O TEOREMA DE PITÁGORAS UMA EXPERIENCIA UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA COM ALUNOS DO PROGRAMA VIVA ESCOLA

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1 O TEOREMA DE PITÁGORAS UMA EXPERIENCIA UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA COM ALUNOS DO PROGRAMA VIVA ESCOLA Loreni Aparecida Ferreira Baldini 1 Colégio Est. Pe. José de Anchieta - loreni@ibest.com.br RESUMO Este relato de experiência apresenta uma atividade realizada no Colégio Estadual Padre José de Anchieta, de Apucarana, com os alunos participantes do projeto de apoio à aprendizagem do Programa Viva Escola. Desenvolveram-se as atividades na perspectiva da Investigação Matemática, apoiadas nos recursos das Mídias, mais especificamente no software Geogebra. Esta atividade teve como finalidade verificar as contribuições do Geogebra na construção do Teorema de Pitágoras. Pode-se observar que o software muito contribuiu, pois favoreceu, com os movimentos que possibilita, a visualização de propriedades que auxiliam à construção do conceito e à demonstração do Teorema. PALAVRAS-CHAVE: Viva Escola; Geogebra; Teorema de Pitágoras. 1. INTRODUÇÃO Atuando no Colégio Estadual Padre José de Anchieta há mais de dez anos, podese observar, por meio das atividades desenvolvidas, que os alunos ingressam no Ensino Médio com grandes dificuldades em Matemática e, além disso, têm apresentado um baixo desempenho nas avaliações, como na Prova Brasil. Por isso, apresentou-se um projeto de apoio à aprendizagem para alunos do Ensino Médio, a fim de contribuir para uma formação de maior qualidade, uma vez que grande parte dos alunos é oriunda de famílias de baixa renda, de baixa formação escolar e sem condições de apoiar seus filhos, tanto na construção de conhecimentos, quanto na busca de fontes que possibilitem novos conhecimentos. Apresentou-se um projeto a um programa da Rede Publica Estadual de Ensino, denominado de Programa Viva Escola, que visa o desenvolvimento de atividades 1 Licenciada em Matemática, especialista e mestre em Educação Matemática. Professora da Rede Publica do Estado do Paraná. 920

2 pedagógicas vinculadas ao Projeto Político Pedagógico e que podem complementar o currículo do Ensino Médio. Entre os seus objetivos, destaca-se o apoio aos profissionais para o desenvolvimento de atividades pedagógicas diferenciadas no cotidiano da sala de aula. O Programa compreende quatro núcleos de conhecimento, entre eles, o científicocultural, que abrange a história e a memória, a cultura regional, as atividades literárias, as artes visuais, as músicas, a investigação científica, a divulgação científica e as mídias. O trabalho que está sendo desenvolvido no Colégio Estadual Padre José de Anchieta, de Apucarana-PR, contempla este núcleo e, entre as atividades, optou-se por trabalhar com as mídias. D Ambrosio (1988, p. 34) salienta que uma prática pedagógica norteada pelas tendências da Educação Matemática pode contribuir para que o ensino da Matemática não recaia num ensino obsoleto e inútil, possibilitando ao aluno uma aprendizagem atualizada e significativa. As DCEs Diretrizes Curriculares de Matemática (2008, p.36), propõem que o ensino da Matemática seja abordado por meio das tendências metodológicas da Educação Matemática: Resolução de Problemas; Investigação Matemática; Modelagem Matemática; Mídias Tecnológicas; Etnomatemática e História da Matemática. Assim, optou-se em desenvolver atividades na perspectiva da Investigação Matemática e das Mídias Tecnológicas, por meio do Geogebra, enfocando os conteúdos estruturantes propostos para o Ensino Médio, articulados com seus conteúdos específicos. A Investigação Matemática tem sido apontada por diversos pesquisadores, como uma tendência metodológica que favorece uma melhor compreensão da Matemática. O principal objetivo da Investigação Matemática é encontrar regularidades, refletir sobre as questões, justificá-las e testá-las, generalizando os conteúdos. Para Ponte (2006, p.13), investigar é buscar, procurar o que não se sabe, e ainda, investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades. O quadro abaixo, baseado em Ponte (2006, p.21), destaca fases importantes na realização de uma Investigação Matemática. Exploração e formulação de questões Reconhecer uma situação problemática Explorar a situação problemática Formular questões Conjecturas Organizar dados Formular conjecturas Testes e reformulação Realizar testes e refinar uma conjectura 921

