UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO SONNER ARFUX DE FIGUEIREDO

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1 0 UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO SONNER ARFUX DE FIGUEIREDO FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES E A INTEGRAÇÃO DA PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA ELEMENTAR São Paulo 2015

2 1 SONNER ARFUX DE FIGUEIREDO DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES E A INTEGRAÇÃO DA PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR NA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Tese apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, como requisito parcial à obtenção do título de Doutor em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Nielce Meneguelo Lobo da Costa. São Paulo 2015

3 2 475f F Figueiredo, Sonner Arfux de Formação inicial de professores e a integração da prática como componente curricular na disciplina de matemática elementar/ Sonner Arfux de Figueiredo. São Paulo, f.: il;30 cm Tese de Doutorado em Educação Matemática Coordenadoria de Pósgraduação, Universidade Anhanguera de São Paulo, Orientadora: Prof.ª Dr.ª Nielce Meneguelo Lobo da Costa 1. Prática curricular. 2. Formação de professores 3. Licenciatura em matemática. 4. Aprendizagem profissional. 5. Trajetória hipotética de aprendizagem. I.Título. CDD 510

4 FOLHA DE APROVAÇÂO 3

5 4 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, pela saúde e a disposição por ter conseguido terminar mais uma etapa da minha vida. Depois aos meus familiares, em especial aos meus Pais José Diogo de Figueiredo e Edna Arfux de Figueiredo, e a meus Irmãos Samy e Joelson pelo apoio e compreensão. A minha Esposa Luciana, e meus filhos Sumaia e Samir, que foram meus pilares de sustentação em todo o percurso desta pesquisa. Ao meu Amigo Anailton Gama, que tínhamos nos finais de semana um churrasco como pretexto para discussão de partes desta tese e fugas dos momentos de angustias e fraquezas. Muito obrigado por tudo. A Prof a. Dr a. Nielce Meneguelo Lobo da Costa, pelo carinho e dedicação com os quais orientou esta pesquisa. O apoio que dela recebi transcende os limites deste trabalho acadêmico. Nunca, nunca agradecerei o suficiente. A Prof a. Dr a. Marlene Alves Dias e aos professores da Linha de Formação, Prof a. Dr a. Angélica Fontoura Garcia Silva, Prof a. Dr a. Maria Elisabette Brisola Brito Prado e Prof. Dr. Rui César Pietropaolo, pelos conhecimentos transmitidos de forma tão cuidadosa e comprometida ao longo de todo o programa. A Coordenadora do Programa, Prof a. Dr a. Tânia Campos e em seu nome agradecer a todos os Professores e colegas do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, companheiros de caminhada com quem muito aprendi. Aos Pesquisadores Dr. Salvador Llinares e Dr a. Julia Valls González, que contribuíram de forma inestimável em sugestões e revisões, que evidenciaram parte dos resultados desta pesquisa. Ao Departamento de Innovación y Formación Didáctica da Universidad de Alicante, que me disponibilizou toda sua infraestrutura no desenvolvimento do Estágio de Doutoramento Sanduiche, parte desta pesquisa. A CAPES, que me possibilitou realizar parte deste estudo com um período de pesquisa em Alicante - Espanha na realização do Doutorado Sanduiche. Meus sinceros agradecimentos a todos.

6 5 RESUMO Esta pesquisa teve por objetivo compreender a integração da Prática como Componente Curricular (PCC) na estrutura pedagógica de um curso de Matemática, Licenciatura, particularmente na disciplina de Matemática Elementar, ao longo do conteúdo de trigonometria. No sentido de atingir tal objetivo, analisamos características de uma proposta formativa para implementação da PCC e identificamos o que foi relevante na configuração da disciplina para a construção do conhecimento profissional docente. A pesquisa fundamentou-se na perspectiva de Shulman sobre conhecimento profissional, nos estudos sobre conhecimentos necessários para a docência em matemática de Ball, Thames e Phelps, na relação teoria-prática, segundo Zabala. Para caracterizar o mecanismo cognitivo para a aprendizagem de conceitos matemáticos nos fundamentamos na relação atividade-efeito, de Simon, Tzur, Heinz e Kinzel, de modo a estabelecer a relação entre a aprendizagem conceitual e as tarefas matemáticas para a elaboração de Trajetórias Hipotéticas de aprendizagem (THA). A metodologia da pesquisa foi de natureza qualitativa, com características da pesquisa-ação e elementos do Design Based Research, a qual permite ajustes tanto para o processo formativo quanto investigativo. A pesquisa se desenvolveu com dezesseis alunos do primeiro ano do curso de Matemática, Licenciatura e se estruturou em três fases. A fase 1 foi de pesquisa documental sobre: a legislação federal, estadual, as orientações curriculares relativas à PCC, as relativas ao ensino de trigonometria e, também, sobre os Projetos pedagógicos do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul. A fase 2 contemplou a Pesquisa de Campo, compreendendo a concepção e o desenvolvimento da proposta formativa com os licenciandos. Nesta fase, os dados foram coletados por meio de questionário de entrada; materiais produzidos na sala de aula e registros de observação da THA. A fase 3 foi de análise e estabelecimento das conclusões. Os resultados da investigação apontaram características da proposta formativa que impulsionaram a integração da PCC na prática docente, no ensino de trigonometria: levantamento e análise de livros didáticos; análise de vídeos, jogos e sua utilização em aula; exploração de softwares utilizados na construção do conhecimento; elaboração de projetos de ensino voltada para a escola básica envolvendo aspecto histórico e recursos tecnológicos; observar estratégias de resolução e a interação dos licenciandos; dominar recursos disponibilizados e utilizá-los pedagogicamente. Essas características são relevantes na configuração da proposta para a construção do conhecimento profissional docente, e revelou que a prática do formador é fundamental para auxiliar a construção de conhecimentos dos licenciandos. Identificamos cinco pontos fundamentais que caracterizam a PCC relativas ao formador, as quais determinam um ciclo (desenvolvimento profissional, desenvolvimento do currículo, desenvolvimento organizacional, desenvolvimento do ensino e da aprendizagem, atividades e processo de aprendizagem do licenciando). Tais pontos explicitam as perspectivas da prática do professor formador a partir da forma como ele utiliza os instrumentos didáticos e procura propiciar a construção do conhecimento dos licenciandos. Os resultados indicam que a integração dos diferentes instrumentos pedagógicos e as formas de representação dos conceitos aliado à fundamentação teórica, evidenciam características da PCC no ensino de trigonometria, além disso, evidenciam o relacionamento entre a prática do formador e o aprendizado do licenciando. Palavras-chave: Prática como Componente Curricular; Formação Inicial de Professores; Licenciatura em Matemática; Aprendizagem Profissional; Trajetória Hipotética de Aprendizagem.

7 6 ABSTRACT This research aimed to understand the integration of Practice as Curricular Component (PCC) in the pedagogical structure of a course in Bachelor s Degree in Mathematics, particularly in the discipline of Mathematics Elementary, along trigonometry content. In order to achieve this goal, we analyze characteristics of a training proposal to implement the practice and identify what was relevant on the course setup for the construction of teachers' professional knowledge. The research was based on Shulman's perspective on professional knowledge, in studies of knowledge needed for teaching in math Ball, Thames and Phelps, the theory-practice relationship, according to Zabala. To characterize the cognitive mechanism for learning mathematical concepts, we have considered in the activity-effect relationship, Simon, Tzur, Heinz and Kinzel in order to establish the relationship between the conceptual learning and mathematical tasks for the development of trajectories Hypothetical learning (THA). The research methodology was qualitative, with action research the features and elements of Design- Based Research, which allows adjustments to both the training as investigative process. The research was developed with sixteen students of the first year of Mathematics Degree and was structured in three phases. Phase 1 was documentary research research on the federal, state legislation, curriculum guidelines for the CCP, those relating to teaching trigonometry and also on the pedagogical projects of Degree in Mathematics of the State University of Mato Grosso do Sul. Phase 2 included the Field Research, including the design and development of training proposal with the licensees. At this stage, data were collected through questionnaire input; materials produced in the classroom, observation records in THA. Phase 3 was analysis and establishment of conclusions. The research results showed the features in the formative proposal that drove the integration of PCC in teaching practice, teaching trigonometry: survey and analysis of textbooks; analysis of videos, games and their use in class; operating software used in the construction of knowledge; development of targeted educational projects for elementary school involving historical aspect and technological resources; observe solving strategies and the interaction of undergraduates; dominate available resources and use them pedagogically. These characteristics are relevant to the proposed configuration for the construction of professional teaching knowledge, and revealed that the practice of the trainer is essential to help build knowledge of undergraduate students. We have identified five key points that characterize the PCC for the trainer, which determine a cycle (professional development, curriculum development, and organizational development, development of teaching learning activities and licensing of the learning process). Pointing over the prospects of the former teacher practice, highlighting the PCC features, considering that the trainer provides the construction of knowledge and how to use the didactic instruments to identify the features in the practice of it. The results indicate that the integration of different teaching tools and ways of representation of concepts together with the theoretical basis, evidence PCC features in trigonometry education also show the relationship between the practice of the trainer and the learning of licensing. Keywords: Practice as Curricular Component; Initial Teacher Training; Degree in Mathematics; Professional Learning; Curriculum and Professional Knowledge.

8 7 RESUME Esta investigación tuvo como objetivo comprender la integración de la práctica curricular como componente (PCC) en la estructura pedagógica de un curso de Matemáticas, sobre todo en la disciplina de Matemáticas Primaria, junto contenido de trigonometría. Para lograr este objetivo, se analizan las características de una propuesta de formación para la aplicación del PCC e identificamos lo que era relevante en la configuración del curso para la construcción del conocimiento profesional de los docentes. La investigación se basa en la perspectiva de Shulman en el conocimiento profesional, en los estudios de los conocimientos necesarios para la enseñanza en la bola de matemáticas, Thames y Phelps, la relación teoría-práctica, de acuerdo con Zabala. Para caracterizar el mecanismo cognitivo para el aprendizaje de conceptos matemáticos, hemos considerado en la relación actividadefecto, Simon, Tzur, Heinz y Kinzel con el fin de establecer la relación entre el aprendizaje conceptual y tareas matemáticas para el desarrollo de trayectorias de aprendizaje hipotético- THA. La metodología de investigación fue cualitativa, con la investigación-acción las características y elementos de Investigación Diseño basado, que permite ajustes tanto a la formación como proceso de investigación. La investigación se desarrolló con dieciséis alumnos del primer año de Matemáticas Grado y se estructuró en tres fases. Fase 1 fue la investigación documental sobre los, legislación estatal, lineamientos curriculares federales para el PCC, los relativos a la enseñanza de la trigonometría y también en los proyectos pedagógicos de Grado en Matemáticas de la Universidad del Estado de Mato Grosso do Sul. Fase 2 incluyó la investigación de campo, incluyendo el diseño y desarrollo de la propuesta de formación con los licenciatarios. En esta etapa, los datos fueron recolectados a través de entrada cuestionario; materiales producidos en el aula, los registros de observación en THA. Fase 3 fue el análisis y el establecimiento de conclusiones. Los resultados de investigación mostraron las características de la propuesta formativa que impulsó la integración de PCC en la práctica docente, la enseñanza de la trigonometría: encuesta y el análisis de los libros de texto; análisis de videos, juegos y su uso en la clase; software utilizado en la construcción del conocimiento operativo; desarrollo de proyectos educativos específicos para la escuela primaria involucra aspecto histórico y los recursos tecnológicos; observar estrategias de resolución y de la interacción de los estudiantes; dominar los recursos disponibles y utilizarlos pedagógicamente. Estas características son relevantes para la configuración propuesta para la construcción del conocimiento profesional docente, y reveló que la práctica del entrenador es fundamental para ayudar a construir el conocimiento de los estudiantes de pregrado. Hemos identificado cinco puntos clave que caracterizan el PCC para el entrenador, que determinan un ciclo (desarrollo profesional, desarrollo curricular, desarrollo organizacional, desarrollo de las actividades de enseñanza y aprendizaje de del proceso de aprendizaje de lo licencias). Señalando sobre las perspectivas de la antigua práctica docente, destacando las características del PCC, teniendo en cuenta que el entrenador ofrece la construcción del conocimiento y el uso de los instrumentos didácticos para identificar las características de la práctica de la misma. Los resultados indican que la integración de las diferentes herramientas de enseñanza y formas de representación de conceptos junto con la base teórica, características PCC pruebas en educación trigonometría también muestran la relación entre la práctica del entrenador y el aprendizaje de las licencias. Palabras clave: Práctica Curricular como componentes; Formación inicial del profesorado; Licenciatura en Matemáticas; Aprendizaje Profesional; Plan de estudios y conocimientos profesionales.

9 8 ÍNDICE DE QUADROS QUADRO 1: Ementa e objetivo da disciplina de Matemática Elementar do Curso de Licenciatura em Matemática (UEMS-2010) QUADRO 2: Agrupamento dos dados no primeiro nível QUADRO 3: Etapas do design inicial da proposta formativa para o Grupo QUADRO 4: Pauta do primeiro encontro QUADRO 5: Pauta do segundo encontro QUADRO 6: Pauta do terceiro encontro QUADRO 7: Pauta do quarto encontro QUADRO 8: Pauta do quinto encontro QUADRO 9: Pauta do sexto encontro QUADRO 10: Pauta do sétimo encontro QUADRO 11: Pauta do oitavo encontro QUADRO 12: Pauta do nono encontro QUADRO 13: Pauta do décimo encontro QUADRO 14: Pauta do décimo primeiro encontro QUADRO 15: Pauta do décimo segundo encontro QUADRO 16: Pauta do décimo terceiro encontro QUADRO 17: Pauta do décimo quarto encontro QUADRO 18: Pauta do décimo quinto encontro QUADRO 19: Pauta do décimo sexto encontro QUADRO 20: Pauta do décimo sétimo encontro QUADRO 21: Pauta do décimo oitavo encontro QUADRO 22: Pauta do décimo nono encontro QUADRO 23: Pauta do vigésimo encontro QUADRO 24: Relação da altura do passageiro em função do tempo

10 9 INDICE DE FIGURAS FIGURA 1: Distribuição da UEMS no Estado de Mato Grosso do Sul FIGURA 2: Mapa da localização de Nova Andradina FIGURA 3: Domínios do conhecimento matemático para o ensino FIGURA 4: Ciclo Abreviado de Ensino de Matemática - THA FIGURA 5: Ciclo de Aprendizagem Hipotética e a interação com o aluno FIGURA 6: Ciclos de (re)design com característica da Pesquisa-ação FIGURA 7: Processo de transcrição e análise dos dados segundo Powel et al (2004) 109 FIGURA 8: Rampa ilustrativa da atividade FIGURA 9: Semelhança de triângulo com Applets no GeoGebra FIGURA 10: Ilustração do esboço feito no quadro negro FIGURA 11: Ilustração da atividade FIGURA 12: Slide do Problema 2 com a resolução FIGURA 13: Slide do Problema 2 com a resolução FIGURA 14: Slide do Problema 3 com a resolução FIGURA 15: Ilustração da ponte na montanha FIGURA 16: Ilustração do rio com os pontos A e B FIGURA 17: Ilustração do prédio FIGURA 18: Peças do jogo de dominó trigonométrico FIGURA 19: Peças do jogo de dominó trigonométrico FIGURA 20: Applet ciclo trigonométrico FIGURA 21: Arcos notáveis no ciclo trigonométrico FIGURA 22: Applet seno, cosseno, tangente e cotangente no ciclo trigonométrico FIGURA 23: Applet da secante e cossecante no ciclo trigonométrico FIGURA 24: Foto de um Pistão de carro (movimento periódico) FIGURA 25: Applet simulando a periodicidade FIGURA 26: Applet Função seno: ciclo e gráfico FIGURA 27: Ciclo e gráfico do seno, cosseno e tangente FIGURA 28: Cartelas de jogo de Funções trigonométricas

11 10 FIGURA 29: Applet Gráfico de Função trigonométrica FIGURA 30: Simulação da Roda Gigante no GeoGebra FIGURA 31: Captura da tela de um licenciando ao manusear o apllet FIGURA 32: Apllet razões trigonométricas FIGURA 33: Sistematização do conceito de seno e cosseno no ciclo trigonométrico. 206 FIGURA 34: Ciclo trigonométrico construído em EVA por um licenciando FIGURA 35: Fotos do Jogo1 de dominó de arcos e ângulos 0 0 a 180 0, e Jogo2 de dominó arcos e ângulos a FIGURA gura 36: Fotos das peças do jogo de memória trigonométrico FIGURA 37: Apllet arcos notáveis no ciclo trigonométrico FIGURA 38: Applet ciclo trigonométrico, coordenadas e quadrantes FIGURA 39: Applet de seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico FIGURA 40: Applet do seno, cosseno, tangente e cotangente FIGURA 41: Applet secante e cossecante FIGURA 42: Organograma dos objetivos na atividade FIGURA 43: Figura ilustrativa da atividade FIGURA 44: Print do vídeo 1de um Pistão de carro (movimento periódico) FIGURA 45: Print do vídeo II. Vídeo engrenagem de motor FIGURA 46: Applet do pistão de um carro e ao lado a figura de um pistão FIGURA gura 47: Applet do movimento de pistão em paralelo FIGURA 48: Resposta do licenciando Ac2 para obter a Função M FIGURA 49: Resposta do licenciando Ac7 para obter a Função M FIGURA 50: Resposta do licenciando Ac9 para obter a Função M FIGURA 51: Resposta do licenciando Ac14 para obter a Função M FIGURA 52: Círculo trigonométrico (coordenadas paramétricas) FIGURA 53: Roda gigante confeccionado em papelão FIGURA 54: Ciclo de caracterização da Prática como Componente Curricular

12 11 ÍNDICE DE MANUSCRITOS MANUSCRITO 1: licenciando Ac1, resolução da atividade MANUSCRITO 2: Licenciando Ac1, resposta da atividade MANUSCRITO 3: Licenciando Ac5, atividade Triângulo retângulo MANUSCRITO 4: Licenciando Ac2, da resposta A da atividade triângulo retângulo MANUSCRITO 5: Licenciando Ac9, respostas da atividade MANUSCRITO 6: Licenciando Ac15 e Ac12, atividade MANUSCRITO 7: Licenciando Ac13, resposta da atividade MANUSCRITO 8: Licenciando Ac9, resposta da atividade MANUSCRITO 9: Licenciando Ac12 e Ac16, resposta da atividade MANUSCRITO 10: Licenciando Ac14, informações do enunciado da tarefa MANUSCRITO 11: Licenciando Ac13, sobre periodicidade MANUSCRITO 12: Licenciando Ac4 periodicidade MANUSCRITO 13: Licenciando Ac8, conteúdo de arcos e ângulo MANUSCRITO 14: Licenciando Ac10 com relação ao conteúdo de Identidades trigonométricas MANUSCRITO 15: Licenciando Ac9, resposta trigonometria em triângulo qualquer 248 MANUSCRITO 16: Licenciando Ac7, trigonometria em triângulos quaisquer MANUSCRITO 17: Licenciando Ac3, resposta da atividade 1na THA MANUSCRITO 18: Licenciando Ac10, resposta da atividade 1 da THA MANUSCRITO 19: Licenciandos Ac 8, preenchimento do quadro altura em relação ao solo MANUSCRITO 20: Licenciando Ac13, interpretação geométrica e algébrica das informações MANUSCRITO 21: Licenciando Ac13, informações a cada 5 min e sua altura correspondente na Roda Gigante MANUSCRITO 22: Licenciando Ac13, esboço do gráfico da função correspondente ao movimento da Roda Gigante MANUSCRITO 23: Licenciando Ac13, resposta analítica da questão

13 12 MANUSCRITO 24: Licenciando Ac7, respostas correta da atividade MANUSCRITO 25: Licenciando Ac10, resposta da atividade MANUSCRITO 26: Licenciando Ac6 e Ac12, respostas correta e errada respectivamente da atividade MANUSCRITO 27: Licenciando Ac8, resposta da atividade

14 13 ÍNDICE DE TABELAS TABELA 1 Disciplinas de Conteúdos da Área de Matemática TABELA 2: Disciplinas que Estabelecem Relação com a Prática TABELA 3: Disciplina que Estabelece a Interface com a Educação Matemática TABELA 4: Disciplinas que Estabelecem a Interface com outras Áreas do Conhecimento TABELA 5: Disciplinas de Conteúdos da Área de Fundamentos da Educação Curso.. 68 TABELA 6: Trabalho de Conclusão de Curso TABELA 7: Atividades Complementares TABELA 8: Resumo do Currículo Pleno TABELA 9: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Primeiro Design TABELA 10: Ciclo trigonométrico e trigonometria na circunferência TABELA 11: Objetivos pretendidos em cada tarefa - funções trigonométricas TABELA 12: Categorização do currículo TABELA 13: Estrutura Pedagógica TABELA 15: Ações e subdomínios no triângulo retângulo TABELA 16: Erros de assimilação do conceito de tangente no triângulo retângulo TABELA 17: Ações e subdomínios no ciclo trigonométrico TABELA 18: Tipos de generalização em relação à atividade proposta TABELA 19: Ações e subdomínios de Ball et al, evidenciados no conteúdo de funções trigonométricas TABELA 20: Objetivo pretendido em cada atividade na THA TABELA 21: Ações e subdomínios nas identidades e transformações trigonométricas TABELA 22: Tabulação das respostas TABELA 23: Resumo das respostas dos 16 licenciandos

15 14 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO CAPÍTULO I DELINEAMENTO DE PESQUISA APROXIMAÇÕES AO PROBLEMA: ANTECEDENTES A NOÇÃO DA PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR DEFINIÇÃO DO PROBLEMA OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA A COMPREENSÃO DA PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR COMO OBJETO DE INVESTIGAÇÃO Pesquisas Correlatas A PRÁXIS: Definitivamente Teórico-Prático A Reflexão sobre a Práxis na Formação Inicial de Professor A Formação Inicial do Professor e as Diretrizes Curriculares CENÁRIO DO ESTUDO: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL O Curso de Matemática, Licenciatura da UEMS A Trigonometria no Currículo da Educação Básica ao Ensino Superior CAPÍTULO REFERENCIAL TEÓRICO MARCO CONCEITUAL CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE MECANISMO DE REFLEXÃO SOBRE A RELAÇÃO ATIVIDADE-EFEITO Trajetória Hipotética de Aprendizagem - THA CAPITULO DESENHO DA INVESTIGAÇÃO PARTICIPANTES E CONTEXTO METODOLOGIA DA PESQUISA PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Processo de transcrição e gravações des dados no processo formativo O PROCESSO FORMATIVO Desenho Inicial do Experimento de Ensino RELATO DA PROPOSTA

16 Trigonometria no Triângulo Retângulo e Triângulos Quaisquer Trigonometria no Ciclo Trigonométrico Funções Trigonométricas Identidades e Transformações Trigonométricas CAPÍTULO DISCUSSÃO E ANÁLISE DOS DADOS DISCUSSÃO E ANÁLISE DA LEGISLAÇÃO E DOS COMPONENTES CURRICULARES DISCUSSÃO E ANÁLISE DA PROPOSTA FORMATIVA Análise do Questionário Inicial Trigonometria no Triângulo Retângulo e Triângulos Quaisquer Trigonometria no Ciclo Trigonométrico Trajetória Hipotética de Aprendizagem THA - Parte I Funções Trigonométricas Identidades e Transformações Trigonométricas Trajetória Hipotética de Aprendizagem THA - Parte II Análise do livro Didático Adotado nas Escolas da Rede de Educação Estadual Atividades em salas da THA Parte II CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS

17 16 APRESENTAÇÃO Você nunca sabe que resultados virão de sua ação. Mas se você não fizer nada não existirão resultados. Mahatma Gandhi O presente estudo tem como objetivo: compreender a integração da prática como componente curricular na estrutura pedagógica de um curso de Matemática, Licenciatura, particularmente na disciplina de Matemática Elementar. Trata-se de uma investigação inserida na Linha de pesquisa Formação de Professores que Ensinam Matemática, do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo. Quanto ao tema da Formação Inicial de Professor, julgamos que ele é relevante para pesquisas, especialmente a partir da aprovação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN 9394/96) bem como suas resoluções que impõem a necessidade para as Instituições de Ensino Superior em se repensar a formação de professores. A Prática como Componente Curricular (PCC) aparece em destaque na legislação atual e toma por base o princípio da indissociabilidade teoria-prática na formação docente tendo o propósito de superar as dificuldades de integração entre ambas nos cursos de licenciatura. As recomendações da legislação atual para a formação inicial docente estabelecem que a prática seja privilegiada durante toda a duração dos cursos. Contudo, permear todo o processo de formação inicial com a prática não é algo recente. Em 1975, o Conselho Federal de Educação chamou a atenção para este aspecto ao sinalizar a ideia de uma prática intencional de ensino que deveria perpassar todo o currículo e duas décadas depois surge a proposição da prática de ensino como uma prática que produz algo no âmbito do ensino e fica evidente no Parecer CNE/CP 009/2001. Entretanto, a identidade desta prática no Parecer CNE/CP 21/2001 e o Projeto de Resolução anexado ao documento que trata da duração e carga horária dos cursos de Formação de Professores da Educação Básica em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena, continuaram utilizando a expressão prática de ensino em seus textos gerando algumas incertezas, de modo que na literatura estudada encontrou-se

18 17 uma diversidade de concepções acerca de teorias e práticas que se contrapõem em visões dicotômicas. Esta situação foi posto sobre a Prática de Ensino / Estágio Supervisionado na LDBEN 9394/96 no seu artigo 65 no final do texto, pois, em seu histórico foi assinalado que na legislação anterior, a Prática de Ensino (disciplina) foi compreendida sob a forma de estágio supervisionado (atividade) na maior parte dos cursos de Licenciatura, enquanto que em alguns foi erigida sob a forma de disciplina com vínculos variáveis em relação ao estágio propriamente dito. Considerou-se que este tipo de situação acabou criando um problema não resolvido satisfatoriamente na prática da formação do professor. Em função disso, a nova lei procurou mudar esta situação com a exigência das 300 horas de Prática de Ensino, remetendo aos Conselhos Estaduais de Educação a competência para a fixação de normas para os estágios. Contudo, observa-se que ao aparecer pela primeira vez em um texto oficial na recente legislação educacional brasileira, referência mais explícita à expressão prática como componente curricular (Parecer CNE/CP 009/2001, de 8 de maio de 2001), que tratava das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena, há um choque de identidade no que se refere à denominação prática de ensino, havendo a tentativa de resolução deste conflito, com a substituição do Parecer CNE/CP 21/2001 pelo Parecer CNE/CP 28/2001 e Resolução CNE/CP 1/2002, momento em que se assume a ideia de Prática como Componente Curricular. Nesta mudança de redação mudam-se as palavras, mantendo-se o sentido anterior. Os documentos explicitam uma concepção de Prática - componente curricular que abarca uma dimensão do conhecimento que está presente tanto nos momentos em que se trabalha na reflexão sobre a atividade profissional quanto no estágio no momento em que se exercita a atividade profissional (Parecer CNE/CP 9/2001). Seguidamente ocorrem, entre especialistas, sérias discussões sobre o assunto, pois, a partir de críticas ao modelo racionalista pedagógico espelhado no modelo da

19 18 racionalidade prática 1, emerge dos regulamentos legais recentes, uma ênfase na formação pautada pela prática sem a adequada relação com a teoria e, portanto, sem o embasamento teórico requerido nos cursos de licenciatura e nos processos de formação do professor. Com base na crítica ao modelo de racionalidade técnica e orientada pelo modelo denominado racionalidade prática, foram definidas outras maneiras de se compreender a formação docente evidenciando que a PCC deve interferir no modo de abordagem do conteúdo, permeando a teoria. As reformulações dos Projetos Pedagógicos dos cursos de Matemática, Licenciatura devem atender as exigências legais que determinam uma carga horária mínima de 400 horas de Prática como Componente Curricular (PCC) vivenciada ao longo dos cursos de licenciatura e uma carga horária de 400 horas para a Prática do Estágio Curricular Supervisionado, a qual estabelece o exercício direto in loco para que o licenciando possa vivenciar o cotidiano da escola. Assim sendo, entendemos ser fundamental a identificação dos elementos constituintes das atividades de PCC que mais auxiliam na construção das competências pedagógicas e na ampliação dos conhecimentos do licenciando. A partir desta identificação é possível subsidiar os professores universitários que lecionam nos cursos a integra-la no interior de disciplinas, tais como: Cálculo, Álgebra, Geometria, Matemática Elementar, a Prática como Componente Curricular. Estudos recentes tais como o de Guerra (2013) têm apontado que as Diretrizes Curriculares deixam uma lacuna ao não orientar de maneira clara, pois é algo que parece obvio para os legisladores, no entanto, uma coisa é a prática como componente curricular e outra coisa é a prática de ensino e o estágio supervisionado. O Parecer CNE/CP 28/2001, de 2 de outubro de 2001, deu nova redação ao Parecer CNE/CP 21/2001 estabelecendo a duração e a carga horária dos cursos de Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação 1 Modelo herdado do positivismo apoia-se em uma concepção epistemológica de prática que permaneceu, durante todo século XX, servindo de referência para a educação. Nessa concepção, o professor é visto como um técnico-especialista que utiliza a aplicação rigorosa de teorias e técnicas científicas para resolver problemas da prática (PÉREZ-GÓMEZ, 1998). Os limites e lacunas da racionalidade técnica são evidenciados por Schön (1983 apud PÉREZ-GÓMEZ, 1998).

20 19 plena e esclareceu o que pretendia dizer o dispositivo legal do artigo 65 da LDBEN a obrigatoriedade das 300 (trezentas) horas de prática de ensino. As instituições estão procurando se adaptar às exigências do novo documento. Algumas criaram as disciplinas de práticas a partir do 1º período do curso nomeandoas Práticas Pedagógicas ou Práticas Educativas ou simplesmente Práticas inserindo-as em disciplinas de conteúdos de matemática. Em nossa investigação centramos na análise das características da PCC e essa se centra na análise da prática do professor. Quando um professor desempenha nas atividades em aula, com seus licenciandos, o mesmo tem um objetivo construir um conhecimento matemático. Nosso estudo pretende compreender o processo de integração da Prática como Componente Curricular em um curso de licenciatura. Para compreender as características da PCC na formação inicial de professores a didática tende a priorizar aspectos específicos do fazer pedagógico em detrimento da sua dimensão de totalidade. Indica uma ênfase na aprendizagem: aprender a aprender, centralizada no licenciando como sujeito intelectualmente ativo, criativo, produtivo, capaz de dominar os processos de aprender, ou seja, assume um lugar de trabalho na concepção da teoria como expressão de uma determinada prática e não de qualquer prática no desenvolvimento da proposta formativa. Entretanto nossa investigação é um processo didático pautado numa concepção de conhecimento que tem a prática como elemento básico fazendo a mediação entre a realidade e o pensamento. Nessa concepção a teoria não é entendida como verdade que vai guiar a ação prática, mas como expressão de uma relação, de uma ação sobre a realidade, que pode indicar caminhos para novas práticas; nunca guiá-la. Desse princípio básico, delineia-se um modelo de Didática que vai além de compreender o processo de ensino em suas múltiplas determinações para intervir nele e reorientá-lo na direção política pretendida (MARTINS e ROMANOVWSK, 2008, p. 176); ela vai expressar a ação prática dos professores sendo uma forma de abrir caminhos possíveis para novas ações. A tese se organiza em quatro capítulos, a saber:

21 20 O Capítulo I contém o delineamento da pesquisa, as motivações que me levaram a realizar este estudo, a delimitação do tema em torno da Prática como Componente Curricular, os objetivos, e a questão de pesquisa. Este capítulo também traz uma revisão de pesquisas na linha de formação de professores, cujos trabalhos discutem as principais orientações contidas na legislação educacional atual sobre a prática como componente curricular. Uma compreensão da Práxis no que se entende em relacionar a teoria e prática e em Freire o conceito de reflexão no intuito de compreender qual a contribuição desse conceito para a formação de professores visando, a partir de então, resgatar o aporte fundamental que o mesmo trouxe para a constituição desse olhar reflexivo do docente sobre a sua prática. E por fim, neste capítulo, finalizamos fazendo um panorama das diretrizes curriculares e da UEMS, nosso cenário de estudo no que se refere a PCC e a sua integralização em um curso de licenciatura. O Capítulo II apresenta o referencial teórico dessa investigação construída a partir de estudos sobre a Prática Educativa segundo Zabala (1998), sobre a formação inicial do professor de matemática a partir de estudos dos modelos para explicar a prática do professor (Llinares, 2000), e os conhecimentos necessários à docência segundo Shulman (1987) e, especificamente para lecionar a Matemática, dos estudos de Ball, Hill, & Bass (2005). Quanto à aprendizagem do futuro professor na licenciatura, apresentamos o mecanismo atividade-efeito para o desenvolvimento do conceito Matemático baseado fundamentalmente no aspecto do construtivismo elaborado por Simon et al (2004), partindo da ideia de abstração Reflexiva de Piaget (1977), sob o ponto de análise do desenvolvimento da construção da trajetória hipotética de aprendizagem (THA) que oferece uma descrição de aspectos-chave do planejamento de aulas em matemática. No Capítulo III, descrevem-se os participantes e contextos da pesquisa, a metodologia escolhida para empreender foi a pesquisa ação com características do Design-Based Research. Tal metodologia pode ser entendida como o gradual aprimoramento da investigação a cada experimento de ensino de tal forma que estes experimentos de ensino possam ser revistos, analisados e redesenhados durante todo o processo visando minimizar os obstáculos para os próximos experimentos. Nesse capítulo, também descrevem-se os materiais e os procedimentos utilizados na coleta de

22 21 dados apresentando o cenário da UEMS e do curso de Matemática, Licenciatura, um panorama do Curso e do seu Projeto Político Pedagógico (PPP), enfatizando a Disciplina de Matemática elementar e o conteúdo de trigonometria e a descrição da proposta formativa em cada encontro durante a coleta de dados da investigação. No Capítulo IV apresentamos a análise das discussões e do entendimento da Legislação e dos componentes curriculares, análises dos dados obtidos com a pesquisa de campo e considerações a respeito do Processo formativo proposto e desenvolvido na investigação e a análise da THA. E nas considerações finais apresenta-se as principais conclusões de pesquisa e aponta para futuras questões de investigação.

23 22 CAPÍTULO I DELINEAMENTO DE PESQUISA "As qualidades e virtudes são construídas por nós no esforço que nos impomos para diminuir a distância entre o que dizemos e fazemos". Paulo Freire Iniciamos com a epigrafe acima, pois nos convida a reflexão para o cotidiano na sala de aula sendo necessário desenvolvermos competências e habilidades relacionadas às categorias e aos modos de ser do real em sua expressão diária. Este trabalho insere-se na linha de pesquisa formação de professores que ensinam Matemática, do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo e tem como objetivo compreender como se caracteriza uma metodologia para a formação inicial de professores de Matemática que se proponha a integrar a Prática como Componente Curricular levando em conta tendências contemporâneas da formação de educadores e suas implicações na área de Educação Matemática, para o conteúdo de trigonometria. Iniciamos este capítulo apresentando as motivações que me levaram a realizar este estudo, a delimitação do tema em torno da Prática como Componente Curricular, os objetivos e a questão de pesquisa. Em seguida, a revisão bibliográfica das pesquisas na linha de formação de professores, cujos trabalhos discutem as principais orientações contidas na legislação educacional atual sobre a prática como componente curricular de um lado, e o estágio curricular supervisionado, do outro. 1.1 APROXIMAÇÕES AO PROBLEMA: ANTECEDENTES A motivação para o desenvolvimento desta pesquisa decorre pelos questionamentos e inquietudes que surgiram durante minha Prática Docente e profissional como Docente. Iniciei minhas atividades em julho de 2001 ao terminar curso de Pós-graduação lato Sensu em Educação Matemática, tive uma experiência de 2

24 23 anos como Docente na Educação Básica, ainda enquanto licenciando da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul, instituição na qual me graduei em Matemática, Licenciatura no ano Ao lecionar na Educação Básica sempre me deparava com questões do tipo: professor onde vou usar ou aplicar este conteúdo? ou ainda para que serve este conteúdo?, e ao ingressar como Docente no Ensino Superior em um curso de Pedagogia com a disciplina de Fundamentos de Matemática e com a disciplina de Fundamentos de Matemática no de Ciências habilitação Matemática. Nos cursos acima citados as questões não foram diferentes, e a relação da articulação do conhecimento do conteúdo com o conhecimento pedagógico emanava-se em todos os momentos da Docência. Seguidamente iniciei as orientação Trabalho de Conclusão de Curso TCC no Curso de Pedagogia, e me vi em sentido oposto, pois um ano antes ingressei no Mestrado Profissionalizante em Engenharia Mecânica e no ano de 2003 estava no auge da pesquisa voltado para a aplicação da Estatística onde a utilizava para medir o efeito Compton de uma Radiação Gama em uma arcada dentária, e as orientações de TCC todas voltadas para a formação de professores na educação básica. O curso de Ciências habilitação Matemática foi reformulado e passou à Matemática Licenciatura plena e, como docente e membro do Colegiado de Curso, realizei diversas leituras e discussões que tinham como foco investigar as concepções, saberes e práticas de professores formadores nos cursos de Licenciatura em Matemática. No ano de 2006 me efetivei por concurso público na UEMS como professor regime 40 horas com dedicação exclusiva; pude me organizar tanto didaticamente como pedagogicamente, assumindo as disciplinas da área de Ensino no curso de Matemática Licenciatura Plena na Unidade Universitária de Nova Andradina nas disciplinas de Estágio Curricular Supervisionado no Ensino Fundamental, Estágio Curricular Supervisionado no Ensino Médio, História da Matemática e Probabilidade e Estatística e ainda a disciplina de A Importância da História da Matemática para a Formação do Conceito Matemático no curso de especialização Lato Sensu em Educação Matemática. Em função das orientações seja de graduação ou na Pós-Graduação Latu Sensu, bem como nos projetos de Pesquisa e Extensão vinculados na instituição, comecei a

25 24 escrever e publicar resultados dos estudos voltados com a temática da formação de professores, sempre tentando responder as questões que alunos sejam do Ensino Médio sejam do ensino superior me faziam desde o início de minha carreira docente. Como docente assumi funções no Conselho Universitário e comissões de reestruturação do Projeto Político Pedagógico (PPP) do Curso de Matemática da UEMS, assim nos deparamos com a Prática Como Componente Curricular e suas resoluções e pareceres do CNE. As leituras e discussões realizadas na comissão de reestruturação do PPP do Curso de Matemática tinham como foco investigar as concepções, saberes e práticas de professores formadores nos cursos de Licenciatura em Matemática na UEMS Unidade Universitária de Nova Andradina. Assim, fortaleceu a ideia de investigar como as Instituições de Ensino Superior estão implementando as 400 horas de prática como componente curricular, conforme a RESOLUÇÃO CNE/CP2/2002. Portanto, ao investir nessas possibilidades e tendo como direção nosso ofício e experiência, o presente trabalho tem o propósito de discutir a formação de licenciandos em cursos de Licenciatura em Matemática, considerando a prática como componente curricular. 1.2 A NOÇÃO DA PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR A dificuldade em integrar teoria e prática transpondo a frequente dissociação entre elas no fazer pedagógico tem levado muitos dos professores atuantes nas Licenciaturas em Matemática a oferecerem quase sempre um espaço educativo marcado pela reprodução em que eles mesmos foram formados e, no dia-a-dia da profissão se tornam incapazes de superá-la. Para mudar a visão de que basta ensinar teorias para a formação do professor de Matemática temos normatizações recentes que destinam parte da carga horária dos Cursos de Licenciatura para a Prática como Componente Curricular (PCC) distribuída em todas as séries do curso de formação. No entanto, para trabalhar essa ideia de forma real é necessário um novo enfoque para as ações a serem desenvolvidas visando à formação docente, mesmo porque professores formadores têm facilidade em ensinar teorias, mas muitas vezes não

26 25 têm a mesma facilidade para ensinar a prática. A prática é ação representada pelo fazer sobre os saberes matemáticos institucionalizados. Em busca de respostas para esse fazer institucionalizado e, considerando que uma das atitudes a ser desenvolvida está na ênfase sobre o processo de estudo compartilhado que envolve os licenciandos de um curso em Matemática no praticar as suas teorias, a ideia é transpor certa maneira de ver no curso de formação inicial na qual o professor formador somente ensina teorias aos licenciandos para que depois possam desenvolvê-las na prática quando professores da Educação Básica. A legislação tem normatizado, especificamente, a partir do início deste século XXI, as exigências quanto às características que devem estar presentes na organização curricular do Curso de Matemática, Licenciatura de modo a desenvolver no professor da Educação Básica competências que o instrumentalizem a atuar no cenário educacional desses novos tempos. Uma das questões cruciais é a da integração Teoria X Prática nos cursos de Licenciatura, questão esta que tem estado na pauta dos legisladores e também nas nossas como formadores dos futuros professores e como pesquisadores sobre a formação de professores de Matemática. Há consenso segundo entendimento das resoluções do CNE que a Prática deve perpassar todo o Curso de Licenciatura e hoje isto está determinado nas normas curriculares dos PPP. O Estágio Supervisionado é um espaço privilegiado para iniciar os licenciandos na docência (por meio da observação, da análise e da regência), mas ele não dá conta da integração completa da Teoria à Prática, isto precisa ser feito também no interior das disciplinas do Curso, como dita a legislação. Assim, ao lecionar, por exemplo, o conteúdo de trigonometria, é preciso tratar cada licenciando como um futuro professor da Educação Básica e estabelecer as ligações entre os conteúdos estudados na e da Matemática que ele desenvolverá com seus futuros alunos na Educação Básica. As Resoluções e Normas legais para o Curso veem ao encontro dessas considerações. Conforme regulamenta a Resolução CNE/CP n.º1, de 18/02/2002a, a Prática como Componente Curricular (PCC) deverá ocorrer dentro das próprias disciplinas ofertadas no curso, diluídas em sua carga horária e no transcorrer de todo o processo do ensino e de aprendizagem de modo que em seu desenvolvimento o

27 26 professor propicie ao aluno o exercício da Teoria e da Prática no gesto de aprender a ser professor, num processo indissociável entre ensino, pesquisa e extensão. Assim sendo, entendemos que seja fundamental identificar os elementos constituintes das atividades de PCC que mais auxiliam na construção das competências pedagógicas e conhecimentos profissionais do licenciando do curso de Matemática, Licenciatura de modo a subsidiar os professores universitários que lecionam nesses cursos. Nossa inquietação está no processo de integração da Prática aos Componentes Curriculares, especialmente se pensarmos que esta prática deve permear as disciplinas do primeiro ao último ano de um curso de Matemática, Licenciatura e que muitos responsáveis pelas disciplinas são docentes cuja formação é em Matemática pura e que talvez tenham dificuldades em implementar atividades com o intuito de integrar a prática no interior das disciplinas de conteúdo específicos de Matemática do Ensino Superior com vistas a interligá-las com a Educação Básica, que será o cenário de atuação do licenciado. A partir dessas inquietações quanto às regulamentações CNE e reformulações dos PPP dos Cursos de Matemática, para formação de professores surgiu o projeto de pesquisa de doutoramento com a proposta de compreender o processo de implementação da Prática como parte integrante de um Componente Curricular presente no Curso. 1.3DEFINIÇÃO DO PROBLEMA As reformulações dos Projetos Pedagógicos dos Cursos de Matemática, Licenciatura da UEMS, têm acompanhando principalmente as sugestões da última Resolução do Conselho Nacional de Educação - CNE/CP2 de 19/02/2002b, inspirada no Parecer 09/2001, que determina a existência de uma carga horária de no mínimo 400 horas de prática integrada aos componentes curriculares (PCC) as quais devem ser vivenciadas ao longo do curso de licenciatura, conforme determina o parágrafo I do

28 27 referido artigo e estão cobertas nas disciplinas da Área de Formação Básica 2. Adota-se aqui esta forma de prática para atender a referida Resolução e também por acreditar que: Uma concepção de prática mais como componente curricular implica vê-la como uma dimensão do conhecimento, que tanto está presente nos cursos de formação nos momentos em que se trabalha na reflexão a atividade profissional, como durante o estágio nos momentos em que se exercita a atividade profissional (Parecer CNE/CP 9/2001, p. 22). Esta concepção expressa na legislação amplia a visão da prática para além do estágio nos vários modos de realizar a prática. Ela atende ao Artigo 65 da LDB a qual estabelece que: A formação docente, exceto para a educação superior, incluirá prática de ensino de no mínimo, trezentas horas (CNE/CP 9/2001, p. 23), no que diz respeito à associação entre Teoria e Prática e ainda permite uma articulação com as demais disciplinas, não se restringindo apenas ao estágio. Neste sentido, observa-se um reforço para esta afirmação no Artigo 12, da Resolução 1/2002a o qual indica que: No interior das áreas ou das disciplinas que constituírem os componentes curriculares de formação, e não apenas nas disciplinas pedagógicas, todas terão a sua dimensão prática (BRASIL, 2002a, p.4). Ainda nesta Resolução, o Artigo 13 enfatiza que: Em tempo e espaço curricular específico, a coordenação da dimensão prática transcenderá o estágio e terá como finalidade promover a articulação das diferentes práticas, numa perspectiva interdisciplinar (BRASIL, 2002a, p.5). E na Resolução do CNE 09/2001, que vem explicitar o parecer 01 e 02/2002b diz que: para este fim, poderão ser criadas novas disciplinas ou adaptadas as já existentes, na medida das necessidades de cada instituição (BRASIL, 2001, p. 23). Assim sendo, a PCC de um curso de licenciatura deverá valorizar a produção do aluno no âmbito do ensino por meio de simulações, experiências de gestão, organização de planos pedagógicos, capacitação de docentes, entre outras várias modalidades conforme descrito no Artigo 13 da Resolução CNE/CP 1/2002a, de 18 de fevereiro de 2002, que institui as diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da educação básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. 2 Disciplinas básicas para o Curso de Matemática, Licenciatura.

29 28 O professor responsável por disciplinas que contenham a Prática como parte de seu componente curricular (PCC) deverá ter conhecimento específico da área em consonância com o referencial didático-pedagógico. A formação desse profissional deve contemplar obrigatoriamente uma licenciatura ou, em nosso entender, podem, ainda, serem ministradas conjuntamente por profissionais das áreas específicas do curso. A PCC deve ser, de acordo com a legislação, uma atividade vivenciada ao longo de todo o curso, constituindo-se como parte integrante de algumas disciplinas de formação geral e específica de modo a atender as Resoluções CNE/CP n. 01 e n. 02 de 18 e 19 de fevereiro de Tal Resolução determina que a prática esteja presente desde as séries iniciais do Curso e permeie toda a formação do licenciando, não ficando reduzida a um espaço isolado, restrito ao estágio e desarticulado do restante do curso. Destaco que, como reza a legislação, essas atividades práticas transcendem ao estágio, pois a PCC não é o estágio curricular vivenciado no campo de estágio na escola, pois, têm como finalidade promover a articulação de diferentes práticas em uma perspectiva interdisciplinar. O Parecer do CNE explicita no parecer CNE/CP 02 de 2002, em seus parágrafos a forma interdisciplinar: 1º A prática será desenvolvida com ênfase nos procedimentos de observação e reflexão, visando à atuação em situações contextualizadas, com o registro dessas observações realizadas e a resolução de situações-problema. 2º A presença da prática profissional na formação do professor, que não prescinde da observação e ação direta, poderá ser enriquecida com tecnologias da informação, incluídos o computador e o vídeo, narrativas orais e escritas de professores, produções de alunos, situações simuladoras e estudo de casos. 3º O estágio curricular supervisionado, definido por lei, a ser realizado em escola de educação básica, e respeitado o regime de colaboração entre os sistemas de ensino, deve ser desenvolvido a partir do início da segunda metade do curso e ser avaliado conjuntamente pela escola formadora e a escola campo de estágio (BRASIL, 2002a, p.4). É possível a interação entre disciplinas aparentemente distintas. Esta interação é uma maneira complementar ou suplementar que possibilita a formulação de um saber crítico-reflexivo, saber esse que deve ser valorizado cada vez no processo de ensinoaprendizado. É através dessa perspectiva que ela surge como uma forma de superar a fragmentação entre as disciplinas. Proporcionando um diálogo entre estas, relacionando-

30 29 as entre si para a compreensão da realidade. A interdisciplinaridade busca relacionar as disciplinas no momento de enfrentar temas de estudo. Assim, a interdisciplinaridade promove a articulação da Prática de forma a ser desenvolvida com ênfase nos procedimentos de observação e reflexão sobre as práticas escolares visando à atuação dos licenciandos em situações contextualizadas, tais como registro de observações realizadas e resolução de situações-problema característicos do cotidiano do professor de Matemática. Neste sentido, analisando a Resolução CEPE/UEMS Nº 357, de 25 de março de 2003, no art. 2º, inciso V que orienta a elaboração e reformulação dos Projetos Pedagógicos dos cursos de graduação da UEMS, constatou a determinação de que a: [...] prática, no caso das licenciaturas, componente curricular obrigatório, deverá estar presente desde o início do curso e permear toda a formação. Todas as disciplinas terão a sua dimensão prática (grifo nosso). Será desenvolvida com ênfase nos procedimentos de observação e reflexão, visando a atuação em situações contextualizadas e a resolução de situações problema características do cotidiano profissional, encaminhamento para solução de problemas identificados. A prática poderá ser enriquecida com tecnologia de informação, narrativas orais e escrita de professores, produções dos alunos, situações simuladoras e estudo de casos, entre outros. (MATO GROSSO DO SUL, 2003, p. 02). Assim, há que se distinguir, de um lado, a prática entendida como uma dimensão do componente curricular e, de outro, o Estágio Curricular supervisionado pelo exercício direto in loco, ou pela presença participativa em ambientes próprios de atividades docentes. Interpretamos que contextualizar o conteúdo significa assumir que todo conhecimento envolve uma relação entre sujeito e objeto no processo de relacionar a teoria com a prática. Por exemplo, é fundamental discutir com os alunos que os conteúdos das disciplinas têm a ver com a vida da sala de aula, por que eles são importantes de serem aprendidos e como aplicá-los em situação real. Quanto a Prática de Ensino, o Parecer CNE/CES nº 15/2005, item 5, orienta que: As disciplinas relacionadas com a educação que incluem atividades de caráter prático podem ser computadas na carga horária classificada como prática como componente curricular, mas o mesmo não ocorre com as disciplinas relacionadas aos conhecimentos técnico-científicos próprios da área de conhecimento para a qual se faz a formação [...] (BRASIL, 2005, p.3).

31 30 Assim, fica evidenciada a distinção da prática entendida como componente curricular do Estágio Curricular Supervisionado. A PCC na Licenciatura é, pois, uma prática que produz algo no âmbito do ensino. Para isto é necessário que a prática deva ser elaborada, planejada com base em um Projeto Pedagógico que a inclua desde o início até o final do processo de formação do futuro professor. Neste sentido, a prática será flexível no processo formativo do aluno a fim de dar conta dos múltiplos modos de ser da atividade acadêmico-científica. 1.4OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA Entendemos que uma formação inicial, em Matemática, licenciatura que procure impulsionar o conhecimento profissional docente deva se preocupar, entre outras questões, com esta de integrar a prática aos conteúdos específicos e teóricos do Curso. Assim sendo, estabelecemos como objetivo central da pesquisa: Compreender o processo de integração da prática como componente curricular na estrutura pedagógica de um curso de Matemática, Licenciatura, particularmente na disciplina de Matemática Elementar abordando o Conteúdo de Trigonometria. Como objetivos específicos consideramos: Analisar características de uma proposta formativa para implementação da Prática na disciplina de Matemática Elementar ao longo do conteúdo de trigonometria. Identificar o que foi relevante na configuração da disciplina para a construção do conhecimento profissional docente. A seguinte questão é a orientadora da pesquisa: Como se caracteriza uma metodologia para a formação inicial de professores de Matemática que se proponha a integrar a Prática como Componente Curricular na disciplina de Matemática Elementar, particularmente ao longo do conteúdo de trigonometria? A pesquisa foi empreendida com dezesseis licenciandos do primeiro ano do curso de Matemática, Licenciatura, do Campus de Nova Andradina da UEMS, no contexto da disciplina de Matemática Elementar ao longo do conteúdo de trigonometria,

32 31 integrante da disciplina de Matemática Elementar. Tal disciplina se desenvolve anualmente com carga horária semanal de 6 horas aula, totalizando 204 horas/aula/ano, englobando também os conteúdos de: Lógica Matemática, Logaritmos, Progressões: aritmética e geométrica, Matrizes, Números complexos e Polinômios, os quais não serão foco de análise desta pesquisa. 1.5A COMPREENSÃO DA PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR COMO OBJETO DE INVESTIGAÇÃO A discussão sobre a forma de inserção da Prática nos Cursos de Licenciatura não é algo recente. Em 1975, Valmir Chages em seu Parecer CFE 4873 chamou a atenção para o tema ao questionar em qual momento se deveria iniciar a Prática de Ensino. Chages apontou que seria incoerente que viéssemos a situá-la rigidamente antes ou depois das matérias (Disciplinas) e que o ideal para uma prática intencional de ensino seria perpassar todo o currículo. Na década de 90 surgiu a proposição da Prática de ensino como uma Prática que produz no âmbito de ensino evidenciando-se esta possibilidade sinalizada por Chages (1975). Entretanto com o Parecer CNE/CP 009/2001, estabeleceu-se que ela deve ser uma atividade tão flexível quanto outros pontos de apoio do processo formativo, a fim de dar conta dos múltiplos modos de ser da atividade acadêmica científica. O marco para a expressão prática como componente curricular foi instituída pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional Lei n /1996 que dispõe: Art. 65. A formação docente, exceto para a educação superior, incluirá prática de ensino de, no mínimo, trezentas horas, ressaltamos que até 1996 os cursos de licenciatura tinham no estágio curricular o componente curricular. A LDBEN 9394/96, neste artigo, ao instituir este novo parâmetro para a Prática de Ensino com o mínimo de 300 horas concebeu na legislação, a Prática de Ensino (disciplina) que foi compreendida sob a forma de estágio supervisionado (atividade) na maior parte dos cursos de Licenciatura, enquanto que em alguns foi erigida sob a forma de disciplina com vínculos variáveis em relação ao estágio propriamente dito. Considerou-se que este tipo de situação acabou criando um problema não resolvido satisfatoriamente na prática da formação do professor. Em função disso, a nova lei procurou mudar esta situação com a exigência das 300 horas de Prática de Ensino,

33 32 remetendo aos Conselhos Estaduais de Educação a competência para a fixação de normas para os estágios. Contudo a expressão prática como componente curricular surgiu, de maneira explícita, na Resolução CNE/CP 2, (BRASIL, 2002b), que instituiu a duração e a carga horária dos cursos de licenciatura, de graduação plena, de formação de professores da Educação Básica, em nível superior e em seu art. 1, parágrafo I, institui 400 horas vivenciadas ao longo do curso. Na Resolução anterior CNE/CP 1, (BRASIL, 2002a), apesar de insistir na articulação das dimensões teóricas e práticas na formação docente, a expressão prática como componente curricular não integra o texto. Na revisão de documentos recentes da legislação educacional brasileira podemos constatar que a principal intenção com a adoção dessa expressão foi esclarecer a diferença, na lei, entre prática de ensino e estágio curricular supervisionado, além de reforçar o princípio da articulação teoria e prática na formação de professores. O CNE no ano de 2001 e 2002 explicita uma concepção de Prática - componente curricular diferente das concepções até então estabelecidas para a Prática. Esta abarca uma dimensão do conhecimento que está presente tanto nos momentos em que se trabalha na reflexão sobre a atividade profissional quanto no estágio no momento em que se exercita a atividade profissional (BRASIL, 2001). A Resolução CNE/CP n. º 1, 18/02/2002 (BRASIL, 2002a), instituiu as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura de graduação plena. Diante desse cenário, o processo de implementação da reforma da formação de professores passa a estabelecer conceitos distintos para a prática de ensino e para o estágio supervisionado. As intenções da reforma na formação de professores podem ser explicitadas, particularmente, no Parecer CNE/CP n o 09 (BRASIL, 2001). Por esse Parecer, os cursos de formação de professores tinham que se estruturar de forma diferenciada do modelo instalado, baseado na fórmula 3 +1, usualmente empregada no Brasil, que se constituía por três anos de base comum (bacharelado) e mais um ano para a formação do licenciado. O pressuposto foi que, com esta reestruturação própria e independente a ser aplicada aos cursos de licenciatura, seria possível estabelecer as

34 33 bases de enfrentamento dos desafios presentes na formação de professores, entre os quais o de uma visão mais ampla da prática. O Parecer CNE/CP n o 09 (BRASIL, 2001) quanto à essa questão, orienta: Nos cursos de formação de professores, a concepção dominante, [...] segmenta o curso em dois polos isolados entre si: um caracteriza o trabalho na sala de aula e o outro, caracteriza as atividades de estágio. O primeiro polo supervaloriza os conhecimentos teóricos, acadêmicos, desprezando as práticas como importante fonte de conteúdo da formação. Existe uma visão aplicacionista das teorias. O segundo polo, supervaloriza o fazer pedagógico, desprezando a dimensão teórica dos conhecimentos como instrumento de seleção e análise contextual das práticas. Neste caso, há uma visão ativista da prática. Assim, são ministrados cursos de teorias prescritivas e analíticas, deixando para os estágios o momento de colocar esses conhecimentos em prática (p. 22). Este mesmo parecer enfatiza que a dimensão do conhecimento, nos cursos de formação, deve estar tanto nos momentos em que se trabalha na reflexão sobre a atividade profissional como durante o estágio, nos momentos em que se exercita a atividade profissional. No Parecer está enfatizado que: A ideia a ser superada, enfim, é a de que o estágio é o espaço reservado à prática, enquanto, na sala de aula se dá conta da teoria (p. 23). A norma, a partir desse momento, prevê a ruptura da prática e do estágio, nos moldes como vinham sendo ofertados, ou seja, como componente curricular único destinado ao tempo do estágio, identificado pelas instituições como prática de ensino sob a forma de estágio supervisionado. Pode-se perceber, pela análise dos documentos normativos apresentados, que a prática passa a se distinguir do estágio, ganhando espaço próprio como componente curricular, estabelecendo eixo de integração entre a dimensão teórica do curso e a atividade profissional a ser desenvolvida no estágio. A prática, inclusive, não necessita ser realizada na escola, mas pode ser contextualizada no ambiente da instituição formadora, por meio das tecnologias da informação, como o computador e o vídeo. A norma, a partir desse momento, prevê a ruptura da prática e do estágio, nos moldes como vinham sendo ofertados, ou seja, como componente curricular único destinado ao tempo do estágio, identificado pelas instituições como prática de ensino sob a forma de estágio supervisionado.

35 34 Essa questão está presente no contexto das instituições de educação superior e a PCC explicita a complexidade que está embutida na expressão prática como componente curricular, sobretudo considerando a construção histórica do conceito de Práxis no contexto brasileiro. A visão prática será investida na ação do Educador como base de seu conhecimento, mediando os conteúdos a serem ensinados e como podem ser ensinados para um ensino significativo. Nesse contexto, estão os cursos de Licenciatura em matemática com seus Projetos Políticos Pedagógicos - PPP se adequando às novas Diretrizes Nacionais para formação de Professores da Educação Básica. Esses documentos propõem que o educador matemático seja capaz de tomar decisões, refletir sobre sua prática e ser criativo na ação pedagógica reconhecendo a realidade em que se insere, além de avançar para uma visão de que a ação prática é geradora de conhecimentos. orienta: Quanto à Prática de Ensino, o Parecer CNE/CES nº 15/2005, item 5, p. 3, As disciplinas relacionadas com a educação que incluem atividades de caráter prático podem ser computadas na carga horária classificada como prática como componente curricular, mas o mesmo não ocorre com as disciplinas relacionadas aos conhecimentos técnico-científicos próprios da área de conhecimento para a qual se faz a formação. Por exemplo, disciplinas de caráter prático em Química, cujo objetivo seja promover a formação básica em Química, não devem ser computadas como prática como componente curricular nos cursos de licenciatura. Para este fim, poderão ser criadas novas disciplinas ou adaptadas as já existentes, na medida das necessidades de cada instituição (BRASIL, 2005, p.3). Assim, há que se distinguir, de um lado, a prática entendida como componente curricular e, de outro, o Estágio Curricular Supervisionado. Contudo, estas discussões têm permeado diversos espaços acadêmicos, inclusive no GT7 da SBEM 3, evidenciando a importância da realização de atividades práticas para a formação dos professores. Entretanto, há dificuldades das Instituições que oferecem os cursos em adaptar-se a LDB 93/94 e suas resoluções e implementarem nos cursos a PCC. 3 O GT7 da SBEM - Formação de professores que ensinam Matemática é composto por, aproximadamente, 100 pesquisadores. Seus pesquisadores vêm se encontrando regularmente em dois momentos: durante os ENEM e os SIPEM nestes eventos os encontros do GT são oficiais.

36 35 Sendo assim entendemos ser preciso pesquisar como integrar este componente ao currículo, de modo que cada curso de Matemática, Licenciatura possa cumprir as 400 horas de PCC como reza a legislação e, assim, impulsionar o conhecimento profissional docente. A PCC quando integrada ao longo de todo o Curso oferecerá ao licenciando a possibilidade de intervenção didático-pedagógica, a vivência de experiências docentes diversificadas que favoreçam a construção de suas competências pedagógicas e o encantamento com a profissão docente. Para isto ao descrever as características da PCC, evidenciaremos e asseguremos alguns princípios norteadores para a formação inicial de professores de Matemática garantindo assim a indissociabilidade entre teoria e prática, além de estar contemplando no projeto pedagógico, a vivencia em diferentes contextos de aplicação acadêmico-profissional desde o início do curso. Com isto, a prática ocorrerá dentro das próprias disciplinas ofertadas no curso, diluídas em sua carga horária, deverão acontecer no transcorrer de todo o processo do ensino e de aprendizagem de modo que em seu desenvolvimento o professor propicie ao aluno o exercício da teoria-prática, no gesto de aprender a ser professor, num processo indissociável entre ensino, pesquisa e extensão, conforme regulamenta a referida Resolução. Nessa perspectiva, esta pesquisa se justifica no intuito de compreender o processo de integralização da PCC, identificando os elementos constituintes das atividades de prática que mais auxiliam na construção das competências pedagógicas do professor no curso de Matemática, Licenciatura na disciplina de Matemática Elementar, em particular no conteúdo de trigonometria. A escolha pela disciplina e conteúdo supracitado foi feita em função de dois aspectos, um é que a disciplina é oferecida no primeiro ano ou primeiro semestre para cursos de Licenciatura em matemática, sendo assim será o primeiro contato do licenciando com a Universidade, outro aspecto é que esta disciplina foca conteúdos com os quais o licenciando já teve contato no Ensino Médio, neste sentido já teve oportunidade de acompanhar a Prática de outro professor no Ensino Médio ao abordar este conteúdo.

37 36 Além disso, resultados de pesquisas, como a de Pimenta (2002) evidenciam que o professor aprende a sê-lo mediante um processo de socialização em parte intuitiva, autodidata ou seguindo a rotina dos outros. Quanto à escolha do conteúdo de trigonometria, entre os conteúdos abordados em Matemática Elementar ela ocorreu por entendermos sua relevância desde o ensino na Educação Básica. Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais-PCN, um destaque para o estudo da trigonometria, no qual é enfatizado o seu potencial no que tange ao desenvolvimento de habilidades e competências, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações (BRASIL, 1998, p. 257). A habilidade e a competência a que se refere o PCN estão intimamente ligadas à era da informação e dos avanços tecnológicos. A formalização precoce pode impedir o aluno de compreender significativamente os conceitos ou utilizá-los em outros contextos. Assim, há necessidade de adequação dos currículos a uma nova realidade. Para tanto, o critério utilizado consiste na recorrência à contextualização e à interdisciplinaridade, facilitando o trabalho com temas abordados os quais permitam conexões dentro da própria Matemática e da Matemática com outras ciências. Este conteúdo no ensino superior é de fundamental importância para o bom desempenho das demais disciplinas do curso por possibilitar aos licenciandos uma revisão de forma aprofundando a base de sustentação de disciplina, tais como: Cálculo I e II, Física I e II, geometria, geometria analítica, entre outras. Os cursos de Matemática, Licenciatura neste momento histórico de reformulação curricular evidenciam a necessidade de buscar subsídios teóricos que possam auxiliar o professor, responsável por disciplinas de formação básica em Matemática para os cursos de Matemática, Licenciatura a planejar, organizar e programar atividades de prática como componente curricular, visando a uma formação inicial voltada para a construção das competências pedagógicas dos estudantes universitários. Esta pesquisa procura avançar na discussão e implementação da PCC entendendo como fundamental a unicidade da teoria com a prática. No entanto, para trabalhar essa ideia de forma real é necessário um novo enfoque para as ações a serem desenvolvidas visando à formação docente, mesmo porque professores formadores têm

38 37 facilidade em ensinar teorias, mas muitas vezes não tem a mesma facilidade para ensinar a prática. Procurando respostas para esse fazer - a prática como componente curricular - considera-se que uma das atitudes a ser desenvolvida está numa sequência de tarefas matemáticas significativas para o ensino de trigonometria aliado a algumas atividades de ensino. Nesta pesquisa procuramos superar a maneira de ver o curso de formação inicial em Matemática, Licenciatura em que o professor formador somente ensina teorias aos licenciandos para que depois possam desenvolvê-las na prática quando forem lecionar. Apresentaremos, a seguir, uma breve análise de pesquisas que consideramos importantes, seja porque são referências para esse trabalho, seja porque podem dar um panorama das principais questões debatidas pelos pesquisadores sobre a Prática como Componente Curricular Pesquisas correlatas Procuramos conhecer as pesquisas que tenham ligação com a nossa, especialmente as que versaram sobre este tema Prática como Componente Curricular, encontramos poucas pesquisas que versem sobre esta temática na formação inicial em matemática, veremos, nas descrições que se seguem, destaques para dissertações e artigos analisados. A título de revisão de literatura analisamos a tese de Doutorado intitulada: A prática como componente curricular na formação de professores de autoria de (DINIZ- PEREIRA, 2011). Em sua pesquisa, Diniz-Pereira analisou as relações entre os conhecimentos matemáticos veiculados à formação de professor e as questões que se colocam na prática docente escolar. O curso de licenciatura tomado como referência na pesquisa foi o diurno da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e o estudo focou o tema Números. As fontes e os instrumentos foram: questionários e entrevistas, documentos do curso de licenciatura da UFMG, livros didáticos escolares, textos utilizados como referências básicas nas disciplinas do curso, a literatura de pesquisa em educação matemática. Partindo de uma perspectiva teórica em que se distingue a matemática escolar da

39 38 matemática científica ou acadêmica, o autor descreveu o conhecimento sobre os números veiculado no curso e o confrontou com as questões que a literatura de pesquisa indica como estando envolvidas na prática do professor de matemática da escola básica. Os resultados do autor evidencia que, no curso analisado, o conhecimento matemático é trabalhado no processo de formação a partir da perspectiva e dos valores da matemática acadêmica, ignorando-se importantes questões escolares que não se ajustam a essa perspectiva e a esses valores. (DINIZ-PEREIRA, 2011, p.2) O autor apontou como implicação imediata da sua pesquisa para o processo de formação de professores a evidência da necessidade de um redimensionamento da formação matemática de modo a equacionar adequadamente os papéis da matemática escolar e da matemática científica nesse processo, ressalta que, em função da necessidade urgente de se habilitar aqueles que, hoje, no País, estão em sala de aula, exercendo o magistério, corre-se o risco de as recentes políticas educacionais para formação docente favorecerem a improvisação no preparo dos profissionais da educação. O estudo recente, de Guerra (2013), que resultou em tese intitulada: A licenciatura em Matemática nos Institutos Federais do Estado de Minas Gerais teve como objetivo investigar a adequação das Licenciaturas às atuais Diretrizes Curriculares Nacionais do Conselho Nacional de Educação e compreender os pressupostos adotados por esses cursos para a formação de professores. Guerra (2013) pesquisou quatro cursos de Licenciatura em Matemática de quatro Institutos Federais analisando seus Projetos Pedagógicos dos Cursos enfatizando os seguintes aspectos: tempo de integralização, objetivos, perfil dos formandos e organização curricular. Ressalta que, para a análise dos currículos das licenciaturas, optou-se por agrupar as disciplinas em categorias tais como: conhecimento do conteúdo comum, conhecimento do conteúdo especializado, conhecimento pedagógico do conteúdo, conhecimento pedagógico geral e outros conhecimentos. Quanto às organizações curriculares, o estudo revelou que os cursos procuram se adaptar às novas diretrizes e superar a visão do modelo de formação 3+1, isto é, três partes do curso dedicadas à formação específica em Matemática e uma parte, majoritariamente no último ano do curso, dedicada à parte pedagógica nos Projetos Pedagógicos dos cursos. No entanto, segundo Guerra, muitos dos professores selecionados ou contratados para trabalhar na licenciatura ainda mantêm uma visão bastante conservadora em relação à formação de professores. No que se refere à Prática

40 39 de Ensino e ao Estágio Supervisionado, algumas dessas licenciaturas não atendem às diretrizes, sobretudo pela falta de profissionais qualificados. O autor verificou, também, interpretações distintas sobre os significados e objetivos da Prática de Ensino como componente curricular. Além disso, foram identificados outros problemas enfrentados por estes cursos, sendo os principais: a rotatividade de docentes, evasão de alunos e infraestrutura inadequada. Analisamos também a tese intitulada: Inovação Curricular, Formação de Professores e Melhoria da Escola: uma Abordagem Reflexiva e Reconstrutiva sobre a Prática da Inovação/Formação, de Alonso (1998), defendida na Universidade de Minho Braga. A autora desenvolve um estudo qualitativo à luz de uma abordagem epistemológica interpretativo/crítica, sobre os processos de inovação curricular na escola primária portuguesa, entendendo estes de forma interligada com os processos de formação de professores e de melhoria da escola como organização. Em uma concepção holística da inovação que se sustenta num quadro teórico que cruza conhecimentos provenientes de diferentes domínios das Ciências da Educação, nomeadamente, da Teoria da Formação de Professores, da Teoria do Currículo, da Organização Escolar e da Didática, se assemelha às orientações do Conselho Nacional de Educação quanto a PCC nos cursos de licenciatura. A Autora elaborou um modelo compreensivo que inter-relaciona o desenvolvimento profissional com o desenvolvimento curricular, o desenvolvimento organizacional e o desenvolvimento e aprendizagem dos alunos contribuindo, assim, para a promoção da mudança educativa. O questionamento acerca das condições e dos processos através dos quais a inovação e a formação se traduzem em mudanças educativas nos contextos ecológicos, culturais e políticos das escolas fez com que se escolhesse como objeto de estudo empírico um projeto de inovação curricular o Projeto PROCUR que se vem desenvolvendo numa rede de escolas do 1º Ciclo do Ensino Básico, com uma perspectiva metodológica de investigação-ação colaborativa. O estudo de caso deste projeto, enquanto "exemplo em ação", realizado com uma abordagem etnográfica, permitiu na procura de uma melhor compreensão interpretativa do fenômeno da mudança nas escolas, realçar a sua natureza complexa, dinâmica, multidimensional e ecológica, em que se cruzam uma multiplicidade de fatores de

41 40 ordem política e social, institucional e cultural, curricular, pedagógica, profissional e pessoal. Este estudo veio, assim, questionar as relações problemáticas e complexas entre reforma e inovação, tornando claro que a mudança é possível sempre que se construam determinadas condições nas escolas, que permitam uma prática mais reflexiva, colaborativa e investigativa, numa escola mais autônoma, aberta e participada, capaz de promover a aprendizagem e o desenvolvimento de todos os atores, nomeadamente alunos e professores. Em artigo intitulado Prática como Componente Curricular: Questões E Reflexões, Souza Neto & Silva (2010), objetivaram instaurar um debate no âmbito da UNESP (Universidade do Estado de São Paulo) com relação à Prática como Componente Curricular (PCC), os autores focaram a atenção para as questões de Currículo e do Estágio Curricular Supervisionado. No artigo questionam ainda, a passividade com que temos aceitado as novas diretrizes, independente dos avanços que possa haver quando se pensa a formação de professores. Dessa forma, o ponto de partida foi o RELATÓRIO DE CARACTERIZAÇÃO DAS LICENCIATURAS (UNESP, 2011), com 43 questões abertas que deram origem a sete eixos temáticos, a saber: organização geral do curso (questões de 1 a sete); estrutura (questões 8 a 10); disciplinas (questões 11 a 16); estágio curricular supervisionado (questões 17 a 33); prática como componente curricular (questões 34 e 35); avaliação (questões 36 a 39) e indicativos gerais (questões 40 a 43). Os autores indicam que esses projetos (Projetos Integradores) deverão ter carga horária própria na grade, mas não figurar como disciplina nos moldes convencionais, podendo-se estar, ou organizar-se, sob a responsabilidade de um grupo de docentes que ministram as disciplinas durante cada semestre e/ou mesmo de um único docente. Em artigo Publicado no SIPEM-2013 com o título: Prática Como Componente Curricular: Uma Proposta Para A Licenciatura Em Matemática, de Nogueira & Pereira (2013), as autoras discutem resultados de pesquisa de Mestrado desenvolvida na Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS) cujo objeto foi a prática como componente curricular (PCC).

42 41 A pesquisa de natureza qualitativa objetivou analisar como as práticas entendidas como componentes curriculares estão distribuídas nas estruturas curriculares dos Projetos Pedagógicos e sendo desenvolvidas nas disciplinas dos cursos de licenciatura em Matemática. Para tanto, o referencial teórico baseou-se na normatização e na conceitualização da prática como componente curricular, na relação teoria-prática na formação do educador e nos aspectos de planejamento e de organização curricular. Os instrumentos para coleta de dados foram a análise documental e entrevistas e foi empregada a análise textual discursiva. Os sujeitos foram professoras do curso de Matemática, Licenciatura da UNESP Presidente Prudente. As autoras constataram que a Instituição alocou as 400 horas de PCC no bojo das disciplinas de conteúdos específicos e pedagógicos via projetos articuladores, contando com a presença de um professor articulador para cada ano e entenderam que o curso, ao fazer uma proposta de trabalhar via projetos articuladores, estimulou uma postura reflexiva, questionadora e de trabalho coletivo no ambiente escolar. Em síntese, podemos afirmar que os Cursos de Licenciatura estão se adequando às novas orientações; contudo, estas pesquisas mostram a dificuldade de caracterizar a PCC nos cursos de licenciatura e como implementá-las ao longo da licenciatura distinguindo-a da Prática de Ensino vivenciada nos Estágios Curriculares dos cursos. Neste entendimento, descrevemos a seguir uma construção histórica no das bases teóricas da reforma, que a partir da conceituação de prática, observa-se que a discussão desta como um componente curricular vai se construir como uma forma específica de práxis que exige opção e compromissos claros na formação, em função dos quais orienta sua reflexão A PRÁXIS: Definitivamente Teórico-Prático Não é de hoje que são divergentes os pontos de vista sobre a relação que deve existir entre a Teoria e a Prática, assim como divergem as percepções sobre os diferentes significados da práxis e do que se entende por relacionar a teoria com a prática. O termo foi empregado pelos gregos na antiguidade para designar a ação propriamente dita, e que transcrevemos como praxis, e em nosso vocabulário

43 42 escrevemos como práxis ou prática, sendo o primeiro mais utilizado e aceito no campo filosófico e o segundo usado indistintamente em nosso idioma sendo muito empregado na linguagem comum e literária. O termo práxis é conservado como escrito na Grécia antiga pelos portugueses, alemães e espanhóis em outras línguas como, por exemplo, em francês usa-se o termo practique, o italiano prassi e practica, em russo práktika. Convém lembrar que o emprego deste termo práxis que deriva do grego, não se deve igualar os significados do termo em uma ou outra língua. Neste sentido utilizamos o termo prática não no sentido do significado predominante de atividade prática humana no sentido estritamente utilitário e pejorativo como atividades práticas, homem prático, profissão muito prática, etc., pois este tipo de ação na Grécia antiga aplicava-se aos gestos exteriores do sujeito e a seus atos e escrevia-se poiésis que, para eles, era uma atividade poética do artesão e não prática. Esta consciência filosófica, segundo o próprio Vásquez (1977), não deixa de ter antecedentes do passado nem tão pouco surge como uma forma acabada de Marx; o certo, segundo ele, é que depois de superado o idealismo, uma consciência mais elevada não implica a uma atitude pré-filosófica, nem tampouco no retorno a um ponto de vista filosófico como o do materialismo vulgar ou metafísico, ligado a consciência comum e anterior às formas mais desenvolvidas do idealismo (Kant, Fichte e Hegel), mas parte assim para uma concepção mais avançada, ou seja, uma superação no sentido dialético de negar e absorver, tanto do materialismo tradicional como o do idealismo, uma filosofia da práxis de modo abstrato e mistificado, embora se apresente nela a atividade pratica humana. Para chegarmos à verdadeira concepção da práxis entendida como uma atividade material do homem social é preciso passar pelo ponto de vista histórico-filosófico, por sua concepção idealista, sem significar um retorno a sua concepção ultrapassada do idealismo e nem pela atitude imediata da consciência comum. Assim, ainda conforme Vásquez (1977), o conceito de práxis é uma atividade prática que faz e refaz coisas, isto é, transmuta uma matéria ou uma situação segundo a etimologia Grega; explícitas em Aristóteles, práxis como fenômeno que se esgota em si mesmo, se engendra uma obra, é poesia, ou criação. Posição abandonada por Vásquez,

44 43 pois o uso de póiesis restringiu-se ao artístico, enquanto que no termo práxis cabem todos os campos ou áreas culturais. Igualmente, é no ato ou conjunto dos atos em virtude dos quais o sujeito modifica uma matéria prima dada, seu significado não se restringe nem ao material e nem ao espiritual, e unicamente entranha um trabalho criador. Neste sentido, a destruição da atitude própria à consciência comum é condição indispensável para superar toda consciência mistificada da práxis e ascender a um ponto de vista objetivo, científico a respeito da atividade prática do homem, unindo o pensamento à ação conscientemente Vásquez sustenta sua perspectiva da práxis como categoria central do Marxismo, onde antes de tudo é originalmente uma filosofia da práxis, não só porque brinda a reflexão filosófica com um novo objetivo, mas sim quando se trata de transformar o mundo, enfim afirma que o marxismo é uma nova práxis da filosofia e uma filosofia da práxis. Entretanto, por mais importante que seja o papel da ação política, a teoria não perde seus direitos supremos segundo filósofos gregos da antiguidade, como por exemplo, Platão e Aristóteles. Sem renunciar a primazia da vida teórica, admitiram a legitimidade do que podemos chamar de práxis política. Platão teve inclusive a consciência de que a teoria deve ser prática, ou seja, o pensamento e a ação devem manter-se em unidade, e se mantém fazendo repousar a prática na teoria, ou mais exatamente fazendo com que as ideias se tornem práticas por si mesmas. Vásquez (1977) menciona Platão para discutir a questão da teoria se tornar prática ao dizer que: A teoria se torna prática não só porque seja segundo Platão, um saber de salvação, graças ao qual o homem se liberta da escravidão da matéria, se mantém em suas condições humana e se realiza como ser humano, como também porque a teoria se ajusta plenamente a prática, com o que a primeira deixa de ser um saber puro e cumpre uma função social, política. Teoria e prática, filosofia e política, unem-se na pessoa do filósofo-rei ou do reifilósofo. (VÁSQUEZ, p. 19). Neste sentido, observamos que a referência em Platão vê uma prática digna deixando-a se impregnar totalmente pela teoria, em uma relação unilateral em que a prática política dos homens não cumpre outra função a não ser deixar guiar ou se moldar totalmente pela teoria. A prática há de ser filosófica e vale por seu conteúdo

45 44 racional e teórico, e por analogia a unidade platônica de teoria e prática não passa da diluição da práxis na teoria. Vásquez em seu livro Filosofia da Práxis elucida e enriquece o seu ponto de vista da relação da Teoria e Prática ao examinar as concepções de Hegel, que entende a atividade da consciência ou do espírito como filosofia do fazer (ou saber) absoluto, abre caminho para a filosofia Marxista. No idealismo Alemão, seu princípio ativo é princípio de liberdade e autonomia. Hegel tinha perfeita consciência tanto de sua unidade como do princípio que lhe serve de base, sendo que o fundador desse movimento é Kant, exatamente por haver baseado sua teoria do conhecimento sobre o sujeito e não sobre o objeto, estabelecendo como fundamento supremo a consciência, não só do conhecimento, como também da moral. Kant leva a cabo sua famosa revolução copernicana, mas admite a existência de uma coisa em si percebendo a fonte da atividade e da liberdade na consciência no sujeito, mas é criticado por Hegel por admitir um novo dualismo que enfraquece e restringe o mérito de haver firmado o princípio que é fundamento e ponto de vista de partida da filosofia alemã moderna da época. Contudo, observamos por consequência os filósofos idealistas alemães, não só Kante, mas Fichte, Schelling e Hegel em particular tinham consciência da desconformidade entre o teórico e o prático, e tratou de correlacionar o ativismo da consciência a circunstância histórica real. Hegel nos proporciona o primeiro tratamento filosófico da práxis humana como atividade transformadora e produtora de objetos materiais. Para isto, Hegel se desliga de seus antecessores idealistas que reduzem a prática como um tipo peculiar de atividade da consciência, essencialmente moral. Em uma etapa posterior de sua obra, Hegel se vê no limite de uma problemática religiosa, a superação do que na época ele chama de positividade ou objetividade morta, examinando sob este a relação homem com os objetos. Não obstante estas diferenças a práxis é, definitivamente, teórico-prática, isto é, dois lados de uma moeda que se separam por abstração, é certo que existem diferenças específicas ou autonomia entre a teoria e a prática, nem sempre a segunda torna-se teórica, tão pouco a primazia da prática dissolve a teoria e às vezes a teoria adianta-se à prática, e existem teorias ainda não elaboradas como prática.

46 45 Logo, o arroio do raciocínio filosófico no qual ocorre historicamente requer que se negue como argumentação pura e, voltando o olhar para a realidade, aceite a influência da práxis que só se possibilita sua aceitação como crítica radical enfocada a uma realidade injustamente opressiva. Entretanto, de acordo com Vásquez, as primeiras teses de Feuerbach são as que encaminham uma noção emancipadora da práxis, mas isto sob uma perspectiva marxiana onde o mundo não muda somente pela prática, ele requer uma crítica teórica que influi fins e táticas e tão pouco a teoria pura pode fazer. A crítica da religião levada a cabo por Feuerbach e sua aplicação à filosofia idealista de Hegel em seu conjunto, representam a substituição do absolutismo pelo homem real. Para Feuerbach, se a atividade moral - prática no sentido ético idealista - não se identifica com a práxis, propriamente dita, não só não há oposição entre a religião e a práxis, como o ponto de vista da religião é o ponto de vista prático, isto é subjetivo. Neste sentido, a prática é usada como contraposição à teoria, enquanto o ponto de vista teórico corresponde à consideração do objeto em si mesmo, prescindindo de sua relação com o homem, o ponto de vista prático acarreta a consideração do objeto em relação a ele. A contraposição do prático ao teórico oferece-nos, no entanto, a verdadeira concepção feuerbachiana da práxis que, a nosso ver, é a que Marx lhe atribui em suas teses sobre Feuerbach: a prática captada e plasmada sob sua forma impura e sórdida de manifestação. Quando consideramos as relações entre a teoria e prática, no primeiro plano dizemos que a primeira depende da segunda, na medida em que a prática é fundamento da teoria, que determina o horizonte de desenvolvimento e progresso do conhecimento. A este respeito Engels diz in Vásquez: Até agora, tanto as ciências naturais como a filosofia menosprezaram completamente a influência que a atividade do homem exerce sobre seu pensamento e conhecem apenas, de um lado, a natureza e, de outro, o pensamento. Mas o fundamento mais especial e mais próximo do pensamento humano é a natureza por si só, a natureza enquanto tal, e a inteligência humana foi crescendo na mesma proporção em que o homem ia aprendendo a transformar a natureza. (ENGELS, p. 183, In Vásquez, p.123, 1977).

47 46 Neste sentido o conhecimento científico avança e vai transformando o mundo natural em virtude da relação que o homem estabelece com a prática, mediante a produção de materiais, processos e conceitos. As demandas que vêm do mundo natural e do social apresentam exigências que contribuem para desafiar o homem e, enfim, ampliar seus horizontes e também as soluções. Não obstante as diferenças entre o pensamento e a natureza, a práxis é, definitivamente, teórico-prático, a prática amplia horizontes teóricos sem que se reconheça sua origem. É certo que existem diferenças específicas ou autonomia entre teoria e prática; a prática não obedece diretamente e indiretamente às exigências da teoria, mas sim suas próprias contradições e que somente em última estância, depois de um desenvolvimento histórico, a teoria responde à prática e é fonte destas. As ideias de Engels fortalecem nossa hipótese de que a possibilidade de desenvolvimento de uma consciência profissional comprometida com práticas reflexivas, críticas, engajadas no trabalho coletivo em torno da construção de um Projeto Político Pedagógico de uma escola de qualidade para as classes populares não está colocada somente no âmbito individual, mas é um desafio que se coloca ao processo de formação permanente de professores a ser intencionalmente organizado e planejado em função da democratização do trabalho pedagógico. Da mesma forma nos estudos de Freire (1983) a palavra autêntica é práxis. Em grande parte de suas obras o conceito de práxis aparece como pensamento autêntico, pois para Freire deve haver diálogo constante entre teoria e prática. O diálogo é incompatível com a autossuficiência e exige um pensar autêntico. Pensar que percebe a realidade historicamente e assim é capaz de superar a dicotomia homem-mundo. O homem é um ser da práxis, do que fazer, diferente dos animais que são seres do puro fazer. Os homens, pelo contrário, como seres do que fazer, emergem dele e, objetivando-o, podem conhecê-lo e transformá-lo com seu trabalho (FREIRE, 1983, p. 145). Freire (1983, p. 108) define práxis como a reflexão e ação verdadeiramente transformadora da realidade. Portanto, para Freire, práxis precisa ser a prática social transformadora da realidade. Nesse sentido, pressuponho que não se refere à teoria e prática, à ação e reflexão, como se estivessem afastadas e precisassem ser unidas, mas

48 47 entende ambas de forma dialética: a teoria emergindo da prática e esta, redimensionando a teoria dialeticamente. Assim formação docente percebida por Freire como condição necessária à profissionalização do professor, desde que se constitua, fundamentalmente, num desafio aos educadores a pensarem criticamente sobre sua prática, assumindo a rigorosidade metódica necessária para melhor compreendê-la e transformá-la. Entretanto, por entender que a prática não está isenta de intencionalidade, associa-a ao processo de conscientização, considerando esse o eixo norteador das ações de formação comprometidas com uma prática fundada na concepção libertadora da educação. Neste sentido Freire cria um pensamento engajado, pensamento que é práxis com e para o povo oprimido. Sua opção é pelos mais fracos, pelos esquecidos, em especial pelos povos chamados subdesenvolvidos que historicamente mais foram oprimidos, com o colonialismo, com os neocolonialismos, com as ditaduras militares e com o neoliberalismo. Sua opção é de professor democrático e progressista que busca a superação da heteronomia e construção da autonomia. Ainda em Freire, a educação entendida como uma forma específica de práxis exige opção e compromissos claros, em função dos quais orienta sua reflexão. A reflexão é um tema que transcorre grande parte das obras de Paulo Freire. Abaixo, apresentamos alguns fragmentos onde Freire explicita e sistematiza a reflexão. São eles: O que teríamos que fazer, então, seria, como diz Paul Legrand, ajudar o homem a organizar reflexivamente o pensamento. Colocar, como diz Legrand, um novo termo entre o compreender e o atuar: o pensar. (FREIRE, 1984 p ). Quando a prática é tomada como curiosidade, então essa prática vai despertar horizontes de possibilidades. [...] Esse procedimento faz com a que a prática se dê a uma reflexão e crítica. (FREIRE, 1989 p. 40). O de que se precisa é possibilitar, que, voltando-se sobre si mesma, através da reflexão sobre a prática, a curiosidade ingênua, percebendo-se como tal, se vá tornando crítica (Grifo nosso). (FREIRE, 2001 p. 43). A prática docente crítica, implicante do pensar certo, envolve o movimento dinâmico, dialético, entre o fazer e o pensar sobre o fazer. (FREIRE, 2001 p ). Por isso é que na formação permanente dos professores, o momento fundamental é o da reflexão crítica sobre a prática. (FREIRE, 2001 p.43). A partir dos fragmentos acima expostos é possível dizer que para Freire, a reflexão é o movimento realizado entre o fazer e o pensar, entre o pensar e o fazer, ou

49 48 seja, no pensar para o fazer e no pensar sobre o fazer. Nesta direção, a reflexão surge da curiosidade sobre a prática docente. No entanto, com o exercício constante, a curiosidade vai se transformando em crítica. Desta forma, a reflexão crítica permanente deve constituir-se como orientação prioritária para a formação continuada dos professores que buscam a transformação através de sua prática educativa. Em Freire, a Prática Pedagógica no sentido amplo, é uma prática intencional, institucional, complexa e plural que se conforma através da prática docente, discente, gestora e epistemológica. A essa compreensão da Prática Pedagógica encontramos princípios, para melhor compreender a vivência pedagógica em Paulo Freire, nos textos e contextos da prática docente formadora. Os textos e os contextos da prática pedagógica docente de Paulo Freire têm como um dos lugares a sala de aula. Sala de aula como o lugar da intencionalidade educativa, da vivência da pedagogia problematizadora, como entendimento que o contexto da transformação não é só a sala de aula, mas encontra-se fora dela. Se o professor for libertador, os estudantes e os professores empreenderão transformação que inclui o contexto fora da sala de aula (FREIRE; SHOR, 1986, p. 46). A obra de Paulo Freire nos permite perceber que ele insiste no tema da docência sob diferentes ângulos, dando ênfase à de educadores no Brasil, importância da construção do conhecimento, da politicidade da educação, da negação do autoritarismo, da democracia, do diálogo, da comunicação, da relação teoria e prática, entre outros. Mas é nas publicações Medo e Ousadia o cotidiano do professor (l987), Professora sim, tia não cartas a quem ousa ensinar (1993), A educação na cidade (1991) e, especialmente, em Pedagogia da autonomia saberes necessários à prática docente (1997), que Paulo Freire aprofunda e sistematiza suas ideias sobre a formação a partir da reflexão sobre a pedagogia opressora. A formação do educador de que trata Paulo Freire vem, em sua obra, deliberadamente adjetivada. Trata-se da formação permanente, que difere do conceito de formação continuada, de reciclagem e de treinamento. É fundamental observar que não se trata aqui de pura explicitação da experiência docente dos educadores, mas, sobretudo, da reflexão sobre esta experiência. De acordo

50 49 com Paulo Freire (1997), [...] o saber que a prática docente espontânea ou quase espontânea, desarmada, indiscutivelmente produz é um saber ingênuo, um saber de experiência feito, a que falta a rigorosidade metódica que caracteriza a curiosidade epistemológica do sujeito. [...] O que se precisa é possibilitar que, voltando-se sobre si mesma, através da reflexão sobre a prática, a curiosidade ingênua, percebendo-se como tal, se vá tornando crítica. Para Freire (1991) o desafio para instituições e profissionais formadores de professores, para além da compreensão é a inclusão nas suas agendas e planos de trabalhos de práticas de escuta dos desejos, possibilidades, limites e inquietações, para a escuta para além do verbal, valorizando as diferentes linguagens e gestos. A prática docente crítica, implicante do pensar certo, envolve o movimento dinâmico, dialético, entre o fazer e o pensar sobre o fazer. O saber que a prática docente espontânea ou quase espontânea, desarmada, indiscutivelmente produz é um saber ingênuo (...) a que falta a rigorosidade metódica que caracteriza a curiosidade epistemológica do sujeito (FREIRE, p. 37). Em outras palavras, no campo da Educação, da formação de professores e da docência a escuta está circunscrita no âmbito dos saberes necessários à prática educativa, nos gestos como um saber docente, logo como algo a ser, não só aprendido e apreendido, mas exercitado nos processos de formação docente. Os gestos como saber docente estão na base dos processos interativos. São formas de comunicação, de avaliação, de incentivo, de afirmação ou de negação. Estão distribuídos, construídos, multiplicados nos diferentes espaços de aprendizagens com repercussões no processo da formação humana que nem sempre levamos em consideração. A importância dos gestos, como um saber, inaugura a experiência docentediscente e pode vir a fazer parte da formação sólida para o trabalho docente como estruturante da qualificação profissional e contribuir para os processos de conhecimento, reconhecimento e elevação da estima de docentes e discentes. Nesse caso, a formação nem é superestimada, nem tampouco subestimada, mas imprescindível ao ofício de professor tanto quanto a compreensão e a opção por um

51 50 projeto educacional que se configura como orientação e conteúdo da prática pedagógica. Na perspectiva freireana, o projeto de educação que ganhou o mundo, conhecido como pedagogia do oprimido - não o livro é o projeto que se referência na educação em favor da emancipação permanente dos seres humanos, considerados como classe ou como indivíduos, [educação que] se põe como um quefazer histórico em consonância com a também histórica natureza humana, inclusive, finita, limitada (FREIRE, 1991, p. 72). Essa perspectiva de educação e de formação de professores se diferencia de outras a partir de algumas exigências que ela faz face ao projeto que reivindica e se propõe. Essas exigências encontram em Paulo Freire respostas como aportes para a reflexão como para as vivências, as quais consideramos como princípios úteis aos processos formadores. Contudo, ao juntar Educador e Educando em um mesmo ato pedagógico, exatamente porque Freire os compreende como ativos e críticos, coloca-se a necessidade da discussão dos conteúdos e programas curriculares, contudo não é sendo possível o educador assumir o educando como sujeito do processo e ao mesmo tempo, continuar a escolha dos conteúdos a serem problematizados como tarefa exclusiva sua. Isto representaria uma contradição e uma continuidade das relações verticais doadores e assistencialistas, que deveriam ser combatidas pelo educador comprometido (FREIRE, 2001, p.86). Neste sentido Freire deixa claro nos escritos Pós Pedagogia do Oprimido, refletindo com uma maior clareza a relação educador-educando. Ele explicita: Tenho insistido no sentido de deixar claro que professor e aluno são diferentes, se o professor tem a opção democrática, não pode permitir que sua diferença em face dos alunos vire antagonismo. O que vale dizer, que sua autoridade se exacerbe em autoritarismo. Mais uma vez, estamos diante da incoerência do que falei. O professor ou a professora fazendo um discurso democrático e tendo prática autoritária (FREIRE, 2003, p.210). Assim, na medida em que a educação passa por um processo histórico em uma realidade temporal, e, na medida em que o futuro seja problemático, e não inexorável, a práxis humana ação e reflexão implica decisão, ruptura e escolha. E ciente disto Freire insiste que o educador verdadeiramente comprometido deve saber que não condiz com a sua existência dicotomizar suas atitudes.

52 51 Após esta breve apresentação do conceito de práxis do ponto de vista filosófico e educacional, trazemos mais especificamente a reflexão sobre práxis na formação inicial do professor A Reflexão sobre a Práxis na Formação Inicial de Professor O educador comprometido na perspectiva abordada por Freire (2003), na formação de professores com o aporte para a reflexão como também para as vivências, as quais o autor considera como princípios úteis aos processos formadores. Esta é uma característica de qualquer bom profissional. Estas nos conduzem ao trabalho Zabala (1998) que discute um modelo que traz subsídios para a análise da prática profissional, uma vez que o autor se utiliza do modelo de interpretação, que se contrapõe àquele em que o professor é um aplicador de fórmulas herdadas do modelo tradicional, e fundamenta-se no pensamento prático e na capacidade reflexiva do docente. Para tal o autor enfatiza a necessidade de uma constante avaliação do trabalho por parte do profissional. Em seu livro A Prática Educativa: Como ensinar Zabala (1998) discute alguns critérios que contribuem para articular uma prática reflexiva e coerente sobre a prática educativa, como também oferecer elementos que possibilita m a análise e até modificações dessas condições. Sua intenção não é dissertar sobre técnicas de ensinar, mas em última análise parte do pressuposto que os docentes, independentemente do nível em que trabalhem, são profissionais, que devem diagnosticar o contexto de trabalho, tomar decisões, atuar e avaliar a pertinência das atuações, a fim de reconduzi-las no sentido adequado. Neste sentido, discutimos os conhecimentos fundamentais para a formação do professor de matemática, referente às competências profissionais na formação de professores vários autores têm se debruçado sobre esta temática, investindo anos em estudos no intuito de melhor compreender como se dá o processo de ensino aprendizagem, dissecando os saberes, as ações, os pensamentos, as intenções e as reflexões que o compõem. Entendemos que este tema é complexo o qual demanda que seja abordado em diversos aspectos, tais como: corpo docente, discente, currículo, projeto pedagógico,

53 52 aspectos estruturais, dos quais focamos e discutimos a questão da formação docente sob os aspectos curriculares do curso de Matemática, Licenciatura. Ao estabelecer novas diretrizes curriculares para os cursos de formação de professores da educação básica (Resoluções 01 e 02/CNE/CP/2002a, 2002b), o Conselho Nacional de Educação (CNE) recomendou que a formação inicial seja concebida, planejada, operacionalizada e avaliada visando à aquisição de competências e habilidades. Estas resoluções consolidam a formação de professores em uma área de investigação e de práticas que no âmbito da didática e da organização escolar, vem intervir diretamente no desenvolvimento profissional do formador e no currículo da instituição. Assim, para dar sentido à formação e à Práxis dos professores, os projetos pedagógicos dos cursos de licenciatura necessitam favorecer o desenvolvimento das competências necessárias para a intervenção em suas áreas. Destacam-se como pontos primordiais, que refletirão na aula de Matemática, a análise dos princípios e critérios para a seleção (o que ensinar) e a organização didática (como ensinar) além dos conteúdos matemáticos para que ocorra a aprendizagem. Inserido no rol dos formadores de professores de Matemática, a preocupação tem recaído sobre a aula de Matemática. Considerando a aula como o ponto de encontro importante para a interatividade entre o livro didático usado pelo aluno e a bagagem intelectual dominada pelo professor, pode-se dizer que nela se fazem presente o conhecimento matemático cientificamente elaborado além do conhecimento pedagógico necessário para o desenvolvimento dos conteúdos. Esse encontro pode ocorrer em duas dimensões metodológicas: simples reprodução dos conhecimentos cientificamente elaborados para ser memorizados ou por meio da reconstrução dos conceitos para a compreensão desses conhecimentos. Desta maneira, Ball, Hill, & Bass, (2005), focam suas pesquisas em como os professores necessitam saber e ser capazes de fazer, efetivamente, para desenvolver o trabalho de ensinar um determinado conteúdo, o interesse de suas investigações foi em

54 53 que mais os professores necessitam saber sobre matemática, e como e onde poderiam os professores usar tal conhecimento, na prática? Neste sentido Ball et al (2005), apontam: O que os professores fazem ao ensinar matemática, e como fazer o que eles fazem, demanda raciocínio matemático, percepções, compreensão e habilidade? Em vez de começar com o currículo, ou com padrões para a aprendizagem dos estudantes, nós estudamos o trabalho do professor (2005 p.3). Em termos de nossa formulação, a formação matemática que o futuro professor vivencia no curso de licenciatura contribui para a estruturação de um conjunto de concepções do licenciando a respeito do conhecimento matemático e dos processos de ensino e aprendizagem de matemática, as quais influenciam a sua prática, como professor da escola básica. A elaboração de um repertório de conhecimentos para o ensino, tendo como referência o conhecimento de base, ou seja, os saberes profissionais dos professores, tais como estes os mobilizam e utilizam em diversos contextos do trabalho cotidiano, é fundamental para introdução de dispositivos de formação que visem habituar os futuros professores à prática profissional. Contudo, chega a nova LDB e acena com novas propostas e perspectivas para a formação do professor em geral. Com esta Lei surgiu um conjunto de Decretos, Pareceres e Resoluções visando aos cursos vigentes e as novos de terem condições de organizar um novo projeto que garanta a formação adequada aos futuros professores, expressão das mudanças pelas quais têm passado a sociedade brasileira e suas novas necessidades educacionais 1.5.4A Formação Inicial do Professor e as Diretrizes Curriculares Os cursos de Licenciatura no Brasil são determinados pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional e regulamentados por pelo Conselho Nacional de Educação bem como documentos específicos para cada área ou disciplina ao qual destina o Curso de Licenciatura, cabe lembrar que anterior à LDB de 1961, os currículos e a duração dos cursos de ensino superior eram definidos por decretos dos Governos Federal ou Estaduais.

55 54 Assim as reformulações dos Projetos Pedagógicos dos Cursos de Matemática, Licenciatura da UEMS, têm acompanhando principalmente as sugestões da última Resolução do Conselho Nacional de Educação - CNE/CP2 de 19/02/2002b, inspirada no Parecer 09/2001, que determina a existência de uma carga horária de no mínimo 400 horas de prática integrada aos componentes curriculares (PCC) as quais devem ser vivenciadas ao longo do curso de licenciatura, conforme determina o parágrafo I do referido artigo e estão cobertas nas disciplinas da Área de Formação Básica 4. Adota-se aqui está forma de prática para atender a referida Resolução e também por acreditar que: Uma concepção de prática mais como componente curricular implica vê-la como uma dimensão do conhecimento, que tanto está presente nos cursos de formação nos momentos em que se trabalha na reflexão a atividade profissional, como durante o estágio nos momentos em que se exercita a atividade profissional (BRASIL, CNE/CP 9/2001, p. 22). Entendemos que esta concepção expressa na legislação amplia a visão da prática para além do estágio nos vários modos de fazer prática. Ela atende ao Artigo 65 da LDB a qual estabelece que: A formação docente, exceto para a educação superior, incluirá prática de ensino de, no mínimo, trezentas horas, no que diz respeito à associação entre Teoria e Prática e ainda permite uma articulação com as demais disciplinas, não se restringindo apenas ao estágio. Neste sentido, observa-se um reforço para esta afirmação no Artigo 12, da Resolução CNE 1/2002 o qual indica que: No interior das áreas ou das disciplinas que constituírem os componentes curriculares de formação, e não apenas nas disciplinas pedagógicas, todas terão a sua dimensão prática (p. 3). Ainda nesta Resolução, o Artigo 13 enfatiza que: Em tempo e espaço curricular específico, a coordenação da dimensão prática transcenderá o estágio e terá como finalidade promover a articulação das diferentes práticas, numa perspectiva interdisciplinar. Para este fim, poderão ser criadas novas disciplinas ou adaptadas as já existentes, na medida das necessidades de cada instituição (BRASIL, CNE/CP 1, 2002a, p. 23). Assim sendo, o curso de licenciatura deverá valorizar a produção do aluno no âmbito do ensino por meio de simulações, experiências de gestão, organização de planos pedagógicos, capacitação de docentes, entre outras várias modalidades conforme 4 Disciplinas básicas para o Curso de Matemática, Licenciatura.

56 55 descrito no Artigo 13 da Resolução CNE/CP 1/2002, de 18 de fevereiro de 2002, que institui as diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da educação básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Ressaltamos que, como reza a legislação, essas atividades práticas transcendem ao estágio e têm como finalidade promover a articulação de diferentes práticas em uma perspectiva interdisciplinar. Deve ser desenvolvida com ênfase nos procedimentos de observação e reflexão sobre as práticas escolares visando à atuação dos licenciandos em situações contextualizadas, tais como as representações de observações realizadas e resolução de situações-problema característicos do cotidiano do professor de Matemática. Neste sentido, a Resolução CEPE/UEMS Nº 357, de 25 de março de 2003, no art. 2º, inciso V que orienta a elaboração e reformulação dos Projetos Pedagógicos dos cursos de graduação da UEMS é clara ao distinguir, de um lado, a prática entendida como uma dimensão do componente curricular e, de outro, o Estágio Curricular supervisionado pelo exercício direto in loco, ou pela presença participativa em ambientes próprios de atividades docentes. A referida Resolução ainda estabelecer que a prática deva ser enriquecida por meios de depoimentos (oral e escrito) de professores, tecnologia da informação, produção dos alunos, situações simuladoras, trabalhos orientados, atividades de laboratório, seminários e sessões de estudos. As atividades devem ser desenvolvidas em sala de aula no horário da disciplina e externamente nas escolas públicas. Essas atividades deverão ser desenvolvidas com ênfase nos procedimentos de observação e reflexão, visando à atuação em situações contextualizadas e a resolução de situações problema características do cotidiano do professor. A Resolução CNE/CP n. º 1, de 18/02/2002, que institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura de graduação plena, define no art. 12 que: 1ª A prática, na matriz curricular, não poderá ficar reduzida a um espaço isolado, que a restrinja ao estágio, desarticulado do restante do curso. 2º A prática deverá estar presente desde o início do curso e permear toda a formação do professor. 3º No interior das áreas ou das disciplinas que constituírem os componentes curriculares de formação, e não apenas nas disciplinas pedagógicas, todas terão a sua dimensão prática (BRASIL, CNE/CP 1,2002a, p 6).

57 56 que: Quanto a Prática de Ensino, o Parecer CNE/CES nº 15/2005, item 5, p. 3, orienta As disciplinas relacionadas com a educação que incluem atividades de caráter prático podem ser computadas na carga horária classificada como prática como componente curricular, mas o mesmo não ocorre com as disciplinas relacionadas aos conhecimentos técnico-científicos próprios da área de conhecimento para a qual se faz a formação (...) (BRASIL, CNE/CES 15, 2005, p.3). Assim, fica evidenciada a distinção da prática entendida como componente curricular do Estágio Curricular Supervisionado. Quanto ao seu conceito prático, o parecer CNE 15/2005 esclarece. [...] prática como componente curricular é o conjunto de atividades formativas que proporcionam experiências de aplicação de conhecimentos ou de desenvolvimento de procedimentos próprios ao exercício da docência. O Parecer CNE/CP 28/2001 (p. 9) destaca que [...] a relação mais ampla entre teoria e prática recobre múltiplas maneiras no seu acontecer na formação docente [...] e problematiza a concepção de prática que subjazem suas intenções. Afinal: A prática não é uma cópia da teoria e nem esta é um reflexo daquela. A prática é o próprio modo como as coisas vão sendo feitas cujo conteúdo é atravessado por uma teoria. Assim a realidade é um movimento constituído pela prática e pela teoria como momentos de um dever mais amplo, consistindo a prática no momento pelo qual se busca fazer algo, produzir alguma coisa e que a teoria procura conceituar, significar e com isto administrar o campo e o sentido desta atuação. (BRASIL, CNE/CP 28, 2001, p. 9). Nesse contexto, estão os cursos de Licenciatura em Matemática com seus Projetos Políticos Pedagógicos (PPP), se adequando às novas Diretrizes Nacionais para formação de Professores da Educação Básica, Parecer CNE/CP 9/2001, as Resoluções CNE/CP 1/2002 e CNE/CP 2/2002 e do Parecer CNE/CES 1.302/2001. Esses documentos propõem que o educador matemático seja capaz de tomar decisões, refletir sobre sua prática e ser criativo na ação pedagógica, reconhecendo a realidade em que se insere, além de avançar para uma visão de que a ação prática é geradora de conhecimentos. No entanto, é necessário caracterizar a Prática Como Componente Curricular, pois ela não se restringe apenas à discussão entre a teoria e a prática, visando à formação do professor, mas em um processo mais amplo, em que o professor além de saber e de saber fazer deve compreender o que faz, conforme institui o Parecer CNE/CP

58 57 9/2001, no Art. 12, 1º ao explicitar que a prática, na matriz curricular, não poderá ficar reduzida a um espaço isolado, que a restrinja ao estágio, desarticulado do restante do curso. Em seguida, esclarece, em seu 2º, que a prática deverá estar presente desde o início do curso e permear toda a formação do professor e, no 3º, que a prática deve permanecer no interior das áreas ou disciplinas que constituírem os componentes curriculares de formação, e não apenas nas disciplinas pedagógicas, pois todas deverão ter a sua dimensão prática. Em seguida, analisaremos as o cenário de estudo desta investigação, suas características como Universidade, o Projeto Político Pedagógico para a Licenciatura em Matemática. 1.6CENÁRIO DO ESTUDO: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL A Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul (UEMS), criada pela Constituição Estadual de 1979 e ratificada pela Constituição de 1989, conforme o disposto em seu artigo 48, Ato das Disposições Constitucionais Gerais e Transitórias, com sede na cidade de Dourados, Estado de Mato Grosso do Sul, é uma Fundação com autonomia didático-científica, administrativa, financeira e disciplinar. Rege-se pelo Estatuto, oficializado pelo Decreto N 9.337, de 14/01/1999. Embora criada em 1979, a implantação efetiva da UEMS só ocorreu após a publicação da Lei Estadual Nº 1.461, de 22 de dezembro de 1993, e do Parecer Nº 08, de fevereiro de Posteriormente, por meio do Parecer Nº 215-CEE/MS e da Deliberação Nº 4787-CEE/MS, ambos de 20 de agosto de 1997, foi-lhe concedido credenciamento por cinco anos, prorrogado até 2003 pela Deliberação CEE/MS Nº 6602, de 20 de junho de Em 29 de janeiro de 2004, através da Deliberação CEE/MS Nº 7.447, concedeu-se o recredenciamento por mais cinco anos, e no final de 2008 a Deliberação CEE/MS N 8955, de 16 de dezembro de 2008 e prorrogou-se o ato de Recredenciamento da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul pelo prazo de três anos, a partir de 01/01/2009 a 31/12/2011. Mais recentemente, no ano de 2012, a UEMS obteve novo recredenciamento por intermédio da Deliberação CEE/MS nº 9943, de 19 de dezembro de 2002, pelo prazo de seis anos, de 1º de janeiro de 2013 a 31 de dezembro de 2018.

59 58 Com a finalidade de atender aos dispostos constitucionais, nomeou-se, em 1993, uma Comissão de Implantação, para elaborar uma proposta de Universidade que tivesse compromisso com as necessidades regionais, particularmente com os altos índices de professores em exercício sem a devida habilitação, e com o desenvolvimento técnico, científico e social do Estado. Assim, chegou-se à concepção de uma Universidade com a vocação voltada para a interiorização de suas tarefas, para atender a uma população que, por dificuldades geográficas e sociais, dificilmente teria acesso ao ensino superior. Essa Universidade propôs-se, portanto, a reduzir as disparidades do saber e as desigualdades sociais, a constituir-se em núcleo captador e irradiador de conhecimento científico, cultural, tecnológico e político e, principalmente, a mudar o cenário da qualidade da educação básica do Estado. Com esta finalidade, a UEMS foi implantada, além da sede em Dourados, em outros 14 municípios denominados Unidades de Ensino, e em 2001, foi criada a Unidade Universitária de Campo Grande, com a finalidade de atender à demanda do Curso de graduação Normal Superior. Hoje conta com as Unidades Universitárias, assim distribuídas: Aquidauana, Amambai, Cassilândia, Coxim, Campo Grande, Glória de Dourados, Ivinhema, Jardim, Maracaju, Mundo Novo, Naviraí, Nova Andradina, Paranaíba e Ponta Porã, conforme a figura que segue:

60 59 Figura 1: Distribuição da UEMS no Estado de Mato Grosso do Sul Fonte: Para cumprir sua proposta, buscando racionalizar recursos públicos, evitar a duplicação de funções, cargos e demais estruturas administrativas e a fragmentação das ações institucionais, a UEMS adotou três estratégias diferenciadas: a rotatividade dos cursos, sendo os mesmos permanentes em sua oferta e temporários em sua localização; a criação de Unidades de Ensino, em substituição ao modelo de campus, e a estrutura centrada em Coordenação de Curso, ao invés de Departamento. Em seu início, a UEMS possuía 12 cursos, com 18 ofertas às comunidades onde estava localizada. Em 2013, considerando a Sede e as Unidades Universitárias, a UEMS teve inscritos pelo Sistema de Seleção Unificada - SISU, do Ministério da Educação. Atualmente a instituição conta com 56 ofertas de cursos, sendo 28 licenciaturas e 27 bacharelados. São alunos matriculados e mais de são egressos. Atualmente, a UEMS conta, em seu quadro de acadêmicos que ingressam na universidade, com cerca de 70% de alunos do Estado de Mato Grosso do Sul e, com

61 60 cerca de 82% de egressos de escolas públicas, oriundos de famílias que ganham até 3 salários mínimos. Essa realidade foi considerada no contexto sócio-político e econômico atual, para estabelecerem objetivos e metas para os próximos anos, levandose ainda em consideração as especificidades de cada região. O estabelecimento desses objetivos e metas buscou, também, estar coerente com as premissas e definições da Lei de Diretrizes e Bases da educação Nacional (LDB), do Ministério da Educação (MEC), com vistas ao fortalecimento da prática universitária no Brasil. A participação de todos os segmentos da Universidade se efetiva por meio dos Conselhos Comunitários Consultivos, instância que congrega membros do corpo docente, discente, técnico-administrativo e comunidade externa, configurando-se num mecanismo de fortalecimento dos cursos. Nesse sentido, as discussões referentes ao planejamento institucional da Universidade como um todo têm sido conduzidas em duas dimensões: horizontalmente, quando toda a Universidade é convocada para realizar estudos de avaliação e planejamento, no âmbito de suas Unidades, de maneira participativa e sistemática e, verticalmente, quando as instâncias da administração central lançam mão de todo o material elaborado para analisar, sintetizar, sistematizar, torná-lo o mais abrangente possível, para transformá-lo em um documento que legitime as reais aspirações da comunidade como um todo. Na sequência apresentamos as características do curso e Matemática da Unidade Universitária de Nova Andradina O Curso de Matemática, Licenciatura da UEMS O Curso de Matemática Licenciatura Plena foi implantado na Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul a partir de agosto de 1994, com preenchimento de 40 vagas. A decisão de oferta do curso foi tomada pela Comissão de Implantação da Universidade, que depois de consultadas as comunidades e, procedidos aos levantamentos das áreas carentes de profissionais habilitados na rede pública de ensino, constatou a relevância da oferta. O curso foi implantado na Unidade/UEMS de Glória de Dourados. O processo de escolha do curso para o município foi realizada por uma comissão formada por

62 61 pessoas da comunidade, representantes de entidades de classe, representantes religiosos e estudantes, que fizeram uma pesquisa junto à Comunidade e aos alunos de Ensino Médio. O início das aulas se deu em 8 de agosto de 1994 com 40 alunos aprovados no vestibular realizado em 10 de julho de Mesmo com o início das atividades em 1994, o curso só foi autorizado pela Deliberação CEE/MS nº 008/94. O currículo mínimo do curso proposto inicialmente apresentava uma estrutura conflitante em relação à realidade e necessidades dos alunos. Em reunião realizada em abril de 1995, os professores do Colegiado de Curso apresentaram mudanças na estrutura curricular, mantendo as matérias do currículo mínimo, mudando nomenclatura de disciplinas e desmembrando outras, conforme a necessidade no atendimento dos objetivos do curso. A partir de 1996, o currículo pleno do curso passou a ser operacionalizado em 34 semanas tendo a carga horária das disciplinas sofrida alterações para adaptação ao ano letivo, conforme Resolução CEPE/UEMS Nº 63 de 12/03/97. Em 1997 o Conselho de Ensino, Pesquisa e Extensão da Universidade Estadual apreciou o projeto pedagógico do curso, que foi aprovado pela Portaria PRAC/UEMS Nº 005, de 12/12/97. Em 1998 foi constituída pelo CEE/MS, uma Comissão Verificadora para avaliar o curso e fazer as recomendações necessárias para a adequação de seu currículo. Esta análise conclusiva expressa no Relatório da Comissão Verificadora recomenda alterações na estrutura de algumas disciplinas. O trabalho da análise realizado pela Comissão resultou em parecer favorável ao reconhecimento do curso e transformado em Deliberação do CEE/MS nº 5329, em 11/02/98. Em fevereiro de 2000, por Resolução CEPE/UEMS nº 157 de 23/02/2000 foi extinto o Curso de Ciências Habilitação Matemática, curso reconhecido e que eram oferecidos pela UEMS nas Unidades Universitária de Maracaju, Nova Andradina, Cassilândia e Naviraí e as vagas deste curso foram destinadas à ampliação do curso de Matemática, licenciatura. Desta forma o Curso Matemática, licenciatura passou a ser oferecido, a partir do ano letivo 2000/2001, com 170 vagas de acordo com a Resolução CEPE/UEMS Nº 158 de 23/02/2000. Os locais de oferta dos cursos foram: Amambai

63 62 (50 vagas), Cassilândia (40 vagas), Glória de Dourados (40 vagas) e Nova Andradina (40 vagas). A partir de 2003, o Curso de Matemática, licenciatura foi fixado definitivamente, em três locais: Cassilândia (40 vagas), Dourados (40 vagas) e Nova Andradina (40 vagas). As ofertas dos cursos foram aprovadas pela Resolução CEPE/UEMS n.º 287, de 27/05/02, sendo, portanto desativados os cursos das Unidades Universitárias de Amambai e Glória de Dourados. A decisão de fixação dos cursos nas localidades acima citadas foi tomada pela comissão formada por Conselheiros do Conselho de Ensino, Pesquisa e Extensão que, reunidos com professores da área de Matemática, constataram que Dourados seria um local ideal, pelos seguintes motivos: formação de grupos de estudos e de pesquisa em Educação Matemática; desenvolvimento de um trabalho integrado com as outras áreas das Ciências Exatas; e ainda pelo fato de que a maioria dos professores concursados em Matemática residia em Dourados. A unidade Universitária de Nova Andradina localizada na região sudeste de Mato Grosso do Sul, a cerca de 300 quilômetros da Capital do Estado, Campo Grande. O município foi fundado em 20 de dezembro de 1958 e instalado oficialmente no dia 30 de abril do ano seguinte, em 1959, quando se desmembrou da comarca de Rio Brilhante, pertencente até então ao município de Bataguassu.

