3.1 TENSÃO TANGENCIAL E DISTORÇÃO

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1 3.0 CORTE PURO Corte Puro 3.1 TENSÃO TANGENCIAL E DISTORÇÃO A análise das tensões e deformações em peças submetidas à solicitação pura de corte será feita de maneira simples, computando-se o valor médio da tensão tangencial despertada utilizando a relação vista em 1.5.1: τ A τ = Q / Α h γ Fig Corte Puro Q sendo Q a força cortante e A a área da seção cisalhada, admitindo uniformidade na distribuição de tensões nos diversos pontos da seção. Tal hipótese pode ser aplicada nos casos de corte de chapas por guilhotinas, furação através de punções, uniões de chapas por rebites ou parafusos, acoplamentos de eixos por flanges, cavilhas, chavetas, etc. A Fig mostra alguns exemplos de peças submetidas a corte puro. No cômputo das deformações, consideraremos o regime elástico, utilizando a Lei de Hooke para as distorções, escrevendo (como em ): τ = G γ Considerando os pequenos valores da distorção (Fig ), γ tg γ = δ / h, podemos escrever: δ = Q h / G A.... (3.1.1) P Exemplo A suspensão elástica esquematizada consta de dois blocos retangulares de borracha dura (G = 20 MPa) colados à placa rígida A. Calcular o valor admissível para a carga P, considerando: a) que a tensão τ na borracha não deva ultrapassar o valor 1,6 MPa; b) que a deflexão δ da placa não ultrapasse 2,0 mm; c) que as duas condições acima sejam atendidas (simultaneamente) mm A δ borracha

2 Solução a) Para uma tensão τ = 1,6 MPa, teremos: 1,6 x 6 =(P / 2) x 150 x 60 x -6, P adm =28,8 kn P δ b) Como δ = (P/2)h / G A, para δ = 2 mm tem-se: 2 = (P/2) x 24 / 20 x 6 x 150 x 60 x -6 e P adm =30,0 kn. 150 c) o valor de P que atende, simultaneamente, aos requisitos de (a) e (b), evidentemente, será o menor: P adm =28,8 kn. P δ d D r h Exemplo Para a fundação elástica esquematizada estabeleça a relação entre a força P e o recalque δ em função das dimensões d, D e h do cilindro elástico de módulo de rigidez G. (o que se pede é o k da mola, segundo a lei de Hooke F = kx). Obs.: note que, no caso, τ = P/A e A = 2πrh, com r variando entre d/2 e D/2, portanto a distorção γ varia em função de r. 3.2 UNIÕES POR REBITES E PARAFUSOS Muitos elementos estruturais e de máquinas são compostos pela junção de chapas através de rebites ou parafusos, que transmitem forças de união entre as partes (chapas de reservatórios cilíndricos, almas e mesas de perfis para vigas, abas de cantoneiras, etc.). Junta de topo duplamente rebitada Junta por superposição duplamente rebitada Fig Uniões por rebites. 2 Cantoneira de ligação (borboleta) entre coluna e viga ou entre mesa e alma de viga.

