ËÁ Í Ä Ë ÌÁÅ Ë ÆÌÊÇÈÁ ÅÇË Ê Å Î ÊÁ Ë ÊÁ Å ÆÆÁ Æ Ë ÌÊ Ë ÇÆÌÊÁ ÍÁ Ë Å ÆýÄÁË ÇÅ ÌÊÁ Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ Ì ÓÙØÓÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö

Transcrição

1 ÍÆÁÎ ÊËÁ Ê Ä Ç È Ê Æý Ë ÌÇÊ Á Æ Á Ë Ì Ë ÈÊÇ Ê Å È Ë¹ Ê Í Ç Å Å Ì ÅýÌÁ ËÁ Í Ä Ë ÌÁÅ Ë ÆÌÊÇÈÁ ÅÇË Ê Å Î ÊÁ Ë ÊÁ Å ÆÆÁ Æ Ë ÌÊ Ë ÇÆÌÊÁ ÍÁ Ë Å ÆýÄÁË ÇÅ ÌÊÁ Ì Ë ÇÍÌÇÊ Ç Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ ÙÖ Ø ÈÊ Ö Ð ¾¼½

2 ËÁ Í Ä Ë ÌÁÅ Ë ÆÌÊÇÈÁ ÅÇË Ê Å Î ÊÁ Ë ÊÁ Å ÆÆÁ Æ Ë ÌÊ Ë ÇÆÌÊÁ ÍÁ Ë Å ÆýÄÁË ÇÅ ÌÊÁ Å ÖÓ Ì Ü Ö ÐÚ Ì ÓÙØÓÖ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó È Ö Ò ÓÑÓ Ö ÕÙ ØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù ÓÙØÓÖ Ñ Å Ø Ñ Ø º ýö ÓÒ ÒØÖ Ó ÕÙ Ö Ò È Ö º ÇÖ ÒØ ÓÖ ÂÙÖ Ò Ö ÓÒ ÓÓÖ ÒØ ÓÖ À Ó ÈÓÖØ ÐÐÓ ÇÕÙ Ò Ó ÙÖ Ø ÈÊ Ö Ð ¾¼½

3

4 ¾

5 Ê ÁÅ ÆÌÇË Ø Ø Ô Ö ÓÒÐÙ Ö Ñ Þ Ó ÓÑÔ Ò Ö ÑÓ Ð ÙÑ Ô Ó º Å Ù Ö Ñ ÒØÓ Ô Ñ Ò Ñ Ð ÌÖ Þ Å Ó ¹ Ë ÔÓÖ ØÓ Ó ÔÓ Ó Ö Ó Ò ÐØ ÑÓ ÕÙ ØÖÓ ÒÓ º Ñ Ù Ô ÂÓÖ Ë ÖÐ Ñ Ù ÖÑÓ Ö ÓÒ Å Ö Ò ÓÙ Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ö ØÓ ÔÓÖ ØÓ Ó Ö Ò Ó ÑÓÖ ÕÙ ÔÓ Ø Ñº Ñ Ò Ó Ö Ò Ò ØÖ Þ Ô Ð Ö Ò Ö Ô Ð ÓÒÚ Ö ÓÒØÖ ÔÓÖ Ø Ð ÓÒ Ó Ñ Ù Ó Ö Ò Ó Ñ Ó µ ÕÙ ØÓ Ñ Ò Óº Ê ØÖÓ Ø Ñ Ñ Ñ Ù Ö Ñ ÒØÓ Ô Ó ÔÖÓ ÓÖ ÂÙÖ Ò Öº ÆÓ Ô Ò Ô Ð ÓÖ ÒØ Ó ÕÙ Ö Ñ Ó Ö ØÙ Ó Ô ÐÓ ÒÓÒØ Ú ÓÒ Ð Ó Ô ÐÓ Ü ÑÔÐÓ Ú ÔÖÓ ÓÒ Ðº Ç Ö Ó Ô Ð Ô Ò Ò Ð ÓÖ Ó ØÖ Ð Óº Ö Ó Ó ÔÖÓ ÓÖ Ð Ö Å Ö Þ ÕÙ Ð ÊÓ Ö Ù Ö Ó Ð Ô Ä Ò Ö Å Ö ÐÓ ÅÓÖ Ö ÐÚ ÒØ Ô Ð Ð ØÙÖ Ø Ø ÜØÓ Ô Ð Ô Ð ÚÖ Ò ÒØ ÚÓº Ñ Ù ÓÐ Ô Ö Ù Ó Ö Ó Ô Ð ÓÑÔ Ò Ò Ô Ö Ó Ó ¾¼½¾¹¾¼½ º Ó Ñ Ó ÕÙ ÕÙ Ø Ú Ó ÔÖ Ú Ð Ó ÓÒÚ Ú Ö ÙÖ Ø ÓÒ ÐÚ ÖÒ Ò Ó Ä ÓÒ Ö Ó Ö Ó Ô ÐÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ñ Ö ÒØ Ñ Ò º Ñ Ô Ð Ö Ó ËØ Ð ÙÒ Ø µ ÔÓÖ Ø Ö ÑÔÖ ÔÓ Ø ÓÙÚ Ö ÓÒ Ð Ö ÒÓ ÓÖÖ Ö Ø ÒÓ º Ö Ó Ø Ñ Ñ Ó Ñ Ó ÒØ ÊÓ Ö Ó ÅÓÒ ÕÙ ÕÙ Ñ ÑÓ Ø ÒØ Ò ÒØ Ú Ö Ñ ÓÖØ Ñ ÒØ Ô Ö ÕÙ Ù Ù Ô Ö Ú Ö ÒØ ÒÓ ÓÙØÓÖ Óº ÈÓÖ ØÓ Ñ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ö ÙÖ ÒØ Ó ÓÙØÓÖ Ó Ó Ú Ô ÖØ Ô Ó ÔÖÓ ÓÖ Ó ÑÔÓÐ Ó Ô Ð Ñ Ò º ËÓÙ ÜØÖ Ñ Ñ ÒØ Ö ØÓ ÚÓ ÆÓ Ü Ö Ø Ö Ó ÒÓÑ Ó ÔÖÓ ÓÖ À Ó Ô Ð ÓÒ Ò Ô Ð Ü Ñ ÙÐ ÒÓ ÙÖ Ó Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ë Ñ ÖÙÔÓ ÇÔ Ö ÓÖ Ä Ò Ö º Ö Ó Ö Ø Ö ÒØ Ô Ð ÒÓ Ô Ó ÕÙ Ö Ð Þ ÔÓÖ Ù Ñ Ò Ö Ö Ò Ö ÓÐÚ Ö Ú Ö º ØÓ Ó Ó ÙÒ ÓÒ Ö Ó ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó È Ö Ò ÕÙ ÓÖÑ Ö Ø ÓÙ Ò Ö Ø ÓÒØÖ Ù Ö Ñ Ô ÐÓ ÓÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ñ Ó º ü È Ë ÓÙ Ö ØÓ Ô ÐÓ ÔÓ Ó Ò Ò ÖÓ ÓÒ Óº ÈÓÖ Ñ Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ó Ù ÔÓÖ Ù Ò Ò Ø ÓÒ º Ö Ù ÒÓ ÔÙ ÓÒÐÙ Ö Ñ Ø Ô Ñ Ò Ú º Ð ØÓ Ñ Ò Ö Ø Ó

6 Ê ËÍÅÇ ËÁ Í Ä Ë ÌÁÅ Ë ÆÌÊÇÈÁ ÅÇË Ê Å Î ÊÁ Ë ÊÁ Å ÆÆÁ Æ Ë ÌÊ Ë ÇÆÌÊÁ ÍÁ Ë Å ÆýÄÁË ÇÅ ÌÊÁ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó ÓÑ Ñ Ò Ó 2º ÁÒ ÐÑ ÒØ ÔÖÓÚ ÑÓ ÕÙ Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ( u r ( A(,) τ ( g u +Bot ( ) u ( u Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ > 1 r = (+) 1 τ mi{2,}º ÆÓ Ó Ñ ÕÙ 1 τ < mi{2,} ÓÓÖÖ Ü Ø Ò ÙÒ ÜØÖ Ñ º Ñ Ù ÑÓ ØÖ ÑÓ Ú Ð Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ º ÈÖ Ñ ÒØ Ø Ð ÑÓ ÕÙ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u L () = 1 Ú Ö ¹ u log( u ) ( ) (A(,τ) τ log g u +B(,τ), Ñ ÕÙ > 1 1 τ mi{2,}º ÉÙ Ò Ó 1 τ < mi{2,} ÓÙ τ = < 2 Ù Ð Ñ Ñ Ø ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ðº Ð Ñ Ó ÔÐ ÑÓ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ Ò¹ Ò Ò Ø Ñ Ô Ö Ö ÒØ Ö ÕÙ Ó Ñ ÖÙÔÓ Ó Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý ÓÑ ÕÙ Ó Ù Ó ÒÓ Ð Ò Ö { u t = (u 1 1 ) Ñ ÕÙ (x,t) (0,+ ), u(,0) = f Ô Ö Ð ÙÑ Ó Ò Ð f L 1 (), f 0 Ô ÖÓÒØÖ Ø ÚÓº ÈÓÖ Ñ ÑÓ ØÖ ÑÓ Ú Ð Ù Ð r¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ØÓ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u L r () = 1 Ø Ñ¹ u r log( u r ) ] r [A r +r log et g u +B et u ÓÑ 1 < r 2º Ë 1 < r < 2 ÒØÓ Ü Ø ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ðº È Ð ÚÖ ¹ Ú ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ù Ð Ø Ñ Ù Ð ÅÓ Ö Ù Ð¹ ÒØÖÓÔ º

7 ËÌÊ Ì ÇÈÌÁÅ Ä ÁÆ ÉÍ ÄÁÌÁ Ë Ç ÆÌÊÇÈ Æ ÅÇË Ê ÁÆ ÊÁ Å ÆÆÁ Æ Å ÆÁ ÇÄ Ë ÌÀÊ ÇÆÌÊÁ ÍÌÁÇÆË ÁÆ ÇÅ ÌÊÁ Æ Ä ËÁË Ä Ø (,g) ÑÓÓØ ÓÑÔ Ø Ê Ñ ÒÒ Ò Ñ Ò ÓÐ Ó Ñ Ò ÓÒ 2 Û Ø ÓÙØ ÓÙÒ Öݺ Ö Ø Û ÔÖÓÚ Ø Ú Ð ØÝ Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð ÅÓ Ö Ò ÕÙ Ð ØÝ ( u r ( A(,) τ ( g u +Bot ( ) u ( u ÓÖ ÐÐ ÙÒØ ÓÒ u H 1, () Û Ö > 1 r = (+) Ò 1 τ mi{2,}º Ï ÔÖÓÚ Ø Ü Ø Ò Ó Ò ÜØÖ Ñ Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÚ Û Ò 1 τ < mi{2,}º Æ ÜØ Û Ø Ð Ø Ú Ð ØÝ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÔØ Ñ Ð L ¹ ÒØÖÓÔÝ u log( u ) ( ) (A(,τ) τ log g u +B(,τ) ÓÖ ÐÐ ÙÒØ ÓÒ u H 1, () Û Ø u L () = 1 Û Ö > 1 Ò 1 τ mi{2,}º Ï Ò 1 τ < mi{2,} Û ÓÛ Ø Ü Ø Ò Ó Ò ÜØÖ Ñ Ð ÙÒØ ÓÒº Í Ò Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ Û ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ ÖÓÙÔ Ó Ø Û Ø Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ { u t = (u 1 1 ) Ñ ÕÙ (x,t) (0,+ ), u(,0) = f ÓÖ ÓÑ f L 1 (), f 0 ÝÔ ÖÓÒØÖ Ø Ú º Ò ÐÐÝ Û ÓÛ Ø Ú Ð ØÝ Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð L r ¹ ÒØÖÓÔÝ u r log( u r ) ] r [A r +r log et g u +B et u ÓÖ ÐÐ ÙÒØ ÓÒ u H 1, () Û Ø u L r = 1 Û Ö 1 < r 2º Á 1 < r < 2 Û ÓÛ Ø Ö Ü Ø Ò ÜØÖ Ñ Ð ÙÒØ ÓÒº à ÝÛÓÖ Ø ÓÒ Ø ÒØ º ÇÔØ Ñ Ð Ò ÕÙ Ð Ø º ÅÓ Ö Ò ÕÙ Ð Øݺ ÒØÖÓÔÝ Ò ÕÙ Ð Ø º

8 ËÍÅýÊÁÇ ÁÆÌÊÇ Í Ç ½ ËÁ Í Ä ÅÇË Ê ÊÁ Å ÆÆÁ Æ ÌÁÅ ½ ½º½ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º½ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º¾ ÓÒ ÒØÖ Ó L r º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ø Ñ Ø Ú ÔÓÒØÙ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Ç Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ËÁ Í Ä ¹ ÆÌÊÇÈÁ ÊÁ Å ÆÆÁ Æ ÌÁÅ ¾º½ Ê Ð Ó ÒØÖ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÙÐ Ò Æ ÒØÖÓÔ ¾º¾ Ä Ñ Ø Ó ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Æ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾º½ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ó Ù Ð Æ Ø Ñ º º º ¾ ¾º¾º¾ ÓÒ ÒØÖ Ó L º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ç Ð Ñ ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ç Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÑÓÒ ØÖ Ó Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ¾º½ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÔÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

9 ËÁ Í Ä r¹ ÆÌÊÇÈÁ ÊÁ Å ÆÆÁ Æ ÌÁÅ º½ Ð Ñ Ø Ó ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö Ê Ñ ÒÒ Ò º º¾ Ä Ñ Ø Ó ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º¾º½ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÓÒ ÒØÖ Ó L r º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º Ø Ñ Ø Ú ÔÓÒØÙ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾º Ç Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÑÓÒ ØÖ Ó Ó ÓÖÓÐ Ö Ó º½ Ó Ì ÓÖ Ñ º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ê Ê Æ Á Ë ½¼

10 ÁÆÌÊÇ Í Ç Ù Ð Ø Ñ Ó Ø ÔÓ ÅÓ Ö ¾ Ø Ñ Ó Ó ØÓ ÜØ Ò ÒÚ Ø Ó Ò ÐØ Ñ Ø ÒØÓ ÒÓ Ñ ÒØ ÙÐ ÒÓ ÕÙ ÒØÓ ÒÓ Ê Ñ ÒÒ ÒÓº È Ö Ø Ö ÙÑ Ó Ð Ò Ø ØÙ Ó Ø ÑÓ Ó Ù ÒØ ØÖ Ð Ó ½ ¾ ¾ Ô Ö Ó Ó ÙÐ ÒÓ ½ ½ ¾¼ ¾ Ô Ö Ó Ó Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò º Ô Ö Ó Ù Ð ÅÓ Ö Ñ R µ ÓÒØ Ù ÒÓ ÖØ Ó ¾ ½ ½º Æ Ø ØÖ Ð Ó ÅÓ Ö Ø Ð Ù ÕÙ ÓÐÙ ÖØ ÕÙ Ð ÔØ ÙÒ ÓÖ Ñ Ø Ñ ÒÓÖÑ Ô ÖÓ L ÓÑ Ò Ô Ð ÒÓÖÑ L Ô Ö ØÓ Ó > 1º ÒÚÓÐÚ Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö Ø Ñ Ø Ú ÒÙÑ ÔÖÓ Ó Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ó Ñ Ð ÓÖ ÒÐÙ Ú ØÙ ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÑÓ Ø Ñ Ø Ú ÓÖ ¹Æ ¹ÅÓ Ö ÕÙ ÓÑÓ ÑÓ ÑÔ ¹ Ò ÙÑ Ô Ô Ð ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø ÓÖ ÕÙ Ö Ò Ô Ö µº Ç ÔÓÒØÓ Ú Ø ÔÖÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ ÓÒ Ø Ñ ÓÒ Ø Ö ÓÐÙ Ö ÙÑ È Ð ÔØ ÓÑ Ù Ð u 2(+2) R ( ) 2 dx c u 2 dx u 2 dx R R Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C c (R ) Ð ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c > 0º Ø Ù Ð ÙÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö = 2µ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò Ö Ð ÕÙ ÖÑ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ A > 0 Ø Ð ÕÙ ( )( u r dx A u dx u dx R R R ) E (A)µ Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u W 1, (R ) ÓÑ 1 2 r = (+) º ÉÙ Ò Ó Ò ÑÓ A(,) 1 = if { u u W 1, (R L ) (R ) u L (R ) ; u L r (R ) = 1}, Ù Ð ( E (A(,))) Ñ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò Ø Ñ ÓÒ ¹ Ø ÒØ A(,) ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ù Ð º Å Ø Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ Ñ ØÙ Ó ÔÓÖ Ò Ö Ñ º ÆÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÒØ Ö Ò Ø Ø ØÙ Ö Ø Ù Ð Ó ÔÓÒØÓ Ú Ø Ø ÑÓ Ñ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò º Ë Ò Ø ÚÓ Ú ÒÓ Ø Ñ Ó Ó Ø Ó Ò Ø ÒØ Ó Ô Ö ÙÑ ÜÔÓ Ó Ö Ð ÓÙØÖ Ö Ö Ò Ó Ö Ø ÙÒØÓ Ø ÑÓ ½ ¾¼ ¾ º 2 Ë Ù Ò Ó

