MATERIAIS DIELÉTRICOS E RELAÇÕES DE FRONTEIRA NO CAMPO ELÉTRICO

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1 LTROMAGNTISMO I 53 7 MATRIAIS ILÉTRICOS RLAÇÕS FRONTIRA NO CAMPO LÉTRICO e acodo com a teoia atômica clássica, os átomos são constituídos de um núcleo cental fomado basicamente po pótons e nêutons, obitados po elétons caegados negativamente, epimindo a idéia de um modelo planetáio. À medida que se fonece enegia a um eléton, este passa paa uma óbita mais afastada. m alguns mateiais, o eléton ou elétons localizados na óbita etena encontamse facamente ligados ao átomo, podendo miga com facilidade de um átomo paa outo, mediante a aplicação de um campo elético, mesmo de pequena ensidade. stes elétons ecebem o nome de cagas vedadeias. Mateiais constituídos po estes átomos, que possuem este tipo de compotamento, ecebem o nome de condutoes. m outo etemo, outos mateiais possuem seus átomos com os elétons vinculados ao núcleo de tal maneia que não podem se libetados pela aplicação de campos eléticos de pequena ensidade. stes mateiais ecebem o nome de dieléticos ou isolantes. ntetanto, quando um dielético é submetido a um campo elético, ocoe uma polaização, ou seja, um deslocamento do eléton em elação à sua posição de equilíbio. Ocoe então a fomação de cagas ligadas ao mateial isolante que ecebem o nome de cagas de polaização. Na classificação dos mateiais quanto ao compotamento elético, outo gupo apesenta um compotamento emediáio ente os condutoes e os isolantes. São os chamados semicondutoes. Sob cetas condições podem agi como isolantes, mas com a aplicação de luz, de calo ou de um gadiente de potenciais (campo elético, eles podem vi a se compota também como condutoes. As tês ilustações na figua 7. nos dão uma idéia qualitativa dos níveis de enegia eistentes nos átomos ou moléculas em cada tipo de mateial. Na figua 7.a eiste um pequeno espaço vazio (baeia de enegia ente as bandas de condução e de valência. sse é o caso dos mateiais condutoes, onde o eléton de uma banda de valência passa facilmente paa a banda de condução vazia, mesmo que eceba uma pequena quantidade de enegia. Na figua 7.b o espaço vazio já é gande e dificilmente o eléton passaá de uma banda paa outa. Na figua 7.c, o espaço vazio é emediáio ente os dois casos, e o mateial pode se compota ou como um conduto, ou como um isolante, dependendo das cicunstâncias, sendo classificado po isso com um semiconduto. Banda Condutoa Vazia Banda de Valência Peenchida Banda Condutoa Vazia spaço de negia Poibida Banda de Valência Peenchida Banda Condutoa Vazia Banda de Valência Peenchida a b c Figua 7. Níveis de enegia em condutoes, isolantes e semicondutoes. A mobilidade das cagas é uma função da tempeatua e o seu aumento apesenta conseqüências difeentes, no compotamento dos mateiais condutoes, isolantes e semicondutoes. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

