UMA (RE)VISÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS E SEU ENSINO. Hugo de Oliveira Motta Serrano 1, Eugenia Brunilda Opazo Uribe

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1 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, UMA (RE)VISÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS E SEU ENSINO Hugo de Oliveir Mott Serrno 1, Eugeni Brunild Opzo Urie Universidde Federl de Mto Grosso do Sul Cmpus de Três Lgos. E mil: hugo_mott31@hotmil.com. 1 Bolsist do Grupo PET Conexões de Seres Mtemátic/CPTL/UFMS RESUMO O presente trlho é resultdo de um estudo feito sore o Teorem de Pitágors e seu ensino, que foi escolhido devido ser considerdo por muitos mtemáticos como um dos mis elos e importntes teorems d Mtemátic de todos os tempos. A prtir d leitur dos Prâmetros Curriculres Ncionis pr Mtemátic, são feits lgums reflexões sore necessidde de utilizr demonstrções no ensino de geometri e no cso prticulr do ensino deste teorem, ind no Ensino Fundmentl. Em seguid são orddos lguns spectos históricos, pr depois enuncir o teorem e desenvolver dus demonstrções: demonstrção clássic e demonstrção por semelhnç, em como demonstrção d recíproc do teorem. Buscndo um plicção do cotidino, é presentd um discussão, que utiliz o Teorem de Pitágors pr judr escolher um prelho de TV de tel lrg. Plvrs chve: Ensino de Mtemátic, Geometri, Ensino de Geometri, Teorem de Pitágors INTRODUÇÃO E OBJETIVO O Teorem de Pitágors tlvez sej um dos mis conhecidos e importntes teorems d Mtemátic, com inúmers plicções n resolução de prolems tnto teóricos qunto práticos, muitos deles presentes em nosso cotidino. Os Prâmetros Curriculres Ncionis pr quint oitv séries do Ensino Fundmentl (BRASIL, 1998, p.16), destcm pr áre de Mtemátic que, s tividdes de Geometri são muito propícis pr que o professor constru junto com seus lunos um cminho que prtir de experiêncis concrets leve os compreender importânci e necessidde d prov pr legitimr s hipóteses levntds. Porém, lertm sore o cuiddo necessário o trlhr o Teorem de Pitágors no sentido de evitr desvios o interpretr construções e visulizções geométrics como demonstrções do mesmo, Tome se o cso do Teorem de Pitágors pr esclrecer um dos desvios freqüentes qundo se tent rticulr esses domínios. O professor propõe o luno, por exemplo, um quer ceçs constituído por peçs plns que devem compor, por justposição, de dus mneirs diferentes, um modelo mteril de um qudrdo. Utilizndo o princípio ditivo reltivo o conceito de áre de figurs plns, oserv se que c. Diz se, então, que o Teorem de Pitágors foi provdo. Apesr d forç de convencimento pr os lunos que possm ter esses experimentos com mteril concreto Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

2 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, ou com medição de um desenho, eles não se constituem provs mtemátics (Brsil, 1998). Pietropolo (005), discute potencilidde d prov no âmito dos currículos de Mtemátic do Ensino Básico e firm que existe um retomd ds demonstrções nos currículos prescritos de lguns píses e que isto decorreu do reconhecimento de que prov sendo um specto fundmentl d tividde mtemátic, deveri estr presente tmém n formção dos lunos, principlmente em função de sus potenciliddes pr desenvolver o rciocínio dedutivo. Ms, pesquiss mostrm que muitos professores trlhm pens com presentção de fórmuls e exercícios de fixção (Bressini, 011). Considerndo demonstrção um specto fundmentl n formção dos lunos, desenvolvemos um estudo sore o Teorem de Pitágors, ordndo conteúdos teóricos pr o desenvolvimento de diferentes demonstrções e plicções do mesmo. O presente trlho tem por ojetivo presentr o Teorem de Pitágors com destque pr su demonstrção e um plicção do cotidino, utilizndo conceitos dequdos pr serem desenvolvids no Ensino Básico. METODOLOGIA O trlho foi desenvolvido em etps, incluindo pesquis iliográfic sore ordgem históric do tem, enuncido do teorem e su recíproc, demonstrções e plicções. Form relizdos seminários de discussão e construção de mteriis concretos pr visulizção e mnipulção. Ao longo do trlho form estudds diverss demonstrções do Teorem de Pitágors, desenvolvendo tmém lgums plicções interessntes. O presente trlho foi delimitdo presentção de dus demonstrções, demonstrção clássic e quel sed em semelhnç, em como um plicção do cotidino. RESULTADOS Um Pouco de Históri Pitágors nsceu n ilh de Smos provvelmente em 570.C., cerc de 50 nos depois do nscimento de Tles de Mileto. Trnsferiu se pr Croton, n cost sudeste d tul Itáli, onde fundou escol Pitgóric dedicd o estudo d Mtemátic e d Filosofi. Lim (006), firm que Pitágors é um figur oscur n histori d mtemátic e, pr dificultr ind mis s coiss, su escol, lém de secret, er comunitári, ou sej, todo conhecimento e tods s Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

