Aula: ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES

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1 UNIERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS Aula: ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES Glaucia Alves dos Santos Novembro/015 Ouro Preto/MG

2 ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES Créditos: PORTO, R.M. - EESC; LAUTENSCHLAGER, S. R. - UEM 1 Distribuição de Tensões na Seção Circular: O processo irreversível de transformação de parte da energia em calor pode ocorrer de três formas: tensões cisalhantes entre camadas adjacentes de líquido, com baixos valores do N o de Reynolds => Escoamento Laminar; criação, desenvolvimento e colapso de vórtices, com consequente dissipação de energia por atrito viscoso entre partículas adjacentes; vorticidade gerada no contato entre regiões com movimento de líquido rápido e lento ou estagnado na camada limite laminar ou em zonas de separação do escoamento => Escoamento Turbulento; combinação entre os processos laminar e turbulento de dissipação de energia => Escoamento Transicional; tipo de escoamento instável, em estreita faixa de N os de Reynolds, sem interesse prático, principalmente pelo fato de a água ter viscosidade baixa e os escoamentos comuns em tubulações serem turbulentos. O diferencial de velocidade (gradiente de velocidade) entre camadas líquidas dá origem a tensões de cisalhamento com a correspondente dissipação de energia por atrito de escorregamento ou geração de turbulência.

3 Distribuição de Tensões em um Tubo de Seção Circular Conduto retilíneo; Seção afastada de uma singularidade; Escoamento desenvolvido. H Q R D 0 r y d Também para o tubo de corrente: τ τ τ0 γδhd 4L γδh r L.1 válida para escoamento laminar ou turbulento. Em função da linearidade, escreve-se: Independente do escoamento ser laminar ou r y τ 1 turbulento, a tensão de cisalhamento varia 0. linearmente com a distância r da linha central ao R R ponto de interesse. L 3

4 Escoamento Laminar Para fluido newtoniano e escoamento laminar, em que predominam esforços viscosos, aplica-se a lei de Newton da viscosidade : γδh L dv dy r μ dv dr dv dr Igualando à Eq..1 e a.3, tem-se: Após integração, obtém-se a distribuição de velocidade do escoamento laminar: Sendo, para r = 0, = máx, vem: v máx H 4L R Hd 4L H L r Também: dv v R r γδh rdr Lμ H 4L R r.4 r v máx 1.5 R Perfil de velocidade 4

5 Escoamento Laminar Para obter-se a velocidade média do escoamento, integra-se o perfil de velocidade, sendo: R Q = va Q A vda vπrdr π R.6 0 Substituindo-se a equação do perfil de velocidade, tem-se a equação da vazão, que, após integração, fornece as relações entre máx e (Eq..7): R r Q vmáx1 π r dr π R R 0 máx.7 E entre H e (Eq..8): v máx H 4L R 8L R H.8 5

6 Escoamento Laminar Como R = D/, a Eq..8 pode escrever-se: 8L 3L H.9 R D Fórmula de Hagen-Poiseuille Igualando à fórmula universal da perda de carga, obtém-se para o fator de atrito no escoamento laminar: L 3μ L 64μ 64 ΔH f f.10 D g γd ρd Re 6

7 Escoamento Turbulento No escoamento turbulento, grupos de moléculas com velocidade de perturbação são transportadas, de forma caótica (vórtices), para camadas adjacentes do fluido, produzindo tensões de cisalhamento maiores que no escoamento laminar. Devido à adesão, partículas em contato com a parede do tubo têm v = 0 e passa a existir uma camada delgada de líquido, adjacente à parede, que caracteriza-se por uma variação praticamente linear da velocidade na direção principal do escoamento, chamada de subcamada limite laminar. A teoria da camada limite mostra que a espessura da subcamada limite laminar vale: 11,6 u * em que: u - velocidade de atrito; - viscosidade cinemática do fluido. 7

8 Escoamento Turbulento Quando as rugosidades da parede estão totalmente cobertas pela subcamada: u * 5 u* 5 70 u * 70 Escoamento turbulento hidraulicamente liso Na condição intermediária, apenas as asperezas maiores transpassam a subcamada limite laminar: Escoamento turbulento hidraulicamente misto ou de transição Quando as rugosidades da parede afloram a subcamada limite, alcançando o núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência: sendo o parâmetro: Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso u* ε Número de Reynolds de Re* ν atrito ou de rugosidade 8

