Praciano-Pereira, T de abril de Introdução à integração múltipla Praciano-Pereira, T 15 de abril de 2013

Transcrição

1 Introdução à integrção múltipl Prcino-Pereir, T 5 de bril de Introdução à integrl múltipl Prcino-Pereir, T 5 de bril de

2 . Integrl geométric Este teto se encontr n versão preliminr, qundo tiver tingido versão definitiv est observção irá desprecer. Sou grto se me pontrem erros, inclusive de sinte. Já encontrei erro que corrigi deindo no locl um not de rodpé indicndo o erro que hvi. Como pêndice deste teto sobre integrl dupl há um tbel de integris bstnte etens cuj utori se encontr declrd o finl. Inclui tmbém como pêndice um teto do meu livro de Cálculo I (em preprção) sobre integris simples que complemntm s ideis qui presentds... O plno do trblho Nest introdução vou mostrr:. com uílio de eemplos, que o Teorem Fundmentl do Cálculo se plic e é intuitivo Som de Riemnn pr f; psso=. dt. Vou presentr progrms com os quis vou clculr integris conhecids mostrndo que os progrms podem ser usdos pr testr (verificr) os eercícios que você venh fzer pr relembrr o cálculo de integris.. Finlmente tmbém vou plicr s soms de Riemnn pr deduzir um propriedde importnte de um função cuj integrl vou clculr conduzindo o logrítmo neperino. 4. Depois vou pssr às integris dupls que serão interpretds, geométricmente, como volumes de sólidos no espço tridimensionl. Tmbém neste cso vou mostrr como els podem ser clculds proimdmente usndo soms de Riemnn dupls. Neste ponto veremos s dificulddes que precem qundo pssmos pr dimnensões miores que um e os poucos vmos prender contornr tis dificulddesé qundo veremos que vle pen profundr bstrção pr conseguir progrms mis efetivos. Um form de compreender o símbolo b f()d é ( figur ), págin, N (figur ) você pode ver o contorno do gráfico de um função preenchido com retângulos representndo um proimção d áre limitd entre o gráfico def oeioox edoisnúmeros, =,b =, chmdosdelimitedeintegrção. O gráfico foi feito por um progrm em C++ com uílio de gnuplot observe o detlhe no cálculo ds lturs dos retângulos, são sempre os vlores que função f no início de cd subintervlo Figur : som de Riemnn no cálculo d integrl d função f Preste tenção o último retângulo, com áre positiv qundo função o finl do intervlvlo, troc de sinl, pssndo ser negtiv num ponto do último subintervlo. Este cálculo proimdo é feito com um erro o substituirmos áre do conjunto de retângulos pel áre delimitd pelo gráfico d função. Este erro pode ser minordo se umentrmos o número de retângulos, diminuindo bse dos mesmos o que pode ser fcilmente feito com um progrm de computção.. Interpretção geométric d integrl.. Acelerção nul A figur (), págin, represent velocidde constnte em qulquer momento do tempo como v(t). A distânci percorrid entre o momento t = e t = b é b v(t)dt = v (b );v é velocidde constnte ()

3 b Um móvel que trfeg à velocidde constnte. áre do retângulo é distânci percorrid. Figur : A integrl d velocidde constnte Posso trnsformr este cálculo pr fzer precer epressão do Teorem do Fundmentl do Cálculo: v (b ) = v b v () S(t) = v t; b v(t)dt = S(t) b () b v(t)dt = S(t) b = S(b) S() = v b v (4) (5) e o Teorem do Fundmentl do Cálculo é um epressão lgorítmic que us um ds primitivs de v pr escrevermos vrição S(b) S() produzindo o vlor d integrl... Qundo celerção é constnte e diferente de zero O próimo eemplo que tmbém é fácil de construirmos seri distânci percorrid por um móvel em movimento uniformemente celrdo, gor celerção é que é constnte. O próimo gráfico é um eemplo deste movimento em que velocidde tem celerção constnte, derivd d velocidde é celerção, é o coeficiente ngulr constnte d ret y = v(t) que represent o gráfico d velocidde n (figur ), págin 4, v(t) t b derivd d velocidde é celerção é o coeficiente ngulr constnte d ret y = v(t) o O ponto zero do percurso. estção centrl Figur : velocidde com celerção constnte As etiquets do gráfico n (figur ). O pequeno retângulo mostr o ponto inicil do percurso, por eemplo estção principl dum metro subburbno, então estção t = represent um distânci negtiv sendo percorrid, o gráfico prece bio do eio dos tempos.. Se um pssgeiro tomr o trem no ponto zero, ms n direção errd, n direção d estção, qundo desejv ir pr estção b, então o cálculo d distânci percorrid s = b v(t)dt = o v(t)dt + b o v(t)dt (6). Qundo o pssgeiro presentr cont n empres que lhe pg vigem, o ptrão mesquinho lhe dirá que o v(t)dt tem vlor negtivo e vi 4

4 ser deduzid (subtrid) do vlor d vigem b o v(t)dt porque empres somente pg s vigens d estção centrl té estção mis próim do locl de trblho. A integrl tende o ponto de vist do ptrão mesquinho e no vlor estção té estção centrl o. b v(t)dt já ficrá subtrid prte d vigem d Nste cso ind sbemos clculr integrl, é áre de trpésio e podemos ver que integrl de um função do primeiro gru é dd por um função do segundo gru:.. O movimento do pêndulo Um outro eemplo mis clro pr o vlor negtivo d integrl poderi ser dum pêndulo que você soltsse de um cert ltur, sob suposição de que não hj resistênci do r e nem trito no ponto de poio consumindo energi cinétic do peso preso à cord. A (figur 4), págin 6, mostr o ponto de prtido A mão que soltou o pêndulo onde energi cinétic se nul b v(t) = (t o)); é celerção constnte. (7) v(t)dt = [v()+v(b)](b ) regr do trpésio. (8) b v(t)dt = [ ( o))+ (b o)](b ) (9) b b b b b v(t)dt = [ (+b) o](b ) () v(t)dt = v(t)dt = [ (b ) o(b ) ] () [ b ob+ o ] () v(t)dt = b ob [ o ] () v(t)dt = S(b) S();S(t) = t ot; (4). N equção (7) v(t) é um função do primeiro gru em que o coeficiente ngulr é derivd constnte, celerção.. N equção (8) estou clculndo integrl usndo epressão d áre de um trpésio, porque triângulos são trpésios degenerdos.. D equção (9) té equção (4) está álgebr necessári pr construir epressão do segundo gru de S(t). Somente um observção, en pssnt, ests conts mostrm porque n equção de um movimento em qued livre prece o coeficiente g no termo do segundo gru d equção do movimento, porque celerção constnte do movimento é celerção nd constnte d grvidde que é designd por g. Figur 4: A mão que soltou o pêndulo o peg de volt qundo mão se bre liberndo energi potêncil pr o pêndulo té o ponto finl onde energi cinétic irá se nulr. O movimento do pêndulo ( curv d velocidde) que prece n (figur 5), págin 7, é um curv errd, porque o tempo não nd pr trás...pens estou sugerindo que s curvs d distânci percorrid no sentido do ponto em que mão solt o peso té onde energi cinétic seesgotésimétricàcurv do percurso deretornopropontoemque mão irá grrr de voltopeso. A verddeir curv que represent o movimento se encontr n (figur 6), págin 8, é curv d velocidde cuj integrl vou 5 6

