ ÓÐÙ ÑÙ ØÓ Ñ ÒØ ÓÖ Ñ Ù ÕÙ Ò ÔÓÖØ ÒØÓ Ú Ö Ó Ø Ü Ö Ó ÔÓ Ñ Ö ØÓ Ù Ú Þ ÙÑ ÓÑ Ð Ó ÔÓ Ù Ò Ó¹ ÕÙ Ò Ô Ö Ð Ö Óº º½ Î Ò Ó Ú Ö Ó Ñ ÙÑ ÐÙÐ ÓÖ ÕÙ Ò Ó ÓÐ ÑÓ ÓÑ Ó Ú ÓÖ Ô Ö ÜÓ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ÔÓ Ñ Ö Ð Ó ÕÙ ÓÑ ÓÙØÖÓ Ú ÐÓÖ µº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ½ Ú Ö ½º Ç ÕÙ ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÔÓ Ö Ð Ó Ô Ö ÜÓ Ó ÑÓ¹ÕÙ ÒØÓ ¾½ ÕÙ Ô Ú Ð Ö ½¾ ÕÙ Ò Ó Ú ØÓ Ô Ö ÜÓº ÎÓ Ú Ö ÔÓÒ Ö ÙÑ Ô Ö ÙÒØ ÉÙ Ð Ó Ñ Ð ÓÒ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÔÓ Ö Ö ÓÒ Ó ÓÑÓ ÓÙØÖÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ò Ó Ú ØÓ Ô Ö ÜÓ

17 º¾ Þ Ò Ó ÓÒØ Ò ÎÓ Ú Ö ÓÐÚ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔÐ Ô Ö ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ n ÙÑ ÕÙ Ò Ñ ÒØÓ n ÙÑ ÕÙ Ò Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÙØ ÚÓ i i+1 i+2 º º º i+j ÓÒ ÓÑ ØÓ Ó Ø Ò Ñ ÖÓ Ù Ð nº ÌÖ ÙÞ Ò Ó Ø ÑÓ n = i+(i+1)+(i+2)+(i+3)+ +(i+j). ÔÓ Ö Ó ÚÓ ÔÓ Ú Ö Ö ÔÓÖ Ñ ÑÓ ÕÙ ÑÙ ØÓ Ò Ñ ÖÓ Ø Ñ Ñ ÙÑ ÕÙ Ò Ñ ÒØÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ò Ñ ÖÓ ½ Ø Ñ ÕÙ ØÖÓ ÕÙ Ò Ñ ÒØÓ ÓÑÔÖ Ñ ÒØÓ ¾ ½µ 15 = = = 7+8 = 15 ÓÖ ÓÑ ØÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ò ÓÖÑ ÚÓ Ú Ö ÓÐÚ Ö ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒØ ÑÔÐ Ó Ö Ö ÕÙ Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØÖ ÙÑ ÙÑ Ñ Ð Ó Ø Ñ Ñ ÕÙ Ò Ñ ÒØÓ º º Ç Þ Ñ Ð Ô Ò Ó ÎÓ Ú Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØÖ ½º¼¼¼º¼¼¼ ½º ¼¼º¼¼¼ ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó Ñ Ú Þ ÓÑÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ØÖ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ñ ÓÖ Ó ÕÙ ÙÑ ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ö ÒØ µº Æ ÓÒØ Ð Þ Ó ÓÖ Ñ Ó ÒØ ÖÓ ÒÓ ÑÔÓÖØ ÒØ º Ñ a b c ÕÙ Ú Ð b a cº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ò Ø ÓÒ Ü Ø Ñ ½½ ØÖ ÔÐ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÕÙ Ò Ó Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ö ÙÐØ Ñ Ñ ½º¼¼¼º¼¼¼º º Ç Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ó Ç Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ó