11 Ò Ø Ö Ó ÑÙ ØÓ ÙØÓÖ Ø Ð Ö Ñ ÔÐ Ø Ù Ð Ò ÒÚ Ø Ó Ú Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ È³ º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù Ð Ø Ñ Ó Ø ÔÓ ÅÓ Ö Ñ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ØÙ ÔÓÖ ÓÒ ÅÓÒØ Ò ÖÓ Ñ ½ Ò ØÙ Ó = = 2µ ÓÖ Ñ ÔÐ ÒÓ ØÖ Ð Ó ÔÓÖ Ã ÑÓØÓ Å ÓÑ Ó ÔÖÓÔ ØÓ Ó Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ü Ø Ò ÐÓ Ð Ô Ö ÙÑ Ø Ñ ÖÓÚ Ñ T 2 º ÁÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ Ó Ò Ö Ó Ê Ñ ÒÒ ÒÓº Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó ÓÑ Ñ Ò Ó 2º Ñ Ú ÖØÙ Ó Ö ÙÑ ÒØÓ Ô Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ú Ö ¾ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ ÔÓ Ú Ð ÒÓÒØÖ ÖÑÓ ÙÑ Ú Ö Ó Ê Ñ ÒÒ Ò ¹ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò ( E (A)) Ö Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú C D Ø ÕÙ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u Ô ÖØ Ò ÒØ Ó Ô Ó ËÓ ÓÐ Ú Ê Ñ ÒÒ ÒÓ Ð Ó H 1, () Ø Ñ¹ u r ( )( ) C g u +D u u, ÓÒ 1 2 r = (+) º ØÙ ÑÓ ÙÑ Ò Ö Ð Þ Ó Ø Ù Ð º ÓÒ ¹ Ö ÑÓ ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ τ Ø Þ Ò Ó 1 τ ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ Ñ Ð Ö Ó Ù Ó ÔÓÖ ÖÙ Ø Ñ ¼ ÒÓ Ñ ØÓ Ù Ð ËÓ ÓÐ Úµº ÑÓ ÒØÓ Ò Ù Ð ( [ ( u r A g u +B ( ] u ( u ½¼ R (A,B)µ Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () Ô Ö r Ö ØÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÓÑÓ Ó ÖÚ Ó Ñ ½ ÓÙ ¾ Ù Ð ( R (A,B)) ÑÔÐ A A(,) τ º ÆÓ Ó ÓÓ ØÙ Ó ÓÒ Ø Ù Ñ ÓÒ Ö Ö Ù Ð ( R (A,B)) Ñ Ù ÒØ Ó Ø ÑÓº ÓÑÓ Ü Ø Ñ Ù ÓÒ Ø ÒØ Ñ ( R (A,B)) ÓØ Ñ Ð ÔÓ Ö Ò Ù Ñ Ò Ö Ö ÒØ º Ë Ù Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ñ ÓÖ ÒØ Ö Ó ÔÓÒØÓ Ú Ø È ÓÒ ÓÖÑ Ô ØÙÐÓ Ó Ð ÚÖÓ µº Ò ÑÓ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÔÓÖ A ot = if{a R : Ü Ø B R Ñ ÕÙ ( R (A,B)) Ú Ð }. Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö A ot A(,) τ º ÓÖ Ù Ò Ó ÙÑ Ö ÙÑ ÒØÓ Ô ÖØ Ó ÙÒ Ñ Ð Ò Ö ØÓ ÓÒØ Ñ ½ ÓÙ ¾ µ Ø Ð ÑÓ Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ô Ö ØÓ Ó ε > 0 Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ C ε R Ø Ð ÕÙ ( u r [ (A(,) τ +ε) ( Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º Ñ g u +Cε ( ] u ( u ) τ A ot = A(,) τ.

12 ½½ ÍÑ Ú Þ ÕÙ ( R (A(,) τ +ε,cε )) Ø Ø Þ ÒØ Ó ÓÒ Ö ÖÑÓ B ε = if{b R; ( R (A(,) τ +ε,b)) Ú Ð }. ÑÓ Ó Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () Ø Ñ¹ ( u r [ (A(,) τ +ε) ( g u +Bε ( Î Ö ÑÓ ÕÙ (B ε ) ÑÓÒ ØÓÒ ÒÓ Ö ÒØ º Ë ] u ( u. B = lim ε 0 B ε. Ñ ÓÒØÖ Ø ÓÑ Ó Ó ÙÐ ÒÓ B ε = 0µ Ú Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ñ Ð ÔÓ Þ ÑÓ ε 0 ÒØÓ (B ε ) ÔÓ Ñ ÔÖ Ò ¹ Ô Ó ÜÔÐÓ Öº ØÓ ÕÙ Ò Ó τ = > 2 Ü Ø Ñ Ó Ñ ÕÙ Ù Ð Ø Ñ Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö ÓÙ Ù Ð Ø Ñ ËÓ ÓÐ Ú ÒÓ Ó Ú Ð Ô Ò Ò Ó Ó¹ Ñ ØÖ Ú Ö (,g) Ú ½ ÓÙ ¾ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µº Ñ Ú Ø ØÓ ÓÒ Ö ÑÓ τ mi{2,} ØÓ Ò Ö ÕÙ ÑÓ Ù Ð ÅÓ Öº Ø Ø Ò Ó ÔÐ ¹ Ñ ¾ ÒÓ ØÙ Ó ÙÑ Ñ Ð Ù Ð Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö Ô Ö τ = 2 2 < < º ÓÑÓ Ö Ú ØÓ Ó Ö ÙÑ ÒØÓ Ù Ó Ñ ÒÓ ÔÖÓÚ ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ Ó Ñ ¾ Ù Ó ÔÓÒØÓ Ú ÓÒ Ø Ù Ñ ÙØ Ð Þ Ö Ø Ò ÜÔÐÓ Óº ÈÓÖ Ñ Ñ ÒÓ Ó ØÖ Ð Ó ÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ ÙÑ ÑÓ Ó ÒÓÚÓ ØÙ Ö Ø ÜÔÐÓ Ó ÓÒ Ö Ò Ó¹Ó Ñ ÔÖÓÔÖ Ó Ô Ö Ó ÒÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ º ÓÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÖÓÚ ÑÓ ÕÙ 1 τ mi{2,} ÒØÓ B < + ( R (A(,) τ,b)) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º Ö Ð ÚÒ Ø ØÓ ÕÙ Ó Ñ ÑÓ Ø Ò ÓÙØÖÓ ØÖ Ö ÙÐØ Ó ÖÓÙØØ Ð Ò ½ ÕÙ Ò Ó = q = τ = 2 ÓÒ ÅÓÒØ Ò ÖÓ ¾¼ ÒÓ Ó 1 < = q 2 τ = Ò ËÙÒ ¾ Ò ØÙ Ó 2 < = q < τ = 2º ÅÓ Ö Ú Ð ( R (A(,) τ,b)) Ô ÖÑ Ø ÓÒ Ö ÖÑÓ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ B ot = if{b; ( R (A(,) τ,b)) Ú Ð }. Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ( R (A(,) τ,bot )) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º ÓÑ Ò Ó Ñ ÑÓ ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÒÓ ÒÓ ÒÙÐ Ñ H 1, () ÕÙ Ö Ð Þ Ù Ð Ñ ( R (A(,) τ,bot ))º Ö ÒØ Ñ ÒØ Ó Ó ÙÐ ÒÓ Ü Ø Ò ÙÒ ÜØÖ ¹ Ñ ÒÓ Ù Ñ Ø Ñ ÒØ ÔÐ Ó Ø Ò Ú Ö ÓÒ º ÌÓ Ú ÓÑÓ ÙÒ Ó Ö ÙÐØ Ó ÙÒ ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ó Ú Ð Ù Ð Ø Ñ ÓÑ Ü Ø Ò ÙÒ ÜØÖ Ñ º ÈÖ Ñ ÒØ ÔÖÓÚ ÑÓ ÕÙ 1 τ < mi{2,} ÙÒ Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ( R (A(,) τ,bot )) Ñ Ø ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð B ot = Bº Ø Ö ÙÐØ Ó Ö Ö ÒØ Ú Ð Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ

13 ½¾ Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð Ö Ò Ö Ñ Ó ÖØ Ó ¾ º Ù Ð ÅÓ Ö Ø ÒØ Ñ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÑ Ù Ð ÒØÖÓÔ º Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ó ÓÓÖÖ ØÖ Ú ÔÐ Ó Ù Ð Â Ò Òº ÆÓ Ò Ö Ó Ê Ñ ÒÒ ÒÓ Ù Ð ÒØÖÓÔ Ó Ö ÒØ Ñ ÒØ ØÙ ÒÓ Ó 1 < 2 Ñ ¾½ Ô Ö > 2 Ø ÓÒ ØÙÖ Ó ÕÙ Ù Ð Ð ÙÑ Ú Þ Ð µº ÅÓØ Ú Ó ÓÑ Ø ÓÒ ÜÓ Ó Ø Ú ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÒÚÓÐÚ Ò Ó Ú Ð ÙÑ Ñ Ð Ù Ð ÒØÖÓÔ º Ì Ù Ð ØÓÖÒ Ö Ñ¹ ÙÑ ÖÖ Ñ ÒØ ÔÓ ÖÓ Ñ Ð ÙÑ Ö Ñ Ø ¹ Ñ Ø ÓÑÓ Ò Ð Ê Ð Ò Ð ÓÑÔÐ Ü Ò Ð ÓÑ ØÖ ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ü ÈÖÓ¹ Ð ÒØÖ ÓÙØÖ º Ç ØÖ Ð Ó Ô ÓÒ ÖÓ Ú Ó ÖÓ ÔÖ ÒØÓÙ ÕÙ Ú Ð Ò ÒØÖ ÙÑ Ð Ù Ð ÒØÖÓÔ Ô ÖÓÒØÖ Ø Ú Ó Ñ ÖÙÔÓ Ó ÐÓÖº È ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ Ø Ù Ð ÓÑ Ö Ô ØÓ Ñ Ù Ò ÑÔ Ò Ñ ÙÑ Ô Ô Ð Ö Ð Ú ÒØ Ò Ø ÓÖ Ó ÙÜÓ Ê ÓÑÓ Ñ µ Ò Ø ÓÖ Ó ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÑÓ ÓÒ ÓÖÑ µ Ò Ø ÓÖ ÔÖÓ Ð ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ¼ µ ÒØÖ ÓÙØÖ ÔÐ º Ê ÒØ ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ ÔÓÒØ Ö Ñ ÙÑ ØÖ Ø Ö Ð Ó ÒØÖ ÙÑ Ð ¹ Ù Ð ÐÓ Ö ØÑ ËÓ ÓÐ Ú Ø Ñ Ñ ÓÒ ÓÑÓ Ù Ð ÒØÖÓÔ µ ÔÖÓÔÖ Ô ÖÓÒØÖ Ø Ú Ô Ö Ð ÙÑ ÕÙ ÚÓÐÙÓ ÒÓ Ð Ò Ö º È Ö ÙÑ Ú Ó Ö Ð Ø ÑÓ Ó ØÖ Ð Ó ¾ Ô Ö Ö Ö Ò ÒÓ Ò Ö Ó ÙÐ ÒÓ ½¼ ½½ Ô Ö Ö Ö Ò Ñ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò º Æ Ø Ö Ó ÒÓ Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ó Ø ÚÓ ÓÒ Ø Ù Ñ ØÙ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð ÒØÖÓÔ Ø Ñ Ñ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò º ÓÒØÙ Ó ÒØ ÔÖÓ Ù ÖÑÓ Ö Ú ÖÑÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÒÓ Ó ÒØ Ö Ö ÙÑ Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ñ R ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ ÓÒØÖ Ù ÕÙ ÓÖ Ñ º Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ ÙÐ Ò Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u W 1, (R ) ÓÑ u dx = 1 Ø Ñ¹ R R u log( u ) dx log ÓÒ 2 1 A 0 () ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ù Ð º ( ) A 0 () u dx, ½µ R Ñ ½ Ï Ð Ö ÔÖ ÒØÓÙ Ù Ð ½µ Ô Ö = 2 Ò Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù Ð ÐÓ Ö ØÑ ËÓ ÓÐ Ú Ù Ò ÒØÖÓ ÙÞ ÔÓÖ ÖÓ Ñ º Å Ø Ö ÖÐ Ò ½ ÑÓ ØÖÓÙ ÕÙ Ù ÙÒ ÜØÖ Ñ ÕÙ Ð ÙÒ ÒÓ ÒÙÐ ÓÑ ÒÓÖÑ L (R ) ÙÒ Ø Ö ÕÙ Ö Ð Þ Ñ Ù Ð Ñ ½µµ Ó Ð Ø ÓÙ ØÖ Ò Ð Ù Ò u(x) = π 2 e x 2. È Ö = 1 Ä ÓÙÜ ½ ÔÖÓÚÓÙ Ù Ð ½µ Ò Ö Ð ÓÙ Ù ÙÒ ÜØÖ Ñ ÓÑÓ ÙÒ Ö Ø Ö Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ñ ÓÐ º Æ Ø Ñ ÑÓ ØÖ Ð Ó Ò Ö

14 Ø Ñ Ñ ÔÖÓÚÓÙ ÕÙ ½µ Ú Ð Ô Ö 1 < < Ð È ÒÓ ÓÐ ÙÐØ ¾ Ð Ö Ñ Ù ÙÒ ÜØÖ Ñ ÓÑÓ Ò Ó ÔÖ Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð Ð Ø ÙÒÓ Γ ( u 0 (x) = π +1) 2 2 ( Γ ( 1) +1 Ñ ÕÙ Γ : (0,+ ) R ÙÒÓ Ñ Ò ÔÓÖ Γ() = + 0 )e x 1 e x x 1 dx. ÈÓÖ Ñ Ù Ò Ó Ø Ò ØÖ Ò ÔÓÖØ Ñ ÒØ Ð Ø Ð Ù Ú Ð ½µ Ø Ò Ù Ð Ó Ù ÜØÖ Ñ Ô Ö º Ñ ÒØ Ô Ö > 1 A 0 () = ( 1 e ) 1 π 2 Γ( ( +1) 2 ) Γ ( 1) +1 ÓÔÓÖØÙÒÓ Ñ Ò ÓÒ Ö Ú ÒØÖÓ ÙÞ ÔÓÖ ÖÝ ÓÙÐ ÓÒ Ä ÓÙÜ Ë ÐÓ ¹ Ó Ø Ñ Ð Ó Ö Ö Ñ ÕÙ Ô Ö 1 < < Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ ÙÐ Ò ÔÓ Ö ÙÞ ÓÑÓ ÙÑ Ó Ð Ñ Ø ÖØ Ù Ð Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö ÙÐ Ò º Å Ø Ö Ø ÔÓÒØÓ Ú Ø Ó ÜÔÐÓÖ Ó ÔÓÖ Ð È ÒÓ ÓÐ ÙÐØ ¾ Ô Ö Ø Ð Ö Ù Ð ½µ ÒÓ Ó 1 < < º Ö Ú ÑÓ ÓÖ Ó Ò Ö Ó Ê Ñ ÒÒ ÒÓ (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó Ñ Ò Ó 2º ÓÒ Ö ÑÓ > 1 ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ τ R Ø Þ Ò Ó 1 τ º ÆÓ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø ÓÙ¹ Ñ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ A B ÔÓ Ø Ú Ø ÕÙ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ u log( u ) ( ] [A τ log g u +B,. ½ Ä µµ Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓu H 1, () ÓÑ u L () = 1º Ç ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ó Ò Ú Ð Ù Ð Æ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ½ ÕÙ Ø Ð Ó Ù ÒØ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () Ø Ñ¹ ( ) τ [ ( ( ] ( ) τ(1 θ) u θ N(,q ) τ g u +B(,q ) u u q q θ, Ñ ÕÙ θ = ( q ) q q + q = 1 N N(,q ) τ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø ¹ Ù Ð B(,q ) ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ º Æ ØÙÖ ÐÑ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô Ò Ñ Ñ Ò Ó B(,q ) ÔÓ Ô Ò Ö Ñ ØÖ gº ÓÑÓ Ø Ò ÓÖÑ ÒÓ Ó Ö Ð Ú ÒØ Ô Ö Ó ÒÓ Ó ØÙ Ó Ö ÑÓ ÓÑ Ø ¹Ð º