2 LTROMAGNTISMO I 54 m um conduto metálico, po eemplo, o movimento vibatóio aumenta com o aumento da tempeatua. Conseqüentemente, há uma diminuição na velocidade (média de deiva ou de aaste, devido ao aumento das colisões desodenadas ente as cagas no eio do mateial. Nos mateiais isolantes e semicondutoes, o aumento da tempeatua com o aumento do movimento vibatóio contibui com o aumento da mobilidade ena das patículas, em função do campo elético aplicado. 7. A NATURZA OS MATRIAIS ILÉTRICOS Ao contáio dos mateiais condutoes, os dieléticos podem amazena enegia em seu eio. Isso é possível poque ao se aplica um campo elético eteno em um dielético não ocoe a movimentação de cagas lives, mas um deslocamento elativo nas posições das cagas negativas (elétons e positivas, dando oigem às cagas polaizadas. sse amazenamento de enegia potencial ocoe conta as foças moleculaes e atômicas. O mecanismo eal de deslocamento vaia confome o tipo de dielético. Alguns tipos de dieléticos são constituídos po moléculas ditas polaizadas (po eemplo, a água, que possuem natualmente um deslocamento pemanente ente os centos geométicos das cagas positiva e negativa. Cada pa de cagas opostas age como um dipolo; Uma caga positiva e outa negativa, sepaadas po uma distância d. Nomalmente esses dipolos encontamse dispostos aleatoiamente no eio do mateial e se alinham na dieção de um campo elético etenamente aplicado (figua. 7.. m outos tipos de mateiais, constituídos po moléculas não polaes, este aanjo em dipolos não eiste em condições natuais, não sendo possível identifica os centos de cagas nas suas moléculas. Somente com a aplicação de um campo elético é que as cagas positivas e negativas se deslocam buscando um alinhamento na dieção das linhas de foça do campo (figua. 7.3, em uma fomação dipola oientada. = Figua 7. Moléculas polaizadas (dipolos. = Figua 7.3 Moléculas não polaizadas. É eessante obseva que as moléculas polaes já constituem dipolos mesmo sem a aplicação de um campo elético, só que desoientadas. Já as moléculas não polaes só constituem dipolos oientados enquanto dua a ação do campo elético aplicado. No entanto, qualque tipo de dipolo é descito pelo seu momento de dipolo p, dado po: p = Qd (C.m (7. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

3 LTROMAGNTISMO I 55 onde Q é a caga positiva, e positiva Q. d a distância vetoial oientada da caga negativa Q paa a caga Se eistem n dipolos po unidade de volume e consideamos um volume incemental v, nele eistem n v dipolos. O momento total de dipolo p é dado então pela soma vetoial: total p = n v total i= p i (C.m (7. efinindo agoa o veto polaização P como sendo o momento de dipolo total dividido po um volume que tende a zeo, podemos esceve que: P= lim v v n v i p i A gandeza P, epessa em coulombs po meto quadado no Sistema Intenacional de Medidas, é tatada como um campo contínuo, emboa paeça evidente não esta definida dento de átomos ou moléculas. A equação (7.3 nos mosta que a polaização deve se encaada como um valo médio em qualque ponto sobe a amosta de volume v gande o suficiente paa conte as n v moléculas, mas ainda suficientemente pequena paa que seja um volume incemental. Genealizando, vamos supo agoa um dielético contendo moléculas inicialmente não polaizadas. Potanto, a polaização P = em todo o volume do mateial. Selecionemos então um elemento de supefície S no eio do dielético. Aplicando um campo elético sobe o dielético as moléculas teão os seus centos de cagas positivas e negativas sepaadas e se polaizaão. Haveá, potanto um movimento de cagas de polaização atavés de S. O campo elético poduziá um momento de dipolo em cada molécula onde: (7.3 p = Qd(C.m (7.4 de modo que p e d fomaão um ângulo θ com o veto S, nomal ao elemento de supefície consideado (figua 7.4. S d θ d cosθ Figua 7.4 Movimento de cagas atavés da supefície elementa S. Admitindo a dieção do campo elético definida po d, cada molécula cujo cento está no eio do volume ( d cosθ S abaio da supefície incemental contibui paa o movimento de uma caga Q atavés de S paa cima. e modo análogo, cada molécula cujo cento está no eio do volume d cosθ acima desta supefície incemental contibui paa o movimento de uma caga Q ( S atavés de S paa baio. Como há n moléculas/m 3, a caga líquida total que atavessa a supefície S é n Qd cosθ S, ou: UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