9 Escoamento Turbulento Tubos Lisos Subcamada de limite laminar Tubos Rugosos caracteriza-se por uma variação praticamente linear da velocidade na direção principal do escoamento 9

10 elocidade de Perturbação No escoamento turbulento, a velocidade instantânea corresponde à soma de duas parcelas, a velocidade média temporal e a velocidade de perturbação: v T = cte e v dt 0 0 Em um ponto, na direção x, a velocidade apresenta o registro ao longo do tempo, como indicado na figura abaixo: No escoamento laminar: Logo vem: 1 T T 0 dt Em coordenadas cartesianas: τ μ dv dy x y z, sendo uma propriedade do fluido; No escoamento turbulento, segundo o modelo de Boussinesq: t x dv dy em que - viscosidade turbulenta, propriedade do escoamento e do fluido. Devido à natureza do escoamento turbulento, >>. Este modelo não descreve bem o fenômeno, porém, é usado no estudo da turbulência devido à sua simplicidade e analogia com o caso laminar. y z v 10 x v v y z Tensão tangencial turbulenta

11 Comprimento de Mistura de Prandtl A tensão instantânea tangencial turbulenta pode ser escrita como: t dft da v x v y Os termos da forma v x v y são chamados tensões de Reynolds Prandtl propôs que pequenos grupos de partículas são transportados pelo movimento turbulento até à distância média entre regiões com velocidades diferentes. Chamou de comprimento de mistura. Sugeriu que: v x v y dv dy cuja consideração na equação anterior, leva a: dv dy t ( ) 11

12 Lei Universal de Distribuição de elocidade: Para determinar matematicamente os perfis de velocidade, Prandtl assumiu as seguintes hipóteses (não totalmente convincentes, mas válidas): esforço cortante no núcleo turbulento igual ao desenvolvido na parede tubo; esforço cortante que predomina é o turbulento, dado pela eq. anterior; variação linear de com y nas proximidades da parede (v0) dada por: = y, é c te universal (c te de von Kármán) igual a 0,4 (água limpa). dv τt τ0 ρκ y ( ) dy Após integração temos: v u* τ 0 ρ dv κy dy 1 ln y C dv κy dy Para escoamento em tubos circulares, temos as condições de contorno: se y = R v = max se y = 0 v = 0, que resulta em: u κ dy y * u * dv max u * v,5ln R y lei universal de distribuição de velocidade (válida p/ tubos lisos e rugosos) 1

13 Derivando a equação, temos: dv/dy =,5 u * /y, que leva aos seguintes resultados: no centro do tubo, y = R, o valor de dv/dy deveria ser nulo ( max ), mas pela equação é finito; na parede, y = 0, o valor de dv/dy torna-se infinito, o que não é possível. Apesar dessas impropriedades matemáticas, a teoria proposta por Prandtl é válida para aplicações práticas. Usando o conceito de velocidade média numa seção e integrando a equação do perfil, vem: portanto: Q R R R 0 R 0 vda u * R 0 vrdr em que [,5ln(R r) C]rdr que resulta em:,5ln R (C 3,75) u * r R y 13

14 Experiência de Nikuradse 5 regiões distintas: I ) Re < 300, esc to laminar, f (Re); II ) 300 < Re < 4000, região crítica, onde f não é determinado; III) tubos hidraul te. lisos, >>, f (Re), esc to turbulento hidraul te. Liso; I) transição entre o esc to turbulento hidraul te. liso e rugoso, f (Re, /D); ) turbulência completa, esc to turbulento hidraul te. rugoso, f(/d). Observa-se que um tubo pode ser hidraul te. liso p/ esc tos. com Re baixos e hidraul te. rugoso p/ Re altos. Isto porque Re, turbul, transp q mov,. A curva limite de tubos hidraul te. lisos pode ser representada, na faixa 3000 < Re < 10 5, pela expressão: 0,316 f 0,5 fórmula de Blasius Re 14