64 63 NOVA ANDRADINA Figura 2: Mapa da localização de Nova Andradina Fonte: O autor, 2015 Na figura acima a esquerda a localização do Estado de Mato Grosso do Sul em relação ao mapa do Brasil, e ao lado em destaque as cidades que contém uma Unidade Universitária da UEMS, entre elas o município de Nova Andradina e sua localização no mapa do Estado de Mato Grosso do Sul. O município acima possui três instituições Públicas de Ensino Superior, entre elas a UEMS, que oferece os cursos de Matemática Licenciatura e Licenciatura em Computação. O Curso de Matemática, licenciatura ofertado em Nova Andradina desde o ano de 2003 foi avaliado em 2004, a comissão avaliadora ao analisar o Projeto Pedagógico do Curso de Licenciatura oferecido na Unidade Universitária, fls. 306 do processo 29/007575/2004, constatou que o mesmo apresentava significativo avanços em relação ao anterior, no entanto, sugeriu os seguintes aprimoramentos: a)nível de detalhamento igual na ementa de todas as disciplinas; b) Atualização da bibliografia, dividindo-as em Bibliografia Básica (máximo de três) e Bibliografia Complementar; c)revisão da hierarquia na estrutura curricular nas séries;

65 64 d) Separar a Prática de Ensino do Estágio Supervisionado; e)adequar à legislação o oferecimento das Atividades Complementares. Dessa forma, o Colegiado do Curso de Matemática Licenciatura Plena da Unidade Universitária de Nova Andradina decidiu, no final de 2008, rever o Projeto Pedagógico do Curso, exclusivamente para essa Unidade que entrou em vigor em Nesta reformulação a comissão levou em conta além do já exposto, os seguintes fatores: A região do Vale do Ivinhema dispõe de características diferentes de outras regiões onde o curso é ofertado; O quadro de professores encontra-se consolidado e fixo na localidade. É necessária melhoria na produtividade do curso, levando em conta as peculiaridades da região; O projeto pedagógico apresenta um número excessivo de disciplinas e uma carga horária inadequada para um curso noturno; As ementas das disciplinas, assim como as Bibliografias, necessitavam de adequação. Assim PPP implantado no ano de 2011 propõe um projeto articulador como alternativa para implementar, na Instituição, o que prevê o Parecer CNE/CP 2/2002. E evidencia a prática pedagógica em aula através de planejamento e desenvolvimento de atividades com licenciandos quanto a estudos relacionados com o ensino de Matemática, ainda apresenta disciplinas cujos conteúdos constituem blocos: as de conteúdo específico da área de Matemática; as que estabelecem a relação com a Prática da Docência; e as que estabelecem a Interface com a Educação Matemática. O curso de formação inicial em Educação Matemática de acordo com o PPP pretende romper com a dicotomia entre teoria e prática, e sua configuração pedagógica requer um repensar sobre a formação dos formadores de professores, no sentido de estarem comprometidos com o projeto pedagógico do curso. A disciplina de Matemática Elementar é do bloco de formação específica em matemática, entretanto também deve estabelecer relação com a prática da docência possuindo carga horária de PCC. O objetivo da disciplina é sistematizar conteúdos de

66 65 trigonometria, sequências numéricas, polinômios e equações polinomiais, de modo a possibilitar aprofundamento nos conhecimentos sobre a Matemática da Educação Básica e subsidiar o desempenho dos licenciandos nas demais disciplinas do curso. O Projeto do curso foi avaliado internamente a partir de 2004 pelos Colegiados de Curso levando em conta a análise da Comissão Verificadora de Recredenciamento do curso e externamente por consultoria constituída por professores de outras instituições e pelo resultado obtido no processo avaliativo proposto pelo MEC. No período 2005/2006, foi discutido no Colegiado do Curso, propostas de alterações no projeto em vigor para implantação a partir de Em 2005, houve uma pequena mudança no projeto do curso, sendo acrescentado o Trabalho de Conclusão de Curso (TCC), através da Resolução CEPE-UEMS nº 514 de 28 de abril de 2005 está se deu em função da avaliação do Curso no ano de 2004 ter sido feita por Unidade Universitária. No ano de 2008o Colegiado do Curso de Matemática Licenciatura Plena da Unidade Universitária de Nova Andradina decidiu rever o Projeto Pedagógico do Curso, exclusivamente para essa Unidade de Nova Andradina para entrar em vigor no ano de Passando a partir deste ano a ser ofertado com a seguinte identificação: CURSO: Matemática, Licenciatura - Título Conferido: Licenciado em Matemática - Turno de Funcionamento: Noturno - Número de Vagas: 40 vagas - Duração do Curso: 04 (quatro) anos. - Prazo Máximo para Integralização: 07 (sete) anos. - Local de Oferta: Unidade Universitária de Campos X. - Carga Horária - CNE/CP nº 02/2002 (2800 horas) - Carga Horária do Projeto Pedagógico/ UEMS: 3606 horas/aula convertido para 3005 horas

67 66 - Modalidade de Oferta: Seriado e Anual. O curso de Matemática, licenciatura tem por objetivo Geral: Formar profissionais para atuarem no Ensino Fundamental e Médio, com conhecimento matemático sólido e abrangente; oferecendo uma formação pedagógica que subsidie a atuação do educador no contexto sócio, histórico e político. O profissional em educação, licenciado em Matemática, deve caracterizar-se pelo domínio dos conhecimentos matemáticos, pedagógicos, e pela visão crítica da realidade, em seus aspectos sociais, econômicos, culturais e políticos, de modo especial em relação às implicações que tem entre si as Ciências, a Tecnologia, a Educação e a Sociedade. O projeto levando em conta as recomendações das comissões e da legislação legal, ao reformular o projeto do curso se preocupou em estabelecer os grupos de profissionais que irão ministrar as disciplinas do curso. Dessa forma, entenderam que os grupos de profissionais formadores deverão ser compostos pelo grupo dos Matemáticos Puros ou com Matemática Aplicada os Educadores Matemáticos e os com formação em Educação. E para as disciplinas que estabelece a interface com outras áreas do conhecimento, deverão ter formação compatível com o conteúdo que irão ministrar. Assim apresenta em sua espinha dorsal um princípio norteador que discute o nivelamento, foi pensado para este projeto pedagógico um processo de nivelamento onde os conteúdos referentes ao ensino fundamental fossem desenvolvidos nos três primeiros meses da 1ª série. Nesta espinha dorsal consta as disciplinas em blocos, um destes blocos são as que discutem a formação específica, estas disciplinas que compõe esse bloco serão ministradas exclusivamente por professores concursados na área de Matemática ou por professores com formação em Matemática, selecionados como colaboradores. Este bloco está dividido em três módulos, sendo eles formados por: Disciplinas de conteúdos da área de Matemática; Disciplinas que estabelecem a relação com a Prática da Docência; Disciplinas que estabelecem a Interface com a Educação Matemática. Outro bloco de disciplinas que identificamos no PPP do curso em questão, são as que contém disciplinas de formação Geral, estas propõem a interação com outras áreas

68 67 do conhecimento no sentido de enriquecimento curricular necessário para a formação do futuro professor de Matemática. Além disso, essas disciplinas podem aprofundar os estudos sobre as diferentes teorias do conhecimento e da aprendizagem. Esse bloco está dividido em dois módulos, sendo eles formados por: Disciplinas que estabelecem a interface com outras áreas do conhecimento e as disciplinas da área de Pedagogia. Esta espinha dorsal do PPP se completa com a caracterização no projeto do: Trabalho de Conclusão de Curso (TCC); das Atividades Complementares; da Atividade Prática como Componente Curricular (PCC); do Estágio Curricular Supervisionado; da Integração entre a Graduação e a Pós-Graduação; da Metodologia e da avaliação. E Estrutura Curricular do Curso das disciplinas de Formação Específica divididas em três módulos, abaixo na tabela 1, 2 e 3, estão às disciplinas que contemplam o bloco da formação específica. Tabela 1 Disciplinas de Conteúdos da Área de Matemática. Disciplinas CH-hora/aula Matemática Elementar 204 Cálculo Diferencial e Integral I 204 Geometria 136 Geometria Analítica 136 Cálculo Diferencial e Integral II 204 Álgebra Linear 136 Informática no Ensino de Matemática 68 Análise Matemática 136 Estruturas Algébricas 136 Probabilidade e Estatística 68 Cálculo Numérico 68 Total 1496 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS Tabela 2: Disciplinas que Estabelecem Relação com a Prática. Docente Disciplinas CH-hora/aula Estágio Curricular Supervisionado de Matemática no Ensino 238 Fundamental Estágio Curricular Supervisionado de Matemática no Ensino 272 Médio Total 510 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS Tabela 3: Disciplina que Estabelece a Interface com a Educação Matemática. Disciplinas CH-hora/aula Metodologia da Investigação em Educação Matemática 102

69 68 Laboratório de Ensino de Matemática 170 Didática da Matemática 102 História da Matemática 68 Total 442 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS módulos. Abaixo nas tabelas 4 e 5 as disciplinas de Formação Geral divididas em dois Tabela 4: Disciplinas que Estabelecem a Interface com outras Áreas do Conhecimento. Disciplinas CH-hora/aula Língua Portuguesa 68 Metodologia e Fundamentos em LIBRAS 68 Física I 136 Física II 136 Total 408 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS Tabela 5: Disciplinas de Conteúdos da Área de Fundamentos da Educação Curso. Disciplinas CH-hora/aula Psicologia da Educação 102 Legislação e Política Educacional Brasileira 68 Filosofia, Sociologia e História da 102 Educação Didática Geral 102 Total 374 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS No projeto pedagógico do curso contempla ainda o trabalho de conclusão de curso e atividades complementares. Tabela 6: Trabalho de Conclusão de Curso. Trabalho de Conclusão de Curso atividades de pesquisa 136 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS Tabela 7: Atividades Complementares Atividades Acadêmicas, Científicas e Cultuais 240 Modalidades previstas no Art. 167 da Resolução CEPE/UEMS nº 867 de 19 de novembro 2008 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS Na tabela abaixo, apresentamos um resumo do currículo pleno do Curso de Matemática, modalidade Licenciatura oferecido pela UEMS no Campus de Nova Andradina. Este currículo foi proposto para que na formação do Licenciado em

70 69 Matemática, deva ser levado em consideração que nenhum conhecimento abordado deve ser fechado em si mesmo visando contribuir para que ele seja um profissional consciente de suas limitações e estar continuamente em formação, através de reflexões sobre a prática como educador. Tabela 8: Resumo do Currículo Pleno. Disciplinas CH/ Total Formação Específica (9.1) 2448 Formação Geral (9.2) 782 Trabalho de Conclusão de Curso (9.3) 136 Atividades Complementares (9.4) 240 Total 3606 Fonte: Adaptado Projeto Pedagógico curso de Matemática UEMS O projeto em questão também propõe um perfil do profissional que atuará no Curso; este deverá apresentar características compatíveis com a proposta pedagógica do curso que é a base para a docência, ou seja, a formação do professor que ministrará a disciplina de Matemática no Ensino Fundamental e Médio da Educação Básica. Na formação do licenciado em Matemática será levado em conta o desenvolvimento de competências e habilidades de seu formador. O Curso de Matemática, Licenciatura da Unidade Universitária de Nova Andradina forma professores de matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio, de modo a atender às necessidades regionais, nacionais e as novas exigências sociais e também se preocupa em proporcionar uma formação sólida aos alunos interessados em prosseguir seus estudos em nível de pósgraduação por meio de atividades complementares, cursos de extensão universitária, iniciação científica, participação em eventos científicos e cursos de verão em outras Instituições de Ensino Superior (IES). O conteúdo de trigonometria sempre esteve presente nas ementas das disciplinas dos cursos da UEMS tanto no curso de Ciências Habilitação Matemática como no curso de Matemática modalidade Licenciatura, ofertados até a reestruturação dos Projeto Políticos Pedagógicos da UEMS em 2010; neste sentido, realizamos um levantamento históricos dos cursos que habilitam os profissionais a atuarem na Educação Básica. No histórico e diagnóstico do curso de Ciências - habilitação em Biologia e Matemática implantado em 1994 para atender a falta de professores devidamente

71 70 habilitados nas disciplinas de Matemática, Ciências e Biologia, no Estado de Mato Grosso do Sul, o percentual de professores leigos era imensurável, o Curso de Ciências surgiu com a função social de suprir as necessidades emergenciais sendo que, no decorrer dos anos letivos, verificou-se que, o mesmo apresentou uma evasão considerável em função da Carga Horária do Núcleo Comum excessivo nas disciplinas de: Matemática, para o Curso de Biologia e, Biologia para o Curso de Matemática. Apresentando em seu Currículo uma seriação com a Carga Horária muito acentuada na 1ª Série (960 h/a) e 2ª Série (915 h/a) e baixa nas demais séries, observamos na primeira série a disciplina de MATEMÁTICA I com carga Horária de 150 horas/aula, ofertado no primeiro ano, cuja ementa contempla o conteúdo de trigonometria no triângulo retângulo, mas apenas no triângulo, no ciclo trigonométrico, funções trigonométricas e transformações trigonométricas o projeto não contemplava. O objetivo da disciplina era desenvolver nos alunos o raciocínio matemático, habilitando-os às séries subsequentes, assim como no contexto de suas vidas profissionais. Salientamos que esta disciplina ofertada com o nome de Matemática I no PPP- 2003, é ofertada a partir do ano de 2010 com o nome de Matemática Elementar na reformulação do PPP no ano de Notamos no Projeto pedagógico que a formação da prática docente está inserida na disciplina de Prática de Ensino de Matemática sob a forma de Estágio Supervisionado na 4ª série do ano letivo 97/98 com 306 (trezentas e seis) horas e a partir da turma iniciada na 1ª série no ano letivo 96/97 essa disciplina foi dividida nas duas últimas séries do curso, ficando com carga horária de 102 (cento e duas) horas/aulas para a 3ª série e 204 (duzentos e quatro) horas/aulas para a 4ª série, passando a veicular com a nomenclatura de Prática de Ensino de Matemática na Ed. Básica I (Sob a forma de Estágio Supervisionado) e Prática de Ensino de Matemática na Ed. Básica II (Sob a forma de Estágio Supervisionado). Já no curso de Matemática Licenciatura implantado no ano de 2000 para substituir gradativamente o curso de Ciências habilitação em Matemática, o seu objetivo era formar profissionais para atuar no ensino de Matemática e Desenho Geométrico no Ensino Fundamental e Médio e na disciplina de Física para o Ensino Médio e ainda preparar profissionais com capacidade de observação e reflexão a fim de que possam

72 71 fazer descobertas e redescobertas no plano das Ciências Exatas com desenvoltura, tendo a atenção voltada para as inter-relações de sua prática pedagógica com o contexto político, histórico e social; para nosso estudo observamos a disciplina que aborda neste período o conteúdo de trigonometria. Neste projeto observamos as disciplinas de conhecimento básico como Fundamentos de Matemática Elementar, Elementos de Matemática I, Elementos de Matemática II. O conteúdo de trigonometria foi um dos abordados na disciplina de ELEMENTOS DE MATEMÁTICA I com carga horária de 136 horas/aula, de caráter anual e ofertado no primeiro ano do curso; para o conteúdo de Tópicos de trigonometria, a abordagem foi de definir e organizar as equações trigonométricas usando como recursos interpretação de gráficos. No ano de 2010 a UEMS Unidade Universitária de Nova Andradina, reformulou o Projeto Pedagógico cuja implantação foi a partir de 2011; o curso de Licenciatura em Matemática tem por principal objetivo formar professores para atuarem no Ensino Fundamental e Médio e preparar profissionais com capacidade de observação e reflexão de sua prática para atuarem de maneira crítica no contexto da escola. No quadro abaixo destacamos a ementa e objetivos da disciplina de acordo com o Projeto Pedagógico do Curso de Licenciatura em Matemática-PP (UEMS, p. 61, 2010). UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Pró-Reitoria de Assuntos Acadêmicos Curso de Licenciatura em Matemática Unidade Universitária de Nova Andradina NOME DA DISCIPLINA: MATEMÁTICA ELEMENTAR CARGA HORÁRIA: 204 H/A EMENTA: Lógica matemática. Trigonometria. Logaritmos. Progressões: aritmética e geométrica. Matrizes. Números complexos. Polinômios. OBJETIVOS: Servir de adaptação entre o ensino superior e médio suprindo a deficiência dos alunos nesses conteúdos. Quadro 1: Ementa e objetivo da disciplina de Matemática Elementar do Curso de Licenciatura em Matemática (UEMS-2010) O Projeto possui princípios norteadores que contemplam Disciplinas de Formação Específica e Disciplinas de Formação Geral. A disciplina de Matemática Elementar está no bloco das Disciplinas de Formação Específica. No PPP, está

73 72 subdividido em três módulos sendo o Módulo I das disciplinas de conteúdos da Área de Matemática, o módulo II das Disciplinas que estabelecem relação com a Prática Docente e o módulo III das Disciplinas que estabelecem a interface com a Educação Matemática. A disciplina de Matemática Elementar está no módulo I ofertada com um carga horária anual de 204 horas/aula; destas, 34 horas/aula contemplam a Prática como Componente Curricular e neste projeto teve sua carga horária ampliada de modo a substituir as disciplinas de Fundamentos de Matemática II e Fundamentos de Matemática III ofertadas no Projeto anterior e abrange os conteúdos de Lógica matemática; Trigonometria; Logaritmos; Progressões: aritmética e geométrica; Matrizes; Números complexos e Polinômios, consideradas de fundamental importância para o bom desempenho das demais disciplinas do curso e que possibilitarão aos licenciandos a revisão de forma aprofundada da matemática da Educação Básica servindo de adaptação entre o Ensino Superior e Médio suprindo a deficiência dos licenciandos nestes conteúdos. Ao optarmos pelo conteúdo de trigonometria explicitamos na sequência a proposta para a introdução e o desenvolvimento do mesmo no currículo A Trigonometria no Currículo da Educação Básica ao Ensino Superior A aplicação da Trigonometria nas diversas áreas das ciências exatas é um fato incontestável. Conhecer essa verdade é de fundamental importância para os alunos do Ensino Médio sendo importante que o professor desenvolva novas formas de trabalho que permitam estabelecer uma exposição do assunto da melhor maneira possível estabelecendo um vínculo necessário em relação às futuras escolhas profissionais. Atualmente, a trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da Matemática, como Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil etc. (PAIVA, 2003, p. 113) Nota-se, porém, que uma das maiores dificuldades encontradas por alunos do Ensino Médio no que se diz respeita a Trigonometria é quanto ao fato da memorização

74 73 de fórmulas. Entretanto, a não memorização levaria a perda de tempo para deduzi-las durante as provas, o que tornaria a situação impraticável. No Brasil, devido à sua dimensão, instituiu-se o Parâmetro Curricular Nacional- PCN, Brasil (1988) que orienta as diretrizes curriculares para a Educação Básica nos Estados e Municípios, e possui seus eixos estruturadores para o Ensino Médio, PCNEM Brasil (2000), as mudanças associadas à LBB e PCN+ (2002) explicita a importância de articulação de conteúdos internamente e externamente e surge conceitos e noções a serem desenvolvidos no Ensino Médio. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio OCEM (BRASIL, 2006) completa o PCN+, dando exemplos para auxiliar professores e educadores no desenvolvimento da proposta. O primeiro tema ou eixo estruturador é a Álgebra; que na vivência cotidiana se apresenta com enorme importância enquanto linguagem, como na variedade de gráficos presentes diariamente nos noticiários e jornais e também enquanto instrumento de cálculos de natureza financeira e prática, em geral. No Ensino Médio, esse tema trata de números e variáveis em conjuntos infinitos e quase sempre contínuos no sentido de serem completos. Os objetos de estudo são os campos numéricos dos números reais e, eventualmente, os números complexos e as funções e equações de variáveis ou incógnitas reais. Para o desenvolvimento deste eixo são propostas duas unidades temáticas: Variação de grandezas e Trigonometria. Apesar de sua importância, tradicionalmente a trigonometria é apresentada desconectada das aplicações, investindo-se muito tempo no cálculo algébrico das identidades e equações em detrimento dos aspectos importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. O que deve ser assegurado segundo o PCNEM, Brasil (2000) são as aplicações da trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Desta forma o estudo deve se ater às funções seno, cosseno e tangente com ênfase ao seu estudo na primeira volta do círculo trigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas. No que tange o ensino de trigonometria no triângulo retângulo, o PCN+, Brasil (2002) destaca que o aluno deve ser capaz de utilizar e interpretar modelos para

75 74 resolução de situações-problema que envolve medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos; de compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais. No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um trabalho com a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das funções seno, cosseno e tangente priorizando as relações métricas no triângulo retângulo e as leis do seno e do cosseno como ferramentas essenciais a serem adquiridas pelos alunos no Ensino Médio. Na introdução das razões trigonométricas seno e cosseno, inicialmente para ângulos com medida entre 0 0 e 90 0, deve-se ressaltar que são as propriedades de semelhança de triângulos que dão sentido a essas noções; segue-se, então, com a definição das razões para ângulos de medida entre 90 0 e A partir das definições e de propriedades básicas de triângulos devem ser justificados os valores de seno e cosseno relativos aos ângulos de medida 30, 45 e 60. A apresentação das leis dos senos e dos cossenos pode ser motivada com questões relativas à determinação das medidas de elementos de um triângulo. Por exemplo: conhecendo-se a medida de dois lados de um triângulo e a medida do ângulo formado por esses lados, sabe-se que esse triângulo é único e, portanto, é possível calcular a medida dos demais elementos do triângulo. Também é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela sua importância na resolução de diversos tipos de problemas. É preciso atenção à transição do seno e do cosseno no triângulo retângulo (em que a medida do ângulo é dada em graus), para o seno e o cosseno, definidos como as coordenadas de um ponto que percorre um arco do círculo de raio unitário com medida em radianos. As funções trigonométricas devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas então definidas para ângulos com medida entre 0º e 180º. Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve f (x) = seno (x), usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em radianos. As funções trigonométricas seno e cosseno também devem ser associadas aos fenômenos que

76 75 apresentam comportamento periódico. O estudo das demais função trigonométrica pode e deve ser colocada em segundo plano. Entretanto paira nas pesquisas de Educação Matemática algumas preocupações tais como: Que enfoque e com que profundidade devem ser abordadas as disciplinas de Matemática do Ensino Médio nos cursos superiores de licenciatura? - Que abordagem especial deve ser adotada nas disciplinas do ciclo básico para os cursos de Licenciatura em Matemática? - De que maneira as dificuldades existentes na educação básica estão interferindo nos cursos ministrados na Universidade? Para Bass (1998), a transição matemática Ensino Médio-superior na área técnico-científica é uma das quatro áreas da educação matemática mais criticamente carentes de pesquisa sistemática. Harel et al (2006) confirma essa carência ao dizer que tal transição não tem sido suficientemente examinada. Professores universitários não compreendem as questões envolvidas nesta transição do ponto de vista dos professores secundários, nem vice versa. Há necessidade urgente de uma melhor comunicação entre os dois setores educacionais. (HONG et al. 2009; CLARK e LOVRIC, 2008). O professor que trabalha na área de Matemática com alunos recém-ingressos no Ensino Superior não tem, em geral, uma percepção clara das aprendizagens anteriores dos alunos e tendem a supervalorizá-las ou subvalorizá-las. Além disso, se detém pouco a analisar a qualidade do conhecimento que o seu aluno está construindo. O professor universitário das disciplinas iniciais de matemática precisa reconstruir uma série de conceitos e de procedimentos cuja construção começou nos Ensinos Fundamental e Médio: por exemplo, os conceitos de número e de função, objetos básicos de trabalho em cursos de Cálculo. Este professor se pergunta: Com que formas de raciocínio, conceitos e processos matemáticos os meus alunos têm familiaridade? Que posso fazer para criar uma ponte entre o conhecimento já construído por eles e aquele que eu pretendo que construam? Na Universidade, a trigonometria não é usada apenas para estudar triângulos e circunferências ou como instrumento potente de cálculo, sua aplicação se estende servindo de ferramenta para resolução de questões quantitativas e lógicas. É utilizada

77 76 em várias situações práticas e teóricas; envolvendo não somente problemas internos desta matéria, mas também de outras disciplinas cientificas e tecnológicas que envolvem fenômenos periódicos como eletricidade, termodinâmica, óptica, eletrocardiogramas, entre outros. Diante disso, a necessidade de uma melhor compreensão do assunto trigonometria através do seu ensino, sua importância, suas aplicações. A trigonometria discutida e ensinada no Ensino Médio vai apresentar uma prova e demonstração mais detalhada somente no capítulo que se refere às relações trigonométricas e identidades trigonométricas, a demonstração da relação fundamental da trigonometria e essa prova é feita de forma direta, sem muito rigor matemático. Neste tema os autores de livros didáticos para demonstrar partem de um membro da identidade trigonométrica (geralmente o mais complicado) e chegam ao outro membro, ou vai transformar o 1º membro da identidade, f(x), em uma função h(x) e, separadamente, transformar o 2º membro da identidade, g(x), também em uma função h(x), levando em consideração a propriedade trigonométrica. Para Triângulo Quaisquer as demonstrações das Leis dos Senos e Cossenos são feitas por construção, geralmente os autores apresentam a prova por construção de que em um triângulo qualquer, a área é igual ao semi-produto das medidas de dois lados pelo seno do ângulo formado por esses lados. Contudo, estas abordagens no Ensino Superior são feitas de uma maneira mais aprofundada dos conteúdos, identificando as contribuições e sua aplicação na ciência, sem perder de vista a sua habilidade como educador. A transição precisa ser estudada de forma a nos permitir compreender que saberes precisamos ser desenvolvidos no Ensino Médio e como utilizá-los no Ensino Superior. Contudo, no decorrer dos estudos pode-se constatar a aplicação de conceitos e fórmulas em assuntos essenciais como, por exemplo, ao demonstrarmos o limite trigonométrico fundamental também usamos este limite e algumas relações trigonométricas para o estudo e cálculo de outros limites. Outra importante aplicação da trigonometria é no estudo da derivada na obtenção de derivadas trigonométricas e sua integral na obtenção de fórmulas de recorrência, nas integrais por substituição. Entre outros tópicos de conteúdos estudados

78 77 no ensino superior é fundamental compreender e conhecer bem a trigonometria, sendo a trigonometria um importante conteúdo para o estudo do cálculo diferencial e integral. Estudávamos trigonometria por muitos anos durante a nossa vida escolar sem saber como, quando e porque utilizar; deixávamos de lado como algo qualquer, coisa insignificante, passageira, não sabíamos o valor, a importância para o nosso dia a dia; pensávamos que era apenas equações, talvez por não tiver um conhecimento sobre a trigonometria. Quando olhados por esse ponto de vista, os estudos trigonométricos se tornam superimportantes, sendo indispensáveis na vida cotidiana e escolar de qualquer pessoa. A trigonometria nos acompanha desde a antiguidade e está presente em várias situações, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da mesma se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.c. com os egípcios e babilônios. Na construção de um prédio utilizamos inúmeros cálculos, estes considerados primordiais para o sucesso da edificação. A quantidade de tijolos, a espessura das vigas de concreto e das barras de ferro, a proporção exata de areia, água e cimento, a profundidade das valetas entre outras situações. Muitos destes cálculos estão associados a trigonometria um importante instrumento associado as tecnologias.

79 78 CAPÍTULO 2 REFERENCIAL TEÓRICO "A alma é uma borboleta... há um instante em que uma voz nos diz que chegou o momento de uma grande metamorfose.... Rubem Alves O marco teórico desta investigação se constituiu em dois ramos: no primeiro utilizamos como modelo teórico o Conhecimento Matemático para o Ensino (Mathematical Knowledge for Teaching), no tocante à formação, vem dos estudos de Shulman (1987) sobre o conhecimento profissional docente e, mais especificamente de Ball, Lewis e Thames (2008) sobre os conhecimentos para o ensino de matemática e na relação metodológica da proposta formativa e as concepções de ensino que o docente possui e enuncia sobre os processos de aprendizagem dos alunos. No segundo momento utilizamos a caracterização do mecanismo cognitivo que centra na relação atividade-efeito em uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem - THA (hypothetical learning trajectory-hlt), Simon, Tzur, Heinz, Kinzel (2004b), parte da ideia de abstração Reflexiva de Piaget (1977). Assim podemos explicar a relação entre a aprendizagem conceitual e tarefas matemáticas, e com esta elaboração da THA, a seleção de tarefas não é deixada à intuição ou tentativa e erro. Em vez disso, o mecanismo oferece uma estrutura para pensar sobre como a tarefa matemática pode promover o processo de aprendizagem. 2.1MARCO CONCEITUAL Em nossa investigação, centramos na análise das características da PCC e esta se centra na análise da prática do professor e no aprendizado de um conceito matemático por parte do licenciando. Quando um professor desempenha suas atividades em aula, com seus licenciandos, o mesmo tem um objetivo construir um conhecimento matemático. Nosso estudo pretende compreender o processo de integralização da PCC, que favoreça a construção do conhecimento matemático por parte do licenciando e

80 79 evidencia a PCC em um curso de licenciatura que, potencialmente, possa se realizar com licenciandos do curso de licenciatura em matemática. Algumas características derivadas da concepção epistemológica dominante na área dificultaram a aplicação dos conhecimentos no ensino da Matemática. Entre elas podemos citar: pesquisas realizadas em situações artificiais geralmente em situação de laboratório, emprego de tarefas distantes do contexto real, busca de uma fundamentação teórica generalizadora, o negligenciamento do contexto de trabalho do profissional e a fragmentação do conhecimento. Estas características em conjunto ou isoladamente vem impedindo que os conhecimentos produzidos nas diferentes subdisciplinas sejam organizados de tal maneira a auxiliar a prática do profissional em matemática tal como propõe Perez Gomez (1992, p.103): Conhecimento teórico, científico ou técnico, só pode ser considerado instrumento dos processos de reflexão se for integrado significativamente não emparcelas isoladas da memória semântica, mas, em esquemas de pensamento mais genéricos ativados pelo indivíduo quando interpreta a realidade concreta em que vive e quando organiza a sua própria experiência. Para bordar os fundamentos teóricos-metodológicos na formação inicial de professores, realizamos um esforço de contextualização e conceituação do próprio termo formação. E buscando pontuar uma referência para esta delimitação conceitual, tomamos como ponto de partida a aquisição de saberes, de saber fazer, e de saber ser associando ao exercício de tarefas matemáticas (LLINARES, 2000). profissionais: Perez Gomez (1992, p.102), que entende a construção da epistemologia dos Sob pressão de múltiplas e simultâneas solicitações da vida escolar, o professor ativa os seus recursos intelectuais, no mais amplo sentido da palavra (conceitos, teorias, crenças, dados, procedimentos, técnicas), para elaborar um diagnóstico rápido da situação, desenhar estratégias de intervenção e prever o curso futuro dos acontecimentos. Ainda que possam ser explicitados e conscientizados mediante um exercício de meta-análise, a maioria dos recursos intelectuais que se ativam na ação são de caráter tácito e implícito. Assim, para compreender as características da PCC na formação inicial de professores a didática 5 assume um lugar de trabalho na concepção da teoria como 5 Arte de transmitir conhecimentos; técnica de ensinar. Parte da pedagogia que trata dos preceitos científicos que orientam a atividade educativa de modo a torná-la mais eficiente.

81 80 expressão de uma determinada prática e não de qualquer prática, no desenvolvimento da proposta formativa, no sentido de auxiliar a compreensão da PCC na proposta formativa. Contudo, a didática tende a priorizar aspectos específicos do fazer pedagógico em detrimento da sua dimensão de totalidade. Indica uma ênfase na aprendizagem: aprender a aprender, centralizada no licenciando como sujeito intelectualmente ativo, criativo, produtivo, capaz de dominar os processos de aprender. Assim nesta pesquisa consideramos como um processo didático pautado numa concepção de conhecimento que tem a prática como elemento básico, fazendo a mediação entre a realidade e o pensamento. Nessa concepção, a teoria não é entendida como verdade que vai guiar a ação prática, mas como expressão de uma relação, de uma ação sobre a realidade que pode indicar caminhos para novas práticas; nunca a guiar. Desse princípio básico, delineia-se um modelo aberto de didática que vai além de compreender o processo de ensino em suas múltiplas determinações para intervir nele e reorientá-lo na direção política pretendida (MARTINS, 2008, p. 176). A didática vai expressar a ação prática dos professores sendo uma forma de abrir caminhos possíveis para novas ações. Para guiar nossa investigação pretendemos descrever as características e investigar na formação o conhecimento profissional docente, na noção da prática do professor formador e a construção do conhecimento matemático por parte do licenciando. O estudo na perspectiva de uma prática integrada ao componente curricular, em relação à prática do professor, dentre as perspectivas teóricas estudadas, podemos agrupar em perspectivas cognitivas e perspectivas antropológicas entendidas de uma maneira mais ampla. Entre os que adotam uma perspectiva cognitiva temos os estudos de Shulman (1986) relativos ao conhecimento pedagógico do conteúdo; Schoenfeld (1998) propõe uma Teoria do professor em contexto sobre a conduta do professor em aula; e Ball et al

82 81 (2008) acerca do conhecimento matemático para o ensino (Mathematical Knowledge for Teaching MKT). Em relação as que adotam uma perspectiva antropológica, Chevallard (1999) propõe a Théorie Anthropologique du Didactique que situa a atividade matemática e portanto, na atividade de estudo da matemática em um conjunto de atividades humanas e de instituições sociais. Nosso marco conceitual, quanto ao aspecto cognitivo baseia-se fundamentalmente nas cognições objetivos e conhecimentos do professor e, no nosso caso, naquelas que são evidenciadas em pleno decurso da proposta de formação com um olhar para a prática letiva, pois consideramos mais profícuas as investigações baseadas na prática e a partir da prática. Muitas das ações do formador requerem da sua parte um conhecimento matemático específico pois, se assim não fosse, qualquer pessoa poderia ensinar, mas o processo de ensino é bem mais amplo do que apenas explicar como se faz e corrigir os erros que possam ocorrer. Utilizando os resultados obtidos por investigadores na identificação de diferentes estados de ensino e na identificação e caracterização, pode ser útil na caracterização da PCC nos cursos de formação inicial de licenciatura em matemática. Assim com um enfoque proposto por Simon (1995) e Simon e Tzur (1999), a Teoria sobre a perspectiva e o desenvolvimento profissional, propõe um modelo de análise da prática do professor que permite, com posterioridade, incorporar resultados aos programas de formação de professores. Com base neste modelo fundamentado no construtivismo, uma teoria que ocupa lugar destacado nas investigações sobre o aprendizado da matemática e podendo ser a base dos modelos de ensino, discutimos a construção do conhecimento matemático na proposta formativa no ensino de trigonometria. Neste sentido discutimos a seguir a necessidade acerca dos conhecimentos matemáticos para o ensino. 2.2CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE Pesquisas apontam a necessidade acerca dos conhecimentos matemáticos, que os professores necessitam ampliar sua proficiência em relação à prática Matemática e, ainda, que existem inúmeras questões a serem estudadas e outras a serem esclarecidas.

83 82 Resultados como os de Ball, Thames & Phelps (2008); Artigue et al. (2001); Stephens & Ribeiro (2012); Ribeiro (2012), Jiménez, Llinares e Sanches (1996), Shulman (2008), entre outros, mostram as necessidade de se pensar acerca dos conhecimentos matemáticos que os professores necessitam para desempenhar de maneira eficiente, o seu papel de ensinar matemática aos nossos alunos. Llinares (2000) enfatiza que os diferentes modos de representação dada por parte do professor estão em função de criar as condições para que o aluno possa generalizar determinados mecanismos de construção do conhecimento e transformar esta representação em outra. Segundo o autor a classe de matemática é vista como uma unidade de prática, grupo que comporta formas de fazer e comunicar-se, permitindo definir para os estudantes, oportunidades de aprendizagem do conteúdo matemático específico. Os pesquisadores Lessh, Post e Behr, (1987) propõe investigações relativas em como os estudantes generalizam o significado dos conceitos manipulando uma representação dada e translada-lo de uma representação para outra. Tal situação põe questões de investigações relativas a como os estudantes generalizam o significado dos conceitos dos conteúdos. As representações, ainda segundo Llinares (2000), possuem um enfoque sociocultural e considera a atividade do Professor como uma forma de introduzir os estudantes em uma comunidade de prática com uma perspectiva centrada em modelizar a maneira em que o professor cria em suas aulas situações, de forma que favoreçam a modelação das participações dos estudantes no desenvolvimento da atividade matemática. Nesta perspectiva, destacam-se como pontos primordiais que refletirão na aula de Matemática a análise dos princípios e critérios para a seleção (o que ensinar) e a organização didática (como ensinar) além dos conteúdos matemáticos para que ocorra a aprendizagem. Assim, para dar sentido à formação e à Práxis dos professores, os projetos pedagógicos dos cursos de licenciatura necessitam favorecer o desenvolvimento das competências necessárias para a intervenção em suas áreas, conforme Shulman (1987).

84 83 Shulman (1987), um dos pioneiros nas pesquisas sobre conhecimento profissional docente ou conhecimento de base para o ensino, juntamente com sua equipe, lidera o movimento pela profissionalização da docência, o programa de pesquisas desenvolvido por ele, Desenvolvimento do Conhecimento no Ensino (Knowledge growth in Teaching), durante a década de 1980 nos Estados Unidos influenciou as pesquisas sobre a formação de professores, o ensino e as políticas públicas que orientam; nas décadas posteriores, as reformas dos programas e dos currículos de formação de professores em diversas partes do mundo. Nos seus estudos, Shulman (1986, 1987) acompanhou o desenvolvimento de professores de variadas disciplinas para o ensino secundário norte-americano. Tal acompanhamento se deu desde uma parte final da formação inicial dos professores até o primeiro ano de atuação deles. No artigo de 1986, Shulman apresenta três categorias de conhecimentos como fundamentais e necessárias para que um professor pudesse exercer sua profissão: a categoria de conhecimento do conteúdo, a de conhecimento pedagógico do conteúdo e a categoria de conhecimento do currículo. Tais categorias são abordadas um pouco mais à frente. Shulman (1987) concluiu que deveria existir uma base de conhecimentos necessários para lecionar disciplinas do ensino secundário e que, nesta base sete categorias de conhecimentos precisariam, no mínimo, estarem presentes. Conhecimento do conteúdo; Conhecimento pedagógico geral, com especial referência aos princípios e estratégias de gerenciamento e organização de sala de aula; Conhecimento do currículo, com compreensão especial dos materiais e programas que servem como "ferramentas de trabalho" para professores; Conhecimento pedagógico do conteúdo, o amálgama especial do conteúdo e da pedagogia e que está exclusivamente relacionada à área dos professores a sua própria forma especial de compreensão profissional; Conhecimento de estudantes e as suas características; Conhecimento de contextos educacionais, que vão desde o funcionamento da instituição ou da sala de aula, a governança e o financiamento dos distritos escolares, para o caráter das comunidades e culturas;

85 84 Conhecimento dos fins educacionais, propósitos e valores, e suas bases filosóficas e históricas (SHULMAN, 1987, p. 8, tradução nossa) 6. Assim, Shulman (1987) desenvolveu tipologias ao estabelecer as sete categorias de conhecimento de base para o ensino contemplando o conhecimento do conteúdo, o conhecimento pedagógico do conteúdo (que são os princípios ou estratégias de gestão e organização de classe úteis para ensinar o conteúdo), o conhecimento curricular (referente ao conhecimento do professor para selecionar e organizar os programas, bem como os meios que dispõe para isso), o conhecimento pedagógico do conteúdo (que é uma amálgama ou combinação especial entre conteúdo e pedagogia, típico do professor), o conhecimento dos alunos e de suas características, o conhecimento dos contextos educacionais (ambiente de trabalho, região e características culturais da comunidade) e o conhecimento dos fins educacionais (valores sociais, propósitos e bases filosóficas e históricas). Em continuidade aos seus estudos, ao apresentar a noção de conhecimento pedagógico do conteúdo, Shulman (1986) discute a ligação entre o conhecimento do conteúdo e a prática de ensino. Segundo os autores, a introdução do termo conhecimento pedagógico do conteúdo (SHULMAN, 1986) sugere a necessidade de um conhecimento do conteúdo que é exclusivo para o ensino. Entretanto Ball, Thames e Phelps (2008), contestam que, embora o termo conhecimento pedagógico do conteúdo esteja amplamente divulgado, seu potencial tem sido pouco explorado, pois muitos assumem que sua natureza e seu conteúdo são óbvios. Assim, o que se quer dizer por conhecimento pedagógico do conteúdo ainda é pouco especificado, sem uma definição e sem fundamentos empíricos, o que acaba por limitar a sua utilidade. 6 Content knowledge; General pedagogical knowledge, with special reference to those broad principles and strategies of classroom management and organization that appear to transcend subject matter; Curriculum knowledge, with particular grasp of the materials and programs that serve as tools of the trade for teachers; Pedagogical content knowledge, that special amalgam of content and pedagogy that is uniquely the province of teachers, their own special form of professional understanding; Knowledge of learners and their characteristics; Knowledge of educational contexts, ranging from workings of the group or classroom, the governance and financing of school districts, to the character of communities and cultures; Knowledge of educational ends, purposes, and values, and their philosophical and historical grounds.

86 85 Os autores alertaram que o termo conhecimento pedagógico do conteúdo vinha sendo utilizado, nos mais de vinte anos após os estudos daquele autor, de forma ampla. Abrangia vários aspectos diversificados, nas mais diferentes disciplinas ou áreas, ou até mesmo de forma genérica, como se todas as disciplinas ou áreas tivessem exatamente as mesmas necessidades, assim optaram por explorar o trabalho de Shulman, sistematizando diversos resultados de pesquisas, já obtidos anteriormente pelo grupo liderado por Deborah Ball, na Universidade de Michigan. Nesse estudo, os autores desenvolvem fundamentados na elaboração teórica de Shulman (1986) a noção de Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) Conhecimento Matemático para o Ensino. Na intenção de aprofundar e de ampliar o trabalho de Shulman (1986), Ball, Thames e Phelps (2008) apresentam dois projetos que focam o ensino de matemática e a matemática usada para o ensino. Os autores declaram que os dois estudos acima citados contribuíram para a construção de novas hipóteses a respeito de refinamentos para o popular conceito de conhecimento pedagógico do conteúdo e a ampliar o conceito de conhecimento do conteúdo para o ensino e em seus estudos passam a focar a teorização da noção de conhecimento matemático para o ensino e as habilidades necessárias para os professores ensinarem. Com esse propósito, acabam por identificar e definir dois subdomínios do conhecimento pedagógico do conteúdo. Além disso, eles se surpreenderam, quando começam a descobrir e a articular um domínio pouco reconhecido do conhecimento do conteúdo para o ensino que não está contido no conhecimento pedagógico do conteúdo, mas, segundo eles, é essencial para um ensino eficiente o conhecimento especializado do conteúdo. Ball et al (2008) refinam a os estudos de Shulman (1986) e propõem uma outra divisão do conhecimento profissional docente relacionado com o conteúdo a ensinar (considerando também como fundamentais os três referidos anteriormente) introduzindo a noção de mathematical knowledge for teaching (MKT). Aglutinam o conhecimento curricular com o conhecimento didático do conteúdo obtendo, assim, apenas duas

87 86 grandes áreas que se encontram, por sua vez, cada uma delas subdivididas em três subdomínios. Assim, Ball, Thames e Phelps (2008) contribuíram para identificar nas disciplinas Matemáticas dos cursos de formação inicial o que os futuros professores precisariam estudar, a fim de que tais disciplinas pudessem contribuir na sua formação profissional, além da formação acadêmica. Ou seja, poderiam contribuir para a identificação dos conteúdos relacionados, por exemplo, ao Cálculo Diferencial e Integral e como deveriam estudá-los, a fim de que tais conteúdos pudessem contribuir para o desenvolvimento profissional do professor da educação básica, além da formação Matemática. Com isso, Ball, Thames e Phelps (2008) conjeturam que o conhecimento do conteúdo (SHULMAN, 1986) poderia ser subdividido em CCK 7 (conhecimento comum do conteúdo) e SCK 8 (conhecimento especializado do conteúdo); (2) o conhecimento pedagógico do conteúdo (SHULMAN, 1986), poderia ser subdividido em KCS 9 (conhecimento do conteúdo e de estudantes) e KCT 10 (conhecimento do conteúdo e de ensino). Ball et al (2008), resumem que: reconhecer uma resposta errada é um conhecimento comum do conteúdo (CCK); dimensionar rapidamente a natureza de um erro, especialmente aqueles que não são familiares, é um conhecimento especializado do conteúdo (SCK); ter familiaridade com os erros comuns e saber por que diversos alunos os cometem é um conhecimento de conteúdo e de estudantes (KCS); selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos de um conteúdo é um -+.- (KCT). Ball, Thames e Phelps (2008) chamam a atenção para a alocação provisória da terceira categoria de Shulman (1986), conhecimento curricular, dentro do conhecimento pedagógico do conteúdo. O esquema abaixo ilustra a constituição original proposta por eles: 7 Common Content Knowledge; 8 Specialized Content Knowledge; 9 Knowledge of Content and Students; 10 Knowledge of Content and Teaching.

88 87 Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) Figura 3: Domínios do conhecimento matemático para o ensino Fonte: Ball et al, 2008 p. 403 Isso, na concepção dos autores, levaria ao estabelecimento das prioridades do que deveria ser estudado nos cursos de formação inicial e aumentaria a probabilidade dos futuros professores utilizarem o que aprenderam, quando estivessem ensinando. Nas subdivisões, Ball et al (2008) encontraram o conhecimento do conteúdo e do ensino KCT que é considerado o conhecimento que o professor utiliza para selecionar a abordagem de ensino de modo a superar certas dificuldades de aprendizagem dos alunos ou a explorar aspectos específicos do conteúdo, ou seja, é o conhecimento que o professor utiliza para decidir a sequência de tarefas/atividades que será proposta aos alunos. E ao reconhecer rapidamente a natureza de um erro, especialmente aqueles que não são familiares, refere-se a um conhecimento especializado do conteúdo SCK. Enquanto isso, o KCS refere-se à familiaridade do professor em relação aos erros comuns que os alunos cometem e saber por que os alunos os cometem. Este conhecimento está relacionado à necessidade de antecipar as dificuldades/facilidades que os alunos podem ter e quais as motivações para isso, ou seja, um conhecimento ligado às situações em que ocorram interações entre a compreensão matemática e o conhecimento do pensamento matemático dos alunos. Por último, o KCC aponta que os

89 88 professores necessitam ter uma visão completa da diversidade de programas concebidos para o ensino de temas e os tópicos em determinado nível/ano de escolaridade, bem como a variedade de materiais didáticos disponíveis coincidindo integralmente com o que é apontado em Shulman (1986). Assim, em síntese, o conhecimento pedagógico do conteúdo é um tipo de conhecimento do professor que faz a interligação entre um conhecimento formal sobre o ensino, elaborado e validado a partir de pesquisas universitárias convencionais, e um conhecimento de natureza prática, desenvolvido pelo professor através da experiência do trabalho docente. Neste sentido, optamos dentre muitos marcos teóricos relativos ao conhecimento profissional dos professores, pelo MKT (BALL et al 2008) pois, como foi referido anteriormente, nosso objetivo corresponde e identificar conhecimento a que os professores recorrem (revelam) em cada momento concreto. Esta opção deveu-se à clareza da classificação que não apresenta demasiadas dimensões, não conduzindo a um excesso de detalhe que poderia ser, no âmbito do nosso estudo, menos significativo. Justifica-se também pela compreensão que impede que se verifiquem perdas de informação eventualmente relevante e ao fato de pretendermos também chamar a atenção para a necessidade de se discutir com maior intensidade e profundidade que matemática os professores necessitam saber, isto é, o conhecimento do currículo com o conhecimento didático do conteúdo para que possa, no decurso das suas funções, formar futuros cidadãos críticos, reflexivos e matematicamente competentes. Para esta compreensão descrevemos a seguir o mecanismo de reflexão atividadeefeito ao qual utilizaremos para compreender o processo de integração da PCC por meio de tarefas matemática em uma trajetória hipotética de aprendizagem. 2.3MECANISMO DE REFLEXÃO SOBRE A RELAÇÃO ATIVIDADE- EFEITO O Mecanismo de reflexão sobre a relação atividade-efeito foi elaborado por Simon et al (2004) a partir da ideia de abstração Reflexiva de Piaget (1977) que caracteriza três tipos de abstração: a empírica, a pseudo-empírica e a reflexiva. A abstração reflexiva se apoia nas outras duas, em função de surgir quando se abstraem

90 89 propriedades comuns de vários objetos e realizam ações sobre eles mediante a interiorização e coordenação das ações assim como a criação de novos objetos (DUBINSKY, 1991). Este ação descreve a construção de um novo conceito, pois tenta operacionalizar os estágios de desenvolvimento e sua reconstrução a qual se referencia em Piaget (1971) para explicar o processo de abstração. Assim Simon et al (2004) articularam um mecanismo para o desenvolvimento do conceito Matemático baseado fundamentalmente no aspecto do construtivismo. Simon & Tzur (2004) explica que neste mecanismo, ao realizar tarefas em determinadas atividades, os sistemas mentais do aluno permitem a monitoração contínua, incluindo a distinção dos efeitos da atividade; o sistema armazena os registros mentais de cada execução da atividade relacionada com o efeito de que a execução necessita. Por sua vez o aluno reflete (não necessariamente envolve o pensamento consciente) sobre estes registros e experiência e identifica os padrões de relação entre a atividade e seus efeitos. Explicam os autores ainda, que enquanto os alunos concentram em suas atividades em relação à sua meta, criam registros mentais, a atividade de experiencia é registrada e desenvolve uma interação da atividade ligada ao seu efeito. Quando os alunos classificam e comparam são levados a identificação de padrões, isto é, as relações entre a actividade e os efeitos. Essa abstração reflexiva que é nova (para o aluno) e a relação atividade-efeito é o mecanismo pelo qual um novo conceito é construído. Implícito nesta elaboração de abstração reflexiva é que cada um dos componentes, criando registros de experiência, classificação e comparação de registros e identificação de padrões nesses registros, é uma capacidade mental inata esta é a tendência (VON GLASERSFELD, 1995, apud SIMON et al, 2004b, p. 94). Estes mecanismos baseiam-se na descrição de Piaget (1971, 1980, 2001), sobre dois aspectos: o da reflexão e da abstração. O primeiro aspecto é uma projeção, onde as ações em um nível tornam-se objetos (entrada) de ações na próxima. O segundo aspecto é um reflexo, onde uma reorganização entre ações ocorre. O autor faz uma distinção

91 90 entre os dois tipos de reflexão realizados pelos licenciandos em seus registros da experiência (as interações de atividades e efeitos associados). No primeiro tipo, os licenciandos classificam os registros em termos de efeitos associados distinguindo os registros que indicam o progresso em direção a sua meta, assim, este primeiro tipo serve para focar a atenção do licenciando sobre as características de conjuntos específicos de registros. No segundo tipo, os licenciandos refletirão dentro dos conjuntos de registros na relação entre a atividade e os efeitos. Esta coordenação resulta em uma antecipação do aprendizado de uma nova atividade-efeito relacionamento. O acúmulo de registros de experiência e os tipos de reflexão são assumidos como inatos (VON GLASERSFELD, 1995) e muitas vezes não conscientes. Como forma de entender estas fases no processo de abstração que proporciona o mecanismo cognitivo da reflexão sobre a atividade-efeito, Simon et al (2004) tem identificado as fases de elaboração de um novo conceito - a participação no processo onde o aluno abstrai uma regularidade na ralação entre a atividade realizada e o efeito produzido, enquanto antecipadamente se refere ao uso da regularidade abstraída em situações distintas a que levou a cabo da abstração. Neste processo, segundo Simon & Tzur (2004), a compreensão dos estudantes evoluem nos dois estágios acima citados, sendo que a compreensão de uma nova concepção matemática fica evidenciada nestas duas fases, a fase participativa onde o aluno desenvolve diferentes atividades guiadas por um objetivo; nesta, ele é capaz de antecipar os efeitos de uma atividade e generalizar os resultados da atividade na reflexão inicial sobre a atividade e o efeito produzido; permite a generalização das ideias pertinente a resolução da tarefa proposta inicialmente. Na fase antecipatória, o aluno, na nova tarefa cuja resolução envolve o uso por estudantes de um novo conceito matemático e isso deve-se considerar o uso de conceito matemático relevante para a resolução desta tarefa, o estudante pode fazer o uso de um conceito de maneira adequada independente do contexto da tarefa. Entretanto, este mecanismo sugere um componente crítico de uma nova concepção (antecipação): é uma abstração relacionamento entre uma atividade e seus

92 91 efeitos. Assim, uma atividade gera e é um componente de uma concepção, e não apenas um catalisador ou um fator de motivação para o processo; este processo cognitivo repetido em situações diferentes leva à possibilidade de consolidação de concepções matemáticas (ROIG, LLINARES & PENALVA, 2012). Simon et al (2004) com base em Glasersfeld (1900; 1995) especifica o componente de uma concepção matemática ajudando a explicar a distinção entre os estágios. Os dois estágios de abstração de uma nova concepção de Matemática. No (primeiro) fase participativa, o aluno aprendeu a antecipar os efeitos de uma atividade e também pode ser capaz de explicar por que os efeitos derivados da atividade. No entanto, este conhecimento está disponível apenas para o aluno no contexto da atividade por meio da qual foi desenvolvido. "No contexto da atividade significa que o aluno está envolvida na atividade ou é de alguma forma (por exemplo, o acaso, a interação social) solicitado para usar ou pensar sobre a atividade. emcontraste, na segunda fase a antecipatória, o uso por parte do aluno o novo relacionamento atividade-efeito, já não se limita a esses momentos em que o aluno está focado na atividade por meio da qual foi desenvolvido em uma trajetória hipotética de aprendizagem Trajetória Hipotética de Aprendizagem - THA Simon & Tzur (2004) estabeleceram uma maneira de explicitar as relações entre as características de trajetórias hipotéticas de aprendizagem e as características de sequências de ensino (identificar objetivos da aprendizagem, definir sequências de tarefas e construir uma evolução detalhada das compreenções matemáticas dos estudantes). Desta hipótese os autores consideraram tarefas entendendo-as como um processo de construção de um novo conceito, na perspectiva da reflexão sobre a atividade-efeito, elaborado em uma ideia de trajetória hipotética de aprendizagem O desenvolvimento da construção da trajetória hipotética de aprendizagem (THA) oferece uma descrição de aspectos-chave do planejamento de aulas de matemática. Um THA consiste no objetivo para aprendizagem, as tarefas matemáticas que serão utilizadas para promover a aprendizagem dos alunos e hipóteses sobre o processo dos alunos de aprendizagem.

93 92 Simon (1995) desenvolveu o Ciclo Abreviado de Ensino de Matemática (Figura 4), para apresentar um modelo esquemático cíclico de inter-relação dos aspectos que representa as relações cíclicas entre os conhecimentos do professor, pensamento e reflexões e tomada de atitudes. O ciclo é uma proposta de formulação dos modelos de ensino e é necessário, uma vez que o objetivo inicialmente planejado muitas vezes necessita ser alterado para melhor se adaptar ao grupo de aprendizes. Figura 4: Ciclo Abreviado de Ensino de Matemática - THA Fonte: Adaptado de Simon, 1995, p, 136 Segundo Simon (1995), quando um determinado tema é desenvolvido em sala de aula, as atividades elaboradas anteriormente podem sofrer ajustes em consequência das observações do professor em relação às atitudes dos alunos. Para os autores, o termo ciclo de ensino assim se justifica, pois quando o professor tece observações a respeito

94 93 do uso da atividade e demanda esforços para elaborar novas, o ciclo se inicia, caracterizando assim as relações cíclicas. Segundo o autor, a noção de uma trajetória hipotética de aprendizagem não se destina a sugerir que o professor sempre persegue um objetivo de cada vez ou que só uma trajetória é considerada. Pelo contrário, ela serve para sublinhar a importância de ter um objetivo e justificativa para as decisões de ensino e a natureza hipotética de tal pensamento. Note-se que os desenvolvimentos de uns processos de aprendizagem hipotéticos e os desenvolvimentos da aprendizagem atividades têm uma relação simbiótica, a geração de ideias para atividades de aprendizagem depende de hipóteses do professor sobre o desenvolvimento do pensamento do aluno e de aprendizagem, mas as gerações de hipóteses de estudantes para o desenvolvimento conceitual depende da natureza das atividades previstas na THA. Simon & Tzur (2004) ressaltam que é o aluno que estabelece a meta, outros (por exemplo professores) podem influenciar a fixação de metas através de postar tarefas e negociar o significado da tarefa em questão. Efeito refere-se a pedaços de experiência que o aluno isola como resultados da atividade que eles atendem como base em seus objetivos e concepções anteriores. Neste sentido: O THA como uma maneira importante de explicar um aspecto do pensamento pedagógico envolvido para o entendimento do ensino de matemática. Em particular, descreve como os educadores matemáticos (ou seja, os professores, pesquisadores e desenvolvedores de currículo), orientados por uma perspectiva construtivista com objetivos de aprendizagem matemática dos alunos, pode pensar sobre a concepção e utilização de tarefas matemáticas para promover a aprendizagem do conceito matemático. (SIMON, 1995) (Tradução Nossa) Offered the HLT as a way to explicate an important aspect of pedagogical thinking involved in teaching mathematics for understanding. In particular, it described mathematics educators (i.e., teachers, researchers, and curriculum developers), oriented by a constructivist perspective and particular mathematical learning goals for students, can think about the design and use of mathematical tasks to promote mathematical conceptual learning.

95 94 Simon (2005) descreve que um dos problemas enfrentados pela Educação Matemática é a forma de promover o desenvolvimento do conceito matemático nos alunos (por exemplo, a derivada, funções, variação), particularmente aqueles conceitos cujo desenvolvimento é muitas vezes inseguro (BERITER, 1985, apud SIMON & TZUR, 2004) É a partir da pesrpectiva de que para resolver o paradoxo de aprendizagem, esta explicação da aprendizagem conceitual não deve atribuir ao aluno quaisquer concepções que estão além dos disponíveis no início do processo de aprendizagem. Em um primeiro momento assumem, fundamentados em Von Glasersfeld (1995), em que os alunos possuem habilidades inatas como por exmplo, a criação de registros de experiência, classificação e comparação de registros e identificação de padrões nas representações. E em segundo, também assumem que os alunos têm a possibilidade de definir uma meta, ou seja, determinar onde quer chegar na atividade a partir de uma outra anterior e justificam que os alunos quando estão a tentar alcançar seus objetivos, eles usam uma determinada atividade, fazem ajustes para a atividade seguinte com o objetivo de alcançar sua meta. Simon, et al (2004) demonstram que, ao gerar THAs com base no ciclo de aprendizagem hipotética, podemos explicar a relação entre a aprendizagem conceitual e tarefas matemáticas e com esta elaboração do THA, a seleção de tarefas não é deixada à intuição ou tentativa e erro. Em vez disso, o mecanismo oferece uma estrutura para pensar sobre como a tarefa pode promover o processo de aprendizagem. Em seu texto, Simon (1995) destaca os domínios do conhecimento do professor necessários para o desenvolvimento de atividades de aprendizagem: conhecimento do ensino a respeito do conceito a ser desenvolvido (provindo de pesquisas, livros ou da própria experiência docente); conhecimento de materiais e recursos disponíveis para o desenvolvimento do tema e conhecimento de variadas atividades que permitem melhor compreensão do assunto. Na Figura 5, Simon (2005) descreve a relação entre os vários domínios do saber docente, a trajetória de aprendizagem hipotética e as interações com os alunos.

96 95 Figura 5: Ciclo de Aprendizagem Hipotética e a interação com o aluno Fonte: Adaptado de Simon, (1995, p.137). A geração de uma trajetória de aprendizagem hipotética antes da sala de aula é o processo segundo Simon (1995), pelo qual - de acordo com o modelo - o professor desenvolve um plano para a sala de aula atividade. No entanto, como o professor interage com e observam os estudantes, professor e alunos coletivamente constituem uma experiência. Esta experiência pela natureza de sua constituição social, é diferente do esperado pelo professor. Segundo Simon (1995), os domínios de conhecimento dos professores também podem informar diretamente a avaliação do conhecimento dos alunos; contudo, esta não foi a ênfase do modelo e, a fim de simplificar o diagrama, as flechas não estão incluídas. O ciclo é uma proposta de formulação dos modelos de ensino o qual se parte de um

97 96 objetivo inicial podendo este muitas vezes ser alterado para melhor se adaptar ao grupo de aprendizes. Segundo Simon (1995), o professor continua envolvido no ajuste à THA; às vezes, a ordem se encontra em sintonia, enquanto em outras vezes toda a pressão da lição deve ser descartada em favor de uma ou mais adequadação; contudo, o grau de modificação nas alterações realizadas pode ser em qualquer um ou em todos os três componentes da THA: o objetivo, as atividades, ou o hipotético processo de aprendizagem. O termo Ciclo de Aprendizagem assim se justifica pois, quando o professor tece observações a respeito do uso da atividade e demanda esforços para elaborar novas, o ciclo se inicia, caracterizando assim as relações cíclicas. A noção de uma trajetória hipotética de aprendizagem não se destina a sugerir que o professor sempre persegue um objetivo de cada vez ou que só uma trajetória é considerada, pelo contrário, ela serve para sublinhar a importância de ter um objetivo e justificativa para as decisões de ensino e a natureza hipotética de tal pensamento. Esse mecanismo identifica as fases de elaboração de um novo conceito - a participação no processo no qual o aluno abstrai uma regularidade na relação entre a atividade realizada e o efeito produzido enquanto antecipadamente se refere ao uso da regularidade abstraída em situações distintas da que levou a cabo da abstração. Na THA entra em cena a maneira em que se caracteriza o mecanismo de reflexão sobre a relação atividade-efeito, ou seja, a relação atividade-efeito começa quando o estudante resolve uma determinada tarefa (objetivo do estudante) que determina uma série de ações mentais que dependem de seu conhecimento prévio. É na ação mental, se há ou não atividade física envolvida, que é a base para a aprendizagem conceitual. (SIMON et al, 2004, p. 94). Para alcançar seu objetivo, o estudante realiza uma determinada tarefa (atividade dirigida por um objetivo) proporcionando a possibilidade de prestar atenção nos efeitos da atividade realizada (efeito das atividades), neste processo de observação dos efeitos na atividade o estudante cria registros mentais (registro da relação atividade-efeitos).

98 97 Assim para entender o desenvolvimento das estruturas mentais por parte dos estudantes, ou seja, estabelecer explicitamente as relações entre as características da THA de estudantes e características de sequências de ensino (identificar os objetivos de aprendizagem, definir fluxos de trabalho e contribuir para uma avaliação detalhada dos entendimentos de matemática do estudante), Simon e Tzur (2004) identificaram três tipos de tarefas com potencial para auxiliar os alunos na construção de um novo conceito para a compreensão, na perspetiva da reflexão sobre a relação atividade-efeito. Tarefas iniciais: pode ser realizada por estudantes que usam seu conhecimento prévio, nessas o papel do licenciando é de participação. Tarefas de reflexão: o objetivo é que os alunos reflitam sobre esse relacionamento para gerar abstração de regularidades na relação atividade-efeito. Tarefas de antecipação: Para realizar é necessário que se tenha produzido a abstração e regularidade na relação atividade-efeito. As tarefas iniciais são usadas para a criação e o reconhecimento de certas experiências, as tarefas reflexivas são para direcionar a atenção dos alunos para a relação atividade-efeito e as tarefas de antecipação têm o intuito de levar os estudantes a identificar e analisar regularidades. O conceito é considerado como uma relação dinâmica mental entre uma atividade e seus efeitos. Segundo Simon e Tzur (2004), as metas de aprendizagem que os alunos podem alcançar estão relacionadas com suas concepções correntes e com as tarefas que lhes são disponibilizadas. Assim sendo, para o professor, entra em cena o mecanismo de reflexão sobre a relação atividade-efeito quando consideramos sua necessidade de selecionar, entre as atividades disponíveis, tarefas que possam impulsionar o processo de aprendizagem dos alunos. Assim, elaboração do THA pode ser usada na concepção do currículo podendo fornecer um quadro para conceituar a criação de conjuntos de aulas destinadas a desenvolver um novo conceito. E considera que, embora os currículos recentes contenham muitas lições eficazes, este quadro poderia ajudar a estruturar a geração consistente de aulas mais eficazes; o quadro que descreve é consistente com a estrutura de Educação Matemática na atual realidade e prevê ainda a elaboração da relação de

99 98 concepções prévias dos alunos e os mecanismos pelos quais as suas concepções são transformadas. Pretendemos em nossa pesquisa analisar, em uma proposta formativa para implementação da Prática como Componente Curricular, características relevantes para a construção do conhecimento profissional docente. Assim, para responder nossa investigação optamos por explorar o trabalho de Ball, Thames e Phelps (2008) em que os autores sistematizam diversos resultados de pesquisas fundamentados na elaboração teórica de Shulman (1986), onde discutem a ligação entre o conhecimento do conteúdo e a prática de ensino, ou seja, um tipo de conhecimento necessário para o professor poder desenvolver a sua tarefa de ensinar matemática. Apoiamo-nos também nos estudos de Simon et al (2004) cuja a linha de investigação é o ensino da matemática para a compreensão, em seus estudos o mesmo discute como o professor promove o aprendizado das ideias matemáticas concretas nos estudantes, sendo que Simon (1995) assinalou que um dos papéis do professor é promover o desenvolvimento do conhecimento conceitual de seus alunos. Neste sentido a seguinte questão é a orientadora da pesquisa: Quais são as características de um processo de formação inicial de professores de Matemática com a proposta de integrar a Prática como componente curricular na disciplina de Matemática Elementar, particularmente no conteúdo de trigonometria?

100 99 CAPITULO 3 DESENHO DA INVESTIGAÇÃO Não acredites nos que sabem tudo Os que sabem, sabem que tem muito a aprender A educação é do tamanho da vida Não há começo Não há fim Só travessia. Rubem Alves Neste capítulo descrevemos a proposta de pesquisa e o desenho geral do experimento. Ao discorrer sobre o conjunto de situações de aprendizagem, tratamos do universo da pesquisa descrevendo os sujeitos envolvidos, o instrumento de coleta de dados e a sequência de ensino apresentada na proposta formativa. Focamos a nossa atenção em dois momentos na proposta formativa nas ações durante o processo de ensino, já que consideramos que tais ações são condicionadas ou potencializadas por suas cognições (crenças, conhecimento matemático para o ensino e objetivos). Com intenção de caracterizar a Prática como Componente Curricular em um curso de licenciatura recorremos a uma sequência de situação (episódio) no qual, em aula, apresentamos o conteúdo (trigonometria) durante dois momentos diferentes. Em primeiro lugar abordamos o que entendemos com relação a cada um dos componentes do modelo e, em segundo lugar, apresentamos as descrições e as relações entre os componentes. 3.1PARTICIPANTES E CONTEXTO Os participantes da pesquisa foram os licenciandos ingressantes do Curso de Licenciatura em Matemática da UEMS no primeiro semestre do ano de 2013, campus de Nova Andradina. O curso oferece 40 vagas para o ingresso de alunos de Ensino Médio, todas as vagas foram preenchidas; logo, a pesquisa foi realizada em aulas regulares do curso acima citado. A partir do questionário inicial da pesquisa (anexo 5) caracterizamos o perfil dos ingressantes no curso. Apenas 22% dos licenciandos tinham idade menor que 20 anos,

101 100 que corresponde a idade esperada de ingresso em um curso de nível superior, (ver gráfico abaixo), e também 32% de licenciandos com idade acima de 30 anos. Abaixo o gráfico nos mostra com mais detalhes a faixa etária dos licenciandos ingressantes no curso. Gráfico 1: Idade dos licenciandos Fonte: O autor, 2015 Para entendermos melhor o perfil verificamos o ano de conclusão do Ensino Médio por parte dos licenciandos; assim, no gráfico, verificamos que apenas 22% dos licenciandos concluíram o Ensino Médio no ano anterior, e 32% dos licenciandos concluíram o Ensino Médio há mais de 10 anos. E um dado importante foi que 100% dos licenciandos eram oriundos de escola pública regular. ingressantes. No gráfico abaixo temos o ano de conclusão do Ensino Médio dos licenciandos

102 101 Gráfico 2: Ano de conclusão do Ensino Médio Fonte: O autor, 2015 O curso de Matemática Licenciatura Plena tem por principal objetivo formar professores para atuarem no Ensino Fundamental e Médio e preparar profissionais com capacidade de observação e reflexão de sua prática para atuarem de maneira crítica no contexto da escola. O Curso de Matemática, Licenciatura, da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul onde se encontram inseridos os licenciandos sujeitos desta pesquisa, tem seu funcionamento no período noturno ofertando um número de 40 vagas, com duração do Curso de 04 (quatro) anos sendo o prazo máximo para a sua integralização de 07 (sete) anos, sua com carga horária atende a resolução do CNE/CP nº 02/2002 com carga horária do Projeto Pedagógico/ UEMS: horas/aula convertido para 3005 horas e sua modalidade de oferta sendo seriado e anual. Na Unidade Universitária da UEMS de Nova Andradina são ofertados anualmente dois cursos de licenciatura, o ingresso se dá através do Sistema SISU - Sistema de Seleção Unificado, que utiliza como nota da corte para o ingresso o resultado do ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio. Localizada no centro da cidade de Nova Andradina em um terreno de metros quadrados, com área total construída de 1.790,00 m², com uma infraestrutura

103 102 com 8 salas de aula sendo quatro destinadas para o curso de Matemática, o curso tem à sua disposição uma secretaria acadêmica, uma sala da coordenação de curso, uma sala ampla de estudos somente para professores do curso de matemática e uma biblioteca com um acervo de livros, dois laboratórios de informática com 40 computadores cada, Data Show, mesas e cadeiras que comportam até 50 licenciandos com estruturas para aulas Práticas, cujo objetivo é o desenvolvimento de estudos sobre o conhecimento matemático e sobre a contextualização dos conteúdos matemáticos através de atividades de laboratório envolvendo situações teóricas e práticas. Possui também Laboratório de Matemática para atividades práticas através de aulas simuladas e construção de materiais didáticos, um Laboratório de Física Módulo de equipamentos para Física Geral : Mecânica, Termologia, Ótica, Eletricidade, um Anfiteatro com capacidade para 140 lugares com sistema se som instalado e Data Show, dependências administrativas, cabe ressaltar que toda estrutura conta com rampas de acessibilidade e banheiros adaptados. O corpo docente do Curso de Matemática é composto da seguinte forma: Oito Professores com dedicação exclusivos com as seguintes formações (Quatro Doutores, sendo Dois Graduados em Matemática, Mestre e Doutores em Educação Matemática e um Graduado em Matemática (Bacharel), Mestre e Doutorado Matemática e Um Graduado em Física Mestre e Doutorado em Física, Quatro Professores Mestres, sendo Um com Graduação em Matemática (Bacharel) e Mestre em Matemática Computacional, Um com Graduação em Matemática (Bacharel) e Mestre em Matemática, Um Graduação em Matemática e Mestre em Engenharia Mecânica e um com Graduação em Pedagogia e Mestre em Educação). O Curso conta ainda com outros 5 professores colaboradores sendo três com Graduação em Matemática e Mestrado Um Graduação em Letras e Mestrado em Letras e um com Graduação em Matemática com especialização A matriz curricular do curso divide-se basicamente em disciplinas de Formação Geral e Específica. As disciplinas de formação geral compreendem formação básica em Ciências da Computação, Linguagem, Pedagogia, Metodologia Científica e Estágio Supervisionado de Matemática, enquanto que as disciplinas de formação específica compreendem formação básica em Matemática Elementar e Discreta, Aritmética, Geometria, Álgebra e Física.

