Notas de Aula. Equações Diferenciais Parciais Lineares

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1 Nots de Aul Equções Diferenciis Prciis ineres Rodney Josué Biezuner 1 Deprtmento de Mtemátic Instituto de Ciêncis Exts (ICEx Universidde Federl de Mins Geris (UFMG Nots de ul d disciplin Equções Diferenciis B do Ciclo Básico do ICEx. 13 de fevereiro de 17 1 E-mil: homepge: rodney.

2 Sumário Introdução: Condução do Clor em um Brr 4.1 Modelgem Físic e Mtemátic do Problem A Equção do Clor Algums Forms mis Geris pr Equção do Clor Condição Inicil e Condição de Fronteir Solução do Modelo Mtemático: Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier Exercícios Séries de Fourier Proprieddes ds Funções Seno e Cosseno Periodicidde Relções de Ortogonlidde Produto Interno no Espço ds Funções Qudrdo-Integráveis Cálculo dos coeficientes d série de Fourier Teorem de Fourier Funções Contínus por Prtes O Teorem de Fourier Séries de Fourier de Funções Pres e Ímpres Funções Pres e Ímpres Extensões Periódics Pres e Ímpres de Funções Definids em Intervlos Estimtiv dos Coeficientes de Fourier Diferencição e Integrção Termo Termo d Série de Fourier Equção do Clor Unidimensionl 4.1 Condição de Dirichlet homogêne: extremiddes mntids à tempertur zero Existênci de solução pr o problem de Dirichlet Princípio do máximo Unicidde e estbilidde de soluções pr o problem de Dirichlet gerl Condição de Dirichlet não homogêne: solução de estdo estcionário Condição de Neumnn homogêne: extremiddes termicmente isolds Condição de Robin homogêne: condições de fronteir mists Equção do clor não-homogêne: equção de reção-difusão Fonte independente do tempo: método d solução de estdo estcionário Fonte dependente do tempo: método de vrição dos prâmetros O problem gerl Alguns problems específicos de condução do clor Problem d brr com convecção de clor em um extremo Condições de fronteir de Robin geris Problem do nel circulr fino

3 Rodney Josué Biezuner.7 Exercícios Equção d Ond Unidimensionl Modelo Mtemático d Cord Vibrnte Vibrções ivres Condições Iniciis e de Fronteir Solução d Equção d Ond Outros Tipos de Vibrção Solução pelo Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier A Solução de D Alembert Solução Gerl d Equção d Ond Cord Infinit Solução d Cord Vibrnte com Extremiddes Fixs pelo Método de D Alembert Hrmônicos, Energi d Cord e Unicidde de Solução pr Equção d Ond Hrmônicos Energi d Cord Unicidde de Solução pr Equção d Ond Exercícios Apêndice 1: A Equção d Ond de Primeir Ordem ei de Conservção Unidimensionl Relções Constitutivs Solução d Equção do Trnsporte Apêndice : Cord Suspens Equção do Clor e d Ond em Domínios Retngulres Séries de Fourier Dupls Definição e Cálculo dos Coeficientes Funções de Dus Vriáveis Pres e Ímpres ei de Conservção no Espço Tridimensionl Relções Constitutivs A Equção do Clor em Domínios Retngulres Solução do problem d condução do clor n chp retngulr com mrgens mntids à tempertur zero por seprção de vriáveis e séries de Fourier Solução do problem d condução do clor n chp retngulr termicmente isold por seprção de vriáveis e séries de Fourier A Equção d Ond em Domínios Retngulres Problem d Membrn Vibrnte Solução do Problem d Membrn Vibrnte pelo Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier inhs Nodis A Equção de plce A Equção de plce Solução d Equção de plce no Retângulo O Princípio do Máximo e Unicidde de Solução pr Equção de plce A Equção de plce no Disco A Equção de plce em Coordends Polres Solução d Equção de plce no Disco pelo Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier A Equção de Helmholtz: Autovlores e Autofunções do plcino A Equção de Poisson: o Método de Expnsão em Autofunções

4 Rodney Josué Biezuner 3 6 A Equção d Ond no Disco: Vibrções de um Membrn Circulr A Membrn Circulr Vibrnte: Vibrções Rdiis Funções de Bessel Solução Gerl d Equção de Bessel: Funções de Bessel do Primeiro Tipo Solução Gerl d Equção de Bessel: Funções de Bessel do Segundo Tipo Apêndice: A Função Gm Séries de Funções de Bessel e Solução do Problem d Membrn Circulr Vibrnte Ortogonlidde ds Funções de Bessel Séries de Bessel de ordem p Solução do Problem d Membrn Circulr Vibrnte Rdil A Membrn Circulr Vibrnte: Vibrções Geris Uso do Princípio de Superposição Equção de plce em Domínios Tridimensionis Simétricos A Equção de plce em um Cilindro A Equção de plce em Coordends Cilíndrics Solução de um Problem de plce no Cilindro Funções de Bessel Modificds Solução de outro Problem de plce no Cilindro A Equção de plce em um Bol A Equção de plce em Coordends Esférics A Equção de egendre e Polinômios de egendre Séries de Polinômios de egendre Solução d Equção de plce n Bol com Simetri Rdil Trnsformd de Fourier A Integrl de Fourier Exercícios A Trnsformd de Fourier Definição Séries de Fourier Complexs e Trnsformd de Fourier Proprieddes Opercionis Trnsformd de Fourier d Função Gussin Tbel de Trnsformds de Fourier Exercícios O Método d Trnsformd de Fourier A Equção do Clor pr um Brr Infinit A Equção d Ond em um Cord Infinit A Equção de plce em um Semiplno Exercícios Os Teorems de Prsevl e Plncherel Princípio d Incertez

