FAP151 - Fundamentos de Mecânica. 5ª Lista de exercícios. Abril de 2009

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1 FAP - Fundamentos de Mecânica. ª Lista de exercícios. Abril de 9 Determinando a posição a partir da aceleração. Entregar as soluções dos exercícios e, apresentando todas as etapas necessárias para resolvê-los; não é suficiente fornecer as respostas. Integral ) O pneu de um automóvel contém, no seu interior, g de ar. No instante t = h, um prego faz um pequeno furo por onde vaza ar, numa taxa de vazamento (ou "velocidade" com que o ar é perdido) descrita pelo gráfico ao lado. Quanto ar o pneu contém no instante t =, h? Integral: posição a partir da velocidade. ) Determine a posição do automóvel, cujo movimento está representado no gráfico abaixo à esquerda, nos instantes: t = s; t = s; t = s; t = s e t = 7 s. Esboce o gráfico de x(t) para todo o intervalo t 7 s. velocidade do auto 8 taxa de perda (g/h),,,7 t(h) 8 8 Figura do exercício : velocidade do automóvel em função do tempo. Figura do exercício : velocidade do corredor em função do tempo. ) Que distância percorre em s o corredor cujo gráfico velocidade-tempo é o da figura acima?

2 ) O gráfico de v(t) acima representa o movimento de um veículo numa avenida. No instante t = s, o veículo contorna o canteiro central e retorna pela outra pista. a) No instante t = s, a que distância o carro se encontra do ponto em que estava em t = s? b) Esboce o gráfico de x(t). ) Determine aproximadamente o deslocamento entre t = s e t = s do carro cujo gráfico v(t) está esboçado abaixo. O método mais simples consiste em contar o número de quadrículas contidas entre o gráfico e o eixo e, para as quadrículas cortadas pelo gráfico, tome o cuidado de estimar que fração está compreendida entre o gráfico e as linhas de grade mais próximas, ) No desenho ao lado, estão os gráficos das velocidades de dois carros de corrida em um autódromo, que, inicialmente alinhados, arrancam simultaneamente ao sinal verde. Em que instante o carro que saiu na frente é ultrapassado pelo outro? Integral: posição a partir da aceleração. 7) A partir do gráfico de aceleração em função do tempo ao lado, determine os gráficos de v(t) e x(t), sabendo que v() = m/s e x() = m. Suponha que em t =, e s, a aceleração mude de valor instantaneamente, de modo que o valor exato da aceleração nesses instantes não tem importância. Ao desenhar seus gráficos, use para o tempo uma escala maior ou igual a, cm por s, de modo que o eixo Ot fique com mais que cm. 8 a(m/s )

3 8) Os gráficos abaixo descrevem a aceleração de carros de corrida que, em t = s, têm velocidade m/s e estão na posição m no sistema de referência escolhido. Lembrando que a área sob a curva da aceleração dá a VARIAÇÃO da velocidade (e não a velocidade), responda às questões abaixo, sempre levando em conta as condições iniciais dadas. Nos gráficos, marque valores numéricos nas escalas e respeite as proporções. a) Considerando o gráfico da figura A, determine a velocidade v nos instantes t = s e s. NÃO se esqueça da velocidade inicial; conte o número de quadrículas para determinar a área entre a curva e o eixo do tempo. b) Considerando o gráfico da figura B, determine a velocidade nos instantes t = s e s. Um traço vertical no gráfico (instantes t = ;, e s) indica que a mudança de aceleração é tão brusca que o valor exato da aceleração nesses instantes não tem importância. c) Esboce o gráfico v t, correspondente à figura B, levando em conta as condições iniciais dadas. Use papel milimetrado ou quadriculado. d) Mesmo que em c), tomando os dados da figura A. e) Determine a posição do objeto, cujo movimento está descrito pela figura B, nos instantes, e s. f) Esboce o gráfico de posição em função do tempo, x t, correspondente à figura B. g) Mesmo que em e), considerando o movimento descrito na figura A. Determine a área sob a curva da velocidade contando o número de quadrículas. h) Esboce o gráfico de posição em função do tempo, x t, correspondente à figura A. Figura A Figura B a(m/s ) a(m/s ),,, -, - -, - -, 9) No gráfico de aceleração em função do tempo ao lado, a aceleração muda de valor instantaneamente em t =, e s. Determine os gráficos de v(t) e x(t) para t no intervalo de a 7 s nas seguintes situações: a) v() = m/s, x() = m; b) v() = m/s, x() = m; c) v() = m/s, x() = m. a(m /s ),, -, 8 - -,

4 a (m /s ) ) Em um carro que está se movendo a 7 km/h, o motorista começa a frear, aumentando lentamente a pressão sobre os freios, de maneira que o módulo da aceleração aumenta com o tempo de acordo com o gráfico da figura ao lado. a) Quanto tempo o carro demora a parar? (O gráfico está desenhado em linha pontilhada porque a aceleração cai a zero quando o carro pára, o que acontece antes de t = s). b) Qual a distância percorrida desde o início da frenagem até a parada do carro? 8 ) No gráfico de aceleração em função do tempo ao lado, as linhas verticais em t = ; ; e s indicam mudanças de aceleração tão bruscas que os valores exatos nesses instantes não têm importância a mudança é praticamente instantânea. Determine os gráficos de v(t) e x(t) para t no intervalo de - a s, sabendo que em t = s a velocidade é nula e a partícula está em x = cm. a(cm/s ) Descrevendo o movimento pela velocidade ) Um motorista num automóvel viajando numa estrada plana e retilínea a m/s avista uma placa indicando a velocidade máxima permitida de m/s. Devido a um ônibus "grudado na traseira", demora, s para tirar o pé do acelerador e consegue reduzir a velocidade lentamente, demorando, s para chegar à velocidade máxima permitida. Supondo que a aceleração tenha sido constante durante a redução da velocidade: a) represente graficamente a velocidade do automóvel em função do tempo de t = s até t = s, tomando o instante que o motorista viu a placa como origem dos tempos. b) determine a aceleração durante a redução da velocidade. c) determine o deslocamento do automóvel durante a redução da velocidade. Integral em um intervalo definido. ) Determine a área exata debaixo da curva y=f(x), de a até b, através da antiderivada F(x) quando f(x )= + x x, a =, b =. ) Nos exercícios seguintes determine a área exata debaixo da curva y = f(x), de a a b, através da antiderivada A(X). a) f(x) = x x, a =, b = ; b) f(x) = x + x +, a =, b = ; c) f(x)= + x x, a =, b =. ) Determine a área exata debaixo da curva y = sen(πx+π/) + nos seguintes intervalos: a) [; ]. e) [;,]. b) [; ]. f) [;,]. c) [; ]. g) [,; ]. d) [; ]. h) [,;,].

5 ) No item b deste problema, pedimos para determinar a massa de um objeto que tem uma forma tal que você precisará usar seus recém adquiridos conhecimentos de integração de função para calculá-la. O item a ajuda a explicar o que se pede no item b. a) Um serralheiro precisa dobrar uma tira metálica para construir uma braçadeira. Para isso, faz uma peça para apoiar a tira, que consiste em um disco com 9, cm de raio e, cm de espessura. Faça um esboço do formato da peça e calcule seu volume e a massa necessária para construí-la em alumínio, cuja densidade é,7 g/cm. b) Um técnico pretende construir uma peça para dobrar as nervuras de uma antena parabólica, pensando que será cm fácil prepará-las simplesmente dobrando o perfil sobre uma peça em forma de parábola. Qual a massa dessa peça de apoio, cuja forma está representada na figura ao lado e será feita da mesma chapa de m Alumínio com, cm de espessura usada no item a? A parábola que define o perfil dessa peça é descrita pela equação =,,8x, em metros para x em metro, cujo gráfico está na y p figura abaixo. Ao determinar a área das faces maiores da peça por integração, note a propriedade y ( x =,) = y ( x =,) = p p., y(m) cm,, y p x(m) -, -, -, O y=,,, Integração conhecendo as condições iniciais. 7) Determine x(t) dado que a velocidade da partícula é: a) v(t) = t -t+, em m/s para t em s, sendo que a posição em t = s é x = m. b) v(t) = t -, em m/s para t em s, sendo que a posição em t = s é x = m. 8) Determine x(t) dado que a velocidade da partícula é v(t)= -t +t+, sendo que a posição em t = s é x =. Atenção, não confunda x com x(t = ). 9) Determine x(t) dado que a velocidade da partícula é: a) v(t) = (/)t -t+ em m/s para t em s, com x(t = s) = m. b) v(t) = t +t em m/s para t em s, com x(t = s) = m. c) v(t) = sen(πt) em cm/s para t em s, com x(t = s) = cm. d) v(t) = cos(πt) em cm/s para t em s, com x(t = s) = cm. e) v(t) = sen(πt+π/) em cm/s para t em s, com x(t = s) = cm. f) v(t) = cos(πt+π/) em cm/s para t em s, com x(t = s) = cm. g) v(t) = sen(πt+π/) em cm/s para t em s, com x(t = s) = 7, cm.

6 h) v(t) = cos(πt+π/) em cm/s para t em s, com x(t = s) = 7, cm. ) Uma criança de massa m = kg está brincando num balanço. Suponha, nos itens abaixo, que a oscilação tenha pequena amplitude, de modo que o movimento seja horizontal e o período calculado pela fórmula T l = π, onde l é o comprimento da corda do balanço e g =, m/s, g a aceleração da gravidade. a) Se a corda do balanço tem, m de comprimento, determine a freqüência angular ω ( = π/t) do movimento do balanço. b) Sabendo que a força resultante é F = F sen(ωt), use a ª lei de Newton para determinar a aceleração da criança. c) A partir da aceleração, determine a velocidade em função do tempo e o valor da constante F, sabendo que a velocidade em t = π/ s é, m/s e em t = s é, m/s. d) A partir da velocidade, determine a posição em função do tempo, sabendo que x(t = s) = m. e) (opcional) Qual a amplitude do movimento do balanço? Qual dado do problema definiu esse valor? Obs.: Esta não é a maneira de resolver o problema da dinâmica do balanço. O problema foi elaborado para treinar o uso das integrais de seno e cosseno. ) A velocidade de um braço mecânico em função do tempo é v(t) = A cos(ω t) com ω =, rad/s e A = cm/s. a) Determine a equação da posição em função do tempo, x(t), sabendo que x() = cm. b) Em que instante do intervalo entre e s o braço está mais distante da origem? Qual é essa distância? c) Determine a equação da aceleração em função do tempo, a(t). d) Em que instante do intervalo entre e s é nula a força resultante sobre o braço? Qual a posição nesse instante? e) Em que instantes no intervalo entre e s o módulo da força resultante sobre o braço é máximo? Calcule o módulo dessa força, sabendo que a massa do braço é, kg. ) Determine x(t) no intervalo [ s; s] dado que a aceleração da partícula é a(t)=, t + em m/s para t em s, sendo que em t = s a posição x é x() = m e a velocidade é v() = m/s. ) Determine x(t) no intervalo [ s; s] dado que a aceleração da partícula é,t t a ( t) = em cm/s para t em s, sendo que em t = s a posição x é x() = -,t + < t cm e a velocidade é v() = cm/s. ) Um corpo que em t = s está na posição x() = m, tem aceleração em função do tempo,t t < dada pela função: a ( t) = em m/s para t em s. Determine a posição em,t +, t função do tempo, x(t), no intervalo t s quando a velocidade em t = s é a) v() = m/s. b) v() = m/s. c) v() = m/s.

7 ) Determine a posição em função do tempo de uma partícula, x(t), no intervalo de tempo [s; 8,t t <, s], sabendo que sua aceleração é a ( t) = em m/s para t em s e que em t = s,, t, está na posição -, m com velocidade, m/s. Integração numérica. ) Calcule, para as funções dos itens a até d abaixo, a integral definida = f ( x) primeiramente de maneira aproximada pela soma f ( ) n i= x i x i b S dx, considerando n segmentos x i todos iguais e x i o ponto médio do i-ésimo intervalo e, depois, exatamente, calculando a integral definida analiticamente. Em cada item, os extremos do intervalo são dados, bem como o número de segmentos em que deve ser dividido o intervalo. a) f(x) = x +, a =, b =, n = ; b) f(x) = x, a =, b =, n = ; c) f(x) = /x, a =, b =, n = ; considerando casas decimais. d) f(x) = sen(πx), a =, b =, n =. a 7