15 ÆÓ ØÖ Ø Ô Ö Ø ÔÙÐ Ö Ä µµ ÓÒ Ø Ù Ò ÐÑ ÒØ Ñ Ö ÖÖ Ò Ö Ó Ø ÖÑÓ Ù Ð Æ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ÔÐ Ö ÙÒÓ ÐÓ Ö ØÑ ØÓ ( ) τ u L log () log θ u L q () ( N(,q ) τ g u τ L () +B(,q ) u τ L () u τ L q () Þ Ö + Ó ÕÙ ÑÔÐ q µº Ç Ù Ó Ø ÔÐ ÒÓ ÓÓÖÖ Ù ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò ØÖ ÖÑ ÜÓ µ [ ( )] τ u L lim log () = τ + θ u L q () ( ) u u u log L () u L () µ ÕÙ Ò (N(,q )) ÓÒÚ Ö Ô Ö A 0 () ÕÙ Ò Ó + µ lim B(,q ) = B() < + º + ÖÑ Ó ÒÓ Ø Ñ µ ÓÖÖ Ò ÐÑ ÒØ ÔÐ Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó Ñ Ó ÑÓÑ ÒØÓ º È Ö Ó Ø Ñ µ Ù ÑÓ ÕÙ (N(,q )) ÑÓÒ ØÓÒ ÒÓ Ö ÒØ µ Ú Ó Ù Ð Â Ò Ò Ö ÒØ ÑÓ Ù Ð Ñ Ø Óº Ç ÔÓÒØÓ Ð Ó Ó Ø Ð Ö µº ÓÒ Ö Ò Ó Ô Ø 1 τ mi{2,} Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ µ ÒØÓ Ó Ø Ó ÖÓ Ó ÑÓ Ó Ð Ú Ò Ó Ñ ÓÒØ Ü Ø Ò ÙÑ ÕÙ Ò (u ) ÕÙ Ø Þ ÙÑ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹ Ä Ö Ò Ó Ù Ð Æ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ú ÓÑ ÕÙ Ø ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö Ô Ö Þ ÖÓ ÔÓÒØÙ ÐÑ ÒØ º ÔÖ Ò Ô ÖÖ Ñ ÒØ Ù Ò Ø Ø Ô ÓÖ Ñ Ó Ñ ØÓ Ó ÐÓÛ¹ÙÔ Ø Ö Ó ÅÓ Ö Ô Ö È³ Ð ÔØ Ó 1 < µ Ù Ð ÅÓÖÖ Ý Ó > µ Ø ÓÖ Ö ÙÐ Ö ÌÓÐ ÓÖ º Ñ Ú Ø Ú Ö ÖÑ Ñ µ µ µ ÔÐ ÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ñ + Ô Ö ÓÒÐÙ ÖÑÓ ÕÙ u log( u ) τ log [A 0 () τ ( g u +B() ] Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u L () = 1º ÑÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Ñ ÓÑÓ ÓÓÖÖ Ù Ò Ù Ð ÅÓ Öµ ÙÖ Ñ Ò ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ô¹ ÒØÖÓÔ A(,τ) = if{a R; Ü Ø B R ÓÑ (L(A,B)) Ú Ð } ) ½ ¾µ ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ô¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ÕÙ ÖÑ ÕÙ Ü Ø B R Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ u H 1, () ÓÑ u L () = 1 Ø Ñ¹ u log( u ) ( ] [A(,τ) τ log g u +B. ÆÓ Ó ÔÖ Ñ Ö Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ö Ú Ö Ö ÓÒ Ö ¹

16 ½ ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ô¹ ÒØÖÓÔ B(,τ) = if{b R : (L(A(,τ),B)) Ú Ð } ÙÒ Ù Ð Ô¹ ÒØÖÓÔ Ê ÑÑ Ò Ò Ø Ñ ÕÙ Ø Ð ÕÙ u log( u ) ( ] [A(,τ) τ log g u +B(,τ) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u L () = 1. Ò Ó A(,τ) ÔÐ Ñ ¾µ Ö ÒØ ÕÙ A(,τ) A 0 () τ º ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÓÑ Ò ÑÓ Ù Ð Â Ò Ò ÓÑ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ô Ö Ø ÖÑ Ò ÖÑÓ ÙÑ Ù Ð Æ º Á ØÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ A(,τ) = A 0 () τ ÑÓ Ó Ñ Ð ÒØ Ó ÕÙ Ú ÑÓ Ò Ù Ð ÅÓ Ö Þ ÑÓ ÕÙ u 0 H 1, () ÓÑ u 0 L () = 1 ÙÑ ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð ÕÙ Ò Ó u 0 log( u 0 ) = τ log [A 0 () τ ( g u 0 +B(,τ) ] ÔÓ Ó Ò ÔÖÓÚ Ð Ñ Ø Ó (B(,q )) ÑÓÒ ØÖ ÑÓ Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð ÕÙ Ò Ó 1 τ < mi{2,} ÓÙ τ = < 2º Ð Ñ Ó. B(,τ) = B(). ÓÑ Ú Ð Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ÔÖ ÒØ ÑÓ ÙÑ Ø Ñ Ø Ú ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý ÓÑ ÕÙ Ó Ù Ó ÒÓ¹Ð Ò Ö { u t = (u 1 1 ) Ñ ÕÙ (x,t) (0,+ ), u(,0) = f Ô Ö Ð ÙÑ Ó Ò Ð f L 1 (), f 0º ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ¹ ÒØÖÓÔ º Æ Ø Ø Ñ Ø Ú Ö ÜÔÐ ØÓ Ó Ù Ó Ç Ö ÙÐØ Ó Ö Ö ÒØ Ú Ð Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð Ô Ö (L(A 0 () τ,b()) ÔÐ Ó Ö Ø Ö Ú Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ñ ÓÖ Ò Þ Ó ÒÙÑ ÔÖ ÔÖ ÒØ Ö Ù Ñ Ø Ó Ñ ¾¼½ º ÈÓÖ Ñ ÒÚ Ø ÑÓ Ù Ð r¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ º ÓÒ Ö ÑÓ (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó Ñ Ò Ó 2 Ó Ô ÖÑ ØÖÓ,r R ÓÑ 1 < r 2º ÆÓ Ó ÔÖÓÔ ØÓ Ò Ð Ó Ö ÒØ Ö ÕÙ Ü Ø Ñ

17 ½ ÓÒ Ø ÒØ A B ÔÓ Ø Ú Ø ÕÙ Ù Ð r¹ ÒØÖÓÔ u r log( u r ) ( ) r r +r log A g u +B u ÒØ µµ Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u L r () = 1º ÓÑÓ ÒÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ò ØÖ Ø Ö Þ ÑÓ Ù Ó Ö ÕÙ ÒØ Ú Ð ¹ Ù Ð Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ¾¼ ÕÙ Ð Ø Ð ÕÙ ( ) [ ]( ) (1 θ) u r rθ A(,q,r) g u +B(,q,r) u u q q θ Ú Ð Ô Ö ØÓ u H 1, () ÓÑ 1 q < r 2 q = r 1 N θ = (r q ) r(q ( )+) ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ ÒØ ÖÔÓÐ ÓÖ ÕÙ Ø Þ θ (0,1) Ô Ö ØÓ Ó N A(,q,r) ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ù Ð B(,q,r) ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ º ÓÑ Ö ÙÑ ÒØÓ Ñ Ð ÒØ Ó ÓØ Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ ÒØ µµ Ó Ø Ô ÖØ Ö Ù Ð Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ú Ô Ñ Ó Ð Ñ Ø Ñ A(,q,r) Ñ B(,q,r) ÕÙ Ò Ó + º ÆÙÑ ÔÖ Ñ ÖÓ Ø Ó Ú Ö ÑÓ ÕÙ lim A(,q,r) = A 0 (,r) < +. + ÆÓÚ Ñ ÒØ Ó Ö ÙÑ ÒØÓ Ñ Ð Ó ÓÒ Ø Ù ÒÓ ØÙ Ó Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ B(,q,r) ÕÙ Ò Ó Þ ÑÓ + º ÒØÖ Ø ÒØÓ ØÖ Ú Ó Ø ÒÓ ÙÑ ÕÙ Ò (u ) ÕÙ Ø Þ ÙÑ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ó Ù Ð Ð Ö Ó¹Æ Ö Ò Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ú Ú ÐÓ ÓÑ ÕÙ Ø ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö Ô Ö Þ ÖÓ ÔÓÒØÙ ÐÑ ÒØ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ lim B(,q,r) = B 0 (,r) < +. + ÓÑ Ó Ó Ð Ñ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ Ù Ð r¹ ÒØÖÓÔ u r log( u r ) [ ] r r +r log A 0 (,r) g u +B 0 (,r) u Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u L r () = 1º ÈÖÓ Ò Ó Ñ Ñ ÓÖÑ Ö Ð Þ Ò Ù Ó Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ ÔÓ¹ ÑÓ Ò Ö ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ê Ñ ÒÒ Ò Ö¹ ÒØÖÓÔ ÕÙ Ð ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ A et ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ö¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ÕÙ ÖÑ ÕÙ Ü Ø B R Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ u H 1, () ÓÑ u L r () = 1 Ø Ñ¹ u r log( u r ) ) r (A r +r log et g u +B u

18 ½ Î Ö ÑÓ ÕÙ A et = A 0 (,r). Ò ÑÓ Ø Ñ Ñ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ö¹ ÒØÖÓÔ ¹ B et ¹ ÙÒ Ù Ð Ö¹ ÒØÖÓÔ Ê ÑÑ Ò Ò Ø Ñ ÕÙ Ø Ð ÕÙ u r log( u r ) ) r (A r +r log et g u +B et u Ø Ø Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u L r () = 1. ÓÑÓ ÓÒÐÙ Ó Ó ØÙ Ó Ù Ð r¹ ÒØÖÓÔ ÔÖÓÚ ÑÓ Ü Ø Ò ÙÒ ÜØÖ Ñ Ô Ö (Et(A et,b et )) 1 < r < 2µ B et = B 0 (,r)º Ç Ö ÙÐØ Ó Ö Ö ÒØ Ú Ð Ù Ð r¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð Ô Ö Ø Ù Ð ØÓ ÓÖ Ò Þ Ó ÒÙÑ ÖØ Ó Ò ÓÖÑ ÔÖ ÔÖ ÒØ ÓÑ Ù Ñ Ó ÔÖ Ú Ø Ô Ö Ò Ó ¾¼½ º È Ö Ò ÖÖ Ö ÔÖ Ô Ö ÑÓ Ø Ø Ñ ØÖ Ô ØÙÐÓ ÓÖ Ó ÓÑ ØÖ ÓÒØÖ Ù ¹ Ñ Ò Ð ÓÑ ØÖ ÕÙ ÓÖ Ñ Ó Ø º Ç Ô ØÙÐÓ ½ ÓÒØ Ñ Ú Ð Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ º Ð Ñ Ó Ö ÒØ ÑÓ ÙÑ ÔÖÓÚ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò Ö Ú ÑÓ Ñ Ò Ö ÓÑÓ Ó Ø Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò º ÆÓ Ô ØÙÐÓ ¾ ØÖ Ø ÑÓ Ú Ð Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ º Ç Ô ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ ÒÓ Ø Ö Ö ÓÒØÖ Ù Ó Ñ ÕÙ Ó Ø ÑÓ Ú Ð Ù Ð r¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ º

19 Ô ØÙÐÓ ½ ËÁ Í Ä ÅÇË Ê ÊÁ Å ÆÆÁ Æ ÌÁÅ Ø Ô ØÙÐÓ Ø ÓÖ Ò Þ Ó Ñ ØÖ º Æ Ó ½º½ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ù Ð¹ ÅÓ Ö Ñ R º Æ Ó Ù ÒØ Ø Ð ÑÓ Ø Ù Ð ÒÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ú Ö ÙÑ ÒØÓ Ô Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ú Ö º Ç Ô ¹ ØÙÐÓ Ò ÖÖ ¹ ÓÑ Ó ØÙ Ó Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÒÙÑ ÓÒØ ÜØÓ Ø ÑÓº Ô ÖØ Ö Ø ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒÚ Ò ÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ s ÒÓØ ÒÓÖÑ Ñ L s (R ) ÓÙ L s () Ó ÓÒØ ÜØÓ Ö Ð ÖÓµ ÓÒ 1 s + º ½º½ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò ÆÓ Ô Ó ÙÐ ÒÓ Ú Ö Ó L Ù Ð ÅÓ Ö Ö ÒØ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ A > 0 Ø Ð ÕÙ ( u r dx A u dx u dx R R R Ø Ø Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C 1 c (R ) ÓÑ 1 < + 2 r = (+) º ) ½º½µ ÆÓ ÕÙ Ù Ø Ð Ö ÑÓ Ú Ð Ø Ù Ð º Ë u C 1 c(r )º Ó¹ Ñ ÑÓ ÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ó Ñ ÕÙ = 1º = 1 Ñ ÕÙ Ô Ö Ó Ø Ö +1 = θ 1 +(1 θ) 1, ÔÐ ÑÓ Ù Ð ÒØ ÖÔÓÐ Ó ÓÑ ( u +1 R ) ( ) +1 θ ( )1 θ 1 dx u dx u 1 dx. R R

20 ½ ÓÑÓ θ = 1 +1 ÔÐ Ó Ù Ð ËÓ ÓÐ Ú Ø ÑÓ ( u +1 R ) ( ) 1 ( ) dx u dx u dx. R R ÑÓ Ó u +1 R ( ) 1 dx u dx u dx, R R ½º¾µ ÕÙ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ù Ð ÅÓ Ö Ô Ö = 1º ËÙÔÓÒ ÑÓ > 1º Ò ÑÓ v(x) = u(x) γ = [u(x) 2 ] γ 2 ÓÑ γ > 1 Ö ÓÐ Ó u C 1 c (R )º ÓÑÓ γ > 1 Ø Ö ÑÓ v C 1 c (R )º ÓÑ Ó v = γ u γ 2 u uº ËÙ Ø ØÙ Ò Ó v Ñ ½º¾µ Ö ÑÓ R u γ +1 ( )( ) 1 dx γ u γ 1 u dx u γ dx. R R ÓÖÖ Ù Ð À Ð Ö ÕÙ R u γ +1 ( dx γ u dx R )1 ( R ) 1 ( u (γ 1) 1 dx R u γ dx ) 1. ½º µ ÓÐ ÑÓ γ R ÑÓ Ó ÕÙ γ +1 = (+) ØÖ Ò ÓÖÑ ¹ Ñ ( u r dx γ u dx R R )1 ( R = r ØÓ γ = ( + +1) > 1. È Ö Ø γ ½º µ ) 1 u (γ 1) 1 dx }{{} ½º º½µ ( ) 1 u γ dx R } {{} 1.4.2). ½º µ ÁÖ ÑÓ Ø Ñ Ö ½º º½µ ½º º¾µº Í Ö ÑÓ Ù Ð ÒØ ÖÔÓÐ Ó Ñ ½º º¾µ Ò Ù ÒØ ÓÒ ÙÖ Ó γ (+) ν = 1. ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ = rº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ 1 γ = ν + (1 ν) (+) ÑÔÐ ( ) 1 ( u γ γ dx u dx R R ) 1 2 ( R ) ( 1) u r dx 2 (+). ½º µ ÔÐ Ò Ó ÓÖ Ù Ð ÒØ ÖÔÓÐ Ó Ñ ½º º½µ ÓÑ (γ 1) (1+ 1 ),