5 Cpítulo Introdução: Condução do Clor em um Brr.1 Modelgem Físic e Mtemátic do Problem.1.1 A Equção do Clor Considere um brr uniforme de comprimento, feit de mteril homogêneo condutor de clor. Por brr uniforme entendemos que su seção trnsversl é sempre igul um determind figur geométric pln e portnto tem áre constnte, que denotremos por A; lém disso, brr pode ser imgind como sendo formd trvés d trnslção dest figur n direção perpendiculr o seu plno (em outrs plvrs, um cilindro reto cuj bse pode ser qulquer figur geométric, como por exemplo um disco [cilindro circulr reto], um elipse [cilindro elíptico reto], um triângulo [prism reto], um retângulo [prlelepípedo reto], ou qulquer outr figur geométric pln. Suponh que superfície lterl d brr estej isold termicmente, de modo não permitir trnsferêncis de clor trvés del com o mbiente. Trnsferêncis de clor, se é que ocorrem, podem ocorrer pens trvés ds extremiddes d brr. A uniformidde d brr, homogeneidde do mteril e o isolmento térmico lterl implicm que o fluxo de clor contece somente n direção longitudinl, isto é, o longo do comprimento d brr. Portnto, este é um problem de condução de clor unidimensionl. Em outrs plvrs, s vriáveis físics são constntes em cd seção trnsversl d brr, podendo vrir pens de um seção pr outr. Consideremos brr posiciond no eixo x, com um ds extremiddes n origem x = ; outr extremidde ocup portnto posição x =. Queremos determinr como tempertur em cd ponto d brr vri à medid que o tempo pss. Pr isso, vmos nlisr o fluxo de clor o longo d brr. Inicilmente, considere dus seções trnsversis d brr, loclizds em x e x + x, delimitndo um fti d brr (vej Figur.1 n págin seguinte. Atrvés dests seções, clor flui (entr ou si pr est fti. Denotremos o fluxo de clor, isto é, quntidde de clor por unidde de tempo fluindo pr direit por unidde de áre, por φ(x, t; no S.I., o fluxo de clor tem como uniddes Joules/m s. φ(x, t = fluxo de clor (quntidde de clor por unidde de tempo fluindo pr direit por unidde de áre. Se φ(x, t <, o clor está fluindo pr esquerd. A quntidde totl de clor que entr n fti por unidde de tempo é dd pel diferenç entre quntidde de clor que entr pel seção trnsversl em x e quntidde de clor que si pel seção trnsversl em x + x, isto é, φ(x, ta φ(x + x, ta. 4

6 Rodney Josué Biezuner 5 É clro que clor pode sir d fti pel seção trnsversl em x (se φ(x, t <, ssim como clor pode entrr n fti pel seção trnsversl em x + x (se φ(x + x, t < ; se diferenç cim for negtiv, então o resultdo finl é que clor si d fti. Figur.1 Est quntidde de clor totl que entr ou si d fti por instnte de tempo pode ser clculd em função ds temperturs ns seções trnsversis que delimitm fti trvés d ei de Condução do Clor de Fourier (est lei foi empiricmente observd por Fourier no início do século XIX: ei de Condução do Clor de Fourier. Sejm P 1 e P dus plcs formds de um mesmo mteril e de mesm áre igul A, mntids respectivmente temperturs constntes T 1 e T. Se els forem colocds prlelmente um distânci d um d outr, hverá pssgem de clor d plc mis quente pr plc mis fri e quntidde de clor trnsferid de um plc pr outr por unidde de tempo (ou sej, tx de trnsferênci de clor, medid em Joules/s é dd por Φ = ka T T 1, d onde k é um constnte específic do mteril entre s plcs, chmd condutividde térmic do mteril. Denotemos u(x, t = tempertur do ponto x d brr no instnte de tempo t. As seções trnsversis d brr, loclizds em x e x + x, fzem o ppel ds dus plcs P 1 e P. Denote s temperturs nests seções no instnte de tempo t por T 1 = u(x, t e T = u(x + x, t. Então, pel ei de Fourier, o fluxo de clor n direção positiv do eixo x que pss pel seção trnsversl loclizd em x é ddo por (lembre-se que o fluxo de clor é definido por unidde de áre u(x + x, t u(x, t φ(x, t = lim k = ku x (x, t, x x de modo que qundo tempertur cresce com x, u x é positivo, ms o clor flui pr esquerd, portnto φ é negtivo; se tempertur decresce com x, u x é negtivo e o clor flui pr direit, portnto φ é positivo.

7 Rodney Josué Biezuner 6 Agor fixe um segmento qulquer d brr entre s posições x = e x = b. Vmos clculr quntidde totl de clor Q que entr neste segmento no período de tempo que vi de t té t 1. Est é diferenç entre o clor que entr n seção trnsversl que ocup posição x = e o clor que si pel seção trnsversl que ocup posição x = b durnte o período de tempo considerdo: Q = = t1 t t1 t φ(, ta dt t1 t φ(b, ta dt ka[u x (b, t u x (, t] dt. Usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo, podemos escrever u x (b, t u x (, t = b u xx (x, t dx. ogo, como k é constnte (pois ssumimos que brr é feit de um único mteril homogêneo, temos t1 Q = ka t b u xx (x, t dxdt. (1 Por outro ldo, tmbém é observdo experimentlmente que quntidde de clor bsorvid por um substânci em um período de tempo é diretmente proporcionl à mss dest substânci e à vrição médi de su tempertur durnte o intervlo de tempo considerdo: Q = cm u. A constnte de proporcionlidde, denotd por c, depende de cd substânci e é chmd o clor específico d substânci; em outrs plvrs, o clor específico nd mis é que quntidde de clor necessári pr elevr em um gru tempertur de um unidde de mss d substânci; no S.I., o clor específico tem como uniddes Joules/kgK. Embor o clor específico de um substânci em gerl vrie com tempertur em que el se encontr (isto é, c = c(u, pr diferençs de temperturs não muito grndes o clor específico é proximdmente constnte. Aplicmos est lei empíric novmente um segmento qulquer d brr entre s posições x = e x = b. A vrição médi d tempertur neste segmento d brr no intervlo de tempo que vi de t té t 1 é obtid tomndo-se médi ds vrições médis ds temperturs de todos os pontos d brr, ou sej u = 1 b Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo segue que u = 1 b b [u(x, t 1 u(x, t ] dx. b [ t1 t ] u t (x, t dt dx. ogo, quntidde de clor bsorvid por este segmento é dd por Q = cm u = cm b b t1 t u t (x, t dt dx. sendo m mss deste segmento e c o clor específico do mteril que constitui brr. Escrevendo m = ρa(b, onde ρ é densidde d brr, e trocndo ordem dos limites de integrção, obtemos t1 Q = cρa t b u t (x, t dxdt. (

8 Rodney Josué Biezuner 7 Igulndo s dus expressões obtids em (1 e ( pr quntidde totl de clor Q que entr no segmento d brr entre x = e x = b no período de t té t 1, obtemos equção do clor em su form integrl: t1 cρ t b t1 u t (x, t dxdt = k t b u xx (x, t dxdt. Ms, b, t, t 1 são rbitrários, logo os integrndos são necessrimente iguis e ssim obtemos equção do clor n su form diferencil u t = Ku xx, (3 onde K = k é chmd difusividde térmic do mteril. A equção (3 é chmd simplesmente cρ equção do clor e represent lei de vrição d tempertur u(x, t de um brr uniforme com superfície lterl termicmente isold. El descreve como o clor se esplh ou se difunde com o pssr do tempo, um processo físico conhecido como difusão. Outrs quntiddes físics tmbém se difundem seguindo est mesm equção diferencil prcil (em situções unidimensionis, como por exemplo concentrção de substâncis químics, tis como perfumes ou polutntes, e por este motivo equção (3 tmbém é chmd mis gerlmente de equção de difusão. Observção: A form diferencil d equção do clor tmbém pode ser obtid mis diretmente. De fto, diferencindo lei de Fourier φ(x, t = ku x (x, t em relção x obtemos Por outro ldo, vimos cim que Q = t1 t φ x = ku xx. (4 [φ(b, t φ(, t]a dt = cρa b t1 t u t (x, t dt dx. Agor, o invés de usr lei de Fourier n integrl do ldo esquerdo como fizemos cim pr obter (1, usmos o Teorem Fundmentl do Cálculo pr escrevê-l n form t1 t [ t1 b ] dx [φ(b, t φ(, t]a dt = φ x (x, t A dt. ogo, b t1 t t φ x (x, t dt dx = cρ b t1 t u t (x, t dt dx. Como, b, t, t 1 são rbitrários, os integrndos devem ser iguis e portnto obtemos equção φ x = cρu t. (5 Igulndo s expressões (4 e (5 pr φ x, obtemos novmente equção do clor. No entnto, é sempre preferível obter formulção integrl, como fizemos nteriormente, e prtir del obter formulção diferencil. A formulção integrl tem vntgem de vler mesmo em situções em que u não é diferenciável, ou mesmo descontínu.

9 Rodney Josué Biezuner 8.1. Algums Forms mis Geris pr Equção do Clor Pode contecer que condutividde térmic o longo d brr não sej constnte, ms depend de x. Est situção pode ocorrer, por exemplo, se tivermos um brr formd por váris brrs, cd um dels constituíd por um mteril diferente. Neste cso, usndo lei de Fourier como fizemos pr obter (1, dest vez segue que Q = t1 t A[k(bu x (b, t k(u x (, t] dt, e usmos o Teorem Fundmentl do Cálculo pr escrever k(bu x (b, t k(u x (, t = b [k(xu x (x, t] x dx, de modo que t1 b Q = A [k(xu x (x, t] x dxdt. t Do mesmo modo, pode ocorrer que o clor específico do mteril que constitui brr vrie com x, ssim como su densidde (o que certmente ocorrerá n situção dd cim como exemplo. ogo, t1 Q = A t b c(xρ(xu t (x, t dxdt Portnto, nest situção, equção do clor que descreve vrição d tempertur d brr com o pssr do tempo se torn c(xρ(xu t = [k(xu x ] x, (6 Est equção é chmd equção do clor n form divergente. Pode tmbém ocorrer que exist um fonte intern de clor em regiões d brr, devid por exemplo reções químics, nucleres ou quecimento elétrico. Denotemos q(x, t = quntidde de clor gerd por unidde de volume por unidde de tempo. À quntidde totl de clor Q que entr no segmento d brr entre x = e x = b no período de t té t 1 devido o fenômeno de condução do clor o longo d brr, deve ser somd quntidde de clor gerd internmente no segmento durnte este período, ntes de igulr à expressão obtid em ( (isso nd mis é que lei de conservção do clor, um cso prticulr d lei de conservção d energi. Pel definição de q(x, t, este clor gerdo internmente é ddo por Portnto, temos que t1 b t q(x, ta dxdt. e dí obtemos equção t1 b t t1 [ku xx (x, t + q(x, t] dxdt = cρ t b u t (x, t dxdt u t = Ku xx + q(x, t. (7 Est equção é um exemplo de um equção de reção-difusão. É clro que nd impede que s dus situções cim ocorrm simultnemente. Neste cso, equção complet que descreve o fenômeno d condução de clor n brr será c(xρ(xu t = [k(xu x ] x + q(x, t. (8

10 Rodney Josué Biezuner Condição Inicil e Condição de Fronteir A equção do clor (3 tem um número infinito de soluções. Por exemplo, qulquer função constnte u(x, t = C ou fim u(x, t = Ax + B, onde A, B, C são quisquer constntes reis, stisfz (3. Um problem fisico rel, no cso obter distribuição de temperturs em um brr, deve ter um solução únic. Portnto, é necessário impor restrições dicionis sobre o problem, de modo que possmos obter um solução únic pr equção do clor. Intuitivmente, prece óbvio que distribuição de temperturs n brr o longo do tempo depende d distribuição inicil de temperturs, chmd condição inicil do problem: u(x, = f(x. Est é únic condição inicil necessári. Mtemticmente, est necessidde é express pelo fto d equção diferencil prcil (3 possuir um derivd prcil em relção o tempo de primeir ordem (como no cso de equções diferenciis ordináris de primeir ordem, em que é necessário sber pens um condição inicil, o vlor d função no instnte inicil, pr se conhecer solução únic d equção. Além disso, distribuição de temperturs n brr o longo do tempo tmbém deve depender do que se pss ns extremiddes d brr, que podem não estr isolds termicmente e portnto podem permitir entrd ou síd de clor, influindo n distribuição de temperturs d brr com o pssr do tempo. As condições ns extremiddes d brr são chmds de condições de fronteir. Mtemticmente, isso se deve o fto d equção diferencil prcil (3 depender tmbém d vriável x. Podemos imginr vários tipos de condições de fronteir pr o problem d brr: 1. Extremiddes mntids temperturs constntes: u(, t = T 1 e u(, t = T.. Temperturs ns extremiddes vrindo com o tempo de cordo com funções conhecids: u(, t = g 1 (t e u(, t = g (t. 3. Extremiddes isolds termicmente (ou sej, o fluxo de clor trvés ds extremiddes é nulo e brr está completmente isold: u x (, t = u x (, t =. 4. Fluxo de clor trvés ds extremiddes é conhecido: u x (, t = h 1 (t e u x (, t = h (t. 5. Combinção de quisquer dus ds condições cim: u(, t = e u x (, t =. Com um condição inicil e qulquer um dests condições de fronteir o problem mtemático está bem posto, dmitindo um únic solução, conforme veremos em detlhes em um cpítulo posterior. Um condição do tipo 1 ou, em que são ddos vlores pr solução d equção diferencil prcil n fronteir, é chmd um condição de Dirichlet. Um condição do tipo 3 ou 4, em que são ddos vlores pr derivd d solução d equção diferencil prcil n fronteir em relção à vriável espcil, é chmd um condição de Neumnn. Um condição mist, envolvendo tnto o vlor d solução como o de su derivd espcil n fronteir, exemplificd pel condição do tipo 5, é chmd um condição de Robin.