104 103 A principal atuação dos formandos é como professor de Matemática nas escolas públicas e particulares do Ensino Fundamental e Médio. Mas, atualmente, há diversos formandos trabalhando com Estatística, Informática e Computação, Matemática Financeira e Finanças, Atuária e Gerenciamento de Riscos, Comunicação, Biologia e Saúde, etc., em posições de destaques tanto em instituições públicas quanto em empresas privadas, além da docência em ensino superior. 3.2METODOLOGIA DA PESQUISA A pesquisa classifica-se como qualitativa de natureza descritiva e interpretativa com características da pesquisa-ação e elementos do Design-Based Research como proposta por Cobb et al (2003), o termo Design-Based Research foi utilizado nos anos 90 pelos pesquisadores Ann Brown (1992) e Alan Collins (1992) para referirem-se a uma metodologia de pesquisa em Educação que se predispõe a resolver problemas complexos em contextos reais em colaboração com os professores, realizar investigação rigorosa e reflexiva para testar e aperfeiçoar ambientes de aprendizagem inovadores. No tocante à pesquisa-ação, destacamos que ela tem por pressuposto que os sujeitos que nela se envolvem compõem um grupo com objetivos e metas comuns interessados em um problema que emerge num dado contexto no qual atuam desempenhando papéis diversos: pesquisadores universitários e pesquisadores. Constatado o problema, o papel do pesquisador universitário consiste em ajudar o grupo a problematizá-lo, ou seja, situá-lo em um contexto teórico mais amplo e assim possibilitar a ampliação da consciência dos envolvidos, com vistas a planejar as formas de transformação das ações dos sujeitos e das práticas institucionais Thiollent (1994). O Design-Based Research é uma metodologia de pesquisa que foi proposta por Coob, Confrey, Disessa, Lehrer e Schauble (2003), o Método Design-Based Research, permite fazer da sala de aula um laboratório de pesquisa para pesquisadores e alunos criar hipóteses, as desenvolverem e analisarem com interações num processo cíclico; permitindo ainda uma reestruturação durante todo o processo formativo que se adéquem nas características do contexto da pesquisa. Desta forma, entende-se que os experimentos são desenhados de modo a se adequarem ao grupo pesquisado, o que atende ao interesse de pesquisa.

105 104 Este termo foi introduzido pelos pesquisadores Ann Brown (1992) e Alan Collins (1992) ao se referirem a uma metodologia de pesquisa em Educação que, na ocasião, se predispunha a resolver problemas complexos em contextos reais em colaboração com os professores e realizar investigação rigorosa e reflexiva para testar e aperfeiçoar ambientes de aprendizagem inovadores. No início dos anos 90, a metodologia de Design-Based Research já tinha uma longa história no desenho de pesquisas científicas em campos como a Engenharia, contudo era nova para a maioria dos pesquisadores em Educação. Optamos pela metodologia do Design-Based Research tal como concebido por Ann Brown (1992) em função de a mesma possibilitar o aumento de forma radical na pesquisa para a prática e com esta nossa metodologia nos possibilitou uma análise dos processos da aprendizagem sob domínios específicos; entretanto, a proposta não trata de uma coleção de atividades direcionadas à aprendizagem de um determinado domínio, salienta-se então que não se trata simplesmente de uma sequência de atividades. Na verdade, como explicam Lobo da Costa & Poloni (2011) para esse tipo de metodologia, os autores criaram o termo ecologia de aprendizagem no sentido de representar um sistema complexo e interativo envolvendo múltiplas variáveis de diferentes tipos e níveis. Assim Coob et al (2003, p.10) enfatizam: "O objetivo do experimento (entendendo aqui experimentos estudos de formação ou de design) é desenvolver uma teoria da classe processos e os meios que são projetados para apoiar a aprendizagem de aprendizagem, se o aprendizado de cada aluno, da comunidade classe, profissionais do ensino da comunidade, ou uma escola ou distrito escolar visto como uma organização. Nós interpretamos os processos aprender de forma ampla para incluir o que é normalmente considerado como conhecimento, mas também a evolução das práticas sociais relevantes aprender e até mesmo constrói como identidade e interesse. [...] Meios coloque para apoiar as oportunidades de aprendizagem e restrições artefatos materiais, práticas de ensino e apoio político [...] e mediando outras formas que podem, por exemplo, incluir a negociação as regras específicas em um domínio de como as coisas contam como uma "Good" questão científica em uma classe" (Tradução nossa). As afirmações de Cobb et al (2003) nos alertam para ao menos duas perguntas sugestivas sobre o assunto. Por um lado, a pluralidade de problemas esperados tratados por este tipo de estudos; daí a variedade de disciplinas e desenvolvimentos teóricos que são, e podemos usar para orientar o trabalho e a diversidade de áreas que esperam

106 105 contribuições ou resultados de investigação. Por outro lado, é notável o assentamento explícito da metodologia proposta com conceitos e teorias no campo da educação relevantes, especialmente dentro do campo da Psicologia da Educação. Enfatizando estas afirmações podemos mencionar o processo de se entender o processo de aprendizgem, sem dúvida, como o objeto central de estudo desta linha pesquisa. O processo de design não é tarefa fácil para definir a natureza da teoria no projeto de pesquisa, particularmente porque os estudos indicam que existem diferentes tipos de teoria podendo ser mais ou menos relevante, dependendo da etapa do processo de pesquisa a ser considerado. Disessa e Cobb (2004) apresentaram uma demarcação útil para enquadrar estas questões através de uma análise do nível de generalidade no teórico, bem como seus desenvolvimentos conjuntos ou funcionalidade para suportar as decisões metodológicas. Seguindo esses critérios, se identifica cinco teorias diferentes referidas como: (1) grande teoria; (2) marcos conceitual; (3) quadros de ação; (4) teorias instrutivo domínio; (5) inovações ontológicas. Assim, segundo Cobb et al (2004), se desenvolve teorias tanto sobre o processo de aprendizagem quanto sobre os materiais que são utilizados para dar suporte à aprendizagem. E sinalizam a existência de uma natureza intervencionista que objetiva investigar possibilidades de novas formas de aprendizagem visando mudanças educacionais. O Design-Based Research envolve a revisão contínua do design do projeto que se mostra flexível, uma vez que há um conjunto de tentativas iniciais que são revistas em função do seu sucesso na prática, ou seja, essa metodologia tem dois aspectos: o prospectivo e o reflexivo. Assim, o pesquisador interage no sistema continuamente dotando-o de um movimento cíclico. Assim, no Design-Based Research existem momentos de redesign com característica da pesquisa ação. No quadro abaixo montamos um ciclo de redesign com a característica da pesquisa ação.

107 106 Figura 6: Ciclos de (re)design com característica da Pesquisa-ação Fonte: Adaptado de Signorelli, 2007 Observa-se pela análise do quadro que no ciclo existem momentos de preparação da atividade seguidos de momentos de atuação na atividade. A atuação é, então, analisada por um processo reflexivo que pode gerar modificações na atividade para nova atuação e o ciclo continua, isto é, há uma quebra da visão tradicional em que pesquisador, professores e alunos desempenham papéis fixos no processo; na pesquisaação isto não acontece, ela procura unir a pesquisa à ação ou prática desenvolvendo o conhecimento e a compreensão por parte da prática (KETELE & ROEGIERS, 1993). Considera-se o Design-Based Research como método científico de investigação quando o foco do pesquisador está no pensamento matemático dos sujeitos e nas modificações desses pensamentos que podem ocorrer durante o processo. Para que a atitude do pesquisador seja coerente com essa metodologia ele deve criar situações para que haja possibilidade de mudança nos esquemas matemáticos usuais dos sujeitos. A pesquisa se desenvolveu em um processo de formação inicial - Curso de Licenciatura em Matemática no campus de Nova Andradina da UEMS, em uma turma de primeiro ano, na disciplina de Matemática Elementar, foi autorizada pela Pró-Reitora de Ensino da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul para a realização da Pesquisa e aprovada pelo Comitê de Ética da Universidade Bandeirantes de São Paulo (processo 289/12) e que os sujeitos assinaram termo de consentimento livre e esclarecido.

108 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Para a investigação consideramos os dados de dezesseis licenciandos ingressantes em uma turma de primeiro ano do curso de Matemática da Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul que participaram da proposta formativa na qual se discutiu o ensino de trigonometria. A seleção se deu em virtude de critérios técnicos, tais como, ter respondido todas as questões do questionário inicial da pesquisa, participação em todas as seções, realização das atividades, execução de todas as tarefas e autorização para publicação dos dados. A pesquisa se desenvolveu em três fases: Fase 1: incluiu a Pesquisa documental da legislação pertinente, teórica e dos Projetos pedagógicos do Curso de Licenciatura em Matemática da UEMS. Nela foram identificados princípios da PCC presente nas disciplinas e esta fase subsidiou a elaboração do processo formativo para os acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática; Fase 2: compreendeu a concepção e o desenvolvimento da proposta formativa, constituindo a fase de pesquisa em campo. Os dados nessa fase foram coletados por meio de questionário de entrada aos acadêmicos que cursaram a disciplina de Matemática Elementar, entrevista semiestruturada ao final, gravações em áudio, vídeo e, registros de observação, produzidos na sala de aula, registros de observação da Trajetória Hipotética de Aprendizagem THA (Hypothetical Learning Trajectory HTL); Fase 3 que compreendeu a análise das características que impulsionaram a integração da PCC na prática docente e as características pertinentes no processo formativo para o desenvolvimento do conhecimento profissional docente do futuro professor de matemática. O processo formativo teve duração de 10 semanas, em um total de 60 horas aula de 50 minutos cada, divididos em dois encontros semanais, o primeiro sempre com duas tempos de 50 minutos cada e o segundo com 4 tempos de 50 minutos cada com um intervalo de 10 minutos após os dois primeiros tempos. A proposta foi dividida em quatro módulos, sendo que o módulo I discutimos a trigonometria no Triângulo retângulo e triângulo qualquer, o módulo II trigonometria no clico trigonométrico, no

109 108 módulo III funções trigonométricas e no módulo IV identidades e transformações trigonométricas. A coleta de dados foi feita utilizando-se as seguintes técnicas e instrumentos: observação direta, observação indireta, análise de materiais produzidos pelos sujeitos de pesquisa, vídeo e áudio-gravações dos encontros. Entende-se por observação direta do pesquisador aquela realizada por meio de: observação e aplicação de entrevista. A observação do processo vivido ao longo da proposta formativa teve caráter sistemático, participante e estruturado. Foi observado todo o processo formativo, isto é, todos os encontros em sala de aula e laboratório de Informática. Entende-se por observação indireta aquela realizada por meio de aplicação de questionários, ou seja, uma série de perguntas que deveriam ser respondidas por escrito e sem o auxílio ou intervenção do pesquisador. Esses questionários foram aplicados em número de dois: um no início do curso e outro, equivalente ao primeiro, no final do mesmo. O processo de observação e coleta foi feito pelo próprio formador com o auxílio de dois licenciandos que se revezavam durante as aulas, a participação foi de fotografar, filmar e gravar as sessões e fazer anotações das falas dos licenciandos durante os encontros. Ressalto que os licenciandos auxiliares não eram da turma em questão, eram licenciandos do quarto ano do curso de Matemática e não tiveram qualquer interferência na condução de tais sessões nem nos demais procedimentos docentes. O gravador ficava numa carteira à frente em um lugar estratégico para captar as falas da maioria dos licenciandos e a fala do pesquisador como formador. Por outro lado, quando os alunos estavam trabalhando em grupos menores, procurava-se registrar a fala do grupo ou do licenciando. Foi utilizado como recurso de filmagens uma Câmera Digital e a Webcam do notebook, as anotações de campo e recolha de documentos já estava previsto nos termos de consentimento da pesquisa. A gravação em vídeo pode desvelar momento-amomento sons e imagens das interações cujos dados facilitaram a descrição detalhada das ações em sala de aula.

110 109 Como afirmam Powell, Francisco & Maher (2004). Filmar um fenômeno em sala de aula é provavelmente o menos intrusivo, ainda que o mais inclusivo, meio de estudar o fenômeno e defende que o vídeo seria superior às notas de campo do observador, à gravação pela sua capacidade de capturar comportamentos e interações mais complexas tanto orais quanto visuais, além de permitir aos pesquisadores reexaminar continuamente os dados coletados (p. 84). Esses autores criaram um modelo analítico para direcionar as análises de vídeos utilizados em pesquisa. O modelo é composto por sete fases, a saber: (1) Observar atentamente os dados do vídeo; (2) Descrever os dados do vídeo; (3) Identificar eventos críticos; (4) Transcrever; (5) Codificar; (6) Construir o enredo; (7) Compor a narrativa. Os eventos críticos, segundo esses autores, são quaisquer ocorrências significativas e relevantes para a pesquisa e devem ser identificados e selecionados pelo pesquisador. Assim, na coleta de dados, além das notas de campo, foram utilizados os registros de gravação e de vídeo; além disso um licenciando de uma série superior à série pesquisada fez as devidas anotações que foram anexadas às descrições das aulas. Realizaram-se gravações das 60 seções de 50 minutos cada; sempre nas seções havia no mínimo duas câmeras filmando e dois gravadores de voz, um no centro da sala e outro com o pesquisador-formador Processo de transcrição e gravações des dados no processo formativo A seguir descrevemos o processo de transcrição de análise de dados realizados na pesquisa com perspectiva para o aprendizado e para a prática segundo Powel et al (2004) e seus níveis de análises. Figura 7: Processo de transcrição e análise dos dados segundo Powel et al (2004) Fonte: O autor, 2015

111 110 O primeiro nível acima de natureza descritiva teve como objetivo fazer uma imersão nos dados identificando cada ordem cronológica que sucede cada seção e selecionando a melhor gravação; este nos permitiu reduzir o volume de dados para podermos manejá-los. Neste sentido, Powel et al (2004) indica que utilizar videos pode suceder que se disponha de uma abundância de dados, sendo necessário encontrar formas de manejá-los. Para isto, destacamos duas fases neste nível, ao qual realizamos a redução dos dados coletados, figura abaixo: Quadro 2: Agrupamento dos dados no primeiro nível Fonte: O autor, 2015 Na fase 1, foi identificado o seguimento de ensino e objetivos de aprendizagem, agrupando-se as seções da proposta formativa em quatro tópicos centrais; no primeiro, a trigonometria no triângulo retângulo, o segundo Ciclo trigonométrico, o terceiro razões e Funções trigonométricas e no quarto as Identidades e transformações trigonométricas. Em seguida, efetuou-se as transcrições das gravações com os informes elaborados de análise descritiva de cada seção. Esta análise inferencial de identificação dos dados caracterizou o mecanismo de construção destacando as metas do formador quanto aos objetivos de como a prática evidenciada no Processo Formativo conduz as características da PCC. Encaminhou para análise inferencial de identificação das dimensões em duas perspectivas: a do aprendizado e a da característica da Prática como Componente Curricular em um processo de formação inicial. As gravações de imagens foram feitas com duas câmeras, uma de desempenho do professor fixo e outra de uma amplitude da sala de aula, como o nosso propósito e objeto de estudo. Os licenciandos aparecem quando o professor interage com eles ou quando teve o papel principal nas tarefas resolvendo atividades em grupo. As gravações foram transcritas na íntegra.

112 111 Nestas transcrições foram incluidas as notas escritas para facilitar o monitoramento do fluxo de aulas. Para uma melhor intervenção do professorpesquisador de uma forma mais "confiável", colocamos gravador onde lhe permitiu mover-se livremente dentro da sala de aula onde pode ser gravado todas as suas intervenções. Para distinguir, nas transcrições das gravações de aula, as intervenções dos licenciandos, eles são delimitados entre colchetes [...]. Nas transcrições fizemos indicações/observações do que estava acontecendo e estava implícito em si, por exemplo, se o professor disse que "observem isto" e estava apontando uma expressão no quadro negro, a expressão é colocada entre os símbolos < >. Nas transcrições das gravações que e numeramos as linhas de modo que a referência a eles seja mais fácil. As transcrições foram identificadas da seguinte forma: dez encontros sendo eles duas seções de 50 min cada sendo indicada pelo número 100; dez encontros com quatro seçoes de 50 minutos cada sendo indicadas pelo número 200, então na notação [3:100], se refere ao encontro 3 de 100 minutos de duração. Ou [14:200], se refere ao encontro quatorze de 200 minutos de duração. Foram registradas todas as atividades desenvolvidas com o grupo de licenciando, as gravações iniciaram em sessões ordinárias da classe a fim de familiarizar os alunos com a camera, esta gravação permitiu-nos a familiarização com o local físico onde percebemos e resolvemos alguns problemas de localização, tais como onde colocar a câmera e equipamento de som para que afetasse o mínimo o desenvolvimento das aulas. 3.4O PROCESSO FORMATIVO Em relação ao processo formativo aqui investigado é relevante considerar que o pesquisador - no caso o autor desta pesquisa - assumiu o papel de professor formador em aula junto ao grupo de licenciandos e, assim sendo, preparou/planejou atividades em ação e nesse processo levantou dados, todos os dados levantados, as desestabilizações ocorridas durante o processo, todas as entrevistas e discussões foram direcionadas com a intencionalidade da mesma, procurando coletar dados de múltiplas maneiras a fim de minimizar possíveis interpretações e opiniões conduzidas pelo olhar do pesquisador.

113 112 Neste sentido, a investigação do Projeto Pedagógico do curso de Matemática, Licenciatura, do Campus de Nova Andradina visou identificar como o mesmo aborda a questão da PCC, como está distribuída nas respectivas disciplinas do curso. Essa construção se apoia na premissa da sala de aula situada em um contexto universitário em que uma coleção de pessoas, através de suas interações, que envolvem o ensinar e o aprender, diferentemente de outras instituições ou comunidades identificam processos de aprendizagem. Para delimitar o nosso corpus propusemos trabalhar em aula na disciplina de Matemática Elementar do Curso de Matemática, Licenciatura com os licenciandos do primeiro ano. Nesta disciplina, um dos conteúdos abordados é a trigonometria cujo enfoque é de fundamental importância para as demais disciplinas do Ensino Superior. Na educação básica este conteúdo é dividido em momentos de estudo se iniciando no Ensino Fundamental e finalizando no Ensino Médio, entretanto, na Universidade não é temporal, cabendo o professor fazer a junção do triângulo retângulo a Funções trigonométricas, permitindo ao licenciando fazer esta junção do triângulo, Ciclo trigonométrico, a função da trigonométrica. Como é inevitável uma abordagem em espiral, propusemos incluir nesta abordagem alguns aspectos ao desenvolvimento histórico da trigonometria ocorrendo assim repetições toda vez que o assunto é aprofundado. A disciplina de Matemática Elementar na qual se insere a proposta formativa é do bloco de formação específica em matemática; entretanto, deve pela legislação vigente, estabelecer a relação com a Prática da docência. Em nossa proposta formativa a Matemática será discutida não apenas na perspectiva dos conteúdos estritos desenvolvidos na Educação Básica, isto é, serão abordadas Práticas mais amplas em relação ao âmbito da escola, ou seja, é fundamental compreender e conhecer bem o conceito matemático Na Educação Básica, mais precisamente no Ensino Médio, em relação a trigonometria e outros conteúdos, segundo o PCNEM (BRASIL, 2000) o enfoque nestes conteúdos servem para que o aluno desenvolva algumas competências e habilidades como, por exemplo, desenvolver a capacidade de questionar processos naturais e tecnológicos identificando regularidades no contexto dos conteúdos, apresentando interpretações e prevendo evoluções do contexto. No Ensino Médio o

114 113 conteúdo de trigonometria é apresentado nos livros didáticos no primeiro semestre do segundo ano como uma característica importante que é estabelecer ligação entre o eixo de Geometria e Medidas com o eixo de números e funções. Nesta proposta discutimos os elementos para a tomada de decisão a respeito da formação dos professores a partir da educação matemática que ajude a caracterizar duas dimensões: a do conhecimento do professor e a da aprendizagem do professor de matemática, o que significaria não admitir que os cursos de formação sejam extremamente teóricos com a finalidade de dar uma titulação e que a prática se desenvolve exclusivamente fora do curso de licenciatura. Pensar o curso de formação como teórico e que a prática da docência se aprende no ofício de professor é admitir a visão dicotômica que se refere ao distanciamento entre Teoria e Prática como se elas fossem independentes. A seguir descrevemos o experimento de ensino, nele usaremos a primeira pessoa do plural para designar as opiniões, as análises e interferências Desenho Inicial do Experimento de Ensino Na formação elencamos algumas atividades que foram abordadas em aula onde o licenciando desenvolveu de modo que as mesmas passaram a ser o centro do processo de aprendizagem. Atividades tais como: discussão sistemática a respeito dos conceitos e processos; trabalho em grupos explorando uma situação problematizada; levantamento e análise de livros didáticos; construção de material didático; análise de vídeos, jogos e sua utilização em sala de aula; exploração de softwares que possam ser utilizados na construção do conhecimento; elaboração de projetos de ensino voltada para a escola básica envolvendo o estudo de conteúdos no aspecto histórico e recursos tecnológicos; desenvolvimento de trabalho investigativo sobre o estudo de conteúdos matemáticos e toda problemática que envolve o ensino de matemática no ensino básico. Consideramos aqui uma busca por bibliografias na teoria que sustentem a intervenção para a Prática pesquisando propostas diferentes ou divergentes, linhas de pensamento e questionamento que fundamentem a construção de suas Práticas pedagógicas. Esta discussão favorece a identificação do conceito, apoia-se em novas

115 114 ideias derivadas das discussões em classe do tema proposto pelo formador de professores. Desse modo, entendemos que os licenciandos começam a julgar e escolher os procedimentos na base de uma compreensão teórica, podendo atuar em sala de aula munida das discussões realizadas durante o curso na Universidade. Em aula, propomos discutir teorias que contemplam a formação inicial para o conteúdo de trigonometria com a seguinte organização: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Na tabela 9 apresentamos um resumo das abordagens propostas em nossa formação, com os respectivos tópicos relativos ao conteúdo de Razões trigonométricas no triângulo, neste sentido consideramos que a História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática e/ou teórica. Nesta tabela 9, também apresentamos o primeiro Design da Proposta formativa; assim, sintetizamos as ações realizadas no conteúdo de trigonometria no triângulo retângulo. Tabela 9: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Primeiro Design Tópicos Abordagem Elementos, conceitos, História da Trigonometria; Análise dos conteúdos Teorema de Pitágoras propostos nos livros didáticos relativo na trigonometria. Relato da atividade. O que é a trigonometria para você. Comente sobre o livro analisado Razões trigonométricas no triângulo retângulo Discussão e registro da definição do conceito de seno, cosseno, tangente; Estudo da trigonometria através de atividades em sala e exercícios de aplicação envolvendo situação problema; Análise de vídeos, jogos e sua Relações fundamentais entre o seno, cosseno, tangente e cotangente. Ângulos Complementares de seno, cosseno, tangente e cotangente (Prova e demonstrações). Razões trigonométricas especiais: do ângulo de 30º, de 45º e utilização em sala de aula. Levantamento e análise de livros didáticos sob uma perspectiva crítica; Relato da atividade; Exercício de forma contextualizada. Construção de material didático. Análise de vídeos que contextualiza a trigonometria no triângulo retângulo. Exercícios contextualizados.

116 115 de 60º. Arcos e ângulos Fonte: O autor, 2015 Transformação de unidades grau, radiano. Uso de jogos: Pega-monte e dominó. Na tabela acima descrevemos os tópicos do conteúdo e as ações no primeiro Design da proposta formativa. Observamos ainda e sinalizamos uma análise dos conteúdos propostos nos PCN (BRASIL, 1988) e nos livros didáticos no triângulo retângulo em paralelo ao enfoque do conteúdo abordado no Ensino Superior, com um levantamento e análise sob uma perspectiva crítica, que considera que o processo educativo deva possibilitar a mudança e o desenvolvimento de uma consciência que Freire (1983) chama de consciência ingênua para um outro tipo de pensamento, ou consciência crítica. Esta mudança de maneira de pensar ocorre a partir da mediação do professor, quando ele trabalha incentivando, problematizando, auxiliando o aluno a refletir sobre sua realidade. Com este enfoque discutimos as representações da definição do conceito de seno, cosseno, tangente considerando como fundamental a contextualização e a sistematização quanto à articulação dos conteúdos matemáticos que, em seguida, podem ser feita por meio da resolução de problemas, situações problema, análise de vídeos, jogos, construção de material didático, como propõe os PCN (BRASIL, 1988), vivenciando os momentos de estudos com licenciandos e, ao mesmo tempo, poder se expressar didaticamente como futuros professores. Para isso fundamentamo-nos em Zeichner (2005) que propõe uma prática reflexiva cuja atenção do professor esteja voltada tanto virada para dentro, para sua própria prática, como para fora, para as condições sociais nas quais se situa esta prática (p.25). No estudo sobre a trigonometria no triângulo retângulo também utilizamos as demonstrações algébricas do conceito de proporcionalidade da Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Assim, contemplamos definições formais, uma vez que as demonstrações rigorosas constituem elementos importantes durante o processo de formação exigindo uma formulação precisa das definições e evitando ambiguidade na caracterização do objeto matemático que causaria contradição na teoria. Ciclo trigonométrico e trigonometria na circunferência.

117 116 A partir da abordagem histórica, propomos exploração de material concreto com a seguinte finalidade: associar números reais a pontos da circunferência trigonométrica; familiarizar com a circunferência trigonométrica; conceituar arco trigonométrico; conceituar e identificar números congruentes na circunferência trigonométrica; obter determinações de um arco trigonométrico, principalmente a determinação principal; identificar e determinar seno e cosseno de arcos na circunferência trigonométrica; Material concreto como a confecção do ciclo trigonométrico, confecção de jogos (dominó trigonométrico e bingo das funções trigonométricas), ao relacionar seno e cossenos dos arcos x, -x, +x e 2 -x, calcular senos e cossenos de arcos por meio de redução ao primeiro quadrante. Outro recurso foi o uso do Software, com o Software sugerimos e desenvolvemos um estudo exploratório do conteúdo de trigonometria, mediados por arquivos prontos ou não, os chamados applets, que consistem em um arquivo do computador, construído previamente no qual o licenciando passa a fazer sua investigação com a possibilidade de que ele possa analisar as demonstrações que surgirão com o uso do software, e analisar os procedimentos, as estratégias, os erros e as dificuldades encontradas durante as definições, demonstração e conceituação do conteúdo. Na tabela 10 apresentamos uma síntese das abordagens propostas em nossa proposta formativa com os respectivos tópicos ao conteúdo no Ciclo trigonométrico e trigonometria na circunferência. Tabela 10: Ciclo trigonométrico e trigonometria na circunferência Tópicos Abordagem Ciclo trigonométrico Construção do Painel Trigonométrico com a seguinte finalidade: Associar números reais a pontos da circunferência trigonométrica e familiarizar com a circunferência trigonométrica. Estudo exploratório com Software mediados por arquivos prontos ou não, os chamados applets. Conceituar arco trigonométrico. Conceituar e identificar números congruentes na circunferência trigonométrica. Obter determinações de um arco trigonométrico, principalmente a determinação principal. Razões trigonométricas na Estudo exploratório com Software, mediados por arquivos prontos ou não, os chamados applets. Identificar e determinar

118 117 Circunferência Seno; Cosseno; Tangente; Razões trigonométricas na Circunferência. Lei dos Senos e Lei Dos Cossenos Relações fundamentais. Arcos notáveis. Redução ao 1º Q. Funções Trigonométricas Funções trigonométricas Transformações trigonométricas. Trigonometria Fonte: O autor, 2015 seno e cosseno de arcos na circunferência trigonométrica. Calcular senos e cossenos de arcos por meio de redução ao primeiro quadrante. Relacionar seno e cossenos dos arcos x, -x, +x e 2 -x. Conceituar e construir o gráfico da função seno. Definição e demonstração de: Seno; Cosseno; Tangente; Cotangente; Cotangente; Secante; Cossecante. Exercícios de fixação. Demonstração algébrica: No triângulo acutângulo; No triângulo Retângulo; No triângulo obtusângulo. Exercício contextualizado da Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Exploração do material concreto. Exercício com situação problema e aplicação. Uso do Material concreto já elaborado e do Jogo Dominó trigonométrico; Uso do Software GeoGebra. Definição de função trigonométrica; Definição de ciclo trigonométrico; Definição e demonstração de função seno e função cosseno. Uso do Software GeoGebra. Definição e demonstração de: Função tangente; Função cotangente; Função secante; Função cossecante. Uso do Software GeoGebra, com auxílio de um applet. Uso dos Jogos como Bingo das funções trigonométricas. Exercícios de aplicação contextualizados para resolver algebricamente e com o uso do Software GeoGebra. Periodicidade trabalhando com sensores e o uso do corpo Demonstração e aplicação da transformação de soma, diferença produto e divisão. Atividades caracterizada pelo uso de linguagem formal, definições formais para conceitos, permitindo assim, fazer deduções e demonstrações. Planejamento de uma aula como articulador da Prática. O licenciando analisará uma aula real (Ed. Básica) que depois de assistida e discutida com os pares, farão uma pesquisa de materiais disponíveis em portais como o do Professor (Observação dos materiais disponíveis) e preparar a sua aula. Estudos complementares sobre pesquisas da área da Educação Matemática sobre o ensino de trigonometria no Ensino Médio Nas tabelas apresentadas sintetizamos as ações que foram postas em jogo para que os licenciandos tenham novas possibilidades para a Prática. Assim, essas são nossas hipóteses iniciais, mas desenvolveremos e analisaremos o processo com interações em de forma cíclica, de modo que sejam feitas reestruturações durante todo o processo

119 118 formativo, para que ele se adeque às características do grupo, do contexto e da pesquisa ao longo da Proposta Formativa. Na proposta formativa para o curso, planejamos e elaboramos as atividades que procuraram contemplar a PCC no intuito de evidenciar suas características, em que o Professor formador possa integrar o processo formativo; consideramos que este foi o primeiro Design-Based Research, com base na fase I. Assim, para elaborar este primeiro design foi necessário dividi-la em quatro partes como no quadro abaixo: Etapa A Revisão da legislação quanto a Prática como Componente Curricular; Levantamento de pesquisas que usam propostas de reflexão durante as práticas pedagógicas; Estudo do currículo de trigonometria na Educação Básica, PCNEM, Plano Estadual de Educação de Mato Grosso do Sul para o Ensino Médio, quanto ao conteúdo de trigonometria; Etapa B Elaboração da proposta formativa; Aplicação de questionário para levantamento do perfil do licenciando ingressante na UEMS; Preparação de uma sequência didática a ser aplicada com os licenciandos; Etapa C Planejamento das atividades para a aplicação da proposta formativa em aula; Elaboração do cronograma de semanas e aulas com as pautas de aulas do design. Etapa D Reflexão sobre cada pauta executada em aula e sequência elaborada para o conteúdo de trigonometria. Quadro 3: Etapas do design inicial da proposta formativa para o Grupo Fonte: O autor, 2015 O primeiro design do curso -Proposta formativa - teve, como ponto de partida, a compreensão da PCC na legislação vigente; em seguida, a escolha do conteúdo de trigonometria e sua importância na Educação Básica e no Ensino Superior perpassando por discussões a respeito da abordagem e aprofundamento na educação do conteúdo de Trigonometria. Esse design foi elaborado pensando-se em utilizar metodologias inovadoras durante as práticas pedagógicas para a integração da PCC. Neste planejamento realizado a partir de ações constituídas na fase I da pesquisa, no plano de ensino da disciplina, a trigonometria é o segundo tópico na sequência de conteúdo do curso e no planejamento da disciplina possui a seguinte distribuição:

120 119 Lógica matemática, Trigonometria, Logaritmos, Progressões: aritmética e geométrica, Matrizes, Números complexos e Polinômios. Assim, abaixo descrevemos a proposta que foi abordado no primeiro semestre após o conteúdo de lógica matemática, e a trigonometria de acordo com o projeto pedagógico para a disciplina está distribuídas em dez semanas com seis horas /aulas semanais, período este ao qual foi desenvolvida toda a proposta formativa. 3.5RELATO DA PROPOSTA Apresentação do projeto para a sala do primeiro ano do curso de matemática, não teve aquela surpresa e ambientação com o pesquisador, pois o pesquisador já desenvolvia atividades com a turma há aproximadamente um mês; assim, fui explicando como é o procedimento para a aprovação do Projeto e os trâmites legais na comissão de ética da Universidade Anhanguera de São Paulo 12, e o parecer com o deferimento da comissão de ética (anexo 1), em seguida foi apresentado o termo de consentimento e autorização (anexo 2) para que os licenciandos possam se informar dos procedimentos da pesquisa, informando ainda que o projeto de pesquisa foi avaliado pela instituição e autorizado pela Pró Reitora de Ensino da UEMS e, por último, aprovado no Conselho de Ética da Universidade Anhanguera de São Paulo (processo 289/12). Em seguida foram distribuídos os termos para serem assinados e devolvidos pelos licenciandos devido algumas solicitações foram esclarecidas algumas dúvidas pessoalmente para com os que ainda tinham-nas. A turma de licenciandos que iniciou a pesquisa foi de 40 alunos todos matriculados no primeiro ano do curso de Matemática, licenciatura. Também apresentamos as etapas na qual dividimos o projeto e em que fase se encontra a participação dos licenciandos na pesquisa e após todos assinarem o termo de consentimento passamos a uma aplicação de um diagnóstico da turma (anexo 3) sendo idade, perfil, se já ouviram falar do tema que as atividades continham. 12 Nome trocado pela portaria do D.O. da União Nº223, de 18 de novembro de 2003, pela portaria Nº 600, de 14 de novembro de Que determina A Universidade Bandeirante Anhanguera UNIBAN com nova designação e símbolo Universidade Anhanguera de São Paulo UNIAN-SP.

121 120 Este questionário está anexado à pesquisa composto por questões abertas organizadas em uma sequência de 15 questões, sendo 8 delas para um diagnóstico da sala caracterizando o perfil dos licenciandos e suas características de formação tais como: onde cursou Ensino Médio, teve acesso à tecnologia em sala de aula utilizando algum software, já faz curso de informática no dia a dia, fez uso de jogos para o aprendizado em algum conteúdo matemático e, após a questão 10, entramos com uma abordagem do conteúdo de trigonometria com o intuito de verificar se eles já tinham estudado ou se já ouviram falar de trigonometria, ângulo de um arco trigonométrico. Não tivemos intenção de propor questões variadas que esgotassem o conceito ou que tornassem essa etapa entediante, mas sim questões que dessem suporte para investigarmos a relação entre imagens de conceito e definições de conceito dos participantes. Há de se ter em conta o papel dos diferentes sistemas de representações para os licenciandos possam construir uma adequada imagem do conceito (TALL e VINNER, 1981), que conduza a sua compreensão. (GONZÁLEZ, 2002). O papel das conversões e translações entre os diferentes modos de representação apoia a generalização e consolidação dos diferentes mecanismos que devem ser gerados para dar sentido a compreensão do conceito trigonométrico Sabemos, é claro, que não é possível tirar uma radiografia precisa da imagem de conceito de cada sujeito. Pretendemos com as questões obter suposições sobre essas imagens baseadas no que os participantes externam, o que pode corresponder de forma apenas limitada ao que de fato eles pensam. Todos os licenciandos estudaram o Ensino Médio em escola pública, assim como informaram em sua maioria que eram bons em matemática, em perguntas que iam de excelentes a ruim. Os licenciandos responderam prontamente o formulário de diagnóstico. Informei que este não seria avaliativo com relação à questão de nota final para seu curso em questão. Observei que muitos nem ouviram falar ou nunca estudaram este tema na educação básica. Entretanto ao mencionar triângulo, Teorema de Pitágoras, circunferência, ou seja, ao fragmentar os conteúdos todos mencionaram o conhecimento ou ouvido falar sobre o assunto.

122 121 Não se sentiram intimidados com a filmagem e gravação, pois já tinha introduzido o equipamento em outras aulas que não se trabalhou com a trigonometria, assim se sentiram à vontade para responder o formulário de diagnóstico. Terminado ficamos por uns bons minutos conversando sobre o tema e a pesquisa que iniciamos com o conteúdo no encontro seguinte. A seguir descrevemos os encontros realizados na proposta formativa em aula do curso de Matemática, Licenciatura. Foram realizados 20 encontros durante dez semanas, sendo que cada semana um encontro com duas aulas de 50 minutos e outro com 4 aulas de 50 minutos, sendo que nestes encontros de 4 aulas faziamos um intervalo de dez minutos após as duas primiras aulas do encontro. A organização destas descrições, foi em quatro tópicos, mesmo considerando que ambos estão interligados e conectados para o seu entendimento, os blocos foram descritos com os seguintes temas: Trigonometria no triângulo retângulo e triângulos quaisquer; trigonometria no ciclo trigonométrico; funções trigonométricas; e Identidades e transformações trigonométricas Trigonometria no Triângulo Retângulo e Triângulos Quaisquer Este bloco foi composto por cinco encontros com o objetivo de instruir os licenciandos sobre a trigonometria no triângulo retângulo e triângulo quaisquer, para o conceito de seno, cosseno e tangente, com a finalidade no processo de caracterizar a Prática como Componente Curricular, que estão sintetizados a seguir. Primeiro Encontro O primeiro encontro da semana foi realizado em 2 aulas de 50 minutos cada, tendo a seguinte pauta. Tema: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Elementos, conceitos, Teorema de Pitágoras. Um pouco da História da Trigonometria; Levantamento e análise de livros didáticos sob uma perspectiva crítica; Conceituar de definir seno cosseno e tangente. Relato da atividade. Objetivos: Descrever momentos de desenvolvimento da trigonometria que nos leve a compreensão do conceito.

123 122 Observar no livro o desencadeamento conceitual das definições e teoremas. Isto é, analisar como é proposta a definição do conceito Quadro 4: Pauta do primeiro encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Descrevemos parte da História da Matemática com o auxílio de computador e um Data Show apenas para que os licenciandos se situem e compreendam o surgimento da trigonometria, em função de alguns momentos marcantes levando a compreender o conceito de trigonometria, como a origem da palavra, os achados babilônicos, gregos e indianos que historicamente a Trigonometria aparece desde muito cedo associada à Astronomia, as obras de Euclides, enfatizando a Importância dos Egípcios que se preocuparam com as razões dos lados dos triângulos na construção das Pirâmides, a contribuição de Hiparco, matemático Grego considerado o Pai da Trigonometria e a obra Almagesto de Ptolomeo, trabalho de Ptolomeu, sem muito se aprofundar na História da Matemática devido aos licenciandos possuírem uma disciplina específica no quarto ano do curso. Em seguida foi feita uma discussão de como este conteúdo é abordado no Ensino Médio, alguns licenciandos trouxeram o livro didático adotado no Ensino Médio, observou-se que as escolas do município e da região adotam o mesmo livro no caso o Livro do DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática Para esta discussão, observamos que é um conteúdo abordado no Ensino Médio, mas segundo fala de licenciandos não vimos muito bem isto. Assim, abaixo, descrevemos parte da discussão desta observação do livro didático. Segue parte da transcrição [1:100] P: Bom continuando, após esta explanação de como a trigonometria foi se desenvolvendo com o passar dos tempos, vamos ver o que temos nos livros didáticos adotados em Nova Andradina como aborda este tema <trigonometria>. Os que não trouxeram se sentem com colegas, ou peguem aqui pois trouxe alguns exemplares aqui também < na aplicação do questionário de diagnóstico e explanação do projeto de pesquisa foi solicitado aos mesmo que trouxessem para este encontro o livro>. O que vocês vão observar no livro é o desencadeamento conceitual das definições e teoremas, ou seja, vão analisar como é proposta a definição do conceito; <DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática. 2008>. Relativamente à trigonometria, observem o livro dedica uma unidade com 7 capítulos e apresenta a divisão desses em seu sumário da seguinte forma: 14. Trigonometria no triângulo retângulo; 15. Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer; 16. Conceitos trigonométricos básicos; 17. Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica; 18. Relações e equações trigonométricas; 19. Transformações trigonométricas; 20. Senóides e fenômenos periódicos. Todos estes temas nós

124 abordaremos aqui com, tudo bem que partiremos deste enfoque que está aqui, mas com um aprofundamento teórico. A: É, mas não vi isto, eu também, eu também... P: Calma nós vamos ver tudo isto agora e mais um pouco, mas voltando a atenção para o livro. Temos no capítulo 14, Trigonometria no triangulo retângulo, vamos ver, é trabalhada a ideia de seno, relacionando-o à altura e percurso em uma subida para interrogar qual seria mais íngreme, isto é, para observar o ângulo de subida Figura 8: Rampa ilustrativa da atividade. Fonte: O autor, 2015 A: professor o que é para fazer aqui P: Bom quero que vocês observem como o conteúdo está apresentado, a ideia a definição, por enquanto não vamos resolver nada, façam anotações de partes interessantes. Vamos lá seguindo olhem na página 190, aqui o autor, define formalmente seno de um ângulo usando semelhança de triângulos (Dante 2008, Página 190). A: Isto eu lembro não relacionado a lados do triangulo neste caso. P: Isto, isto mesmo, observe que o autor usa isto para definir seno e menciona que seno depende apenas do ângulo e não do triângulo que o contém, o destaque e para esta ideia no capítulo com o tópico Seno, cosseno e tangente só dependem do ângulo ; essa ideia é justificada com semelhança de triângulos. Olhem e observem que o autor utiliza a todo momento em suas definições com a representação geométrica, ai a importância de vocês vinculares a disciplina de Geometria aqui, vocês tem esta disciplina este ano não. A: temos, outro Vichi, é difícil professor. P: Voltando aqui terminando o capítulo 14, com exposição sobre algumas relações trigonométricas, o livro se dedica à aplicação de razões trigonométricas na resolução de problemas que envolvem medições, distâncias inacessíveis, força, trabalho, etc. No capítulo 15, Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer, o livro se dedica ainda às aplicações para resolução de problemas, utilizando inclusive lei dos senos e lei dos cossenos. O livro deixa clara a necessidade de em algum momento de se definir o objeto seno em outro universo (relativo a ângulos com medidas maiores que 90º). P: No capítulo 18, Relações e equações trigonométricas, é basicamente procedimental. O autor inicia com uma definição de cotangente, secante e cossecante pelas igualdades abaixo olhem aqui, mas estas relações não estão relaciona com as projeções no círculo trigonométrico, e isto nós vamos fazer em momento oportuno tudo bem. E seguindo adiante no capítulo 19, Transformações trigonométricas, observem que este capítulo é voltado para as aplicações dessas propriedades, com alguns tratamentos simbólicos e alguns com problemas geométricos porém olhem observem o autor não se justifica nenhuma das igualdades abaixo, lógico este é um enfoque para o Ensino Médio, mas poderia ter feito, e nós vamos fazer este enfoque aqui. A; Ai professor é muita coisa, isto já está embolando minha cabeça, A: risos P: sei, mas isto é apena um olhar vamos caminhando passo a passo, olhem que vocês no questionário a maioria disse que nunca tinham estudado, só estou mostrando que a trigonometria é conteúdo do Ensino Médio. P: E podemos brincar com este conteúdo vocês vão ver vão brincar literalmente. A: Não tem brincadeira mais fácil não, risos. P: Vamos lá, observem o início do capítulo 20, Senóides e fenômenos periódicos, que trata de funções trigonométricas. (Dante 2008, página 230), Nesse capítulo, o livro trata ainda de características do gráfico como: imagem, periodicidade, dilatação, contração e translações e modelos matemáticos com senóides para fenômenos periódicos como altitude das marés e movimento harmônico simples. Assim o autor termina o conteúdo de trigonometria. Agora vou distribuir um papel e vocês vão fazer uma análise de

125 como foi apresentado este conteúdo a vocês, vou cortar esta folha se sulfite ao meio pois sei que aluno não gosta de escrever. Nosso objetivo não foi fazer uma análise do livro didático adotado na rede de ensino, e sim observamos como estão dispostos os conteúdos que será abordado em todo o processo formativo, contudo foi observado em cada tópico da disposição do conteúdo, em como o autor apresenta o conteúdo, as ilustrações, a contextualização do conteúdo, as demonstrações e as conexões entre cada tópico. O encontro seguinte sob uma situação problema discutimos o Teorema de Pitágoras, partimos com uma abordagem de triângulos semelhantes, onde a demonstração do teorema foi feita com triângulos semelhantes, assim descrevemos parte da discussão no encontro seguinte. Segundo Encontro Realizado em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo de 10 minutos após as duas primeiras, com a seguinte pauta. Tema: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Triângulo retângulo: razões trigonométricas. Objetivos: Discussão e registro da definição do conceito de seno, cosseno, tangente. Utilizar um applet para propiciar uma melhor compreensão entre a imagem e o conceito e fazer uma definição formal. Exercícios de contextualizados. Quadro 5: Pauta do segundo encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro A organização matemática foi no sentido de uma técnica de provar, sendo que consideramos um problema partindo da medição de ângulos, e com a definição de um triângulo, partindo de uma figura geométrica plana constituída por três lados e três ângulos internos, sendo que esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida denominada grau e cada um deles tem medida entre 0 o e 180 o, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180 o.

126 125 Figura 9: Semelhança de triângulo com Applets no GeoGebra. Fonte: O autor, 2015 Segue parte da transcrição [2:200] P: Bom pessoal boa noite, retomando a trigonometria, no encontro anterior observamos um pouco da história da trigonometria, e discutimos como é apresentada no livro didático do ensino médio, hoje apresento a vocês um applet que vamos utilizar em um programa chamado GeoGebra, nós vamos observar a figura. Observem temos dois triângulos, para visualizar melhor um com contorno azul e o outro com contorno vermelho. Observe no comando α ele nos permite aumentar e diminuir a amplitude ângulo A medida que aumentamos o ângulo a relação do seguimento AC para BC vai alterando, verificaram? A: Sim na figura aumentando o ângulo do triângulo e a medida de AC vai aumentando e diminuindo. P: Isto, mas por que não altera a medida dos outros lados dos triângulos. A: Por que quando mexe no ângulo só a medida do outro lado dele é que mexe os outros são fixos. P: Bom, então vamos trabalhar com o ponto B e B 1 respectivamente, o que acontece? Agora vou movimentar o ponto A e A 1, respectivamente o que acontece. Observem a relação matemática entre estas medidas aqui e aqui (se referindo a medida dos seguimentos AC e AB) observem. A: Sim ai é um razão não é professor? P: Sim uma razão entre estes seguimentos, todos estão conseguindo observar as razões destes seguimentos aqui <se referindo as razões para o seno, cosseno e tangente>. A: Sim estamos vendo sim P: Então agora vamos ver isto algebricamente, vamos anotar e demonstrar que conceito está implícito nesta situação. Agora aqui ao lado da projeção, vamos desenhar duas retas, isso, agora vamos chamar esta de r e esta de s, tudo bem? Ok, em seguida as retas perpendiculares a esta reta s aqui e vamos marcar os pontos. No quadro negro realizamos a demonstração algébrica e geométrica a partir de triângulos semelhantes, assim temos o desencadeamento conceitual para a noção de seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo. Segue a definição: Seja um ângulo B, vamos marcar sobre um de seus lados os pontos e vamos conduzir, por eles, as perpendiculares (conforme figura abaixo)

127 126 Figura 10: Ilustração do esboço feito no quadro negro Fonte: O autor, 2015 Definimos algebricamente e geometricamente que o seno de x é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o seno de x por sen x, temos: ; E cosseno de x é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o cosseno de x por cos x, temos: ; Tangente de x é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo. Indicando a Tangente de x por Tg x, temos:. Um fato interessante discutido e observado no apllet com os licenciandos foi a discussão em torno da figura; usando o fato de que os triângulos A1BC1, A2BC2, A3BC3, A4BC4,... são semelhantes, imediatamente concluímos que Assim como, e No quadro negro seguiu-se as demonstrações algébricas das razões diretamente proporcionais do seno, cosseno e tangente, a discussão seguiu utilizando um applet com o GeoGebra associando aos triângulos semelhantes vistos anteriormente algebricamente

128 127 e com o uso de applet, também sua relação com o teorema de Pitágoras, triângulos semelhantes suas características, neste caso conduzimos o licenciando a observar a constante de proporcionalidade presente nesta situação. Terceiro Encontro pauta. O Terceiro encontro foi realizado em 2 aulas de 50 minutos cada, com a seguinte Tema: Razões trigonométricas no triângulo retângulo Triângulo retângulo: razões trigonométricas. Exercícios de situação problema. Relação fundamental sem α + cos α = 1 e ângulos complementares e suplementares. Objetivos: Discutir as atividades visando à assimilação do conceito Compreender entre a imagem e o conceito e fazer uma definição formal. Quadro 6: Pauta do terceiro encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro No início da atividade apresentei e discuti o que se pretendia com a atividade e o objetivo; a metodologia utilizada foi a de situação problema e segundo alguns filósofos como Sócrates, esta atividade de resolução de problemas recaem na questão de pensar sobre o pensamento ; neste sentido, consideramos para esta ação que todo indivíduo já detém o conhecimento a ser usado para resolver o problema e, portanto, essa atividade serviu como um resgate recordação dos estudos já realizados. Sistematizamos a relação fundamental,, e a partir desta as demais relações fundamentais.,,,, e a partir destas a relações =,,, e. Em seguida apresentei três atividades no qual descrevo abaixo: Problema 1

129 128 Uma pessoa está distante a 80m de um prédio, e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16 0 em horizontal. Qual a altura do prédio? Dado Tg16 0 =0,28 Problema 2 Um avião levanta voo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15 0 com o horizonte. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? Dados: sem 15 0 =0,26 e tg15 0 =0,27. Problema 3 Dois observadores, A e B, veem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20 0 e 40 0, conforme indica a figura. Sabendo que a distância entre A e B é de 200m, calcule a altura h. Dados: Tg20 0 =0,364 e tg 40 0 =0,839. Figura 11: Ilustração da atividade Fonte: matcklk2011.blogspot.com/ Apresentamos estes problemas sem figuras, exceto o problema três e na sequência, para a discussão e execução das tarefas por parte dos licenciandos, em seguida esboçamos a resolução em forma de slide no Power Point de acordo com as lâminas abaixo:

130 129 Figura 12: Slide do Problema 2 com a resolução Fonte: O autor, 2015 Nesta atividade a proposta é familiarizar-se com as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente. A preocupação que já se inicia aqui é que se compreenda geometricamente o objeto que é calculado algebricamente. Figura 13: Slide do Problema 2 com a resolução Fonte: O autor, 2015 Esta atividade tem a mesma proposta da primeira, entretanto com mais de uma informação a ser obtida pelo licenciando e também com a preocupação geométrica com objeto que é calculado algebricamente, o importante foi o desenvolvimento da atividade inicial sem o esboço do desenho para em seguida na apresentação da resolução projetar o desenho.

131 130 Figura 14: Slide do Problema 3 com a resolução Fonte: O autor, 2015 Para a resolução desta atividade o licenciando necessita relacionar, buscar e estender, em suas ações a partir do entendimento das atividades anteriores os objetivos foram os mesmos, trabalhar e manipular mais de uma variável (a altura do balão em relação ao solo e a distância entre o ponto A e B) na resolução da atividade e entender a relação de dependência entre as elas. Terminada a revisão propomos uma atividade que se realizasse em grupo, a atividade consistia em medir a altura de um prédio, árvores, distância em um local de rotina do licenciando, utilizando as técnicas de trigonometria discutidas até então. Esta atividade foi exposta no encontro seguinte. Em seguida realizamos a demonstração da relação fundamental sen α+cos α=1, dos ângulos suplementares e complementares geometricamente e algebricamente. Quarto Encontro O quarto encontro foi realizado em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo de 10 minutos após as duas primeiras, com a seguinte pauta. Tema: Lei do seno e Lei do Cosseno Trigonometria em triângulos quaisquer, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Objetivo: Discutir e demonstrar seno e cosseno para triângulos quaisquer. Utilizar um vídeo aula como auxilia na fixação de uma situação problema. Quadro 7: Pauta do quarto encontro

132 131 Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Iniciei a aula com o problema proposto no encontro anterior que foi medir a altura de um objeto (árvore, prédio, etc) com os conhecimento de trigonometria já trabalhados em sala. Nesta situação os licenciandos foram convidados a usarem ideias, conceitos, algoritmos da trigonometria para medir a altura de um objeto em uma situação problema do seu cotidiano, além de aplicar conhecimentos já adquiridos; como tradicionalmente tem sido assinalado, há a possibilidade de os alunos adquirirem novos conhecimentos durante a própria atividade. Neste sentido criamos um ambiente de Modelagem que está associado à problematização e investigação, o primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo à busca, seleção, organização e manipulação de informações de trigonometria e reflexão sobre elas. Ambas as atividades não são separadas, mas articuladas no processo de envolvimento dos licenciandos para abordar a atividade proposta. Nela, podem-se levantar questões e realizar investigações que atingem o âmbito do conhecimento reflexivo. Os licenciandos relataram suas atividades em um portifólio que esboçava seus desenhos, seus relatos e a experiência; mediram desde a altura de um póste elétrico até uma geladeira dentro de casa e os relatos foram os mais diversos. Em discussão do problema proposto, o que me chamou a atenção foi mesmo não termos trabalhado com eles as medidas dos ângulos notáveis seno, cosseno e tangende de oº, 30º, 45º, 60º, e 90º. Muitos, ao medir o ângulo com o transferidor se posicionaram de maneira que a medida do transferidor fosse um destes ângulos, ou seja, eles afastaram ou se aproximaram do objeto até que o ângulo fosse conhecido; e os que realizaram a medida em função do ângulo achado com o transferidor fizeram seus cálculos com o auxílio do celular ou de uma calculadora, nenhum dos 40 alunos fez uma pesquisa em uma tabela trigonométrica para o valor da tangente. Em seguida discutimos e demonstramos a partir de triângulo retângulo e do triângulo equilátero os valores dos ângulos notáveis de 0 0, 30 0, 45 0, 60 0, 90 0, esta foi realizada no quadro negro e com um triângulo retângulo e outro equilátero construído

133 132 em material de EVA 13 para a melhor visualização tanto na forma geométrica como na álgebra dos ângulos e seus valores. Em seguida, para finalizar a atividade e a discussão, apresentei o video da TV escola de número 41, no video é abordado como se medir a altura de um prédio sem ter que subir no mesmo e utilizando os conhecimentos de trigonometria. Após assistirem o vídeo a discussão fluiu em torno de medidas de distâncias se utilizando o triângulo retângulo, até que surgiu a questão se nem sempre tivermos um triângulo retângulo, dá para medir também. Então, com nossa proposta da metodologia Design Based Research, permite ajustes, tanto no processo formativo quanto no investigativo, me permitiu fazer uma abordagem da Lei do Cosseno e Lei do Seno; neste sentido a indagação foi se esta medida fosse a altura de uma montanha qual seria as atitudes deles para executar a medida da montanha? Neste momento realizamos um esboço no quadro negro de uma montanha e assim nosso triângulo continha um dos ângulos maior que 90º projetado no centro da montanha, triângulo obtuso, em seguida simulei uma medida de uma distância de um ponto qualquer de outro lado da margem de um rio, onde o triângulo construído fosse um triângulo qualquer mas não retângulo, então fizemos a demonstração algébrica da LEI DOS COSSENOS para o triângulo acutângulo e para o triângulo obtusângulo, em seguida apresentei dois exercícios de aplicação e contextualizado da Lei dos Cossenos. Como também já tinha preparado outro vídeo da TV escola que abordava a LEI DOS SENOS, LEI DOS COSSENOS, aproveitando que a aula estava fluindo para esta questão, os licenciandos assistiram os vídeos que trabalhava o conceito da trigonometria para triângulos quaisquer, no caso abordou a lei do Seno e a Lei do cosseno em que a abordagem foi da medida do Rio Pinheiros de São Paulo, utilizando uma trena e os conhecimentos de trigonometria que acabávamos de abordar. 13 EVA, em português, é a sigla de Espuma Vinílica Acetinada, sigla escolhida para coincidir com a do nome técnico de sua matéria-prima, Ethylene Vinyl Acetate. É um material termoplástico, uma espuma sintética de custo acessível muito usada para produtos infantis e material escolar. Trata-se de um material bastante flexível, apropriado para diversas finalidades.

134 133 Assim, em nossa aula abordamos os conhecimentos de trigonometria no triângulo retângulo a Lei do Seno e Lei do Cosseno e, juntamente com os licenciandos, realizamos uma abordagem geométrica da situação; em seguida fizemos uma demonstração analítica do desenho onde voltamos aos exemplos do início da aula para aplicar os conhecimentos de trigonometria para medir qualquer distância ou altura seja com triângulo retângulo ou qualquer outro triângulo que se apresentar em uma situação do nosso dia-a-dia apresentamos uma lista de atividades envolvendo o conceito de trigonometria no triângulo de aplicação e contextualizado da Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Cabe aqui registrar a fala não só de um dos licenciandos: agora professor faz aquela questão do primeiro dia de aula onde você perguntou para que serve a trigonometria e se nós conhecemos o que é trigonometria. Em seguida com o uso do software GeoGebra, mais precisamente com o auxílio de um Applet, realizamos uma nova investigação dos conceitos abordados e discussão dos fundamentos da trigonometria desde uma triângulo retângulo até um triângulo qualquer. Quinto Encontro pauta. O quinto encontro foi realizado em 2 aulas de 50 minutos cada, com a seguinte Tema: Lei dos Senos e Lei do Cosseno Trigonometria em triângulos quaisquer, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Exercícios contextualizados da Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Objetivo: Exercícios contextualizados da Lei dos Senos e Lei dos Cossenos. Quadro 8: Pauta do quinto encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Atividades sobre o assunto estudado foi realizada em duplas a sua resolução, com o objetivo de instigar a discussão sobre a atividade proposta. Para a abordagem do

135 134 conteúdo de trigonometria no triângulo retângulo realizamos uma atividade envolvendo situação problema, exercícios estes de fixação dos conteúdos abordados. 1) Uma firma de engenharia deve construir uma ponte unindo duas montanhas para dar continuidade a uma estrada. O engenheiro tomou como referência uma árvore, conforme a figura abaixo. Qual será o comprimento da ponte? Figura 15: Ilustração da ponte na montanha Fonte: matcklk2011.blogspot.com/ 2) Na figura abaixo um observador está no ponto A e quer saber a distância entre o ponto onde ele está e uma árvore situada do outro lado do rio. Figura 16: Ilustração do rio com os pontos A e B Fonte: Dante 2003, p19 O observador se locomove de A para B, de onde avista também a árvore (no ponto p). Qual é a distância de A até P sabendo que a distância de A até B é de 550m, a medida do ângulo BÂP é igual a e a medida do ângulo A P é igual a 45 0? 3) Um observador colocado a 25m de um prédio vê um edifício sob certo ângulo; afastando-se em linha reta mais 50m nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício?

136 135 Lembrete: Num triângulo qualquer um ângulo externo, suplementar ao ângulo de um dos vértices, é igual à soma dos outros dois ângulos internos não adjacentes a ele. Figura 17: Ilustração do prédio Fonte: O autor, 2015 Relato de atividade de trigonometria no triângulo Retângulo [5:100] P: As atividades são as seguintes: No primeiro diz o seguinte: Uma firma de engenharia deve construir uma ponte unindo duas montanhas, para dar continuidade a uma estrada. O engenheiro tomou como referência uma arvore, conforme a figura abaixo. Qual será o comprimento da ponte? Observe o seguinte, na figura vamos olhar primeiro as informações que a figura nos fornece, olhem ai temos dois triângulos um com o ângulo de 20 0 e o outro com o ângulo de 24 0, e este 10 é metros a medida e se refere ao primeiro trecho da ponte olhem bem isto. O segundo problema tem a seguinte descrição: Na figura abaixo um observador está no ponto A e quer saber a distância entre o ponto onde ele está e uma arvore situada do outro lado do rio. O observador se locomove de A para B, de onde avista também a arvore (no ponto p). Qual é a distância de A até P sabendo que a distância de A até B é de 550m, a medida do ângulo BÂP é igual a e a medida do ângulo A P é igual a 45 0? Observe bem as duas figuras ilustrativas para que vocês possam assim visualizar os triângulos que são necessários para a conclusão desta atividade. E por último um observador colocado a 2 5m de um prédio vê um edifício sob certo ângulo, afastandose em linha reta mais 50 m, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício? Lembrete: Num triângulo qualquer um ângulo externo, suplementar ao ângulo de um dos vértices, é igual à soma dos outros dois ângulos internos não adjacentes a ele. Bom nestes exemplos de aplicação da trigonometria vocês vão fazer o uso de todas as ferramentas já estudadas até aqui. A: pode usar a calculador P: sim todas as ferramentas que estão aqui na frente, inclusive a calculadora, mas quero descrito todas as ações para a resolução da atividade. Assim procedeu-se um atendimento individual à medida que foram surgindo as dúvidas doas alunos. A: Professor neste primeiro vai usar seno ou cosseno, e esse 10 aqui é metro. P: sim este é a medida do primeiro trecho da ponte e você pode usar tanto o seno como o cosseno, mas antes verifique as informações que você pode retirar deste problema, para que você não faça contas demais, olhe o ângulo formado neste primeiro triângulo cujo ângulo é 20 graus, e com isto acredito que pode ser utilizado a tangente, mas tome cuidado com a medida deste cateto aqui (10+x) quis se referir neste momento.