21 ¾¼ ÒÓÒØÖ ÑÓ ( R u (γ 1) ) 1 ( (γ 1) 1 dx R u dx ) 1 ( (++1) R ) u r (++1) dx. ½º µ ËÙ Ø ØÙ Ò Ó ½º µ ½º µ Ñ ½º µ Ø ÑÓ ( [ )1 u r dx γ u ( dx R R ( )1 ( γ u dx u dx R R R u (γ 1) ) 1 ] γ 1 [ (γ 1) ( 1 dx ) 1 ( R u r dx ) 1, R u γ dx ]γ ) 1 γ ÓÙ ( )1 ( u r dx γ u dx R R )1 ( R ) 1 u dx. ÈÓÖØ ÒØÓ Ó Ø ÑÓ Ù Ð ÅÓ Ö Ô Ö > 1 u C 1 c(r )º ( )( u r dx γ u dx u dx R R R Ö ÙÑ Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ó Ø ÑÓ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò Ö Ð ÕÙ Ø Ð Ó Ù ÒØ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ A > 0 Ø Ð ÕÙ ) ( )( u r dx A u dx u dx R R R Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u W 1, (R ) ÓÑ 1 2 r = (+) º ÓÒ Ö ÑÓ ) E (A)µ A(,) 1 = if { u u 2 ; u r = 1}. u W 1, (R ) ½º µ Ñ Ø ÑÓ Ò Ó ½º½ Ù Ð E (A(,))µ Ñ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ ¹ Ò Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ A(,) ÓÒ Ø ÒØ ÅÓ Ö Ø Ñ Ø Ù Ð º Å Ø Ð Ó Ö A(,) ÓÖ Ñ ØÙ Ó ÔÓÖ Ò Ö Ñ º ½º¾ Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÆÓ Ó Ó Ø ÚÓ ÙÖ ÒØ Ø Ó Ö Ø Ð Ö ÙÑ Ú Ö Ó Ê Ñ ÒÒ Ò ¹ Ù Ð ( E (A))º Ç Ö ÙÐØ Ó ÔÖ ÒØ Ó ÕÙ Ù Ñ Ö ÙÑ ÒØÓ ÓÒ Ó Ó ÒÓ ¼ Ú ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ½ ÓÙ µº

22 ÈÖÓÔÓ Ó ½º½ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÓÑÔ Ø Ñ Ò Ó 2º Ó ε > 0 Ü Ø B ε R Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C 1 () Ø ÑÓ u r Ñ ÕÙ 1 r = (+) º [ ]( ) (A(,)+ε) g u +B ε u u, ÑÓÒ ØÖ Ó Ü ÑÓ x 0 º Ó ε > 0 ÓÒ Ö ÑÓ δ = δ(x 0,ε) > 0 ÙÑ ÖØ ÜÔÓÒ Ò Ð (Ω,ϕ) ÒØÖ Ñ x 0 ÓÑ ϕ(ω) = B(0;δ) R Ø Þ Ò Ó ¾½ (1+ε) 1 δ ij g ij (1+ε)δ ij ½º µ ÒÓ ÒØ Ó ÓÖÑ Ð Ò Ö g ij Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ ØÖ g Ò Ø ÖØ µº ÜÔÖ Ó Ñ ½º µ ÓÒ ÓÑÓ ÜÔ Ò Ó ÖØ Ò Ñ ØÖ g Ô Ö Ñ Ø Ð Ú ¾¾ µº Ú Ó ½º µ Ó Ø ÑÓ Ù ÒØ ÜÔ Ò Ñ Ω (1+ε) 2 g 1 2 (1+ε) 2 (1+ε) 1 2 u g u (1+ε) 1 2 u. ½º µ Ë u C 1 c (B(x 0;δ))º Ñ Ú ÖØÙ ½º µ ÒÙÑ Ö ÑÓ ØÖ ØÓ µ g u (1+ε) + 2 (u ϕ 1 ) dx R µ (1+ε) 2 u ϕ 1 dx u (1+ε) 2 u ϕ 1 dx R R µ (1+ε) 2 u ϕ 1 r dx u r (1+ε) 2 u ϕ 1 r dxº R R Ô Ö Ó Ø Ö ÄÓ Ó ÙÒØ ÑÓ Ó Ø Ò µ µ µ Ñ ÓÑ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò ( )( ) u r (1+ε) + A(,) g u u. Ñ Ö ÙÑÓ ÔÓ ÑÓ ÓÐ Ö ε > 0 Ô ÕÙ ÒÓ ÑÓ Ó ÕÙ ( )( ) u r (A(,)+ε) g u u ½º½¼µ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ u C 1 c (B(x 0;δ))º

23 ¾¾ ÓÑÓ ÓÑÔ Ø Ü Ø Ñ x i i = 1,...,K δ > 0 Ø ÕÙ K B(x i ;δ). i=1 ÓÒ Ö ÑÓ {α i } i=1,...,k ÙÑ Ô ÖØ Ó ÙÒ Ù ÓÖ Ò Ó ÖØÙÖ ÖØ {B(x i ;δ)} i=1,...,k º È Ö i = 1,...,K Ò ÑÓ ÔÐ Ó η i = α[]+1 i K j=1 α []+1 j Ñ ÕÙ [] ÒÓØ ÙÒÓ Ñ ÓÖ ÒØ ÖÓ ÕÙ ÒÓ Ü º ÍÑ Ú Þ ÕÙ α i C () Ô Ö ØÓ Ói = 1,...,K ÔÓ Ù ÙÔÓÖØ ÓÑÔ ØÓ ÑB(x i ;δ) Ù ÕÙ η 1 i C 1 () ÓÑ ÙÔÓÖØ ÓÑÔ ØÓ Ñ B(x i ;δ) ÕÙ ÐÕÙ Ö ÕÙ i = 1,...,Kº ( Ü ÑÓ u C 1 ()º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ u r ) r = ( )r K η i u i=1 [ K ( (A(,)+ε i ) i=1 r, g K [ i=1 η 1 r i u ( η 1 i u ) )( ] r η 1 i u Ò Ó ÕÙ Ò Ù Ð Ñ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ù Ð Å Ò ÓÛ r Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ( Ñ ÒØ Ó Ø ÑÓ ) u r r K ( ( ) (A(,)+ε 1 i) )( g ηi u i=1 }{{} (1.1.1) Ø Ñ Ö ÑÓ ½º½º½µº È Ö Ó Ö ÓÖÖ ÑÓ Ù Ð 1 η ) i u ) ] r, 1µ ½º½¼µ r. ½º½½µ Ñ (x+y) x +νx 1 y +νy Ø Ø Ô Ö x,y 0 ν > 0 ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ. g (η 1/ i u) = ( g u)η 1/ i +u g (η 1/ i ) η i g u +ν g u 1 η ( 1)/ i u g (η 1/ i ) +ν u g (η 1/ i ).

24 ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÑÓ ÓÑ ( g (η 1/ i u) 1 η i g u +ν g u 1 ηi u g (η 1/ i ) +ν u g (η 1/ i ) )dv g. ½º½¾µ ÆÓØ Ò Ó ÕÙ g (η 1/ i ) c η i 1 Ô Ö ØÓ Ó i = 1,...,K Ú Ó Ù Ð À Ð Ö Ó Ø ÑÓ ( ) ν g u 1 η ( 1)/ i u g (η 1/ i ) ¾ ( ) 1 ( )1 νc g u u. ½º½ µ ÆÓ Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ô Ó ÔÐ Ö Ù Ð ÓÙÒ Ñ ½º½ µ Ó Ù ÒØ ÑÓ Ó Ó a,b > 0 Ø Ñ¹ a 1 b 1 κa +c(κ)b, κ > 0 c(κ) = 1 κ 1. ÌÓÑ Ò Ó a = g u b = u Ù Ð Ñ ½º½ µ ØÓÖÒ ¹ ( ) ν g u 1 η ( 1)/ i u g (η 1/ i ) ( ) 1 νc κ g u +c(κ) u. ½º½ µ Ð Ñ Ó ÙÑ Ú Þ ÕÙ g (η 1/ i ) c Ø ÑÓ ν u g (η 1/ i ) νc u. ½º½ µ ÁÒØÖÓ ÙÞ Ò Ó ½º½ µ ½º½ µ Ñ ½º½¾µ ÑÓ g (η 1/ i u) η i g u +νc 1 κ g u +ν(cc(κ)+c ) u. Ó Ù Ø ØÙ ÖÑÓ ÐØ Ñ Ù Ð Ñ ½º½½µ Ó Ø ÑÓ ( u r ) r K [( (A(,)+ max {ε i}) r η i g u +νc 1 1 i K i=1 κ g u + ) ( ) ] + ν(cc(κ)+c ) u r η i u +. ½º½ µ Ù Ð À Ð Ö K a r i b i=1 + i ( K ) ( r K a i i=1 i=1 b i ) +

25 ¾ ÔÐ Ñ ½º½ µ ÓÖÒ ( u r (A(,)+ max {ε i}) (1+Kνc 1 1 i K κ) g u + )( ) + Kν(cc(κ)+c ) u u. ½º½ µ ÈÓÖØ ÒØÓ Óε > 0 ÓÐ ÑÓ max {ε i} > 0 ν > 0 κ > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ 1 i K ÑÓ Ó ÕÙ (A(, ) + max {ε i})(1+kνc 1 κ) A(,)+ε. 1 i K ØÓ ÔÓÖ ½º½ µ Ò Ö ÑÓ ÕÙ u r ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ º Ç ÖÚ ½º½ Ô ÖØ Ò Ñ Ó Ô Ó C 1 () [ ( ) ( )]( ) (A(,)+ε) g u +B ε u u, µ ÓÒ Ø ÒØ B ε ÕÙ ÙÖ Ò ØÙÖ Ð ÙÑ Ú Þ ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ µ Î ÑÓ ½º½ µ ÕÙ B ε + ÕÙ Ò Ó ε 0º ÈÓÖ Ò Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó Ò ÈÖÓÔÓ Ó ½º½ Ô ÖÑ Ò Ú Ð Ó ÒÓ Ô Ó H 1, ()º ÓÑ Ó ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú A B Ø ÕÙ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () Ú Ö ¹ u r Ñ ÕÙ 1 2 r = (+). [ ( ( )]( ) A g u )+B u u, ½º½ µ ÔÖ Ü Ñ ÔÖÓÔÓ Ó Ù Ø Ö ÕÙ A(,) ÙÑ ÓØ Ò Ö ÓÖ Ô Ö ÓÒ Ø ÒØ A ÕÙ Ú Ð Ñ ½º½ µº ÈÖÓÔÓ Ó ½º¾ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÓÑÔ Ø ÓÑ Ñ Ò Ó 2 ÓÒ Ö 1 < + º ÒØÓ A A(,) Ñ ½º½ µ ÓÒ A(,) Ò Ñ ½º µº ÑÓÒ ØÖ Ó Ü ÑÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ x 0 º Ó ε > 0 Ü Ø Ñ ÙÑ ÖØ ÜÔÓÒ Ò Ð (Ω,ϕ) Ñ x 0 δ = δ(x 0,ε) > 0 Ø ÕÙ ϕ(ω) = B(0;δ) R Ø Þ Ò Ó ½º µº Í Ò Ó Ù Ð Ñ ½º µ ÖÑ ÑÓ Ó Ù ÒØ ÖÑ Ó ½º½ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c(ε,δ) Ö Ò Ñ Ø Ö µ Ø Ð ÕÙ ( )( ũ r dx c(ε,δ)a ũ dx ũ dx R R R ) ½º½ µ

26 ¾ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ ũ Cc(B(0;δ))º 1 ØÓ ũ Cc(B(0;δ))º 1 Ò ÑÓ ÙÒÓ u : R ÔÓÒ Ó { ũ ϕ Ñ Ω, u = 0 Ñ \Ω. Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ È Ö ÙÒÓ u Ø ÑÓ R ũ r dx (1+ε) 2 u r. ½º¾¼µ ( u r A )( g u ) u } {{ } ½º¾½º½µ ( +B ÁÖ ÑÓ Ø Ñ Ö ½º¾½º½µ ½º¾½º¾µº ÓÑ ÑÓ ÓÑ ½º¾½º½µ ( g u )( )( ) u u. ½º¾½µ }{{} ½º¾½º¾µ ) ( )( ) u (1+ε) 2 (1+ε) ũ dx ũ dx. R R Ø Ñ ÑÓ ÓÖ ½º¾½º¾µº È Ö Ø Ñ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ù Ð À Ð Ö < rµ ( u )( ) ( ) u + (1+ε) 2 ũ r dx R ÎÓÐ(B(0;δ)). ÄÓ Ó ÒÚÓ Ò Ó ½º¾¼µ ½º¾½µ Ø Ñ Ø Ú ½º¾½º½µ ½º¾½º¾µ Ó Ø ÑÓ R ũ r dx A [ (1+ε) + 1 (1+ε) 2+ 2.B.ÎÓÐ(B(0;δ)) ] ( )( ũ dx ũ dx R R ). Ò ÑÓ ØÓ c(ε,δ) = [ (1+ε) + 1 (1+ε) 2+ 2.B.ÎÓÐ(B(0,δ)) ( )( ũ r dx c(ε,δ)a ũ dx ũ dx R R R ]. ) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ ũ Cc 1 (B(0;δ)) ÓÒÐÙ Ò Ó ÔÖÓÚ ÖÑ Ó ½º½º È ÑÓ ÓÖ Ô Ö Ó Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ðº Ü u C 1 c(r ) Ô Ö λ > 0 ÓÒ Ö ÑÓ u λ (x) = u(λx).