11 Rodney Josué Biezuner 1 Observção: O fto d equção do clor (3 ter um derivd prcil em relção à vriável x de segund ordem não tem nd ver com o fto de precisrmos de dus condições de fronteir. Este fto é simplesmente um conseqüênci d fronteir de um segmento ser formd por dois pontos (no cso, fronteir do segmento [, ] é formd pelos pontos e. N verdde, essencilmente temos pens um condição de fronteir; o que ocorre é que, no cso de um segmento, fronteir é desconex e est condição de fronteir é mis fcilmente express por dus sentençs. Este conceito ficrá mis clro qundo estudrmos equções diferenciis prciis em regiões do plno e do espço. Um condição de fronteir de grnde interesse prático ocorre qundo brr está em contto com um fluido em movimento, como r ou águ. Como exemplo dest situção, imgine um brr quente em contto com r mis frio em movimento. Clor deix brr, quecendo o r, que lev o clor embor, sendo substituido por r mis frio, no conhecido processo de convecção. Experimentos mostrm que o fluxo do clor que deix brr é proporcionl à diferenç de tempertur entre brr e tempertur exterior: Ku x (, t = H[u(, t T ]; T é tempertur extern e constnte de proporcionlidde H é chmd o coeficiente de trnsferênci de clor ou coeficiente de convecção. Est é chmd lei de resfrimento de Newton. Note que est condição de fronteir envolve um combinção liner entre u e u x e é um condição de Robin. Como pel lei de Fourier o fluxo de clor é ddo por φ = ku x, temos que φ(, t = kh[u(, t T ], de modo que se brr está mis quente que o mbiente exterior (u(, t > T, o fluxo é negtivo, isto é, n direção negtiv do eixo x, sindo d extremidde d brr loclizd em x = pr o mbiente externo, e vice-vers. Por cus disso, no cso d outr extremidde, loclizd no ponto x =, lei de resfrimento de Newton deve então ser escrit n form Ku x (, t = H[u(, t T ]. A constnte H depende do mteril que form brr e ds proprieddes do fluido (tis como su velocidde.. Solução do Modelo Mtemático: Método de Seprção de Vriáveis e Séries de Fourier O modelo mtemático que obtivemos pr distribuição de temperturs em um brr cuj superfície lterl está isold termicmente com o pssr do tempo é um equção diferencil prcil com condição inicil e condição de fronteir. Vmos tentr resolver o problem específico em que s extremiddes d brr estão mntids à tempertur constnte igul (correspondente à condição de Dirichlet 1 d seção nterior, chmd de condição de Dirichlet homogêne: u t = Ku xx se < x < e t >, u(x, = f(x se x, (9 u(, t = u(, t =. se t. Tentremos resolver este problem pelo chmdo método de seprção de vriáveis. No método de seprção de vriáveis, supomos que solução u(x, t do problem pode ser escrit como o produto de dus funções de um vriável, um dependendo pens de x e outr dependendo pens de t: u(x, t = F (xg(t. (1 Est é pens um suposição, que pode ou não ser corret (n verdde, veremos que em gerl est suposição está errd, ms ind ssim el nos judrá encontrr solução corret pr o problem. A vntgem de fzer est suposição é que el simplific considervelmente o problem, trnsformndo um problem de resolver um equção diferencil prcil, que não sbemos como fzer, em um problem de resolver um

12 Rodney Josué Biezuner 11 equção diferencil ordinári, que sbemos como fzer. De fto, substituindo (1 n equção do clor, obtemos F (xg (t = KF (xg(t donde F (x F (x = 1 G (t K G(t. Note que o ldo esquerdo dest equção depende pens de x, enqunto que o ldo direito depende pens de t. Isso só pode ser possível se n verdde mbos os ldos forem independentes de x e t, isto é, F (x F (x = σ e 1 G (t K G(t = σ onde σ R é um constnte. Portnto o problem se reduz resolver dus equções diferenciis ordináris: A equção diferencil de segund ordem pr < x <. A equção diferencil de primeir ordem pr t >. F (x σf (x = (11 G (t σkg(t = (1 Vmos resolver primeiro (11. Fzemos isso, pesr del ser um equção mis complex que (1, porque s condições de fronteir de (9 implicm que F stisfz s condições F ( = F ( =. (13 De fto, condição de fronteir u(, t = implic que F (G(t = pr todo t >, o que por su vez implic que F ( = ( menos que G(t = pr todo t, o que significri que u, um solução que não nos interess, exceto no cso rro em que condição inicil sej tmbém f ; similrmente condição de fronteir u(, t = F (G(t = implic que F ( =. A condição (13 restringe s soluções de (11, o que ultimmente limitrá os vlores possíveis de σ. Em princípio, há três soluções possíveis, dependendo do sinl de σ: 1. σ > : Neste cso, solução gerl de (11 é d form F (x = c 1 e σx + c e σx. ogo, condição (13 implic que s constntes reis c 1, c devem stisfzer o sistem { c1 + c = c 1 e σ + c e σ =. Ms únic solução deste sistem é c 1 = c =, o que levri F e portnto u, solução que não nos interess.. σ = : A solução gerl de (11 neste cso é d form F (x = c 1 x + c. A condição (13 implic que s constntes reis c 1, c devem stisfzer o sistem { c = c 1 + c =. cuj únic solução tmbém é c 1 = c = e novmente F, o que não nos interess.

13 Rodney Josué Biezuner 1 3. σ < : Denotndo λ = σ, solução gerl de (11 neste último cso é d form F (x = c 1 cos λx + c sen λx. A condição (13 implic que s constntes reis c 1, c devem stisfzer o sistem { c1 = c sen λ =. Como não queremos c =, devemos ter sen λ =, o que implic λ = nπ, onde n N pode ser um inteiro positivo qulquer. Portnto, pr cd vlor de n um solução não nul pr o problem (11, (13 é d form F n (x = sen nπ x, (14 por este motivo chmd um utofunção pr o problem (11,(13 ssocid o utovlor σ = λ n = n π. (15 A equção (1 é imeditmente resolvid trvés de um integrção simples. A solução de (1 é d form G(t = ce σkt, onde c R é um constnte rel. Como os vlores de σ pr que o problem (9 tenh soluções não nuls são os ddos em (15, segue que pr cd vlor de n temos um solução relevnte de (1 dd por ( menos d constnte G n (x = e n π Kt. (16 Segue que pr cd n = 1,, 3,..., temos um função u n (x, t = e n π Kt sen nπ x que é um solução pr equção diferencil prcil do problem (9 stisfzendo às sus condições de fronteir. Por outro ldo, precismos de um solução que tmbém stisfç à condição inicil u(x, = f(x. ogo, s soluções que encontrmos só funcionm se função f(x tem um form muito prticulr, ou sej, se f(x for um múltiplo esclr d função seno. Por exemplo, se f(x = 3 sen π x, então (9 tem solução u(x, t = 3u 1; se f(x = 17 sen 5π x, então (9 tem solução u(x, t = 17u 5. É óbvio que isso rrmente ocorre. N verdde, porém, ind podemos obter soluções pr o problem (9 prtir dests soluções se f(x for pens um combinção liner de senos. Por exemplo, se f(x = 3 sen π x + 5 sen 9π x, então (9 tem solução u(x, t = 3u 1 + 5u 9 ; se f(x = 4 sen π x 3 sen π x + 5 sen 91π x, então (9 tem solução u(x, t = 4u 3 u + 5u 91. Isso é verdde porque equção do clor é um equção liner, o que signific que combinções lineres de soluções d equção diferencil são tmbém soluções d equção diferencil e, lém disso, s condições

14 Rodney Josué Biezuner 13 de fronteir de (9 são homogênes, logo combinções lineres de soluções que stisfzem s condições de fronteir continum stisfzendo s condições de fronteir (isso pode ser imeditmente verificdo e é deixdo pr o leitor se convencer. Assim, qulquer expressão d form (isto é, qulquer combinção liner de soluções N u(x, t = c n u n (x, t é um solução d equção do clor stisfzendo s condições de fronteir em (9. Em prticulr, se segue que f(x = u(x, t = N N c n sen nπ x, c n e n π Kt sen nπ x (17 é um solução do problem (9. Ms, n miori dos csos, f não é um combinção liner de senos. Então Fourier teve idéi brilhnte de tomr combinções lineres infinits, isto é, séries infinits, ssumindo que tod função pode ser escrit como um série infinit de senos. Em outrs plvrs, ssumindo que podemos escrever tod função f n form f(x = c n sen nπ x pr certos coeficientes bem determindos c n, o que tulmente chmmos série de Fourier de f, então o cndidto pr solução do problem de vlor inicil e de condição de fronteir (9 seri função u(x, t = Isso nos lev imeditmente às seguintes indgções: c n e n π Kt sen nπ x. (18 1. Será que tod função f(x relmente pode ser escrit como um série de Fourier?. Se respost à pergunt nterior for negtiv, quis são s funções que possuem séries de Fourier? Será que els formm um clsse suficientemente grnde pr brnger tods ou um quntidde significtiv ds funções que surgem nos problems práticos? 3. Mesmo que f(x poss ser representd por um série de Fourier, será que série definid cim pr u(x, t converge pr um função diferenciável em t e dus vezes diferenciável em x que é solução de (9? Ests pergunts mostrm necessidde de se desenvolver um teori pr s séries de Fourier. Fremos isso no próximo cpítulo. Observção: Note que nem o cndidto à solução (18, e nem mesmo solução (17, são produtos de dus funções de um vriável, um dependendo pens de x e outr dependendo pens de t (els são n relidde soms de produtos de funções de um vriável, som finit em um cso, som infinit no outro. Portnto suposição inicil de que prtimos no método de seprção de vriáveis é errd pr miori ds condições iniciis, não ser que els sejm múltiplos de sen(nπx/. Ms, usndo lineridde d equção do clor, pudemos usr s soluções obtids trvés do método de seprção de vriáveis e prtir dels construir solução pr o problem gerl. Este é um método frequentemente usdo em ciêncis exts: simplificr um problem complexo trvés de um suposição simplificdor que em gerl não é válid, ms, prtir d solução pr o problem simplificdo, construir solução corret pr o problem complicdo.

15 Rodney Josué Biezuner 14.3 Exercícios 1. Mostre que equção do clor é liner, isto é, se u 1 (x, t e u (x, t são soluções d equção diferencil prcil u t = Ku xx, então u 1 (x, t + bu (x, t tmbém é, quisquer que sejm, b R. Além disso, se els stisfzem s condições de fronteir homogênes u(, t = u(, t =, então u 1 (x, t + bu (x, t tmbém stisfz.. Mostre que equção mis gerl do clor, c(xρ(xu t = [K(xu x ] x + q(x, t, tmbém é um equção liner. 3. Proced como fizemos no texto e encontre um cndidto à solução pr o seguinte problem de vlor inicil com condição de fronteir de Neumnn homogêne: u t = Ku xx se < x < e t >, u x (, t = u x (, t = se t, u(x, = f(x se x.

16 Cpítulo 1 Séries de Fourier Pr determinr possibilidde de um determind função poder ser express como um série de Fourier, bem como pr obter os coeficientes d série de Fourier d função qundo isso ocorrer, precismos estudr certs proprieddes ds funções seno e cosseno. 1.1 Proprieddes ds Funções Seno e Cosseno Periodicidde 1.1 Definição. Um função f : R R é periódic se existe T R, T, tl que f(x + T = f(x pr todo x R. O número rel T é chmdo um período pr função f. Clrmente, se T é um período pr função f, então qulquer múltiplo inteiro de T tmbém é um período pr f: T, T, 3T, 3T, 4T, 4T, etc. Por exemplo, f(x + 3T = f((x + T + T = f(x + T = f((x + T + T = f(x + T = f(x. 1. Definição. O menor período positivo de um função periódic f é chmdo o período fundmentl de f. Em gerl, o período fundmentl de um função periódic é chmdo simplesmente de o período d função. 1.3 Exemplo. As funções seno e cosseno são periódics e mbs têm período π. b Funções constntes são funções periódics que não possuem período fundmentl, pois qulquer número rel não nulo é um período pr função constnte, logo não existe um menor período positivo. Do mesmo modo, função { 1 se x é rcionl, f(x = se x é irrcionl, é um função periódic que não possui período fundmentl, pois todo número rcionl não nulo é um período pr f (ms observe que números irrcionis não são períodos pr f. c A função f(x = x [x], onde [x] é função piso, isto é, [x] é mior inteiro menor que ou igul x, é periódic de período 1. 15

17 Rodney Josué Biezuner Figur 1.1. f(x = x [x]. d Podemos encontrr um infinidde de exemplos de funções periódics, simplesmente definindo um função em um intervlo de comprimento T e declrndo que el é periódic de período T, dest form definindo el n ret tod. Ou sej, suponh que função f foi inicilmente definid no intervlo I de comprimento T ; ddo x R, se x / I determine um inteiro k tl que x + kt I (k é positivo se x está loclizdo à esquerd do intervlo I e negtivo se x está à direit de I e defin f(x = f(x + kt. Dest form, definimos um função f n ret tod que é utomticmente periódic de período T. Por exemplo, podemos definir um função g por { x se x <, g(x = x se x <, e declrá-l periódic de período Figur 1.. =. Pr que definição dest extensão periódic sej consistente, observe que o intervlo I deve ser fechdo em um extremo e berto no outro ou, se o intervlo I for fechdo nos dois extremos, função deve ter os mesmos vlores nestes extremos. Com relção os períodos ds funções que constituem série de Fourier, fzemos seguinte importnte observção: 1.4 Proposição. As funções sen nπx nπx e cos têm período fundmentl igul n. Prov. De fto, n verdde vle seguinte firmção mis gerl: pr qulquer vlor α R, α, sen αx e cos αx têm período fundmentl igul π α.