137 A: Professor pode fazer direto, usando a tabela deste livro (Aluno se referiu da tabela ao final do Livro de Gelson Iezi). P: Sim pode utilizar. A: Professor aqui não vai ser triângulo retângulo e aí vai usar aquele outro. A: Sim este você vai utilizar a Lei do seno ou cosseno. Sim aqui você já fez 2+y isto aqui multiplica com quem. A: É a tangente que vou usar aqui ne. P- Sim a tangente, mas você tem aqui uma incógnita que você chamou de y. A: Explica aqui pois no meu caderno não consigo achar nada. P: Isto acontece sempre, mas vamos lá, olha aqui, isto aqui no seu caderno, veja o que você já tem, então você já tem os ângulos e as medidas aqui, agora, está anotação na atividade, é a tangente qual a relação que fazemos da tangente, A: A sim agora sei faço duas vezes a tangente, uma para este ângulo de 20 graus e outro p este de 24 graus, aí, pera ai, vou resolver e já te chamo. A: Outro aluno chama, olha eu multipliquei este por 49 e daí não deu. P: Pessoal vocês observem que para utilizarem a Lei do seno vocês terão o seguinte (formula) então se tem uma relação de equivalência aqui, logo posso trabalhar com duas e depois com a outra fazendo uma regra de três com estes dados aqui, certo. E a Lei dos cossenos, eu vou precisar da medida do seguimento apenas uma medida e o ângulo que já está no exercício e sempre se aplica estas Leis se for triângulo qualquer, no retângulo não pois já discutimos isto. A: Voltando ao aluno anterior e agora professor posso igualar isto com isto. P: Certo agora você já tem em função desta variável que você chamou de y igualando isto com isto acha o valor desta variável. A: Professor neste exercício dois pode usar a Lei dos cossenos. P: Bom então, primeiro vai ver as informações que vocês possuem aqui, isto, está, você tem a distância e o ângulo, aplicou na fórmula, certo agora é só resolver as contas, muito bem. Isto verifica que na Atividade três não teve dúvidas em função dos alunos já assimilarem a sequência de raciocínio exigida nos problemas. Bom terminando vou recolher e seguimos com o comentário das atividades no próximo encontro ok. Na discussão acima relatamos algumas interações do licenciando com o professor; fica evidente a dependência do licenciando ao solicitar algumas em conformações que ele sabe estar fazendo correta, característica essa da dependência oriunda da educação básica e evidenciada na fase de participação de Tzur et al (2004) em uma THA Trigonometria no Ciclo Trigonométrico O contexto deste tema foi então organizado em quatro encontros, ou seja, do sexto até o nono encontro da proposta formativa, tendo um total de 12 seções de 50 minutos cada, com o objetivo de conceituar as razões trigonométricas no ciclo trigonométrico estão associados à contextualização dos conceitos abordados em trigonometria no triângulo retângulo e triângulo quaisquer, ao cálculo algébrico e geométrico no ciclo trigonométrico. Sexto Encontro

138 137 O sexto encontro com 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo da 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: ciclo trigonométrico Com material concreto visualizar o ciclo; Conceituar e definir arco e ângulo no ciclo. Objetivo: Visualizar geometricamente que a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro é uma constante. Assim, apresentar π como o valor dessa constante real. Familiarizar-se com o cálculo algébrico do comprimento da circunferência. Visualizar geometricamente o cálculo do comprimento da circunferência. Observar que quando as medidas do arco e raio são iguais, o ângulo é constante. Justificar e formalizar as ideias exploradas Quadro 9: Pauta do sexto encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Iniciamos com um ciclo construído em madeira com os eixos trigonométricos e apenas furos nos respectivos ângulos notáveis e seus correspondentes nos demais quadrantes; iniciaram com um pouco da história antiga desde os egípcios até o Almagesto de Ptolomeu, que se refere às cordas trigonométricas. Definimos e explicamos por que o que utilizamos tem raio 1, seu diâmetro e, com o material exploramos o ciclo de modo a identificar o raio, a circunferência e transferindo o triângulo retângulo para o ciclo com auxílio de elásticos e pregos, assim transportamos para o ciclo os conceitos até então do triângulo retângulo, observando o arco correspondente ao ângulo do triangulo no ciclo, isto é, a preocupação que já se inicia aqui é que se compreenda geometricamente o objeto que é calculado algebricamente. Segue parte do relato na discussão em sala [6:200]: P- No início, chamo a atenção dos licenciandos, do seguinte modo: Com um ciclo confeccionado em madeira, sem marcação, apenas com furos nos ângulos notáveis e seus suplementos e complementos, disse, o que nós estudamos acabou, ficou para trás. P- Isto, sumiu, é professor. A- O que é isto daqui? P-Um círculo? O que é um círculo? O que é uma circunferência? Qual a diferença dos dois? A Bom é círculo é isto ai <apontando para o objeto na mão do professor> e circunferência é a linha na extremidade. P Isto correto isto mesmo, pega aqui para você visualizar melhor, ok, observe bem, mas agora o que isto tem a ver com o conteúdo já estudado, ou melhor, o que tem a ver com a trigonometria no triângulo que acabamos de estudar, o que tem a ver com o Triângulo retângulo, o seno, o cosseno a tangente, com este ciclo, ou este objeto em sua mão. A A tangente que corta o círculo, e pode formar um triângulo.

139 P De que forma. A -???? P Então vamos recordar um pouco de como surgiu estas questões e como elas se relacionam. Desde a Babilônia, dos Egípcios quando eles trabalhavam com cordas trigonométricas, e transferiam estas medidas para o ciclo trigonométrico. Neste instante foi apresentado 10 lâminas em Power Point se referindo a História da matemática no ciclo trigonométrico. P. Assim com auxílio de elástico de prender dinheiro e alguns pregos fomos mostrando os triângulos no ciclo construído em madeira, e assim construímos os eixos cartesianos no ciclo, assim definimos medida de ângulo, mencionamos a medida de arcos com relação ao raio e a divisão do ciclo trigonométrico em 360 partes. Então vejamos o triângulo retângulo no ciclo, assim visualizem os ângulos notáveis aqui olhem o e 90 0 graus no ciclo. Trazendo a projeção dos Catetos e da Hipotenusa no ciclo trigonométrico. Em seguida entes de prosseguir e falarmos em quadrantes veja aqui no ciclo <para que os licenciandos em grupo pudessem manipular o material e eles construírem os triângulos e suas relações no ciclo>. A Professor onde está o Pi aqui, lembra que já vi isto antes. P O que é Pi. A É a relação entre o comprimento e o diâmetro da circunferência Professor. P Isto então vai fazer esta relação aqui, dois alunos aqui para me ajudar, bom vamos pegar no meu material um pedaço de barbantes, agora medimos o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. Isto agora vai às ralações destas medidas e verificar o que encontramos. A Legal nunca tinha feito isto. P Logico a dizima que encontramos, ou seja, 0, são estes pedacinhos de barbante que temos aqui. P Agora vamos fazer o seguinte medimos um ângulo qualquer no ciclo, vejamos se pegamos este arco aqui no ciclo, agora vamos relacionar esta medida de ângulo com este arco, que arco é este. A É., radiano, outro aluno viu isto também professor. A- Isso é interessante, professor agora que percebi,..., esta relação que fizemos eu já tinha visto isso, mas não manipulando aqui < se referindo ao objeto em EVA> e tudo ficou mais claro. P Então o que é radiano, Bom temos a seguinte relação à medida do ângulo e igual ao arco em relação ao raio. A medida do radiano corresponde à medida de um raio do ciclo de raio 1. E temos a seguinte O cálculo do radiano é feito a partir de uma circunferência de raio r e um arco dessa mesma circunferência ( ), se a medida do arco for à mesma medida do raio, veja aqui nesta simulação neste ciclo que acabamos de montar, assim, dizemos que a medida do arco ( ) é igual a 1 radiano, ou seja, 1 rad. Assim, podemos definir um radiano como sendo um arco onde a sua medida é a mesma do raio da circunferência que contém o arco. O valor do ângulo α será igual a 1 radiano, se somente se, o valor do arco correspondente a ele for igual a 1 radiano. Agora vamos projetar a medida do seno e cosseno no ciclo, bom onde fica o seno, A--..., E p cosseno, A Agora confundiu professor, volta ai, eu me confundo com isto sempre,... P Bom assim vamos projetar, o seno sempre projetamos neste eixo, o eixo das abcissas, eixo do y e o cosseno no eixo das ordenadas, eixo do x, a assim também vamos ver o seguinte nosso ciclo está dividido em 4 partes, e chamamos estas partes de quadrantes, este é o primeiro, este o segundo este o terceiro e este o quarto quadrantes, e assim vamos projetar as medidas do seno nestes quadrantes verificando o cateto oposto ao ângulo, sempre este angulo é no centro aqui olhem só, o cateto adjacente e a hipotenusa, vejam que aqui com este material podemos visualizar, e pergunto por que o valor do seno é sempre é menor ou igual a 1, por que isto. A Não é porque o raio é um. P Isto, ele só vai ser um ser tiver aqui (90 graus), que vai ser o raio do ciclo, e assim vamos ver o valor do seno para estes quadrantes, por exemplo, o ângulo de 60 graus, olhem esta medida, agora projetamos no eixo do y e temos que para cá ele é positivo, e no segundo, olhem aqui também vai ser positivo, agora no terceiro quadrante está aqui embaixo vamos supor esta medida de ângulo este á o arco e o triângulo está aqui, vejam no ciclo (madeira), agora vamos projetar esta medida do cateto, este é o cateto não (Sim) ele vai estar aqui olhem este valor no eixo do y é negativo. A O seno do quarto também vai ser, pois vai projetar embaixo também. P Isto, isto mesmo, observem aqui. P: Bom agora vamos fazer o mesmo para o cosseno (Expliquei o valor em todos os quadrantes). Agora temos a tangente onde está o eixo da tangente, olhem aqui para este ciclo trigonométrico e me digam.

140 A Tangente esta paralela ao eixo y, mas ela passa por aqui exatamente na extremidade do raio, tangenciando a circunferência, observem que toca apena em um ponto da circunferência, Então vamos agora definir tudo que discutimos neste ciclo até agora, teorizar e provar. Em seguida definimos que a medida em Graus de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente, isto é, um arco unitário igual a da circunferência que contém este arco; e Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido, assim propomos um desafio aos licenciandos em converter em graus o arco 1 radiano (rad.). Uma das respostas seguiu da seguinte forma: A: Professor, então o círculo completo tem 360º ou 360 partes, e comprimento do círculo é o mesmo que estudamos na circunferência no Ensino Médio que é 2. π.r. P: Disse isto então prossegue como r = 1 temos que: A: 2π radianos = 360º radiano = x º X=1x360/ (2π) =180/π 57, º, ou expressando em graus, minutos e segundos: 1 radiano 57º 17' 44, " A rotação no sentido anti-horário, os quadrantes, a identificação do ângulo a partir da origem do ciclo, os arcos notáveis que são os pontos que coincidem com o eixo cartesiano que são 0 0, 90 0, 180 0, , respectivamente. Em seguida abordamos os arcos côngruos e sua notação algébrica. Discutimos as medidas do arco em grau e radiano realizando a transformação e mostrando a correspondência entre eles em função do raio. No quadro negro foi definido e demonstrado o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante, a cossecante no ciclo. Sétimo Encontro pauta. O Sétimo encontro foi realizado em 2 aulas de 50 min cada, com a seguinte Tema: Ciclo trigonométrico. Atividade com jogo de dominó trigonométrico Objetivo:

141 140 Associar números reais a pontos da circunferência trigonométrica. Familiarizar com a circunferência trigonométrica. Conceituar arco trigonométrico. Conceituar e identificar números congruentes na circunferência trigonométrica. Obter determinações de um arco trigonométrico, principalmente a determinação principal. Quadro 10: Pauta do sétimo encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Com um pouco da história da matemática no encontro anterior inserimos o conteúdo de Arcos e Ângulos e em seguida realizamos no quadro negro. Para contextualizar e fixar estes conceitos realizou-se uma atividade com o uso de jogos no intuito de os licenciandos associarem a medida de um arco no ciclo trigonométrico com uma unidade de medida. Adotamos, para evitar as confusões, o jogo de Dominó; na discussão do conteúdo de arcos e ângulos no ciclo trigonométrico, utilizamos o jogo de dominó de arcos e ângulos (POLONI, LOBO DA COSTA, 2013), que tem as mesmas regras que o jogo de dominó comum 14, entretanto não se colocam lado a lado peças iguais, mas sim peças que possuam valores equivalentes para os arcos, medidos em graus ou em radianos, foram confeccionados dois jogos, sendo um para arcos e ângulo de 0 0 a e seus respectivos arcos em radianos, e outro com arcos e ângulos de a 360 0, sendo que neste segundo exploramos o conhecimento do conteúdo em um nível de conhecimento mais elaborado (Figura 18). A Figura 18 mostra a sequência dos dois modelos do jogo de dominó; o licenciando, após jogar o jogo 1 e aprender as representações de grau e radiano e suas conversões, passava para o jogo2, sendo que neste jogo as medidas dos ângulos, bem como sua conversão, eram de um grau de dificuldade maior, pois são medidas arcos e ângulos incomuns nas abordagens deste conteúdo no Ensino Médio. 14 Regras do dominó comum para 4 jogadores: São distribuídas 7 peças para cada jogador; dá início ao jogo o jogador que tiver a peça dupla de maior valor; as peças de valores iguais devem ser colocadas lado a lado; se o jogador não tiver uma peça para colocar na mesa deverá passar a vez; vence o jogador que colocar todas as suas peças na mesa primeiro.

142 141 Os licenciandos logo perceberam e associaram as regras de um jogo de dominó tradicional ao de arcos e ângulos no ciclo trigonométrico e foi considerado como tendo grande potencial para a aprendizagem. Figura 18: Peças do jogo de dominó trigonométrico Fonte: O autor, 2015 Seguidamente, numa atividade com um ciclo trigonométrico projetado na Lousa os licenciandos foram identificando os ângulos em grau e radiano nos respectivos quadrantes. Oitavo Encontro O oitavo encontro foi realizado em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo de 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: Ciclo trigonométrico Ciclo trigonométrico, Software GeoGebra. Objetivo: Observar os processos da aprendizagem dos licenciandos em uma sequência de atividades. Integrar o licenciando à tecnologia na resolução de problema. Verificar a evolução da compreensão do conceito seno, cosseno, tangente cotangente, secante e cossecante por parte do licenciando. Associar números reais a pontos da circunferência trigonométrica. Familiarizar com a circunferência trigonométrica e conceituar arco trigonométrico. Conceituar e identificar números congruentes na circunferência trigonométrica. Obter determinações de um arco trigonométrico, principalmente a determinação principal. Quadro 11: Pauta do oitavo encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro

143 142 Antes de iniciar a atividade um licenciando confeccionou um jogo para o conteúdo de ciclo trigonométrico e pediu para apresentar aos colegas; o jogo consiste no jogo de memória, no qual as cartas estão em grau e radiano; o licenciando tinha que formar pares e ganha o licenciando que acumular o maior número de pares. Segue foto do jogo. O licenciando confeccionou dois jogos semelhantes: um para ângulos de 1º e 2º quadrantes e outro para ângulos do 3º e 4º quadrantes, na foto abaixo o jogo para ângulos de 1º e 2º quadrantes. Figura 19: Peças do jogo de dominó trigonométrico Fonte: O autor, 2015 A aula seguiu no laboratório de informática; cada um dos licenciandos se sentaram em um computador que já continham os applets propostos para a atividade; optei por applets em função da adaptação do licenciando ao software. Os computadores já estavam com os seguintes applets instalados: Aplicativo do ciclo trigonométrico no qual os licenciandos podiam marcar as coordenadas, o quadrante, verificar o sentido da rotação, o seno, o cosseno e a tangente e o ângulo com o seu complementar. No applet, ao movimentar o ponto P, eles verificavam os conceitos abordados e definidos anteriormente. Atividades de Matemática Elementar- ciclo trigonométrico. 1) Localize os arcos Em seguida dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um deles. 2) Localize os arcos Em seguida dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um deles.

144 143 3) Localize os arcos Em seguida dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um deles 4) Analisando os exercícios acima, descreva o comportamento do seno, do cosseno, da tangente, da cotangente, da secante e da cossecante nos respectivos quadrantes do ciclo trigonométrico. Figura 20: Applet ciclo trigonométrico Fonte: O autor, 2015 Um segundo applet foi o aplicativo de arcos notáveis no ciclo trigonométrico, neste applet os licenciandos discutiam e verificavam os ângulos e seus respectivos arcos correspondentes bem como o valor para cada; assim, no manuseio, verificavam os ângulos correspondentes no II, III e IV quadrante.

145 144 Figura 21: Arcos notáveis no ciclo trigonométrico Fonte: O autor, 2015 Outro applet disponibilizado foi o de seno, cosseno, tangente, cotangente e outro com a secante e cossecante. Neste o licenciando ao movimentar o ângulo α, verificava em azul o seno, em vermelho o cosseno, em verde a tangente e em amarelo a cotangente, assim conseguia evoluir sua compreensão do conceito já visto. Verifica-se ainda os respectivos valores para o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente do ângulo dado, no caso da figura abaixo o ângulo de Figura 22: Applet seno, cosseno, tangente e cotangente no ciclo trigonométrico

146 145 Fonte: O autor, 2015 O último applet que apresentamos na aula foi o de secante e cossecante. Neste ao movimentar o ponto P ou o comando para o ângulo α, verificou-se os valores para o seno e cosseno, também a relação algébrica da secante e cossecante com seus respectivos valores e no gráfico em azul a medida do seguimento que corresponde a cossecante e em vermelho a medida que corresponde a secante. Figura 23: Applet da secante e cossecante no ciclo trigonométrico Fonte: O autor, 2015 Segue abaixo um dos trechos da transcrição do fragmento da utilização do applets no software GeoGebra [8:200] P: Agora este applet é da secante e cossecante, como A Professor Como assim aqui tá em radiano, como marco aqui. (licenciando se refere ao ângulo dado que no applet está em graus). P: um do objetivo é que você faça primeiro a conversão de radiano para grau. A: assim esta boa é isto marco aqui,... P: Isto ai agora você observa no ciclo o que acontece com cada um no primeiro quadrante a secante é positiva, mas olha aqui (se referindo ao ciclo no applet) o seno é? A: positivo. P: E o cosseno? A: positivo também P: Então observe agora a propriedade no caderno, isto ai, verifique esta relação < se referindo à definição da secante. A: <Outro (licenciando> Professor, olha aqui no terceiro quadrante seno é negativo e o cosseno é negativo também. P: isto e a secante olham, está projetada no eixo das ordenadas no caso o eixo x. A: sim e ela é negativa por que nesta relação aqui é um dividido por este valor negativo e na e bateu certinho com o que está aqui no caderno. P: é isto ai é esta percepção que eu quero de vocês, relacionarem as definição com o que está acontecendo no ciclo ai no applet.

147 A: Professor, outro (licenciando<coloquei o valor aqui no caso é um porque este raio aqui é um. Se referindo ao raio no ciclo>. P: sim este raio é um que por definição e convenção é adotado raio um para o ciclo. A: no caso aqui a cossecante é um, mas a secante não tem. P: Se você percebe aqui, olha, a relação algébrica, um sobre cosseno e um dividido por um é um, mas a secante é um sobre zero, e por definição não se divide nada por zero, então não temos o valor da secante para este ângulo. A: tá. P: Pessoal qualquer dúvida é só me chamar. A: Olha estou vendo aqui nas propriedades dos quadrantes com relação a secante e cossecante, mas aqui não tem a relação da onde cresce e decresce. P: Sim, isto mesmo vai observando na teoria estas propriedades e verificando no applet, parabéns é isto mesmo. P: Pessoal, olhem estou verificando que muitos estão com o caderno e as definições e verificando, vá verdade é este o objetivo e na atividade 4 a proposta é esta verificar o comportamento da secante e cossecante nos quadrantes. E o objetivo de todos os ângulos estar em radiano é que vocês façam a conversão. A: Não era mais fácil ver no ciclo não. < Se referindo que eles já tinham as conversões feitas no ciclo trigonométrico no caderno>. P: Sim era, mas este não é o meu objetivo agora é que vocês façam as conversões.... Assim segue as discussões em aula; em tempo, foi passada uma relação de atividades para que os (licenciandos utilizem todos os applets disponíveis e identifiquem as propriedades trigonométricas. Nono Encontro No nono encontro foi realizado em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo de 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: Trigonometria em triângulos e ciclo trigonométrico Atividades contextualizadas dos conceitos abordados. Objetivo: Observar os processos da aprendizagem dos (licenciandos em uma sequência de atividades. Verificar a evolução da compreensão da trigonometria e ciclo trigonométrico por parte do licenciando. Identificar as evidências das relações da atividade no processo de construção do significado trigonométrico. Para estas atividades disponibilizamos todos os applets, os jogos e materiais pedagógicos utilizados no processo formativo até então. Quadro 12: Pauta do nono encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Distribuição das atividades e explicação de cada questão. Atividades de Trigonometria

148 147 1) Observe a figura abaixo. Mostre como você define o seno e o cosseno de um ângulo interno no triângulo retângulo. Os triângulos COD, EOF, GOH,..., são semelhantes, como você justificaria isto a seu aluno? Qual é sua explicação para com seu aluno? 2) Os tripulantes dos barcos A e B avistam o topo do farol segundo ângulos de 53 0 e 33 0 respectivamente. Sabendo que o farol se encontra a 125m de altura, determine a distância entre os dois barcos. 3) Em uma avaliação com alunos do Ensino Médio em algumas provas apareceram as seguintes afirmações. Corrija, analise e justifique cada uma dessas afirmações e considerações realizadas nas respostas dos alunos, considerando que você precise dar uma devolutiva ao aluno. Se sen 90º = 1, então o sen180º= 2. 0,2. Se o seno de um ângulo é 0,2, então o cosseno de seu complemento também é Se sen de 30 0 =, então, pois trinta é metade de 60, então se ele vale, 60 vale 1.

149 148, por que 150 > 60, assim como cos, pois 225 > 15. 4) Uma circunferência tem diâmetro igual a 60 mm a) Calcule o comprimento da circunferência em centímetros; b) Calcule o comprimento do arco de dessa circunferência. 5) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m seguindo uma direção que forma um ângulo de 30 com uma das margens. Determine a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio. 6) Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3,25m de comprimento e α radianos de inclinação conforme figura. Devem-se construir, sobre essa rampa, 5 degraus de mesma altura. Se tg α = 5/12, a altura, em metros, de cada de grau será? 7) Calcule o comprimento: a)em radiano de um arco de comprimento 10,5 cm, em uma circunferência de raio de 3 cm. b) De um arco de graus, em uma circunferência de diâmetro igual a 60 mm. 8) Um topógrafo ao medir uma distância inacessível obteve as medidas abaixo, e esboçou um desenho das duas situações encontradas no campo de coleta de dados. a)determine a medida x indicada no triângulo acutângulo desenhado pelo topógrafo:

150 149 8 b) Determine o valor de x no triângulo desenhado pelo topógrafo: 6 8 Cada Atividade teve um objetivo específico, consideremos também, para compreensão dos objetivos, as respostas esperadas exibidas na próxima seção, já que estas podem também servir como norte do que pretendíamos com cada atividade. Na atividade 1 o objetivo foi levar o licenciando a familiarizar-se com as definições para o conceito de seno, cosseno e tangente no triângulo. Na atividade 2, entender a relação de dependência entre as variáveis. Compreender que, dadas duas quaisquer das três variáveis (Cateto adjacente, cateto oposto e hipotenusa), pode-se calcular a terceira. Na atividade 3, trabalhar conversões, trabalhar argumentação, distinguir unidade de medida. Na atividade 4, levar o licenciando a evidenciar outra maneira de relacionar arco e ângulo. Expor que, quando o ângulo é medido em radiano, este é numericamente igual ao arco (que tem o raio como unidade de medida, bastando para isso tomar r = 1). Na atividade 5 os licenciandos resolveram as tarefas efetuando os devidos cálculos algébricos e realizaram o esboço geométrico, distinguindo em qual situação se aplica a lei do seno, ou lei do cosseno ou ainda simplesmente o teorema de Pitágoras para as suas soluções trigonométricas.

151 150 Na atividade 6, faz que se compreenda através de diferentes representações graus, metro, altura e ainda realizar manipulação desses dados aplicando o conceito de seno, cosseno e tangente. Na atividade 7, explorar a afirmação dada na atividade 4. Na atividade 8, explorar a afirmação dada na atividade 6, entretanto, já com um esboço geométrico. Cálculo algébrico Funções Trigonométricas A caracterização dos conceitos de funções trigonométricas acontece do décimo ao décimo quinto encontro, e estão associados ao objetivo de conceituar as funções trigonométricas, e caracterizar a PCC no ensino deste tópico. Décimo Encontro pauta. O décimo encontro foi realizado em 2 aulas de 50 minutos cada, com a seguinte Tema: Função trigonométrica Definição de função trigonométrica. Objetivo: Definir de função trigonométrica; Definição e demonstração de função seno e função cosseno. Quadro 13: Pauta do décimo encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro No início da atividade realizei um breve comentário das atividades da aula anterior, revisando e apontando erros e acertos por parte do licenciando. A partir de algumas atividades exploradas no quadro negro, definimos a relação de dependência entre variáveis e o conceito de função. Esta relação de dependência de variáveis também é explorada na Disciplina de Cálculo I ofertada no primeiro ano de ingresso no curso de Matemática, assim, os licenciandos já tinham estudado este conteúdo na disciplina, então com um ciclo trigonométrico fomos pontuando os ângulos de 20 em 20 graus e transferimos estas medidas para o plano cartesiano. Esboçamos o

152 151 gráfico que representava os pontos ligados entre si e reconhecimento (e possível ressignificação) da curva senoidal. Um vídeo, exemplificava o funcionamento de um motor de carro (Disponível no sitio You Tube), este vídeo possibilita a visão do pistão trabalhando com o movimento semelhante a uma curva senoidal. E em seguida, com um applet no GeoGebra e com uma foto ao lado mostrando o pistão do motor de um carro em movimento, simulando assim um movimento em um período, caracterizando a periodicidade. Figura 24: Foto de um Pistão de carro (movimento periódico) Fonte: You Tube - Movimento de um motor A foto acima foi obtida do vídeo, o qual simula um movimento periódico e serviu para conceituar periodicidade com os licenciandos, em seguida utilizamos o applet no GeoGebra para visualizarmos melhor a abordagem. Figura 25: Applet simulando a periodicidade.

153 152 Fonte: Adaptado da dissertação de Orfão, 2012 Em outro applet, verificamos no que se trata do gráfico da função seno e mostramos a relação entre o gráfico construído no quadro negro e o do applet ponto a ponto, reconhecendo as propriedades da curva (abscissa como comprimento do arco e ordenada como seno), ou ao reconhecimento de uma figura geométrica já conhecida (curva senoidal). Realizamos o mesmo procedimento para o cosseno e a tangente e na figura abaixo mostramos posterior à definição de seno, cosseno e tangente, a relação de dependência da tangente em função de seno e cosseno. Figura 26: Applet Função seno: ciclo e gráfico Fonte: O autor, 2015 Observamos que na figura abaixo, as janelas para o seno, cosseno e tangente no ciclo e seno, cosseno e tangente no gráfico, estão ativadas, com isto o licenciando compara graficamente o comportamento de ambas as funções conjecturando possíveis indagações e definições correlacionando-as.

154 153 Figura 27: Ciclo e gráfico do seno, cosseno e tangente Fonte: O autor, 2015 Na figura 25, observamos a relação entre o seno, cosseno e tangente verificando a definição e organizando melhor o conteúdo, assim discutimos com os licenciandos a definição e sistematizamos os conceitos de seno, cosseno e tangente anteriormente visto no triângulo e agora relacionando ao ciclo trigonométrico. Décimo Primeiro Encontro O décimo primeiro encontro foi realizado em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo de 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: Função trigonométrica Seno, cosseno, Tangente, Cotangente, secante e cossecante. Objetivo: Definir e demonstrar as funções trigonométricas. Quadro 14: Pauta do décimo primeiro encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Nesta aula, no quadro negro demonstramos e exemplificamos cada uma das funções e esboçamos seus gráficos dando o domínio e imagem. A discussão foi em torno de como você explicar, os conceitos de ângulo e de arco trigonométrico? Qual (is) estratégia (s) pode (m) ser utilizada(s) a fim de proporcionar aos alunos a construção do significado de periodicidade?

155 154 Nas definições em torno de entender, por exemplo, o significado da tangente de x, percebendo o x como argumento da tangente, e não como um produto de duas variáveis. Generalizar para as demais funções trigonométricas. Décimo Segundo Encontro Este encontro foi realizado em 2 aulas de 50 minutos cada, com a seguinte pauta. Tema: Funções trigonométricas Atividades com o software GeoGebra com auxílio de apllets. Objetivo: Definir e demonstrar as funções trigonométricas. Objetivo: Contextualizar o conceito de funções trigonométricas com o software. Quadro 15: Pauta do décimo segundo encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro No laboratório de informática, com o applet no Software GeoGebra, os licenciandos resolveram atividades cuja tarefa consistia em construir os gráficos das funções trigonométricas usando os comandos do GeoGebra. funções Atividade de Matemática Elementar funções trigonométricas Determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo das dada por: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

156 155 15) 23) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) Finalizamos a aulas com a proposta de discutir no próximo encontro; como neste foram apenas duas aulas a proposta foi deixar que os licenciandos manipulassem o applet e explorassem as informações fornecidas pelo software. Décimo Terceiro Encontro Realizada em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo da 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: Funções trigonométricas Atividades com o software GeoGebra com auxílio de apllets. Identidades trigonométricas. Objetivo: Contextualizar o conceito de funções trigonométricas com o software. Quadro 16: Pauta do décimo terceiro encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Nesta aula o objetivo foi apresentar uma proposta prática para professores do Ensino Médio ou futuros professores, de modo que seja interessante a abordagem do estudo das ideias que geram o conceito de funções trigonométricas a partir do plano

157 156 cartesiano e, para que isso ocorra, a proposta incide no reconhecimento da natureza cíclica dessas funções, no sentido de estender para outras particularidades desse tema. A primeira etapa estará focada na construção do gráfico do senóide (ou cossenóide, ou tangente) no plano cartesiano, usando os comandos do GeoGebra. O contexto deste encontro foi de um experimento de ensino organizado, considerando uma trajetória hipotética de aprendizagem (THA) no conceito de funções trigonométricas. O Experimento foi desenhado usando tarefas envolvendo recursos tecnológicos e considerando a concepção de uso da informática no ensino de matemática na formação de Professores integrado à prática pedagógica (LOBO DA COSTA, 2004). As tarefas destes módulos se articularam a partir dos seguintes pontos: Conceito de funções trigonométricas e sua relação com o ciclo trigonométrico; Exploração e conjecturas na validação entre o argumento de função trigonométrica e sua definição com o uso da tecnologia; Exploração gráfica com o Software das propriedades. O módulo I teve como objetivo definir e conceituar funções trigonométricas, sua notação algébrica, a construção gráfica da função seno e reconhecimento da curva senoidal (e possível ressignificação). No laboratório de informática, os estudantes utilizaram o Software GeoGebra para explorar as características de uma função trigonométrica (módulo II), formulação de conjecturas, validação de respostas e desenvolvimento do significado de argumento de funções trigonométricas com o software (módulo III), e módulo IV por tarefas como os estudantes consolidam os conceitos trigonométricos explorando a amplitude, o deslocamento vertical o domínio e período dado a partir do Software GeoGebra. No módulo IV cujo objetivo foi identificar nas respostas dos licenciandos a compreensão do argumento de uma função trigonométrica na fase de apropriação em uma HLT. Para isto os licenciandos receberam 12 funções trigonométricas com 4 tarefas relacionadas ao seno, cosseno e tangente e optamos pelos mesmos arcos para as funções com o objetivo de o estudante observar as regularidades nesta atividade e refletir sobre a HLT.

158 157 (i) Função seno: f(x) = sen x; g(x) = sen (x+ ); h(x) = sen (3.x); k(x) =-2.sen x. (ii) Função cosseno: f(x)=cos x; g(x); cos(x+ ); h(x)=cos(3.x); k(x)=-2.cos x. (iii)função tangente: f(x)=tg x; g(x)=tg (x+ ); h(x)= tg(3.x); k(x)=-2.tg. Tarefa 1: Construção de gráficos das funções utilizando o GeoGebra e, a partir de suas observações, responder seu Domínio, imagem, amplitude e período. OBS: Para melhor encaminhamento da atividade, construa a função f e outra (por exemplo, a função g) na mesma tela, observe e faça suas considerações, e siga assim, sempre a função f e uma das outras. Para cada uma dessas funções apresente o domínio, o conjunto imagem, a amplitude e o período. Tarefa 2: Observando a tarefa 1, é possível detectar que dentre as funções, temos caso (s) de mudanças no conjunto imagem, na amplitude e/ou no período em relação à função f (x) =sen x. Tarefa 3: Faça o mesmo para as funções cosseno e tangente em seguida faça observações sobre as mudanças de comportamento nos gráficos das funções, destacando as mudanças das leis dessas funções em relação à lei da função f. Tarefa 4: Considerando as observações feitas no item 1 e a função f(x)=sen x, apresente a lei da função M sabendo que seu gráfico da função é uma curva que está deslocada verticalmente 3 unidades para cima em relação ao gráfico da função f, possui domínio R, amplitude 1 e período 2. A tarefa foi planejada com o objetivo de introduzir a generalização do conceito de funções trigonométricas estabelecendo relações entre a função dada e seu argumento; por último neste módulo as tarefas tiveram a finalidade de apoiar os licenciandos na translação desde a fase de participação nos módulos anteriores para a fase de antecipação na construção do conceito de funções trigonométricas representado na tarefa 4. Na tabela 11 descrevemos os objetivos observados em cada tarefa nas atividades elaboradas para o desenvolvimento da THA.

159 158 Tabela 11: Objetivos pretendidos em cada tarefa - funções trigonométricas Exemplo Objetivo Tarefa 1: f(x)=sen x: esboçar os Analisar como os licenciandos Definição de gráficos na mesma tela do relacionam o domínio e imagem da Funções GeoGebra. função trigonométrica. Tarefa 2 e tarefa 3: Refletir sobre a tarefa gerando regularidade na abstração Tarefa 4: A partir da regularidade nas tarefas anteriores explicitar a Função M. Fonte: O autor, 2015 Explicitar a Função F, G, H, K, e L para seno, cosseno e tangente e associando a representações gráficas, caracteriza-las. Definir e conceituar a função M, explicitá-la no comando do Software GeoGebra. Analisar como os estudantes são capazes de observar o comportamento das funções e relacionar o domínio recorrendo a uma função formal. Analisar se os licenciandos são capazes de observar a relação da variável com relação à amplitude, período e deslocamento vertical no gráfico. Analisar como os licenciandos são capazes de coordenar diferentes informações e para esboçar o gráfico de uma função trigonométrica. Os licenciandos realizaram as tarefas individualmente no laboratório de informática com todo o material utilizado no experimento de HLT. Para recolher registros das interações durante a resolução das tarefas no módulo 4 e nos demais módulos, usamos gravações de áudio e vídeo, gravando tanto as discussões durante o experimento como captação de imagens das telas e anotações realizadas por parte dos licenciandos. As tarefas definidas para esta atividade trataram de estabelecer como os licenciandos empregam o uso dos conceitos envolvidos na função trigonométrica ao responderem corretamente a atividade 4, onde se pede para construir uma função apenas evidenciando o período, a amplitude e seu deslocamento no eixo da ordenada(y). No seguimento da atividade acima realizamos no quadro negro a discussão em torno da generalização da função, sendo a, b, k e c R, discutindo a alteração no gráfico em função de cada variável e posteriormente realizamos a generalização para todas as funções trigonométricas, sendo a variável a o deslocamento do gráfico no eixo da abscissa, e a variável b a amplitude do gráfico, a

160 159 variável k o período do gráfico da função e a variável c o deslocamento da função no eixo das ordenadas. Décimo Quarto Encontro O encontro foi realizado em 2 aulas de 50 minutos cada, germinadas, com a seguinte pauta. Tema: Funções trigonométricas Atividades bingo trigonométrico. Objetivo: Interagir no conceito de função como mediador do processo de aprendizagem Quadro 17: Pauta do décimo quarto encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Nesta aula optamos por um jogo bingo de gráficos de funções trigonométricas, este consiste em um grupo de cartelas que contêm expressões algébricas de funções trigonométricas. Essas cartelas podem estudar as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante separadamente ou até mesmo juntas. Optamos por construir cartelas em separado para seno, cosseno e tangente e outro jogo com cartelas misturadas. Uma das possibilidades é a exposta abaixo, na qual optamos por usar, no jogo, somente o seno. A figura abaixo mostra uma das cartelas utilizadas durante o jogo. SENO e COSSENO SENO e COSSENO SENO e COSSENO

161 160 Figura 28: Cartelas de jogo de Funções trigonométricas Fonte: O autor, 2015 Para jogar este jogo utilizei um applet no GeoGebra (Figura abaixo), onde projetamos o gráfico da função e o licenciando associava ao gráfico mostrado no telão a uma expressão algébrica correspondente à função trigonométrica representada pelo gráfico. Assim depois de decifrada a função trigonométrica, o licenciando marcava em sua cartela caso tivesse a expressão. Vence o jogador que preencher toda a cartela. Figura 29: Applet Gráfico de Função trigonométrica Fonte: O autor, 2015 A opção do apllet no decorrer da tarefa, foi em não selecionar a opção que destacava a expressão algébrica na caixa de entrada do Software, dificultando assim a possibilidade de visualização da mesma ao projetar o gráfico. Neste encontro finalizamos as abordagens sobre funções trigonométricas e abaixo descrevemos as atividades da proposta formativa relativo as identidades e transformações trigonométricas.

162 Identidades e Transformações Trigonométricas As relações fundamentais estudadas até então na proposta, são razões trigonométricas em um mesmo arco (ou ângulo), com as identidades e transformações faremos determinadas alterações nas medidas dos arcos (ou ângulo). Estes estudos são de grande importância dada a variedade de aplicações a que se prestam, não só nas simplificações de expressões como a resolução de equações trigonométricas em outros tipos de problemas. Consideramos que a demonstração trigonométrica propicia ao futuro professor uma parte do currículo importante os mesmos desenvolvam uma compreensão profunda da Matemática, onde identificam explicações para os padrões que observam e os procedimentos que utilizam (formulando, investigando e provando conjecturas), bem como generalizam e demonstram. O raciocínio e a demonstração permitem aos alunos organizar as suas observações e proceder a abstrações, tendo muitas vezes como ponto de partida um raciocínio informal. Na proposta formativa, a demonstração de forma a dar oportunidades aos futuros professores de explorar, investigar, representar, conjecturar, explicar e justificar matematicamente. Assim os futuros professores desenvolvem em sua formação o seu raciocínio matemático, em particular o raciocínio indutivo e dedutivo, através dos processos de identificação de regularidades, formulação e verificação de conjecturas, generalização, justificação de propriedades, elaboração de cadeias de raciocínio e argumentação em defesa de um processo de resolução e demonstração. Assim, consideramos a demonstração uma parte importante do currículo, defendo que o argumento de que uma abordagem de ensino fundamentada em discussões epistemológicas e/ou didático pedagógica de conceitos matemáticos pode propiciar a ampliação dos conhecimentos que os futuros professores possuam acerca desses conceitos matemáticos (ARTIGUE et al, 2001). Décimo Quinto Encontro Atividade realizada em 02 aulas de 50 minutos cada, com a seguinte pauta. Tema: Identidades Trigonométricas e Redução ao primeiro quadrante Demonstrar uma identidade trigonométrica.

163 162 Demonstrar algebricamente e geometricamente a redução ao 1º quadrante. Objetivo: Calcular seno e cosseno de arcos por meio de redução ao primeiro quadrante Quadro 18: Pauta do décimo quinto encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Mostramos que para demonstrar uma identidade trigonométrica existem três processos para provar uma identidade. Conforme a dificuldade da demonstração se escolhe o método mais adequado entre os seguintes: 1º método: Partimos de um dos membros, (geralmente o mais complicado) da identidade e o transformamos em outro; 2º método: Transformamos o primeiro membro f, e separadamente o segundo membro g, chegando com ambos a mesma expressão h, e a validade deste método é verificada pelas propriedades: 3º método: Construímos a função h=f-g, e provamos que a validade deste método justifica pela propriedade:. Verificamos estes métodos no quadro negro com alguns exemplos. Seguidamente deduzimos as fórmulas para calcular as funções trigonométricas de x, com x não pertencente ao primeiro quadrante, relacionando x com algum elemento do 1º quadrante. Redução do 2º ao 1º quadrante; Redução do 3º ao 1º quadrante; Redução do 4º ao 1º quadrante; Redução de a. Para estas reduções realizamos demonstrações algébricas e geométricas para melhor compreensão por parte dos licenciandos.

164 163 Décimo Sexto Encontro Atividade realizada em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo da 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: Identidades Trigonométricas e Redução ao primeiro quadrante Demonstrar uma identidade trigonométrica. Demonstrar algebricamente e geometricamente a redução ao 1º quadrante Sistematizar e deduzir fórmulas de calcular funções trigonométricas. Exercícios de aplicação das identidades trigonométricas. Objetivo: Mostrar de demonstrar as transformações trigonométricas. Quadro 19: Pauta do décimo sexto encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Como pauta deste encontro é a identidade trigonométrica, no quadro negro realizamos a abordagem do conteúdo, deduzimos a fórmula para calcular as funções trigonométricas da soma (a+b) e da diferença (a-b) de dois números reais quaisquer a e b, conhecidas as funções circulares a e b. Em seguida para as demais funções trigonométricas. Posteriormente deduzimos fórmulas de calcular funções trigonométricas para 2ª, 3ª, 4ª, etc., conhecidas as funções circulares a, seguidas pelas fórmulas de divisão, as funções trigonométricas, conhecidas uma das funções circulares de x. Realizamos alguns exemplos juntamente com os licenciandos; após o intervalo retomamos com a transformação em produto, enfatizando que em álgebra elementar cuja transformação de polinômio em produtos de outros polinômios (fatoração) é de grande importância a prática e que muitas vezes utilizamos estes recursos na trigonometria. Então deduzimos as fórmulas de:

165 164 Finalizando a aula exemplificamos e passamos algumas atividades, e, para estas atividades no conteúdo de transformações trigonométricas, primeiramente utilizamos o método clique e resolva-mdc desenvolvido por Aranha (2012), onde o aluno lê o enunciado e tenta começar a resolver no caderno; se não consegue, clica a 1ª vez e tenta de novo no caderno; se não consegue, usa o 2º clique e assim por diante; se estiver inseguro, desenvolve um pouco no caderno e compara com o primeiro. Os cliques até chegar ao ponto que chegou sozinho no desenvolvimento de sua tarefa para ver se está tudo certo. A ideia é que ele "abandone" o Power Point o mais rápido que conseguir para ir adquirindo autonomia. Abaixo uma atividade elaborada pelo método MDC. Este segundo Aranha, não é uma vídeo-aula nem pretende ser uma resolução expositiva de exercícios. Décimo Sétimo Encontro Atividade realizada em 2 aulas de 50 minutos cada, com a seguinte pauta. Tema: Transformações trigonométricas Atividades de aplicação e o método clique e resolva. Objetivo: Explicar o método Clique e resolve; Resolver atividades de identidade trigonométrica. Quadro 20: Pauta do décimo sétimo encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Estas atividades do Método clique e resolva MDC, foram envidas no da sala com o objetivo de os licenciandos desenvolverem em casa e neste encontro fazer a discussão, entre as atividades selecionamos, três descrevemos abaixo:

166 165

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168 167 Revisamos estas atividades e em sala discutimos outras. Décimo Oitavo Encontro No décimo oitavo encontro foi realizado em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo de 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: Funções pares e funções Ímpares Conceituar função par e função ímpar. Objetivo: Definir e Definir formalmente a função par e ímpar. Quadro 21: Pauta do décimo oitavo encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro Nesta aula definimos e conceituamos a função par e função ímpar, discutimos alguns exemplos e atividades envolvendo o conteúdo. Décimo Nono Encontro. Atividade realizada em 2 aulas de 50 minutos cada, com a seguinte pauta. Tema: Atividades de análise do Livro Didático. Objetivo: Observar os processos da aprendizagem dos licenciandos em uma sequência de atividades. Verificar a evolução da compreensão da trigonometria e ciclo trigonométrico por parte do licenciando. Quadro 22: Pauta do décimo nono encontro Fonte: O autor, 2015 Descrição do Encontro No último encontro estava previsto uma sequência de atividades com o objetivo de avaliar o aprendizado por parte dos licenciandos; nos encaminhamos para a biblioteca da universidade, pois os licenciandos realizaram uma pesquisa para executarem esta atividade. Na biblioteca antecipamos duas das questões previstos para o encontro seguinte, nela apresentamos a atividade 6 e a atividade 7 como segue abaixo: Atividade 6: Se observarmos livros didáticos do Ensino Fundamental, alguns autores sugerem que o professor inicie o estudo do conceito de periodicidade pela comparação entre o movimento do Sol e o comprimento das sombras que seus raios

169 168 formam quando atingem um bastão na vertical. Segundo os autores, os resultados dessa atividade irão subsidiar o reconhecimento do conceito de periodicidade e do tipo de gráfico correspondente. Primeiro o que é periodicidade? Como você avalia essa abordagem? Descreva esta atividade, o comprimento da sombra do movimento do sol, o gráfico se existe que represente o comprimento da estaca e a passagem do sol. Atividade 7: Analise em um livro do Ensino Médio que aborde o conteúdo de com os seguintes aspectos: a) Abordagem do conteúdo; b) Nível de complexidade; c) O autor estabelece relação do conteúdo com contexto compreensível ao aluno do Ensino Médio; d) Existem diferenças entre a forma de abordagem do conteúdo no Ensino Médio e no Ensino Superior. A biblioteca da Universidade possui em seu acervo livros do Ensino Médio e disponibilizamos livros do Ensino Médio que é adotado na escola Estadual de Nova Andradina, cada licenciando recebem um conteúdo adentro do tema trigonometria ser pesquisado. Vigésimo Encontro Atividade realizada em 4 aulas de 50 minutos cada, com um intervalo de 10 minutos após as duas primeiras aulas, com a seguinte pauta. Tema: Atividades contextualizadas dos conceitos abordados. Objetivo: Observar os processos da aprendizagem dos licenciandos em uma sequência de atividades. Verificar a evolução da compreensão da trigonometria e ciclo trigonométrico por parte do licenciando. Identificar as evidências das relações da atividade no processo de construção do significado trigonométrico. Para estas atividades disponibilizamos todos os applets, os jogos e materiais pedagógicos utilizados no processo formativo até então. Quadro 23: Pauta do vigésimo encontro Fonte: O autor, 2015

170 169 Descrição do Encontro Distribuição das atividades e explicação de cada questão. ATIVIDADES DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Parte II 1) Se x está no terceiro quadrante e, calcular o valor de cos(x). 2) Dada à definição de dada por amplitude. a) Descreva o comportamento da função, dê o domínio, imagem período e b) Esboce seu gráfico. 3) Você terá que embarcar como passageiro numa roda-gigante que dispõe de um elevador para deixá-lo na plataforma de embarque, no ponto A da figura. Esta roda que está representada na figura abaixo gira em sentido anti-horário e o diâmetro de sua circunferência na representação é de 8 cm. A altura da plataforma A (a altura do centro da roda), na representação é de 5 cm. Esta roda demora uma hora para dar uma volta completa e você dispõe de um altímetro que mede a altura em que você se encontra em relação ao solo (considerar desprezíveis as suas medidas e a medida da gôndola). Marque, na figura a posição a cada 5 minutos. Altura do passageiro em relação ao solo t(min) h(t) (cm) Altura do passageiro em relação ao solo t(min) h(t)(cm) Quadro 24: Relação da altura do passageiro em função do tempo. Fonte: O autor, 2015 Justifique. a) Construa o gráfico do tempo em função da altura. b) Este gráfico possui semelhanças a alguma função conhecida por você?

171 170 Figura 30: Simulação da Roda Gigante no GeoGebra Fonte: Adaptado de Miashiro, ) Sabe-se que e, então o valor de é. 5) Dada a relação Fundamental =1. a) Se dividirmos a relação fundamental acima por, obtemos: b) Se dividirmos a relação fundamental acima por, obtemos: 6) Calcule o valor de. 7) Se observarmos livros didáticos do Ensino Fundamental, alguns autores sugerem que o professor inicie o estudo do conceito de periodicidade pela comparação entre o movimento do Sol e o comprimento das sombras que seus raios formam quando atingem um bastão na vertical. Segundo os autores, os resultados dessa atividade irão subsidiar o reconhecimento do conceito de periodicidade e do tipo de gráfico correspondente. Primeiro o que é periodicidade? Como você avalia essa abordagem? Descreva esta atividade, o comprimento da sombra do movimento do sol, o gráfico se existe que represente o comprimento da estaca e a passagem do sol. Cada questão possui um objetivo específico, as questões 1, 4, 5 e 6 possuem características algébricas, onde o licenciando utiliza das identidades e transformações trigonométricas para resolver, a questão 2 e 3 trata do gráfico da função, a intenção é observar se essa resposta é ligada: ao reconhecimento das propriedades da curva

172 171 (abscissa como comprimento do arco e ordenada como seno), ou ao reconhecimento de uma figura geométrica já conhecida (curva senoidal), ou simplesmente pelo fato de estarmos trabalhando com a função seno em atividades anteriores, a definição e o conceito de função e se o licenciando assimilou a forma algébrica e geométrica de funções trigonométricas. Já na questão 7 é observar a análise e sistematização por parte do licenciando em uma atividade de argumentação.

173 172 CAPÍTULO 4 DISCUSSÃO E ANÁLISE DOS DADOS O Professor de matemática, que dispõe de um bom laboratório poderá, com a maior facilidade, motivar seus alunos por meio de experiências e orientá-los mais tarde com maior segurança, pelo caminho das pesquisas mais abstratas. Malba Tahan, O trabalho teórico que descrevemos nesta tese é parte de um esforço contínuo para entender e explicar, isto é, compreender a integração da prática como componente curricular na estrutura pedagógica de um curso de Matemática. Neste capítulo sumariamos e discutimos os resultados relativamente à proposta formativa, às relações obtidas e algumas possíveis implicações para o/no ensino e formação de professores. As análises que seguem se referem à legislação atual e o curso de Matemática da UEMS, o teste diagnóstico e as atividades utilizadas no processo formativo. As discussões e análises que seguem foram realizadas de acordo com as fases que se desenvolveu a pesquisa tais como: Legislação, Projeto Político Pedagógico da UEMS, integração dos componentes curriculares na proposta formativa nas trajetórias hipotéticas de aprendizagem. Consideramos que a característica da Prática como Componente Curricular perpassa pela prática do professor como subjaz à sua prática. A perspectiva da prática do professor tem referência nos aspectos que caracterizam sua prática quando se consolidam a construção dos conceitos. Para caracterizar a PCC iniciamos pela análise da legislação e componentes dos currículares do curso de licenciatura. Nos fundamentamos nos estudos de Shulman (1987) sobre o conhecimento profissional docente e, mais especificamente sobre os conhecimentos para o ensino de matemática (MKT) de Ball et al (2008), para análise do Projeto Político Pedagógico da UEMS e para a Proposta Formativa. Nos amparamos nos fundamentamos da relação atividade-efeito definida por Simon & Tzur (2004) em

174 173 relação aos sistemas de representação na construção das concepções matemáticas e da caracterização dos mecanismos cognitivos por parte dos licenciandos. Analisaremos as características da prática presente na proposta formativa com um olhar de Ball et al (2008) na perspectiva da construção de um conceito teórico definido por um conglomerado de ideias e das suas dimensões tais como: Como o professor pesquisado concebe o desenvolvimento da compreensão: concepção sobre o aprendizado e dos conceitos vistos através dos mecanismos de construção de uma sequência de relacionamento de sua justificação. Sua visão da matemática: concepção da matemática como objeto de ensino e aprendizagem visto através de como organiza o conteúdo matemático para ensiná-lo. A inferência sobre estas dimensões tem realizado mediante ao uso das seguintes variáveis na proposta: - A forma como os sistemas de representação são utilizados como instrumentos práticos. - Como o professor organiza os diferentes conceitos matemáticos e como estabelece relações entre eles. - Formas de saber que parece reforçada pela modelagem de mecanismos de construção. Em relação à discussão e análise da Proposta Formativa, optamos em realizar por tópicos da trigonometria que engloba mais de um encontro; para isto, definimos, embora todos interligados e conectados, quatro tópicos, a saber: Trigonometria no triângulo retângulo e triângulos quaisquer, Ciclo trigonométrico, funções trigonométricas, identidades e transformações trigonométricas. A trigonometria no triângulo retângulo e triângulos quaisquer abrange do primeiro encontro ao quinto, e no tema com os conteúdos: Trigonometria no triângulo retângulo e triângulos quaisquer, Lei do Seno e Lei do cosseno, conforme já relatamos. Ciclo trigonométrico foi discutido do sexto encontro ao oitavo encontro, sendo que no nono encontro realizamos atividades fundamentadas na THA de Simon et al (2004) envolvendo os dois tópicos acima mencionados. Funções trigonométricas, condensamos o décimo ao décimo quarto encontro.

175 174 Identidades trigonométricas e transformações trigonométricas, realizamos e analisamos do décimo quinto encontro ao décimo oitavo encontro, e os dois últimos encontros décimo nono e vigésimo encontro respectivamente com THA de Simon et al (2004) envolvendo os tópicos de funções, identidades trigonométricas e transformações trigonométricas. 4.1DISCUSSÃO E ANÁLISE DA LEGISLAÇÃO E DOS COMPONENTES CURRICULARES A análise das legislações quanto a Prática como Componente Curricular, nos permitiu verificar que a UEMS em sua resolução CEPE/UEMS Nº 357, é clara ao estabelecer que a prática deve ser enriquecida por meios de depoimentos (oral e escrito) de professores, tecnologia da informação, produção dos licenciandos, situações simuladoras, trabalhos orientados, atividades de laboratório, seminários e sessões de estudos. Estas atividades, segundo o parecer CNE 02/ 2002b, devem ser desenvolvidas em sala de aula no horário da disciplina e externamente nas escolas públicas. Tais atividades deverão ser desenvolvidas com ênfase nos procedimentos de observação e reflexão, visando à atuação em situações contextualizadas e a resolução de situações problema características do cotidiano do professor. O PPP do curso de Matemática implantado no ano de 2011 propõe um projeto articulador como alternativa para implementar, na Instituição, o que prevê os Pareceres CNE/CP 01/2002a e CNE/CP 02/2002b e a resolução CEPE/UEMS Nº 357. Evidencia a prática pedagógica em aula através de planejamento e desenvolvimento de atividades com licenciandos quanto a estudos relacionados com o ensino de Matemática, ainda apresenta disciplinas cujos conteúdos constituem blocos: as de conteúdo específico da área de Matemática; as que estabelecem a relação com a Prática da Docência; e as que estabelecem a Interface com a Educação Matemática, têm por objetivo formar profissionais para atuarem no Ensino Fundamental e Médio com conhecimento matemático sólido e abrangente oferecendo uma formação pedagógica que subsidie a atuação do educador no contexto sócio, histórico e político, ainda, preparar profissionais com capacidade de observação e reflexão de sua prática para atuarem de maneira crítica no contexto da escola.

176 175 De acordo com o PPP do curso de Matemática, ao longo de sete anos período para a integralização do curso, pretende desenvolver competências e habilidades específicas caracterizando-se pelos domínios dos conhecimentos pedagógicos específicos e pela visão crítica da realidade em seus aspectos sociais, econômicos, culturais e políticos, de modo especial em relação às implicações que tem entre si as Ciências, a Tecnologia, a Educação e a sociedade. Assim, podemos observar habilidades e competências importantes para a formação profissional do futuro professor de Matemática proposto por Shulman (1986, 1987) acerca das três vertentes do conhecimento do professor. São eles: conhecimentos do conteúdo específico, conhecimento pedagógico geral e conhecimento pedagógico do conteúdo. O Projeto apresenta princípios norteadores os quais são divididos em disciplinas específicas, disciplinas de formação geral, atividades práticas, estágio curricular supervisionado (obrigatório), estágio curricular supervisionado não obrigatório, trabalho de conclusão de curso e atividades complementares, integração entre a Graduação e a Pós-graduação, Metodologia e avaliação. O Projeto também prevê no rol das disciplinas, atividades acadêmicas complementares as quais se constituem de ferramentas essenciais para a resolução de problemas aplicados a outras áreas do conhecimento. A inserção de disciplinas que proporcionem ao licenciando o conhecimento da aplicação da matemática em outras áreas afins é fundamental para formação do professor de Matemática. Isso justifica o fato de que nas disciplinas de atividades acadêmicas complementares fossem elencados temas que contemplassem a aplicação da matemática em diversas áreas como, por exemplo, as disciplinas de: Informática Educativa, Matemática Financeira, Filosofia da Educação Matemática e Economia Ambiental. Na análise dos componentes curriculares, verificamos as disciplinas que compõem a organização curricular nos diferentes conhecimentos, podem ser categorizadas utilizando a teoria MKT de Ball et al (2008), como mostra a tabela.

177 176 Tabela 12: Categorização do currículo com relação ao conhecimento para o ensino de Matemática Fonte: O autor, 2015 Na categorização, o que nos fica evidente e, é fundamental o conhecimento matemático para o ensino, por exemplo a disciplina de Matemática Elementar categorizamos em dois conhecimentos, o conhecimento do conteúdo comum e no conhecimento especializado, pois no nosso entender esta disciplina na formação do licenciando segundo o PPP, permite este enquadramento, pois, ela é comum em virtude de ser um conhecimento matemático para o ensino comum a ele na educação básica e especializado por entendermos que o licenciando tem que saber para dar exemplos sendo fundamental este conhecimento para o ensino, apontando que ensinar também envolve explicar procedimentos e apresentar justificativas plausíveis e válidas para tal procedimento, isto também fica evidente na disciplina de Probabilidade e Estatística ao qual os alunos discutem desde as séries iniciais como conteúdo referente a tratamento de informação. Considerando o foco nas evidencias nas características da PCC, destacamos que o PPP nos permite inserir as disciplinas de Matemática Elementar e Geometria em duas categorias a de conhecimento do conteúdo comum e do conhecimento do conteúdo

178 177 especializado, justificamos este olhar em virtude de serem disciplinas cujo conteúdo é a base da Educação Básica e do Ensino Superior. Enfatizamos que essa característica é uma possível a partir de nosso olhar para a teoria dos Conhecimentos Matemáticos para o Ensino (MKT) de Ball et al (2008) Após entender a alocação das categorias, fomos investigar como está a distribuição da Prática como Componente Curricular na estrutura pedagógica do curso, e no quadro abaixo explicamos as dimensões representando esta estrutura por seriação. Considerando a organização curricular nos diferentes conhecimentos, criamos a tabela abaixo, que nos permite identificar a carga horária teórica, a carga horária de prática da docência e a carga horária de PCC por seriação no curso. Tabela 13: Estrutura Pedagógica Fonte: O autor, 2015 Analisando a tabela acima, observamos que a Prática da Docência só é inserida a partir da terceira série de curso e a Pratica como Componente Curricular está distribuída ao longo do curso, de acordo com o que prevê a Resolução CNE/CP n.º1, de 18/02/2002: a Prática como Componente Curricular (PCC) deverá ocorrer dentro das próprias disciplinas ofertadas no curso, diluídas em sua carga horária e no transcorrer de todo o processo do ensino e de aprendizagem de modo que em seu desenvolvimento o professor propicie ao licenciando o exercício da Teoria e da Prática, no gesto de aprender a ser professor, num processo indissociável entre ensino, pesquisa e extensão.