3 Justificação e avaliação Justificar uma conjectura Avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio. Sabe-se que o envolvimento do estudante numa tarefa é condição fundamental para sua aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos, com vistas a atingir um determinado objetivo. Ponte (2006, p.21) destaca, também, a importância da interação que deve ocorrer entre os estudantes e o professor durante o processo de investigação para a divulgação e a confirmação dos resultados obtidos. Numa Investigação Matemática é possibilitado ao estudante agir como um matemático, não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente, porque formula conjecturas a respeito do que está investigando, assim ele faz matemática (PONTE, 2006, 22). Por outro lado, os computadores estão cada vez mais presentes no cotidiano das pessoas. Sua presença cultural aumenta a cada dia e pesquisadores como Gravina (1998, p.2) destacam que quando o computador é utilizado no desenvolvimento de atividades, que permitem ao estudante representar ideias, conjecturar, comparar resultados, refletir e resolver problemas, pode favorecer o processo de construção do conhecimento. Borba e Penteado (2003, p. 16) destacam que A função da escola já não é mais unicamente a de ensinar, mas sim, a de ensinar a aprender, escolher, organizar-se e ser capaz de lidar cada vez mais com a diversidade e preparar o cidadão para viver em sociedade. As discussões sobre informática educativa e suas implicações no processo educativo são questões que devem ser discutidas nos currículos escolares. O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma alfabetização tecnológica. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia (BORBA, PENTEADO, 2003, p.17). Optou-se, neste projeto, no trabalho com mídias, pelo software Geogebra. Este software está disponível nos laboratórios de informática do Paraná Digital e, além disso, é um software livre, facilitando, assim, o acesso aos alunos que possuem computador, para que possam estudar em horários extraclasse. Outro fato que se considerou de grande relevância para a escolha do Geogebra, é que no Viva Escola uma atividade de Mídias é compreendida como um processo de investigação, de representação, de reflexão e de construção do conhecimento, aspectos que o software Geogebra favorece com muito êxito. 922

4 2. O SOFTWARE GEOGEBRA O Geogebra é um software de matemática dinâmica, gratuito e disponível na internet, que pode ser utilizado para realização de atividades no Ensino Fundamental, Médio e Superior. Este software possibilita desenvolver atividade de geometria e álgebra. Na Geometria, o Geogebra permite realizar construções com pontos, vetores, segmentos, retas, entre outras. Além disso, proporciona condições para alterações nas figuras, de forma dinâmica, mantendo suas propriedades. Na Álgebra, ele permite inserir equações e coordenadas, pois tem a habilidade de tratar variáveis como as de funções, oferecendo vários comandos como raízes. Uma característica importante do Geogebra são as duas janelas: geométrica e algébrica. Possibilita verificar que uma expressão na janela algébrica corresponde a um objeto na janela geométrica e vice-versa. Sua interface é de fácil acesso e não requer conhecimentos prévios de informática, o estudante é quem determina o que vai ser executado na tela, ou seja, de acordo com suas estratégias, escolhem-se as ferramentas. A seguir, apresenta-se a interface do Geogebra. A barra de ferramentas do Geogebra possui 9 ícones. Cada ícone possui várias ferramentas. Para poder visualizar essas ferramentas, basta clicar na parte inferior do ícone, que o programa abre as opções de cada janela, como as figuras apresentadas a seguir. 923

5 Pode-se observar que cada janela possui uma imagem que contribui para lembrar as suas funções. Para desenvolvimento de atividades deve-se escolher a ferramenta que será utilizada e executar determinada operação com o que se pretende realizar. Destaca-se, a seguir, algumas das ferramentas desse software. Veja as figuras a seguir: Assim, para a realização das atividades o estudante é quem busca as ferramentas. Vale ressaltar que este software é de geometria dinâmica e que pode muito contribuir na percepção de regularidades que favorecem as generalizações. Neste relato, apresenta-se uma das atividades realizadas no projeto Viva Escola, utilizando o software Geogebra e o Teorema de Pitágoras. 924