27 ¾ ÓÐ ÑÓ λ > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ô Ö ÕÙ Ø Ò ÑÓ u λ C 1 c(b(0;δ)) ÒØÓ B(0;δ) ( )( ) u λ r dx c(ε,δ)a u λ dx u λ dx, B(0;δ) B(0;δ) ½º¾¾µ Ñ ÓÖÖ Ò ÖÑ Ó ½º½º Ö Ó Ø ÓÖ Ñ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ñ ÒØ Ö Ø Ö ÑÓ Ù ÒØ Ù Ð µ µ µ B(0;δ) B(0;δ) ( B(0;δ) u λ r dx = λ R u r dx u λ dx = λ R u dx ) ( ) u λ dx = λ u dx º R Ê ÙÒ Ò Ó µ µ µ ½º¾¾µ ÑÓ ÓÑ ( )( ) u r dx c(ε,δ)a u dx u dx. R R R ÓÑÓ A(,) ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ù Ð ÅÓ Ö ÙÐ Ò Ú ÑÓ Ø Ö A(,) c(ε,δ)a. Þ Ò Ó ε 0 δ 0 Ú Ö ÑÓ ÕÙ c(ε,δ) 1 ÔÓÖØ ÒØÓ A A(,)º ½º Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ö ÈÖÓÔÓ Ó ½º½ Ü Ø Ñ ÓÒØ ÒØ ÔÓ Ø Ú C D Ø ÕÙ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () Ø Ñ¹ u r Ñ ÕÙ 1 2 r = (+) º ( )( ) C g u +D u u, ½º¾ µ ØÙ Ö ÑÓ ÙÑ Ò Ö Ð Þ Ó Ô Ö ½º¾ µº ÓÒ Ö ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ τ R Ø ¹ Þ Ò Ó 1 τ º Ë Ù Ö Ø Ñ ÒØ ½º¾ µ ÕÙ Ü Ø Ñ A,B > 0 Ø ÕÙ ( [ ( u r A g u +B ( Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º ] ( u u R (A,B)µ

28 ¾ Ç ÖÚ ½º¾ µ ÉÙ Ò Ó τ = Ñ R (A,B)µ Ö Ó Ø ÑÓ ½º¾ µº µ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ó ÓÑÓ Ò ÈÖÓÔÓ Ó ½º¾ ÓÒ Ø Ø ÑÓ ÕÙ A A(,) τ º È ÑÓ ÓÖ Ô Ö Ó ØÙ Ó Ù Ð Ø Ñ º Ò Ó ½º¾ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÒÓØ ÔÓÖ A ot Ò ÔÓÖ A ot = if{a R; Ü Ø B R ÓÑ ( R (A,B)) Ú Ð } Ù Ð ( R (A ot,b)) ÒÓÑ Ò ÔÖ Ñ Ö Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ Ò¹ Ò Ò Ø Ñ º ÓÑ Ò Ó Ñ Ó Ø Ñ µ Ç ÖÚ ½º¾ Ø ÑÓ A ot A(,) τ º ÂÙ Ø Ö ÑÓ ÕÙ Ú Ð A ot A(,) τ º ØÓ Ù ÈÖÓÔÓ Ó ½º½ ÕÙ Ó ε > 0 Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ C ε R Ø Ð ÕÙ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö u H 1, () ( [ ( u r (A(,) τ +ε) g u +Cε ( ] ( u u Ú Ð º ØÓ A(,) τ +ε Aot Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º Þ Ò Ó ε 0 Ó Ø ÑÓ A(,) τ Aot º ÈÓÖØ ÒØÓ A ot = A(,) τ. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÅÓ Ö ÙÐ Ò Ó Ò ÓÑ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÒÓ Ó τ = º ÓÑ Ú Ð ( R (A(,) τ +ε,cε )) Ò ÑÓ B ε = if{b R;( R (A(,) τ +ε,b)) Ú Ð }. ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÒÓ ÒÙÐ Ô ÖØ Ò Ñ H 1, () ÔÓ ÑÓ Ù Ø ØÙ ¹Ð Ñ ( R (A(,) τ +ε,cε )) Ö ÑÓ Ó Ø Ö B ε τ, ½º¾ µ ÓÒ ÒÓØ Ó ÚÓÐÙÑ (,g)º Í Ò Ó Ð Ñ Ø Ó Ñ ½º¾ µ ( R (A(,) τ +ε,bε )) ØÓ ( [ ( u r (A(,) τ +ε) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º Þ ÒØ Ò Ó ÓÒ Ö ÖÑÓ Ù Ð g u +Bε ( ] ( u u Ç ÖÚ ÑÓ ÓÖ ÕÙ (B ε ) ÑÓÒ ØÓÒ ÒÓ Ö ÒØ º ØÓ ÙÔÓÒ ÑÓ ε 1 < ε 2 º

29 Ë Ù Ò Ó B ε2 ÕÙ Ó λ > 0 Ü Ø u λ H 1, () Ø Ð ÕÙ ( [ ( u λ r > (A(,) τ +ε 2 ) ÓÖ Ù Ò Ó Ò Ó B ε1 Ø ÑÓ ( [ ( u λ r (A(,) τ +ε 1 ) ¾ ( ] ( g u λ +(Bε2 λ) u λ u λ. g u λ +Bε1 ( ÓÑ Ò Ò Ó Ù Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ ÒÓÒØÖ ÑÓ ] ( u λ ( ( (B ε2 λ B ε1 ) u λ < (ε1 ε 2 ) g u λ < 0, ÓÒ B ε1 > B ε2 λ Ô Ö ØÓ Ó λ > 0º Á ØÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ (B ε ) ÑÓÒ ØÓÒ ÒÓ Ö ÒØ º Ò ÑÓ B = lim ε 0 B ε. u λ. ÆÓ Ó ÔÖ Ò Ô Ð Ó Ø ÚÓ Ø Ó ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ B Ò ØÓº Ø Ó ÓÒØ Ó Ó ÒÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÓÑÔ Ø Ñ ÖÓÒØ Ö ÓÑ Ñ Ò¹ Ó 2º ÓÒ Ö ÑÓ > 1 r = (+) º Ë 1 τ mi{,2} ÒØÓ B < ( R (A(,) τ,b)) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º Ò Ò Ç Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ô ÖÑ Ø ÓÒ Ö ÖÑÓ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÅÓ Ö Ê Ñ Ò¹ B ot = if{b;( R (A(,) τ,b)) Ú Ð }. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ( R (A(,) τ,bot )) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º Ñ Ö ¹ ÑÓ ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÒÓ ÒÓ ÒÙÐ Ñ H 1, () ÕÙ Ø Þ Ù Ð Ñ ( R (A(,) τ,bot ))º ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ø Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º¾ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ÓÑÔ Ø Ñ ÖÓÒØ Ö ÓÑ Ñ Ò¹ Ó 2º ÓÒ Ö ÑÓ > 1 r = (+) º Ë 1 τ < mi{2,} ÒØÓ ( R (A(,) τ,bot )) Ñ Ø ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð B ot = Bº È Ö Ð Ø Ö ÓÑÔÖ Ò Ó ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ú Ö ÑÓ Ó Ö Ù¹ Ñ ÒØÓ Ñ ÕÙ ØÖÓ Ø Ô ¹ Ò Ù Ó ½º º½ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ò (u ε ) ÕÙ Ø Þ ÙÑ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹ Ä Ö Ò Ó Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ¹ Ò Ù Ó ½º º¾ Ù Ò Ó Ø Ò ÜÔÐÓ Ó ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ ÕÙ Ò (u ε ) ÓÒ ÒØÖ ¹ Ñ ØÓÖÒÓ Ó Ù ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ

30 ¾ ¹ Ò Ù Ó ½º º Ø Ñ ÑÓ Ú ÐÓ ÓÑ Ø ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö Ô Ö Þ ÖÓ ÔÓÒØÙ¹ ÐÑ ÒØ ¹ Ò Ù Ó ½º º ÑÓ ØÖ ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ ÕÙ (B ε ) Ð Ñ Ø º ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ ½º º½ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Î ÑÓ ÕÙ B ε τ Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º Ñ Ù ÔÓ Ð ÔÓ Ñ ÓÓÖÖ Ö º½µ B = τ ÓÙ º¾µ B > τ Ë º½µ ÓÓÖÖ Ö ÒØÓ B < + Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ø Ö ÔÖÓÚ Ó Þ Ò Ó ε 0 Ñ ( R (A(,) τ +ε,bε )µº ËÙÔÓÒ ÑÓ º¾µº ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÕÙ Ò (γ ε ) Ò Ñ ÖÓ Ö ÔÓ Ø ÚÓ Ø ¹ Þ Ò Ó B ε > τ +γ ε ÓÑ γ ε 0 ÕÙ Ò Ó ε 0º Ó Ö ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ù Ð ( R (A(,) τ + ε,bε ))º È Ö ØÓ Ò ÑÓ Ó Ô Ó Ó ÙÒ ÓÒ Ð J ε : H 1, () R ÔÓÒ Ó J ε (u) = [ A(,) τ ( H = {u H 1, (); u r = 1} ( ] g u +(Bε γ ε ) u ( u. È Ð Ò Ó B ε Ü Ø ÙÑ ÙÒÓ u 0 H Ø Ð ÕÙ J ε (u 0 ) < 1. Ë c ε = if u H J ε(u) < 1º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () Ø Ñ¹ c ε ( u r Jε (u). ½º¾ µ ÓÒ Ö ÑÓ (u ) ÙÑ ÕÙ Ò ÓÑ u H Ô Ö ØÓ Ó N Ø Ð ÕÙ J ε (u ) c ε ÕÙ Ò Ó + º Ë σ > 1 Ø Þ Ò Ó c ε < σc ε < 1º ØÓ ÓÑÓ J ε (u ) c ε Ø ÑÓ J ε (u ) < σc ε Ô Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò.

31 ÓÑ Ò Ò Ó Ø ÐØ ÑÓ ØÓ ÓÑ ( R (A(,) τ +λ,bλ )) Ô Ö λ > 0 ÒÓÒØÖ ÑÓ [ ( A(,) τ σc ε (A(,) τ +λ) ¼ ] ( g u [B λ (B ε γ ε )] u. ½º¾ µ È Ö λ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ A(,) τ σcε (A(,) τ +λ) > 0º Ð Ñ Ó Ò Ó < r Ù ÕÙ u c Ô Ö ØÓ Ó Nº Ñ Ñ ½º¾ µ Ú Ö ÑÓ ÕÙ g u c Ô Ö ØÓ Ó N ÓÒ (u ) Ð Ñ Ø Ñ H 1, ()º Ç Ô Ó H 1, () Ö Ü ÚÓ Ó ÕÙ Ö ÒØ ÕÙ Ü Ø ũ ε H 1, () Ø Þ Ò Ó u ũ ε Ñ ÒÓ Ù ÕÙ Ò º ÈÓÖ Ñ Ö Ó ÓÑÔ Ø Ó Ø ÑÓ u ũ ε Ñ L () L r (). ÓÑÓ 1 = u r ũ ε r Ù ÕÙ ũ ε Hº ÄÓ Ó J ε (ũ ε ) c ε º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ù Ð ÓÒØÖ Ö º ÓÑ ØÓ ÈÓÖØ ÒØÓ J ε (ũ ε ) = c ε º ÑÓ ÕÙ J ε (ũ ε ) limif J ε (u ) = lim J ε (u ) = c ε. ÆÓØ Ò Ó ÕÙ g ũ ε = ± g ũ ε Ñ ÕÙ ØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÙÑ Ö ũ ε 0º ÖÑ ¹ g ũ ε 0. ØÓ ÙÔÓÒ ÑÓ ÔÓÖ ÙÖ Ó ÕÙ ũ ε ÓÒ Ø ÒØ º ÓÑÓ ũ ε H Ø ÑÓ ũ ε = 1 r º Î ØÓ ÕÙ 1 > c ε = J ε (ũ ε ), Ö ÑÓ 1 > (B ε γ ε ) τ ÓÒØÖ Þ Ò Ó Ó ØÓ B ε γ ε > τ ÒÓ ÓÐ (γ ε )µº ÄÓ Ó ũ ε ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ º ÑÓ Ó Þ ÒØ Ó Ò ÖÑÓ ÙÒÓ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ v ε Ø Þ [ ( c ε = A(,) τ +(Bε γ ε ) v ε = ũ ε g ũ ε 0. ] v ε ( r ( g ũ ε dv 2 g v ε ( 1 = r ( g ũ ε dv 2 g v ε r.

32 ÂÙÒØ ÑÓ Ù ÐØ Ñ Ù Ð Ù Ò Ó Ó ØÓ c ε > 0 ÔÓ J ε (ũ ε ) = c ε ũ ε ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ Ó Ø ÑÓ A(,) τ ( ( = v ε r c ε Ò ÐÑ ÒØ Ò ÑÓ Ó ÙÒ ÓÒ Ð ( G ε (u) = u r ( ) τ ( v ε B ε γ ε v ε. c ε ) τ ( u B ε γ ε u. c ε ÈÓÖ ½º¾ µ Ø ÑÓ G ε (u) A(, c ε ÒÓ Ô Ó D = {u H 1, (); g u = 1}. ÓÑÓ G ε Ð C 1 v ε D c ε < 1 G ε (v ε ) = A(, Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ c ε ½ ν ε = sug ε (u) = G ε (v ε ) > A(,) τ. u D ½º¾ µ ÄÓ Ó v ε Ø Þ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò + v ε τ(+) r r v ε τ vε r 1 τ(+) v ε r v ε τ v 1 ε d ε v ε τ v 1 ε = ν ε,g v ε ½º¾ µ Ñ ÓÒ,g = div g ( g 2 g ) Ó ÓÔ Ö ÓÖ Ô¹Ä ÔÐ ÒÓ Ò Ñ ØÖ g d ε = Bε γε c ε º Î ÑÓ ÑÔÐ Ö ½º¾ µº ÓÐ ÑÓ u ε = v ε v ε r 0. Ñ Ö Ö Ú ÑÓ ½º¾ µ Ñ Ø ÖÑÓ u ε ÓÑÓ Ù + ur 1 ε = ν ε v ε τ r u ε τ,g u ε + u ε u 1 ε +d ε u ε τ u ε τ u 1 ε Ñ. ½º¾ µ Ò ÑÓ ( A ε = u ε ÓÑ ÒÓØ ÒØ Ö ÓÖ ½º¾ µ ØÓÖÒ ¹ ) λε = ν 1 ε u ε ( τ) v ε τ r. λ 1 ε A ε,g u ε +d ε A τ ε u ε τ u 1 ε + u ε u 1 ε = + ur 1 ε Ñ. ½º ¼µ ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ λ 1 ε A(,). ½º ½µ

33 ¾ ØÓ ØÓÑ Ò Ó v ε ÓÑÓ ÙÒÓ Ø Ø Ñ ½º¾ µ Ø ÑÓ ν ε v ε τ(+) r v ε τ. Í Ò Ó Ù Ð ½º¾ µ Ó ØÓ ÕÙ τ Ó Ø ÑÓ λ ε = νε 1 v ε (τ ) r ( v ε (τ ) v ε r τ = νε 1 v ε τ(+) r v ε τ τ ν τ ε A(,) 1, Ó ÕÙ ÔÖÓÚ ½º ½µº ÓÑÓ < r Ú Ù Ð À Ð Ö Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c > 0 Ø Ð ÕÙ 0 A ε c Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º ØÓ Ò Ð Ö ÑÓ Ù ØÙ ÔÓ Ú µ lim ε 0 A ε > 0 Ñ ÒÓ Ù ÕÙ Ò µ µ lim ε 0 A ε = 0 Ñ ÒÓ Ù ÕÙ Ò µº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ µ ÓÓÖÖ º ÓÐ ÑÓ u ε ÓÑÓ ÙÒÓ Ø Ø Ñ ½º ¼µ Ô Ö Ó Ø Ö 1 = λ 1 ε A ε g u ε +d εa τ ε u ε τ. ½º ¾µ ÓÑ Ó Ö Ú Ò Ó u ε τ Ñ Ø ÖÑÓ A ε Ø ÑÓ ( ) d ε A τ ε u ε τ 1 = d ε A τ + 2 ε. Ë Ù ÕÙ (d ε ) Ð Ñ Ø º ÓÑÓ B ε = c ε (B ε γ ε c ε )+γ ε = c ε d ε +γ ε Ô Ö ØÓ Ó ε > 0 ÓÑ γ ε 0 ÕÙ Ò Ó ε 0 c ε < 1 Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ (B ε ) Ð Ñ Ø º Ñ ÔÖÓÚ Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½º lim B ε = B < +, ε 0 ËÙÔÓÒ ÑÓ µº ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ Ò ÔÓ Ð Ô Ö ÕÙ Ø Ó ÓÒØ ÕÙ Ò Ó τ = mi{2,} Ò Ø ÓÒ Ø Ö ÑÓ B < + º Ç Ö ÙÑ ÒØÓ ÒÚÓÐÚ Ó Ò Ø ØÙ Ó Ñ Ð Óº Ñ Ö ÑÓ Ú ¹ÐÓ Ñ ØÖ Ø Ô ÓÒ Ø Ò Ó Ò Ù ½º º¾ ½º º ½º º º ( ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ØÓÑ Ò Ó ε = ε 0 Ñ ( R (A(,) τ +ε,bε )) Ü Ø B ε0 R Ø Ð ÕÙ [ u r (A(,) τ +ε0 ) ( g u +Bε0 ( ] u ( u

