Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. MOQ-13 Probabilidade e Estatística

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1 Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MOQ-13 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari denise denise@ita.br 16/11/2011 Testes de Hipóteses

2 Testes de Hipóteses Motivação Inferência estatística a respeito de parâmetros populacionais: Estimação de valores: Intervalos de Confiança Tomada de decisão : Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses Motivação Exemplo: Sabe-se que a vacina existente para um determinado vírus tem eficácia de apenas 25%. Uma nova (e mais cara) vacina é oferecida ao Ministério da Saúde (MS). Vale a pena comprar a nova vacina? Primeiro, precisamos determinar se a uma nova vacina é mais efetiva contra o mesmo vírus que a vacina disponível...

3 Testes de Hipóteses Motivação (Cont.) Uma a.a. de n = 20 voluntários é selecionada e são observados quantos deles não contraem a doença após 2 anos. Quando decidimos que a vacina nova é melhor que a atual? O que fazer... Se 20 pacientes na amostra não contraírem a doença? Se 0 pacientes na amostra não contraírem a doença? O MS deve ou não comprar a nova vacina? Testes de Hipóteses Motivação (Cont.) Questões: Será que p > 25% ou p 25%? O que se teme mais: Comprar a nova vacina, sem que ela seja de fato mais efetiva? Perder a oportunidade de comprar uma vacina mais efetiva? A partir de quantos voluntários imunizados deve-se decidir por comprar a vacina nova?

4 Hipótese Nula e Hipótese Alternativa Define-se: Hipótese Nula: H o : p = 25% (decisão: não comprar) Hipótese Alternativa: H a : p > 25% (decisão: comprar) X = no. de indivíduos imunizados que não contraíram a doença. Não rej. H o p < 0.25 Rej. H o p > X Valor Crítico Região Crítica Erros dos Tipos I e II Podemos tomar a decisão errada de duas maneiras: Erro Tipo I: A nova vacina não é mais efetiva que a atual e, para a amostra coletada, > 8 indivíduos não contraem a doença. Rej. H o quando não deveria (H o V) Erro Tipo II: A nova vacina é mais efetiva que a atual mas, para a amostra coletada, 8 indivíduos não contraem a doença. Não rej. H o quando deveria (H o F) Resumindo: Estado Real da Natureza H o V H o F Decisão Rej. H o Erro Tipo I Decisão Correta Não Rej. H o Decisão Correta Erro Tipo II Atenção! Os erros do tipo I e II normalmente não são simétricos. Sempre há um que é mais temido que o outro.

5 Probabilidades de Erros dos Tipos I e II P[Erro Tipo I] = P [rej. H o H o V] = α (nível de significância) = P [comprar quando não deveria] = P[X > 8 p = 0,25] = 1 8 x=0 ( 20 x = 1 0,9591 = 0,0409 ) p x (1 p) (20 x) Só é possível calcular a prob. de erro tipo II para uma H a específica, e.g., H a : p = 0,5. P[Erro Tipo II] = P [não rej. H o H o F] = β = P [não comprar quando deveria] = P[X 8 p = 0,5] = 8 x=0 = 0,2517 ( 20 x ) p x (1 p) (20 x) Queremos α e β ambos pequenos! α, β e n Podemos reduzir β aumentando a região crítica... pagando-se o preço de aumentar α Para um determiado tamanho de amostra n fixo, a probabilidade de um erro diminui com o aumento da probabilidade do outro erro. Só podemos diminuir a probabilidade de cometer os dois erros, aumentando o tamanho da amostra n.

6 Poder do Teste O teste é governado pela regra: Não rejeitamos H o se p = 0,25. Qual a capacidade de o teste rejeitar H o se, de fato, temos p = 0,5? Poder do Teste = P[rej. H o H o F] = 1 β = P [comprar quando deveria] = P[X > 8 p = 0,5] = 1 0,2517 = 0,7483 O poder do teste fornece uma medida da diferença entre H o e H a : Sensibilidade do Teste Testes diferentes podem ser comparados com relação ao seu poder. Considera-se um teste razoável aquele com poder 0,8. Propriedades Erros dos tipos I e II estão relacionados. A redução da probabilidade de um deles resulta em aumento na probabilidade do outro. A probabilidade de cometer erro do tipoo I (α) sempre pode ser reduzida ajustando-se o valor crítico (reduzindo a região crítica). O aumento do tamanho (n) da amostra reduz α e β simultaneamente. Se H o é falsa, β aumenta quando o valor real do parâmetro se aproxima do valor hipotético (H a H o ). Quanto maior a distância entre H o e H a, menor o valor de β.

7 Testes Mono- e Bi-caudais Mono-caudal: H o : θ = θ o H a : θ > θ o ou Bi-caudal: H o : θ = θ o H a : θ θ o (θ > θ o ou θ < θ o ) H o : θ = θ o H a : θ < θ o Usa-se sempre a igualdade para H o (controla α). A escolha de H a mono- ou bi-caudal depende da conclusão a que se quer chegar, caso H o seja rejeitada (controla a região crítica). Procedimento para o Teste de Hipótese 1. Estabelecer H o e H a ; 2. Escolher nível de significância α; 3. Escolher estatística W apropriada para o teste; 4. Determinar região crítica (rejeição de H o ) baseada em α; 5. Calcular o valor da estatística do teste (w): Rejeita-se H o se w pertence à região crítica Caso contrário, não é possível rejeitar H o 6. Obter conclusões científicas a partir do resultado do teste.

8 Valor-p (Nível de Significância Observado) No exemplo, escolhemos arbitrariamente o valor crítico do teste. Tradicionalmente, utiliza-se α = 0,05 ou α = 0,01. Valor-p: É o menor nível de significância para o qual o valor observado para a estatística é significativo (valor da fronteira de decisão). Procedimento para o Teste de Hipótese (utilizando valor-p) 1. Estabelecer H o e H a ; 2. Escolher estatística W apropriada para o teste; 3. Calcular o valor da estatística do teste (w): 4. Calcular valor-p da estatística; 5. Utilizar valor-p obtido e conhecimento a respeito do sistema analisado para chegar a uma conclusão.

9 Teste de Hipótese Exemplo Os ossos húmeros de animais de uma mesma espécie em geral apresentam mesma razão comprimento/largura. Por esta razão, são frequentemente utilizados por arqueólogos para a determinação da espécies de animais extintos. Sabe-se que a espécie A tem razão média de 8,5. Acredita-se que esta espécie de animal tenha habitado uma determinada região de onde 41 fósseis foram coletados, obtendo-se razão média amostral de 9,257 e desvio-padrão amostral 1,203. Desejamos determinar se estes fósseis são de animais da espécie A. Teste de Hipótese versus Intervalo de Confiança IC e TH consistem em procedimentos (relacionados) para a realização de inferência estatística. IC: Utiliza a informação da amostra para construir um intervalo que tem probabilidade 100(1 α)% de conter o valor real do parâmetro populacional. TH: Utiliza a informação da amostra para decidir, com probabilidade 100(1 α)% de estar correto, se o parâmetro populacional assume um determinado valor conjecturado.