18 Rodney Josué Biezuner 17 Isso pode ser determindo trvés do rgumento seguir. Queremos encontrr o menor vlor positivo de T pr o qul vle sen α(x + T = sen αx pr todo x R, ou sej, sen αx cos αt + cos αx sen αt = sen αx pr todo x R. Pr determinr αt, o que consequentemente determinrá T, bst obter os vlores de sen αt e cos αt, pois um ângulo fic completmente determindo qundo se conhece os vlores de seu seno e de seu cosseno, menos de múltiplos de π. Pr isso, observmos que equção cim é válid pr qulquer vlor de x. Em prticulr, substituindo o vlor x = n expressão cim, obtemos (já que sen = e cos = 1 sen αt =, e concluímos que αt deve ser um múltiplo de π. Agor, substituindo o vlor x = π α obtemos (já que sen π = 1 e cos π = cos αt = 1. n expressão cim, ogo, αt é necessrimente um múltiplo de π. Como queremos o menor vlor positivo de T, segue que αt = π e, portnto, T = π α. A mesm conclusão vle pr função cos αx, já que função cosseno nd mis é que função seno defsd π/. 1.5 Corolário. As funções sen nπx nπx e cos têm um período em comum, igul. Prov. Como qulquer múltiplo inteiro do período fundmentl é um período, segue do resultdo nterior que n nπx nπx = é um período comum pr sen e cos n. y 1. y x x sin(x sin(*x sin(3*x 1. cos(x cos(*x cos(3*x Figur 1.3. Gráficos de sen nx e cos nx pr n = 1,, 3 ( = π.

19 Rodney Josué Biezuner Relções de Ortogonlidde Pr o cálculo dos coeficientes d série de Fourier de um função (qundo existir, s seguintes relções de ortogonlidde entre s funções sen nπx nπx e cos desempenhm um ppel fundmentl: cos nπx cos nπx sen nπx mπx sen dx = pr todos n, m; { se n = m, se n m; mπx cos dx = mπx sen dx = { se n = m, se n m. Ests relções podem ser obtids trvés de integrção diret e uso ds identiddes trigonométrics. Por exemplo, se n m, escrevemos sen nπx Se n = m, escrevemos sen nπx mπx sen dx = 1 [ = 1 1 π =. mπx sen dx = = 1 =. [ (n mπx cos cos 1 (n mπx sen 1 n m n + m ( [ x sen nπx nπ 1 dx = nπx sen ] (n + mπx dx sen (n + mπx [ 1 cos nπx ] dx Produto Interno no Espço ds Funções Qudrdo-Integráveis O nome relções de ortogonlidde deve-se o fto de que s expressões cim significm que s funções sen nπx nπx e cos são ortogonis no espço vetoril ds funções qudrdo-integráveis definids no intervlo [, ]. De fto, no espço { } ([, b] = u : [, b] R : b u (x dx < ds funções definids no intervlo [, b] cujo qudrdo é integrável, podemos definir um produto interno por u, v = b u(xv(x dx. Porque s funções são qudrdo-integráveis, integrl cim está bem definid e é finit. De fto, como pr quisquer A, B R vle desiguldde AB A + B, segue que b u(xv(x dx 1 b u (x dx + 1 b v (x dx <.

20 Rodney Josué Biezuner 19 Como o ângulo entre dois vetores é definido por segue que dus funções são ortogonis se (u, v = rccos b u, v u v, u(xv(x dx =. 1. Cálculo dos coeficientes d série de Fourier Suponh que possmos expressr um função f : R R n form f(x = + ( n cos nπx + b n sen nπx, (1.1 ou sej, que série no ldo direito sej convergente e convirj pr função f em todo ponto x R. O ldo direito d expressão cim é chmdo série de Fourier de f. [O motivo de termos escrito o invés de simplesmente ficrá clro seguir.] Em prticulr, f tem que ser periódic com período, pois este é o período comum ds funções sen nπx nπx e cos ; portnto, funções definids n ret tod que não stisfzem est condição não possuem séries de Fourier. Suponh, lém disso, que função f sej integrável no intervlo [, ] e que série do ldo direito poss ser integrd termo termo. Ds relções de ortogonlidde (observndo que função identicmente 1 corresponde cos nπx pr n = segue que f(x dx = ( dx + n cos nπx dx + b n sen nπx dx donde =, = 1 f(x dx. (1. Os outros coeficientes tmbém podem ser obtidos fcilmente explorndo s relções de ortogonlidde. Multiplicndo mbos os ldos d equção (1.1 por cos nπx e integrndo de, obtemos f(x cos nπx dx = ( cos nπx dx + m cos mπx m=1 cos nπx dx + b m sen mπx cos nπx dx = n, donde n = 1 f(x cos nπx dx. (1.3 [Por este motivo escrevemos o termo constnte d série de Fourier n form : deste modo, fórmul pr os coeficientes n é mesm, independente se n = ou n.] Anlogmente, multiplicndo mbos os ldos d equção (1.1 por sen nπx e integrndo de, obtemos b n = 1 f(x sen nπx dx. (1.4

21 Rodney Josué Biezuner 1.6 Exemplo. Admitindo que existe um série de Fourier que convirj pr função bixo, clcule os seus coeficientes. x se x, f(x = x se x <, é periódic de período. Solução. Temos = 1 f(x dx = 1 [ x dx + x dx ] = 1 ( + =. Os outros coeficientes podem ser clculdos trvés de integrção por prtes. Temos [ f(x cos nπx dx = 1 x cos nπx ] dx + x cos nπx dx n = 1 [( = 1 nπx x sen nπ + ( sen nπx nπ dx + [ = 1 ] nπx n cos π + nπx n cos π = 1 ] [ n π + n cos nπ + π n cos nπ π n π = n (cos nπ 1 π { se n é pr, = 4 n π se n é ímpr. e b n = 1 [ f(x sen nπx dx = 1 [( = 1 nπx x cos nπ nπ [ = 1 cos nπ nπx nπ n sen π =. Portnto, nπ x sen nπx nπ x sen nπx ] dx + x sen nπx dx ( cos nπx dx + nπx x cos nπ + nπ ] cos nπ + nπx nπ n sen π f(x = 4 π 1 (n 1πx cos. (n 1 sen nπx cos nπx Observe que série do ldo direito é convergente em todo ponto x, já que os coeficientes diminuem n 1 rzão de (n 1, (n 1πx cos 1 e série 1 n é sbidmente convergente. Vej n Figur 1.3 seguir os gráficos ds soms prciis d série de Fourier de f desde n = 1 té n = k pr k = 1,, 3, 4, 5 e 1. Observe como convergênci é bstnte rápid. Pr k = 1 som prcil d série de Fourier de f é virtulmente indistinguivel de f dentro d resolução utilizd. dx dx ] ]