5 A mão que soltou o pêndulo onde energi cinétic se nul ponto em que mão solt o peso ponto em que mão peg de volt o peso t= t=fim curv errd d distânci percorrid pelo pêndulo ponto onde energi cinétic se esgot pel primeir vez Figur 5: A figur errd d curv d distânci percorrid pelo pêndulo Figur 6: A curv d velocidde no percurso do pêndulo gor discutir. Os gráficos form feitos à mão usndo fig e têm lguns defeitos, há pontos em que não poderi ter derivd, isto está errdo, derivd eiste em qulquer ponto do gráfico dests funções. Eu usei técnics de edição de gráficos copindo e simetrizndo e trnsltndo os pedços o que produz estes erros. Se y = v(t) for curv que vemos n ( figur 6) podemos nel ler lguns ddos interessntes:. Nos etremos do intervlo velocidde é zero, qundo mão solt ou qundo peg de volt o peso.. A velocidde novmente é zero no ponto centrl, qundo se esgot energi cinêtic e energi potêncil tinge o seu vlor máimo (lei d conservção d energi). Este é um ponto em que curvtur do gráfico se lter, um ponto de infleão do gráfico. Nós estmos vendo, n ( figur 6) curv d derivd d distânci que é velocidde.. Como s dus bolhs que precem n ( figur 6) são nti-simétrics, um é negtiv e outr é positiv, ms representm mesm áre geométric então áre lgébric representd pelo movimento totl será nul: o pêndulo está de volt à mão que o soltou. 4. Há um ponto de máimo d velocidde e outro ponto de mínimo d velocidde. 5. t=fim t= v(t)dt = distânci percorrid. 6. O ponto finl prece ser igul o ponto inicil, ms são dois vlores difer- 7 8

6 entes do tempo em que ocorrem os dois eventos, síd (d mão) e volt (pr mão): t=fim t= v(t)dt = S(t) fim = S(fim) S() = é o Teorem Fundmentl do Cálculo em ção. A equção y = S(t) do movimento do pêndulo é um pouco complicd pr que eu poss deduzí-l qui, el não é um equção do segundo gru té mesmo porque equção d velocidde do pêndulo não é do primeiro gru, é composição de dois movimentos, um verticl que é qued livre, e um movimento horizontl. Nos poderemos mis à frente retornr est bel equção...4 Cálculndo integrl com um progrm Antes de escrever o progrm vou relembrr s fórmuls de integrção pr s funções polinômiis porque depois vou testr o progrm com s fórmuls ets. Este eemplo vi servir-lhe de modelo qundo você recorrer os livros de Cálculo I pr relembrr integrção univrid, você poderá usr o progrm que vou presentr mis bio pr testr se os seus cálculos form feitos corretmente e ssim não irá precisr de recorrer às resposts no finl do livro (qundo houver...). As fórmuls de integrção. Vimos que primitiv de um função constnte, o cso do movimento com velocidde constnte, é um função do primeiro gru. f(t) = m;f(t) = m(t t ); integrl depende do ponto inicil do movimento (e tmbém do ponto finl...). Époristoqueeisteumconstntedeintegrção,ouindporque há múltipls primitivs de um função.. A primitiv de um função do primeiro gru, o cso do movimento com celerção constnte, como é o cso do movimento em qued livre com celerção constnte d grvidde. t f(t) = mt;f(t) = mt +C = f()d t constnte de integrção é o resultdo do vlor inicil d integrl.. E você deve se lembrr que t f(t) = mt n ;F(t) = mtn+ n+ +C = f()d t 9 como sempre constnte de integrção é o resultdo do vlor inicil d integrl. O progrm Vou mostrr-lhe um progrm em python porque vou poder rodá-lo de form mis bonit do que o poderi fzer em C++. from mth import * def f(): return pow(,); def riemnn(f, inicio, fim, n): = som= delt = (fim-inicio)/flot(n); while( < fim): som += f(); ## increment som com f() += delt; return(som*delt); print riemnn(f,,,); print riemnn(f,,,); print riemnn(f,,,); print riemnn(f,,,); print riemnn(f,,,); print riemnn(f,,,);..5 Função definid vi integrl Logritmo neperino Nest seção vou mostrr-lhe o uso d som de Riemnn como instrumento teórico pr fzer demonstrção de um propriedde de um clsse de funções: f() = K. A propriedde que vou demonstrr somente é válid pr s funções dest clsse, portnto não espere poder usá-l com um função qulquer. Antes de prosseguir deie-me slientr importânci ds funções dest clsse. Els estão involvids com lei de Newton pr grvitção universl - mtéri tri mtéri n rzão diret de sus msss e n rzão invers do qudrdo d distânci entre els. Aqui interess-me rzão invers, o prâmetro r que mede distânci entre os corpos prece no denomindor, neste cso d lei d grvitção universl, o qudrdo, ms no fundo é mesm clsse de problems, qunto mior for r, menor será influênci d grvidde. Outros eemplos de importânci ds funções do tipo K são o decimento rdiotivo, rzão de diluição de um composto químico num solvente. Em

7 todos estes csos integrl dests funções se encontr envolvid pr clculr quntidde do fenômeno em considerção. Isto mostr que é importnte sber clculr Como b b K d;,b > ; (5) Kf()d = K b f()d então vou usr K = ns conts que seguem. Pr chegr à propriedde que desejo demonstrr, vou usr um som de Riemnn uniforme que neste cso conduz à demonstrção gerl porque podemos provr que integrl n equção (eq 5) eiste, então s soms de Riemnn uniforme convergem pr integrl d mesm form com s não uniformes. Entretnto demonstrção se poi fortemente no fto de que estou usndo soms de Riemnn uniformes. b = b n ; (6) f()d n f(+k ); (7) b b b k= d n +k ; (8) k= d n k= n d k= / +k +k ; (9) ; () = ; um novo vlor pr ; () b n d +k ; () k= = = b n = b/ / n = b/ n () N equção (eq. ) estou mostrndo que é medid de um elemento d prtição do intervlo [,b/]. Se observrmos gor que som de Riemnn n (eq. ) corresponde à função f() = no intervlo [,b/] então, nest equção temos um proimção pr integrl concluimos (e demonstrmos) que b/ d (4) Teorem Propriedde de f() = b b/ d = d;,b > ; isto, pr est clsse de funções, podemos cncelr o primeiro limite de integrção. Cálculos semelhntes mostrm que vle, pr o segundo limite de integrção, est lei do cncelmento: b d = d;,b > ; Os cálculos seguintes mostrm que est propriedde é prátic: = Assim, pr clculr /b d+ d+ d+ = d+ d+ d+ 4 d = d = (5) d = (6) d = (7) d = 4 d (8) dbstclculr demultiplicá-lpelpotênci de correspondente. Isto vle pr qulquer potênci: n d = n e vle pr produtos que não sejm d mesm bse.. b d = d+ b d = d (9) O que justific crirmos um função definid por est integrl. Definição (logritmo) Logritmo neperino ln() = d; > ; b d+ d ()