Ó Ò Ó ÓÖÑ Ø ÒØ ÑÔÐ Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓ ÓF(n) Ô Ö n > 1 Ó Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ ÔÓ Ö Ú Ó ÔÓÖ ØÓ Ó Ó Ú ÐÓÖ ½ nº ÓÒ Ò Ó Ø Ò Ó Ù ØÖ Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ö ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ó ÔÖ ÒØ Ö ÙÑ Ø Ð Ø Ò Ñ ÖÓ Ø n = 40º ÎÓ Ø Ñ Ñ Ú Ð Ú Ö Ñ ÓÒØ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ÔÖ º È Ö n > 22 Ö Ò Ö Ó Ù Ö Ò Ñ ÖÓ Ø Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÖÖ ØÓº º Ö Ò Ó Ò Ñ ÖÓ Ë Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ a = 1º ÓÑ Ò Ó ÓÑ a ÓÙØÖÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ñ Ö ÔÖÓ ÙÞ Ó Ù Ò Ó¹ Ù Ö Ö ÜÓ º¼ ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ ¾ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÔÖÓ ÙÞ Óº º½ Ú Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÔÖÓ ÙÞ Ó ÖØ Ò Ó Ô ÖØ Ö ÓÒ Ö ÓÙ Þ Ò Ó ÙÑ Ú Ó ÒØ Ö µº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ù Ò Ó Ù Ú Ñ ÒØ Ø Ö Ö ÔÓ ÑÓ Ø Ö 10 = Ë Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓ ÙÞ Ö ØÓ Ó Ó ÒØ ÖÓ ¾ ½¼¼ Ù Ò Ó Ô Ò Ö Ö Ñ º È Ö ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ñ ÓÖ Ñ Ö ÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ó¹ ÕÙ ÒØ Ú Þ Ø Ú ÑÓ Ù Ö Ö Ö º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ð Ò Ô Ö ½¼ Ö Ù ÒØ

18 ½¼ ¾» ½ Ç Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú ÒÓ Ó Ò Ó ØÓ Ó Ó ÒØ ÖÓ ÔÓ Ñ Ö Ó Ø Ó Ñ Ñ ÙÑ ÓÖÑ º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ¼ ÔÓ Ñ Ö Ó Ø Ó Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ò Ù ÓÖÑ ÜÓ 3 = = = = , ÔÓÖØ ÒØÓ Ú ¹ Ö ÔÖ Ö Ò Ó Ú ÐÓÖ Ñ ÒÓÖ º Ð ÙÑ Ö Ö ÓÒ Ö º¾ Ô ÖÑ Ø Ó Ù Ö ÒØ ÖÓ Ô ÓÑÓ ÐÓÒ ÁÒØ ÓÙØÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò¹ Ø ÖÓ ÜØÖ ¹ÐÓÒ Ó º º ÆÓ Ô ÖÑ Ø Ó Ù Ö ÐÓ Ø Ö Ð ÓÙ Ð º ÒÚ Ð º ÙÒ ÓÑÓ ÔÓÛ Ü Ýµ Ø Ñ Ñ Ó º Ë ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒÓ ÔÖ Ö Ú Ó ÔÓÖ ÔÓ ¹ ÔÖ ÒØ Ö ¼ Ò º º ÎÓ Ñ ÓÖÔÓÖ Ç Ö ØÓÖ ÙÑ Ö Ò ÓÖÔÓÖ Ó Ö ÓÐÚ Ö Ñ ÔÖÓÑÓÚ Ö ÙÑ ÒÓÚ ÔÓÐ Ø Ø ÑÙÐÓ Ó ÙÒ ÓÒ Ö Ó º Ø ÔÓÐ Ø Ö ÙÑ ¹ Ñ Ö Ó ÙÒ ÓÒ Ö Ó Ð ÙÒ Ñ ÒÙØÓ ÔÓÖ Ô Ö Ö Ô Ö Ö ØÓÑ Ö ÔÓÒØ Ö Ó Ð Ô ÓÐÓ Ö Ó Ó Ñ º ÁÒ Ð ÞÑ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ö Ü Ø Ñ ÒØ Ó ÓÖ Ö Ó Ñ ÕÙ Ó Ú Ö ØÓº ÍÑ Ó Ö ÒØ Ù ÒØ Ù ØÓ ÈÓ ÑÓ Ù Ö ÙÑ Ö Ð Ó ØÖ ÔÓÒØ ÖÓ ÓÖ Ñ ÒÙØÓ ÙÒ Ó µ Ú Þ ÕÙ Ó ØÖ ÔÓÒØ ÖÓ ÓÖÑ Ö Ñ ÙÑ ØÖ Ð ÓÖÑ ÔÓÖ ØÖ ÔÓÒØ ½¾¼ Ö Ù ÙÑ ÓÙØÖ µ Ø Ö ÑÓ ÙÑ Ñ ÒÙØÓ ÓÒ ÒØÖ Ó Ð ÖÓ Ô Ð Ó Ô ÐÓ Ø Ö ÑÓ Ñ ÒÙØÓ ÓÐ Ð ÖÓ ÕÙ Ó Ö ÒØ ÙÑ ÓØ ÕÙ ÑÔÖ ÓÒ Ö Ñ Ö ØÓÖ Ò ÓÐ Ù Ó ÖÓÙ ÔÖ ÚÓ Ö ÓÐÚ Ö Ó Ö ØÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÚÓ ÓÒ Ó Ö Ð Ó Ö Ô Ö Ö ÓÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ç ÔÓÒØ ÖÓ Ó ÙÒ Ó ÒÓ ÑÓÚ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÒØÖ Ñ Ö Ñ ÐØÓ ÙÒ Ó Ç ÔÓÒØ ÖÓ ÓÖ ÑÓÚ ¹ Ø Ñ Ñ Ó ÐØÓ ÒØÖ Ñ Ö Ñ ÒÙØÓ º Ç ÔÓÒØ ÖÓ Ó Ñ ÒÙØÓ Ø Ñ Ñ ÑÓÚ Ñ ÐØÓ ÒØÖ Ó Ñ ÒÙØÓ º ÎÓ Ú ÓÖÒ Ö Ù ÒØ Ò ÓÖÑ º Ç ØÓØ Ð Ú Þ Ñ ÕÙ Ø Ñ ÒÙØÓ Ò Ó ÓÒØ Ñ Ñ ÙÑ º ÍÑ Ð Ø Ñ Ð ÒÓ ÓÖÑ ØÓ ÑÑ º º Ç Ñ ÓÖ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒÓÒØÖ Ó ÒØÖ Ó Ø Ñ ÒÙØÓ º ÆÓ ÕÙ ÕÙ ØÖ Ð ÔÓ Ñ Ö ÒÓÒØÖ Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓ Ó ÔÓ Ò Ó Ø Ö ÖÓØ ÓÒ Ô Ö ÜÓ Øº Ì Ñ Ñ ÖÓ Ö Ó Ó ÙÔ Ö¹Ñ ÒÙØÓ ÕÙ Ò Ó ØÖ Ð Ø Ü Ø Ñ ÒØ Ñ ÔÓ Ó Ú ÖØ Ðº Æ Ø Ó ÓÐ ÒÓ Ñ ÒÙØÓ º È Ö Ö Ö Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ñ ÕÙ ÒØ Ø ÓÐ Ü Ø Ñ Ñ ÙÑ º

19 º ÎÓ Ó ÒÓ ÔÓ Ö ÒÙÑ Ü ÙØÓÑ Ø Ó Ö Ö Ú ÒØ Ö Ñ ÑÓ Ò ½¼ ¾ ÒØ ÚÓ ÚÓ ÖÖ Ø ÓÑ Ó ÒÓ ÕÙ Ü Ñ Ó ÓÒØ Ö Ö ÓÐÚ Ö Ú Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö ÐÙÐ Ö ÑÔÖ Ó Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÑÓ Ò Ô Ö ÓÖÒ Ö ÙÑ ÖØ ÕÙ ÒØ º Ë Ù ÔÐ ÒÓ Ú Ò Ö Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ó ÒÓ ÔÓ ÔÓÖ ÙÑ ÓÖØÙÒ ºµº ÓÑ Ø ÒØ ÒÓ Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ð Ö Ó Ó ÒØÖ ÜÓ º Ç Ò Ñ ÖÓ n Ú ÐÓÖ ÑÓ Ü Ø ÒØ º º Ç Ú ÐÓÖ a 1,a 2,...,a n Ø ÑÓ Ñ ÒØ ÚÓ º Á ØÓ Ò Ö Ó Ô Ö ÕÙ ÚÓ ÔÓ ÜÔÓÖØ Ö Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ô Ö Ú Ö Ó Ô ÓÑ ÑÓ Ö ÒØ ÔÖ Ó ÜÓÖ Ø ÒØ º º½¼ ÕÙ ÒØ m Ö ÓÖÒ ÓÑ Ø ÑÓ º Ë Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ð Ö Ø Ó Ø ÖÑ Ò Ö Ó Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÑÓ Ò Ö Ó Ô Ö ÓÖÑ Ö m ÑÔÖ Ñ Ò Ó Ø Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÑÓ Ù º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ ÑÓ ÓÖÒ Ö Ó Ø ÒØ Ø ÒØ ¹ ÚÓ ÓÑ ÑÓ Ü Ø Ò¹ Ø Ó ÒÓ Ö Ð Ø Ö ÑÓ Ù ÒØ ÒØÖ ½ ½¼ ¾ ¼ ½¼¼ Ë ÕÙ ÑÓ Ê ½º¾ Ó Ö¹ ÕÙ ÚÓ ÓÒØ Ö Ð Ò ½¾ Ó Ò Ð Ô Ö ÒØ ÚÓ Ö ÑÓ ½Ü ¼ ½Ü¾ ½Ü½¼ ¾Ü½ Ñ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ Ô Ö Ö ÑÔÐ ÓÑÔÐ ¹ Ó Ù Ö ¹ Ó Ù ÒØ Ø Ø Ó ½ ¾ ½½ ½¾ ½ ½ ½½ ½¼ ½ ½½ º ÑÓ Ò ÓÑÓ ÓÖ Ó ÓÚ ÖÒÓ Ä ÔÒ ÚÓ Ú Ù Ö Ò Ö ÓÖÑ Ó Ø Ñ ÑÓÒ Ø Ö Ó ÐÓ Ðº Ç Ö Ä ÔÒ Ø Ð Ö ÙÑ Ø Ñ ÓÑ Ô Ò ØÖ Ú ÐÓÖ Ô Ö Ù ÑÓ Ò ÒØ ÚÓ Ð Ô º ÓÐ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö ÑÓ Ò Ú Ö Ø Ñ ÒÙÑ Ø ØÙ Ù Ó Ó Ö Ù ÕÙ ÒÓ Ú Ú Ö ÙÑ ÑÓ ÙÑ ÒØ ÚÓº Ç Ñ Ò ØÖÓ Ò Ò ÕÙ ÓÑ Ó Ð ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ñ Ö ÑÔÓ Ú ÓÖÒ Ö ÓÑÓ ØÖÓÓ Ó Ö ÑÓÙ ÚÓ Ô Ö ÑÔ Ø Ö ÕÙ ØÓº Ë Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÖÑ Ò Ö Ö Ò Ó ÓÑÓ ÒØÖ ØÖ Ú ÐÓÖ ÔÖÓÔÓ ØÓ Ô Ö ÑÓ ¹ Ò ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ ÒØÖ ½ ½¼¼ ÒØ ÚÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ñ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÓÑ Ø ÑÓ º ÙÑ Ö Ó Ù Ó Ù Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖÒ Ó Ö ÙÐØ Ó Ô Ö Ó Ù ÒØ Ó Ø Ø ÔÖÓÔÓ ØÓ Ô ÐÓ Ö ÅÓ ¾ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ¾ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ¾ ½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½ ½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½ ÒØ ÚÓ º ÅÓ ½ ÒØ ÚÓ º

20 Í Ò Ó ÕÙ Ò º½ Ç ÕÙ Ø Ñ ÒÓ Ó Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ö Ù ÕÙ Ò A B Ö ÔÖ ÒØ Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ m n Ð Ñ ÒØÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ñ Ù Ø ÖÑ Ò ÔÖ Ò ÙÑ ÕÙ Ò C ÕÙ Ú ÓÒØ Ö ÒØ Ö Ó Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÙ Ó Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ØÓ Ñ A Ñ Bº Ä Ñ Ö ÕÙ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓ Ø Ñ ÓÖ Ñ ÒÓ Ø Ñ Ö Ô Ø Ð Ñ ÒØÓ º Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ù ØÙ Ö ÒØ Ë ÕÙ Ò A B ÒÓ Ø Ñ ÓÖ Ñ Ò Ò ÙÑ C Ø Ñ Ñ ÒÓ ÔÖ Ö ÓÖ Ò Óº Ë ÕÙ Ò A B ØÓ ÓÖ Ò Ó ÓÖÑ Ö ÒØ C Ø Ñ Ñ ÔÖ Ö ÓÖ Ò Ó ÓÖÑ Ö ÒØ º ÔÓ Ò Ð Ó ÑÔ Ò Ó Ó Ó Ð ÓÖ ØÑÓ º Ç ÙÒ Ó Ú Ö Ñ Ñ Ö Ô Óº º¾ Ç Ñ ÓÖ Ô Ó ËÙÔÓÒ ÕÙ ÚÓ Ø Ñ ÙÑ ÕÙ Ò ÒØ ÖÓ A = (a 1,...,a n ) ÓÒØ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓ º Ö Ú Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ü Ñ Ò Ø ÕÙ Ò Ó ØÖ Ó ÕÙ ÔÖÓ ÙÞ Ó Ñ ÓÖ Ú ÐÓÖ ÕÙ Ò Ó Ó Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ð ØÖ Ó Ó ÓÑ Ó º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ A = (2, 3,4,5, 2,3) Ó ØÖ Ó Ñ ÓÖ ÓÑ Ú Ó Ð Ñ ÒØÓ Ø Ó Ð Ñ ÒØÓ º º ÕÙ Ò ØÓ ÓÖ Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÕÙ Þ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÜÓ Ó Ö Ö ÙÑ Ð Ø ÓÑ Ú Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ ÔÓ Ú Ð¹ Ñ ÒØ Ö Ô Ø Ó ÙÒÓ Ñ Ø ÖÝ Ð Ø ÕÙ Ò µ Ð Ø Ð ÕÙ Ð Ö Ø Ð Ò Ø ÕÙ Ò µ ½µ Ö ØÓÖÒ ÕÙ Ò ÓÐ ÙÑ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò Ô Ö Ü Ò ÕÙ Ò Ü ÒØÓ ÔÔ Ò Ü Ñ Ð Ü ÒØÓ ÔÔ Ò Ü Ñ ÕÙ Ð Ü ÒØÓ ÔÔ Ò Ü Ñ Ö Ø Ö ØÓÖÒ ÓÒ Ø Ò Ñ Ø ÖÝ Ð µ ÕÙ Ð Ñ Ø ÖÝ Ö Øµµ È Ö ÙÒØ ÜØÖ Ó ÕÙ ÓÒØ ØÖÓ ÖÑÓ ÐØ Ñ Ð Ò ÔÓÖ Ö ØÓÖÒ ÓÒ Ø Ò Ñ Ø ÖÝ Ð µ Ñ Ø ÖÝ Ö Øµµ  ÕÙ ÑÙ Ò Ñ ÒÓ Ú Ø Ö ØÓ Ó ÕÙ ÚÓ ÓÙ ÕÙ Þ ÒØÓ ÓÑÓ Ú ÑÙ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ü Ö Ô Ò ÙÑ Ô Ð Ñ ÒØÓ º Ð ÓÒ Ë Ù ÒØ Ò Ó ÙÒÓ F n ÕÙ ÖÚ Ô Ö ÔÖÓ ÙÞ Ö ØÖ Ò A, n = 0 F n = B, n = 1 F n 1 +F n 2, n 2, ÓÒ Ó Ò Ð + Ö ÔÖ ÒØ ÓÒ Ø Ò Ó ØÖ Ò º Ë ÑÓ ÕÙ Ò ÔÖ Ø n 30º Ë Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ Ú Þ ÙÑ ØÖ Ò S ÕÙ ÓÖÒ ÓÑ Ø ¾¼ Ö Ø Ö µ Ø

21 Ö Ô Ø ÒØÖÓ ÙÑ Ø ÖÑ Ò ØÖ Ò F n º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ ÒØ Ú Þ ØÖ Ò S = AB Ø ÓÒØ Ñ F 4 Ñ F 12 È Ö Ù Ö ÕÙ ØÓ Ó Ð ÙÒ Ø Ø ÔÖ Ñ ÖÓ Ú ÐÓÖ F n F 0 = A F 1 = B F 2 = BA F 3 = BAB F 4 = BABBA F 5 = BABBABAB n S = ABA S = ABB S = B S = BBB S = BAB ½ ½ ¼ ½¼ ½¾ ¾½ ¼ ½ ½ ¾ ¾ ½¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½½ ¾¼ ¼ ¼ ½ ¾¾ º Ç ÓÖ Ò ÓÖ ÍÑ Ñ Ò Ö ÑÔÐ ÓÖ Ò Ö ÙÑ ÕÙ Ò A ÕÙ Ø Ñ n Ð Ñ ÒØÓ Ú ¹Ð Ñ Ù ÕÙ Ò Ñ ÒÓÖ A 1 A 2 ÓÑ n/2 n/2 Ð Ñ ÒØÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µº ÔÓ ÓÖ Ò Ö Ù ÕÙ Ò Ö ÙÖ Ú Ñ ÒØ Ó Ö Ø Ö Ó Ô Ö ÕÙ Ú Ö Ù Ó µ ÔÓ ÑÓ ÙÒ Ö Ù ÕÙ Ò Ö ÓÑÔÓÖ ÕÙ Ò Ñ ÓÖ Ö ØÓÖÒ Ò Ó¹Ó Ó Ù Ù Ö Óº Ö Ú ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ Ò Ó Ó Ò Ø ÒÙÒ Óº