179 178 Na 1º série do curso de Matemática a carga horária total que é de 714 horas aulas estão distribuídas nas disciplinas de Matemática Elementar, Calculo Diferencial e Integral I, Geometria, Língua Portuguesa e Filosofia, Sociologia e História da Educação e com exceção da disciplina de Língua Portuguesa, as demais contemplam a PCC com 34 horas aulas cada uma, totalizando nesta série 136 horas aulas. Na segunda série a carga horária total é de 748 horas aulas e distribuídas nesta série estão às disciplinas de Geometria Analítica, Cálculo Diferencial e Integral II, Física I, Informática no Ensino da Matemática, Metodologia da Investigação da Educação Matemática e Psicologia da Educação e com exceção das disciplinas de Geometria Analítica, Cálculo Diferencial e Integral II, as demais oferecem 34 horas aulas de PCC cada uma, totalizando 136 horas aulas de PCC, Na terceira série do curso com 850 horas aulas, oferta as seguintes disciplinas: Álgebra Linear, Física II, Didática da Matemática, Didática Geral, Análise da Matemática e Estágio Curricular de Matemática no Ensino Fundamental. As disciplinas de Física II, Didática da Matemática, Didática Geral, comtemplam cada uma das 34 horas aulas de PCC, totalizando na série 102 horas aulas de PCC e ressaltamos que a disciplina de Estágio Curricular de Matemática no Ensino Fundamental, contempla 7 horas aulas, sendo que 3 destas são Carga Horária desenvolvida no Campo de Estágio. Na quarta série com 918 horas aulas, contempla as seguintes disciplinas: Estruturas Algébricas, Probabilidade e Estatística, Laboratório de Ensino de Matemática, Cálculo Numérico, Legislação Política Educacional Brasileira, Metodologia e Fundamentos em Libras, História da Matemática e Estágio Curricular de Matemática no Ensino Médio. As disciplinas de Probabilidade e Estatística, Cálculo Numérico e História da Matemática comtemplam cada 34 horas aulas de PCC e a de Laboratório de Ensino de Matemática 124 horas aulas de PCC totalizando 204 horas aulas de PCC. Ressaltamos também que a disciplina de Estágio Curricular de Matemática no Ensino Médio, contempla 8 horas aula, sendo que 4 destas são Carga Horária desenvolvida no Campo de Estagio, somando estas cargas horárias de PCC, totalizamos 510 horas aula, que transformando em porcentagem no curso, temos que no primeiro ano 136 horas aula representando 19% da carga horária no primeiro ano, no segundo ano o PPP apresenta 136 horas aulas também, o que representa 18% da carga horária

180 179 para esta série; no terceiro ano 102 que representa 12% da carga horária na série e no quarto ano 204 que representa 22%. Observamos que esta carga horária da PCC na matriz curricular do curso de Licenciatura em Matemática está de acordo com a atual legislação quanto à implementação da carga horária de 400 horas destinada à Prática como Componente Curricular (PCC); entretanto, observamos que esta carga horária vai além das 400 horas, pois ao converter em horas de 60 minutos como orienta a legislação, temos um total de 425 horas que contempla a Prática como Componente Curricular. Na estruturação do curso, observamos que a carga horária das disciplinas é proposta em horas/aula de cinquenta minutos. Assim o PPP apresenta um quadro de conversão para horas de sessenta minutos a fim de garantir a carga horária mínima exigida na Resolução CNE/CP nº 2 de 19 de fevereiro de Em resumo, a resolução prevê uma carga horária mínima de 2800 horas para os cursos de Licenciaturas sendo 400 horas de Práticas como Componente Curricular; 400 horas de Estagio Curricular obrigatório e 200 horas de atividades complementares. No referido projeto observamos a seguinte distribuição de carga horária em horas: Conteúdos Curriculares de Natureza Científicos Cultural (C/H Teórica) 1840 horas; Estágio Curricular Supervisionado (C/H de Prática Docente) 425 horas; Prática como Componente Curricular (PCC) com 425 horas; Atividades Complementares 200 horas; e Trabalho de Conclusão de Curso 113 horas, totalizando uma carga horária de 3005 horas. Esta carga horária de PCC está distribuída por série da seguinte forma: 1º Série: Matemática Elementar, Cálculo Diferencial e Integral I, Geometria e Filosofia, Sociologia e História da Educação; 2º série: Física I, Informática no Ensino da Matemática, Metodologia da Investigação da Educação Matemática e Psicologia da Educação; 3º série: Física II, Didática da Matemática e Didática Geral; 4º série: Probabilidade e Estatística, Laboratório de Ensino de Matemática, Cálculo Numérico e História da Matemática. Concluímos que o PPP do Curso da UEMS contempla a distribuição da duração e da carga horária relativa aos quatro tipos de componentes curriculares estabelecidos pela Resolução CNE/CP 02/2002, que determina que os cursos de licenciatura devam oferecer no mínimo 2800 horas de componentes curriculares, distribuídos do seguinte modo: conteúdos curriculares de natureza científico-cultural (mínimo de 1800 horas),

181 180 Estágio Supervisionado ES (mínimo de 400 horas), atividades complementares (mínimo de 200 horas) e práticas como componentes curriculares- PCC (mínimo de 400 horas). Destacamos a descrição do profissional que atuará no Curso de Matemática, licenciatura da Unidade Universitária de Nova Andradina, o qual deverá apresentar características compatíveis com a proposta pedagógica do curso, que é a base para a docência, ou seja, a formação do professor que ministrará a disciplina de Matemática no Ensino Fundamental e Médio da Educação Básica. Neste sentido entendemos ser necessário saber /conhecer para tornar efetivamente produtiva a análise das dimensões envolvidas no processo de ensinar matemática, de cujos resultados se espera poder vir a proporcionar uma melhor e mais adequada formação de professores (nas suas distintas componentes), assim abaixo apresentamos as discussões acerca da Proposta Formativa diante das normas e resoluções da legislação pertinente a PCC. 4.2DISCUSSÃO E ANÁLISE DA PROPOSTA FORMATIVA Para a análise optamos por uma proposta formativa baseada na pesquisa documental da legislação pertinente e dos projetos pedagógicos da UEMS, especificamente o do Curso de Licenciatura em Matemática identificando princípios da prática presentes no PPP e na disciplina de Matemática Elementar, que nos permite discutir a proposta da Universidade para enfrentar o desafio de integrar a prática na formação inicial. Ao analisar a proposta, nosso olhar foi na sua implementação em sala de aula, neste sentido, dentre os muitos marcos teóricos relativos ao Conhecimento Profissional Docente, optámos pelo MKT (BALL et al, 2008) pois, como foi referido anteriormente, nossa questão é como se caracteriza uma metodologia para a formação inicial de professores de Matemática que se proponha a integrar a Prática como Componente Curricular na disciplina de Matemática Elementar, particularmente ao longo do conteúdo de trigonometria. Em consonância consideramos como elementos do modelo as dimensões nucleares do conhecimento profissional docente nos subdomínios do MKT e os tipos de comunicação matemática promovidos; os recursos e a(s) forma(s) de trabalho dos

182 181 licenciandos. Focamos simultaneamente a atenção em cada uma destas dimensões de forma isolada, mas também na(s) forma(s) como se inter-relacionam e influem na prática. Optamos por considerar a proposta como um todo formado por partes disjuntas (episódios/encontros) e fenomenologicamente coerentes, os quais se encontram associados aos objetivos da aula e são delimitados por ações que correspondem aos eventos desencadeantes e de término. Na descrição desta proposta consideramos cada situação concreta, os demais aspetos referidos anteriormente (conteúdo, comunicação matemática, forma de trabalho e recurso(s)), cada episódio ocupa um determinado período de tempo e nele o formador interatua com os licenciandos exteriorizando as dimensões em análise. Durante estas interações identificam-se os indicadores dos subdomínios do MKT ativados nos episódios, como Ball et al (2008) aglutinamos em duas grandes áreas, por sua vez, cada uma delas subdividida em três subdomínios: O conhecimento do conteúdo é, assim, subdividido: Horizon content knowledge (HCK) (onde se incluem as conexões entre os conhecimentos ao largo da escolaridade); Common content knowledge (CCK) (saber fazer); Specialized content knowledge (SCK) (saber para poderem ensinar a fazer). O conhecimento didático do conteúdo (que contém o conhecimento curricular de Shulman): Knowledge of content and teaching (KCT) (conhecer a matemática relacionada com a preparação das tarefas e os recursos); Knowledge of content and students (KCS) (conhecer as dificuldades matemáticas dos alunos); Knowledge of content and curriculum (KCC) (conhecer os materiais curriculares e sua relação / correspondência com o currículo). Apresentamos alguns momentos durante o processo nos quais identificamos para os subdomínios de MKT, o processo foi realizado considerando a reunião dos subdomínios correspondentes sendo, posteriormente, efetuado o seu refinamento, uma

183 182 vez que os conhecimentos são muitos deles transversais há vários episódios e, também, alguns, a todo o período de ensino da proposta; logo, apresentamos um enquadramento longitudinal da análise da proposta formativa. Para o enquadramento dos subdomínios consideramos dois aspectos para efetuar a modelação, identificar o objetivo específico de cada ação e determinar os eventos iniciais e finais correspondentes. Em consonância as identificações dos subdomínios de Ball et al (2008), descreveremos estas características na perspectiva da construção do conhecimento matemático em potencial pelos licenciandos do curso de Matemática. Para isto em Simon et al (2004) fundamentamos a evolução dos objetivos para a aprendizagem dos licenciandos na proposta formativa, nas tarefas matemáticas para promover a aprendizagem, e no levantamento de hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos mesmos sobre o ensino de trigonometria. Com a Trajetória Hipotética de Aprendizagem, com base nos estudos de Simon et al (2004), analisamos as ações dos licenciandos que produzem diferentes efeitos que podem ser considerados como o desenvolvimento de processos de abstração pelo mesmo; contudo, centramos unicamente nos aspectos que são relevantes para o desenvolvimento do conceito matemático implícito. Assim a prática se entende como as atividades que são generalizadas quando se realizam tarefas no ensino de matemática e as justificativas dadas pelo professor (LLINARES, 2000) Análise do Questionário Inicial. Caracterização do episódio associado a um objetivo, o de instruir os licenciandos sobre a pesquisa e obter elementos para subsidiar a elaboração de uma investigação e construção do conhecimento sobre o ensino da trigonometria em sala de aula. No questionário inicial, a primeira evidência foi postural e uma heterogeneidade quanto as idades dos licenciandos, e todos oriundos da escola pública e que escolheram o curso de matemática por gostar da disciplina. Quanto ao conteúdo de trigonometria observamos que dos dezesseis acadêmicos analisados para esta pesquisa, oito licenciandos mencionaram o estudo deste conteúdo, contudo nas questões apenas três conseguiram se referir aos conceitos de trigonometria no triângulo se referindo ao seno

184 183 e cosseno. Quanto à trigonometria na circunferência, não souberam responder o que é periodicidade e não identificaram a função trigonométrica no gráfico explicitado nas questões de número 17 e 20 do questionário. O questionário também nos revelou a identificação do conteúdo que foi abordado na prova do Exame Nacional do Ensino Médio, por parte dos licenciando, a nota do exame foi o meio de ingresso na universidade, contudo os licenciando nos revelou no questionário inicial, que não houve o estudo do conteúdo de trigonometria para a maioria, ou então foi apenas superficial este estudo para o triângulo Retângulo, abordando o Teorema de Pitágoras e o estudo do seno, cosseno e tangente. Outra observação foi que das 11 questões envolvendo trigonometria apenas em 30% delas, os licenciandos responderam ou tentaram responder, as demais mencionaram que ou não se lembravam do conteúdo ou que não foi estudado no Ensino Médio. Assim concluímos que os licenciandos tinham pouco conhecimento sobre a trigonometria e observamos o uso da relação fundamental e das razões trigonométricas sem sucesso. A partir das respostas modificamos o primeiro design realizamos uma retomada deste conteúdo da trigonometria no triângulo com base nas orientações do PNCEM (BRASIL, 2000) com uma perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas, consideramos ainda para a proposta a reconstrução de uma série de conceitos e de procedimentos: Por exemplo, os conceitos de número e de função, objetos básicos de trabalho em cursos de Cálculo Trigonometria no Triângulo Retângulo e Triângulos Quaisquer A caracterização até o quinto encontro está associada ao objetivo de instruir os licenciandos sobre a trigonometria no triângulo retângulo e triângulo quaisquer, para o conceito de seno, cosseno e tangente (anexo 4 e 5); embora os encontros foram divididos em encontros distintos, ambos os encontros tiveram um único objetivo no processo que foi de caracterizar a Prática como Componente Curricular. A retomada das definições das razões trigonométricas no ensino superior para o triângulo retângulo, bem como as deduções geométricas de uma tabela de valores notáveis serviu de sustentação para o desenvolvimento de diversos conceitos e relações abordadas no decorrer da proposta formativa. É comum alguns professores

185 184 apresentarem uma tabela de valores notáveis pronta sem que se justifique o porquê desses valores. Este tópico trigonometria no triângulo foi desenvolvido em cinco encontros divididos em módulos compostos de quatro aulas e duas aulas de forma alternadas, totalizando 16 aulas de cinquenta minutos. Nestas, selecionamos ações que nos ajudam a caracterizar a PCC. Contudo salientamos que a sequência de ações apresentada no quadro abaixo pode não ocorrer em todos os episódios, mas as aulas foram em uma sequência de acontecimentos coerentes. Destacamos também, que nos domínios do conhecimento do professor necessários para o desenvolvimento de atividades de aprendizagem: conhecimento do ensino a respeito do conceito a ser desenvolvido. Com base no modelo esquemático cíclico de inter-relação dos aspectos que representa as relações cíclicas entre os conhecimentos do professor, pensamento e reflexões e tomada de atitudes (SIMON, 1995). Tabela 14: Ações e subdomínios do MKT * para o ensino de trigonometria no triângulo retângulo Ações na Proposta Formativa (Aprendizagem que processos se utilizam) Apesar da aprendizagem poder começar pela observação de um processo indutivo (Apresentação do conteúdo simulando a sua construção), a verdadeira aprendizagem tem de apoiar-se num processo dedutivo. (Aprendizagem interação professor, aluno, matéria). O aluno interatua com a matéria e o professor, sendo este último o intermediário Subdomínios do MKTformador. KCT * Apresenta a história da Matemática e faz as conexões com conceitos a ser abordados- projeta slide; sistematiza no quadro negro; visualização e compreensão entre a imagem e o conceito com applet pelos licenciandos. KCT Os licenciandos devem estar atentos para que possam entender a forma, o contexto, a duração e o conteúdo a ser abordado na proposta. Subdomínios do MKT- Licenciando CCK * Correspondem ao potencial de desenvolver o conhecimento especializado do conceito de seno, cosseno e tangente no triângulo. HCK * - onde se incluem as conexões entre os conhecimentos ao longo da proposta.

186 185 entre a matéria e o aluno. A interação que se produz entre o professor e o aluno não foi equilibrados, sendo mais forte o fluxo na direção professor aluno que a inversa. (Aprendizagem que processos se utilizam) - Indutivos simulados e dedutivos. (Papel do professor o que faz/como o faz/metodologia ou atitude pedagógica/como atua) Transmite por processos tecnológicos, expõe, organiza técnica do conteúdo e da planificação. (Metodologia - validação da informação) - recapitular, validar e sistematizar o conteúdo. KCT É importante, quando da apresentação do conteúdo (das razões trigonométricas) escolher uma representação (que considera) adequada. KCT - selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos de um conteúdo é um conhecimento do conteúdo e de seu ensino. KCS * - conhecer as dificuldades matemáticas dos alunos ao retornar ao conteúdo com outra abordagem; sistematiza no quadro negro; sistematizar com uma applet com uso de um software. KCT - As verbalizações por parte dos alunos demonstram as aprendizagens efetuadas sobre as razões trigonométricas no triângulo retângulo, diferenciando para triângulos quaisquer. (Apesar de apenas considerar os comentários corretos). CCK A assimilação do conceito lei do Seno e Lei do Cosseno em triângulos quaisquer, observando o seu contexto de aplicação. KCT Atenção do licenciando para que possa entender a forma e o novo contexto de abordagem do conteúdo. (Aprendizagem que processos se utilizam) Medir a altura de um objeto e explicar o procedimento SCK * - realizar a atividade de modo a saber ensinar em sala. CCK Medir a distância. Fonte: O autor, 2015 * Knowledge of content and teaching (KCT); Common content knowledge (CCK); Horizon content knowledge (HCK); Specialized content knowledge (SCK); Knowledge of content and students (KCS). Na tabela acima, observamos que os subdomínios do Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT) são transversais a todo o episódio (e por vezes a todo o processo

187 186 de ensino), saliento que não podemos afirmar que existe uma atribuição estreita entre cada uma das ações e os subdomínios identificados, porém, algumas delas em particular as que são independentes do tipo de comunicação associam-se ao Conhecimento do conteúdo e ensino (KCT), que correspondem, pelo menos numa observação direta. Neste tema revelamos os dois subdomínios do MKT (CCK e KCT) que se encontram associados a determinadas ações (períodos do encontro). Esta associação não pode considerar-se estanque, pois o MKT apresenta um carácter longitudinal ao apresentar o conceito de razões trigonométricas no triângulo e, por outro lado, os subdomínios são (revelam-se) também locais/específicos (especificamente relacionados com determinada ação ou sequência de ações e em cada situação). Contudo, estes subdomínios vão aparecer de forma cíclica (Figura 5: Ciclo de Aprendizagem Hipotética e a interação com o aluno), nos domínios do conhecimento do professor necessários para o desenvolvimento de atividades de aprendizagem: conhecimento do ensino a respeito do conceito a ser desenvolvido (provindo de pesquisas, livros ou da própria experiência docente); conhecimento de materiais e recursos disponíveis para o desenvolvimento do tema e conhecimento de variadas atividades que permitem melhor compreensão do assunto. No ensino de trigonometria no triângulo, o objetivo foi descrever momentos da história da trigonometria no intuito de situar cronologicamente o licenciando e levar a uma compreensão da importância do estudo deste conceito; trouxemos para este encontro 10 lâminas (Anexo 4) do Power Point com um breve histórico da trigonometria no triângulo retângulo. Chamamos a atenção dos licenciandos no sentido de se situar cronologicamente a trigonometria no triângulo sem muitos detalhes e aprofundamento, que será retomada na disciplina de História da Matemática no decorrer do curso. Para este episódio no qual discutimos a História da Matemática destacamos dois subdomínios na tabela acima, o KCT e o CCK; nestes, destaco o diálogo com os licenciandos e nas lâminas no Power Point; neste, utilizamos um recurso de link onde, ao clicar em uma palavra de referência, projetava um applet de triângulos semelhantes construído no GeoGebra com o objetivo de visualização e compreensão entre a imagem

188 187 e o conceito com applet e a sua correspondência ao conceito de seno, cosseno e tangente no triângulo. Para estes subdomínios destacamos as ações: Apresentar a história da Matemática; fazer as conexões com conceito a ser abordado; projetar slide; sistematizar no quadro negro. Destacamos que nesta fase o licenciando recorda aspectos relativos à trigonometria e se encontra na fase participativa (SIMON et al, 2004), em que a reflexão inicial sobre a relação histórica permite generalizar ideias pertinentes para a resolução das atividades que no momento só está no contexto de questionários e conjecturas, o que caracteriza uma postura construtivista que provoca maior interesse e autonomia na realização das atividades frente as propostas. Ressaltamos que os licenciandos nesse momento de ensino, encontram-se na fase participativa, segundo Simon et al (2004). Assim, na discussão de como o conteúdo de trigonometria é abordado no Ensino Médio - para a qual utilizamos o Livro adotado nas escolas Públicas de Nova Andradina, que é o mesmo para todas as escolas; o autor destina sete capítulos para este assunto e no questionário inicial da pesquisa os licenciandos apontaram que nunca tinham estudado este tema; outro ponto como está no recorte da transcrição na linha [44], Isto eu lembro não relacionado a lados do triângulo neste caso, o licenciando aos poucos foi lembrando, resgatando conceitos estudados e discutidos na Educação Básica e, à medida que evoluímos na discussão sobro à trigonometria, enfatizamos como é feita a abordagem do conteúdo pelo autor, sempre considerando uma situação problema para realizar e discutir o conceito com o licenciando. Nesta parte do episódio ao recapitular, apresentar e clarificar o conteúdo concreto para além do CCK associado ao conhecimento do conceito histórico da trigonometria e relacioná-lo ao triângulo retângulo e o KCT que é a projeção da lâmina do Power Point e a apresentação do conceito de seno, cosseno e tangente, revelando fundamentalmente, associado a cada uma das ações específicas, um KCT o que, pelo que se lhe encontra associado, evidenciamos também a importância que se atribui à gestão da aula (necessidade de os licenciandos estarem atentos, pois só assim podem responder corretamente às questões sobre o conteúdo matemático) e ao fato de as tarefas terem de ser atrativas e motivadoras para os licenciandos (escolha da representação mais adequada para apresentar o conteúdo).

189 188 Neste sentido coletamos um relato de cada licenciando, no qual observaram o desenvolvimento e dificuldades no encontro para que nossas intervenções nos encontros seguintes pudessem ser realizadas o (re) design nas pautas. Assim destacamos alguns registros: Licenciando Ac 4: na aula de hoje revia o conteúdo sobre trigonometria, não me recordava muito, mas com essa aula recordei que já tinha estudado o conteúdo. Licenciando Ac 8: nesta aula foi relatado o desenvolvimento da trigonometria desde a sua base dos Babilônios, até o séc. VIII D.C. quanto então começaram a serem usados os métodos dos hindus para a trigonometria; nesta aula o professor apresentou slides com o conteúdo proposto, a aula foi muito bem aproveitada e o conteúdo bem desenvolvido. Licenciando Ac15: utilizando recursos como slide para apresentar melhor a matéria, tornando-a mais interessante. Embora a matéria tenha um grau de dificuldade muito grande, os alunos interagiram tanto com o professor quanto com a matéria facilitando a aprendizagem. Licenciando Ac16: através da aula de hoje fiquei sabendo onde podemos fazer uso da trigonometria, termo que então desconhecia por mim e que é muito utilizado em diversas áreas como engenharia, em atividades de química, física, cálculos matemáticos, etc., enfim faz parte de muitas atividades de nosso cotidiano. A verbalização durante a aula e o relato apontado ao final do encontro, por parte dos licenciandos demonstraram as aprendizagens efetuadas sobre o conceito de seno, cosseno e tangente, identificado no subdomínio KCT na dinâmica deste encontro, que é conhecer a matemática relacionada com a preparação das tarefas e os recursos utilizados. Nestes relatos, observamos e confirmamos também o que identificamos no teste diagnóstico do perfil de nossos licenciandos, uma sala heterogênea onde alguns se lembraram do conteúdo e outros nunca tinham ouvido ou estudado o mesmo e outros com um perfil crítico fazendo uma análise coesa da aula como no caso o licenciando Ac 15. No segundo encontro retomamos o que havíamos estudado no encontro anterior, e em seguida com um applet no GeoGebra, construímos dois triângulos semelhantes,

190 189 para discutir a semelhança estre eles e caracterizar uma relação algébrica entre seus lados. No applet, convidamos os licenciandos para manusear interagindo com a tecnologia de forma a observar o movimento dos lados do triângulo no applet e verificar se as relações trigonométricas existente entre os lados do triângulo estão de acordo com as definições das razões trigonométrica para o seno, cosseno e tangente. Em seguida exemplificamos com problemas de cálculo de altura e distância usando seno, cosseno e tangente em um triângulo retângulo. Figura 31: Captura da tela de um licenciando ao manusear o apllet Fonte: O autor, 2015 Na figura aparecem os triângulos em vermelho e azul, convidamos os licenciandos a ampliar e diminuir o triângulo clicando no ponto B, sendo um de cada vez, ou nos dois, e observar os valores das razões matemáticas abaixo dos triângulos ABC e A1B1C1, permanecendo o mesmo ângulo para ambos os triângulos. Em seguida no controle deslizante que movimenta a amplitude do ângulo α, e observava novamente o que acontecia com as variações das razões de proporcionalidade, conjecturando e generalizando para o conceito de seno, cosseno e tangente.

191 190 Em outro apllet, agora este com o comando para a medida de a e do ângulo α, os licenciandos puderam conjecturar as definições para as razões trigonométricas. Figura 32: Apllet razões trigonométricas Fonte: O autor, 2015 Neste segundo applet o licenciando pode manipular o valor de a para o tamanho do segmento AB e o parâmetro para o ângulo em B, e estes projetavam o coeficiente angular também para o ângulo em C abordando, assim, a complementaridade dos ângulos no triângulo retângulo movimentando tanto o ângulo como a medida do segmento AB. No processo de construção do conhecimento matemático, do ponto de vista neopiagetiano (GONZÁLEZ, 1991), assumimos que a aprendizagem está constituída por saltos qualitativos (salto de nível), onde se permite que os indivíduos vejam o conhecimento desde perspectivas diferentes como a constante de proporcionalidade do seno ao ampliar o tamanho do triângulo ou o arco correspondente ao ângulo do triângulo. Assim as condições que o professor cria em aula pode-se dar ou não estes

192 191 saltos qualitativos no processo de construção do conhecimento do conceito matemático. Em seu texto, Simon (1995) destaca os domínios do conhecimento do professor necessários para o desenvolvimento de atividades de aprendizagem: conhecimento do ensino a respeito do conceito a ser desenvolvido (provindo de pesquisas, livros ou da própria experiência docente); conhecimento de materiais e recursos disponíveis para o desenvolvimento do tema e conhecimento de variadas atividades que permitem melhor compreensão do assunto. Estas condições previstas nos recursos didáticos com a finalidade de favorecer os mecanismos cognitivos dos licenciandos neste caso a interiorização nas ações dos licenciandos vinculadas na ideia de seno, cosseno generalizada no triângulo se manifestam na ênfase de poder visualizar a constante gerada pelas razões dos seguimentos AB, BC, e AC do triângulo retângulo. Cabe novamente registrar o relato de alguns licenciandos que serviram como indícios da evolução da aprendizagem, contudo observaremos com mais detalhes em uma análise da THA mais a frente esta evolução: Licenciando Ac 1: Hoje a aula..., recordei o que tinha visto no Ensino Médio, e aprendi coisas a mais como encontrar os valores dos senos, cossenos e tangentes. Pois antes se tinha o valor e não de onde originou. Licenciando Ac 5: Hoje a aula foi um pouco mais complicada, tive dificuldade de compreender o conteúdo. Não curto o professor, acredito que isso se deve ao fato de eu ter dificuldade de acompanhar o raciocínio. Licenciando Ac 11: Com a aula de hoje podemos aprender novas formas de calcular seno, cosseno e tangente. Cada aula que passa, aprendo muito mais do que havia aprendido no Ensino Médio. Estes relatos novamente revelam a dificuldade de alguns licenciandos em assimilar o conteúdo e o aprofundamento deste conceito no Ensino Superior, diferente do Ensino Médio, pois os objetivos são diferentes na abordagem deste conteúdo. Como forma de entender o desenvolvimento do conceito de aprendizagem por parte do licenciando e verificar a transição da fase participativa para a fase de antecipação, em

193 192 que em uma determinada tarefa cuja resolução invoca no licenciando um conceito matemático na resolução das atividades. Nesta, o licenciando pode fazer uso do conceito de maneira adequada independente do contexto da tarefa, para isto, selecionamos três atividades com três tipos de tarefas, em uma trajetória hipotética de aprendizagem, segundo Simon et al (2004); a primeira atividade foi fazer com que o licenciando usasse conhecimentos prévios, ou seja, estes conhecimentos posteriormente se converterá em material de reflexão. Problema 1 Uma pessoa está distante 80m de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16 0 com a horizontal. Qual a altura do prédio? Dado Tg16 0 =0,28. Neste problema, o licenciando, para solucionar, deveria fazer um esboço do prédio e da pessoa e em seguida anotar as informações do problema e aplicar a fórmula da tangente.. Nesta atividade se tem uma análise pré-analítica a partir das transcrições realizadas e das verbalizações dos licenciandos em suas interações para resolvê-la. Estas tinham como objetivo identificar as evidências de relações atividade-efeito no contexto de razões trigonométricas no processo de identificar a variável, o cateto oposto e adjacente ao ângulo dado e a aplicação adequada da razão trigonométrica. Abaixo a resolução do Ac11; o licenciando esboça alguns desenhos para auxiliar sua reflexão na tarefa, estes serviram para fixar as informações a qual influencia diretamente em sua resposta, por exemplo, ao lado ele esboça a figura do observador descrito no enunciado da tarefa com sua altura, e este dado só vai ser inserido no resultado final após o cálculo da tangente. Evidenciamos nesta tarefa as notações

194 193 corretas para a abreviação da tangente e a inserção ao resultado final da altura do observador. Manuscrito 1: licenciando Ac1, resolução da atividade 1 Fonte: O autor, 2015 Na atividade 2 propomos uma tarefa de reflexão sobre os registros da atividade efeito no problema 1; o objetivo foi conduzir o licenciando a uma reflexão sobre a atividade e gerar uma abstração do conceito de razões trigonométricas levando, assim, a abstração de regularidades na relação atividade-efeito. Problema 2 Um avião levanta voo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15 0 com o horizonte. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? Dados: sen 15 0 =0,26 e tg 15 0 =0,27. Nesta atividade estabelecemos em caracterizar a fase de participação a partir da leitura de todos os comentários do licenciando e a interação em resolver a atividade. Com o objetivo de analisar como os estudantes relacionam o ângulo dado em um triângulo com os respectivos catetos e hipotenusa. Primeiro calcula-se a altura em relação ao solo e depois que deverá calcular a distância solicitada na atividade. Primeiro o esboço do problema, em seguida já com as informações fornecidas na atividade, que segue tal como: a altura do avião em

195 194 relação ao solo, em seguida a distância tal como:, a distância percorrida pelo avião. Na atividade 3 estabelecemos se o licenciando utilizou a concepção para responder corretamente a tarefa; a partir do enunciado e do esboço do desenho pedia para ele calcular a altura do balão. Para esta atividade evidenciamos as relações entre as atividades iniciais em contexto trigonométrico em um conjunto de tarefas. Conduzimos o licenciando a identificar na atividade uma sequência de ações que pode levá-lo ao avanço pretendido. Ou seja, ele deve identificar na atividade que pode iniciar com base em concepções existentes e conduzir a uma relação atividade-efeito captada correspondente ao objetivo pedagógico. Muitas vezes, a sequência de atividade é considerada em conjunto com a tarefa matemática (Simon et al 2004). Problema 3 Dois observadores, A e B, veem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20 0 e 40 0, conforme indica a figura. Sabendo que a distância entre A e B é de 200m, calcule a altura h. Dados: Tg20 0 =0,364 e tg 40 0 =0,839. A resolução foi a seguinte: Iniciamos com a distância BH como y, portanto AH=200-y. Em seguida calculamos o ângulo de 20º.. Agora calculando o ângulo de 40º no triângulo BHC, balão está a uma altura (h) de aproximadamente 50,77m., ou seja, o

196 195 Manuscrito 2: Licenciando Ac1, resposta da atividade 3 Fonte: O autor, 2015 Na resposta acima, observamos um elemento geométrico, - esboço do desenho ja fornecido no enunciado - mas foi utilizado pelo licenciando no sentido de fixar as informações do enunciado, em seguida, o cálculo algébrico para a sua solução. Para isto foi necessário a reflexão sobre as tarefas nas atividades 1 e 2 estabelecendo o uso do conceito de tangente corretamente, aplicando a ideia da situação anterior e estendendo ao novo problema utilizando duas variáveis, em uma relação de dependência entre elas. Estas atividades caracterizam o processo de construção do significado do conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo, onde os licenciandos, através da reflexão sobre um conjunto de tentativas que lhe rendem resultados positivos, abstraíam de uma relação entre a atividade e seu efeito, sendo que o efeito é um pensamento, uma atividade mental com base na sua concepção de unidades compostas, por exemplo, na atividade 1 o licenciando identifica a ação e aplica a fórmula, e através de uma série de tarefas na atividade 3, ele distingue uma regularidade como chegar à altura do balão em função da tangente do ângulo dado. Em nossa análise observamos as ações dos licenciandos com relação a dois pontos: a de generalização e a de generalização e reflexão (SIMON et al, 2004). Na primeira observamos a atividade mental dos licenciandos a qual infere a partir de sua ações sobre os objetos e seu discurso captados durante a realização das atividades, assim consideramos as ações de relacionar, buscar e extender.

197 196 Em uma segunda observação, evidenciamos a habilidade dos licenciandos em identificar e usar uma generalização que o mesmo tem identificado em uma tarefa anterior, por exemplo, isso acontece na tarefa 3, pois o licenciando aplica uma ideia de uma situação, no caso na tarefa 2 e aplica na resolução de novo problema. A diferença entre estas situações está nas inferencias de suas ações, ou seja, quando o licenciando faz uma afirmação acerca de uma generalização em sua resolução, sendo possível reconstruir seu raciocínio prévio até chegar à ação que deram origem a sua observação. Esta análise é uma parte importante do entendimento do conceito de seno, cosseno e tangente do triângulo retângulo em relação à trigonometria, pois estas ideias serão generalizadas e extendidas no estudo da trigonometria no ciclo trigonométrico. Ressaltamos aqui que o processo descrito não é indutivo, mas construtivo, uma distinção feita por Piaget (1980), Steffe (1991), Thompson (1985) e outros, a distinção de ser entre a abstração empírica e reflexiva). Aprendizagem não é um resultado de reflexão sobre um padrão nos resultados (ou seja, um tamanho único é encontrado. Pelo contrário, é uma reflexão sobre um padrão na relação atividade - efeito que leva à nova concepção do conceito matemático, (SIMON et al, 2004). Apresentamos uma tabela de erros e acertos desta atividade; consideramos nesta tabela resposta dos 16 licenciandos. Nesta análise, evidenciamos e diferenciamos os erros de assimilação, onde o licenciando não assimilou o conceito na atividade para prosseguir e resolver a atividade seguinte e os erros nos cálculos algébricos e na identificação do problema onde a aplicação do conceito está correta e cometendo erros com relação a cálculos matemáticos. Tabela 15: Erros de assimilação do conceito de tangente no triângulo retângulo. Acertos Erros de assimilação Erros de cálculo Total Problema Problema Problema Fonte: O autor, 2015 Nesta tabela identificamos e destacamos no problema 1 três erros de assimilação do conceito de tangente conceito envolvido na atividade e um erro de cálculo. Na atividade dois envolvia o conceito abordado na atividade 1 cuja reflexão na atividade

198 197 levaria o licenciando a utilizar o seno de ângulo dado no enunciado para resolver o problema, ou seja, a reflexão na atividade do problema 1 leva o acadêmcio a um efeito de resposta no problema 2. No problema 3, um pouco mais complexa e com uma variável entremeada nos cálculos, o academico busca uma habilidade em identificar o problema, generaliza as ações nas ideias das atividades anteriores e aplica na solução deste. Destacamos 5 erros de assimilação; o licenciando esboçou uma tentativa de resolver, mas não conseguiu detectar, por exemplo, que conforme a resolução acima a variável y na medida é de AH=200-y e três erros de cálculo onde o conceito abordado foi realizado adequadamente, mas não o êxito na resposta correta. Ao final propusemos a aplicação de uma das situações rotineira, que consistia em medir a altura de um objeto (árvore, prédio, etc) com os conhecimentos de trigonometria já trabalhados em sala. O objetivo foi vivenciar no cotidiano do licenciando a aplicação dos conhecimentos e conceitos discutidos em sala de aula e com uma reflexão sobre a ação, na perspectiva atividade-efeito, associado à problematização e investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas enquanto que o segundo, à busca, solução, organização e manipulação de informações de trigonometria e reflexão sobre elas. Registrar uma das atividades explanadas em aula por parte do licenciando neste relato detectamos a dificuldade do licenciando em encontrar uma situação de sua rotina que lhe propicie a aplicação do conceito estudado. Manuscrito 3: Licenciando Ac5, atividade Triângulo retângulo Fonte: O autor, 2015

199 198 Manuscrito 4: Licenciando Ac2, da resposta A da atividade triângulo retângulo Fonte: O autor, 2015 Assim que eles definiram o que deveriam medir, esboçaram o poste em uma ilustração e efetuaram a sua resolução. Contudo chamamos a atenção para a resolução, nela o licenciando usa seno 25 0 em sua resposta, quando o correto seria usar o símbolo sen 25 0 e tg 25 0, esta ação do licenciando nos remete ao falta do conhecimento comum do conteúdo, Esse é o conhecimento matemático que nós esperaríamos oriundo do Ensino Médio por parte do licenciando, e nós nos referimos a isso como conhecimento comum do conteúdo (CCK), e o relacionamos com o conteúdo do currículo, mas não a um currículo particular específico do Ensino Superior. Em outra atividade relatada os licenciandos apresentam uma situação cotidiana do interior do Mato Grosso do Sul, e rotineira na vida destes licenciandos, segue abaixo:

200 199 Manuscrito 5: Licenciando Ac15, Resposta B da atividade triângulo retângulo Fonte: O autor, 2015 Na ilustração os licenciandos esboçam o desenho ilustrativo da situação no Sítio e formulam uma questão com as informações necessárias, simulando uma intervenção em sala de aula realizada por eles. Assim segue a resolução apresentada na atividade. Manuscrito 6: Licenciando Ac15, resolução algébrica da resposta B Fonte: O autor, 2015 Observamos nesta solução a aplicação da tangente e a explicação da soma da altura do garoto e da medida encontrada para a solução final da atividade, caracterizando uma reflexão na ação por parte dos licenciandos, que é despertar os

201 200 conhecimentos já existentes nos licenciandos de razões trigonométricas para facilitar a transição para a tarefa da atividade proposta. Os efeitos destas atividades descritas acima foi em relação à sistematização por parte dos licenciandos em não só realizarem a ação de medir a altura simplesmente, aplicando a fórmula, mas em criar condições e estratégias ao relacionar o cotidiano com a trigonometria em uma situação problema, identificamos que na realização da mesma os licenciandos estavam na fase de generalização de uma reflexão, pois criaram um situação hipotética real definindo suas variáveis e transferiram os conhecimentos teóricos já estudados a uma situação prática evidenciando uma das características da PCC, uma vez que houve integração da teoria com a prática. No encontro seguinte elaboramos três atividades com base em uma trajetória hipotética de aprendizagem - THA onde, em duplas, os licenciandos resolveram as tarefas determinadas na atividade. O objetivo das tarefas na THA foram em observar como os licenciandos diferenciam e aplicam a trigonometria para solucionar problemas matemáticos nas quais não se menciona o tipo de triângulo é abordado e nas gravações de áudio; verificar a famosa pergunta por parte do licenciando: que triângulo é este?, ou ainda vou usar que fórmula aqui, este é a Lei dos Senos ou Cossenos?. Nas atividades 1 e 3 o conteúdo abordado foi trigonometria no triângulo retângulo; uma atividade que consistia em medir a distância da ponte entre dois morros. Abaixo as resoluções por parte de dois licenciandos que se assemelham as demais resoluções, apenas dois dos dezesseis licenciandos erraram esta atividade, o erro foi em não observar que no resultado final deveriam somar a medida de 10m ao resultado parcial de 45m.

202 201 Manuscrito 7: Licenciando Ac7 e Ac11, Resposta da atividade 1 Fonte: O autor, 2015 Na atividade 2 apresentamos uma situação hipotética cuja pessoa teria que atravessar um rio. Com uma ilustração da margem do rio, O licenciando Ac11, representou no esboço as informações e realizou; observamos que, para realizar a resolução da atividade o licenciando, desenvolveu três fases, a primeira foi fazer uma leitura e retirar as informações, vamos chamar de imersão no problema; em seguida, o licenciando teve que associar a este problema diferentes representações, o geométrico e o algébrico, assim constroem conexões influídos por sua experiência própria procedendo uma organização entre os diferentes mecanismos de reflexão. E na terceira que vamos denominar de resolução da atividade, ou sistematização da atividade, há uma generalização do mecanismo de construção do conhecimento, como a coordenação entre os modos de representação. Manuscrito 5: Licenciando Ac9, respostas da atividade 2 Fonte: O autor, 2015

203 202 O licenciando Ac9 na resolução acima, utilizou a representação geométrica do rio e ao resolver, observando a forma geométrica reconhece que para a resolução utilizase a Lei dos Senos, verificou que a resolução se dava pela lei dos senos e aplicou a fórmula. Na atividade 3, os licenciandos a resolveram de duas maneiras: uma por semelhança de triângulo e a outra por razões trigonométricas, segue as resoluções de dois licenciandos. Manuscrito 6: Licenciando Ac15 e Ac12, atividade 3 Fonte: O autor, 2015 Em ambas as atividades o objetivo foi fazer com que o licenciando refletisse a ação a ser tomada e sob diferentes representações tomasse a decisão correta na resolução, por exemplo: na atividade 2 ele tem que esboçar o desenho geométrico para que faça a resolução do exercício. Observamos que o licenciando Ac15 resolve a atividade algebricamente enquanto o licenciando Ac12 primeiro esboça o desenho com as informações do enunciado e em seguida resolve algebricamente chegando à solução da atividade. Concluímos que o processo de construção dos conceitos trigonométricos no triângulo retângulo na proposta formativa até então, nos permitiu refletir que as ações assumidas e as análises dos dados nos mostra que os licenciandos faziam o uso do conceito ao responder corretamente os problemas. Observamos e evidenciamos que os mesmos se encontravam na fase de participação nas tarefas propostas até então. Contudo, mesmo nesta fase. Identificamos nas ações descritas na proposta caraterísticas relevantes da PCC.

204 Trigonometria no Ciclo Trigonométrico O contexto deste tema foi então organizado em quatro encontros, ou seja, do sexto até o nono encontro da proposta formativa tendo um total de 12 seções de 50 minutos cada, divididas em quatro módulos sendo: dois com duas seções de cinquenta minutos alternadas com outros dois com quatro seções de 50 minutos. Com o objetivo de conceituar as razões trigonométricas no ciclo trigonométrico estão associados à contextualização dos conceitos abordados em trigonometria no triângulo retângulo e triângulo quaisquer, ao cálculo algébrico e geométrico no ciclo trigonométrico. Embora encontros distintos, consideramos como apenas um no processo formativo e com um único objetivo no processo que é caracterizar a Prática como Componente Curricular. Desse modo, neste tema enfatizamos a atenção dos licenciandos para uma das problemáticas durante nossas discussões como é feita a distinção entre arcos e ângulos? e de que modo esta distinção entre arcos e ângulos o influencia na percepção em relação à compreensão de funções trigonométricas?. Para esta compreensão articulamos com a fundamentação teórica, o jogo de dominó de arcos e ângulos e a utilização do Software GeoGebra como formas de representações do conceito de arcos e ângulos. Em cada uma das representações projetamos tarefas implícitas nas ações dos licenciandos; o jogo, por exemplo, a tarefa principal foi à conversão de medidas. Com o Software a tarefa implícita foi de conjecturar e validar as propriedades no ciclo trigonométrico, de forma que os licenciandos estabeleçam condições de criar registros mentais ao manipular o applet criando assim uma concepção do conceito abordado. Contudo, nestas ações em aula no conteúdo do ciclo trigonométrico, identificamos evidenciamos em alguns dos subdomínios de Ball et al (2008), que foram analisados de acordo com o objetivo da proposta formativa e do conteúdo abordado, salientamos que a sequência de ações apresentada pode não ocorrer em todos os episódios, mas as aulas foram em uma sequência de acontecimentos coerentes, e a ação pode já ter ocorrido e realizada em outro episódio. Tabela 16: Ações e subdomínios no ciclo trigonométrico

205 204 Ações na Proposta Formativa (Aprendizagem que processos se utilizam) - observação o ciclo trigonométrico e projetar o triângulo retângulo para o interior do ciclo. (Aprendizagem interação professor, aluno, matéria). O aluno interatua com a matéria e o professor, sendo este último o intermediário entre a matéria e o aluno. A interação que se produz entre o professor e o aluno já se torna equilibrada. (Papel do professor validação da informação) validar as ideias mobilizadas nos encontros/aulas, colocando questões aos alunos cujas respostas conduzem à autocorreção (na realidade é uma correção escondida, efetuada pelo formador). (Papel do professor o que faz/como o faz/metodologia ou atitude pedagógica/como atua) Transmite por processos tecnológicos, expõe, organiza técnica do conteúdo e da planificação. Subdomínios do MKTformador. KCT * Diz o que vai apresentar o ciclo trigonométrico; traz um ciclo em madeira; para que a sistematização dos conceitos seja profícua os licenciandos devem visualizar, acompanhar e interagem na explanação. KCT - selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos do ciclo trigonométrico evidenciando um conhecimento do conteúdo e de seu ensino. KCT - Identificar as evidências das relações da atividade no processo de construção do significado trigonométrico nas atividades propostas em aulas. KCS - conhecer as dificuldades matemáticas dos licenciandos, com relação ao conteúdo de trigonometria na circunferência.. KCT Apresenta a história da Matemática e faz as conexões com conceito a ser abordadoprojeta slide; sistematiza no quadro negro; visualização e compreensão entre a imagem e o conceito com applet, jogo, vídeo e atividades. CCK Definição de arcos e ângulos no ciclo trigonométrico contextualizando com a Subdomínios do MKT- Licenciando KCC * Correspondem ao potencial de desenvolver o conhecimento especializado do conceito de arco e ângulo na circunferência. HCK * - Incluem as conexões entre os conceitos do ciclo trigonométrico, regras do jogo e a proposta curricular do curso de matemática. KCT Os licenciandos interagem com o conceito no jogo proposto e o Applet em atividades relacionadas ao ciclo trigonométrico; entender as diferentes relações que podemos obter com abjetos ligados à trigonometria. HCK - onde se incluem as conexões entre os conhecimentos oriundo da educação básica e o seu aprofundamento do conceito ao longo da proposta. KCT Dialoga com o grupo e a interação com o formador revelando as dificuldades matemáticas dos com relação ao conteúdo de trigonometria na circunferência. O licenciando interatua com a matéria e o professor, sendo este último o intermediário entre a matéria e o aluno. A Interação que se produz entre o professor e o licenciando

206 205 (Metodologia utilização de materiais manipuláveis) transmite por processos tecnológicos, expõe, organiza, técnica do conteúdo e da planificação. história da matemática. KCT A utilização de jogos; material em madeira para representar o ciclo; Software com o auxílio de applet e a manipulação do mesmo por parte dos licenciandos. não é equilibrada, sendo mais forte o fluxo na direção professor aluno que a inversa. KCT - As verbalizações por parte dos alunos demonstram as aprendizagens efetuadas sobre o ciclo trigonométrico, relacionando arco, ângulo, raio, circunferência, com o ciclo. Fonte: O autor, 2015 * Knowledge of content and teaching (KCT); Common content knowledge (CCK); Horizon content knowledge (HCK). Retomamos que os apontamentos dos subdomínios de MKT nas ações seja do formador, seja do licenciando no processo formativo é fundamental para caracterizar a Prática como Componente Curricular ao longo da Proposta, neste sentido o papel do formador é fundamental para promover o desenvolvimento conceitual do licenciando e futuro professor da Educação Básica. Sendo assim, as ações identificadas acima, relacionadas à aprendizagem, em função da metodologia utilização de materiais manipuláveis, uso do Software GeoGebra, uso de jogos - estão também relacionadas à ação do formador - o que faz/como o faz/metodologia ou atitude pedagógica/como atua- está identificado por ocorrência no processo podendo ser identificada em ordens distintas, este fato é um dos aspectos que torna complexo simultaneamente a prática letiva pela multiplicidade de opções e de fatores que a influem - e necessariamente obtenção de um amplo entendimento sobre esses fatores e a forma como estes se relacionam. Para exemplificar e conceituar ciclo trigonométrico confeccionamos em madeira um ciclo trigonométrico com o qual discutimos e projetamos o triângulo retângulo para conceituar no ciclo os conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, indicando no ciclo o seno, o cosseno e a tangente; em seguida, no quadro negro discutimos a relação entre grau, raio e radiano realizando uma transformação de graus para radiano. Na discussão e sistematização do conceito abordamos explorando a ideia de seno, cosseno e tangente de um número real relacionando a um ângulo agudo dado; observa pela figura abaixo, onde temos um ponto P (x, y) um ponto da circunferência

207 206 trigonométrica, um ponto final da medida α em radiano definindo, assim, a partir de um número real α. Figura 33: Sistematização do conceito de seno e cosseno no ciclo trigonométrico Fonte: O autor, 2015 A ideia foi explorar o conceito a partir da relação fundamental, sen 2 α+cos 2 α = 1, definição esta abordada no ensino fundamental. Contudo, evidenciamos a definição também a partir de ângulos agudos. Assim, a finalidade aqui foi evidenciar ao licenciando quando se está calculando seno de números reais e quando se está calculando seno de medidas angulares e, neste sentido expondo a natureza geométrica desse número real, que é uma possibilidade de observar o objeto em mais uma forma de representação, seja ela numérica representada na reta numérica, seja angular quando a representamos no ciclo trigonométrico. Em seguida, com os licenciandos confeccionamos ciclos trigonométricos em material de EVA, nesta ação, nosso objetivo foi de caracterizar o ciclo trigonométrico e a confecção do ciclo em material alternativo. Na figura abaixo observamos que o licenciando utiliza de suas anotações para a identificação dos arcos no ciclo trigonométrico.

208 207 Figura 34: Ciclo trigonométrico construído em EVA por um licenciando Fonte: O autor, 2015 Na manipulação deste material destacamos um dos subdomínios de Ball et al (2008) que é KCT onde o licenciando conhece a matemática relacionando-a com a preparação das tarefas e os recursos utilizados. Neste, ele fez as conexões com a história da Matemática e com o conceito abordado, sistematizando no ciclo com a visualização e compreensão entre a imagem e o conceito. Neste caso, a tarefa exigida foi que os licenciandos confeccionassem o ciclo trigonométrico com todas as informações como localização dos ângulos no ciclo, eixo das coordenadas, quadrantes, origem, sentido, arco, etc. Os licenciandos desenvolveram uma antecipação que lhes permitiu responder corretamente questões como a medida do raio unitário, a medida do, localização dos quadrantes. Nesta destacamos que quando o licenciando tem progressão para a fase antecipatória, explorando no ciclo trigonométrico as características que o compõe. No recorte abaixo da transcrição [6;200], das linha 145 a 163, há uma discussão para a localização no ciclo confeccionado dos ângulos correspondentes aos arcos notáveis, do em função do comprimento da circunferência e diâmetro P-Então, vejamos o triângulo retângulo no ciclo, assim visualizem os ângulos notáveis aqui olhem o e 90 0 graus no ciclo. Trazendo a projeção dos Catetos e da Hipotenusa no ciclo trigonométrico. Em seguida entes de prosseguir e falarmos em quadrantes vejamos aqui no ciclo <para que os

209 licenciandos em grupo pudessem manipular o material e eles construírem os triângulos e suas relações no ciclo>. A Professor onde está o Pi aqui, lembro que já vi isto antes. P O que é Pi. A É a relação entre o comprimento e o diâmetro da circunferência Professor. P Isto, então vamos fazer esta relação aqui, dois alunos aqui para me ajudar e vocês fazem no material confeccionado, bom vamos pegar no meu material um pedaço de barbantes, agora medimos o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. Isto agora vamos as ralações destas medidas e verificar o que encontramos. A Legal nunca tinha feito isto. P Logico agora encontramos a dizima, 0, é este pedacinho de barbante que temos aqui. P Agora vamos fazer o seguinte medimos um ângulo qualquer no ciclo, vejamos se pegamos este arco aqui no ciclo, agora vamos relacionar esta medida de ângulo com este arco, que arco é este. A É...,..., radiano, outro aluno vi isto também professor. A- Isso é interessante, professor agora que percebi,..., esta relação que fizemos eu já tinha visto isso mas não manipulando aqui < se referindo ao objeto em EVA> e tudo ficou mais claro. No entanto, removido a atividade de interação, os licenciandos não realizavam as conversões da medida do arco de uma circunferência de ângulo para radiano, ou seja, eles possuíam uma dificuldade de assimilação da conversão de um arco em grau para radiano e, com o objetivo de assimilar esta conversão, apresentamos um jogo de dominó trigonométrico na intervenção junto ao conteúdo arcos e ângulos relacionado a trigonometria na circunferência que incluiu um dos tipos de atividades com materiais concretos. Nossas observações são consistentes com Dubinsky (1994) e Sfard (1991), sobre o andamento do processo problemático de se opor à compreensão, sob argumentos que se pode explicitar aos licenciandos na construção de uma nova concepção na fase participativa, mas ainda não na fase antecipatória, em particular, os processos de compreensão (operacional) é composto por esses dois estágios distintos mencionados anteriormente. Ao realizarem o jogo de dominó de arcos e ângulos (POLONI, LOBO DA COSTA, 2013) proposto, entretanto não se colocam lado a lado peças iguais, mas sim, peças que possuam valores equivalentes para os arcos, medidos em graus ou em radianos, confeccionaram dois jogos, sendo um para arcos e ângulo de 0 0 a 180 0, e seus respectivos arcos em radianos, e outro com arcos e ângulos de a 360 0, sendo que este segundo exploramos o conhecimento do conteúdo em um nível de conhecimento aprofundamento mais elaborado (Figura 34). Figura 34 o jogo 1 em amarelo e o jogo 2 em azul mostram a sequência dos dois modelos de dominós, o licenciando após jogar o jogo 1, aprender as representações de

210 209 grau e radiano e suas conversões, passava para o jogo2, sendo que neste jogo as medidas dos ângulos, bem como sua conversão eram de um grau de dificuldade maior, pois, são medidas de arcos e ângulos incomuns nas abordagens deste conteúdo quando discutido no Ensino Médio. Figura 35: Fotos do Jogo1 de dominó de arcos e ângulos 0 0 a 180 0, e Jogo2 de dominó arcos e ângulos a Fonte: O autor, 2015 Os licenciandos logo perceberam e associaram as regras de um jogo de dominó tradicional ao de arcos e ângulos no ciclo trigonométrico e foi considerado como tendo grande potencial para a aprendizagem: Licenciando Ac2: a brincadeira de dominó trigonométrico foi de grande importância na fixação dos ângulos notáveis e a sua conversão para o radiano; Licenciando Ac 7: Aulas com jogos pedagógicos são bons para o aprendizado, e é na prática que entendemos como se faz. Licenciando Ac 9: o jogo foi importante, pois aprendi a conversão do radiano com mais facilidade. Licenciando Ac16: Com o jogo de dominó ficou nítido o entendimento, pois foi preciso calcular para saber os valores correspondentes de cada pedra, ajudando até a decorar certos valores. Ressaltamos que os jogos podem auxiliar na aprendizagem, mas a mediação do professor ao conduzir os licenciandos durante a realização de jogos é fundamental para auxiliá-los na construção dos conhecimentos e, por outro lado, o uso atividades lúdicas, a preocupação com o processo da preparação e implementação do conteúdo de ensino e de como se processa a interação conteúdo e licenciando, são as semelhanças mais evidentes nestas correntes de investigação.

211 210 Nesta atividade detectamos duas etapas na aprendizagem de uma nova concepção, a participativa e a antecipatória. Acredita-se que a discussão entre estes termos seja ainda parte de um processo de adoção ou mesmo de readequação de abordagens tradicionais às recentes concepções epistemológicas sobre o ensino. Salientamos que a sistematização deste conceito aconteceu posteriormente na atividade realizada no encontro seguinte ao explorarmos o tema com o applet no GeoGebra. Contudo, considerando que o professor é e continua envolvido no ajuste da THA, e ao pensarmos no ciclo de é que na proposta o conhecimento pedagógico do conteúdo distingue um pouco do conhecimentos típicos do professor para o ensino, por corporificar a combinação entre o conteúdo da matéria e a pedagogia na atividade de ensino do professor. Assim, a forma natural como um professor conduz um processo de aprendizagem, a flexibilidade com que trata o conteúdo e o ajuste deste ao nível de conhecimento dos alunos, bem como a seleção do estilo mais adequado às contingências do ambiente denotam os padrões de conhecimento pedagógico do conteúdo de um professor (SHULMAN, 1987), evidenciando assim a PCC em um curso de licenciatura permeando não só as disciplinas, mas tendem os conteúdos abordados nas disciplinas No encontro seguinte programamos as atividades no laboratório de informática para trabalhar com o software GeoGebra antes de iniciar as atividades um licenciando solicitou permissão de apresentar um jogo que tinha confeccionado em EVA e explorava o conteúdo de arcos e ângulo. O licenciando apresentou o jogo aos colegas com os objetivos da atividade que foi fixar o conceito de arco e ângulo em função da memorização. O jogo de memória apresentado pelo licenciando também utilizava as mesmas regras de um jogo convencional, no qual as cartas estavam em grau e radiano, o licenciando tinha que formar pares e ganha o licenciando que acumular o maior número de pares. Segue foto do jogo. O licenciando confeccionou dois jogos semelhantes: um para ângulos de 1º e 2º quadrantes e outro para ângulos do 3º e 4º quadrantes, na foto abaixo o jogo para ângulos de 1º e 2º quadrantes.

212 211 Figura 36: Fotos das peças do jogo de memória trigonométrico Fonte: O autor, 2015 Observamos a ação do licenciando em buscar uma nova atividade modificando a forma do jogo, mas permanecendo o objetivo do jogo de dominó na discussão do conteúdo de arcos e ângulos. Na busca de outros exemplos para comprovar e conjecturar hipóteses encontramos indícios da fase de antecipação por parte do licenciando ao fazer o uso de um conceito implícito em um jogo e em função de uma série de ações mentais em transferir a outro jogo. A aula seguiu no laboratório de informática, os licenciandos cada um podia se sentar em um computador que já continha os applets propostos para a atividade; a opção do applet nesta atividade foi em função da adaptação do licenciando ao software, pois tínhamos uma sala heterogênea e como identificado no questionário inicial mais de 70% da sala nunca havia trabalhado com um software no aprendizado de conteúdo matemático. Os computadores já estavam com os applets instalados: Aplicativo do ciclo trigonométrico; arcos notáveis no ciclo trigonométrico; seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante no ciclo trigonométrico. A intervenção foi em sala de aula com os quarenta licenciandos, mas como já mencionamos consideramos para análise as intervenções e falas nas gravações de 16 licenciandos. Consideramos que a sequência dos applets ajudaram a relacionar o efeito em manipular a representação geométrica de um ciclo trigonométrico sobre o arco e o ângulo representado analiticamente. Com a sequência de atividades com os applets os licenciandos podem buscar outros elementos para compor e confirmar hipóteses; assim, conjecturamos nas ações

213 212 dos licenciandos a validação das definições até então demonstradas em encontros anteriores. No primeiro applet a tarefa foi generalizar e conceituar com uma sequência de atividades para este applet, tais como, localize os arcos Em seguida dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um deles. Esta atividade conduziu o licenciando a familiarizar-se com (ou retomar) a relação entre arco ângulo por meio de representação algébrica e transferi-los para a representação geométrica. No segundo, os licenciandos discutem e verificam os ângulos e seus respectivos arcos correspondentes bem como o valor para cada, assim no manuseio, verificavam os ângulos correspondentes no II, III e IV quadrante. Figura 37: Apllet arcos notáveis no ciclo trigonométrico. Fonte: O autor, 2015 Neste applet os licenciandos selecionavam os arcos correspondentes aos quadrantes observando os seus valores para o seno e cosseno, faziam correspondência para o ângulo de 30 0, 45 0 e 60 0 para os respectivos quadrantes.