3 O rebite é normalmente conformado de maneira a fazer a união entre as chapas, ficando tracionado pelas cabeças e comprimindo as chapas entre si (o mesmo ocorre nas uniões através de parafusos que, após o aperto das porcas, trabalham tracionados). Em junções novas o atrito entre as chapas contribui para diminuir o esforço de corte no pino de união. Em juntas já trabalhadas, com deformações permanentes, o atrito ficará minimizado, passando o esforço para a junção ao encargo dos pinos de união. Por isso, o esforço de atrito entre as chapas, provocados pelas tensões de montagem, são desconsiderados no dimensionamento das juntas. A figura mostra alguns tipos de uniões por rebites. As uniões rebitadas (ou parafusadas) podem apresentar ruptura basicamente através de: a) Tração das chapas - na altura da seção enfraquecida pela presença dos orifícios de passagem dos rebites; b) Cisalhamento dos rebites devendo-se analisar se está submetido a corte simples ou duplo; c) Compressão do furo por esmagamento através de tensão normal calculada através da área projetada (produto da espessura da chapa pelo diâmetro do rebite); d) Rasgo da chapa entre os furos ou próximo à borda da chapa evitado se a distância entre os furos ou do furo até a borda for superior a 2,0 ou 2,5 vezes o diâmetro do furo. Fig Uniões Rebitadas. Esforços nas Chapas e nos Rebites Carregamento Centrado. A distribuição de forças pelos rebites em uma ligação multi-rebitada submetida a um esforço de tração centrado, para o caso de chapas suficientemente espessas para as quais as deformações possam ser consideradas desprezíveis, será estudada através da hipótese mais simples de uniformidade de distribuição de forças pelos rebites. Tal hipótese se baseia no raciocínio de que o escorregamento entre as chapas, decorrente das distorções dos rebites, provoca deformações iguais para os rebites. Como são de mesmas dimensões e mesmo material elástico, conclui-se que as forças neles atuantes devem ser iguais. Exemplo 3.2.a Calcular o valor admissível para a força P aplicada à chapa rebitada, de 8 mm de espessura, 8mm considerando as seguintes tensões limites, tanto para a chapa, como para os rebites: 0 P σ tração = σ compressão = 120 MPa; τ = 70 MPa 8 rebites d = mm 3

4 Solução Admitindo a uniformidade na distribuição das forças pelos rebites (compatível com a hipótese de que, sendo a chapa indeformável, os deslocamentos e as deformações dos rebites serão iguais) concluímos que a força em cada rebite vale P/8. Na seção (1), a força de tração na chapa será igual a P e (σ T ) 1 = P/[8x(0 2x)x -6 ] = 120x 6. Portanto (P adm ) 1 = 76,80 kn. Na seção (2), a força de tração na chapa será igual a (6/8)P e (σ T ) 2 = [(6/8)P] / [8x(0 3x)x -6 ] = 120x 6. Portanto (P adm ) 2 = kn. Na seção (3) a tração na chapa será menor que em (2) e sendo a área a mesma, a tensão será menor, não necessitando calcular (P adm ) 3. A tensão de compressão nos furos nos permite escrever: (σ c ) = (P/8) / x8x -6 = 120x 6 e (P adm ) 4 = 76,80 kn. A tensão de corte nos rebites nos dá: (τ) = (P/8) / (π/4) 2 x -6 = 70 x 6 e (P adm ) 5 = 43,98 kn. Portanto, (P admissivel ) = 44 kn (evidentemente, o menor valor). (3) (2) (1) Carregamento excêntrico A Fig. 3.2.b1 representa o caso de uma união rebitada submetida a uma carga não centrada. A determinação dos esforços em cada rebite será feita através do mesmo método para solução dos problemas hiperestáticos, utilizando o raciocínio relacionado com a compatibilidade dos deslocamentos (e deformações) dos rebites, partindo da mesma premissa anterior quanto à indeformabilidade da chapa. Assim, a força excêntrica P será substituída por um sistema força-conjugado equivalente, aplicado no centróide da distribuição das áreas dos rebites na união F 2 300mm + = Fig. 3.2.b1 Junta Rebitada com carregamento excêntrico. kn 2kN R 2 R 1 F 1 F 1 F 2 Para o caso em apreciação, o sistema forçaconjugado equivalente à força excêntrica de kn, aplicado no rebite central (3), seria composto de uma força igual, de kn ( ) e um conjugado de momento kn x 300 mm = 3 kn.m ( ). A ação de translação vertical da força de kn equivale a forças iguais a /5 = 2 kn ( ) em cada um dos 5 rebites. A ação de rotação em torno do pino central (3) se transmite através de dois binários, tais que: F 2 x 0,08 + F 1 x 0,06 = 3 kn.m A compatibilidade de deslocamentos (deformações) dos rebites, considerando a rotação da chapa rígida, permite prever que o rebite (2) sofrerá maior deformação que o rebite (1), ficando as forças na proporção: F 1 / 30 = F 2 / 40, o que permite obter: (4/3) F 1 x 0,08 + F 1 x 0,06 = 3 (kn.m) e então, F 1 = 18 kn e F 2 = 24 kn. Superpondo os efeitos obtemos: Para o rebite (1) R 1 = = 20 kn. Para o rebite (2) R 2 = ( ) 1/2 = 24,1 kn. As forças nos demais pinos são calculadas de forma análoga. 4