34 Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, ()º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö u ε Ø Ö ÑÓ ØÓ [ ( 1 (A(,) τ +ε0 ) g u ε +Bε0 ( ] u ε ( ( ) 1 B ε0 A τ + 2 ε (A A(,) τ ε g u ε +ε0 Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º ÍÑ Ú Þ ÕÙ lim ε 0 A ε = 0 Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ Ü Ø c > 0 Ø Ð ÕÙ A ε Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º Ú Ó ½º ¾µ ½º µ Ù ÕÙ u ε, g u ε c ½º µ λ 1 ε c ½º µ Ô Ö Ð ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c > 0 Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º ½º º¾ ÓÒ ÒØÖ Ó L r ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ ÙÑ ÒÑ ÒÓ ÜÔÐÓ Ó ÕÙ Ò (u ε ) Ñ ØÓÖÒÓ Ó Ù ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓº Ñ ½º ¼µ Ü Ó ε > 0 Ø ÑÓ g u ε 2 g u ε g ϕ c uε r 1 ϕ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ ϕ H 1, () ϕ 0 Ô Ö Ð ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c > 0º ½º µ ÔÐ Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ ÅÓ Ö Ô Ö Ó Ó Ú µ ÓÙ Ù Ð ÅÓÖÖ Ý Ô Ö Ó Ó > Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ u ε L () Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º ÓÑ Ó ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ø ÓÖ Ö ÙÐ Ö ÌÓÐ ÓÖ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ u ε C 1 () Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º Ë Ò Ó ÓÑÔ Ø Ü Ø x ε ÕÙ Ö Ð Þ Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓ u ε ØÓ u ε (x ε ) = u ε. ½º µ ÆÓ Ó Ó Ø ÚÓ ÙÖ ÒØ Ø Ù Ó ÑÓ ØÖ Ö ÖÑ Ó ½º¾ lim lim σ ε 0 + B(x ε;σa 2 ε ) u r ε = 1. ½º µ + ÓÑÓ Ø ÑÓ ÙÔÓÒ Ó µ Ø ÑÓ A 2 ε 0 ÕÙ Ò Ó ε 0º ÁÒ ÑÓ ÔÖÓÚ ÖÑ Ó ½º¾ ÓÑ ÙÑ Ö ÐÓÒ Ñ ÒØÓ ÙÒÓ u ε Ñ ØÖ

35 gº È Ö x B(0;σ) Ò ÑÓ + h ε (x) = g(ex xε (A 2 x)), 2 ϕ ε (x) = A 3 ε ε u ε (ex xε (A + 2 ε x)). ½º µ ÓÑ Ø ÑÙ Ò ½º ¼µ ØÓÖÒ ¹ ε,h ε ϕ ε +d ε A τ 1 ε u ε τ λ 1 Aε + ϕ 1 ε + ϕ 1 ε = + ϕr 1 ε Ñ B(0;σ). ½º µ Ñ ½º µ ÔÐ ÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ ÅÓ Ö Ó ÓÙ Ù Ð ÅÓÖÖ Ý Ô Ö > Ô Ö Ó Ø ÖÑÓ (+) A 2 ε u ε r = su ϕ r B(0; σ 2 ) ε c ϕ r ε dh ε = c B(0;σ) + B(x ε;σa 2 ε ) ÓÒ Ò ÐØ Ñ Ù Ð Ù ÑÓ ÕÙ u ε r = 1 Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º ÂÙÒØ ÑÓ ½º ¼µ ÓÑ Ó Ù ÒØ ØÓ 1 = ( u r ε u ε r u ε = u ε A 2 3 ε u r ε c, ) r, ½º ¼µ Ó Ø ÑÓ 2 1 u ε A 3 ε c ½º ½µ Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º Ì Ñ Ñ ÔÓÖ ½º ¼µ ½º ½µ Ø ÑÓ ϕ r ε dh ε c > 0 B(0,σ) ½º ¾µ Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º Î ÜÔ Ò Ó ÖØ Ò ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö B(0;σ) ϕ ε dx c ÓÖÑ Ñ Ð ÒØ ϕ ε dx c B(0;σ) B(0;σ) B(0;σ) ϕ ε dh ε = c hε ϕ ε dh ε = ca ε + B(x ε;σa 2 ε ) u ε u ε c. + B(x ε;σa 2 ε ) g u ε c, ÙÑ Ú Þ ÕÙ λ 1 ε A ε g u ε 1 ÔÓÖ ½º ¾µµ λ 1 ε A(,) ÓÒ ÓÖÑ ½º ½µµº ÓÑ Ù Ó ÖÚ ÒØ Ö ÓÖ ÙÑ ÔÖÓ Ó ÓÒ Ð ÒØÓÖ Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ Ü Ø ϕ W 1, (R ) Ø Ð ÕÙ ϕ ε ϕ Ñ W 1, loc (R ) Ô Ö Ð ÙÑ Ù ÕÙ Ò (ϕ ε )º Ñ Ô Ö σ > 0 ÔÓÖ

36 Ñ Ö Ó ÓÑÔ Ø ÓÒÚ Ö Ò dh ε dx Ñ Ñ µ Ø ÑÓ B(0;σ) ϕ r dx = lim ϕ ε 0 B(0;σ) r ε dh ε = lim + ε 0 B(x ε;σa 2 ε ) u r ε 1. Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ϕ L r (R ). ½º µ ÁÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ ÓÖ ÙÑ ÙÒÓ ÓÖØ º Ë η C 1 c(r) Ø Ð ÕÙ η = 1 Ñ [0, 1 2 ] η = 0 Ñ [1, ) 0 η 1º Ò ÑÓ η ε,σ (x) = η((σa ÓÑÓ ÙÒÓ Ø Ø Ñ ½º ¼µ ÑÓ + 2 ε ) 1 d g (x,x ε )) Ñ º ÓÐ Ò Ó u ε η ε,σ λ 1 ε A ε g u ε ηε,σ +λ 1 ε A ε g u ε 2 g u ε g (ηε,σ )u ε + u εηε,σ u ε ÖÑ ÑÓ ÕÙ ØÓ Ö ½º ¾µ ½º ½µ Ø ÑÓ + u r ε η ε,σ. ½º µ lim lima ε g u ε 2 g u ε g (ηε,σ)u ε = 0. ½º µ σ ε 0 A ε Ð Ñ Ó Ù Ò Ó ÕÙ g η ε,σ c A ε u ε gη ε,σ c c g u ε λ ε A(,) 1. + σa 2 ε A ε + σ Aε A ε + σ Aε c σ r r+ r Ù Ð À Ð Ö Ø ÑÓ + B(x ε;σa 2 ε ) (. u r ε ) r u ε ( + B(x ε;σa 2 ε ) ) 1 r 1 ÓÑ Ó Ó ØÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÐ Ò Ó ÒÓÚ Ñ ÒØ Ù Ð À Ð Ö Ø ÑÓ A ε g u ε 2 g u ε g (ηε,σ)u ε (A ε c σ r r+ r ) 1 g u ε, (A ε u ε g (η ε,σ) )1 ÓÒ Ø Ð Ó ½º µ ÕÙ r r + > 0º

37 ËÙ Ø ØÙ Ò Ó ½º ½µ ½º µ Ñ ½º µ ÔÓÖ ½º µ Ø ÑÓ ) (A(,) + lim lim A ε g u ε ηε,σ + σ ε 0 + lim lim u εηε,σ σ ε 0 u ε lim lim u σ ε 0 r εηε,σ. Î ÑÓ Ö Ö Ú Ö Ù Ð Ñ Ñ ÙÑ ÓÖÑ ØÓ ÕÙ Óº È Ö Ø ÒØÓ Ù Ò ¹ Ó ÙÒÓ η ε,σ ÕÙ u r ε η ε,σ u r ε ηr ε,σ ÓÖ ÔÓÖ Ñ Ö Ó ÓÑÔ Ø Ø ÑÓ B(x ε;σaε )\B(x ε;(σa 2 ε )/2) u r ε = lim lim u r εηε,σ r = lim lim u σ ε 0 σ ε 0 r εηε,σ. B(0,σ)\B(0;σ/2) ϕ r ε dh ε. ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö ) (A(,) + lim lim A ε g u ε η σ ε,σ + ε 0 + lim lim u εηε,σ σ ε 0 u ε lim lim u r σ ε ε 0 ηr ε,σ. ½º µ ( ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ô Ö κ > 0 B κ > 0 Ø Ð ÕÙ [ ( u r εηε,σdv r g (A(,) τ +κ) g (u ε η ε,σ ) +Bκ ( ] ( u εηε,σdv g u εη ε,σ ÓÑ B κ Ò Ô Ò ÒØ ε > 0º Ö Ò Ó A ε Ó Ù Ó Ù Ð ÓÙÒ Ó Ù Ó Ù Ð (x+y) x +cx 1 y +cy Ô Ö Ð ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c > 0 Ô Ö ÕÙ ÕÙ Ö x,y 0, Ø ÑÓ ( u r ε ηr ε,σ c ( A ε +(A(,) τ +κ) [(1+κ) g u ε ηε,σ +c(κ) u ε + ]τ ( u ε gη ε,σ u ε η ε,σ dv g. Ñ Þ Ò Ó ε 0 σ ÔÓÖ Ñ κ 0 Ù Ò Ó Ô Ø µ ½º µ Ó Ø ÑÓ ) lim lim u r ε σ ε 0 ηr ε,σ lim lim (A(,)A ε g u ε ηε,σ σ ε 0

38 ( lim lim u ε η ε,σ σ ε 0 u ε ). ½º µ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ ) X = lim lim (A(,)A ε g u ε η σ ε 0 ε,σ, Y = lim lim u ε η ε,σ σ ε 0 u ε Z = lim lim u σ ε 0 r ε ηr ε,σ. Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ X 1 ÔÓ Ú ÑÓ ÕÙ A ε g u ε A(,) 1 º Ì Ñ Ñ Ð Ö Ñ ÒØ Ø ÑÓ Y 1 Z 1º ÓÑ Ø ÒÓØ Ö Ö ÑÓ ½º µ ½º µ ÓÑÓ Ù X + Y Z + + Z XY. ½º µ ÈÓÖ ½º ¾µ Ú Ö ÑÓ ÕÙ Z > 0º ÓÑÓ Z XY X,Y 1 Ö ÒØ ÑÓ Ø Ñ Ñ ÕÙ X > 0 Y > 0º ÆÓ Ó Ó Ø ÚÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Z = 1º Î Ù Ð ÓÙÒ Ø ÑÓ X + Y + Z. Í Ò Ó ØÓ Ó ØÓ Z XY Ø Ö ÑÓ 1 X + Y 2 (+). ÓÑÓ 0 < X,Y 1 Ó Ø ÑÓ X = 1 Y = 1º ÈÓÖØ ÒØÓ Ö ØÓÖÒ Ò Ó ½º µ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Z = 1 Ó ÕÙ Ö ÒØ ½º µº ½º º Ø Ñ Ø Ú ÔÓÒØÙ Ð Æ Ø Ù Ó Ø Ñ Ö ÑÓ Ú ÐÓ ÓÑ ÕÙ ÕÙ Ò (u ε ) Ø Ò Þ ÖÓ ÔÓÒ¹ ØÙ ÐÑ ÒØ º ÈÖ Ñ ÒØ Ö ÑÓ ÔÖÓÚ Ö Ä Ñ ½º½ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c > 0 Ò Ô Ò ÒØ ε > 0 Ø Ð ÕÙ d g (x,x ε )u ε (x) ca 1 ε Ô Ö ØÓ Ó x ε > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓº ÑÓÒ ØÖ Ó ËÙÔÓÒ ÔÓÖ ÙÖ Ó ÕÙ Ü Ø y ε Ø Ð ÕÙ f ε (y ε ) + ÕÙ Ò Ó ε 0 Ò Ó f ε (x) = d g (x ε,x)u ε (x) A 1 ε.

39 ÓÑÓ ÓÑÔ Ø ÙÑ Ö ÑÓ Ñ Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ f ε (y ε ) = f ε º Ë Ù ½º ½µ ÕÙ ( ) uε (y ε ) f ε (y ε ) dg (x ε,y ε ) u ε (+) 2 u ε ÓÑÓ f ε (y ε ) + ÕÙ Ò Ó ε 0 Ø ÑÓ d g (x ε,y ε ) u ε (+) 2, (+) d g (x ε,y ε ) u ε 2 + ÕÙ Ò Ó ε 0. ½º µ Ó σ > 0 ε (0,1) ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ B(y ε ;εd g (x ε,y ε )) B(x ε ;σ u ε (+) 2 L () ) = ½º ¼µ Ô Ö ε > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓº Ø ØÓ Ù Ö d g (x ε,y ε ) σ u ε (+) 2 +εd g (x ε,y ε ) Ô Ö ε > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ σ > 0 Ü Óº ØÓ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ d g (x ε,y ε ) σ u ε (+) 2 +εd g (x ε,y ε ) d g (x ε,y ε ) u ε (+) 2 σ 1 ε σ. (+) ÓÑÓ d g (x ε,y ε ) u ε 2 Ø Ø ÔÓÖØ ÒØÓ ½º ¼µ Ø ÔÖÓÚ Óº + ÕÙ Ò Ó ε 0 ÐØ Ñ Ù Ð Ñ Ð Ö Ñ ÒØ ÖÑ ÑÓ ÓÖ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ c > 0 Ø Ð ÕÙ u ε (x) cu ε (y ε ) ½º ½µ Ô Ö ØÓ Ó x B(y ε ;εd g (x ε,y ε )) ε > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓº ØÓ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ Ô Ö x B(y ε ;εd g (x ε,y ε )) Ø ÑÓ d g (x,x ε ) d g (x ε,y ε ) d g (x,y ε ) (1 ε)d g (x ε,y ε ). ÓÑ Ó d g (y ε,x ε )u ε (y ε ) A 1 ε = f ε (y ε ) f ε (x) = d g (x,x ε )u ε (x) A 1 ε (1 ε)d g (y ε,x ε )u ε (x) A 1 ε, Ñ u ε (x) ( ) 1 uε (y ε ). 1 ε ÌÓÑ Ò Ó ε > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓ Ö ÒØ ÑÓ ½º ½µº

40 Ë ÑÓ ÕÙ d g (x ε,y ε )u ε (y ε ) A 1 ε + ÕÙ Ò Ó ε 0º u ε (y ε ) A 1 ε 0 ÕÙ Ò Ó ε 0, ÔÓ ÓÑÔ Ø º ÑÓ Ó Þ ÒØ Ó Ò ÖÑÓ Ó Ù ÒØ Ö ÐÓÒ Ñ ÒØÓ h ε (x) = g(ex yε (A 1 ε u ε (y ε ) x)), ψ ε (x) = u ε (y ε ) 1 u ε (ex yε (A 1 ε u ε (y ε ) x)) ½º ¾µ Ô Ö ØÓ Ó x B(0;2)º λ 1 ÑÙ Ò Ñ ½º ¾µ Ô ÖÑ Ø ¹ÒÓ Ö Ú Ö ½º ¼µ ÓÑÓ Ù τ ε,h ε ψ ε +d ε Aε u ε τ u ε (y ε ) r ψε 1 Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö B(0;2) + u ε u ε(y ε ) r ψε 1 = + ψr 1 ε Ñ B(0;2). ½º µ hε ψ ε 2 hε ψ ε hε φ dh ε c ψε r 1 φ dh ε B(0;2) Ô Ö ØÓ ÙÒÓ Ø Ø φ C 1 c(b(0,2)) ÓÑ φ 0º ÓÑ Ó Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ( 1 su ψε r c ψ r B(0; 1 4 ) B(0; 1 2 ) ε dv h ε = c Aε u ε (y ε ) c ( ) 2 uε u ε (y ε ) B(y ε; 1 1 u r 2 A ε u ε(y ε) ) ε, 2 ) 1 B(y ε; 1 1 u r 2 A ε u ε(y ε) ) ε ÓÒ ÔÐ ÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ ÅÓ Ö ÓÙ Ù Ð ÅÓÖÖ Ý Ó > Ø Ñ Ñ ½º ½µº ÄÓ Ó ÑÓ 0 < c m 2 ε B(y ε; 1 1 u r 2 A ε u ε(y ε) ) ε, ½º µ Ñ ÕÙ m ε = u ε u ε (y ε ) º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ B(y ε ; 1 2 A 1 ε u ε (y ε ) ) B(y ε ;εd(x ε,y ε )) Ô Ö ε > 0 Ù ÒØ Ñ ÒØ Ô ÕÙ ÒÓº Ø ÒÐÙ Ó ÓÖÖ Ö Ø Ñ ÒØ Ô Ø ÓÒØÖ Óº ÖÑ ÑÓ ÕÙ B(y ε; 1 2 A 1 ε u ε(y ε) ) u r ε 0 ÕÙ Ò Ó ε 0º ØÓ Ñ Ú Ø ÒÐÙ Ó ÒØ Ö ÓÖ ½º ¼µ Ø ÑÓ 0 1 B(y ε;aε u ε(y ε) ) u r ε B(y ε;εd g(x ε,y ε)) u r ε 1 B(x (+) ε,σ u ε 2 ) u r ε. ½º µ