8 e gor o conteúdo d equção (eq. ) pode ser escrito ln(b) = ln() + ln(b) () que é fmos função logritmo que reinou durnte 4 nos como máquin de clculr té que s máquins de clculr eletrônics vierm destruir o seu reindo de qutro séculos. Ms el continu importnte, é com el que podemos clculr quntidde de rditividde de um mostr, ou su vid médi o que nos permite clculr dt de objetos ntigos (sbendo vid médi de um isotopo e medindo o espço que sobrou com o seu evpormento rditivo ). Vou presentr-lhe um técnic importnte no cálculo d integrl. f g.4 Trnsformndo o domínio de integrção A chmd mudnç de vrivel O ssunto de que vou trtr qui é designdo n litertur de mudnç de vrivel. Est denominção é imprópri por váris rzões, um dels é que n epressão I = b f()d () não eiste nenhum vriável, I é um número, um constnte! Não há possibilidde de tribuirmos um vlor o que prece neste símbolo. Apesr disto, est construção mgnific d mente humn funcion como se lí houvesse um vriável, s conts funcionm como se ssim fosse. Por outro ldo est nomencltur está por demis entrnhd n litertur o que torn impossível pensr em lterá-l. Est introdução serve pelo menos pr que leitor fique dvertid de que há um impropriedde de nomencltur que pode interferir em su bo compreensão do ssunto: se não eiste nenhum vriável n equção (), como é que vmos fzer um mudnç de vriável... Vou começr com lguns eemplos pr justificr o ssunto. N figur (fig. 7), págin 4, você vê os gráficos de f e de um trnslção de f. A integrl de f e de g são iguis porque medid d ret é uniforme. Pode d +d ser mis fácil clculrmos f()d qundo desejrmos clculr g()doque n prátic é o mesmo que lterr o domínio de integrção de g, chmd mudnç de vriável. Um eemplo numérico jud compreensão deste método. f() = ;g() = ( ) ; 4 g()d () Preço é um medid e se pudessemos trnsltr um terreno de um cidde o seu preço ficri lterdo. Preço não é um medid uniforme. g() = f( ) d +d Figur 7: f()d = g()d Defin ests funções num terminl do gnuplot e fç-lhes os gráficos pr verificr que trnslção definid cim trnform prábol pdrão f() = num trnslção cujo vértice se encontr no ponto (,), um trnslção no sentido positivo do eio OX. f() = **; g() = f(-); plot f(), g(), f() = ;g() = ( ) ; (4) 4 4 g()d = ( ) d = (5) 4 = ( ) d( ); (6) 4 u du; fzendo u = ; ( ) d( ) = = u = ; = 4 u = (7) 4 ( ) d = u du = u = (8) Umoutro eemplomiscomplicdo equejustific bem vliddedo método é integrl de funções com rízes como Ou sej, se quisermos fzer trnslção pr o ponto, operção deve ser. 4

9 d (9) Neste cso equção do círculo de rio nos jud fzer um trnsformção pssndo pr círculos unitários que depois nos permitem usr identiddes trigonométrics. Acompnhe sequênci de trnsformções I = d = u = /;du = d(/) = d/; π/ I = π/ (/) d = I = u = sin(t);du = cos(t)dt; u = t = π/; u = t = π/; sin π/ (t) cos(t)dt = { = u = ; = u = ; (/) d/; (4) (4) u du; (4) π/ A últim integrl é consequênci de π/ cos +sin π/ (t)dt = π; cos (t)dt = π/ π/ π/ π/ cos (t)dt = sin (t)dt = π π/ π/ (4) cos (t)dt = π (44) π/ π/ Usndo progrm riemnn.py com s seguintes definições def f(,): if (bs() <= ): return sqrt(pow(,) - pow(,)); else: return ; sin (t)dt; = print riemnn(lmbd t:f(t,),-,,., ), pow(,)*pi/ ; (45) síd de ddos é o primeiro número é o resultdo d som de Riemnn, o segundo é o resultdo d epressão de controle π ; =. O erro é 6 pr o psso de integrção = 4. SomdeRiemnnnãoéummétododegrndeprecisão procálculoproimdo de integris, há outros muito melhores, que, entretnto, usm metodologi ds soms de Riemnn pr celerr os resultdos e conseguir lt precisão. Estou qui me referindo às som de Riemnn com um método simples pr introduzir leitor no uso de métodos computcionis em seu prendizdo de Mtemátic. É certo que você precisri ter um grnde prátic no cálculo de integris pr conseguir obter resultdos etos nos muitos csos em que isto é possível. Por outro ldo eistem etenss tbels de integrção públics em que é possível consultr os csos conhecidos. No cso de você desejr dquirir est hbilidde, o progrm riemnn.py pode servir-lhe de poio n verificção dos seus resultdos, ms você deverá usá-lo pens pr testr se obteve o resultdo correto e seguir tentndo té conseguir o resultdo, do contrário você estrá usndo o progrm como um vídeo gme e isto não pode significr prendizdo! Deie-me terminr est seção escrevendo fórmul gerl pr mudnçs de vriáveis que n verdde é regr d cdéi pr integrl. Antes de prosseguir, deie-me chmr su tenção pr os componentes do processo:. o primeiro item é um novo domínio de integrção, isto será crucil em lguns csos, isto é muito visível no Cálculo Multivrido.. o segundo item é função que vou chmr de g que fz trnsformção pr o novo domínio, e qui vou usr um metodologi que difere um pouco d usul: novo domínio g domínio ntigo miori dos utores prefere o sentido inverso deste, que considero o mis nturl.. função que fz pssgem de domínios preceu nos eemplos nteriores junto com su derivd, porque é derivd de g que estbelece relção de escl entre os dois domínios. Est é rzão porque começo com hipótese de que g sej diferenciável. Quero clculr integrl b f()d e descubro que se trnsformr função f usndo um função diferenciável g obtenho um integrl conhecid. A figur (fig 8), págin 7, mostr, grficmente, o que pretendo construir. A derivd de g, g é o ftor de conversão entre s medids de e t de modo que seri ecelente se pudessemos escrever = g (α+k t) t É óbvio que você pode usr o progrm pr clculr proimdmente integris, se este for o seu objetivo. 5 6

10 =g ( t ) ou equivlentemente, qundo refinrmos, indefinidmente 4, prtição e qui vemos rzão d hipótese de que mudnç de domínio g sej diferenciável, o que nos permite escrever equção (5), ou, finlmente, equção (5). As soms de Riemnn são sempre proimções d integrl (no sentido de Riemnn), se el eistir 5. b t g g é o ftor de conversão entre s medids dos subintervlos nos dois dominios de integrção b n k= b f()d n k= f( k ) k (5) β f(g(t k )g (t k ) t k f(g(t))g (t)dt; (5) β f()d = f(g(t))g (t)dt = α α g (b) g () f(g(t))g (t)dt (54) Figur 8: A mudnç de domínio g ms infelizmente mudnç de domínio g não precis ser liner e com frequênci não o é, el cri um deformção geométrico-topológic entre o domínio velho,, e o novo domínio, Ω. Se prtição for uniforme em [,b], e em gerl não teremos, um prtição uniforme em [α, β], então o melhor cminho é considerr um epressão mis gerl pr s soms de Riemnn deindo- indepedente de prtições uniformes. Vmos considerr s prtições em [,b]; =,..., n = b; (46) b f()d n k= f( k ) k ; (47) [,b] = g([α,β]); = g(t ) = g(α),..., n = g(t n ) = g(β); (48) = n k g( t k ); n k= k= f( k ) k n k= f(g(t k ))g( t k ) = (49) f(g(t k )) g( tk) t k t k = n h(t k ) t k ;h(t) = f(g(t k ))g (t); (5) k= β β β h(t)dt = f(g)dg = f(g(t))g (t)dt (5) α α α N equção, (49), k g( t k ) é consequênci d continuidde (diferencibilidde) de g, o erro em considerr g( t k ) em lugr de k se reduz o refirnrmos prtição. Entretnto, som obtid nest equção não é um som de Riemnn, ms se dividirmos e multiplicrmos por t k temos epressão d som de Riemnn e o quociente g( tk) t k tem como limite o vlor d derivd de g no ponto t k, qundo o termo no quociente se proimr de zero, 4 Com condição de que norm d prtição sej um sucessão com limite zero. 5 Sempre estou trblhndo sob est hipótese de que integrl eist, o cso contrário não me interess qui. 7 8

11 .5 A integrl dupl A integrl simples, do Cálculo I, foi interpretd como áre lgébric limitd pelo gráfico d função, pelo eio OX e por dois limites de integrção. No cso bivrido teremos um domínio no plno onde z = F(,y) está definid enão interpretção geométric d integrl dupl é o volume de um sólido limitdo pelo gráfico d função, pelo plno XOY e pel fronteir do domínio. Algunseemplosprnosjudrcomporintuição, (figur9), págin 9, Se função F for constnte então F(,y)ddy é o volume lgébrico que um domínio no plno onde z = F(,y) está definid O método de proimção que epus pr integrl simples se plic qui com certs modificções e vmos ver logo neste cso como frimos. Como tudo que sbemos clculr são s medids ds figurs com limite retilíneos então síd consiste em escolhermos um retângulo que contenh como mostr (figur ), págin, um domínio no plno onde z = F(,y) está definid escolhermos um retângulo que contenh Figur : Primeir proimção com um retângulo que contenh Figur 9: O domínio do plno onde z F(,y) está definid tem ltur F(,y) com bse. Então já começrm os nossos problems porque pode ser difícil clculrmos áre d bse. Neste cso, d função constnte, o volumeseri áre d bse vezes ltur. O volume obtido considerndo á áre do grnde retângulo como áre d bse já seri um proimção pese repuls que isto cus pelo grnde erro cometido. A próim figur, (figur ), págin, mostr como podemos reduzir o erro. Consider-se mlh que pode ser colocd sobre induzid por mlhs selecionds ns projeções horizontl e verticl de sobre os eios coordendos. Sej [, b] [c, d] o retângulo obtido pels projeções horizontl, [,b] e verticl, [c,d] de. 9

12 um domínio no plno onde z = F(,y) está definid escolhermos um retângulo que contenh Figur : de F em cim do vértice à direit e bio em cd retângulo seleciondo n mlh. Comprndo com s soms de riemnn univrids, gor temos soms de volumes de prlelepípedos enqunto no cso univrido tinhmos soms de áres de retângulos. Estmos tmbém estbelecendo um convenção, ltur é sempre tomd no vértice inferior esquerdo em cs retângulo, dest form o progrm tem selecionr os retângulos considerndo pens se este vértice fic interior o domínio (não é preciso que o retângulo inteiro estej contido em. Se convenç de que, refinndo mlh (tomndo miores vlores pr n e m) precisão no cálculo ument. Qundo usrmos s soms de Riemnn em demonstrções teórics não podemos fzer suposição de que s prtições sejm uniformes, ms se pudermos provr que integrl eiste, então neste cso, sim, podemos considerr prtições uniformes que produzem notável simplicidde e rpidez nos progrms um vez que será possível colocr em evidênci (propriedde distributiv do produto reltivmente à som) o produto y; eliminndo dus operções em cd um dos nm cíclos do progrm. Isto pr lhe mostrr que é possível já fzermos um progrm pr clculr integris dupls proimdmente. Entretnto, você logo verá que lgums outrs técnics podem ser usds pr produzirmos um progrm mis simples. É um complicção etr, tomd de decisão e nós poderemos evitá-l. se ( k,y j ) ; (,y) [,b] [c,d]; (55) = +k ;k =...n ; (56) y = c+j y;j =...m ; (57) V n,m = F(,y) n m y; se ( k,y j ) ; (58) k= j= F(,y) = um constnte; (59) e o progrm pns ceit ( k,y j ) qundo for um vértice de retângulo d mlh interior à como mostrm os pequenos círculos indicndo os retângulos seleciondos d mlh. O erro decrecesce qundo mlh for refind, ou equivlentemente, considerndo vlores cd vez miores pr n, m. Se F não for constnte epressão do volume proimdo será n V n,m = m k= j= F( k,y j ) y; se ( k,y j ) ; (6) A diferenç entre s dus soms consiste em que no primeiro cso, (58) F(,y) é um constnte, enqunto que n (equção 6) F( k,y j ) é o vlor def F(,y): return ; # eclusiv pr círculos como domínio def riemnndupl(f, inicio, fim, n): som, delt,, y =, (fim-inicio)/(n*.), inicio, inicio; while(<fim): y = inicio; while(y < fim): if ( pow(,) + pow(y,) < ): som += f(,y) y += delt; += delt; return(som*delt*delt); print riemnndupl(f,-,,) print riemnndupl(f,-,,) print riemnndupl(f,-,,) Este progrm se encontr no link progrms d págin de su disciplin, ele está no rquivo riemnn.py, que rod tnto riemnn() pr o cálcul de

13 integris simples como riemnndupl() pr o cálculo de integris dupls. Est versão d função riemnndupl() está feit pr funcionr com domínios circulres, mis precismente com círculo de rio, ver if ( pow(,) + pow(y,) < ): que sendo verdde tuliz o vlor de som. Num dos eercícios d list você é instdo lterr est condição pr que riemnndupl() trblhe com um retângulo, neste cso, depois que você estiver certo de que função estej funcionndo corretmente, grve função lterd com outro nome, por eemplo riemnnretngulo() e me envie um cópi. Os eercícios d list se concentrm n leitur dos símbolos F(,y)ddy; (6) b c b c b g f d F(,y)ddy; (6) d F(,y)dyd; (6) F(,y)dyd; (64) porque é preciso desenvolver intuição geométric que irá nos levr entender que tipo de medid integrl represent. N próim seção vou discutir cd um destes símbolos, ssocindo-os com figurs geométrics, pr mostrr-lhe o sentido simples, e funcionl, que eles representm, pr judá-l superr o impcto que eles produzem. N próim list vmos nos dedicr o cálculo d integrl. Seri interessnte prender usr um dos progrms, octve, [] ouj scilb, [4], decid-se por um dos dois, eles são muito semelhntes e igulmente muito bons. N bibliogrfi, o finl do teto, há mis informções sobre estes progrms. Você encontrrá mis progrms em [], bie-os, ltere-os, rode e prend progrmr..5. O símbolo d integrl múltipl Nest seção vou nlisr os símbolos ds integris dupls que precem ns equções (eq. 6) -(eq. 64). O cso d equção (eq. 6) O primeiro símbolo é equivlente F(,y)dyd e pr ser clculdo etmente deve ser usd últim epressão, n equção (64), qundo for possível identificr-se s curvs dequds pr su interpretção. Lei o último cso. A interpretção geométric é que temos um volume lgébrico, cuj bse é figur pln contid no plno XOY, limitdo pelo gráfico de F, pelo plno XOY e pel epnsão d fronteir de té encontrr superficie z = F(,y). Por eemplo, se for um retângulo e F for um plno não prlelo XOY então equção (6) é o volume de um pirâmide. O cso d equção (eq. 6) Nestecso odomínioéoretângulo[c,d] [,b]porqueintegrlintern éreltiv à vriável cujos limites de integrção são os etremos do intervlo [c,d]. Clculmos primitiv de F reltivmente à vriável e evlumos nos limites c e d usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo tendo como resultdo um epressão em y cuj integrl se clcul novmente usndo o Teorem Fundmentl do Cálculo. Nos dois csos dependemos do conhecimento de primitivs dests funções pr plicr o Teorem Fundmentl do Cálculo. Alterntiv será usr riemnn(), ou riemnndupl() sem ser necessário condição do if(). Neste cso riemnndupl() fic ssim def riemnnretngulo(f, iniciox, fimx, inicioy, fimy, n): som, delt, delty =, (fimx-iniciox)/(n*.), (fimy-inicioy)/(n*.);, y = iniciox, inicioy; while(<fimx): y = inicioy; while(y < fimy): som += f(,y) y += delt; += delt; return(som*delt*delt); riemnnretngulo(f,, b, c, d, n) O cso d equção (eq. 6) Este é o cso simétrico do nterior. O cso d equção (eq. 64) Este cso é de longe o mis interessnte por est rzão eu vou dr três eemplos e você deve verificr que são precidos. Observe (figur ), págin 5, n qul você pode identificr o domínio de integrção limitdo por dus curvs que são os gráficos de dus funções, y = f() e y = g(). Queremos clculr um integrl e identificmos o domínio de integrção limitdopordus curvsquesão gráficosdedusfunções, como n figur (figur ), y = f() e y = g(). 4