22 Rodney Josué Biezuner 1 k = 1 k = k = 3 k = k = 5 k = Figur 1.4. Soms prciis d série de Fourier d função f. Por outro ldo, convergênci é mis lent ns quins, isto é, nos pontos onde f não é diferenciável. Pr perceber isso melhor, considere x = = π, de modo ou π = π 4 π 1 cos(n 1π (n 1 π 8 = 1 (n 1 =

23 Rodney Josué Biezuner Enqunto que π = é um proximção pr π com 1 css decimis, temos: k se k = 1, 8 (n 1 = se k = 1, se k = Teorem de Fourier Vmos determinr condições suficientes pr que um função f possu um série de Fourier e pr que est convirj pr f n miori dos pontos de seu domínio. Primeirmente, condição pr que série de Fourier de f exist (mesmo que el poss não convergir pr f em nenhum ponto. Considere um função f : R R periódic de período e bsolutmente integrável no intervlo [, ]. Então os coeficientes de Fourier de f estão bem definidos, pois e n = 1 b n = 1 f(x cos nπx f(x sen nπx dx dx f(x cos nπx f(x sen nπx Podemos portnto formlmente construir série + f(x dx < dx, n =, 1,,..., dx, n = 1,,..., f(x cos nπx dx < f(x sen nπx dx < ( n cos nπx + b n sen nπx. f(x dx <, f(x dx <. A próxim questão é sber pr que pontos x est série converge e se nestes pontos el converge pr o vlor f(x Funções Contínus por Prtes 1.7 Definição. Um função rel f é contínu por prtes no intervlo [, b] se existir um número finito de pontos = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b tis que (i f é contínu em cd subintervlo [x i 1, x i ], i = 1,..., n; (ii existem os limites lteris à esquerd e à direit nos extremos de cd subintervlo. 1.8 Exemplo. A função 1 se n < x < n + 1 e n é ímpr, f(x = se x = n Z, 1 se n < x < n + 1 e n é pr.

24 Rodney Josué Biezuner 3 é contínu por prtes em qulquer intervlo fechdo d ret. Seus pontos de descontinuidde são os pontos com vlores inteiros e os limites lteris nestes pontos são 1 e 1. y x 1. Figur 1.5 b A função 1 se x <, g(x = se x =, sen 1 se x >, x não é contínu por prtes no intervlo [ 1, 1] pois não existe o limite lterl à direit em x =. y c Similrmente, função x Figur se x <, x h(x = se x =, 1 se x >, não é contínu por prtes no intervlo [ 1, 1], pois não existe o limite lterl à esquerd em x =.

25 Rodney Josué Biezuner 4 y O Teorem de Fourier x Figur Teorem. (Teorem de Fourier Sej f : R R um função periódic de período, tl que f e f são contínus por prtes no intervlo [, ]. Então série de Fourier de f onde n = 1 b n = 1 + ( n cos nπx f(x cos nπx f(x sen nπx + b n sen nπx dx, n =, 1,,..., dx, n = 1,,..., converge pr f(x se f é contínu em x e pr médi dos limites lteris descontínu em x. f(x+ + f(x se f é Observe que se f é contínu em x, então médi dos limites lteris de f em x é extmente igul f(x; o teorem poderi ter sido enuncido em um form mis compct simplesmente firmndo que se f stisfz s condições do enuncido, então série de Fourier de f converge sempre pr médi dos limites lteris f(x+ + f(x. 1.1 Exemplo. Defin f(x = { x sen 1 se x, x se x =. Observe que f é contínu ( lim x sen 1 x x =, ms f não é contínu por prtes, pois pesr d derivd existir em x =, não existe nenhum dos limites lteris d derivd em x = : { f x sen 1 (x = x cos 1 se x, x se x =.

26 Rodney Josué Biezuner 5 y x y x Figur 1.8: Gráficos de f (cim e f (bixo. b (Ond qudrd Defin f : R R por { se < x <, f(x = se < x <, e f periódic de período. Observe que f stisfz s hipóteses do teorem de Fourier, já que su derivd é função identicmente nul, exceto nos pontos múltiplos de, onde derivd não existe.

27 Rodney Josué Biezuner 6 y x Vmos clculr série de Fourier de f. Temos Figur 1.9: = 1. Portnto, = 1 n = 1 =, f(x dx = f(x cos nπx dx = dx =, b n = 1 f(x sen nπx dx = { se n é pr, = se n é ímpr. nπ f(x = + π cos nπx sen nπx dx = nπ 1 n 1 dx = nπ sen nπx cos nπx (n 1πx sen. = (1 cos nπ nπ y x Figur 1.1: Gráfico ds soms prciis desde n = 1 té n = k pr k = 1,, 3, 4, 5 ( = π.

28 Rodney Josué Biezuner 7 y x Figur 1.11: Gráfico d som prcil desde n = 1 té n = 1 ( = π. Pr os vlores de descontinuidde (x = k, k Z, os senos se nulm e série de Fourier de f tem vlor igul /, extmente médi dos limites lteris nestes pontos. Nos demis pontos, série de Fourier converge pr f, ms com um convergênci lent, já que os seus coeficientes são d ordem de 1/(n 1. c (Ond tringulr Defin g : R R por { x se x <, g(x = x se x <, e g periódic de período. Observe que g é contínu e diferenciável por prtes (isto é, g é contínu por prtes, logo série de Fourier de g converge pr g em todo ponto. A série de Fourier de g foi clculd no Exemplo Séries de Fourier de Funções Pres e Ímpres Funções Pres e Ímpres Funções pres e funções ímpres têm séries de Fourier mis simples que s de outrs funções Definição. Um função rel f : R R é pr se f( x = f(x; f é ímpr se f( x = f(x. 1.1 Exemplo. As funções constntes, x, x, x 4, x n e cos nπx pr qulquer n N,, são funções ex pres. b As funções x, x 3, x n+1 e sen nπx pr qulquer n N, são funções ímpres. c As funções e x, x + x + 1 não são nem pres, nem ímpres Proposição. (Proprieddes elementres ds funções pres e ímpres (i A som de dus funções pres é um função pr; som de dus funções ímpres é um função ímpr. (ii A som de um função pr e um função ímpr não é pr, nem ímpr ( não ser que um dels sej função nul. (iii O produto de dus funções pres é um função pr; o produto de dus funções ímpres é um função pr.