214 213 Figura 38: Applet ciclo trigonométrico, coordenadas e quadrantes. Fonte: O autor, 2015 Neste segundo apllet o licenciando ia clicando nos ícones e observando as coordenadas, os quadrantes, o sentido do movimento no ciclo, o arco correspondente ao ângulo interno e externo, o seno, o cosseno e a tangente, fazendo conjecturas e explorando a potencialidade do apllet no contexto, generalizando o conceito de arcos e ângulos no ciclo trigonométrico. Em seguida disponibilizamos outros três applets envolvendo o ciclo trigonométrico nestes, os licenciandos após elucidar e conceituar arcos e ângulos na atividade anterior busca relacionar e estender seus entendimentos de maneira a abstrair e refletir ao movimentar o ponto P na circunferência. Verifica-se os respectivos valores para o seno, o cosseno, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante do ângulo α, projetado ao movimentar o ponto P. Na tabela abaixo descrevemos os tipos de generalização esperada por parte dos licenciandos nesta atividade com applets. Tabela 17: Tipos de generalização em relação à atividade proposta Tipos de generalização Tarefa: conceituar, as razões trigonométricas no ciclo trigonométrico. Relacionar Movimentar o ponto P no ciclo Buscar Que relação com o ângulo α

215 Generalizar Dependência entre as variáveis, arco, ângulo e raio. Definir Argumento que explique o porquê das propriedades Fonte: O autor, 2015 No recorte de um trecho da transcrição, verificamos estes tipos de generalização por parte do licenciando. A: assim tá bom é isto marco aqui, assim? P: Isto ai agora você observa no ciclo o que acontece com cada um no primeiro quadrante a secante é positiva, mas olha aqui < se referindo ao ciclo no applet> o seno é? A: positivo. P: E o cosseno? A: positivo também P: Então observe agora a propriedade no caderno, isto ai, verifique esta relação < se referindo a definição da secante>. A: <Outro licenciando> Professor, olha aqui no terceiro quadrante seno é negativo e o cosseno é negativo também. P: isto e a secante olham, está projetada no eixo das ordenadas, no caso o eixo x. A: sim e ela é negativa por que nesta relação aqui é um dividido por este valor negativo e na e bateu certinho com o que está aqui no caderno. P: É isto ai é esta percepção que eu quero de vocês, relacionarem as definição com o que está acontecendo no ciclo ai no applet. A: Professor, <outro licenciando> coloquei o valor aqui no caso é um porque este raio aqui é um, <se referindo ao raio no ciclo>. P: sim este raio é um que por definição e convenção é adotado raio um para o ciclo. A: no caso aqui a cossecante é um, mas a secante não tem. P: Se você percebe aqui, olha, a relação algébrica, um sobre cosseno e um dividido por um é um, mas a secante é um sobre zero, e por definição não se divide nada por zero, então não temos o valor da secante para este ângulo. A: tá. Neste relato de parte da atividade verificamos os licenciandos relacionando o que acontece no Software com os conceitos já estudados e definidos anteriormente e generalizando os conceitos discutidos nos outros applets anteriores. Em um dos trechos o licenciando aponta para a definição no caderno relacionando o que está projetado para a secante e verifica os valores da secante nos quadrantes, uma reflexão ao applet arcos notáveis no ciclo discutido anteriormente. No applet, a projeção do seno, cosseno e tangente nos eixos das coordenadas e da reta T paralela ao eixo y. Neste applet, os licenciandos tinham duas opções de movimento, ou clicavam diretamente no ponto P para movimentar o ângulo, ou no controle deslizante no canto superior esquerdo. O objetivo destas tarefas é que os licenciandos associem a trigonometria expressa analiticamente a uma representação gráfica gerando um conjunto diferente de representações sobre a relação entre a atividade de modificar os parâmetros e os efeitos que produz na representação gráfica das relações trigonométricas no ciclo. Para isto propusemos aos licenciandos algumas questões:

216 215 O que observar quando movimentamos o ponto P na circunferência? Qual é a relação de um ângulo agudo com a projeção do arco submetido a este ângulo? Como você argumenta o número real sen (x) que é o seno do ângulo subentendido pelo arco, cuja de medida x é um comprimento, considerando que o argumento x do seno é entendido anteriormente como uma medida angular? Como orientação para as questões acima disponibilizamos uma lista de atividades para realizar com os applets: a) Localize os arcos Em seguida dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um deles. b) Localize os arcos Em seguida dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um deles. c) Localize os arcos Em seguida dê o sinal do seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante de cada um deles d) Analisando os exercícios acima, descreva o comportamento do seno, do cosseno, da tangente, da cotangente, da secante e da cossecante, nos respectivos quadrantes do ciclo trigonométrico. Figura 39: Applet de seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico Fonte: O autor, 2015 Com as indagações acima e ao manipular o applet no GeoGebra, os licenciandos realizavam cálculos matemáticos aplicando as fórmulas, confirmando o resultado e conjecturando as

217 216 propriedades das relações trigonométricas. Na figura observamos em azul a projeção do seno, em vermelho a projeção do cosseno e em verde a tangente do ângulo, no caso 55 da figura Figura 40: Applet do seno, cosseno, tangente e cotangente Fonte: O autor, 2015 Na figura acima, a captura de uma tela de computador onde o licenciando visualizava e manipulava no applet observando as projeções do seno (azul) e cosseno (vermelho) no eixo das coordenadas e da tangente (verde) e cotangente (amarelo) nas retas T e S. Em outro applet a secante e a cossecante, ver figura abaixo. Figura 41: Applet secante e cossecante Fonte: O autor, 2015

218 217 Observamos e registramos o movimento das interações dos licenciandos com estes applets, a discussão em torno de que quadrante se encontrava o ângulo, sentido de rotação do ângulo, o valor da secante e da cossecante o cálculo algébrico dos resultados projetados na tela do computador descrevendo e analisando o valor das variáveis à medida que se ampliava ou diminuía o arco correspondente ao ângulo projetado no applet. Este processo de construção do significado dos conceitos trigonométricos no ciclo mostrou que a compreensão inicial das razões trigonométricas no ciclo pode ser interpretada como comportamentos que identificam a intenção de estabelecer a partir da classificação das representações na relação de aprendizagem em uma atividade-efeito. Estas relações se evidenciam ao licenciando quando joga um jogo com fins pedagógicos, move um cursor no computador sobre o ciclo trigonométrico observando as características do arco, do ângulo, da medida do raio em funções do comprimento da circunferência, relacionando a forma geométrica com o cálculo algébrico, tudo isso são consideradas partes constituintes da fase de participação na construção do conhecimento matemático (SIMON et al, 2004; TZUR & SIMON, 2004). Neste episódio identificamos alguns momentos tais como: a projeção onde o licenciando construiu um conjunto de representações com o applet, uma reflexão a partir da regularidade que o applet lhe proporciona na interação e das informações procedente do conjunto de registro e a antecipação na atividade, pois o licenciando aplica uma regularidade identificando novos casos particulares, ou seja, a concepção matemática que organiza a situação. Este episódio, nos permite considerar as ideias inferidas nesta aproximação metodológica nos fundamentos da prática do professor pois, ao subtrair as justificativas que o uso do applet no programa para conceituar e conjecturar nas atividades uma nova concepção, a atividade nos permitiu generalizar um conjunto diferente de representações sobre uma relação entre a atividade de modificar parâmetros e os efeitos que produzem na representação gráfica no conceito de trigonometria no ciclo trigonométrico. A descrição dos episódios parece indicar que a dificuldade de muitos licenciandos em relacionar a transformação da medida de um arco em ângulo a radiano e vice-versa pode estar vinculada uma necessária construção do significado de transformação da medida a partir de uma concepção dinâmica. Uma sensibilização acerca do uso de um círculo unitário faz-se necessária. Convencer o licenciando da utilidade do círculo trigonométrico para ampliação das ideias vistas em um triângulo retângulo para um triângulo qualquer, bem como para que se estabeleçam as correspondências dos

219 218 valores de senos e cossenos como coordenadas de um ponto pertencente a essa circunferência e na determinação de um arco qualquer, é sem dúvidas um marco decisivo para que se crie sustentação adequada para o desenvolvimento de novos conhecimentos na Trigonometria Plana, além de contribuir para um entendimento consistente e sem a necessidade de memorização de fórmulas e valores. Não se pode negligenciar o fato de que todas as circunferências são semelhantes entre si. Quando optamos por uma circunferência de raio unitário é porque podemos associar bi univocamente a cada arco dessa circunferência um ponto cujas coordenadas já correspondem ao cosseno e seno imediatamente. Sempre que possível, resolver problemas da trigonometria de diferentes formas, sobretudo com uma abordagem geométrica como fizemos para a tangente, secante e a cossecante, certamente agregam-se possibilidades de uma melhor compreensão Trajetória Hipotética de Aprendizagem THA - Parte I Na THA, realizamos uma abordagem cujas atividades caracterizaram o processo de construção do significado do conceito trigonométrico no triângulo retângulo e triângulos quaisquer. Esta THA consistiu na aplicação de uma sequência de oito atividades como forma de entender, e verificar a compreensão dos conceitos abordados de trigonometria no triângulo e na circunferência por parte do licenciando. Para esta análise consideramos as atividades desenvolvidas por dezesseis licenciandos que participaram de todo o processo formativo realizando todas as intervenções. Na atividade 1 foi solicitado a definição formal do conceito de seno, cosseno e tangente e mesmo a atividade realizada com consulta de livro e materiais utilizados no processo até então; dois licenciandos não responderam esta questão adequadamente e todos os demais explicaram as definições formalmente, a maneira de explicar ao seu aluno em uma suposta sala de aula sendo que nenhum licenciando fez sequer menção ao uso de material alternativo para a exemplificação do enunciado. Na questão 2, 5, 6 e 8 estão relacionadas a trigonometria no triângulo, e as questões 3,4 e 7 a trigonometria na circunferência. Estas quatro atividades relacionam a conceitos da trigonometria ao triângulo; nas tarefes 3, 5 e 6, discutimos estas três atividades, em conjunto, nas atividades 3 e 5, os licenciandos podiam

220 219 realizar com seus conhecimentos prévios e assim fizeram utilizando os conceitos de trigonometria em um triângulo retângulo. Nestas atividades esperamos que os licenciandos pudessem inferir propriedades do tipo analíticas em suas respostas nas tarefas determinadas em cada atividade. As ações lhes ajudariam a relacionar o efeito que surge em modificar a representação geométrica como no caso das atividades 2 e 5 para uma resposta analítica aplicando as propriedades e ao relacionar a figura geométrica com a trigonometria. Nesta trajetória hipotética de aprendizagem articulamos duas etapas na aprendizagem de uma nova concepção matemática, participativa e antecipatória. Esta distinção do mecanismo de reflexão atividade-efeito de Simon et al (2004); assim, na figura abaixo representamos os objetivos das tarefas nas atividades 3, 5 e 6 relacionadas a trigonometria no triângulo.

221 Figura 42: Organograma dos objetivos na atividade. Fonte: O autor,

222 221 Verificamos nestas três atividades como o licenciando levou a cabo uma regularidade na relação atividade-efeitos (SIMON et al, 2004), de forma que nas duas tarefas nas atividades 2 e 5, o licenciando reconhece uma determinada situação, realiza uma ação específica associada a esta situação e produz um determinado resultado; estas ações caracterizam que o mesmo se encontra na fase participativa, e na resolução da tarefa na atividade 6 o licenciando se encontrará na fase antecipatória pois situaram-no a obter informações a partir do conjunto de registros contidos para desenvolver as ações na atividade 6. Nas respostas de alguns licenciandos para estas três atividades, vamos observar que o licenciando foi capaz de explicar e articular seu pensamento sobre a trigonometria no triângulo retângulo. Contudo, aa atividade 2 dos 16 licenciandos um não obteve êxito no exercício não conseguindo efetuar os cálculos devidos, entretanto identificou as variáveis e relacionando a tangente para calcular a distância dos barcos ao Farol e em seguida subtrair as distâncias para verificar a distância entre os barcos. Abaixo a resposta do Ac13, observamos que ele faz uma representação em forma de figuras geométricas esboçando os triângulos transferindo as informações contidas na figura. Na resposta o Ac13 reflete sobre um conjunto de registro, anota acima de suas respostas as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente, para em seguida realizar seus cálculos aplicando a relação da tangente para obter sua resposta na atividade. Esta ilustração acertada representa também s respostas corretas dos demais licenciandos que responderam corretamente esta tarefa. Figura 43: Figura ilustrativa da atividade Fonte: O autor, 2015

223 222 Manuscrito 7: Licenciando Ac13, resposta da atividade 2 Fonte: O autor, 2015 Na atividade 5, todos os licenciandos realizaram uma representação geométrica, com as informações do enunciado e em seguida realizaram os cálculos algébricos para a solução aplicando a fórmula do seno para resolver. A resposta do Ac09 nos chamou a atenção por efetuar dois esboços geométricos para esta atividade obtendo a sua resposta em função da representação geométrica e algébrica, veja abaixo. Manuscrito 8: Licenciando Ac9, resposta da atividade 5 Fonte: O autor, 2015 Nesta resposta observamos que o Ac14 efetuou dois esboços do triângulo para a questão; no primeiro com as informações esboçou um triângulo obtuso e em seguida um triângulo retângulo, contudo em sua análise aplicou a fórmula do seno para triângulo retângulo, em ambos os casos.

224 223 Na atividade 6 selecionamos uma questão que conduzirá o licenciando a uma visão geométrica, e o levará a uma posterior ação analítica e reflexão sobre a ação. Dos 16 licenciandos, nove acertaram a atividade esboçando geometricamente o degrau (ver manuscrito abaixo), em seguida utilizar do teorema de Pitágoras para achar um dos lados do triângulo e aplicar o seno e cosseno para realizar seus cálculos; três licenciandos realizaram os mesmos procedimentos, entretanto cometeram erros de multiplicação e ou divisão no processo de desenvolvimento da atividade e quatro licenciandos não realizaram os procedimentos corretos para a resolução da atividade. Na figura abaixo a resolução apresentada por dois dos licenciandos. Manuscrito 9: Licenciando Ac12 e Ac16, resposta da atividade 6 Fonte: O autor, 2015 Analisando as duas respostas destacamos que o Ac12 esboça um triângulo com as escadas ao lado e em seguida dois triângulos menores se referenciando a cada degrau, se utiliza da proporcionalidade (triângulos semelhantes) para a solução do problema. Ele também identifica nestes triângulos menores as informações do enunciado em seguida executa o cálculo algébrico utilizando Pitágoras para a sua solução já o licenciando Ac16 mesmo que se utiliza como o licenciando AC12 do desenho como suporte para o cálculo algébrico esboça apenas um triângulo se referindo ao degrau da escada e utiliza o seno e cosseno para a sua solução algébrica que são conhecimentos prévios, ou seja, conhecimentos oriundos da Educação Básica (Ensino Médio). Notamos dois caminhos distintos para a mesma solução da atividade proposta e em ambas as soluções os licenciandos foram capazes de relacionar as escadas ao triângulo retângulo, refletiram sobre que decisões tomariam para a solução da atividade, nas anotações no triângulo construído por ambos identificamos que estão estabelecendo uma relação entre a ação de construir o triângulo e definir qual caminho utilizar para a sua solução, assim nesta atividade encontramos indícios da fase de antecipação, (SIMON & TZUR, 2004), na qual os licenciandos abstraíram uma regularidade na atividade gerando sua solução (efeito) seja por Pitágoras ou relações trigonométricas.

225 224 Na atividade 3, apresentada na THA, relacionada ao ciclo trigonométrico criamos uma situação hipotética de resposta a algumas afirmações realizadas por alunos do Ensino Médio. O licenciando tinha que realizar uma análise das afirmações e diante das afirmações ele, o licenciando tinha que avaliar a resposta e fazer uma devolutiva ao aluno. Destacamos que esta mesma questão foi realizada no questionário de entrada e todos os licenciandos não souberam responder. i)na alternativa a continha a seguinte afirmação: Se sen 90º = 1, então o sen180º= 2. As respostas t de 12 licenciandos estavam corretas com as devidas justificativas afirmando que esta afirmação estava errada; entretanto, dois não justificaram corretamente, pois a questão induz ao erro ao afirmar o dobro se referindo ao número e não ao ângulo. E quatro afirmaram que a resposta estava correta, errando a questão. ii)na alternativa b continha a seguinte afirmação: Se o seno de um ângulo é 0,2, então o cosseno de seu complemento também é 0,2. Dois dos licenciandos erraram ao informar em suas justificativas que o complemento também é 0,2, os demais acertaram esboçando o ciclo trigonométrico com o complemento deste ângulo como justificativa de suas respostas. iii)na alternativa c continha uma expressão algébrica e o esboço de seu gráfico e pedia a confirmação do licenciando e o gráfico correspondia à expressão, apenas um licenciando respondeu esta alternativa. Ressalto que a alternativa também estava no questionário de entrada e ainda não tínhamos abordado este conteúdo na proposta formativa. iv)na alternativa d continha a seguinte afirmação:, por que 150 > 60, assim como cos, pois 225 > 15, todos os licenciandos acertaram afirmando que a afirmação acima estava errada e justificaram relacionando que a medida em graus se referia ao arco do ciclo trigonométrico e o número ao conjunto dos números reais e que não se podia fazer este tipo de comparação, pois se tratavam de medidas diferentes. Considero que em relação ao teste inicial realizado há oito semanas anterior, o resultado foi satisfatório, pois os licenciandos já argumentavam suas respostas com justificativas no ciclo trigonométrico. As atividades 4 e 7 relacionavam a conversões de medidas envolvendo medida em graus e radiano relacionadas ao ciclo trigonométrico. Na atividade 4, seis dos licenciandos não resolveram obteve êxito em suas respostas, ou por erro de cálculo matemático ou por erro de conceitos na

226 225 conversão das medidas e na atividade 7 cincos dos licenciandos também não responderam corretamente e um sequer interpretou a atividade. Na atividade 8 a tarefa envolvia cálculos em triângulos com aplicação da lei dos seno e lei dos cossenos em triângulo qualquer; todos os licenciandos resolveram corretamente. Na discussão destes resultados até o momento da proposta formativa, com relação a THA na aprendizagem de uma nova concepção matemática destacamos que os licenciandos em sua maioria se encontra ainda na fase participativa em sua maioria respondiam as atividades relacionando diferentes ideias em suas ações, contudo, em questões onde o licenciando tem que fazer o uso de uma regularidade e antecipar uma abstração estendendo as tarefas de outra a partir de um conjunto de registros mentais, os licenciandos se encontram ainda limitados. A limitação se dá em nossa análise por detectarmos que os licenciandos não estavam acostumados a trabalhar com a própria construção do conhecimento, nas transcrições observamos muita dependência em suas decisões para as suas ações em determinadas tarefas. A identificação dos objetivos de aprendizagem na proposta formativa e na THA propiciam mudanças na atitude do formador, pois, a partir da compreensão dos objetivos que pretende alcançar e a levantar hipóteses sobre o processo de aprendizagem da trigonometria no triângulo e ciclo trigonométrico. A aplicação em aula das teorias do ensino da Matemática, em especial ao uso de THA, na formação do licenciando, evidenciam como estas teorias de ensino e aprendizagem podem contribuir para a formação de um novo conceito matemático. Não nos referimos apenas à compreensão do Construtivismo, mas também às discussões acerca das teorias da Didática da Matemática que permearam todos os encontros da proposta formativa até então Funções Trigonométricas A caracterização dos conceitos de funções trigonométricas acontece do décimo ao décimo quinto encontro e está associada ao objetivo de conceituar as funções trigonométricas e caracterizar a PCC no ensino deste tópico. Vamos tratar estes encontros como módulos para melhor caracterizar a trajetória hipotética de aprendizagem neste tópico. O contexto foi um experimento de ensino organizado considerando uma trajetória hipotética de aprendizagem (HLT) no conceito de funções trigonométricas.

227 226 O Experimento foi desenhado usando tarefas envolvendo recursos tecnológicos e considerando a concepção de uso da informática no ensino de matemática na formação de Professores integrado a prática pedagógica (LOBO DA COSTA, 2004). As tarefas destes módulos se articularam a partir dos seguintes pontos: Conceito de funções trigonométricas e sua relação com o ciclo trigonométrico; Exploração e conjecturas na validação entre o argumento de função trigonométrica e sua definição com o uso da tecnologia; Exploração gráfica com o Software das propriedades. O módulo I teve como objetivo definir e conceituar funções trigonométricas, sua notação algébrica, a construção gráfica da função seno e reconhecimento da curva senoidal (e possível ressignificação). No laboratório de informática, os estudantes utilizaram o Software GeoGebra para explorar as características de uma função trigonométrica gráfico como: domínio, imagem, periodicidade, dilatação, contração (módulo II), formulação de conjecturas, validação de respostas e desenvolvimento do significado de argumento de funções trigonométricas com o software (módulo III), e módulo IV por tarefas como os estudantes consolidam os conceitos trigonométricos explorando a amplitude, o deslocamento vertical o domínio e período dado a partir do Software GeoGebra. Abaixo na tabela 17, evidenciamos algumas ações com características nos Subdomínios de Ball et al (2008), estas podem não ocorrer em todos os encontros, ou podem ocorrer com um outro olhar em que outras ações serão evidenciadas. Tabela 18: Ações e subdomínios de Ball et al, evidenciados no conteúdo de funções trigonométricas. Ações na Proposta Subdomínios do MKT- Subdomínios do MKT- Formativa formador. Licenciando (Aprendizagem que KCT * - selecionar uma CCK * Correspondem ao processos se utilizam) abordagem de ensino que seja potencial de desenvolver o Transmite por eficiente para superar certas conhecimento especializado processos dificuldades e/ou explorar do conceito de função seno, tecnológicos, expõe, certos aspectos de um função cosseno e função organiza, técnica do conteúdo é um conhecimento tangente. conteúdo e da do conteúdo e de seu ensino. planificação. (Metodologia KCT A utilização de jogos KCT - A verbalização por utilização de materiais manipuláveis) do bingo de funções; Vídeo de um motor de carro em parte dos alunos demonstram as aprendizagens efetuadas Transmite por funcionamento simulando sobre as funções processos periodicidade; Software com trigonométricas, relacionando

228 227 tecnológicos, expõe, organiza, técnica do conteúdo e da planificação. (Papel do professor o que faz/como o faz/metodologia ou atitude pedagógica/como atua) Apesar da aprendizagem poder começar pela observação de um processo indutivo (o professor apresenta os conteúdos simulando a sua construção), a verdadeira aprendizagem tem de apoiar-se num processo dedutivo. (Aprendizagem que processos se utilizam) Inserir um sequência de funções para a construção do gráfico, em sequência inverter as informações, fornecendo o comportamento gráfico para possível esboço algébrico do mesmo. o auxílio de applet e a manipulação do mesmo por parte dos licenciandos. KCT (Knowledge of Content and Teaching) Para a aprendizagem ser profícua, os licenciandos devem visualizar bem o que se encontra no applet; é importante, na apresentação do conteúdo (função trigonométrica) escolher uma representação (que considera) adequada; os licenciandos devem estar atentos para poderem responder corretamente às questões colocadas sobre funções trigonométricas na atividade de bingo trigonométrico; A verbalização, por parte dos licenciandos, evidencia as aprendizagens efetuadas; A definição e demonstração algébrica do conceito de função trigonométrica, associados à comunicação unidirecional, são recursos adequados à apresentação do conceito. KCS O Formador contextualiza o conteúdo com estratégias, e informações relevante de modo a alertar os erros comuns de conceito para este conteúdo da trigonometria. o conceito geométrico com o algébrico. (Apesar de apenas considerar os comentários corretos). KCS * - conhecer as dificuldades matemáticas dos licenciandos, com relação ao conceito de função, para propor processos que viabilizem a construção do conhecimento matemático por parte do licenciando. SCK * Dimensionar o erro do licenciandos na transição do geométrico para o algébrico é uma evidência do conhecimento especializado do conteúdo, por parte do formador. KCT - selecionar uma abordagem de ensino que seja eficiente para superar certas dificuldades e/ou explorar certos aspectos de um conteúdo é um conhecimento do conteúdo e de seu ensino. KCS A familiaridade por parte dos licenciandos com os erros comuns e saber por que diversos alunos da educação básica os cometem é um conhecimento de conteúdo e de estudantes, na proposta formativa. KCT O licenciando interage com a sequência de atividades e sobre a reflexão da mesma constrói novas concepções para atividades posteriores. Fonte: O autor, 2015 * Knowledge of content and teaching (KCT); Common content knowledge (CCK); Specialized content knowledge (SCK); Knowledge of content and students (KCS).

229 228 As ações evidenciadas acima permeiam todo o processo formativo de forma longitudinal, estas ações foram relevantes para a caracterização da Pratica como Componente Curricular na proposta. Algumas das ações acima se encontram associadas a dois indicadores, enquanto outras com apenas um indicador, esta disparidade não exalta a importância de uma em detrimento de outra, ocorre apenas em tornar mais explícita as associações em uma determinada ação, que nos permite assim refinar a análise do processo formativo (STRAUSS & CORBIN, 1997). Salientamos que os subdomínios de Conhecimento Matemático do Conteúdo (MKT) são transversais em todo o processo formativo, assim, não podemos afirmar que exista uma atribuição estreita entre cada uma das ações e subdomínios identificados. Na tabela apresentamos um caráter longitudinal de MKT na terceira coluna e, por outro lado, os subdomínios revelam-se locais e específicos (especificamente relacionados com determinada ação ou sequência de ações, e em cada situação específica). A discussão do conceito de função trigonométrica permeou todos os módulos; no primeiro construímos o ciclo trigonométrico com ângulos de 20 em 20 graus, seguida de uma marcação destes pontos no eixo cartesiano e plotamos os mesmos esboçando o gráfico. Em seguida, um vídeo que continha um movimento periódico de um pistão de um carro e junto um applet construído no GeoGebra deste movimento. Figura 44: Print do vídeo 1de um Pistão de carro (movimento periódico) Fonte: You Tube Movimento de um motor (lubrificação) Na figura acima, os licenciandos observaram o movimento periódico da engrenagem do motor, esta foto acima, é um print de parte do vídeo onde simula um movimento periódico e

230 229 serviu para conceituar periodicidade com os licenciandos, em seguida utilizamos um outro vídeo onde este serviu para uma melhor visualização do movimento periódico das engrenagens. Figura 45: Print do vídeo II. Vídeo engrenagem de motor Fonte: You Tube Engrenagem de motor Neste segundo vídeo os licenciandos observaram o movimento periódico mais detalhado. No GeoGebra construímos dois applets para visualizarmos melhor a abordagem; nestes, os licenciandos além de observarem, também manusearam o apllet, e em seguida sistematizamos o conceito de função trigonométrica e a função seno, cosseno e tangente, realizamos neste encontro os recursos de outro applet, no software GeoGebra e o Power Point. Figura 46: Applet do pistão de um carro e ao lado a figura de um pistão Fonte: O autor, 2015

231 230 Nas discussões abordamos a aplicação das funções trigonométricas como, por exemplo, na engenharia mecânica; neste applet os licenciandos observaram e associaram o trabalho do pistão ao movimento periódico de uma função trigonométrica. Abaixo em um outro applet associamos quatro funções em movimento periódicos e sincronizados, como no caso de um motor de carro. Figura 47: Applet do movimento de pistão em paralelo Fonte: Adaptado Orfão, 2012 No applet acima mostramos por exemplo a aplicação das funções trigonométricas no movimento de um carro com o funcionamento do motor, a maior intenção foi desmistificar a questão que todos fazem quando indagam que estudam funções trigonométricas e nunca vão utilizar ou aplicar no seu cotidiano. A discussão de como o licenciando explica, os conceitos de ângulo e de arco trigonométrico, e qual(is) estratégia(s) pode(m) ser utilizada(s) a fim de proporcionar ao aluno do Ensino Médio a construção do significado de periodicidade utilizamos o Software GeoGebra com applets, de forma a sistematizar os conceitos estudados algebricamente e o esboçá-los graficamente evidenciando as características das funções trigonométricas como o domínio, imagem, período. As demonstrações do conteúdo também fazem parte de nossa proposta formativa e nesse módulo as realizamos para as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. No módulo II, no laboratório de informática, disponibilizamos uma lista com 30 atividades para os licenciandos. As atividades foram resolvidas com um applet no Software GeoGebra no plano cartesiano usando seus comandos. A construção no software era acompanhada por mim e o resultado os licenciandos também realizavam em seus cadernos com anotações.

232 231 Os módulos III e IV têm o objetivo formular conjecturas, validação de respostas e desenvolvimento do significado de argumento de funções trigonométricas com o software. No módulo V com o objetivo de identificar nas respostas dos licenciandos a compreensão do argumento de uma função trigonométrica na fase de apropriação em uma HLT. Para isto os licenciandos receberam 12 funções trigonométricas com 4 tarefas relacionadas ao seno, cosseno e tangente e optamos pelos mesmos arcos para as funções com o objetivo de o estudante observar as regularidades nesta atividade e refletir sobre a HLT. (iv) Função seno: f(x) =sen x; g(x)=sen (x+ ); h(x)=sen (3.x); k(x)=-2.sen x. (v)função cosseno: f(x)=cos x; g(x); cos (x+ ); h(x)=cos (3.x); k(x)=-2.cos x. (vi) Função tangente: f(x)=tg x; g(x)=tg (x+ ); h(x)=tg(3.x); k(x)=-2.tg. Tarefa 1: Construção de gráficos das funções utilizando o GeoGebra e, a partir de suas observações, responder seu Domínio, imagem, amplitude e período. OBS: Para melhor encaminhamento da atividade, construa a função f e outra (por exemplo, a função g) na mesma tela, observe e faça suas considerações, e siga assim, sempre a função f e uma das outras. Para cada uma dessas funções apresente o domínio, o conjunto imagem, a amplitude e o período. Tarefa 2: Observando a tarefa 1, é possível detectar que dentre as funções, temos caso (s) de mudanças no conjunto imagem, na amplitude e/ou no período em relação à função f(x)=sen x. Tarefa 3: Faça o mesmo para as funções cosseno e tangente em seguida faça observações sobre as mudanças de comportamento nos gráficos das funções destacando as mudanças das leis dessas funções em relação à lei da função f. Tarefa 4: Considerando as observações realizadas no item 1 e a função f(x)=sen x, apresente a lei da função M sabendo que seu gráfico da função é uma curva que está deslocada verticalmente 3 unidades para cima em relação ao gráfico da função f, possui domínio, amplitude 1 e período 2. As tarefas acima tiveram o objetivo de introduzir a generalização do conceito de funções trigonométricas estabelecendo relações entre a função dada e seu argumento, por último neste módulo as tarefas teve como objetivo em apoiar os licenciandos na translação desde a fase de participação nos módulos anteriores para a fase de antecipação na construção do conceito de funções trigonométricas representado na tarefa 4.

233 232 Na tabela 20 descrevemos os objetivos observados em cada tarefa nas atividades elaboradas para o desenvolvimento da THA. Tabela 19: Objetivo pretendido em cada atividade na THA. Exemplo Objetivo Tarefa 1: f(x)=sen x: esboçar os Definição de gráficos na mesma tela do Funções GeoGebra. função trigonométrica. Tarefa 2 e tarefa Explicitar a Função F, G, H, 3: Refletir sobre K, e L para seno, cosseno e a tarefa gerando tangente e associando a regularidade na representações gráficas, abstração caracterizá-las. uma função formal. Tarefa 4: A partir da regularidade nas tarefas anteriores explicitar Função M. a Fonte: O autor, 2015 Definir e conceituar a função M, explicitá-la no comando do Software GeoGebra. Analisar como os licenciandos relacionam o domínio e imagem da Analisar como os estudantes são capazes de observar o comportamento das funções e relacionar o domínio recorrendo a Analisar se os licenciandos são capazes de observar a relação da variável com relação à amplitude, período e deslocamento vertical no gráfico. Analisar como os licenciandos são capazes de coordenar diferentes informações e para esboçar o gráfico de uma função trigonométrica. Os licenciandos realizaram as tarefas individualmente no laboratório de informática com todo o material utilizado no experimento de THA. Para recolher as interações durante a resolução das tarefas no módulo 4 e nos demais módulos usamos gravações de áudio e vídeo gravando tanto as discussões durante o experimento como captação de imagens das telas e anotações realizadas por parte dos licenciandos. As tarefas definidas para esta atividade trataram de estabelecer como os licenciandos empregam o uso dos conceitos envolvidos na função trigonométrica ao responderem corretamente a atividade 4 onde se pede para construir uma função apenas evidenciando o período, a amplitude e seu deslocamento no eixo da ordenada (y). Os dados que apresentamos abaixo objeto desta trajetória hipotética de aprendizagem, foram as transcrições das gravações orais e das telas dos computadores a cada um dos licenciandos que foram codificados com as iniciais Ac seguido da numeração de 1 a 16. Na resolução da tarefa 1 os licenciandos não encontraram dificuldades já que tinham vindo de uma sequência de atividades com o GeoGebra também, na resolução da tarefa 2, não tiveram problemas. Todos os licenciandos afirmaram que sim para a questão e explicitaram corretamente suas observações sobre as mudanças ocorridas na função, pois todos tinham anotações dos comportamentos fornecidos a eles nos

234 233 módulos I e II quando definimos e conceituamos funções trigonométricas e assim a visualização ficou mais fácil segundo eles. Na tarefa 3 logo observaram a regularidade e resolveram facilmente; cabe observar no registro a fala de um dos licenciandos Ac 12, com este software ficou mais fácil, a gente digita a função aqui < se referindo ao comando> e já sai pronto né, ai é só copiar e anotar os pontos aqui olha < se referindo a anotação no caderno>. Na resolução da tarefa 4 algumas dificuldades surgiram, principalmente, por que mudou a forma de abordar a função. Ativamos a função janela algébrica no GeoGebra para registrar as tentativas e movimentos dos licenciando nesta atividade, pois como estavam trabalhando com o software, já prevíamos esta ação por parte do licenciando; ressalvo que os mesmos estavam com os materiais didáticos e seus respectivos cadernos para anotações utilizados durante as seções. Contudo, dos dezesseis licenciandos quatro foram obter êxito na atividade em mais de 5 tentativas registradas na janela algébrica. Na análise das respostas dos licenciandos identificamos os conceitos e ideias utilizados nas tarefas no decorrer da THA: Nos módulos I e II: os licenciandos utilizaram seus conhecimentos prévios oriundos da educação básica para ressignificação de seus conceitos sobre o conteúdo abordado. Neste, o objetivo foi identificar e evidenciar as relações entre a atividade-efeito em contexto de funções trigonométricas e sua relação com o ciclo trigonométrico. Assim, evidenciamos diferentes manifestações de como os acadêmiocs coordenam as informações em diferentes situações, e como, por vezes, eles mudaram o foco de atenção. Identificamos que os licenciandos se encontravam na fase participativa nas tarefas iniciais, faziam usos de conhecimentos prévios de estudos na educação básica contruindo um conjunto de registros mentais convertendo em uma reflexão e abstração de regularidade na relação atividade-efeito. No módulo III: Nesta etapa se tratou de caracterizar a fase de participação dos licenciandos, objetivando uma reflexão sobre as tarefas propostas neste módulo, generalizando a abstração de regularidades na relação atividade-efeito ficando evidentes nas transcrições realizados e verbalizadas por parte do licenciando. Neste módulo foi possível ampliar e complementares caracterizações anteriores do processo de coordenação de informações que apoiou o processo de abstração.

235 234 No módulo IV: O objetivo era levar o licenciando a fazer o uso do processo de antecipação, a partir de dados sobre o comportamento de uma função trigonométrica, o licenciando possa generalizar a partir de uma abstração de regularidades na relação atividade-efeito. Assim, os resultados mostram que os licenciandos responderam majoritariamente usando o processo de construção cognitiva que se refere ao estágio participativo caracterizado por ações cognitivas; como classificação dos registros mentais da atividade-efeito ou elementos que combinam estruturas mentais para atingir um determinado objetivo, e a coordenação de informações por meio de uma comparação, ou argumentos para gerar uma nova estrutura. Nessa perspectiva, o processo de consolidação de conceitos matemáticos é outra manifestação de abstração reflexiva que leva a um novo estado cognitivo. Neste novo estado cognitivo do aluno foi capaz de reconhecer a estrutura matemática na definição de funções trigonométricas (objeto, propriedade, relação, etc (figura 2)) como antecipação na situação, o que mostra certa semelhança com alguma situação de experiência anterior (Estudos oriundos da educação básica e módulos iniciais), permitindo seu uso do estágio antecipatório. Este processo cognitivo repetido em situações diferentes, leva à possibilidade de consolidação de concepções matemáticas. (ROIG, LLINARES & PENALVA, 2012). Por exemplo, nesta anotação do licenciando Ac14 as propriedades antes de plotar no GeoGebra destacamos na anotação o conjunto imagem informação não fornecida no enunciado. Manuscrito 10: Licenciando Ac14, informações do enunciado da tarefa 4 Fonte: O autor, 2015 Nos protocolos de respostas as telas dos licenciandos Ac2, Ac7, Ac9 e Ac14 caracterizaram e evidenciaram a construção do significado do argumento de funções trigonométricas e o desempenho do software na THA também desconsideramos as respostas como parâmetro a função seno, pois todos os licenciandos construíram no GeoGebra esta função; assim, não consideramos na análise esta como uma das tentativas de solução da tarefa 4.

236 235 Figura 48: Resposta do licenciando Ac2 para obter a Função M Fonte: O autor, 2015 Observando a janela algébrica notamos que os licenciandos obtiveram sucesso da questão na quarta tentativa, e ativou a janela ajuda para esboçar a função seno; verificamos que outros três licenciandos dos 16 analisados também realizaram o mesmo número de tentativa e dois deles com a janela ajuda ativados. Figura 49: Resposta do licenciando Ac7 para obter a Função M Fonte: O autor, 2015 Na figura observando a janela algébrica o licenciando realizou cinco tentativas e dois outros licenciandos também usaram a mesma quantidade de tentativas.

237 236 Figura 50: Resposta do licenciando Ac9 para obter a Função M Fonte: O autor, 2015 Na figura acima, observando a janela algébrica, notamos que o licenciando acertou a questão em duas vezes e mais três licenciandos também obtiveram o mesmo êxito. Figura 51: Resposta do licenciando Ac14 para obter a Função M Fonte: O autor, 2015 Na figura 50, observando a janela algébrica, o licenciando obteve êxito na primeira digitação no software. No experimento evidenciamos que o contexto tecnológico desenhado onde se integram diferentes tipos de representações inter-relacionadas ajudam na evolução da construção do conceito de funções trigonométricas. A interação e dinamismo nas ações com relação a buscar e estender, facilitaram aos licenciandos o entendimento das informações e registros nas relações entre a atividade-efeito na THA com o Software GeoGebra como, por exemplo, na tarefa 4, cinco dos dezesseis licenciandos compreenderam o comportamento da Função M, e ambos realizaram os esboços do gráfico no Software, definiram o seu comportamento de forma algébrica sem dificuldade em consequência das funções propostas anteriormente nas tarefas dois e três

238 237 Em particular, ressaltamos a ênfase na possibilidade de introduzir assistentes digitais no desenvolvimento de sequências de ensino que tangem as características de um processo de construção dos significados por parte dos estudantes (LOBO DA COSTA, 2004). Ressaltamos que corroboramos com Coll e Solé (2009), que as intervenções do professor são também responsáveis pelo resultado que foi levar o licenciando a fazer o uso do processo de antecipação, a partir de dados sobre o comportamento de uma função trigonométrica, contudo esta análise fica para uma posterior análise deste experimento dos fatores na sequência de ensino que parecem influenciar no processo de construção do conceito de funções trigonométricas na THA. Neste sentido, nos momentos em que os módulos foram se desenvolvendo com a abordagem construtivista observamos uma maior autonomia dos licenciandos pois, quando a quantidade de auxílio é excessiva ou o professor não orientava adequadamente, condicionava o licenciando a aguardar resposta, ou seja, licenciando sem autonomia. Em Simon et al (2004) destacamos que apenas com o conhecimento matemático não é possível interpretar a linguagem, as dúvidas, as conjecturas e as ações dos alunos. O professor deve conhecer os objetivos de aprendizagem que espera alcançar para que possa modificar a THA quando perceber que os alunos se distanciaram de suas metas ou quando uma determinada atividade não for adequada aos seus licenciandos. Com as dificuldades apresentadas na última questão da THA utilizamos outra estratégia para a assimilação do conteúdo, usamos um jogo de bingo trigonométrico. A atividade consiste em cartelas com as funções trigonométricas e o professor projeta o gráfico da função em um Data Show; os licenciandos marcam na cartela a função projetada (para isto foi determinado 1 minuto após exposição do gráfico, para que o licenciando interpretasse a função). Cabe ressaltar a boa interação e interesse por parte dos licenciandos pela atividade e as anotações realizados pelos licenciandos com relação a esta atividade: Licenciando Ac1: na aula passada vimos função trigonométrica no software, onde construímos as funções, nesta o professor inverteu, ela escrevia no software e nós a função, no jogo de bingo, foi muito difícil porque não consigo interpretar rápido o domínio e a imagem da função. Licenciando Ac9: o jogo foi outra maneira do professor fazer com que nós aprendêssemos funções, muito bom.

239 238 Licenciando Ac13: através do jogo combinamos os resultados do gráfico no software com a escrita, levou a gente a analisar como funciona a função seno, cosseno e tangente com o jogo e o software, muito bom. Enfatizamos que esta atividade nos permite fazer com que o licenciando possa analisar o comportamento da função trigonométrica, pois ele parte de uma visualização geométrica para uma analítica expressando a lei da função Identidades e Transformações Trigonométricas A partir do décimo quinto ao décimo oitavo encontro caracteriza-se os conceitos das identidades e transformações trigonométricas associado a um objetivo: de mostrar e demonstrar uma identidade trigonométrica e as fórmulas relacionadas às transformações. Já o Mundo Formal Axiomático, é caracterizado pelo uso de linguagem formal, o uso de definições formais para conceitos, permitindo assim, fazer deduções e demonstrações. Nestes módulos também identificamos na ação da proposta formativa subdomínios de Ball et al (2008), destacamos duas ações as quais servem para o processo de modelação e a análise efetuada, pois consideramos que, dentro da complexidade do processo de ensino, estes foram relativamente simples envolvendo um número limitado de subdimensões de cada um dos componentes, o que permite uma apreensão mais profunda da proposta, do processo de modelação e da análise das (inter) relações entre as dimensões. Tabela 20: Ações e subdomínios nas identidades e transformações trigonométricas Ações na Proposta Subdomínios do MKT- Subdomínios do MKT- Formativa formador. Licenciando (Papel do professor validação da informação) Apresentar os processos de resolver uma identidade. (Aprendizagem que processos se utilizam) Inserir um método de construção de uma (Aprendizagem que processos se utilizam) Inserir o método Clique e resolva para KCT * Diz que vai apresentar três processos para a resolução de uma identidade algébrica. KCT Os licenciandos devem estar atentos para que possam entender a forma, o contexto, a duração e o conteúdo a ser abordado na proposta. KCT Interação do licenciando com o método no desenvolvimento das atividades propostas. CCK * Exemplifica e aplica os processos em atividades relacionadas ao conteúdo. HCK * - onde se incluem as conexões entre os conhecimentos ao longo da proposta. CCK * Transformação trigonométrica.

240 239 facilitar o entendimento no processo de resolver atividades de transformações trigonométricas. (Metodologia- Utilização da demonstração como forma de debate) SCK * conhecimento especializado do conteúdo como forma de abordagem de estratégia para o ensino CCK Desenvolvimento da atividade interagindo com o conteúdo e com a estratégia de demonstrar para assimilar o conceito matemático. Fonte: O autor, 2015 * Knowledge of content and teaching (KCT); Common content knowledge (CCK); Horizon content knowledge (HCK); Specialized content knowledge (SCK). Esta etapa da proposta visa alertar ao licenciando que, sabendo que a noção de demonstração não é absoluta, esta necessita de uma reflexão epistemológica que leve em conta duas questões: a significação que tem ela para o seu aluno da educação básica e para o ensino. Se a demonstração visa esclarecer, tornar evidente e certo, então o método de resolução pode valer como uma demonstração. Nesse caso, o licenciando vai observar que seu aluno que é levado a seguir um método para resolver um problema pode ficar satisfeito. Contudo o licenciando pensa que a demonstração visa convencer, ele vai esperar outro procedimento dos seus alunos. A primeira ação acima está centrada no professor e consiste em apresentar os três processos para se resolver uma identidade trigonométrica e o desencadeamento desta ação; o início é a atenção dos licenciandos em entender as formas de abordar o problema matemático e a inter-relação entre os conhecimentos matemáticos tais como: a fatoração, a simplificação de fração, entre outros. Para esta ação identificamos dois Subdomínios do MKT, contudo, com um olhar mais refinado podemos identificar outros subdomínios. Quanto à ação envolvendo a aprendizagem na proposta, se apresenta um método de clique e resolva cujo subdomínio identificado é a atenção por parte dos licenciandos em uma ideia de reflexão sobra a ação de clicar para seguir na resolução da atividade propiciando uma autonomia por parte do licenciando desenvolvendo assim o subdomínio CCK (saber fazer uma transformação trigonométrica). As identidades e transformações trigonométricas foram abordadas nestes módulos de modo a valorizarmos a utilização dos conhecimentos vistos até o momento. Dessa forma, objetiva-se que a obtenção das soluções para os problemas apresentados sejam feitas de forma clara, didática e bem significativa, vez que, em geral, os licenciandos tendem a apresentar um grau de dificuldade maior

241 240 na interpretação de situações em um "caminho de volta", em relação àqueles estabelecidos nas definições iniciais das funções circulares. Neste encontro, em uma aula expositiva, discutimos utilizando o quadro negro, os três processos para provar uma identidade trigonométrica e exemplificamos. Em seguida o conteúdo relacionado à redução de um ângulo ao primeiro quadrante. As fórmulas trigonométricas servirão de subsídio para a aquisição de novos valores para o estudo de funções trigonométricas; o domínio algébrico dessas relações teve por consequência uma compreensão ampliada na utilização de técnicas de resoluções de equações trigonométricas e de outros problemas relacionados. Como por exemplo as Identidades trigonométricas, foi conteúdo abordado neste encontro; no quadro negro realizamos a abordagem do conteúdo, deduzimos a fórmula para calcular as funções trigonométricas da soma (a+b) e da diferença (a-b), de dois números reais quaisquer a e b, conhecidas as funções circulares a e b. Uma importante consequência da dedução das fórmulas de arco-duplo é a possibilidade de deduzirmos expressões racionais para sen x, cos x e tg x, isto é, sem o uso de radicais, em termos de um parâmetro t, sendo t igual a tg, esta dedução nos permitiu discutir com os licenciandos e chamar a atenção para expressões que nos permitem descrever de forma parametrizada, os pontos do círculo trigonométrico com funções racionais de um parâmetro t, conforme representado na figura abaixo. Figura 52: Círculo trigonométrico (coordenadas paramétricas) Fonte: O autor, 2015

242 241 Posteriormente deduzimos fórmulas de calcular funções trigonométricas do seno, cosseno e tangente para os arcos 2a, 3a, 4a, etc., conhecidas as funções circulares a, e seguidas pelas fórmulas de divisão, as funções trigonométricas, conhecidas uma das funções circulares de x. Realizamos alguns exemplos juntamente com os licenciandos, após o intervalo retomamos com a transformação em produto enfatizando que em álgebra elementar a transformação de polinômio em produtos de outros polinômios (fatoração) é de grande importância prática e que muitas vezes utilizamos estes recursos na trigonometria. A atividade do Método clique e resolva foram envidas no da sala com o objetivo de os licenciandos desenvolverem em casa e neste encontro fazer a discussão, entre as atividades selecionamos três das quais descrevemos abaixo: 1)A Demonstrar a identidade sec 4 x tg 4 x 1 = 2. tg 2 x. Demonstração sec 4 x tg 4 x 1 = (sec 2 x tg 2 x ). (sec 2 x tg 2 x ) 1 = (1+ tg 2 x + tg 2 x). (1+ tg 2 x - tg 2 x) -1= (1+ 2. tg 2 x) 1 = 2. Tg 2 x 2)Dado sen x + cos x = m, calcule em função de m, sen 3 x + cos 3 x. 1º método sen 3 x + cos 3 x = (sen x + cos x). ( sen 2 x sen x. cos x + cos 2 x) = m 2º método sen x + cos x = m (sen x + cos x) 3 = m 3 sen 3 x + 3.sen x 2.cos x + 3. sen x. cos 2 x + cos 3 x = m 3 sen 3 x + cos 3 x + 3. sen x. cos x (sen x + cos x) = m 3 sen 3 x + cos 3 x m = m 3 sen 3 x + cos 3 x = 3)Mostre que para todo x real x, (1- tg x) 2 + (1 cotg x) 2 =(sec x cossec x) 2 Solução Seja f(x) = (1- tg x) 2 + (1 cotg x) 2 e g(x) = (sec x cossec x) 2

243 242 f(x) = (1- tg x) 2 + (1 cotg x) 2 = = = = + = =( 1-2. sen x. cos x). = = (sec x cossec x) 2 = = g(x) Na discussão das atividades propostas pelo Método Clique e Resolva com os licenciandos, em alguns relatos observamos a dificuldade na primeira atividade e uma ansiedade na resolução, pois segundo os licenciandos eles, já foram clicando para ver a resposta, e depois resolver algebricamente, contudo a observação da resposta facilitou o entendimento do processo em resolver exercícios de transformação trigonométrica. Não consideramos o método clique e resolva como um artifício de memorização de fórmulas trigonométricas, e sim uma atividade de raciocínio lógico, de forma que o licenciando, vai se habituando com a demonstração algébrica dando uma importância à organização lógica das ideias matemáticas com uma terminologia adequada e o rigor que a matemática demanda mesmo em um curso de licenciatura. Prosseguimos com algumas atividades com o objetivo de evidenciar ao licenciando de que certa proposição trigonométrica anteriormente enunciada estava correta. É algo essencial para o estabelecimento da verdade matemática mesmo em um curso de licenciatura; estes licenciandos recém-ingressados no ensino superior em geral, são acostumados a matemática de maneira simbólica, cheia de formulas sem que sejam explicitadas ou justificadas. Nesta aula definimos e conceituamos a função par e função ímpar, passamos alguns exemplos e atividades envolvendo o conteúdo. A partir do estudo de simetria no gráfico de uma função trigonométrica em relação ao eixo vertical (eixo das ordenadas) ou em relação a origem, abordamos o conteúdo de função par e função ímpar, sendo este tópico essencial para o estudo do conteúdo de funções trigonométricas podendo assim classificá-las. A técnica utilizada para as deduções das fórmulas de adição, de arco duplo e de arco metade faz com que o licenciando torne-se menos dependente de métodos artificiais que o levem a reproduzir fórmulas sem de fato compreendê-las. E as fórmulas de transformação em produto foram deduzidas de forma simples, mas com o objetivo claro que é o auxílio nas técnicas utilizadas para a resolução de equações trigonométricas.

244 243 Foi possível demonstrar que uma abordagem adequada das equações trigonométricas, podese tornar mais fácil a compreensão deste tópico extremamente relevante. Por fim, a abordagem aqui apresentada mostra que por meio de conceitos simples, como por exemplo, conceitos de Geometria Plana, são possíveis de demonstrar todas as fórmulas da Trigonometria Plana sem o uso de artifícios ou memorização de fórmulas, o que mostra que a matéria pode tornar-se mais interessante Trajetória Hipotética de Aprendizagem THA - Parte II A THA parte II, desenvolveu-se em dois encontros; no décimo nono com dois tempos de 50 minutos, os licenciandos analisaram um conteúdo de trigonometria no livro didático adotado na rede Estadual de Ensino de Nova Andradina, e no vigésimo encontro com quatro tempos de 50 minutos cada, os licenciandos resolveram cinco atividades na THA parte II Análise do livro Didático Adotado nas Escolas da Rede de Educação Estadual Com o intuito de verificar a criticidade dos licenciandos propomos uma análise de um tema relacionado à trigonometria apresentado no livro didático distribuímos com eles os temas relacionados aos capítulos, estes já foram abordados no primeiro encontro desta proposta. Com o propósito de os licenciando receberem temas relacionados aos conteúdos de trigonometria diferentes um dos outros, realizamos um sorteio aleatório dos conteúdos para cada licenciando de maneira a não ficar tema igual entre eles e não ficar muito extenso sua pesquisa e análise. Desta forma apresento o relato das atividades cuja investigação foi na biblioteca da Universidade. Na primeira sobre periodicidade enfatizamos que alguns autores sugerem que o professor inicie o estudo do conceito de periodicidade pela comparação entre o movimento do Sol e o comprimento das sombras que seus raios formam quando atingem um bastão na vertical. E que, segundo os autores, os resultados dessa atividade irão subsidiar o reconhecimento do conceito de periodicidade e do tipo de gráfico correspondente. Então perguntamos aos licenciandos, o que é periodicidade? Como você avalia essa abordagem? Descreva esta atividade, o comprimento da sombra do movimento do sol, o gráfico, se existe, que represente o comprimento da estaca e a passagem do sol. Apresento a resposta de dois dos licenciandos envolvidos nesta pesquisa.

245 244 Manuscrito 11: Licenciando Ac13, sobre periodicidade Fonte: O autor, 2015 Na resposta deste licenciando observamos que o mesmo associa sua definição a uma função em um determinado intervalo, no caso para o período 2, e faz uma crítica ao autor, pois o mesmo não é específica a definição da função trigonométrica; contudo no livro faz uma abordagem exemplificando com o movimento solar e depois de contextualizar define o conceito; contudo há indícios de que o mesmo folheou o livro didático para ver como o autor aborda o conteúdo enfatizando que não é específico; em nossa avaliação consideramos que o licenciando errou a questão não entendendo a abordagem feita pelo autor e nem o contexto na qual realizamos a pergunta.

246 245 Manuscrito 12: Licenciando Ac4 periodicidade Fonte: O autor, 2015 No relato deste licenciando observamos que o mesmo realizou uma análise muito mais criteriosa em relação ao anterior esclarecendo onde o conceito é aplicado na ciência; citou as antigas civilizações, como utilizavam o conceito de periodicidade e mencionou uma aplicação do Teorema de Pitágoras. O licenciando fez ainda uma análise de como o professor deveria realizar a atividade, onde o professor deveria levar seu aluno para fora da sala de aula e verificar o fenômeno em uma aula Prática e, posterior a verificação com o uso de um software, para exemplificar e visualizar melhor este conceito, e finalizou com a exemplificação do relógio solar que possibilita a projeção da sombra; o licenciando também fez uma crítica com relação a formação dos professores na atualidade. Neste sentido observamos que este licenciando, bem como os outros evoluíram em seus aprendizados ao final desta proposta formativa, e que este, em sua análise, da atividade, foi capaz de descrever a atividade buscando as informações no livro, definindo o conceito e relacionando a uma aplicação, nesta ação, o licenciando generalizou o seu entendimento a partir do objeto (livro

247 246 didático e contextos da proposta formativa) e definiu o conceito gerando uma transferência a partir de uma situação de investigação. Entendemos que, ao observar e analisar um conteúdo matemático na formação do licenciando em aula, o professor evidencia uma das características para integrar a Prática como um Componente Curricular (PCC) no Curso de Licenciatura concebendo esta prática como sendo diferente da presente na disciplina de Estágio Curricular Supervisionado evidenciando que na formação segundo os relatos dos próprios licenciandos, o uso simultâneo de diferentes representações auxilia os licenciandos a avançar na construção do conceito do conteúdo matemático. A seguir, o relato de alguns licenciandos com relação a atividade 7; cada licenciando recebeu um tema de conteúdo relacionado a trigonometria e, para esta abordagem, realizamos quatro questões que serviram de orientação ao licenciando em sua investigação. Observe em um livro do Ensino Médio, que aborde o conteúdo de (cada licenciando recebeu um conteúdo diferente), e analise os seguintes aspectos: a) Abordagem do conteúdo; b) Nível de complexidade; c) O autor estabelece relação do conteúdo com contexto compreensível ao aluno do Ensino Médio; d) Existem diferenças entre as formas de abordagens do conteúdo no Ensino Médio e no Ensino Superior?

248 247 Manuscrito 13: Licenciando Ac8, conteúdo de arcos e ângulo Fonte: O autor, 2015 O relato acima do licenciando identificado com o Ac8 enfatiza que a abordagem do conteúdo é superficial; entretanto, à frente, o licenciando faz uma menção que o conteúdo é compreensível para alunos do Ensino Médio; isto nos faz refletir que a exposição do conteúdo arcos e ângulo, está de acordo com as orientações do PCNEM de Matemática pois, ao final do relato, verificamos a afirmação de que o livro foi aprovado pelo MEC passando assim por uma avaliação criteriosa.

249 248 Manuscrito 14: Licenciando Ac10 com relação ao conteúdo de Identidades trigonométricas Fonte: O autor, 2015 No relato acima observamos que o autor faz as conexões entre os conteúdos de forma clara e objetiva; contudo, o licenciando enfatiza as diferenças entre as abordagens do conteúdo nos níveis de ensino. Observamos um avanço do aprendizado por parte do licenciando, tendo em vista que no início da proposta eles alegavam que não conheciam sobre o assunto e somente ouviram falar sobre. Manuscrito 15: Licenciando Ac9, resposta trigonometria em triângulo qualquer Fonte: O autor, 2015

250 249 Neste relato observamos que o conteúdo é o mesmo abordado no Ensino Superior, mas o licenciando enfatiza que a complexidade vai depender do professor mostrando que o autor faz o aprofundamento necessário e a abordagem de acordo com o PCNEM de Matemática e o PCN+; demonstra, assim, que os subdomínios do MKT são transversais a todo o processo de ensino. Manuscrito 16: Licenciando Ac7, trigonometria em triângulos quaisquer Fonte: O autor, 2015 Neste relato o licenciando novamente enfatiza que o conteúdo é o mesmo, mas evidencia as diferenças entre as abordagens do conteúdo e relata que depende de o professor fazer esta abordagem. Nesta atividade o objetivo central foi além do aprendizado crítico por parte do licenciando; fica a evidencia para a formação do licenciando a análise da prática do professor possibilitando um aprofundamento na compreensão da prática, dos fatores que a influenciam e como o fazem, procurando responder assim às questões motivadoras desta pesquisa. Esta aproximação tem sempre no horizonte (ainda que por vezes longínquas) possibilidades de aprender com essa mesma prática de forma a melhorá-la e à formação.

251 Atividades em salas da THA Parte II Selecionamos cinco atividades para esta parte da THA o final do processo formativo; a seleção da atividade se iniciou com a identificação de uma meta de aprendizagem baseada no conhecimento matemático do licenciando. Na primeira questão fizemos a seguinte abordagem: Se x está no terceiro quadrante e, calcular o valor de cos (x). Na segunda demos a definição de uma função dada por e solicitamos a descrição do comportamento da função fornecendo o domínio, imagem, período e amplitude e em seguida esboçar o gráfico. Para estas duas questões os licenciandos não tiveram dificuldades em resolver dos dezesseis licenciandos analisados somente um errou a questão. Veja abaixo o erro cometido pelo licenciando Ac1. Chamamos a atenção para o momento da resolução, onde o licenciando não utiliza para a resolução a expressão cosseno, seno e tangente por extenso como utilizava no início da proposta formativa, observamos neste momento na instrução do licenciando aparecer abordagens padronizadas que são familiares aos professores da Educação básica e Superior. Manuscrito 17: Licenciando Ac3, resposta da atividade 1na THA Fonte: O autor, 2015 Os demais licenciandos acertaram suas respostas; para acertar o licenciando teve que explorar o ciclo trigonométrico para responder corretamente.

252 251 Manuscrito 18: Licenciando Ac10, resposta da atividade 1 da THA Fonte: O autor, 2015 Na resolução desta atividade observando a resposta, já identificamos que o erro cometido na representação simbólica para cos (x) e tg (x), já não aparece, nos remetendo a superação referente ao conhecimento comum do conteúdo de Ball et al (2008). Contudo, o Ac10, faz uma análise do errada para a conclusão de sua resposta, esta atividade que teve o objetivo desta atividade foi identificar nas respostas dos licenciandos as distintas aproximações do conceito e definição de função trigonométrica. Na atividade 2 descrevemos três tipos de tarefas da seguinte forma: 1) Usando seus conhecimentos do ciclo trigonométrico bem como o conceito de periodicidade e amplitude, construa e associe os pontos da atividade ao ciclo trigonométrico subdividindo suas partes; 2) Usando o conhecimento de funções os licenciandos terão que esboçar o gráfico da função trigonométrica e defini-la; 3) Através da reflexão sobre a atividade definir a função equivalente na atividade e seu comportamento. Assim, descreveremos uma das atividades, em que utilizamos um material Concreto15 constituído de papelão e o Software GeoGebra, no qual o universo de estudos da Informática na Educação é como uma rede dinâmica de temas ou especialidades inter-relacionados para propiciar a unificação de conhecimentos. Com o Software sugerimos e desenvolvemos um estudo exploratório do conteúdo arcos e ângulos, mediados por arquivos prontos ou não, os chamados applets, que 15 Foi construído uma roda Gigante com papelão, barbante, lápis e régua, para esboçar e visualizar a atividade no concreto. Definimos concreto o material que permite ao licenciando a manipular e explorar o que há em seu entorno para o auxílio na aprendizagem.

253 252 consistem em um arquivo do computador construído previamente no qual o licenciando passa a fazer sua investigação. Nos Apllets e no material construído o licenciando pode manipular de forma a contextualizar os conceitos de arcos e ângulos, a manipulação e de forma a conceitualizar suas relações na definição do conceito. Com o uso do software o licenciando apresentou no delinear da relação Teoria e Prática, algumas dificuldades iniciais em função de adaptação com o programa em questão, mas logo, surgiu a possibilidade de analise nas demonstrações que surgiram com o uso do software, de analisar os procedimentos, as estratégias, os erros e as dificuldades encontradas durante as definições, demonstração e conceituação do conteúdo. No intuito de alcançar nosso objetivo, constituiu-se uma problemática acerca das características que constitui a PCC em aula com ênfase em pesquisas sobre formação de professor. Em continuidade, discorreu-se sobre a elaboração teórica de Ball, Thames e Phelps (2008), apontando suas ideias centrais e que fundamentam essa pesquisa, no que se refere ao Conhecimento Matemático para o Ensino, considerando a centralidade dos diferentes significados do conteúdo de arcos e ângulo e funções no ensino de trigonometria. A análise da investigação será na sequência de ensino para que flua o processo de construção de conhecimento por parte do licenciando e em um contexto de aprendizagem. Consideramos para esta análise uma atividade a respeito da relação dos sistemas de representação na construção das concepções matemáticas e da caracterização do mecanismo cognitivo, que centra na relação atividade-efeito (SIMON, et al 2004). Esta atividade aborda o conceito de funções e nos baseamos em uma atividade construída a partir de Miashiro (2013) adaptando uma contextualização do livro Functions Modeling Change: a preparation for calculus, dos autores Connally, Gleason e Hughes-Hallet sobre a maior rodagigante do mundo, construída as margens do rio Thames, em Londres, que tem 500 pês de altura, com capacidade para transportar 1400 passageiros em 60 cápsulas, numa volta que dura 20 minutos. Ao selecionar esta atividade foi verificar na trajetória hipotética em como os licenciandos generalizam o conceito de função, e como identificam as relações atividade-efeito no conteúdo funções trigonométricas.

254 253 O enunciado da atividade foi o seguinte: Você terá que embarcar como passageiro numa roda gigante 16 que dispõe de um elevador para deixa-lo na plataforma de embarque, no ponto A da figura Esta roda que está representada na figura abaixo, gira em sentido anti-horário, e o diâmetro de sua circunferência, na representação, é de 8 cm. A altura da Plataforma A (altura do centro da roda), na representação, é de 5 cm. Dados: esta roda demora uma hora para dar uma volta completa, e dispõe de um altímetro que mede a altura que você se encontra do solo (Ver Figura52: Simulação da Roda Gigante no GeoGebra). a)marque sua posição a cada 5 min em uma tabela. Esboce o gráfico da função que representa o percurso da volta completa. b) Escreva a função que representa, e seu comportamento. Para esta atividade nosso objetivo foi identificar e caracterizar os mecanismos de construção e suas possíveis relações realizadas durante o processo de ensino do professor. Assim, havíamos trabalhado todo o conteúdo de trigonometria e dispomos para esta etapa final de atividades todos os materiais utilizados durante o ensino de trigonometria. Com isto nosso objetivo foi fomentar as ações cognitivas necessárias para fomentar todo o sistema semiótico relacionando todos os tipos de representações a fim de construir a concepção de funções trigonométricas. Nos computadores dispostos na sala tínhamos todos os applets e um preparado para esta atividade onde continha a roda-gigante (no GeoGebra), bem como a roda gigante confeccionada em material concreto. Figura 53: Roda gigante confeccionado em papelão Fonte: O autor, Foi construído uma roda Gigante com papelão, barbante, lápis e régua, para esboçar e visualizar a atividade no concreto. Definimos concreto o material que permite ao licenciando a manipular e explorar o que há em seu entorno para o auxílio na aprendizagem.