14 um linh móvel reltiv o ponto g Um eemplo Um eemplo fl mis lto. Vou clculr integrl d função F(,y) = y +y 4y 5 y 7 sobre o círculo unitário centrdo n origem e dest form função riemnndupl() pode ser, fcilmente, usd pr conferir o resultdo. Primeiro os cálculos formis nos quis estou designdo por b y = f() = ; y = g() = ; s equções ds dus funções que enfeim o domínio Limites de integrção: dus curvs y = f() e y = g() Figur : Limites de integrção: dus curvs y = f() e y = g() Tudo se pss como se tivessemos um linh móvel reltiv o ponto deslisndo sobre o domínio e clculssemos integrl reltivmente y eliminndo ssim vriável y: e depois eliminmos 6, clculndo integrl b g f g f f F(, y)dy (65) F(,y)dy d (66) Observe ordem como precem os diferenciis que tem est função neste símbolo, indicr qul é ordem como s vriáveis estão sendo integrds, primeiro clculmos integrl mis intern (eq. 65) e depois mis etern, (eq. 66). 6 Hvi um erro qui. Estv eliminndo y, o correto é eliminndo. Qundo clculmos F(,y)dy eliminmos vriável y deindo pens vriável que vi ser g f elimind, gor, n próim integrção. y = f() = ;y = g() = ; (67) g F(,y)dyd = F(,y)dyd = (68) = I = f [ ] g F(,y)dy d = I +J +K +L (69) f [ y K = g f [ 4y 6 6 g f ] d;j = [ y 4 ] d;l = [ ] I = f() g() d;j = K = [ ] 4f() 6 4g()6 d;l = 6 6 I = J = K = L = 4 g f [ y 8 8 g f ] d; (7) ] d; (7) [ ] f() 4 4 g()4 4 d; (7) [ ] f() 8 g()8 d; (7) 8 8 [ ] 4 4 d = ; (74) [ ] f() 4 4 g()4 4 d = (75) [ ] 4f() 6 6 4g()6 6 d = ; (76) [ ] f() 8 8 g()8 8 d = (77) I +J +K +L = + = ; (78) Definindo F no rquivo riemnn.py (79) 5 6

15 def F(,y): return pow(,)*y + **pow(y,) - 4**pow(y,5) - pow(y,7); print riemnndupl(f,-,,) print riemnndupl(f,-,,) print riemnndupl(f,-,,) print riemnndupl(f,-,,5) este resultdo é confirmdo, rode o progrm e se convenç. Outro eemplo Um segundo eemplo: Vou clculr integrl d função F(,y) = y ; sobre o círculo unitário centrdo n origem e dest form função riemnndupl() pode, novmente, ser usd pr conferir o resultdo. Antes de prosseguir, observe que F(,y) consequentemente integrl F(,y)dyd não pode ser zero. Tmbém podemos fzer outr observção pr controlr os nossos cálculos, F é o produto de qudrdos e (,y) é um ponto interior do círculo unitário ou sobre fronteir, que dizer que, y. Isto signific que F(,y) <, e se convenç, então o volume limitdo por F será menor do que áre d bse, π, deindo mis clro: F(,y)dyd< π ms n verdde será muito menor do que π, entretnto um número positivo. Primeiro s conts: = 4 = π/ g F(,y)dyd = y dyd = (8) = = g() ( ) y d d = = 4 f g f d = (8) f() d = (8) ( ) d = (8) ( ) d = (84) ( ) d = (85) sin (t)cos 4 (t)dt = 4 π/ ( cos (t))cos 4 (t)dt = (86) = 4 π/ cos 4 (t) cos 6 (t)dt = (87) = π/6 5π/ (88) pr obter equção (eq. 86) usei mudnç de vriável := sin(t);t [,π/]; en (eq. 87)useiepressãoprintegrrpotêncisdecos,[,Lists of integrls]. Ms posso usr riemnn() e o seu vlor proimdo é Conferindo com riemnndupl() rodei print riemnndupl(f,-,,). pr obter , um número positivo menor do que π. Um terceiro eemplo Vou gor clculr o volume d esfer. A geometri nos ensin que este volume é clculdo com o modelo do volume d pirâmide tomndo o rio como lgur e bse sendo o disco máimo cuj áre é πr então o volume d esfer será 4 πr que deve ser o resultdo d integrção et e um vlor proimdo deste qundo usrmos um progrm. A equção d esfer, no R é um generlizção d equção do círculo do R, +y = r gor com três vriáveis: +y +z = r ; (89) r = +y +z = ; z = y = F(,y); (9) z = F(,y) = y ; (9) 7 8

16 é est função cuj integrl vou clculr em cim do círculo unitário que é o domínio de integrção. Posso escrever integrl que interess ssim F(,y)ddy = F(,y)dyd; (9) f [ ] g g F(,y)dyd = F(,y)dy d; (9) f y = f() = ;y = g() = ; (94) os dois rmos d fronteir do disco unitário são s funções y = f(),y = g(). I = f [ ] g g F(,y)dyd;= F(,y)dy d; = (95) f sej H um primitiv de F reltivmente y; (96) I = [H(,g()) H(,f())]d; (97) Est primitiv H pode ser encontrd n tbel de integrção colocd como pêndice deste teto, equção (): I = H(,y) = y ( ) y + y tn y ; (98) H(,g()) = π 4 ( ); (99) H(,f()) = π 4 ( ); () [H(,g()) H(,f())]d = π 4 = () = π 4 ( ) = 4π 6 ; () 4π O volume d esfer de rio é o dôbro deste vlor:. Este é o vlor do volume d clot superior d esfer de centro n origem e rio, portnto o volume d esfer S é 4π que é o vlor do volume de um pirâmide cuj bse meç π e ltur, o rio, meç. Se usrmos, pr testr os cálculos, função-python riemnnduplentrecurvs(g, F, G, inicio, fim, n) com. g(,y)= y. F() =. F() = 4. inicio = -; fim =, n = e bst-lhe colocr ests definições no finl do script, o finl do progrm riemnn.py, (mesmo que hj outrs funções com mesmo nome cim, serão ests que serão usds). O resultdo será em que n primeir colun se encontr síd de ddos do progrm pr n {,,} e n segund colun o vlor proimdo de 4π 6 clculd pelo interpretdor python. A áre d figur (fig. ), págin, é proimdmente clcuy= y= Figur : áre limitd pel prábol e pel primeir bissetriz ld com o progrm e vle = 6 etmente:.6 Eercícios dyd =.7 Trnsformção do domínio n integrl Mudnç de vriável em integrl múltipl Nest seção vou usr novmente técnic de mudnç de vriável pr obter o resultdo 6 9