29 Rodney Josué Biezuner 8 (iv O produto de um função pr e um funções ímpr é um função ímpr. Prov: A verificção dests proprieddes é muito fácil: por exemplo, se f e g são ímpres, então (f + g( x = f( x + g( x = f(x + ( g(x = (f + g(x, (fg( x = f( xg( x = ( f(x( g(x = f(xg(x = (fg(x. As demis proprieddes são deixds pr o leitor verificr Proposição. (Integrção de funções pres e ímpres ( Sej f : R R um função pr, integrável em qulquer intervlo limitdo. Então, pr todo R vle f(x dx = f(x dx. (b Sej f : R R um função ímpr, integrável em qulquer intervlo limitdo. Então, pr todo R vle Prov: Temos f(x dx = f(x dx =. f(x dx + f(x dx. Fzendo mudnç de vriável t = x n primeir integrl, se f for pr temos e se f for ímpr temos f(x dx = = f(x dx = = f( t ( dt + f(t dt + f( t ( dt + f(t dt + f(x dx = f(x dx = f(x dx = f(x dx =. f(x dx, f(t dt + f(t dt + f(x dx f(x dx Como conseqüênci dests dus proposições, obtemos que série de Fourier pr um função pr é um série de cossenos, enqunto que série de Fourier pr um função ímpr é um série de senos: 1.15 Proposição. (Séries de Fourier de funções pres e ímpres ( Sej f : R R um função pr que stisfz s hipóteses do Teorem de Fourier. Então, n = f(x cos nπx b n = pr todo n, dx, n =, 1,,..., logo f(x = + n cos nπx.

30 Rodney Josué Biezuner 9 (b Sej f : R R um função ímpr que stisfz s hipóteses do Teorem de Fourier. Então, logo n = pr todo n, b n = f(x sen nπx f(x = dx, n = 1,,..., b n sen nπx Exemplo. (Ond em dente de serr Considere função f(x = x, se < x <, f( = f( =, periódic de período. y x Como f é ímpr, temos n = e b n = = nπ f(x sen nπx [ cos nπ + nπ = nπ ( 1n+1, dx = sen nπx logo série de Fourier de f é série de senos Figur 1.1 [ x sen nπx dx = nπ ] = cos nπ nπ x cos nπx + nπ cos nπx dx ] f(x = π ( 1 n+1 n sen nπx.

31 Rodney Josué Biezuner 3 y x 1 3 Figur 1.13: Gráfico ds soms prciis desde n = 1 té n = k pr k = 1,, 3, 4, 5 ( = π. y x 1 3 Figur 1.14: Gráfico d som prcil desde n = 1 té n = 1 ( = π Extensões Periódics Pres e Ímpres de Funções Definids em Intervlos Dd um função f : [, ] R definid em um intervlo fechdo, diferenciável por prtes, podemos obter váris séries de Fourier diferentes pr f. De fto, pr obter um série de Fourier pr f, precismos extender f um função definid n ret tod e que sej periódic, de período. No entnto, est extensão pode ser relizd de um infinidde de mneirs diferentes, desde que função resultnte stisfç s hipóteses do Teorem de Fourier. As extensões mis utilizds n prátic são s extensões de f um função pr, de modo que série de Fourier de f é um série exclusivmente de cossenos, e de f um função ímpr, de modo que série de Fourier de f é um série exclusivmente de senos. Qul dels é escolhid depende d plicção prátic que se tem em mente, como veremos mis trde, embor às vezes escolh tmbém é ditd pel diferenç d velocidde de convergênci entre s séries obtids (vej o exemplo seguir. 1. Extensão periódic pr de f: Defin f(x = f( x pr x [, ] e declre f periódic de período.

32 Rodney Josué Biezuner 31 y x Figur 1.15: Extensão pr.. Extensão periódic ímpr de f: Defin f(x = f( x pr x [, e declre f periódic de período. y x Figur 1.16: Extensão ímpr Exemplo. Considere função f(x = x se x. Se tomrmos extensão periódic pr de f, obteremos função { x se x <, f(x = x se x <, f(x = f(x +, que é ond tringulr, cuj série de Fourier é série de cossenos que já obtivemos nteriormente: f(x = 4 1 (n 1πx π cos. (n 1 Por outro ldo, se tomrmos extensão periódic ímpr de f (redefinindo f( =, obteremos função f(x = x se < x <, f(x = f(x +, f( = f( =,

33 Rodney Josué Biezuner 3 que é ond em dente de serr, cuj série de Fourier é série de senos clculd cim: f(x = π ( 1 n+1 n sen nπx. Os coeficientes de Fourier d série de cossenos de f decrescem n ordem de 1, enqunto que os n coeficientes de Fourier d série de senos de f decrescem n ordem de 1. Portnto, convergênci d n expnsão em cossenos de f é muito mis rápid do que convergênci d expnsão em senos de f. Isso se deve o fto de que extensão de f um função pr é um função contínu n ret tod, enqunto que extensão de f um função ímpr é um função que possui descontinuiddes nos pontos d form x = k, k Z. Em gerl, como veremos n seção seguir, qunto mior regulridde de f, mis rápid é convergênci d su série de Fourier. 1.5 Estimtiv dos Coeficientes de Fourier A rpidez d convergênci d série de Fourier depende dos coeficientes de Fourier. Sej f periódic de período. Suponh que 1. f é bsolutmente integrável em [, ]. Neste cso, podemos obter seguinte estimtiv simples pr os coeficientes de Fourier: 1 n = f(x cos nπx dx 1 f(x cos nπx dx 1 f(x dx, 1 b n = f(x sen nπx dx 1 f(x sen nπx dx 1 f(x dx. Definindo constnte M = 1 f(x dx, obtemos portnto s seguintes estimtivs pr os coeficientes de Fourier: n, b n M pr todo n. (1.5 Como função é pens integrável, tudo o que conseguimos obter é que os coeficientes de Fourier são limitdos. A série de Fourier pode nem mesmo convergir. Suponh gor que. f é contínu e su derivd f é bsolutmente integrável em [, ]. Dest vez podemos integrr por prtes pr obter de modo que Anlogmente, n = 1 b n = 1 f(x cos nπx dx = 1 nπ f(x sen nπx 1 f (x sen nπx nπ dx n = 1 f (x sen nπx dx. (1.6 nπ f(x sen nπx dx = 1 nπ nπx f(x cos = 1 1 (f( cos nπ f( cos( nπ + nπ nπ + 1 f (x cos nπx nπ dx f (x cos nπx dx

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