41 Î ½º ½µ Ô Ö ØÓ Ó σ > 0 Ø ÑÓ B(x ε,σ u ε (+) 2 ÓÒ Ø ÒØ º Ñ 0 1 B(y ε;aε u ε(y ε) ) u r ε 1 ¼ + ) B(x ε, σ c A 2 ε ) Ñ ÕÙ c > 0 ÙÑ + B(x ε; σ c A 2 ε ) u r ε, ÓÒ Ó Ø ÑÓ ½º µ Þ Ò Ó ε 0 σ + Ù Ò Ó ÖÑ Ó ½º¾º ÄÓ Ó ÔÓÖ ½º µ Ø ÑÓ lim m ε = +. ε 0 ÆÓ Ó Ó Ø ÚÓ ÓÒ Ø Ö Ñ ÒÓÒØÖ Ö ÙÑ ÓÒØÖ Ó ÓÑ ½º µº ÁÒ ÐÑ ÒØ ½º ½µ ½º ½µ Ó Ø ÑÓ m 2 ε u Dε rε c m 2 ε u ε r 1 L (D (A ε) ε u ε (y ε ) ) c m 2 ε u ε (y ε ) r 1 (Aε u ε (y ε ) ) c, ½º µ 1 Ñ ÕÙ D ε = B(y ε ;Aε u ε (y ε ) )º ÁÒØÖÓ ÙÞ ÑÓ ÙÑ ÙÒÓ ÓÖØ η Cc 1(R) ÕÙ Ø Þ η = 1 Ñ [0, 1 2 ] η = 0 Ñ [1,+ ) 0 η 1º Ò ÑÓ η ε (x) = η(a 1 ε u ε (y ε ) d g (x,x ε ))º ÔÐ Ò Ó u ε ηε ÓÑÓ ÙÒÓ Ø Ø Ñ ½º ¼µ ÒÓÒØÖ ÑÓ λ 1 ε A ε g u ε η ε +λ 1 ε A ε g u ε 2 u ε η 1 ε + u εηε = + u ε Î Ù Ð À Ð Ö ÓÙÒ Ó Ø ÑÓ ÓÑ δ > 0º Ð Ñ Ó Ø ÑÓ A ε τ g u ε g η ε +d ε A u r εη ε. ε u ε τ u εη ε + ½º µ g u ε 1 ηε 1 u ε g η ε δ g u ε ηε +c(δ) g η ε u ε ½º µ g η ε u ε ca ε (A 1 ε u ε (y ε ) ) u ε cu ε (y ε ) 2 D ε + 1 (A ÓÒ ÙØ Ð Þ ÑÓ ½º ½µ D ε B(y ε ;εd g (x ε,y ε )) ½º ½µ Ò Ó m ε º Ø Ñ Ø Ú ε u ε (y ε ) ) cm ε, ½º µ Ö Ù Ð ½º µ ½º µ ½º µ Ù Ø ØÙ Ñ ½º µ Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ù ÒØ A ε g u ε ηε τ dv g +cd ε Aε u ε τ u ε η ε dv g +c u εηε dv g cm 2 u ε. ½º ¼µ ε Ù Ð ÅÓ Ö Ê Ñ ÒÒ Ò ½º½ µ ÔÖÓ ÙÞ B(y ε; 1 2 A 1 ε u ε(y ε) ) u r ε ( )( ) (u ε ηε )r c g u ε ηε (u ε ηε ) + 2 ( )( ) ( )( ) +c g η ε u ε (u ε ηε ) +c (u ε ηε ) (u ε η ε ). ½º ½µ

42 Ú Ó ½º µ ½º ¼µ Ù Ò Ó Ò Ó A ε ÔÓ ÑÓ Ø Ñ Ö Ô Ö Ð Ó Ñ Ñ ÖÓ Ö ØÓ ½º ½µ ÓÑÓ Ù g u ε η ε ( (u ε η ε) ) Aε ( ) g η ε u ε (u ε ηε ) Aε Ö ÒØ Ò Ó Ø Ù Ø Ñ Ø Ú Ö ÑÓ Ø Ñ Ö Ô Ö Ð ( ( g u ε ηε dv u εη ) ε dv g g 2 cm (1+ ) ε u ε ( g η ε u ε dv u εη ) ε dv g g 2 cm (1+ ) ε. )( ) (u ε ηε) (u ε ηε). u ε ½ Ô Ø µ ÓÖÒ Ò Ó τ Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ A ε u ε 0 ÕÙ Ò Ó ε 0, τ Aε u ε τ = (A ε u ε dv g Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º ÓÑ Ó ½º ¼µ ÓÑÓ d ε > τ ÑÓ ØÓ (u ε η ε) ( (u ε η ε) ) Aε > c > 0 ( u εηε dv u εηε g u ε Ø ØÖ ÐØ Ñ Ø Ñ Ø Ú Ù Ø ØÙ Ñ ½º ½µ Ö ÙÐØ Ñ Ñ ÓÑÓ m ε + Ø ÑÓ B(y ε; 1 2 A 1 ε u ε(y ε) ) m 2 ε B(y ε; A ε u ε(y ε) ) 2 u r ε cm (1+ ) ε, u r ε cm 3 ε 2. m 2 ε B(y ε; 1 1 u r 2 A ε u ε 0 ε(y ε) ) ÕÙ Ò Ó ε 0 Ó ÕÙ ÓÒØÖ Þ ½º µº Á ØÓ ÔÖÓÚ Ó Ä Ñ ½º½º ) cm 2 (1+ ) ε. ½º º Ç Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ð Æ Ø Ù Ó ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ (B ε ) Ð Ñ Ø º Ê Ð Þ Ö ÑÓ Ú Ö Ø Ñ Ø Ú Ù Ò Ó Ø Ñ Ø Ú ÔÓÒØÙ Ð ÕÙ Ò (u ε )º ÒÚ Ö Ò Ð Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ù¹ Ñ Ö ÑÓ ÕÙ Ó Ö Ó Ò Ø Ú Ñ ÓÖ Ó ÕÙ ½º

43 Ë η C 1 c(r) ÙÑ ÙÒÓ ÓÖØ ÓÑÓ Ò Ò Ù ÐØ Ñ Ù º Ò ÑÓ η ε (x) = η(d g (x,x ε ))º Î Ù Ð ( E (A(,))) Ó Ø ÑÓ B(0;1) ( ) u r ε (ex x ε (x))ηε r (ex x ε (x)) dx A(,) (u ε (ex xε (x))η ε (ex xε (x))) dx B(0;1) ( ) u ε (ex x ε (x))ηε (ex x ε (x)) dx. B(0;1) ÜÔ Ò Ò Ó Ñ ØÖ g Ñ ÓÓÖ Ò ÒÓÖÑ Ñ ØÓÖÒÓ x ε ÐÓ ÐÑ ÒØ Ø ÑÓ ¾ (1 cd g (x,x ε ) 2 ) dx (1+cd g (x,x ε ) 2 ) ½º ¾µ (u ε (ex xε (x))η ε (ex xε )(x)) g (u ε η ε ) (1+cd g (x,x ε ) 2 ). ½º µ Í Ò Ó Ø ÜÔ Ò Ö ÑÓ Ó Ø Ö B(0;1) ( A ε A(,) g (u ε η ε ) +ca ε u r ε (ex x ε (x))η r ε (ex x ε (x)) dx ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ù Ò Ó ½º ¾µ ½º ½µ Ó Ø ÑÓ A(,) A ε ÓÑ Ø ØÓ ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ Ù Ð ) ( g (u ε η ε ) d g (x,x ε ) 2 B(0;1) dv u ε η ε dx ) g. u ε ½º µ g u ε 1 d ε ( A ε u ε. g (u ε η ε ) g u ε η ε +c η ε g u ε 1 u ε g η ε +c u ε g η ε Ò Ó η ε Ö Ö Ú ÑÓ ½º µ ÓÑÓ ÜÓ B(0;1) u r ε (ex x ε (x))η r ε (ex x ε (x)) dx [1 d ε (A ε u ε + ÓÒ +cf ε +cg ε +ca ε B(x ε;1)\b(x ε; 12 ) u ε F ε = A ε G ε = A ε ]( B(0;1) u ε(ex xε (x))η ε(ex xε (x)) dx u ε g u ε η ε d g(x,x ε ) 2 g u ε 1 η 1 ε u ε g η ε. ), ½º µ

44 Î ÑÓ Ø Ñ ÖF ε G ε º ÓÑ Ö ÑÓ ÔÓÖG ε º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ò Ó η ε ÔÐ Ò Ó Ù Ð À Ð Ö ÓÙÒ ÒÓÒØÖ ÑÓ G ε κ A ε g u ε η εd g (x,x ε ) 2 +c(κ) A ε B(x ε;1)\b(x ε; 12 ) u ε κ F ε +c(κ)a ε B(x ε;1) Ñ ÕÙ 0 < κ < 1º ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ø Ñ Ø Ú ÜÔÖ Ó A ε u ε, g u ε 1 η εu ε d g (x,x ε ) Ö Ø Ð Ô Ö Ø Ñ ÖÑÓ F ε º Ö ÑÓ Ó ÓÖ ÓÒ Ö Ò Ó Ó Ó ÔÓ Ú µ 1 < 2 Ù ÑÓ Ù Ð À Ð Ö ÓÙÒ Ô Ö Ó Ø Ö A ε ) 1 g u ε 1 ηεu ε d g (x,x ε ) (A ε g u ε ηεd g (x,x ε ) 1 (A ε B(x ε;1) κf ε +c(κ)a ε B(x ε,1) u ε. µ Ô Ö > 2 ÔÐ ÑÓ Ù Ð À Ð Ö ÓÙÒ Ù ÑÓ Ó ØÓ ÕÙ Ô Ö ÖÑÓ ÓÑ A ε A ε g u ε 1 η ε u εd g (x,x ε ) A ε g u ε c η 2 ε g u ε 2d g (x,x ε )u ε g u ε 2 2 ½º µ u εη ε )1 ½º µ A ε ( [ )1 ( ηε g u ε d g (x,x ε ) 2 2 )2 κf ε +c(κ) (A ε u ε dv g. )2 ( ] ) u ε g u ε ½º µ ÓÐ Ò Ó u ε d 2 g η ε ÓÑÓ ÙÒÓ Ø Ø Ñ ½º ¼µ Ó Ø ÑÓ F ε c u r εd g (x,x ε ) 2 +ca ε g u ε 1 ηεu ε d g (x,x ε ) +cg ε. B(x ε;1) Ñ ÔÓÖ ½º µ ½º µ Ø ÑÓ F ε c u r εd g (x,x ε ) 2 +c(κ)a ε u ε B(x ε;1) B(x ε;1) ½º µ

45 Ô Ö 1 < 2º ÆÓ Ó Ñ ÕÙ > 2 Ù ÑÓ ½º µ ½º µ ÔÖÓ ÙÞ ÑÓ )2 F ε c u r εd g (x,x ε ) 2 +c(κ) (A ε u ε. B(x ε;1) ½º ¼µ ÓÖ Ù Ò Ó ½º ¾µ Ù ÕÙ ( B(0;1) u r ε(ex xε (x))ηε(ex r xε (x)) dx u r εηε r c u r εηεd r g (x,x ε ) 2 1 c u r ε c u r ε ηr ε d g(x,x ε ) 2 \B(x ε;1) B(0;1) u ε(ex xε (x))ηε(ex xε (x)) dx u ε ( ) +c u εηε dv g u ε ) ( u εηε +c u εηεd g (x,x ε ) 2 dv g u εη εd g (x,x ε ) 2 u ε 1+c u ε u εη εd g (x,x ε ) 2 u ε, Ñ ÕÙ Ò Ô Ò ÐØ Ñ Ù Ð Ñ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Óº ÆÓÚ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ ÑÓ u ε η εd g (x,x ε ) 2 ÓÑÓ ÙÒÓ Ø Ø Ñ ½º ¼µ Ô Ö Ó Ø Ö u εηεd g (x,x ε ) 2 c u ε B(x ε;1) u r εη εd g (x ε,x) 2 +cf ε. ØÖ ÐØ Ñ Ø Ñ Ø Ú ÙÒØ Ñ ÒØ ÓÑ ½º µ ÔÐ Ñ ½º µ ÓÖÒ Ñ ) ca ε d ε ( A ε u ε u ε +cf ε +c u r εηεd g (x,x ε ) 2 +c u r ε. \B(x ε;1) ½º ½µ Î ÑÓ Ò Ð Ö Ù ØÙ µ ÙÔÓÒ ÑÓ 1 < 2º Ö Ø Ñ Ø Ú ÔÓÒØÙ Ð Ä Ñ ½º½µ Ò Ó r ÒÓÒØÖ ÑÓ u r ε η ε d g(x,x ε ) 2 u r ε d g (x,x ε ) u ε ca ε u ε \B(x ε;1) u r ε u r ε d g (x,x ε ) u ε ca ε u ε. Úµ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ > 2º Ö ÒØ Ö u r ε η ε d g(x,x ε ) 2 2 caε r( 2)+2 uε Í ÑÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ Ó Ä Ñ ½º½ Ù Ð À Ð Ö Ô Ö u r ε d g(x,x ε ) 2 = 2(r ) uε ( )2 ( ) 2 2 caε u ε u r ε d g (x,x ε ) 2 r( 2)+2 u ε )2 = c (A ε u ε

46 \B(x ε;1) u r ε )2 u r εd g (x,x ε ) 2 c (A ε u ε. Ò ÐÑ ÒØ 1 < 2 ÒØÓ τ < B ε γ ε < B ε γ ε c ε ) τ = d ε c (A ε u ε dv g, ½º ¾µ ÓÒ Ù ÑÓ Ò Ó (γ ε ) Ù Ø ØÙ ÑÓ ½º µ µ Ñ ½º ½µº ÓÖ ÕÙ Ò Ó > 2 ÔÐ ÑÓ ½º ¼µ Úµ Ñ ½º ½µ Ô Ö ÖÑÓ ÓÑ )2 τ τ < dε c (A ε u ε. ½º µ Î ÑÓ Ò Ð Ö ½º ¾µ ½º µº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ τ < mi{2,} Ø Ö ÑÓ ÙÑ ÓÒØÖ Ó ÕÙ Ò Ó ε 0º ÒØÓ Ô Ø µ ÒÓ ÓÓÖÖ Ó ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ µ Ú Ö ÓÑÓ Ú ÑÓ Ò Ø ØÙ Ó B < + º ÉÙ Ò Ó τ = mi{2,} ÒØÓ Ð Ñ Ø Ó (d ε ) Ù ½º ¾µ ÓÙ ½º µ ÔÓÖØ ÒØÓ (B ε ) Ð Ñ Ø º ØÓ B < + Ò ÖÖ Ò Ó ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½º ½º º Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð Æ Ø Ù Ó ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º¾ ØÓ ÓÑ Ñ Ñ Ô Ø Ó Ö Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò (,g) Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÓÒ Ö Ò Ó 1 < τ < mi{2,} ÒØÓ ( R (A(,) τ,b ot )) Ñ Ø ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð B ot = Bº Ä Ñ Ö ÑÓ ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÕÙ B τ º ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ Ø Ú ÖÑÓ B = τ ÒØÓ ÔÓÖ ÙÑ ÐÙÐÓ Ö ØÓ Ú Ö ÑÓ ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ó ÜØÖ Ñ Ô Ö ( R (A(,) τ,b))º ËÙÔÓÒ ÑÓ B > τ º ÑÓ Ó ÓÒ Ó º¾µ Ú Ô Ò ¾ µ Ø Ø º Í Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ö Ó Ò Ó ÒØÖÓ ÙÞ Ó Ò Ù Ó ½º º½ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ò (u ε ) ÕÙ Ø Þ ½º ¾µ ÓÙ ½º µº ÓÑÓ ÔÓÖ Ô Ø τ < mi{2,} Ö ÒØ ÑÓ ÕÙ ÓÒ Ó µ ÓÓÖÖ ÓÙ lim A ε > 0. ε 0 Ñ Ù ØÓÑ Ò Ó u ε ÓÑÓ ÙÒÓ Ø Ø Ñ ½º ¼µ Ù Ò Ó Ó ØÓ ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÑÓ ( g u ε + u ε dv g c Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º ØÓ (u ε ) Ð Ñ Ø Ñ H 1, ()º ÄÓ Ó Ü Ø u 0 H 1, () Ø Ð ÕÙ Ñ ÒÓ Ù ÕÙ Ò u ε u 0 Ñ H 1, ()º ÓÑÓ u ε r = 1 Ô Ö ØÓ Ó ε > 0 ÔÓÖ Ñ Ö Ó ÓÑÔ Ø Ø ÑÓ u 0 r = 1 ÑÓ ØÖ Ò Ó ÕÙ u 0 ÙÑ ÙÒÓ ÒÓ ÒÙÐ º ÆÓÚ Ñ ÒØ ÔÓÖ ½º ¼µ Ø ÑÓ g u ε 2 g u ε g h c uε r 1 h Ô Ö ØÓ ÙÒÓ Ø Ø h 0º ÒØÓ Ù Ó Ñ ØÓ Ó Ø Ö Ø ÚÓ ÅÓ Ö µ ÓÙ Ù Ð

47 ÅÓÖÖ Ý Ó > µ ÕÙ su u ε c x Ô Ö ØÓ Ó ε > 0º Î ØÓ ÕÙ u ε L () ÔÓ ÑÓ ÔÐ Ö Ø ÓÖ Ö ÙÐ Ö ÌÓÐ ÓÖ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÕÙ u ε u 0 Ò C 1 ()º ( ÙÒÓ v ε ÓÑÓ Ò Ò Ù Ó ½º º½µ Ø Þ [ vε r A(,) τ ( ÙÑ Ú Þ ÕÙ G ε (v ε ) > A(,) τ cε < 1º Ë Ò Ó u ε = vε v ε r Ø ÑÓ 1 [ A(,) τ ( ( ] ( g v ε +(Bε γ ε ) vε v ε, ( ] ( g u ε +(Bε γ ε ) u ε u ε. ÔÐ Ò Ó Ó Ð Ñ Ø ÓÑ ε 0 Ò Ø ÐØ Ñ Ù Ð ÒÓÒØÖ ÑÓ 1 [ A(,) τ ( g u 0 +B ( u 0 ] ( u 0 ÑÓÒ ØÖ Ò Ó ÕÙ u 0 ÙÑ ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð Ô Ö ( R (A(,) τ,b)) B = B ot º,

48 Ô ØÙÐÓ ¾ ËÁ Í Ä ¹ ÆÌÊÇÈÁ ÊÁ Å ÆÆÁ Æ ÌÁÅ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó Ñ Ò Ó 2º ÓÒ Ö ÑÓ > 1 ÙÑ Ô ÖÑ ØÖÓ τ R Ø Þ Ò Ó 1 τ º ÆÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ø ÚÓ ÙÖ ÒØ Ø Ô ØÙÐÓ Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ü Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØ A B ÔÓ Ø Ú Ø ÕÙ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ u log( u ) ( ] [A τ log g u +B Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u = 1º Ä µµ Ç ÒÓ Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ó Ò Ú Ð Ù Ð Æ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ½ ÕÙ Ø Ð Ó Ù ÒØ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ( ) τ [ ( ( ] ( ) τ(1 θ) u θ N(,q ) τ g u +B(,q ) u u q q θ ¾º½µ Ú Ð Ñ ÕÙ θ = ( q ) q q + q = 1 N N(,q ) τ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ù Ð B(,q ) ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ º Î Ö ÑÓ ÕÙ Ä µµ Ö Ó Ø Ô ÖØ Ö Ù Ð Æ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ º Ç ÔÓÒØÓ Ú ÓÒ Ø Ö Ñ ØÙ Ö Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ N(,q ) B(,q ) ÕÙ Ò Ó Þ ÑÓ + º Æ Ù Ó ¾º½ Ú Ö Ö ÑÓ ÕÙ lim N(,q ) = A 0 (), + ÓÒ A 0 () ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÙÐ Ò Ù Ð ÒØÖÓÔ R u log( u ) dx log Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u W 1, (R ) ÓÑ u = 1º ( ) A 0 () u dx R Ç Ö ÙÑ ÒØÓ Ð Ó Ö Ò Ö Ó ØÙ Ó Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ B(,q ) ÕÙ Ò Ó + º

49 Å ÔÖ Ñ ÒØ Ö ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ñ ÒÓ Ù ÕÙ Ò Ø Ö ÑÓ ØÓ ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ó B() := lim + B(,q ) < +, Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó ÓÑ Ñ Ò Ó 2º ÓÒ Ö ÑÓ 1 τ mi{2,} B(,q ) ÓÑÓ Ñ ¾º½µº È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö > 1 B() < + º Ô ÖØ Ö Ø Ø ÓÖ Ñ Ó Ø ÑÓ Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ¾º½ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò u log( u ) τ log [A 0 () τ Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÕÙ Ø Þ u = 1º ( g u +B() ] Ö Ó ÓÖÓÐ Ö Ó ¾º½ ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ò Ó ¾º½ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ê Ñ ÒÒ Ò Ô¹ ÒØÖÓÔ A(,τ) = if{a R; Ü Ø B R ÓÑ (L(A,B)) Ú Ð }. Ò Ó ¾º¾ ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ô¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ÖÑ ÕÙ Ü Ø B R Ø Ð ÕÙ Ô Ö ØÓ u H 1, () ÓÑ u = 1 Ú Ð º u log( u ) ( ] [A(,τ) τ log g u +B Ç ÖÚ ¾º½ µ A(,τ) A 0 () τ µ Ñ ÔÖ Ò Ô Ó ÔÓ ÒÓ Ü Ø Ö Bº Ñ Ó Ù Ð Ñ Ö Ú Ö Ö Þ ÒØ Ó ÓÒ Ö ÖÑÓ Ò Ó ¾º ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ê Ñ ÒÒ Ò Ô¹ ÒØÖÓÔ B(,τ) = if{b R : (L(A(,τ),B)) Ú Ð }. Ò Ó ¾º ÙÒ Ù Ð Ô¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ø Ð ÕÙ u log( u ) ( ] [A(,τ) τ log g u +B(,τ) Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u H 1, () ÓÑ u = 1. Ú Ð ÙÒ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ó Ø ÒÓ

50 Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó ÓÑ Ñ Ò Ó 2º ÓÒ Ö ÑÓ > 1 1 τ mi{2,}º ÒØÓ ÙÒ Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ Ú Ð º Ð Ñ Ó A(,τ) = A 0 () τ. Ò Ó ¾º ÍÑ ÙÒÓ u 0 H 1, () ÓÑ u 0 = 1 Ø ÙÑ ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð ÕÙ Ò Ó u 0 log( u 0 ) = τ log [A 0 () τ ( g u 0 +B(,τ) ]. Æ Ó ¾º ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ Ü Ø Ò ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð Ô Ö Ù Ð ¹ ÒØÖÓÔ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ØÓ ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º Ë (,g) ÙÑ Ú Ö Ê Ñ ÒÒ Ò Ù Ú ÓÑÔ Ø Ñ ÓÖ Ó ÓÑ Ñ Ò¹ Ó 2º ÓÒ Ö ÑÓ > 1 1 τ < mi{2,} ÓÙ τ = < 2º ÒØÓ Ù Ð (L(A 0 () τ,b(,τ))) Ñ Ø ÙÒÓ ÜØÖ Ñ Ð B(,τ) = B()º Ò Ð Þ Ö ÑÓ Ø Ô ØÙÐÓ ÔÖ ÒØ Ò Ó ÙÑ ÔÐ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º Î Ö Ö ÑÓ ÕÙ Ó Ñ ÖÙÔÓ Ó Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ { u t = (u 1 1) Ñ ÕÙ (x,t) (0,+ ), u(,0) = f Ô Ö Ð ÙÑ Ó Ò Ð f L 1 (), f 0 Ô ÖÓÒØÖ Ø ÚÓº ¾º½ Ê Ð Ó ÒØÖ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÙÐ ¹ Ò Æ ÒØÖÓÔ Ù Ð Æ ÙÐ Ò Ø Ñ Ø Ð ÕÙ ( ) 1 ( )( u θ dx N(,q ) u dx u q dx R R R ) (1 θ ) θ q Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C c (R ) ÓÑ θ = ( q ) q q + q = 1 > 1 N N(,q ) ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Ø Ù Ð º ÒØÖÓÔ ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÓÑÓ Ñ Ò ÓÒ ÑÓ A 0 () ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÙÐ Ò Ù Ð R u log( u ) dx log Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u W 1, (R ) ÓÑ u = 1º ( ) A 0 () u dx R Ø ÓÒ Ø ÒØ ØÓ ÒØ Ñ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ô Ð Ù ÒØ

51 ¼ ÈÖÓÔÓ Ó ¾º½ È Ö > 1 q 1 Ú Ð lim N(,q ) = A 0 (). + ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÖ Ñ ÖÓ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ (N(,q )) ÑÓÒ ØÓÒ ÒÓ Ö ÒØ Ñ N Ô Ö > 1 Ü Ó ØÓ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÕÙ Ó 1, 2 N ÓÑ 1 < 2 Ø ÑÓ N(,q 1 ) N(,q 2 )º ØÓ u C c (R )º Î Ù Ð ÒØ ÖÔÓÐ Ó q 1 < q 2 < µ ( R u q 2 dx ) 1 ( q 2 R u q 1 dx ) µ q 1 ( R u dx )1 µ ¾º¾µ ÓÑ 1 q 2 = µ q µ. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ø ÑÓ ( ) 1 ( )( ) (1 θ ) 2 u θ 2 dx N(,q 2 ) u dx u q q 2 θ 2 2 dx, R R R ¾º µ ÓÒ θ 2 = ( q 2 ) q 2 ( )+ º ÂÙÒØ ÑÓ ¾º¾µ ÓÑ ¾º µ Ô Ö ÔÖÓ ÙÞ Ö 1 θ ( ) 2 1+µ ( )( ) µ (1 θ 2 ) u θ 2 dx N(,q2 ) u dx u q q 1 θ 2 1 dx. R R R ÈÓÖ Ñ µ 1 θ 2 θ 2 = 1 θ 1 θ 1 º Ñ ( ) 1 ( )( u θ 1 dx N(,q 2 ) u dx u q 1 dx R R R ) (1 θ 1 ) q 1 θ 1 ¾º µ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C c (R )º Ò Ó N(,q 1 ) ÔÐ Ñ ¾º µ ÒÓÒØÖ ÑÓ N(,q 1 ) N(,q 2 ), ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ º ÓÖ Ú ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ N(,q ) A 0 () Ô Ö ØÓ Ó Nº Ü ÑÓ u C c (R ) Ø Ð ÕÙ u = 1º Ù Ð Â Ò Ò Ø ÑÓ ( ) ( ) log u q dx = log u q u dx R R log( u q ) u dx = q log( u ) u dx. R R ¾º µ

52 ½ ÍÒ Ò Ó ¾º µ ÓÑ Ù Ð R u log( u ) dx log ( ) A 0 () u dx, R Ó Ø ÑÓ Å (1 θ ) θ q ( R u q dx ) 2 ( q ) A0 () u dx. R = 2 ( q ) º ÓÑ Ó Ù Ò Ó ÕÙ u = 1 ÒÓÒØÖ ÑÓ ( ) 1 ( )( ) (1 θ ) u θ dx A 0 () u dx u q q θ dx. ¾º µ R R R ÈÓÖ ÙÑ Ö ÙÑ ÒØÓ ÓÑÓ Ò ÔÖÓÚ ÑÓ ÕÙ Ù Ð ¾º µ ÓÓÖÖ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C c (R )º Ë Ù Ò Ó N(,q ) ÕÙ N(,q ) A 0 () Ô Ö ØÓ Ó N. ¾º µ ÍÑ Ú Þ ÕÙ (N(,q )) ÑÓÒ ØÓÒ Ð Ñ Ø ÒÓØ ÑÓ lim N(,q ) = A() < +. + ÈÓÖ ¾º µ Ø ÑÓ A() A 0 ()º Ê Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ A() A 0 ()º Æ Ù Ð Ø Ñ ÙÐ Ò Æ ( ) 1 ( )( u θ dx N(,q ) u dx u q dx R R R ) (1 θ ) q θ Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C c (R ) ØÓÑ ÑÓ ÙÒÓ ÐÓ Ö ØÑ Ñ Ñ Ó Ó Ñ Ñ ÖÓ Ô Ö Ó Ø Ö ( ) ( )1 1 u log log N(,q ) u θ u q u. q Í Ò Ó Ò Ó θ Þ Ò Ó + ÑÓ 2 ( ) ( )1 lim 1 u log log A() u + q u q u. ¾º µ Ú ÑÓ ÓÐÙ ÓÒ Ö ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ô Ö ÒÓ Ñ Ñ ÖÓ ÕÙ Ö Ó ¾º µº ÈÖ Ñ ÖÓ Ú ÑÓ ÕÙ ( ) u log = 1 [ log( u u q ) log( u q q ) ] + q log( u q ). Ñ Ù Ó ÔÐ ÖÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó Ù Ú Þ Ó Ø ÑÓ lim + ( ) 1 u log = 1 ( ) 1 q u q u u log( u ) dx log( u ). R

53 ¾ Ç ÖÚ ÑÓ ÓÖ ÕÙ 1 u R u log( u ) dx log( u ) = R u u ( ) u log u dx, ÓÒ 2 ( ) lim 1 u log = R u ( ) u + q u q u log u dx. ÈÓÖØ ÒØÓ Ö ØÓÖÒ Ò Ó ¾º µ ÑÓ ÓÑ R u u ( u log )dx ( ) u log A() u u ¾º µ Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u C c (R )º ÈÓÖ Ò Ù Ð Ñ ¾º µ Ú Ð Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u W 1, (R )º Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ö ØÓ ÙÒÓ u W 1, (R ) ÓÑ u = 1 Ø ÑÓ R u log( u ) dx log ÓÖÖ Ò Ó A 0 () ÕÙ A() A 0 () ÓÒÐÙ Ò Ó ÕÙ ( ) A() u dx. R lim N(,q ) = A 0 (). + ¾º¾ Ä Ñ Ø Ó ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ñ Æ Æ Ø Ó ÔÖÓÚ Ö ÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ö ÒØ Ò Ó ÕÙ B() < + º È Ö Ð Ø Ö ÓÑÔÖ ¹ Ò Ó ÑÓÒ ØÖ Ó Ö ÑÓ Ú ¹Ð Ò ÕÙ ØÖÓ Ù Ö Ø ÜÓ ¹ Ò Ù Ó ¾º¾º½ Ó Ø ÑÓ ÙÑ ÕÙ Ò (u ) ÕÙ Ø Þ ÙÑ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ó Ù Ð Æ Ê Ñ ÒÒ Ò Ø Ñ ¹ Ò Ù Ó ¾º¾º¾ ØÙ ÑÓ ÙÑ ÒÑ ÒÓ ÜÔÐÓ Ó ÕÙ ÓÓÖÖ Ô Ö (u ) ¹ Ò Ù Ó ¾º¾º Ø Ñ ÑÓ Ú ÐÓ ÓÑ Ø ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö Ô Ö Þ ÖÓ ÔÓÒØÙ ÐÑ ÒØ ¹ Ò Ù Ó ¾º¾º ÔÖ ÒØ ÑÓ Ó Ö ÙÑ ÒØÓ Ò Ð Ô Ö Ð Ñ Ø Ó (B(,q ))º ÑÓÒ ØÖ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ¾º½ ¾º¾º½ ÕÙ Ó ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ó Ù Ð Æ Ø Ñ Ë ÑÓ ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÒÓ ÒÙÐ Ô ÖØ Ò Ñ Ó Ô Ó H 1, ()º Ñ ÔÓ ÑÓ Ù Ø ØÙ ¹Ð Ñ ¾º½µ Ö ÑÓ Ó Ø Ö B(,q ) τ. ¾º½¼µ