17 e d = π () O integrndo é função chmd gussin que é importnte em estudos probbilísticos, n verdde gussin é g() = π e ; g()d = (4) o que torn g um função de probbilidde. A rzão deste cálculo se encontrr nest seção é que vmos precisr de clculr um integrl dupl pr obter integrl d equção (). Vou logo fzer um cálculo 7, reltivmente simples, que será usdo mis dinte: e e y ddy = fzendo R = e y ddy = e y ddy = (5) ( ) e e y dy d; (6) e y dy = Re d = R e d; (7) e d = R ; (8) e y ddy = R ; (9) síd de ddos será em que o primeiro número é proimção d integrl n equção (eq. 5) sobre o retângulo = [,] [,] e y ddy () e o segundo número é o vlor proimdo de π n memóri do python reltivmente o qul o cálculo com riemnn.py tem o erro n undécim cs deciml depois d vírgul ou sej um erro inferior 7 7E( ) com = y = =.8. Isto já nos permite ter o vlor proimdo d integrl n equção (eq. ) e t dt = π Nosso objetivo qui é fzer mudnç de vriável e obter este vlor etmente. A mudnç de vriável é o objetivo, o vlor d integrl d gussin é um teste pr verificr se metodologi está corret. O coeficiente de distorção entre s áres d região originl (em coordends crtesins) pr nov região (em coordends polres) é o módulo do determinnte d J(g), um número positivo. No Cálculo univrido este coeficiente é o módulo d derivd. Acompnhe os cálculos: 8 Observe proimção ecelente, obtid pel integrl no retângulo [,] [,], pr um integrl sobre o plno inteiro. Se soubermos clculr integrl dupl, poderemos deduzir o vlor d integrl e t dt = e y ddy = R () Rodndo o progrm riemnn.py com s definições def F8(,y): return ep(-pow(,)-pow(y,)); print riemnnduplretngulo(f8, -,, -,, ), pi 7 Est é um form de flr que tem objetivo evitr que leitor fç pergunts, se é simples não se deve fzer pergunts porque indicri flt de inteligênci. Não se intimide, pergunte se não estiver clro, ms rzão é que s vriáveis são sepráveis n integrl.

18 g(ρ,θ)= (,y) = (ρcos(θ),ρsin(θ)); () = ρcos(θ); y = ρsin(θ); +y = ρ ; () ( ) cos(θ) ρsin(θ) J(g) = ; (4) sin(θ) ρ cos(θ) ( ) ( ) d dρ = J(g) ; (5) dy dθ ( ) ( )( ) d cos(θ) ρsin(θ) dρ = ; (6) dy sin(θ) ρ cos(θ) dθ (( )) ddy = det(j(g)) dρdθ = cos(θ) ρsin(θ) det dρdθ = (7) sin(θ) ρ cos(θ) R R R ddy = ρdρdθ (8) R e ( +y ) A R π ddy = e ρ ρdρdθ = (9) π A R dθ ( e ρ ρdρ = π e ρ AR ) = () = π; () O número A que prece é etmente R, metde d medid do ldo do qudrdo, ms seri um pouco trblhoso justificr isto e vou mostrr-lhe como podemos evitr este trblho. N equção (eq. 4) eu clculei derivd implícit ds equções (eq. ) surgindo jcobin de g, J(g), cujo determinnte em módulo é o coeficiente de distorção locl entre s áres de R pr Ω R. O cálculo do limite n vrição em [,A R ], n equção (eq. 7), qundo R cresce indefinidmente, é ( ) e frção vem d correção de ρdρ um vez que pens tinhmos ρdρ. Podemos escrever um produto de integris, n integrl d equção (eq. 7), porque o integrndo é à vriáveis sepráveis.. Pr clculr est integrl vmos fzer mudnç de vriável indicd nos cálculos (eq. )- (eq. ) e representd geometricmente n figur (fig 4), págin 4, em que vou lterr o domínio R = [ R,R] [ R,R] pr o domínio Ω R no plno com coordends polres e vou proveitr pr dr-lhe um eemplo de como utlizção de desigulddes podem celerr os nosso cálculos, e no presente cso eu devo dizer evitr os cálculos... Eu não sei etmente qul é imgem invers Ω R = g ( R ), confir n figur (fig 4). A lógic me diz que deve ser um retângulo porque pens estou trduzindo com coordends polres um retângulo do plno, então Ω R = [ π,π] [,A R ] que é vrição do rgumento e do rio. Como o domínio contém origem como ponto interior, então o rgumento vri de π π. Imgem invers do qudrdo R imgem invers do qudrdo fic entre dois discos de rios R e R (, ) R g R Figur 4: g (,y) = (cos( ), sin( ) ) g (,y)ddy = J(g ) d d Observe que um retângulo, em coordends polres, corresponde um disco, neste cso um disco de rio A R. Ms eu não sei qul é o vlor eto de A R nem interess-me sbê-lo por que sei que está entre R e R, figur (fig 4) mostr isto. Como estou clculndo integrl de um função positiv, se medid do domínio umentr, ument o vlor d integrl 9 o que me permite escrever desiguldde: π R e ρ ρdρdθ e ρ ρdρdθ Ω R y π R R R R e ρ ρdρdθ () e qundo R crescer indefinidmente ests três epressões tem o mesmo limite pelo teorem (de limites) do snduiche: e ρ ρdρdθ = Ω π = πe ρ e ρ ρdρdθ = π dθ e ρ ρdρ = () = π( ) = π (4) em que Ω é o plno. Finlizmos ssim o cálculo integrl de e sobre ret inteir que é riz qudrd do vlor dest integrl dupl: 9 Aumentndo áre d bse, ument o volume. e d = π (5) 4

19 Este eemplo me permite de escrever fórmul de mudnç de vriável d integrl (regr d cdéi pr integrl) F(,y)ddy = F(g(s, t)) det(j(g))dsdt = F(g(s, t)) det(j(g)) dsdt Ω g () que corresponde o gráfico n figur (fig 5), págin 5, g f R. Pr escrever os primeiros progrms que clculssem integris dupls (ou múltipls) considerei um região retngulr contendo o domínio de integrção e dei como endereço pr os sub-retângulos d mlh o ponto inferior à esquerd de cd um deles pr ficr coerente com equção (eq. 6) e pr trblhr com prtições uniformes que permitem dr muito mior velocidde os progrms. 4. A epressão equivlente (eq. 7) pr funções multivrids é n f()d f( k )m( k ) (8) k= em que k éum ponto seleciondo rbitrrimente no subconjunto k. Se função for integrável, qundo refinrmos s prtições sob hipótese de quemediddsprtessejmtodsmenoresdoques n queéumsucessão que converge pr zero, o limite comum ds soms de Riemnn ssim construids é integrl. Este processo é equivlente o d construção dos números reis usndo o método de sucessões de Cuchy: () um número rel é um representnte de clsse de sucessões de Cuchy equivlentes, (b) e integrl é o representnte de clsse(um número rel) ds sucessões de soms de Riemnn equivlentes. Figur 5: Mudnç de vriável multivrid e jcobin Pr fzer demonstrção dest fórmul preciso me desvencilhr d epressão d som de Riemnn que venho usndo com frequênci, que é própri pr se dequr os progrms, ms que é insuficiente pr fzer demonstrções. As dus epressões bio, pr integris univrids, são equivlentes, comentários depois ds equções: b b e s diferençs entre els são: f()d n k= f()d n k= f( + k ) (6) f( k )) k (7). (eq. 6) se supõe que prtição do intervlo [,b] é uniforme, então pode ser posto em evidênci otimizndo o progrm;. (eq. 7) se omite est suposição de uniformidde, medid do intervlo [ k, k+ ] é k, o primeiro intervlo é [, ] = [,+ e o último intervlo é [ n, n ] = [b n,b]. O ponto k é o ponto inicil de cd sub-intervlo. Provr que s sucessões de soms de Riemnn são equivlentes equivle provr que integrl eiste no sentido de Riemnn. Pr fzer isto todos os utores usm mesm técnic: () considerm funções positivs pr eliminr problems com s desigulddes (depois isto se resolve pr um função qulquer ; (b) tomm s soms inferiores que são quels obtids qundo f( k ) é o mínimo de f em k ; (c) e s superiores qundo f( k ) é o máimo de f em k e mostrmos que ests dus sucessões têm o mesmo limite. (d) As inferiores são menores do que qulquer sucessão de soms de Riemnn e s superiores são miore do que tods ests soms; (e) o teorem do snduiche encerr demonstrção: não há outro limite possível senão o comum. Vou usr epressão d equção (eq. 8) pr fzer demonstrção d regr d cdéi de integris. A motivção geométric é fornecid pel figur (fig 5), págin 5 em que eiste um função É um economi de n m multiplicções. g : Ω ;g é diferenciável 5 6