15 Leis de Resistência no Escoamento Turbulento (f) Tubos Lisos: v 5,5,5ln u * 1 f log Tubos Rugosos: v u 1 * f yu * Re f 0, 8 8,48,5ln y D log( ) 1,74 1 Re f Re f ou log para 14, 14 f,51 D / ou 1 f u R,5ln * u * u *,5ln R 3,71D log 1,75 4,73 para Outros resultados obtidos que têm importância prática são: para y/r = 0,3 v = (tubo liso ou rugoso) para tubo circular (liso ou rugoso) vale a relação: 1 max 4,07u * 1 4,07 f/8 max Re f D /

16 Escoamento Turbulento Uniforme em Tubos Comerciais Para o Esc to Turbulento Hidraul te. Misto ou de Transição foi proposta a relação: 1 f,51 log 3,71D Re f fórmula de Colebrook-White Re f válida para 14, D / Esta fórmula pode ser reescrita explicitando-se a velocidade média, na forma: gdj log 3,71D,51 D gdj Fórmulas explícitas e aproximadas têm sido apresentadas: f 0,5 log 3,7D 5,74 0,9 Re fórmula de Swamee-Jain válida para 10-6 /D Re

17 Swamee-Jain cobriram todos os problemas relativos ao dimensionamento ou verificação de esc tos permanentes em tubos circulares, sem a necessidade de processos iterativos. As equações são as seguintes: J 5 0,03Q / gd 5,74 log 0,9 3,7D Re D Q gdj log 3,7D 1,78 D gdj gj D Q 0, gj 0,66 Q 0, 1,5 1 gjq 3 0, 0,04 Recentemente, Swamee apresentou uma equação geral p/ cálculo de f, válida p/ esc tos laminar, turbulento liso, de transição (ou misto) e rugoso, na forma: f 64 Re 8 9,5ln 3,7D 5,74 Re 0, Re 16 0,15 usada p/ reproduzir o diagrama de Moody 17

18 Moody 18

19 alores da rugosidade absoluta equivalente Material (mm) Rugosidade absoluta equivalente Aço comercial novo 0,045 Aço laminado novo 0,04 a 0,10 Aço soldado novo 0,05 a 0,10 Aço soldado limpo, usado 0,15 a 0,0 Aço soldado moderadamente oxidado Aço soldado revestido de cimento centrifugado 0,4 0,10 19

20 alores da rugosidade absoluta equivalente Material (mm) Rugosidade absoluta equivalente Aço laminado revestido de asfalto 0,05 Aço rebitado novo 1 a 3 Aço rebitado em uso 6 Aço galvanizado, com costura 0,15 a 0,0 Aço galvanizado, sem costura 0,06 a 0,15 Ferro forjado 0,05 0

21 alores da rugosidade absoluta equivalente Material (mm) Rugosidade absoluta equivalente Ferro fundido novo 0,5 a 0,50 Ferro fundido com leve oxidação 0,30 Ferro fundido velho 3 a 5 Ferro fundido centrifugado 0,05 Ferro fundido em uso com cimento centrifugado Ferro fundido com revestimento asfáltico 0,10 0,1 a 0,0 1

22 alores da rugosidade absoluta equivalente Material (mm) Rugosidade absoluta equivalente Ferro fundido oxidado 1 a 1,5 Cimento amianto novo 0,05 Concreto centrifugado novo 0,16 Concreto armado liso, vários anos de uso 0,0 a 0,30 Concreto com acabamento normal 1 a 3 Concreto protendido Freyssinet 0,04 Cobre, latão, aço revestido de epoxi, PC, plásticos em geral, tubos extrudados 0,0015 a 0,010

23 Aplicação 1 Uma tubulação de aço soldado revestido de cimento centrifugado ( = 0,1 mm), de 4 de diâmetro, transporta água a 0 o C ( 1,0 x 10-6 m /s) como conduto forçado. Pede-se determinar o fator de atrito e a vazão para os escoamentos neste conduto correspondentes às seguintes condições: a) limite superior do escoamento laminar; b) limite inferior do escoamento turbulento; c) limite superior do escoamento turbulento de tubo hidraulicamente liso; d) limite inferior do escoamento turbulento de tubo hidraulicamente rugoso. Exemplo.5 Água flui em uma tubulação de 50mm de diâmetro e 100m de comprimento, na qual a rugosidade absoluta é igual a =0,05mm. Se a queda de pressão, ao longo deste comprimento, não pode exceder a 50 kn/m, qual a máxima velocidade média esperada. 3

24 Exemplo.6 Imagine uma tubulação de 4 de diâmetro, material aço soldado novo, rugosidade =0,10mm, pela qual passa uma vazão de 11 L/s de água. Dois pontos A e B desta tubulação, distantes 500m um do outro, são tais que a cota piezométrica em B é igual à cota geométrica em A. Determine a carga de pressão disponível no ponto A, em mh O. O sentido do escoamento é de A para B. Exemplo.7 Um ensaio de campo em uma adutora de 6 de diâmetro, na qual a vazão era de 6,5L/s, para determinar as condições de rugosidade da parede, foi realizado medindo-se a pressão em dois pontos A e B, distanciados 1017m, com uma diferença de cotas topográficas igual a 30m, cota de A mais baixa que B. A pressão em A foi igual a 68, N/m e, em B, N/m. Determine a rugosidade média absoluta da adutora. 4

25 É interessante observar o valor do expoente da vazão (velocidade) nas expressões de J p/ os três tipos de esc to : laminar, turbulento liso e rugoso: J f 1 D g 0,087f Q D 5 (turbulento rugoso) J 0,316 0,5 Re 1 D g D Q D 1,75 1,75 0,5 4 0,0161ν 7, ,5 4,75 (turbulento liso) J 64 Re 1 D g D 4, Q D 6 3,65ν 4 (laminar) Fórmulas Empíricas p/ Escoamentos Turbulentos J K Q D n m Em geral K só depende do tipo de material do tubo. 5

26 Fórmula de Hazen-Williams J 10,65 C 1,85 Q D 1,85 4,87 ou Q 0,784CD,63 J 0,54 J (m/m), Q (m 3 /s), D (m) e C (m 0,367 /s). C - coef de rugosidade, depende da natureza e estado das paredes do tubo. Equação indicada para: esc to turbulento de transição; água a 0 C; D 0,10 m; - aplicação em redes de distribuição de água, adutoras e sistemas de recalque. Porto, R. faz uma comparação entre a fórmula de Hazen-Williams e a fórmula Universal através de gráficos e conclui: para tubos PC ( = 0,005 mm correspondendo a C entre 150 e 155) com D maiores, na faixa de Re entre e 10 6, a equação prática pode ser usada. Fora dessa faixa ela é inadequada. para valores C < 10 e elevados Re, caracterizando esc to turbulento rugoso, a equação prática é inadequada. 6

27 alores do Coeficiente C Material C Material C Aço corrugado (chapa ondulada) Aço com juntas lock-bar, em serviço 60 Aço com juntas lockbar, tubos novos Aço galvanizado 15 Aço rebitado, tubos novos 110 Aço rebitado, em uso 85 Aço soldado, tubos novos 130 Aço soldado, em uso 90 Aço soldado com revestimento especial Concreto, bom acabamento 130 Cobre Concreto, acabamento comum 10 7

28 alores do Coeficiente C Material C Material C Ferro fundido novo 130 Ferro fundido usado 90 Ferro fundido 15-0 anos de uso Ferro fundido revestido de cimento Madeiras em aduelas 10 Tubos extrudados PC 150 8

29 Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao Instalações prediais de água fria ou quente; Topologia caracterizada por trechos curtos de tubulação; Diâmetros menores que 4 ; Presença de grande número de conexões. Aço galvanizado novo conduzindo água fria 1,88 Q J 0,0001 4,88.47 D PC rígido conduzindo água fria 1,75 Q J 0, ,75.48 D Onde Q(m 3 /s), D(m) e J(m/m)

30 Exemplo.8 O sistema de abastecimento de água de uma localidade é constituído por um reservatório principal, com nível d água suposto constante na cota 81m, e por um reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de aumento de consumo, com nível d água na cota 800m. No ponto B, na cota 760m, inicia-se a rede de distribuição. Para que valor particular da vazão de entrada na rede, Q B, a linha piezométrica no sistema é a mostrada na figura? Determine a carga de pressão disponível em B. O material das adutoras é aço soldado novo. Utilize a fórmula de Hazen-Williams, desprezando as cargas cinéticas nas duas tubulações. 30

31 Exemplo.8 81,0 A 6 650m 760,0 800,0 B Q B 4 40m C Figura Exemplo.8 31