255 254 Como forma de entender o desenvolvimento das estruturas mentais (SIMON et al 2004b) por parte dos licenciandos e identificar os objetivos de aprendizagem, definimos uma sequência de tarefas em uma das atividades. Para análise das três tarefas que podem ajudar os licenciandos na construção de um novo conceito pela perspectiva de reflexão, se considerou, nessa atividade, dar evidência a fase de antecipação. Para estabelecer se os licenciandos haviam respondido corretamente as tarefas na atividade, no uso de concepção de funções trigonométricas desde sua expressão gráfica e algébrica, decidimos encontrar evidencias na fase de antecipação. Assim, nas respostas dos licenciandos, identificamos os conceitos, as ideias utilizadas e os argumentos propostos pelos licenciandos como sendo: do tipo gráfico, do tipo algébrico e de um tipo que combinava os dois anteriores que chamamos de solução harmônica. Caracterizamos como soluções gráficas aquelas que operam com imagens e determinam o aspecto primitivo do ciclo trigonométrico o qual está representado pela roda gigante, nas quais os licenciandos reconhecem e associam a roda gigante com o ciclo trigonométrico e se familiarizam com o gráfico que gera esta atividade. Soluções algébricas são aquelas nas quais os licenciandos explicitam o ciclo trigonométrico de forma conceitual relacionada à atividade; o gráfico da função definindo qual função representa e identificam e calculam os pontos da função e definem seu período e amplitude. As soluções harmônicas são as que vão combinar com elementos do tipo visual e analítico nos conceitos que utilizam quando relacionam suas respostas nas atividades propostas cujo efeito foi se apoiar em resultados de outras ações. Assim, o processo de resolução tem evidências de ações externas apoiadas em relacionar como resultado afirmações e definições que mostram a coordenação interna entre as representações analíticas e geométricas. Segue a resposta de um dos licenciandos: Manuscrito 19: Licenciandos Ac 8, preenchimento do quadro altura em relação ao solo Fonte: O autor, 2015

256 255 Na resposta do licenciando observamos que o mesmo faz a inserção de algumas medidas de altura com duas casas decimais, o mesmo acontece em suas anotações na figura abaixo. Estas informações os licenciandos usarão na resposta final para a atividade. Manuscrito 20: Licenciando Ac13, interpretação geométrica e algébrica das informações Fonte: O autor, 2015

257 256 Manuscrito 21: Licenciando Ac13, informações a cada 5 min e sua altura correspondente na Roda Gigante Fonte: O autor, 2015 Manuscrito 22: Licenciando Ac13, esboço do gráfico da função correspondente ao movimento da Roda Gigante Fonte: O autor, 2015 Manuscrito 23: Licenciando Ac13, resposta analítica da questão Fonte: O autor, 2015

258 257 Verificamos na resposta deste licenciando que ele utiliza em sua resposta tanto a solução geométrica como a solução algébrica; o mesmo se utiliza do Software para auxiliar em sua resolução fazendo questão de marcar ponto a ponto evidenciando a dependência do tempo e altura na roda gigante. Coletamos os dados de dezesseis licenciandos sendo que todos justificaram e responderam esta atividade. Na tabela abaixo listamos os conceitos utilizados pelos tipos de soluções dos 16 licenciandos. Tabela 21: Tabulação das respostas Solução/Concepção Ciclo Gráfico Função Total Gráfica Algébrica Harmônica Total Fonte: O autor, 2015 Na tabela, observa-se que a maior parte dos argumentos dos licenciandos se baseou somente no ciclo trigonométrico identificando a roda gigante e os pontos do ciclo, e esboçando seu gráfico. Observamos pelos protocolos de solução gráfica que oito dos licenciandos se enquadraram de forma explicita ou implícita em que o conceito de arcos e ângulos no ciclo trigonométrico e esboçaram o gráfico que representa a função associado à roda gigante. 4 licenciandos apresentaram o ciclo trigonométrico associando seus ângulos à altura na medida que girava a roda gigante. Descreveram ponto a ponto associando a cada 5 min o arco correspondente na circunferência. 4 licenciandos esboçaram o gráfico que representa a função sem caracterizar o gráfico. Em relação à Solução Algébrica, cinco licenciandos explicitaram o ciclo trigonométrico de forma conceitual relacionando arcos, ângulo e o raio da circunferência representada pela roda gigante. 2 licenciandos apresentaram os cálculos a cada cinco minutos descrevendo se a altura estava crescendo e positiva ou diminuindo e decrescendo associando aos quadrantes do ciclo trigonométrico e os arcos e ângulos que referenciavam. 1 licenciando esboçou o gráfico que representa a função caracterizando o gráfico com seu período e domínio.

259 258 2 licenciandos definiram a função e a caracterizou. Quanto às Soluções harmônicas: três licenciandos apresentaram suas soluções em que apareciam elementos visuais e analíticos apoiados em soluções de outras ações como, por exemplo, a resposta do item b se apoia na solução correta do item a da atividade. As atividades 3, 4 e 5, o objetivo foi de verificar a compreensão e a desenvolvimento por parte do licenciando nas resoluções algébricas; tais expressões são fundamentais no currículo da matemática. Assim apresentamos as três questões tais como: Atividade 4: Sabe-se que e, então o valor de é. Atividade 5: Dada à relação Fundamental =1. a)se dividirmos a relação fundamental acima por, obtemos: b) Se dividirmos a relação fundamental acima por, obtemos: Atividade 6: Calcule o valor de. Nestas atividades, observamos a formalização e generalização de certas técnicas discutidas e sistematizadas durante a proposta formativa (encontramos mais aspectos sobre isto na antiguidade: no Egito, na babilônia, na China, na Índia). Neste sentido, caracterizamos quatro aspectos a serem observados nesta sequência de atividade-efeito no intuito de se verificar a aprendizagem dos licenciandos. Para verificar a aprendizagem classificamos os erros dos licenciandos em cinco categorias: a) Não identificação da ação a ser desenvolvida na atividade: colocamos aqui todos os erros que evidenciaram o desconhecimento do conteúdo por parte do licenciando; b) Erro no conceito ou técnica de resolução: evidenciamos os erros cometidos em função de técnicas erradas ou emprego de expressão errada na resolução tais como: fatorar; multiplicação e divisão de frações, etc. c) Erro de cálculo: evidenciamos todos os erros cometidos em função de cálculo numéricos errados. Na análise do desenvolvimento categorizamos os erros em apenas uma característica de modo a não haver acúmulo de categorias, embora exista erros que podemos categorizar em mais de uma, estas nos ajudarão e entender os erros dos licenciandos na construção de um novo conceito

260 259 pela perspectiva de reflexão; se considerou nessa atividade também dar evidência a fase de antecipação. Tabela 22: Resumo das respostas dos 16 licenciandos. Atividade 4 Atividade 5 Atividade 4 Não identificação da ação a ser desenvolvida na atividade Erro no conceito ou técnica de resolução Erro de cálculo Acertos Total Fonte: O autor, 2015 Analisando a tabela acima, destacamos os erros cometidos por erro no conceito ou técnica de resolução, alguns licenciandos encontram dificuldades de efetuarem expressões algébricas em forma de fração, cometendo erros básicos de multiplicação ou divisão de fração. Evidenciamos que toda atividade foi realizada sob a forma de consulta dos recursos didáticos envolvidos durante todo o processo de formação da proposta formativa. Comprovamos ainda que o número de acertos foi crescente à medida que avançavam em suas atividades, acreditamos que os efeitos das dificuldades encontradas na atividade anterior serviram como reflexão na imediatamente posterior, assim, concordamos com Simon et al (2004) quando afirma que há uma antecipação na construção de um novo conceito pela perspectiva de reflexão, evidenciando assim uma forma de entender o desenvolvimento das estruturas mentais por parte dos licenciandos em uma sequência de tarefas em uma atividade ou na sequência delas. As atividades 3, 4 e 5, foram elaborados tendo como referência os conteúdos de identidades e transformações trigonométricas, nas quais foram dados os seguintes enunciados: Atividade 3: Sabe-se que e, então o valor de é... Abaixo uma das respostas de um dos licenciandos; nela observamos que para a sua resolução, o licenciando faria uma substituição dos valores já fornecidos em uma fórmula referente a tangente da diferença. Assim abaixo uma das respostas, observamos que dos dezesseis licenciandos dois não obtiveram êxito em seus resultados para esta atividade, um não conseguiu identificar a ação para o êxito deixando sem resposta e outro realizou uma operação de multiplicação errada, interferiu em seu resultado final. o que

261 260 Manuscrito 24: Licenciando Ac7, respostas correta da atividade Fonte: O autor, 2015 O licenciando que não obteve êxito nesta atividade efetuou uma operação de multiplicação errada, o que interferiu no seu resultado final da atividade. Entretanto, consideramos que o mesmo não se encontra fora da fase participativa, pois conseguiu distinguir corretamente a tarefa determinada na atividade. Manuscrito 25: Licenciando Ac10, resposta da atividade 3 Fonte: O autor, 2015

262 261 Nesta atividade 3 consideramos que os licenciandos se encontravam na fase participativa, os mesmos tinham um objetivo que era encontrar a tg 15 0; a atividade permitiu gerar ideias pertinentes para a sua resolução que estava proposta em um contexto algébrico. Na atividade 4: Dada a relação Fundamental =1. a)se dividirmos a relação fundamental acima por, obtemos; b) Se dividirmos a relação fundamental acima por, obtemos: Para a tarefa da atividade acima, observamos que apenas um licenciando não conseguiu resolver as duas alternativas; os demais, todos resolveram obtendo suas respostas corretas. Abaixo, uma das respostas corretas e a resposta errada para esta atividade. Manuscrito 26: Licenciando Ac6 e Ac12, respostas correta e errada respectivamente da atividade 4 Fonte: O autor, 2015 Consideramos que para esta atividade também os licenciandos se encontravam na fase de participação tendendo a fase de antecipação, pois esta tarefa exigia uma reflexão dos licenciandos, uma atenção nos registros, nas operações algébricas, na fatoração, e decomposição que aparecia na expressão. Observamos que o erro do Ac12 foi na fatoração o que o levou a uma expressão algébrica truncada, e na resposta correta do Ac06 a fatoração o leva a uma reposta não truncada. Na atividade 5: Calcule o valor de nove dos dezesseis licenciandos obtiveram êxito em suas respostas finais, três desenvolveram a atividade com erros nas operações de multiplicação e divisão que interferiu em suas respostas e outros quatro não conseguiram desenvolver a atividade.

263 262 Nesta atividade observamos que a não obtenção de êxito foi em função de não identificação da ação a ser desenvolvida na atividade e técnicas erradas ou emprego de expressão errada na resolução como: fatoração, multiplicação e divisão de frações, etc. Abaixo uma resolução acertada da atividade. Manuscrito 27: Licenciando Ac8, resposta da atividade 5 Fonte: O autor, 2015 Temos identificado evidências de relações entre a atividade e seu efeito em contexto das práticas empregadas durante o processo formativo como por exemplo, na atividade da Roda Gigante, os licenciandos foram capazes de identificar a função, caracterizar dando sua definição e esboçar seu gráfico em função do movimento circular da roda gigantes estabelecendo, assim, uma reflexão sobre a ação, criando registros mentais das atividades que estavam sucedendo e resolviam as tarefas nelas propostas. Assim, o experimento de ensino na proposta formativa teve a intenção de apontar características para integrar a Prática como um Componente Curricular (PCC) no Curso de Licenciatura concebendo esta prática como sendo diferente da presente na disciplina de Estágio Curricular Supervisionado. A aplicação do experimento confirmou que o uso simultâneo de diferentes representações auxilia os licenciandos a avançar na construção do conceito do conteúdo matemático. Na análise dos dados de toda a proposta formativa observamos uma evolução na aprendizagem de uma nova concepção matemática; esta evolução perpassa as duas etapas assinaladas por Simon et al (2004), a participativa e a antecipatória. Identificamos que os licenciandos foram capazes de relacionar a trigonometria no triângulo retângulo e triângulos

264 263 quaisquer e principalmente relacionar os conceitos aprendidos ao ciclo trigonométrico, posto ao manifesto de relacionar pela reflexão sobre a atividade-efeito generalizando durante as diferentes tarefas nas atividades. Os resultados mostram em função das relações atividade-efeito a fase de transformação conceitual da matemática para a trigonometria.

265 264 CONSIDERAÇÕES FINAIS (...), desde Platão, a Matemática é vista como um filtro capaz de selecionar as melhores mentes Ubiratan D Ambrosio, Passados quase 30 anos e a epígrafe acima continua válida. Há uma relação entre a Educação Matemática e o processo de exclusão do sistema. Contudo, na formação inicial, a inclusão explícita da Prática como um Componente Curricular, pode amenizar a transformar a organização e execução do currículo nos cursos de licenciatura em suas áreas do saber, quanto ao argumento pela importância de dar visibilidade do currículo aos saberes legitimados em nossa sociedade e aos saberes científicos. Em nossas considerações finais ressaltamos os aspectos centrais de nossas análises e reflexões sobre a investigação realizada, expostas e analisadas nos capítulos anteriores. As discussões e implicações que realizamos centram em distintos aspectos que apareceram neste trabalho. Em primeiro lugar vamos centrar nos aspectos teóricos que nortearam nossa linha de investigação, nos permitindo relacionar e situar os resultados. Os resultados obtidos nos permitem caracterizar a Prática como Componente Curricular em um curso de licenciatura em Matemática a partir da análise das legislações e PPP do curso e de uma proposta formativa no ensino de trigonometria integrada a disciplina de Matemática Elementar desde a perspectiva de Ball et al (2008) e sua caracterização como um ponto de vista teórico a aprendizagem do licenciando em uma trajetória hipotética de aprendizagem na elaboração de um novo conceito por parte do licenciando. Finalizamos com indicações sobre futuros trabalhos nessa linha de investigação. Uma síntese da trajetória deste estudo O objetivo desta pesquisa foi o de compreender o processo de integração da Prática como Componente Curricular na estrutura pedagógica de um curso de Matemática, Licenciatura, na disciplina de Matemática Elementar particularmente no conteúdo de Trigonometria.

266 265 Relativamente aos procedimentos metodológicos adotados nesta pesquisa, utilizamos três fases para desenvolvê-la: análise documental da legislação pertinente, com a finalidade de buscar compreensões a respeito dos pressupostos e organização dos PPP do curso licenciatura na implementação da PCC. A análise dos dados foi fundamentada em Shulman (1986, 1987) e Ball et. al (2008) no que se refere aos conhecimentos que devem ser de domínio do professor e serviram como base para contemplar a construção da proposta formativa e aplicação em campo. A terceira fase foi de análise das características que impulsionam a integração da Prática como Componente Curricular, fundamentada em Simon e Tzur (2004) e Simon et al (2004), no que se refere ao mecanismo para o desenvolvimento do conceito Matemático baseado fundamentalmente no aspecto do construtivismo em uma THA. Para situar nosso problema de pesquisa sobre compreender o processo de integração da prática como componente curricular na estrutura pedagógica de um curso de Matemática foi importante a reflexão na primeira fase que achamos pertinente apresentar uma breve síntese: procuramos analisar e compreender artigos e teses, debates cruciais da integração dos conhecimentos teóricos à prática docente nos cursos de Licenciatura que devem ocorrer ao longo de todo o Curso. Estudar estes debates nos auxiliou na compreensão das diretrizes vigentes, sobretudo no que se refere à transformação sofrida nos cursos de formação de professores de Matemática para Educação Básica. Na perspectiva apresentada nos estudos acima concluímos em nossa investigação que o marco para a expressão Prática como Componente Curricular foi a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional Lei n /1996 que dispõe: Art. 65. A formação docente, exceto para a educação superior, incluirá prática de ensino de, no mínimo, trezentas horas, ressaltamos que até 1996 os cursos de licenciatura tinham no estágio curricular o componente curricular. Contudo, esta expressão somente surgiu, de maneira explícita, na Resolução CNE/CP 2, (2002b), ao instituir a duração e a carga horária dos cursos de licenciatura, de graduação plena, de formação de professores da Educação Básica, em nível superior, e em seu art. 1, parágrafo I, que foi as 400 horas vivenciadas ao longo do curso. Em nosso entendimento destas revisões dos documentos da legislação educacional brasileira, as referidas resoluções tiveram intenção com a adoção dessa expressão em esclarecer a diferença, na lei, entre prática de ensino e estágio curricular supervisionado, além de reforçar o princípio da articulação teoria e prática na formação de professores, passando a estabelecer conceitos distintos para a prática de ensino e para o estágio supervisionado.

267 266 Nestes pressupostos legais consideramos que o significado da expressão Prática como Componente Curricular carrega em si uma complexidade maior do que inicialmente pode-se apreender, sobretudo em função de alguns questionamentos que perpassam nos artigos e teses analisadas como: Já não é assim mesmo que estão estruturados os cursos de licenciatura? Qual a inovação trazida pela legislação ao adotar uma carga horária mínima obrigatória de prática como componente curricular? A prática não era entendida como um componente curricular? Neste sentido, a partir desta reestruturação própria e independente a ser aplicada aos cursos de licenciatura, seria possível estabelecer as bases de enfrentamento dos desafios presentes na formação de professores, entre os quais constava uma visão mais ampla da prática. O Parecer CNE- CP nº 09/2001 traz a seguinte orientação para essa questão enfatizando que: A ideia a ser superada, enfim, é a de que o estágio é o espaço reservado à prática, enquanto, na sala de aula se dá conta da teoria (p. 23). A norma, a partir desse momento, inova prevendo uma ruptura da prática e do estágio, nos moldes como vinham sendo ofertados, ou seja, como componente curricular único destinado ao tempo do estágio, identificado pelas instituições como prática de ensino sob a forma de estágio supervisionado. Portanto, a prática sob a forma de estágio supervisionado deixa de existir, passando a se constituir em dois componentes curriculares distintos, um a Prática de Ensino e o outro a Prática como um componente ao currículo ao longo do curso. Essa questão está presente no contexto das instituições de Educação Superior e a PCC explicita a complexidade que está embutida na expressão Prática como Componente Curricular, sobretudo considerando a construção histórica do conceito de Práxis no contexto brasileiro. Concluímos também, que o conhecimento do conteúdo por professores e a realização com seus licenciandos, tem que ser investida na ação do Educador na formação inicial, como base de seu conhecimento, mediando os conteúdos a serem ensinados e como devem ser ensinados, para um ensino significativo. Nesse contexto, estão os cursos de Licenciatura em Matemática com seus Projetos Políticos Pedagógicos - PPP se adequando às novas Diretrizes Nacionais para formação de Professores da Educação Básica. Esses documentos propõem que o educador matemático seja capaz de tomar decisões, refletir sobre sua prática e ser criativo na ação pedagógica reconhecendo a realidade em que se insere, além de avançar para uma visão de que a ação prática é geradora de conhecimentos.

268 267 Estas ideias contribuíram para o entendimento da PCC e os esclarecimento das questões acima citadas que, de acordo com a legislação, deve ser uma atividade vivenciada ao longo de todo o curso constituindo-se como parte integrante de algumas disciplinas de formação geral e específica de modo a ser incorporada à política educacional que trata da formação de professores, podendo ser visualizadas em documentos como os Referenciais para Formação de Professores, anteriormente mencionado, e em instrumentos normativos como o Parecer CNE-CP nº 9/2001 e as Resoluções CNE-CP 01/2002a e CNE-CP 02/2002b. Contudo, para dar sentido à prática dos professores, os projetos pedagógicos dos cursos de licenciatura necessitam favorecer o desenvolvimento das competências necessárias para a intervenção nesta área. Outra recomendação importante para os cursos de Licenciatura Plena em Matemática é a necessidade de a formação inicial assegurar a dissociabilidade teoria-prática por meio da Prática como Componente Curricular (PCC) que, além de estar contemplada no Projeto Político Pedagógico de um curso de licenciatura, deverá ser vivenciada em diferentes contextos de aplicação desde o início do curso. Nesta pesquisa evidenciamos a reformulação do Projetos Políticos Pedagógicos, do curso de Matemática, Licenciatura da UEMS e, ao elaborar um perfil geral comum do projeto pedagógico e a sua organização curricular, com o intuito de assessorar a comunidade escolar dos cursos na elaboração dos projetos pedagógicos e das propostas de organização curricular dos cursos de licenciatura da instituição. Dessa forma, podemos inferir que a UEMS caminha em paralelo à reflexão acima e que em suas tentativas deu um salto significativo desde 2000, quando iniciou com o curso de Ciências Habilitação Matemática. Um avanço que foi perceptível nesta pesquisa relaciona-se à implementação da Prática como Componente Curricular referindo-se à mobilização da comunidade escolar para a construção do projeto articulador em que a PCC está inserida no bojo das disciplinas de conteúdos específicos e pedagógicos. No que tange à concepção de PCC, a Instituição mostrou-se com o firme propósito de entender o seu real significado. É sabido que, para que isso ocorra, é necessário estudos, reflexões, dentre outras, o que esta Instituição já vem fazendo. Assim, percebermos que houve dificuldades, mas que não foram motivos para que não as superassem. Constatamos, nesta Instituição, vontade de mudança na formação do futuro docente da Educação Básica. A análise do PPP do Curso de Matemática Licenciatura da UEMS no Câmpus de Nova Andradina revelou um projeto articulador no intuito de implementar, na Instituição, o que prevê o

269 268 Parecer CNE/CP 2/2002b evidenciando a prática pedagógica em aula através de planejamento e desenvolvimento de atividades com da licenciandos quanto a estudos relacionados com o ensino de Matemática. Assim, na pesquisa concluímos que o PPP do Curso da UEMS contempla a distribuição da duração e da carga horária relativa a quatro tipos de componentes curriculares estabelecidos pelo Parecer CNE/CES 1.302/2001, quais sejam: Conteúdos Curriculares de Natureza Científico- Cultural (C/H Teórica) contempla 1842 horas (mínimo de 1800 horas); Estágio Curricular Supervisionado (C/H Prática de Prática Docente) contempla 425 horas (mínimo de 400 horas); Práticas como Componentes Curriculares- PCC contempla 425 horas (mínimo de 400 horas); Atividades Complementares contempla 200 horas (mínimo de 200 horas) e Trabalho de Conclusão de Curso 118 horas, totalizando assim uma carga horária de 3005 horas (mínimo 2800 horas). Este subsidio teórico na fase 1 nos possibilitou propor o processo formativo para os licenciandos a ser empreendido na fase 2. Por exemplo, a determinação dos tipos de atividades a serem utilizadas nesse processo no intuito de contemplar a PCC da forma como a interpretamos nos documentos legais e no PPP do Curso. No entanto, somente um projeto articulador não foi suficiente como alternativa para implementar as características da PCC; se fez necessário investigar nos Subdomínios do conhecimento matemático para o ensino (MKT) de Ball et al (2005) a proficiência em relação à Prática Matemática do formador sendo este capaz de falar sobre como a linguagem matemática é usada, como escolher, fazer e usar representações matemáticas e como explicitar e justificar as ideias matemáticas de outros, são situações, que engajam os professores a praticas matemáticas particulares e engajam os mesmos à Práticas Matemáticas em sua forma descomprimida ou em sua forma desempacotada. Nesta proposta, evidenciamos, no que se refere à formação de professores, a necessária vinculação entre teoria e prática expressa, entre outros aspectos, por intermédio da definição da Prática como Componente Curricular que às vezes interpretada como sendo equivalente à prática de ensino. Trata-se de uma interpretação reducionista por não incluir como prática outras atividades pedagógicas relevantes ao fazer escolar como previsto nos pareceres CNE 01 e 02 de 2002 a e b. Contudo, consideramos que a PCC não seja uma disciplina, mas sim um componente que deva ser integrado ao currículo e por consequência, ás disciplinas ao longo do curso. Sobre a proposta formativa e a integração da PCC.

270 269 Em relação a proposta formativa e a integração da PCC, tem em conta o ensino e a compreensão matemática (ARTZT & ARMOUR-THOMAS, 1999) consideram o ensino para a compreensão base para a análise da Prática, Neste sentido, de investigadores Simon, Tzur e colegas explicam: centramos nossos informes sobre a prática [...] em como o professor se conduz, para promover trocas de conhecimentos matemáticos com os estudantes (SIMON et al. 2000, p.583). O mecanismo cognitivo que centra na relação atividade-efeito (hypothetical learning trajectory-hlt), (SIMON, et al 2004), a partir da ideia de abstração reflexiva de Piaget (1977), explica a relação entre a aprendizagem conceitual e tarefas matemáticas durante o processo formativo, e com esta elaboração da THA, nas seleções de tarefas, não foram deixadas à intuição ou tentativa e erro. Em vez disso, no mecanismo, oferecemos uma estrutura para pensar sobre como a tarefa pode promover o processo de aprendizagem. Contudo, as modelações desenvolvidas em cada encontro dentro de temas específicos como a trigonometria no triângulo ou a trigonometria no ciclo trigonométrico entre outros desenvolvidos na proposta formativa, com suas tarefas e objetivos, nos permitiu discutir os subdomínios de MKT. A análise da prática do professor e das dimensões que a influem, e como o fazem, recorrendo ao modelo evidenciado na proposta elucidada, de forma explícita à impossibilidade em separar cada um das componentes do modelo defendidos por Ball et al (2008), o que reforça também a ideia de que o conhecimento matemático e das atividades e suas representações por parte do professor é algo por demais complexo formado por distintas dimensões, mas em que o todo é mais amplo que a soma destas vem caracterizar a PCC, ou seja, a proposta para caracterizar PCC envolve princípios e critérios para a seleção dos conteúdos para a aula (o que ensinar, Ball et al (2008)), a organização didática (como ensinar), (SIMON et al, 2004)), além das estratégias para promover e acompanhar a aprendizagem. Dessa forma o professor formador reflexivo constrói uma teoria própria, explicativa de sua prática, contribuindo para a sistematização de novos conhecimentos e consegue articular o conhecimento científico com o conhecimento pedagógico dos conteúdos (SHULMAN, 1987). Contudo, há uma série de aspectos ou temas a serem discutidos na formação inicial do professor; acreditamos que uma formação adequada e específica é fundamental para o posterior desenvolvimento das outras competências ou domínios de conhecimento do professor formador. A análise da prática e o processo de modelação apresentado com as relações emergentes, têm por intuito possibilitar um aprofundamento na compreensão da prática como componente

271 270 curricular, dos fatores que a influenciam (potenciam e/ou limitam em termos das dimensões do conhecimento profissional do professor consideradas nucleares) e como/porque o fazem, procurando responder assim às nossas questões motivadoras. Esta aproximação tem sempre no horizonte (ainda que por vezes esteja longínquo) possibilidades de aprender com essa mesma prática de forma a melhorá-la. Contudo, as modelações desenvolvidas em cada encontro, dentro de temas específicos como a trigonometria no triângulo, ou a trigonometria no ciclo trigonométrico entre outros desenvolvidos na proposta formativa, nos permitiu olhar nos subdomínios de MKT, associados a cada situação específica - não efetuando aqui qualquer tipo específico de abstração - e dessa forma as relações entre diferentes componentes em análise. A análise dos dados coletados foi feita considerando-se o uso dos recursos pedagógicos, a prática pedagógica e o processo de construção do conceito matemático na aprendizagem. Nela foram consideradas as estratégias adotadas na proposta, o recurso didático envolvido, o uso da tecnologia, as atividades, as interações dos licenciandos em aula e o contexto da universidade, isto é, foi desenhado e executado ambiente da Universidade em seu cotidiano de modo que os fatores significativos do processo foram sendo identificados sob o ponto de vista da aprendizagem hipotética no contexto de um conjunto particular de tarefas, onde se começa, dada a interdependência entre dois mecanismos presentes no processo, a reflexão sobre as atividades e o efeito na aprendizagem conceitual da trigonometria. Concluímos que o tempo de execução da proposta também influenciou no resultado, pois o formador necessita de tempo para estabelecer uma relação baseada na confiança e despertar o interesse de seu licenciando e corroboramos com Solé (1991, apud ZABALA, 1998) que defende que o clima da aula deve propiciar aceitação e respeito mútuo em que todos se sintam desafiados a aprender. No que tange ao parecer CNE/CP nº 9/2001, a superação dos dois polos teoria-prática sem sua segmentação, estabelecemos uma dialética entre a teoria e a prática como prevê o Parecer acima para a mediação da aprendizagem, as atividades e os materiais utilizados, tanto no contexto computacional quanto fora dele foram essenciais. O desenvolvimento de materiais para próprio uso nos mais diversos papéis profissionais desempenhados foi significativo para desenvolver as competências de uso da Informática, provocar reflexões sobre o tratamento didático dos conteúdos envolvidos e permitir a exposição da criatividade; além disso, o conhecimento matemático e o

272 271 tratamento didático dado ao conteúdo manifestaram-se na elaboração das THA e materiais, quer pela escolha das problemáticas, quer pela formulação de questões e demais escolhas didáticas. Nesse sentido, a pesquisa mostrou que se deve oportunizar a produção de muitos materiais e que estes devem ser diversificados e se distribuírem ao longo de todo o processo formativo. A tarefa de produção deve ser desempenhada tanto individualmente quanto com apoio e os materiais produzidos, reformulados depois de um tempo da produção e da utilização. A interação computador-conteúdo esteve permeando todos os tópicos entre os elementos envolvidos na proposta, os materiais desenvolvidos e as atividades por eles desenvolvidas. Os fatores significativos do processo de formação foram identificados sob o ponto de vista do construtivismo por mediação da aprendizagem e que tais aspectos foram analisados quando o professor-formador atuava nos diferentes papéis que desempenhou no processo formativo junto com os licenciandos. A análise da prática e das dimensões que a influem e como o fazem recorrendo ao modelo elucida, de forma explícita, a impossibilidade em separar cada uma das componentes do modelo, o que reforça também a ideia de que o conhecimento profissional do professor é algo por demais complexo formado por distintas dimensões, mas em que o todo é mais amplo que a soma destas. Concretamente, no que se refere aos conhecimentos matemáticos para o ensino (MKT), ilustra também a dificuldade em destrinçar os seus distintos subdomínios. Esta percepção chamada de atenção e tomada de consciência, por parte dos mais diversos intervenientes na ação e formação docentes poderá revelar alguma evidência da importância de explorar a matemática de forma integrada e pelo delinear dos subdomínios pois, segundo os próprios autores, as linhas entre os tipos conhecimentos em determinados momentos podem ser sutis. Permitirá também que os professores deixem de se focar essencialmente num conjunto de estratégias que consideram atrativas (tarefas pedagogicamente excitantes), mas onde são perseguidos objetivos terminais e com uma prática que relega, efetivamente, os licenciandos e as suas aprendizagens para segundo plano (centrada no professor) e na obtenção de respostas imediatas a questões diretas e passem a focar-se em aspetos que lhe permitam preparar e implementar tarefas matematicamente ricas e desafiadoras. Reconhecemos que os objetivos da aprendizagem dos licenciandos constituem uma grande mudança exigindo um conhecimento especializado da área conceitual envolvida e nas transformações conceituais mais significativas exigindo um conjunto de THAs, contudo uma vez

273 272 identificado os objetivos da aprendizagem e estratégias adotadas, o formador modela sua prática tendo reflexo na aprendizagem que alcançam os licenciandos. Palavras finais. A título de conclusão a proposta formativa nos auxiliou para o entendimento da PCC no sentido que para a formação do futuro educador matemático, fica evidente uma relação intrínseca entre os vários domínios do saber docente, a trajetória hipotética de aprendizagem e a interação com o licenciando caracterizada na reflexão de atividades guiadas por tarefas matemáticas, ou seja, o ensino para a compreensão é a base para a análise da Prática como um componente no currículo. Neste mesmo sentido corroboramos com o grupo de pesquisadores Simon, et al (2004): Centramos nossas investigações sobre a prática [...] em como o professor se conduz para promover trocas no conhecimento matemático dos estudantes (licenciandos) (SIMON et al., 2000, p. 583), ficando evidente que a característica da PCC é o ensino para a compreensão. Nos subdomínios de Ball et al (2008) evidenciamos a maneira em que o Professor possa criar condições para o aprendizado de seus licenciandos em um curso de formação inicial; assim, por exemplo, no caso de funções trigonométricas, podemos considerar o aprendizado para o argumento de uma função seno dado pela forma de conhecer, evidenciar a forma tal e como e apresenta no episódio levando o licenciando para a prática do significado para o processo gráfico e analítico da função seno, ambos integrados à modelação de mecanismos construtivos como uma ferramenta de investigação. Os resultados de nossa investigação aportam sobre as perspectivas da prática do professorformador, evidenciando as características da Prática como Componente Curricular considerando as variáveis as relações de como usar os sistemas de representações como instrumentos da prática e organizar os distintos conceitos matemáticos como instrumentos da prática estabelecendo relações entre eles. Neste cenário de investigação inferimos que a prática entre as dimensões, desenvolvimento da compreensão da aprendizagem dos conceitos e a visão matemática como objeto de ensinoaprendizagem caracterizando a Prática como Componente Curricular devam evidenciar as seguintes características: - Levantamento e análise de livros didáticos sob uma perspectiva crítica. - Construção de material didático. - Análise de vídeos, jogos e sua utilização em sala de aula.

274 273 - Exploração de softwares que possam ser utilizados na construção do conhecimento. - A Elaboração de projetos de ensino voltada para a escola básica envolvendo o estudo de conteúdos especifica aspecto histórico e recursos tecnológicos. - Desenvolvimento de trabalho investigativo sobre o estudo de conteúdos matemáticos e toda problemática que envolve o ensino de matemática no ensino básico. - Desenvolvimento de uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem em uma relação atividade-efeito. - Criar situações de aprendizagem com o software, com materiais didáticos. - Intervir pedagogicamente mediando a aprendizagem do licenciando. - Observar as estratégias de resolução e a interação dos licenciandos. - Refletir sobre a prática e a teoria. - Re-significar os saberes e o papel da Matemática no currículo. - Desenvolver novas competências profissionais. - Dominar recursos disponibilizados e utilizá-los pedagogicamente. A Prática como Componente Curricular deverá ser desenvolvida por meio de procedimentos que envolvam a observação e reflexão de práticas escolares e que visam à atuação em situações contextualizadas, ou seja, dos diversos recursos nas disciplinas; o formador, por meio deste destas ações desenvolve a PCC e impulsiona o conhecimento profissional docente. Assim, entendemos que, no interior das disciplinas, a implementação da PCC pode impulsionar o conhecimento profissional docente dos licenciados. Finalizando, concluímos que o grande desafio de integrar a Prática como um Componente Curricular (PCC) no Curso de Licenciatura está em primeiro conceber o que é esta prática, e que ela é diferente da prática presente na disciplina de Estágio Curricular Supervisionado na qual o licenciando desenvolve uma série de ações em um contexto que envolve o chão da escola, o licenciando e o processo de ensino e de aprendizagem e a prática como um componente curricular (PCC) vivenciada ao longo do curso de licenciatura, em consonância com o referencial didático pedagógico estabelecendo sempre a ligação com a profissão docente. À guisa de conclusão é importante ressaltar que, em função da necessidade urgente de se habilitar aqueles que, hoje, no País, estão em sala de aula, exercendo o magistério, corre-se o risco

275 274 de as recentes políticas educacionais para formação docente favorecerem a improvisação no preparo dos profissionais da educação. Em nome dessa urgência a prática que deve ocupar um espaço significativo nas grades curriculares dos cursos de licenciatura, pode ser compreendida erroneamente como formação em serviço. As horas trabalhadas em sala de aula sem, necessariamente, um planejamento e uma intencionalidade formativa podem, assim, ser contabilizadas nos novos cursos de licenciatura pelos profissionais já em exercício na escola. Como consequência, diminui, significativamente, a carga horária dos cursos de formação inicial de professores o que, obviamente, não é desejável e representa um imenso retrocesso em termos da preparação desses profissionais. Do mesmo modo, o descuido com o embasamento teórico na formação de professores indispensável no preparo desse profissional é extremamente prejudicial aos cursos de licenciatura. O rompimento com o modelo que prioriza a teoria em detrimento da prática não pode significar a adoção de esquemas que supervalorizem a prática e minimizem o papel da formação teórica. Assim como não basta o domínio de conteúdos específicos e/ou pedagógicos para alguém se tornar um bom professor, também não é suficiente estar em contato apenas com a prática para se garantir uma formação docente de qualidade. Sendo assim, concluímos elaborando um ciclo das características da Prática como Componente Curricular; nele a PCC perpassa por evidência o que constatamos em nossa investigação, de forma integrada. No ciclo que projetamos para caracterizar a PCC destacamos cinco pontos fundamentais, contudo, nenhum sobressai em função do outro; consideramos todos em um mesmo patamar e de igual importância na caracterização da PCC, como ilustra a figura 55 a seguir: O domínio do conhecimento do formador, neste caso o formador de um curso de licenciatura, deve ter a capacidade de perceber regularidades em um conjunto de características evidenciadas pelos Subdomínios de Ball et al (2008) e principalmente na reflexão sobre uma atividade em determinadas tarefas e seus efeitos durante o processo de ensino na abstração do conhecimento matemático. O segundo ponto é o conhecimento do currículo por parte do formador possibilitando a inserção do futuro professor em seu ambiente profissional ainda no percurso formativo. Assim, a prática na matriz curricular dos cursos de formação não pode ficar reduzida a um espaço isolado que a reduz como algo fechado em si mesmo e desarticulado do restante do curso. Isso porque não é possível deixar ao futuro professor a tarefa de integrar e transpor o conhecimento sobre o ensino

276 275 para o conhecimento na situação de ensino e aprendizagem sem ter oportunidade de participar de uma reflexão coletiva e sistemática sobre esse processo. Outro ponto de igual importância no ciclo é o desenvolvimento profissional no aspecto do conhecimento matemático e os objetivos para aprendizagem, que propõem pensar no processo de construção de sua autonomia intelectual: o professor além de saber e de saber fazer, deve compreender o que fazer. Sobretudo este está conectado com as atividades e o processo de aprendizagem por parte do licenciando considerando o objetivo para o ensino e o processo pelo qual perpassa, ou seja, no aspecto de identificar e interpretar as ações cognitivas do futuro professor. PRÁTICA COMO COMPONENTE CURRICULAR Figura 54: Ciclo de caracterização da Prática como Componente Curricular Fonte: O autor, Perspectivas de futuro Nossa investigação nos deixa uma série de questões que pensamos pode ser motivo de estudo em futuras investigações: Que mecanismo de construção do conhecimento modela o professor e sua Prática, na integração da PCC em um curso de licenciatura?

277 276 Que relações estabelecem o professor entre os distintos mecanismos da PCC na construção de um novo conceito do conhecimento matemático pelo mecanismo de reflexão abstração? Estas aproximações e generalizações podem permitir detectar e estudar as relações entre os modelos de mecanismos de construção de diferentes concepções envolvendo conceitos matemáticos. O estudo destas relações em futuras investigações permitirá descrever com uma maior profundidade e detectar novas características da PCC na prática do professor que nos ajude a explicitá-la, neste sentido relacionamos a prática do professor com o aprendizado dos licenciandos no mesmo sentido de aprendizagem potencial em paralelo com as propostas de alguns investigadores (SIMON et al, 2004; BALL et al, 2008; LLINARES, 2000, 2012). Para tanto cremos as características da Pratica como Componente Curricular evidenciadas aqui, podem apontar informações para os formadores de professores de Matemática. Contudo, no desenho dos programas de formação docente (PPP) existe a possibilidade de utilizar caracterizações de diferentes perspectivas da prática como um componente do currículo.

278 277 REFERÊNCIAS ARTZT, A. F., ARMOUR-THOMAS, E. A cognitive model for examining teachers instruccional practice in mathematics: a guide for facilitating teacher reflection. Educational Studies in Mathematics, 40, p ARANHA, A. Z. O método MDC para demonstrações em trigonometria. Anotações de aula, ARTIGUE, Michèle (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos, in: ARTIGUE, M.; DOUADY, R.; MORENO, L. e P. Gómez (Eds.), Ingeniería didáctica en educación matemática (pp ). México: Grupo Editorial Iberoamérica. ALONSO, M. L. G. Inovação Curricular, Formação de Professores e Melhoria da Escola: uma abordagem reflexiva e reconstrutiva sobre a prática da inovação/formação. Dissertação de Doutoramento em Estudos da Criança, na área de conhecimento de Currículo e Metodologia, apresentada à Universidade do Minho. Instituto de estudos da criança. Universidade do Minho Braga BALL, D. L., THAMES, M. H., PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching What Makes It Special? Journal of teacher education, 59(5), p BALL, D. L., THAMES, M. H., BASS, H., SLEEP, L., LEWIS, J., & PHELPS, G. A. Practice Based Theory of Mathematical knowledge for Teaching. In M. Tzekaki, M. Kaldrimidou & H. Sakonidis (Eds.) Proceedings of the 33rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, p ). Thessaloniki, Greece Ball, D. L., Hill, H.C, & Bass, H. Knowing mathematics for teaching: Who knows mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American Educator, 29(1), pp , 20-22, BASS, H. Research on university-level mathematics education: (Some of) what is needed, and why? Pre-Proceedings of the ICMI Study Conference on the Teaching and Learning of Mathematics at University Level BRASIL. Parecer n. 4873/1975, de 04 de dezembro de Formação pedagógica das licenciaturas. Documenta, Rio de Janeiro, n.181, p , dez. 1975b.. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF Resolução nº 2. Dispõe sobre os programas especiais de formação pedagógica de docentes para as disciplinas do currículo do ensino fundamental, do ensino médio e da educação profissional em nível médio. Diário Oficial da União, Brasília, 1997a.. Decreto n.º Regulamenta o 2o do art.36 e os arts. 39 a 42 da Lei 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Diário Oficial da União.

279 278 Brasília, 18 abr. 1997b.. Decreto Dispõe sobre a formação em nível superior de professores para atuar na educação básica. Diário Oficial da União. Brasília, Decreto nº Dá nova redação ao art. 8º do Decreto 2.406, de 27 de novembro de 1997, que regulamenta a Lei nº 8.948, de 8 de dezembro de Brasília, Parecer CNE/CP nº 9. Diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da educação básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Diário Oficial da União, Brasília, Parecer CNE/CES nº Diretrizes curriculares nacionais para os cursos de matemática, bacharelado e Licenciatura, de graduação plena. Diário Oficial da União, Brasília, 2001a.. Parecer CNE/CP nº 28. Dá nova redação ao Parecer CNE/CP 21/2001, que estabelece a duração e a carga horária dos cursos de formação de professores da educação básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Diário Oficial da União, Brasília, 2001b.. Resolução CNE/CP nº 1/2002. Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de Licenciatura, de graduação plena. Diário Oficial da União, Brasília, 9 abr Seção 1, p.31. Republicada por ter saído com incorreção do original no Diário Oficial da União de 4 de março de 2002, Seção 1, p de Mar a.. Resolução CNE/CP nº 2. Institui a duração e a carga horária dos cursos de Licenciatura, de graduação plena, de formação de professores da Educação Básica em nível superior. Diário Oficial da União, Brasília, 4 mar. Seção 1, p b.. Resolução CNE/CES nº 3. Estabelece as diretrizes curriculares para os cursos de matemática. Diário Oficial da União, Brasília, Resolução CNE/CP nº 2. Adia o prazo previsto no art. 15 da Resolução CNE/CP 1/2002, que institui diretrizes curriculares nacionais para a formação de professores da educação básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Diário Oficial da União, Brasília, Parecer CNE/CP nº 9. Reorganização da carga horária mínima dos cursos de formação de professores, em nível superior, para a educação básica e educação profissional no nível da educação básica Disponível em:< Acesso em abril de Lei nº Institui a rede federal de educação profissional, científica e tecnológica e cria os institutos federais de educação, ciências e tecnologia, e dá outras providências. Diário Oficial da União, Brasília, DF, 30 dez. De Lei nº Das diretrizes e bases da educação nacional. Diário Oficial da União. Brasília, Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Lei n.º Disponível em: < br fed_lei_4024_1961.htm>. Acesso em 20 de setembro de Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1997, 126p.

280 279. Parecer CNE/CES 15/2005 Esclarece as resoluções CNE/CP 01/2002 e CNE/CP 02/ Parecer CNE/CP 21, 06 de agosto de Duração e carga horária dos cursos de Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, disponível em Acesso em 20 de Mar PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Linguagens, Códigos e suas Tecnologias. Brasília, Secretaria de Educação Média e Tecnológica, Disponível em: Acesso em: 01 jun Parâmetros Curriculares do Ensino Médio em Debate. Linguagens, Códigos e suas Tecnologias. Brasília, Secretaria de Educação Média e Tecnológica, Disponível em: Acesso em: 02 jun Orientações curriculares para o ensino médio; linguagens, códigos e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, (Orientações curriculares para o ensino médio; volume 1) BROWN, J. S, COLLINS, A, DUGUID, P. Situated Cognition and the Culture of Learning. Educational Researcher, 18(1), CARVALHO, C, INFORSATO, E.C., MONFREDINI, I. Reforma do Estado e da Educação no Brasil contemporâneo. In: Congresso Estadual Paulista sobre a Formação de Educadores, 7, Águas de Lindóia, Modos de ser educador: artes e técnicas ciências e políticas, São Paulo: UNESP, p.77-89, CHEVALLARD, Y. L analyse des practiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19(2), pp ,1999. COOB, P; CONFREY, J; DISESSA, A.; LEHRER, R.; SCHAUBLE, L. Design experiments in education research. Educational Researcher, v.32, n.1, p. 913, DANTE, L. R.; Matemática: contexto e aplicações. Manual do Professor. 3 ed. São Paulo: Ática, v Tudo é Matemática. 3 ed. São Paulo: Ática, DINIZ-PEREIRA. J. E.; A prática como componente curricular na formação de professores. Educação, Santa Maria, v. 36, n. 2, p , maio/ago D AMBROSIO, U. (Org.) Ciências, Informática e Sociedade: Uma Coletânea. Brasília: Universidade de Brasília, (Coleção textos Universitários). DUBINSKY, E. Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinking. In D. Tall Ed., Advanced Mathematical Thinking (pp ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers A theory and practice of learning college mathematics. In SCHOENFELD A. H. (Ed.), Mathematical Thinking and Problem Solving (pp ). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum The Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in the Learning of Mathematica. Estraburgo: Irem de Estraburgo, 1993.

281 280. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação semiótica. p ª Ed. São Paulo: Papirus, FIORENTINI, D. A pesquisa e as práticas de formação de professores de matemática em face das políticas públicas. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, n. 29, p FRANCO, S. M. A. Entre a lógica da formação e a lógica das práticas: a mediação dos saberes pedagógicos. Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 34, n. 1, p FREIRE, P. Educação como prática para liberdade. Rio de Janeiro: Paz e Terra, Educação e mudança. Petrópolis: Vozes, Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, Pedagogia do Oprimido. 29a Edição 1ª edição 1970, Rio de Janeiro: Paz e Terra Política e educação. São Paulo: Cortez, Educação e mudança. Petrópolis: Vozes, FREIRE, P.; SHOR I. Medo e Ousadia. Rio de Janeiro: Paz e Terra,1996. FREIRE, P.; NOGUEIRA, A. Que fazer: teoria e prática em educação popular. Petrópolis, FIGUEIREDO, S. A.; LOBO DA COSTA, N. M. Licenciatura em Matemática: o desafio de integrar a prática a um componente curricular. VII SESEMAT Seminário Sul-Mato-Grossense de Pesquisa em Educação Matemática. Anais. Campo Grande-MS A prática docente e a formação na licenciatura em matemática: investigando conexões possíveis. VII CIBEM- Congreso Iberoamericano de Educacíon Matemática. Anais. Montevideo- Uruguai GAVILÁN, J. M.; GARCIA, M. y LLINARES, S. Una perspectiva para el análisis de la prácticadel profesor de matemáticas. Implicaciones metodológicas. Ensinanza de las Ciencias 25 (2), GODINO, J. D. Teoría de las funciones semióticas en Didáctica de las Matemáticas. Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada Disponible en internet: GADOTTI M. (Org.). Paulo Freire uma Bibliografia. São Paulo, Ed. Cortez, Instituto Paulo Freire. UNESCO GOLDIN, G. Observing Mathematical Problem Solving Through Taskbased Interviews. Journal for Research in Mathematics Education, Qualitative Research Methods in Mathematics Education, Monograph Number 9, pp GONZÁLEZ, R. R. Aportaciones del enfoque evolutivo neopiagetiano al proceso enseñanzaaprendizaje. Aula abierta, n. 58, p. 3-16, 1991.

282 281 GONZÁLEZ, M. T. Sistemas simbólicos de representación en la enseñanza del Análisis Matemático: Perspectiva histórica acerca de los puntos críticos. Tesis doctoral no publicada, Universidad de Salamanca, España GROSSMAN, P. The making of a teacher: teacher knowledge and teacher education. New York: Teachers College Press, GROSSMAN, P., WILSON, S., SHULMAN, L. Teacher of substance: subject matter knowledge for teaching. In: REYNOLDS, M. (Org.). Knowledge base for the beginning teacher. New York: Pergamon Press, p GUERRA, M. F. O.; A licenciatura em Matemática nos Institutos Federais do Estado de Minas Gerais. Tese de Doutorado para a obtenção do título de Doutor em Educação Matemática. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo. São Paulo: [s.n.]. 275 f. IL. 30 cm HAREL, G., SELDEN, A., SELDEN, J. Advanced Mathematical Thinking. In: GUTIERREZ, A; BOERO, P. (Eds.). Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education. Sensse Rotterdam, p , IMBERNÓN, F. Formação permanente do professorado: novas tendências. São Paulo: Cortez KETELE, Jean-Marie, ROEGIERS, X., Méthologie du recueil d informations: fondements de méthodes d observation de questionaires, d interviews et d étude de documents. 2. ed. Bruxelles: De Boeck Universisté, LESSH, R., POST, T., BEHR, M. Representations and Translations among Representations in Mathematics Learning and Problem Solving, In Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, edited by Claude Janvier, pp Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, LLINARES, S. Comprendiendo la práctica del profesor de matemáticas. En J. P. da Ponte y L. Sarrazina (Eds.), Educação Matemática em Portugal, Espanha e Itália Lisboa. Actas da Escola de Verão (pp ). Lisboa, Portugal: SEM-SPCE, Conocimiento y práctica profesional del profesor de matemáticas. Características de una agenda de investigación. Zetetiké, v.7, n.12, p LLINARES, S. (1998) Conocimiento profesional del profesor de matemáticas y procesos de formación. Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, n.17, p Del conocimiento para la enseñanza para el profesor al conocimiento del profesor sobre la enseñanza. In: BLANCO L., MELLADO, V. (orgs) La formación de profesores de Ciencias y Matemáticas en España y Portugal. Badajoz: Diputación de Badajoz, p LLINARES, S., SÁNCHEZ, V. Comprensión de las nociones matemáticas y modos de representación. El caso de los números racionales en estudiantes para profesores de Primária. In: JIMÉNEZ, J., LLINARES, S., SÁNCHEZ, V. (coord.) El proceso de llegar a ser un profesor de primária. Cuestiones desde la Educación Matemática. Granada: Comares, p , LOBO DA COSTA, N. M. POLONI. M. Y. Design based research: uma metodologia para

283 282 pesquisa em formação de professores que ensinam matemática. CIAEM- XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. Anais. Recife, Brasil, LORENZATO, S. A. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. In: LORENZATO, S. A. (org.). O Laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, MARTINS, P. L. O.; ROMANOWSKI, J. P. Pesquisa em educação: o estado da arte na área de didática. In: QUARTIERO, E. M.; SOMMER, H. L. Pesquisa, Educação e inserção social: olhares da região Sul. Canoas-RS. Canoas: Editora da ULBRA, p , MASCHIETTO, M. Graphic Calculators and Micro-Straightness: Analysis of a Didactic Engineering. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 13(3), , doi: /s MATO GROSSO DO SUL. Resolução CEPE-UEMS Nº 357, de 25 de março de Aprova a sistemática de elaboração e reformulação dos Projetos Pedagógicos dos cursos de graduação da UEMS.. Lei nº 2.791, de 30 de dezembro de Aprova o Plano Estadual de Educação de Mato Grosso do Sul UEMS-Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul. Projeto Político Pedagógico do Curso de Licenciatura em Matemática. Dourados-MS UEMS-Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul. Projeto Político Pedagógico do Curso de Matemática Licenciatura. Dourados-MS MIASHIRO, P. M. As transições das Razões para as Funções Trigonométricas. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, sob a orientação da Drª. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, Universidade Bandeirante de São Paulo, NOGUEIRA, K. F. P.; PEREIRA, P. S. Prática Como Componente Curricular: Uma Proposta Para A Licenciatura Em Matemática. In: V Seminário Internacional De Pesquisa Em Educação Matemática. 28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil, ORFÃO, R. B. Professores de Matemática em um Grupo de Estudos: Uma Investigação Sobre o uso de Tecnologia no Ensino de Funções Trigonométricas. Dissertação (Mestrado Acadêmico) Universidade Bandeirante de São Paulo, Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. Orientadora: Profª. Drª. Nielce M. Lobo da Costa PAIVA, V. P. História da Educação Popular no Brasil: educação popular e educação de adultos. São Paulo: Edições Loyola Formando professores profissionais. Quais estratégias? Quais competências? 2ª Ed. Porto Alegre, ARTMED, Práticas pedagógicas, profissão docente e formação: perspectivas sociológicas. 2. Ed. Lisboa: Publicações Don Quixote/ Instituto de InovaçãoEducacional, PIAGET, J. Studies in Reflecting Abstraction. Sussex: Psychology Press

284 283. Biology and knowledge. Chicago: The University of Chicago Adaptation and intelligence. Chicago: The University of Chicago Press The equilibration of cognitive structures: the central problem of intellectual development. Chicago: University of Chicago Press Studies in reflecting abstraction. Sussex, England: Psychology Press PIMENTA, S. G., ANASTASIOU, L. G. C. Docência no ensino superior. São Paulo: Cortez, POLONI. M. Y., LOBO da COSTA, N. M.; Formação Continuada de Professores e o uso de Jogos no Ensino de Trigonometria. ENEM-XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Anais. Curitiba, Brasil, POWELL, A. B., FRANCISCO, J. M. y MAHER, C. A. An analytical model for studying the development of learners`mathematicals ideas and reasoning using videotape data. Journal of Mathematical Behavior, 22, pp , RIBEIRO, A. J. Equação e Conhecimento Matemático para o Ensino: relações e potencialidades para a Educação Matemática. Bolema, Rio Claro (SP), Volume 26 (42B), pp , RIBEIRO, C. M., MONTEIRO, R., & CARRILLO, J. Professional knowledge in an improvisation episode: The importance of a cognitive model. In V. D. Guerrier, S. Soury-Lavergne & F. Arzarello (Eds.), Proceedings of the 6th Conference of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 6) (pp ). Lyon, France: ERME, ROIG, A. LLINARES, S.; PENALVA, M. C. Different Moments in the Participatory Stage of the Secondary Students Abstraction Mathematical Conceptions. Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 44, p , dez SACRISTÀN. J. G.; O currículo: uma reflexão sobre a prática. 3. ed. Porto Alegre: ArtMed SHULMAN, L.; Those Who Understend: Knowledge growth in teaching. Education Researcher. 15, n.2, p.4-14, fevereiro, Knowledge and Teaching: foundations of the reform. Havard Education Review. vol. 57, 1, Conhecimento y enseñanza. Estudios públicos, 83. Centro de Estudios Públicos. Traduzido por Alberto Ide. Chile: Santiago, SCHOENFELD, A. H. Toward a theory of teaching-in-context. Issues in Education. 4(1), 1-94, Purposes and methods of research in mathematics education. Notices of the American Mathematical Society. 47(3), , SCHÖN, D. The reflective practitioner: how professionals think in action. New York: Basic Books, SIMON, M. A. Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective. Journal

285 284 for Research in Mathematics Education, 26(2), , SIMON, M. A., TZUR, R. Explicating the Role of Mathematical Tasks in conceptual Learning: An Elaboration of the Hypothetical Learning Trajectory. Mathematical Thinking and Learning, 6(2), , SIMON, M. A.; TZUR, R.; HEINZ, K.; KINZEL, M. Explicating a mechanism for conceptual learning: elaborating the construct of reflective Abstraction. Journal for Research in Mathematics Education, 35(5), , STEPHENS, M. & RIBEIRO, A. J. Working Towards Algebra: the importance of relational thinking. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa Volume 15 (3), pp , SOUZA NETO, S., SILVA, V. P. Prática como Componente Curricular: Questões e Reflexões. s.d. Disponível em: < acessado em 12/09/2013. SFARD, A. On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 26, ,1991. TALL, D. y VINNER, S. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12(2), THIOLLENT, M. Metodologia da Pesquisa-Ação nas Organizações. 6ª edição Ed. Cortez. São Paulo, TURNER, F. Developing the Ability to Respond to the Unexpected. In M. Joubert (Ed.), Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics. Cambridge (UK): British Society for Research into Learning Mathematics. Vol. 29(1), pp , 2009 TZUR, R. An Integrated study of children's construction of improper fractions and the teacher's role in promoting that learning. Journal for Research in Mathematics Education, 30 (4), , VÁZQUEZ, A. S. Filosofía da Praxis. Tradução de Luiz Fernando Cardoso, 3ª ed. Rio de Janeiro, Paz e Terra, ZABALA, Antoni (org.) A Prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Editora Artes Médicas Sul Ltda., ZEICHNER K. M. e DINIZ-PEREIRA J. E. Pesquisa dos Educadores e Formação Docente voltada para a Transformação Social. Caderno de Pesquisa, v. 35, nº 125, p. Maio/agosto ZEICHNER, K. M. El maestro como profesional reflexivo. In Cuadernos de Pedagogia, 220, p , WENGER, E. Communities of practice - a brief introduction. S/d. Disponível em: < VON GLASERSFELD, E. An exposition of constructivism: Why some like it radical. In R. B. Davis, C. A. Maher, & N. Noddings (Eds.), Constructivist views on the teaching and learning of

286 285 mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, Monograph #4 (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics Radical constructivism: A way of knowing and learning. Washington, DC: Falmer. (1995).

287 ANEXOS 286

288 287 ANEXO 1 Universidade Bandeirante de São Paulo Comissão de Ética em Pesquisa com Seres Humanos (Registrado no Ministério da Saúde) Deferimento da Comissão da Ética 289/12 Protocolo de entrada: PARECER FINAL O projeto intitulado FORMAÇÃO INICÍAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: ATIVIDADES PRÁTICAS INTEGRADAS AO COMPONENTE CURRICULAR de responsabilidade do aluno SONNER ARFUX DE FIGUEIREDO, matriculado no curso de DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob orientação da Professora NIELCE MENEGUELO LOBO DA COSTA, foi analisado pela Comissão de Ética, desta Instituição, na reunião de 12 de dezembro de 2012, sendo considerado APROVADO. Profa. Dra. Flávia Doná Simone Presidente da Comissão de Ética UNIBAN Campus Maria Cândida Rua Maria Cândida, Vila Guilherme - São Paulo/SP CEP: comissao.cep@ig.com.br Telefones: (11) / 9126

289 288 ANEXO 2 Termo de Consentimento TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO Entendo que fui convidado(a) a participar como voluntário(a) dessa pesquisa e acredito ter sido suficientemente informado(a) segundo o que li e o que me foi explicado a respeito da mesma. Ficaram claros para mim quais os propósitos do estudo, as garantias de confidencialidade e de esclarecimentos permanentes bem com o fato de que minha participação é isenta de despesas. Eu,, concordo voluntariamente em participar deste estudo e poderei retirar o meu consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades ou perda de qualquer benefício que eu possa ter adquirido com a minha participação neste estudo. Assinatura do participante: RG: Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e Esclarecido deste colaborador para a participação neste estudo. Assinatura do pesquisador responsável pelo estudo São Paulo, / /.

290 289 ANEXO 3 Questionário Inicial Título do Projeto: FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: ATIVIDADES PRÁTICAS INTEGRADAS AO COMPONENTE CURRICULAR Prezado Acadêmico (licenciando), O questionário abaixo tem por objetivo obter elementos para subsidiar a elaboração de uma investigação e construção do conhecimento sobre o ensino da trigonometria em sala de aula. Os sujeitos terão sua identidade preservada, não sendo identificados. Os dados servirão para a pesquisa de Sonner Arfux de Figueiredo sob título: Formação Inicial do Professor de Matemática: Atividades Práticas Integradas ao Componente Curricular. Obrigado Nome: QUESTIONÁRIO 1 1.Qual o ano de conclusão do ensino Médio? ( ) 2012 ( ) 2011 ( ) 2010 ( ) 2009 ( ) Outros 2.Você considera seu desempenho na disciplina de matemática. ( ) Excelente, ( ) Muito Bom, ( ) Bom, ( ) Péssimo, ( ) Ruim 3.Você concluiu o Ensino Médio: Regular ( ) Técnico ( ) EJA ( ) 4.Sua idade está entre: 17 x 20 anos ( )

291 x 25 x 25 anos ( ) 30 anos ( ) X maior que 30 anos ( ) 5.Você estudou no Ensino Médio em: ( ) Escola Pública, ( ) Escola Particular 6.Por que escolheu o curso de Licenciatura em Matemática. ( ) gosta de Matemática; ( ) quer ser professor de Matemática; ( ) Pelas oportunidades de trabalho; ( ) Falta de opção de curso. 7.j Qual o seu conhecimento em relação à tecnologia? Insu R B Ó ficiente egular om timo 8.Já fez algum curso de Informática? Sim. Não Quais? 9.Você já utilizou o computador para desenvolver alguma atividades de Matemática alunos? a)se não. Por quê? Se sim. Com que freqüência? Cite um conteúdo e a forma como ele foi trabalhado Observe a figura abaixo. Mostre como você define o seno e o cosseno de um ângulo interno no triângulo retângulo?

292 Quando você fez o ENEM, teve alguma questão relacionada ao conteúdo acima? Como você explicaria os conceitos de ângulo e de arco trigonométrico? Considere o gráfico abaixo. Em qual conteúdo matemático o gráfico abaixo é abordado? Você estudou este conteúdo no Ensino Médio? A abordagem foi no quadro negro? Por que é importante introduzir o conceito de função trigonométrica no Ensino Médio?

293 O conceito de periodicidade em funções trigonométrica você tem ideia do que se trata esta abordagem? Se sim, como você exemplificaria para uma aprendizagem significativa? Qual o período da função abaixo? 18.Quais as principais dificuldades que você apresenta em relação à trigonometria no triângulo retângulo e ciclo trigonométrico? Qual a relação entre a unidade de medida em grau e radiano? Como você conduz a discussão As seguintes afirmações foram feitas por alunos do 2º ano do Ensino Médio: Se sen 90º = 1, então o sen180º= 2. Se o seno de um ângulo é 0,2, então o cosseno de seu complemento também é 0,2. No gráfico abaixo a expressão algébrica correspondente à função é y - 2sen x 2

294 293 Analise e comente cada uma dessas afirmações considerando que você precise dar uma devolutiva ao aluno

295 294 ANEXO 4 Atividades triângulos UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UNIDADE UNIVERSITÁRIA DENOVA ANDRADINA CURSO: MATEMÁTICA /LICENCIATURA PLENA DISCIPLINA: MATEMÁTICA ELEMENTAR/PESQUISA PROF. SONNER ARFUX DE FIGUEIREDO Nomes: e DATA: / /2013 ATIVIDADE DE TRIGONOMETRIA NA TRIANGULO RETÂNGULO

296 295

297 296 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL UNIDADE UNIVERSITÁRIA DENOVA ANDRADINA CURSO: MATEMÁTICA /LICENCIATURA PLENA DISCIPLINA: MATEMÁTICA ELEMENTAR/PESQUISA PROF. SONNER ARFUX DE FIGUEIREDO Nomes: e DATA: / /2013 ATIVIDADES TRIGONOMETRIA EM TRIÂNGULOS QUAISQUER 1) Uma firma de engenharia deve construir uma ponte unindo duas montanhas, para dar continuidade a uma estrada. O engenheiro tomou como referência uma arvore, conforme a figura abaixo. Qual será o comprimento da ponte? 2) Na figura abaixo um observador está no ponto A e quer saber a distância entre o ponto onde ele está e uma arvore situada do outro lado do rio. O observador se locomove de A para B, de onde avista também a arvore (no ponto p). Qual é a distância de A a P sabendo que a distância de A até B é de 550m, a medida do ângulo BÂP é igual a e a medida do ângulo A P é igual a 45 0? 3) Um observador colocado a 25m de um prédio vê um edifício sob certo ângulo, afastando-se em linha reta mais 50 m, nota que o ângulo de visualização é metade do anterior. Qual é a altura do edifício? Lembrete: Num triângulo qualquer um ângulo externo, suplementar ao ângulo de um dos vértices, é igual a soma dos outros dois ângulos internos não adjacentes a ele.