20 derivddeg émtrizjcobinj(g)queé trnsformçãoentreosdomínios e Ω. n f()d n k= f( k )m( k ) (9) f(g(t k )) det(j(g) tk ) m(ω k ) () k= A equção (eq. ) é um hipótese de epressão com vlor proimdo o dsomderiemnnnequção(eq. 9)tirddoseemplosquejápresentei. Poderimos escrever um iguldde se escrevessemos: n k= n f( k )m( k ) = k= Flt concluir est demonstrção! f(g(t k ))r k m(ω k );r k = m( k) m(ω k ) Referêncis Bibliográfics [] John. Eton. A high-level interctive lnguge for numericl computtions. Technicl report, University of Tes - ftp.che.utes.edu/pub/octve/octve-m.n.tr.gz, 996. [] the free enciclopedi in the Internet ikipedi. ikipedi, the free enciclopedi in the internet. [] T Prcino-Pereir. Progrms pr cálculo em dus vriáveis. In Progrms pr Cálculo em dus vriáveis. [4] Scilb Group. Scilb - progrm for numericl simultions. Technicl report, INRIA- Unité de recherche de Rocquencourt - Projet Met 7 8

21 Aneo I. Tbel de integris Autor Shpiro c. From Tbel de Integris Fórmuls básics n d = n+ n+, n () d = ln () udv = uv vdu () +b d = ln +b (4) Integris ds funções rcionis (+) d = + (5) (+) n d = (+)n+ +c,n n+ (6) (+) n d = (+)n+ ((n+) ) (n+)(n+) (7) + d = tn (8) + d = tn (9) + d = ln + () + d = tn () + d = ln + () +b+c d = 4c b tn +b 4c b 9 () (+)(+b) d = + ln b b+, b (4) (+) d = +ln + + (5) +b+c d = b ln +b+c +b 4c b tn (6) 4c b Integris de epressões com riz d = ( )/ (7) d = ± ± (8) d = (9) ( )/ + 5 ( )5/, or d = ( )/ 4 5 ( )5/, or () 5 (+)( )/ ( +b b d = + ) +b () (+b) / d = 5 (+b)5/ () d = ± ( ) ± () ( ) d = ( ) tn (4) + d = (+) ln [ + + ] (5) +b d = 5 ( b +b+ ) +b (6) (+b) [ d = (+b) (+b) b ln + ] (+b) 4 / 4 (7)

22 [ b (+b)d = b 8 + ] (+b)+ b 8 ln + (+b) 5/ (8) ± d = ± ± ln + ± (9) d = + tn () ± d = ( ± ) / () ± d = ln + ± () d = sin () ± d = ± (4) d = (5) ± d = ± ln + ± (6) Integris com logritmos ln d = ln (4) ln d = ln 4 ln d = ln 9 n ln d = n+ ( ln n+ ln(+b) d = (4) (44) ), n (45) (n+) ln d = (ln) (46) ln d = ln (47) ( + b ) ln(+b), (48) ln( + )d = ln( + )+tn (49) ln( )d = ln( )+ln + (5) +b+cd = b+ +b+c+ 4c b ln +b+ ( 4 8 +b + c) / (7) +b+c d = ( 48 +b+c ( b +b+8(c+ ) ) 5/ +(b 4bc)ln b++ ) +b+ (8) +b+c d = ln +b+ ( +b+c) (9) +b+c d = +b+c b +b+ ln ( +b+c) / (4) d ( + ) = / (4) + ln ( +b+c ) d = ( ) 4c b tn +b b + 4c b + ln ( +b+c ) (5) ln(+b) d = b 4 + ) ( b ln(+b) (5) ln ( b ) d = + ) ( ln ( b ) (5) b (ln) d = ln+(ln) (54) (ln) d = 6+(ln) (ln) +6ln (55) (ln) d = 4 + (ln) ln (56) (ln) d = 7 + (ln) 9 ln (57) 4 4

23 Integris com eponencil e d = e (58) e d = e + i π /erf( i ), where erf() = e t dt π (59) e d = ( )e (6) ( e d = ) e (6) e d = ( + ) e (6) ( e d = + ) e (6) e d = ( +6 6 ) e (64) n e d = n e n n e d (65) n e d = ( )n Γ[+n, ], where Γ(,) = n+ t e t dt (66) e d = i π erf( i ) (67) π e d = erf( ) (68) e d = 4 e d = e (69) π erf( ) e (7) Integris com funções trigonométrics sin d = cos (7) sin d = sin 4 sin d = cos 4 + cos sin n d = [ cos F, n, ],cos (7) (7) (74) cos d = sin (75) cos d = + sin 4 cos d = sin 4 + sin [ cos p +p d = (+p) cos+p F,, +p ],cos (76) (77) (78) cossin d = sin +c = cos +c = 4 cos+c (79) cossinb d = cos[( b)] ( b) sin cosb d = sin[( b)] 4( b) cos sinb d = cos[( b)] 4( b) cos[(+b)], b (8) (+b) + sinb b sin[(+b)] 4(+b) (8) sin cos d = sin (8) cosb b cos[(+b)] 4(+b) (8) cos sin d = cos (84) sin cos bd = 4 sin 8 sin[( b)] 6( b) + sinb 8b sin[(+b)] 6(+b) (85) 4 44

24 sin cos d = 8 sin4 (86) tn d = lncos (87) tn d = + tn (88) ( tn n d = tnn+ n+ (+n) F,, n+ ), tn (89) tn d = lncos+ sec (9) sec d = ln sec+tn = tnh ( tn ) (9) sec d = tn (9) sec d = sectn+ ln sec+tn (9) sectn d = sec (94) sec tn d = sec (95) sec n tn d = n secn,n (96) csc d = ln tn = ln csc cot +C (97) csc d = cot (98) csc d = cotcsc+ ln csc cot (99) csc n cot d = n cscn,n () seccsc d = ln tn () Produtos de funções trigonométrics e monomios cos d = cos+sin () cos d = cos+ sin () cos d = cos+ ( ) sin (4) cos d = cos + sin (5) n cosd = (i)n+ [Γ(n+, i)+( ) n Γ(n+,i)] (6) n cos d = (i) n [( ) n Γ(n+, i) Γ(n+,i)] (7) sin d = cos+sin (8) sin d = cos + sin (9) sin d = ( ) cos+sin () sin d = cos+ sin () n sin d = (i)n [Γ(n+, i) ( ) n Γ(n+, i)] () cos d = cos+ sin () 4 sin d = 4 8 cos sin (4) 4 tn d = +lncos+tn (5) sec d = lncos+tn (6) 45 46

25 Produtos de funções trigonométrics com eponencil e sin d = e (sin cos) (7) e b sin d = +b eb (bsin cos) (8) e cos d = e (sin+cos) (9) e b cos d = +b eb (sin+bcos) () e sin d = e (cos cos+sin) () e cos d = e (cos sin+sin) () Integris ds funções hiperbólics cosh d = sinh () e e coshb d = b [coshb bsinhb] b e 4 + (4) = b sinh d = cosh (5) e e sinhb d = b [ bcoshb+sinhb] b e 4 (6) = b tnhd = lncosh (7) coscoshb d = cossinhb d = sincoshb d = sinsinhb d = sinhcoshb d = [sincoshb+bcossinhb] (9) +b [bcoscoshb+sinsinhb] () +b [ coscoshb+bsinsinhb] () +b [bcoshbsin cossinhb] () +b sinhcoshd = [ +sinh] () 4 b [bcoshbsinh coshsinhb] (4) c. From últim revisão,. Este mteril lhe é fornecido sem qulquer grnti ou propost de que estej sem erros, ou mesmo que lhe poss ser útil em lgum situção. É um trblho sob licenç the Cretive Commons Attribution-Noncommercil-No Derivtive orks. United Sttes License. Pr ver um cópi dest licenç visite ou envie um crt pr Cretive Commons, 7 Second Street, Suite, Sn Frncisco, Cliforni, 945, USA. Aneo II Integrl de funções univrids Por Trcisio Prcino-Pereir. Fi delimitd por dus curvs e (+b) [ (+b) F + b,,+ ] b, eb e tnhb d = e F [, b,+ b, eb] b e tn [e ] = b (8) Vou mostrr como podemos clculr áre de um fi delimitd pelos gráficos de dus funções, f, g entre dois pontos ddos, isto é, reltivmente o intervlo [, b]. Por Trcisio Prcino-Pereir A figur (fig. 6), págin 49, mostr, grficmente, o meu objetivo. http:

26 áre de um fi delimitd por f e g sobre [,b] f triângulo isóceles determindo pel primeir e pel segund bissetriz dos eios f b g g áre nul Figur 6: áre de um fi f() g(); [,b] Figur 7: áre nul de um fi Vou começr com um eemplo geométrico cuj áre sej bem conhecid pr que você vej que o método funcion neste cso. Depois vou pssr pr o cso de dus curvs que limitm um fi do plno cuj medid será obtid com o cálculo de um integrl, neste cso vou complementr su intuição com um progrm que vi clculr integrl proimdmente com o qul você pode ver precer o vlor proimdo d integrl, e poderá umentr precisão selecionndo um número mior pr o número de intervlos d som de Riemnn... Fi de medid nul Considere região pln do triângulo isóceles determindo pel primeir e pel segund bissetriz dos eios do ponto - té o ponto. Observe figur (fig. 7), págin 5, A áre dest fi é nul um vez que o limite superior d fi, qundo [,] se trnsform no limite inferior qundo [,] e isto vi provocr um inversão nos limites de integrção. Como região, sobre o domínio [, ] é equivlente região sobre o domínio [, ] ests áres terão sinis contrários e, sendo iguis em módulo, se nulm. O cálculo d integrl frá utomticmente est reversão de sinis de modo será clculd diferenç entre s áres. 49 f() = ;g() = ; (5) f() g()d = (6) ( )d = d = ; (7) O eemplo prece à primeir vist sem grnde interesse, um vez que termin com o cálculo de um integrndo que é nulo. Ms o objetivo é etmente este, mostrr-lhe num cso em que podemos clculr áre com noss eperiênci geométric, que o cálculo d integrl se dpt perfeitmente pr o cálculo... Médid de um fi O proímo eemplo é menos trivil, ms vou completr su intuição com uílio de um progrm cuj eplicção lhe vi mostrr como funcion o método no cálculo d integrl. Considere s funções f() = sin(/);g() = ( ) ; 4 5

27 f() g().5 f() g() h() Figur 8: áre dum fi com limites curvilíneos Figur 9: Detlhe d diferenç f g: os pontos em f() g() = A figur (fig. 8), págin 5, mostr fi limitd pels funções f,g, e novmente qui, como no cso dois triângulos semelhntes, opostos pelo vértice do primeiro eemplo, os limites superior e inferior d fi se cruzm se trnsformndo em limites inferior e superior em um determindo sub-intervlo. Veremos que não precismos nos preocupr com os pontos de interseção e que o cálculo d integrl vi se ocupr disto, utomticmente. O progrm que vou presentr, posteriormente, tmbém trt dest reversão sem que precisemos nos preocupr com o cálculo dos pontos de interseção ds dus curvs etmente porque o progrm clcul integris, proimdmente, de cordo com s regrs de integrção. O cálculo d integrl O método consiste em considerr função diferenç f g, nlise o gráfico, feito com gnuplot, n (fig. 9), e n (fig. ), págin 5, em que estão representds, f,g,(f g). Eu vou clculr integrl d diferenç. N figur (fig. 9), se pode ver o comportmento d diferenç entre dois pontos em que os gráfico de f e g se cortm: diferenç é zero e eles delimitm um áre positiv. N figur seguinte temos um visão globl do gráfico no intervlo [, ] que sugere que s áres negtivs e positivs são muito próims, em módulo e consequentemente o resultdo d integrl deve ficr próimo de zero, vmos verificr que se os cálculos confirmm est visão intuitiv. Você pode ver isto fzendo um gráfico com gnuplot e dndo zoom em volt do eio OX. = f() g()d = = = sin(/)d sin(/)d sin(/) ( 4 ) d = (8) 6 sin(/)d(/) 6 ( 4 ) d = (9) ( ) d = (4) ( ) d( ) (4) N últim equção eu preprei epressão dos integrndos pr plicr mudnç de vriável que vou gor fzer. Observe que s igulddes continum vlendo porque num ds integris substituição do diferencil foi equilibrd com o coeficiente multiplictivo for d integrl. Agor, pr o cálculo dos novos limites de integrção vou verificr o que represent ns velh integrl o vlor d vriável plicd nos velhos limites pr obter os novos limites de integrção: I = f()d = 6 / / sin(u)du = (4) = 6(cos(/) cos( /)) = (4) 7 J = g()d = u du = (44) 6 = u 6 7 = 48 (7 ( ) ) 5.9 (45) I J 5.9 (46) 5 5

28 -5 5 f() g() h() Figur : A função f g, cuj integrl está sendo clculd Oberve que os cálculos poderim ser brevidos com observção de que função sin é impr e portnto qulquer integrl dest função num intervlo equilibrdo em volt de zero é nul: I =. O cálculo com o progrm vi verificr que se os cálculos lgébricos estão corretos, embor o cálculo com o progrm sejm proimdos, podemos obter proimções suficientement grndes pr comprovr os cálculos lgébricos, sobre tudo qundo os vlores se encontrrem distnte de zero. Se o resultdo for muito pequeno pode pirr dúvids sobre o resultdo d proimção, e neste cso isto não contece. Progrm pr cálculo d integrl O progrm é um script em python em que s funções que nos interessm estão definids e o finl do script linhs de comndo solicitm o cálculo desejdo. Neste cso temos s seguintes funções definids em python. riemnn(f, inicio, fim, delt, som)estfunçãorecebeumfunção univrid como prâmetro e clcul som de Riemnn reltiv o intervlo [inicio, fim] com precisão delt, o psso d mlh. O prâmetro somdevereceber ovlorzero, comistosepssoprogrmumvriável inicilizd com zero onde serão cumuldos os vlores d som de Riemnn.. riemnnduplentrecurvs(f, F, G, inicio, fim, n) est função recebe como prâmetros () um função bivrid, f, (b) dus funções univrids, F,G, Figur : A função f g, cuj integrl está sendo clculd (c) os etremos do intervlo [inicio, fim], (d) o psso d mlh, delt e (e) som inicilizd com o vlor zero. El plic soms de Riemnn ns fibrs do domínio limitdo pelos gráficos de F,G dndo sltos delt. Se função-prâmetro f for constnte el clcul áre limitd pels dus curvs grf(f), grf(g). Se função-prâmetro f for um função não constnte bivrid, el clcul o volume limitdo por f sobre o domínio limitdo pels curvs grf(f), grf(g). NestescriptF,Gsãosdusfunçõesf,g dotetoeg éumfunçãoconstnte, consequentemente riemnnduplentrecurvs(g, F,G, -,, fim, ), 5.9 vi clculr áre limitd entre s dus funções f,g no intervlo [,] e tmbém vi imprimir o vlor que obtive nos cálculos formis pr efeito de comprção. Rodndo: riemnnduplentrecurvs(g, F,G, -,, fim, ), 5.9 riemnnduplentrecurvs(g, F,G, -,, fim, ),