4 LTROMAGNTISMO I 56 = n Q d S (C (7.5 Q p ou ainda pela fomação dos n dipolos: = P S (C (7.6 Q p Considee agoa uma supefície fechada elementa S, com o seu sentido positivo sempe diigido paa foa da supefície. O acéscimo líquido nas cagas de polaização no eio da supefície fechada é epesso algebicamente po: Qp = P ds (C S O sinal negativo antes da egal é devido ao fato de que a natueza das cagas que entam ou pemanecem no eio da supefície é de sinal contáio ao das cagas que saem. m outas palavas, este sinal negativo indica um acéscimo de cagas positivas ou um decéscimo de cagas negativas no eio da supefície fechada. Consideando então esta caga total como esultado de uma distibuição volumética com densidade ρ P, podemos esceve que: (7.7 Qp = ρ pdv (C vol (7.8 Assim, igualando esta epessão com a da equação (7.7 vem: vol ρ dv = P ds (7.9 Aplicando o teoema da divegência no lado dieito da epessão acima, ela ficaá: Ou ainda, no mesmo domínio de egação: vol p s ρ dv = ( P dv (7. p vol 3 P= ρ p (7. Salientamos que essa equação também é válida paa dieléticos polaes. V amos agoa enconta uma elação ente o veto densidade de fluo elético e o veto polaização P. Pimeiamente vamos esceve a Lei de Gauss na foma pontual, mesmo na pesença de dieléticos, como: = ρ t 3 (7. onde ρ é a densidade volumética total de cagas. O veto foi substituído po poque uma t vez consideadas todas as cagas (lives e de polaização, tudo se passa como se o dielético não eistisse. de polaização. Assim, em temos de densidade volumética temos: ntão po (7. e (7.3: ρ t =ρ ρ p =ρ ρ p 3 3 (7.3 (7.4 UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

5 LTROMAGNTISMO I 57 que po (7. fonece: =ρ P (7.5 ou: ( P = ρ 3 (7.6 Como ea de se espea, a epessão acima epime a densidade volumética ρ das cagas lives. Podemos agoa edefini o veto densidade de fluo elético em qualque meio mateial como sendo: = P (C/ m (7.7 A pesença de dieléticos é, potanto, levada em conta atavés do veto polaização P. Como já foi mostado, o veto polaização P esultou da aplicação de um campo eléti co que geou o deslocamento e a sepaação das cagas positivas das negativas. Podemos pecebe também que a elação eistente ente P e dependeá do tipo de mateial. Vamos limita nossos estudos a mateiais isotópicos, pemitindo uma elação linea ente P e. Nesse caso, P e são paalelos, emboa não necessaiamente no mesmo sentido. Admitindo a lineaidade ente P e, podemos esceve: onde χ e é a susceptibilidade elética do mateial. P= χ (7.8 e Substituindo o valo de P na elação fundamental de (7.7 temos: = ( χ (7.9 e Assim, paa qualque meio, podemos estabelece que: = = ( C / m (7. e um modo geal, definimos aqui a pemissividade elética do meio. Logo seá a pemissividade elativa, ou a constante dielética do mateial (em elação ao vácuo, em que: = χ e (7. Paa que uma coeência seja mantida, no espaço live (vácuo a pemissividade elativa seá unitáia e como conseqüência a susceptibilidade elética seá nula. O valo de χ em (7. substituído em (7.8 estabelece a segue elação ente P e empegada em aplicações de engenhaia: P = ( (7. Finalmente, a Lei de Gauss continua válida, seja na foma pontual, seja na foma egal, mesmo na pesença de dieléticos. Logo: e UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

6 LTROMAGNTISMO I 58 =ρ (7.3 e ds= Q (C (7.4 A inclusão do veto Polaização facilita po demais as coisas. Sem ele, teíamos que admiti o campo elético esultante devido aos inúmeos vazios micoscópicos pesentes em um meio mateial. Chamamos apenas a atenção que na consideação do campo no eio do meio mateial, suposto sem vazios, levamos em conta apenas a pesença das cagas lives 7. CONIÇÕS FRONTIRA PARA OS MATRIAIS ILÉTRICOS Passemos agoa ao estudo das elações ente os campos eléticos e as coespondentes densidades de fluo na eface que delimita dois meios dieléticos distos. Po azões didáticas, vamos analisa sepaadamente cada componente tangencial e nomal destes vetoes. Considee então a pincípio, uma fonteia ente dois meios dieléticos, e um caminho fechado e oientado abcda, confome mosta a figua 7.5 a segui. a w b d h tan tan c Meio Meio Figua 7.5 Campo elético tangencial na fonteia ente dois meios dieléticos e. A egal de linha do veto ensidade de campo elético ao longo desse caminho fonece a difeença de potencial, que obviamente esulta nula num caminho (malha fechado. Consideando ainda os techos bc e da muito póimos (da eface ente os meios e e tendendo a zeo, teemos então que: dl= t. w t. w = (7.5 A sepaação desta egal po caminho fechado esulta nula nos techos bc e da em vitude da hipótese assumida na fonteia. Nos demais techos, ou seja, em ab e cd de mesmo compimento, os podutos escalaes fonecem os valoes t w e t w. aí: = (7.6 t t Ou seja, a componente tangencial do veto campo elético dieléticos. se mantém contínua nos dois meios Podemos conclui que a difeença de potencial ente dois pontos na fonteia, sepaados po uma distância w é a mesma tanto num dielético como no outo. Logo paa as componentes tangenciais do veto, admitindo a elação constitutiva mostada na equação (7., teemos: t = t (7.7 UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

7 LTROMAGNTISMO I 59 ou ainda : t = (7.8 t Potanto, as componentes tangenciais do veto densidade de fluo elético não são contínuas na fonteia ente dois dieléticos. ncontamse na elação dieta ente as pemissividades eléticas dos seus meios. Vamos agoa detemina as elações ente as componentes nomais dos vetoes e nesta mesma eface. Considee uma supefície gaussiana elementa, constituída de um cilindo de base S e altua muito pequena h, disposto na fonteia ente os dois meios e, confome a figua 7.6. S n h Meio Meio n Figua 7.6 ensidade de fluo nomal na fonteia ente dois meio dieléticos e. A aplicação da Lei de Gauss faz com que: ds = Q (7.9 Lembando que o veto elementa ds tem sempe a oientação da nomal etena em cada ponto da supefície fechada, obtemos como esultado: n S S = ρ S (7.3 n Confome já foi visto, ρ s epesenta a densidade supeficial das cagas lives, pesentes na eface ente os dieléticos. Nestes mateiais isolantes, as cagas lives só podeão eisti se foem popositadamente ali colocadas. Assim sendo, podemos considea ρ s = e: n n s = (7.3 Ou seja, a componente nomal do veto pemanece imutável nos dois meios dieléticos, admitindo a ausência de cagas lives na supefície de eface. mpegando, da mesma foma, a equaçã o (7., paa a componente nomal do veto teemos: n = n (7.3 ou: n = (7.33 n Potanto, as componentes nomais dos vetoes ensidade de campo elético são descontínuas e encontamse numa elação invesa ente as pemissividades eléticas dos seus meios. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

8 LTROMAGNTISMO I 6 emplo 7. Seja uma placa de teflon na egião do espaço definida po a m pesente no espaço live, onde > a e < m. A constante dielética do teflon é =, e a sua susceptibilidade elética é χe =,. Foa do teflon, no espaço live, eiste um campo elético dielético nessa egião, P =. stabeleça a elação ente =. â et, e P. e como não há mateial Solução =, Teflon P = P = Fig. 7.7 Placa de teflon A elação ente o veto do teflon é: onde e o veto = = =, O veto polaização P é dado po: ou: P = χ P e =, a no eio A continuidade da componente nomal de na fonteia nos pemite esceve: = et =.â ntão, paa o campo elético : Paa o veto P P : =, = =.â ( V / m =.a =,476.â P.,476.â (V / m =,54.â Pelos esultados obtidos, podemos nota que a densidade de fluo, independe do meio e coesponde ao efeito do campo elético ainda que os vetoes v no e isolante adicionado à polaização do mesmo. ste eemplo nos mosta não sofem desvio ao atavessaem dois meios, quando a incidência deles se dá nomalmente na eface, emboa o campo elético apesente ensidades distas em cada meio. Tatase de um fenômeno eplicado pela efação ondulatóia. No entanto, se qualque destes vetoes v ou, povenientes de um dado meio, vi a incidi obliquamente na eface com outo meio, obsevaemos então um desvio nas linhas de campo, UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

9 LTROMAGNTISMO I 6 veificado pelas esultantes dos vetoes ensidade de campo elético e densidade de fluo elético. Vamos então, enconta as elações ente as dieções de e em dois mateiais dieléticos. Sejam α e α os ângulos que os espectivos vetoes e fomam com a supefície tangente à i nteface no ponto de contato ou de incidência. e (7.3 sabemos que as componentes nomais do veto são contínuas. Assim, de acodo co m o ilustado na figua 7.8, podemos esceve que: sen = sen α α (7.34 Segundo a epessão (7.8, a azão ente as componentes tangenciais encontase na azão dieta das pemissividades dos seus meios. Logo: cosα cosα = n α tan n α tan Reaanjando vem: tan Figua 7.8 Mudança na dieção do campo, na fonteia ente dieléticos. α = α (7.35 cos cos ividindo (7.34 po (7.35 teemos a elação ente os ângulos definidos α e α onde: tgα α (7.36 = tg Como a magnitude da densidade de fluo na egião é = n t esta pode se epessa em função da magnitude de na egião. esta foma: = α cos α sen (7.37 P o um aciocínio análogo, fica fácil veifica agoa que a magnitude de seá dada em função de pela epessão: UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

10 LTROMAGNTISMO I 6 = cos α sen α (7.38 Po essas epessões, podemos pecebe que é maio na egião de maio pemissividade, (a não se quando α = 9 gaus e o veto é nomal à eface, não vaiando, e é maio na egião de meno pemissividade (a não se quando α = e o veto é tangencial à eface, com sua magnitude invaiante. emplo 7. A egião > m contém um dielético paa o qual = 3, e na egião < m = 5. Se =. a$ 3. a$ y 4. a$ z V/ m, enconte: (a, (b, (c, (d P. Solução z < > y Fig. 7.9 figua do eemplo 8. Pelas condições do poblema vemos que a eface ente os dois meios se dá no plano =, isto é, no plano yz. Fica fácil ve então que as componentes nomais dos vetoes da densidade de fluo e do campo elético estaão alinhadas na dieção. a = = = 5 (.â 3.â y 4.â z = (.â 5.â y.â z n t A componente nomal e a tangencial ficam pefeitamente identificadas, segundo as condições popostas pelo poblema. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

11 LTROMAGNTISMO I 63 b as condições de contono em = : n = n = t t = t 3 = 5 = t t â 3 = 5 t t (C/ m = t ( 5.â.â y (5.â y z.â z c d = (.â 9.â y.â = = z ( V/ m = a 9 ay az V 3 (.$. $. $ ( / m = P = P P = ( ( C/ m P = (.$ a 3. a$ y 4. a$ z ( C/ m 3 ste eemplo nos mosta que em módulo = 8,8 C/m, = 6,9 V/m, = 69,6 C/m e = 53,85 V/m. Neste caso podemos então obseva que como < então < e >. 7.3 RLAÇÕS FRONTIRA NTR UM ILÉTRICO UM CONUTOR Confome vimos no capítulo 6, As cagas eléticas não ficam acumuladas no eio de mateiais condutoes, que pela epulsão natual ente elas, migam todas paa a supefície do mateial. Potanto, o campo elético no eio de condutoes é nulo. esta foma, o campo elético em uma eface ente um conduto e um dielético só eistiá na egião do dielético e deveá se nomal à eface. Isto é vedade, pois caso eistissem componentes tangenciais paa o campo elético, nestas condições, elas deveiam se continuas e teíamos uma difeença de potencial que se faia pesente na supefície condutoa. Potanto: e: t t = = (7.39 t t = = (7.4 Paa as componentes nomais, a lei de Gauss mosta que o fluo total po uma supefície elementa e fechada, esulta na caga disposta pela supefície da eface condutoa. Assim, o que esulta: ds = n S = ρ s S (7.4 n = ρ s (7.4 O campo elético no dielético e póimo à eface de sepaação pode se obtido pela aplicação da elação constitutiva básica (7.. aí: ρs n = (V / m (7.43 UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