6 3. O TEOREMA DE PITÁGORAS Um dos teoremas mais conhecidos dentro da Matemática é o Teorema de Pitágoras, tanto por ser considerado uma ferramenta de grande relevância na resolução de certos tipos de problemas matemáticos, quanto pelos fatos e lendas que envolvem a historia de Pitágoras. Garbi (2007, p.27) destaca que: Existem muitos e belíssimos teoremas na Matemática mas a aura de surpresa, originalidade, estética, e importância que cerca o Teorema de Pitágoras faz dele algo realmente incomparável em relação aos demais: todos os caminhos da Rainha das Ciências conduzem a ele. Existem pelo menos 367 modos diferentes de demonstrar este teorema, ou seja, que em qualquer triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 4. A EXPERIÊNCIA Num dos encontros do Viva Escola, abordou-se as propriedades do triângulo retângulo com o auxilio do software Geogebra, a fim de possibilitar a visualização da relação entre as áreas das figuras construídas em cada lado do triângulo retângulo que embasam o Teorema de Pitágoras. Para iniciar a construção do conceito na busca da generalização e demonstração do Teorema de Pitágoras, foram propostas três atividades aos alunos. ATIVIDADE 1: Construir um triângulo retângulo. Medir os ângulos internos utilizando o Geogebra. Os alunos, em duplas, fizeram a construção e apresentaram figuras como as seguintes: 925

7 Analisando o triângulo ao lado, percebeu-se que estes alunos não conheciam as propriedades dos triângulos e, portanto, não construiu um triângulo retângulo como foi solicitado. Outro grupo de alunos construíram um triângulo retângulo, mas ao solicitar que se movimentasse um dos vértices, da figura A, observou-se que tratavase de um desenho, ou seja, não manteve as propriedades e o ângulo de 90º, foi modificado, e o triângulo, obtendo a figura B, a qual deixou de ser triangulo retângulo como o solicitado. Esses quatro triângulos foram obtidos de apenas uma construção, pois esta dupla construiu um triângulo retângulo, que ao movimentar qualquer vértice, não perdeu a propriedade que garante que é um triângulo retângulo, um ângulo de 90º. Assim, pode-se obter vários triângulos a partir de apenas uma construção com o movimento dos vértices. Após as construções, levantaram-se discussões de quais ferramentas seriam necessárias para construir um triângulo retângulo. Um aspecto importante e que muito 926

8 contribui para verificar as ferramentas utilizadas nas construções foi a Protocolo de Construção, que possibilitou verificar que um dos alunos usou retas perpendiculares e com isso garantiu que o triângulo fosse retângulo. Veja, a seguir, imagem do Protocolo de Construção. Assim, foram apresentadas várias estratégias para a construção do triângulo retângulo, algumas utilizando apenas a ferramenta Polígonos, do Geogebra, que não garantiu que o triângulo fosse triângulo retângulo, e outras utilizando ferramentas como retas perpendiculares, que garantem o ângulo reto, propriedade que caracteriza o triângulo como triângulo retângulo. Na sequência, foram realizadas as classificações do triângulo, tanto com relação aos seus lados, quanto aos seus ângulos, e, a seguir, sistematizou-se que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90º) e apresentou que dois de seus lados são chamados de catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. ATIVIDADE 2: Construir um triângulo retângulo. Um quadrado sobre cada um dos seus lados. Medir a área de cada quadrado. No Campo de Entrada do Geogebra, somar as áreas dos quadrados sobre os catetos. Comparar com a área do quadrado feito sobre a hipotenusa. Movimentar a construção e registrar sua conclusão. 927