3 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, descoerts erm comuns, pertencim todos. Assim, não semos sequer se foi o próprio Pitágors que descoriu o teorem que lev seu nome, pois er comum nquel époc dr todo crédito d descoert o mestre. Existem provs concrets de que os ilônios conhecim o Teorem de Pitágors, vários tletes de rro dtdos do período C. form encontrdos, decifrdos e té hoje se encontrm em diversos museus. O Teorem de Pitágors já er conhecido n chin cerc de 600 nos ntes de Pitágors; o livro Zhoui Sunjing, do terceiro século.c., present um prolem denomindo Gou Gu, o equivlente chinês do Teorem de Pitágors. (Lim, 006), (Boyer, 1991). O Enuncido do Teorem de Pitágors Em qulquer triângulo retângulo, áre do qudrdo cujo ldo é hipotenus é igul à som ds áres dos qudrdos que tem como ldos cd um dos ctetos. Se é medid d hipotenus e se e c são s medids dos ctetos, o enuncido do Teorem de Pitágors equivle firmr que c. A Demonstrção Clássic Ddo um triângulo retângulo de hipotenus e ctetos, e c, considerremos o qudrdo cujo ldo é c, de cordo com figur (1). Figur 1 Suponhmos que os ângulos do tringulo de hipótese sejm α e β; pel congruênci de triângulos, temos que nos qutro triângulos os ângulos gudos medem α e β. Como 90, Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

4 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, cd ângulo interno do qudrilátero de ldo é reto. A áre do qudrdo mior é dd por ( c) ( c) ( c), enqunto áre do qudrdo de ldo menor é dd por e áre do tringulo será ( c) /, ms podemos notr que áre do qudrdo menor é igul áre do qudrdo mior sutríd d som dos triângulos retângulos. Considerndo que temos qutro triângulos semelhntes, teremos, Áre do qudrdo menor = Áre do qudrdo mior Áre dos triângulos ( c) 4( c) / ou c c c, otendo finlmente, c, como querímos demonstrr. A Demonstrção por Semelhnç Sej ABC um tringulo retângulo em A. Trçndo o segmento AH perpendiculr á hipotenus, podemos verificr que os triângulos AHB e AHC são semelhntes o triângulo ABC. Figur Como o ABC ~ AHC, temos que n e ssim, n. Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

5 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, De mneir nálog, como ABC ~ HAB, temos que somndo s dus relções memro memro encontrmos, c, donde c m. Assim, c m c n m ( n m) como m n, otemos finlmente, como querímos demonstrr. c, Recíproc do Teorem de Pitágors Se,, c, são números reis positivos com c, será que o triângulo de ldos,, c é retângulo? A respost é sim. Pr demonstrrmos, considerremos o tringulo ABC, com AB c, BC e CA. 1 Cso: Considerndo A 90 e supondo que c, o ponto D, projeção de C sore AB, ci no interior do ldo AB. Sejm AD y e CD h. Figur 3 Como o ADC é retângulo temos y h e como o BDC tmém é retângulo temos, ( ) h c y, Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

6 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, o que mostr que c cy y h ou c cy y y, resultndo que c cy e, portnto, c, o que contrdiz condição inicil. Cso: Considerndo gor A 90, o ponto D ci for do ldo AB. Figur 4 Como o ADC é retângulo, temos h y e como BDC tmém é retângulo temos, h ( c y) e prtir dest iguldde, otemos c cy, o que mostr que c, novmente contrdizendo condição inicil. Portnto, num tringulo ABC de ldos,, c, condição c implic necessrimente que o triângulo é retângulo. Um Aplicção do Cotidino Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

7 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, Teodoro (009) present um prolem do cotidino, como plicção do Teorem de Pitágors, relciondo à escolh de um TV de tel lrg. Ele firm que Qundo se põe ldo ldo um velh TV de tuo de 9 polegds e um modern wide screen, de tel lrg, com 3 polegds, fic se com impressão de que imgem dest últim é menor e firm ind que Em comprção com o modelo de tuo, ltur dess TV de tel lrg e, portnto, su percepção d áre d tel será mesmo menor, não import o que dig o fricnte. O número de polegds de um TV indic medid d linh digonl que cruz tel. Assim, emor os prelhos de TV de tuo e tel lrg tenhm digonis equivlentes eles seguem diferentes proporções entre lrgur e ltur. Os fricntes fornecem proporção entre 4 16 s medids de lrgur e d ltur ds tels: pr s tels de tuo e pr s tels lrgs. 3 9 Indicndo por e s medids d lrgur e ltur pr os prelhos de TV de tuo, e de x e y pr os prelhos de TV de tel lrg, temos 4 16 e x y. 3 9 Denotndo por d T medid d digonl e por A T Teorem de Pitágors que, áre do prelho de TV de tuo, temos do d T 4 5 ou d T e ssim, áre pr este cso será A T d T Agor, denotndo por d L medid d digonl e por A L áre do prelho de TV de tel lrg, temos do Teorem de Pitágors que, d L x y y y y ou 9 81 y d L e ssim, áre pr este cso será A xy y L d L Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

8 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, Pr que s áres sejm iguis, devemos ter AL AT, o que crret que d L 1, 06dT. Assim, pr termos um tel lrg que tenh áre equivlente à TV de tuo de 9 polegds, por exemplo, st clculr 1, ,74. Arredondndo os vlores otemos que TV de tel lrg correspondente seri no cso de 3 polegds. DISCUSSÃO Ao desenvolver s dus demonstrções presentds, em como recíproc do Teorem, são utilizdos pens conceitos ásicos de Geometri que fzem prte dos conteúdos de Mtemátic do Ensino Fundmentl, permitindo ssim que este trlho poss ser desenvolvido durnte s uls regulres de Mtemátic. A escolh de um plicção do cotidino, usc contriuir no processo de motivção dos lunos. CONCLUSÃO O trlho foi desenvolvido com idéi de explorr os conteúdos relciondos com o Teorem de Pitágors, um tem que deve fzer prte d formção inicil dos professores de Mtemátic, já que ele é utilizdo n resolução de diversos prolems de Mtemátic, tnto do Ensino Fundmentl como do Ensino Médio. Neste trlho form presentds dus demonstrções do Teorem, em como d recíproc e um plicção do cotidino. Acreditmos que form em que s demonstrções são desenvolvids, permite o seu estudo ind no Ensino Básico, compnhdo de mteriis concretos que permitm su visulizção. O trlho terá continuidde estudndo generlizção do Teorem e su versão pr o espço. REFERÊNCIAS BOYER, C.B. Históri d Mtemátic. ª. Ed. Trdução Elz F. Gomide. São Pulo: Edgrd Blücher, Brsil. Secretri de Educção Fundmentl. Prâmetros Curriculres Ncionis: Mtemátic. 5ª. 8ª. séries. Brsíli : MEC/SEF, Disponível em < Consultdo em: 07/09/01. BRESSIANI, L. Teorem de Pitágors: Aordgem em Mídis Digitis f. Monogrfi (Especilizção em Mtemátic, Mídis Digitis e Didátic). Deprtmento de Mtemátic Pur e Aplicd, Universidde Federl do Rio Grnde do Sul, Porto Alegre. Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01

9 Encontro de Ensino, Pesquis e Extensão, Presidente Prudente, 5 de outuro, 01 7 Disponível em: < Consultdo em: 07/07/01. LIMA, E.L. et l. Tems e Prolems Elementres. 1 ed. Rio de Jneiro: SBM, 006. PIETROPAOLO, R. C. (Re)significr Demonstrção nos Currículos d Educção Básic e d Formção de Professores de Mtemátic f. Tese (Doutordo em Educção Mtemátic). Pontifíci Universidde Ctólic de São Pulo, São Pulo. Disponível em: < Consultdo em: 07/09/01. TEODORO, D. SANTOS, R.N. Como Escolher TV de Tel Lrg Um plicção do Teorem de Pitágors. Revist do Professor de Mtemátic No. 70. p Colloquium Exctrum, vol. 4, n. Especil, jul-dez, 01