12 LTROMAGNTISMO I 64 XRCÍCIOS O campo elético em um ceto ponto no eio de um vido tempeado Pye é dado po = 5â â 85â (V / m. Localize os valoes de R e χ e e em seguida detemine a y polaização P e o deslocamento em questão. z 4,P nconte a polaização num mateial dielético com constante dielética R =,8 dado o 7 deslocamento = â (C/m. 3 etemine o valo de num mateial que tem suscetibilidade elética χ e = 3,5 e polaização v 7 P =,3 â (C/m suposta linea e isotópica. 4 Se o campo elético = â 3â 5 (V/m petence a uma eface plana e y âz pependicula ao eio z, onde =, enconte o campo elético no outo meio com = 5 e os ângulos θ e θ que eles fomam com o plano da eface. 5 Uma egião, definida po y < é o espaço live, enquanto que a egião, em y > é um mateial dielético paa o qual =,4. ado = 3â 4â y 6âz (C/m, pedese e os ângulos θ e θ que eles fomam espectivamente com o plano y = da eface. 6 Uma eface espaço livedielético tem a equação 3 y z = m. O lado em que está a oigem tem = 3, e â 5 (V/m. ento destas condições, pedese o veto. = âz 7 A supefície de sepaação de dois dieléticos passa pela oigem e o veto A = â 5â y 4â z lhe é pependicula neste ponto, apontando da egião ( = paa a egião ( =. Sendo = 3â 5â 45 (V/m, detemine o ângulo (agudo ente A y â z e o campo elético em cada dielético. 8 m um ponto da supefície condutoa, =,7â,35â y,âz (V/m. Qual é a densidade supeficial de cagas no efeido ponto? 9 Um conduto cilíndico de aio 5 cm com eio ao longo de z possui uma densidade supeficial de cagas ρ S = ρ /z (C/m. sceva uma epessão paa o veto do campo elético sobe a supefície. ois condutoes cilíndicos concênticos de aios a = cm e b = 8 cm possuem densidades de cagas ρ Sa = 4 pc/m e ρ Sb, tal que o campo elético eiste apenas ente os dois cil indos, sendo nulo paa as demais egiões. Calcule a distibuição de cagas sobe o cilindo de aio b e obtenha as epessões vetoiais do deslocamento e do campo elético ente os dois cilindos. Um conduto sólido tem uma supefície descita po y = 3 m, estendendose até a oigem. Na supefície a ensidade de campo elético é.35 V/m. pesse e na supefície e enconte a densidade supeficial de cagas. Um conduto que se estende pela egião z < tem um lado no plano z =, sobe o qual eiste uma densidade supeficial de cagas ρ = 5 e sen φ(c/ m em coodenadas cilíndicas. Calcule a ensidade do campo elético em (.5 m, π/3,. 3 Um conduto esféico centado na oigem e com aio igual a 3 m apesenta uma densidade supeficial de cagas ρs = ρ cos θ ( C/ m. nconte o veto ensidade de campo elético na supefície. s UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino

13 LTROMAGNTISMO I 65 4 A ensidade do campo elético em um ponto sobe a supefície de um conduto é dada po =, a$ 3, a$, $a z. Quanto vale a densidade supeficial de cagas nesse ponto? y 5 Calcule os módulos do veto densidade de fluo elético, polaização, e a pemissividade elativa paa um mateial dielético no qual =,5 MV/m, com χ e = 4,5. 6 ado = 3a$ 4a$ a$ V/ m na egião z <, onde = 3,, enconte o veto y z ensidade d e campo elético na egião z >, paa qual = A eface plana ente dois dieléticos é dada po 3 z = 5 m. No lado que engloba a oigem, 7 = ( 45, a$ 3, a$ z C/ m e = 4,3, enquanto que, no outo lado, =,8. nconte,, e θ. UNSP Naasson Peeia de Alcantaa Junio Claudio Vaa de Aquino