5 Exemplo 3.2b2 O eixo esquematizado transmite um torque T= 500 N.m ao acoplamento, através de um flange com 8 parafusos conforme indicado na figura. Calcule as tensões médias de cisalhamento: a) em cada parafuso; b) na união entre o flange e o corpo do eixo. Corte Puro R Q T 90 40(D) Solução Supondo o flange indeformável, as deformações por distorção dos pinos serão iguais; como são de mesmo material e mesmas dimensões, as forças também serão iguais. Portanto, o torque T = 500 N.m produzirá nos parafusos forças de corte Q tais que: T = 8 x Q x R, ou seja: 0,5 x 3 = 8 x Q x 0,045 e Q = N e τ parafusos = 1.389/ (π/4)() 2 x -6 τ parafusos = 17,7 MPa (Resp. a) A superfície de contato entre o flange e o corpo do eixo, um cilindro de área total A = π (0,040)(0,020)= x -6 m 2, estará submetida a uma tensão tangencial circunferencial distribuída uniformemente, nos permitindo escrever: T = τ da r = τ r da = τ A r. Então, τ = T/A r = 500/2513x -6 x0,020 τ = 9,95 MPa (Resp. b) Admitindo que o flange fosse conectado ao eixo por meio de uma chaveta (de seção retangular b x h = 12 x 8 mm 2 ), determinar as tensões de cisalhamento (corte) e normal (compressão) no corpo da chaveta. (Obs. tal conexão apenas permitiria a transmissão de torque entre eixo e flange, não sendo apta a transmitir esforços normais). 8 parafusos d = mm 20 h = 8 r 20 da b =12 τ Solução: a força de corte na chaveta vale: Q = T/r = 500 / 0,020 = 25kN. τ = 25 x 3 / 12 x 20 x -6 = 4 MPa A força de 25kN é a que comprime as faces laterais da chaveta, com a tensão normal: σ = 25 x 3 / 4 x 20 x -6 = 313 MPa Observe que, para uma chaveta de seção quadrada (b = h), a tensão tangencial é a metade da normal (circunstância adequada aos materiais dúteis para os quais τ esc. ~ ½ σ esc. ) 12 25kN kN 5

6 3.3 UNIÕES SOLDADAS. As uniões entre chapas metálicas, tubos, cantoneiras e perfis, com freqüência, são executadas por soldagem, através da fusão de material que preenche o espaço entre as partes a serem ligadas ou para formar um cordão. A Fig mostra alguns exemplos de ligações através do uso da solda. (a) (b) (c) Fig Uniões soldadas. a) ligação a topo; b) ligação de topo com solda em V ; c) cordão de solda tipo filete. O formato da seção transversal do cordão de solda tipo filete se assemelha a um quadrante de círculo, porém, devido ao brusco resfriamento, sua superfície em contato com a atmosfera sofre fissuras, fazendo com que apenas a parte em forma de triângulo retângulo-isósceles seja considerada íntegra para resistir esforços cisalhantes. garganta 45º h a Fig Uniões soldadas. Cordão de solda tipo filete. Garganta do cordão (no plano segundo o qual a tensão de cisalhamento é máxima- porque a área é mínima A = a x h x cos 45º). 6

7 a 1 Exemplo A cantoneira de abas desiguais está submetida a um estado de tração pura, pela força P = 200 kn, aplicada no centróide da área da seção do perfil. Pede-se determinar os comprimentos dos dois cordões de solda de forma a que a tensão cisalhante despertada na união não ultrapasse 30 MPa. a F 1 mm CG Solução: o equilíbrio das forças atuantes na cantoneira nos permite escrever: F 1 + F 2 = 200 e F 1 x 160 = F 2 x 40, portanto: F 1 = 40 kn e F 2 = 160 kn. F 2 200kN Os comprimentos dos cordões são calculados escrevendo-se: τ = 30 x 6 = 160 x 3 / a 2 x x 0,707 x -6 = 40 x 3 / a 1 x x 0,707 x -6 obtendo-se, finalmente: a 1 = 189 mm e a 2 = 754 mm. Caso um terceiro cordão fosse acrescentado na extremidade da cantoneira, uma força F 3 seria adicionada, permitindo a diminuição dos comprimentos dos dois cordões laterais. Admitindo que o terceiro cordão (com a mesma dimensão de mm) se estenda pelos 200mm da alma da cantoneira e que a tensão nele presente atinja o valor admissível de 30MPa, teremos (ver nota 1): F 3 = 30 x 6 x 200 x x 0,707 x -6 e F 3 = 42,4 kn. Tomando momentos em relação à quina A: 200 x 40 = F 1 x ,4 x 0, e F 1 = 18,8 kn enquanto F 2 = 138,8. Os novos comprimentos dos cordões laterais seriam dados por: 30 x 6 = 18,8 x 3 /a 1 x x 0,707 = = 138,8 x 3 / a 2 x x 0,707. Portanto: a 1 = 88,6 mm a 2 = 654,4 mm. Note que, nos dois casos, a soma dos comprimentos dos cordões é a mesma: = 88, , =943mm 200 A F 3 a 1 F 1 F 2 a Nota 1 - Apesar de a resistência de um cordão de solda transversal ser 30% maior que a de um cordão longitudinal, adotaremos valores iguais, mantendo o multiplicador 0,707 nos cálculos. 7

8 T Exemplo A coluna circular de diâmetro D é soldada em sua base por um cordão de solda circunferencial de largura b e submetido a um torque T. Calcule o valor admissível para o torque, supondo uma tensão tangencial admissível na solda de valor τ. (supor a dimensão b muito pequena em presença de D) D Solução Admitindo que a tensão tangencial é uniformemente distribuída ao longo da garanta circunferencial da solda, podemos escrever (já que D>>b Nota 2): 2π T = 0 τ (D/2)(dθ)(b/2)(D/2) = (π/4) τ D 2 b. dθ b Nota 2 - ao admitirmos a área da garganta como uma superfície cônica de raio D/2, e não (D/2)+ (b/4) cos 45, estaremos utilizando uma área um pouco menor que a verdadeira, obtendo um valor de T admissível um tanto menor que o máximo (a favor da segurança). 6 D=600 Exemplo A canalização esquematizada (chapa de 6 mm de espessura dobrada para um diâmetro interno de 600mm e costurada através de seções de rebites de 6mm de diâmetro, espaçados como indicado na figura) é submetida a uma pressão interna de atmosferas. Pede-se determinar: A) a tensão cisalhante nos rebites SOLUÇÃO: ( atm = ± x 5 Pa = 1,0 MPa A tensão circunferencial na chapa valerá: σ = pd/2e = 1,0 x 600 / 2 x 6 = 50 MPa A força de tração numa extensão de chapa com 20 mm valerá: 50 x 20 x 6 = 6 kn, suportada por 3 rebites, portanto a força em cada rebite valerá: F R = 6 / 3 = 2 kn. A tensão tangencial correspondente será: τ = 2000/(π/4)(0,006) 2 = 70,7 MPa. B) a tensão de cisalhamento na união caso fosse feita por um cordão de solda longitudinal co 6 mm de espessura. SOLUÇÃO: a força de tração numa extensão da chapa de 20mm valendo 6 kn, será suportada pelo cordão de 6mm de espessura com uma tensão máxima: τ = 6000 / 20 x 6 x 0,707 x -6 = 70,7 MPa. (na prática utiliza-se a área da garganta para cálculo da tensão na solda, independentemente da orientação da força no cordão) 6 D= MPa 8