9 Os alunos já familiarizados com o software e com o conhecimento de várias propriedades geométricas, discutidas em atividades anteriores, não tiveram dificuldades em realizar esta atividade. Apresentaram figuras como as seguintes: Essa construção favoreceu a compreensão de que u a área do quadrado feito sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Para maior compreensão foi apresentada a imagem ao lado construída no Geogebra. A partir desta figura, tomou-se um quadradinho como unidade de área e visualizaram que 25 = Assim, formulou-se que se a hipotenusa for o lado a do triângulo, b e c forem os catetos, tem-se que o teorema pode ser representado por: a 2 = b 2 +c 2 A partir da atividade 2 e das discussões, apresentou-se aos alunos a figura ao lado, que representa um quadrado JKLM com o quadrado NOPQ inscrito, solicitou-se que construíssem uma figura semelhante, utilizando o software. Os alunos apresentaram algumas dificuldades em decidir a distância dos pontos NOPQ sobre os lados do quadrado JKLM, testaram, utilizando medidas, e a maioria decidiu utilizar o conceito de ponto médio para obter o quadrado inscrito. Na sequência, foi solicitado que determinassem as área dos quadrados JKLM e NOPQ e, ainda, dos 4 triângulos formados e que comparassem a partir dos movimentos da figura. Porém, para a sistematização do teorema, apresentou-se as figuras abaixo e, numa perspectiva investigativa participação ativa dos alunos, calcularam-se as áreas algebricamente, para, assim, realizar a demonstração do teorema: 928

10 Assim, concluíram: algebricamente ATIVIDADE 3 Construir um triângulo retângulo e, em cada um dos seus lados, construir um triângulo equilátero, um hexágono e um semicírculo. Calcular a área de cada polígono e compará-las. Entre as construções dos alunos, apresentam-se as figuras a seguir: Observando que o hexágono pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros, toma-se o hexágono construído sobre a hipotenusa como de lado a e os dos catetos como lados b e c, pode-se verificar a seguinte relação entre as áreas: Para calcular a área dos hexágonos construídos sobre os lados do triângulo retângulo, basta calcular a área dos seis triângulos de cada hexágono, assim tem-se: Simplificando os elementos comuns, tem-se que: 929

11 De modo análogo: Calculando a área dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados do triângulo retângulo, obtém-se a mesma relação entre as áreas: Simplificando os termos comuns, tem-se: O mesmo acontece com as áreas dos semicírculos construídos sobre os lados do triângulo. Simplificando os termos comuns, tem-se que: Dessa forma, sistematizou-se que no triângulo retângulo podem ser construídos polígonos regulares e também outras figuras que respeitem a proporcionalidade, que poderá ser verificada na relação entre as áreas das figuras construídas nos catetos e na hipotenusa. 5. ALGUMAS CONSIDERAÇÕES Vale ressaltar que no decorrer das atividades percebeu-se um grande empenho dos alunos em descobrir as relações e propriedades que estavam em discussão. Notou-se, também, pelo entusiasmo, que estes alunos experimentavam uma outra relação com a Matemática - prazerosa. É de grande relevância destacar, que os alunos manifestaram uma boa compreensão das atividades, observou-se estes aspectos tanto pelos argumentos apresentados nas discussões, quanto pelas estratégias e ferramentas utilizadas nas construções de figuras. Assim, percebeu-se que o software Geogebra pode contribuir com o processo de ensino e aprendizagem, se utilizado adequadamente. Por outro lado, observando as figuras construídas pelos alunos, percebeu-se que o Geogebra pode favorecer o desenvolvimento da criatividade, o uso do pensamento intuitivo, a experimentação e a exploração de ideias na formulação de conjecturas, na fase em que o rigor matemático ainda não está presente. Assim, percebeu-se que no momento de sistematizar ou formalizar os conteúdos, os alunos tem um enfretamento mais ativo e menos exaustivo, o que pode contribuir para a construção dos conceitos. 930

12 É oportuno dizer que o Geogebra deixou os alunos fascinados e os poucos que possuem computador em casa, baixaram este software e argumentam que muitas atividades que são solicitadas pelos professores são resolvidas por eles utilizando o software. REFERÊNCIAS BORBA, Marcelo de C. e PENTEADO, Miriam G. Informática e Educação Matemática. 2.ed., Belo Horizonte: Autêntica, D AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus, GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 2.ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, p. GRAVINA, Maria Alice e SANTAROSA, Lucila. Aprendizagem da Matemática em Ambientes Informatizados. Anais,IV Congresso Ribie, Brasília PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, versão preliminar, PONTE, J. P.; Brocardo, J. & Oliveira, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica,