UMA RESOLUÇÃO LIVRE PARA CERTAS ÁLGEBRAS. Universidade Federal de São Paulo. Instituto de Ciência e Tecnologia. Mestrado em Matemática Pura e Aplicada

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1 Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia Mestrado em Matemática Pura e Aplicada UMA RESOLUÇÃO LIVRE PARA CERTAS ÁLGEBRAS Hilário Fernandes de Araujo Júnior São José dos Campos 12 de novembro de 2020

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3 Hilário Fernandes de Araujo Júnior UMA RESOLUÇÃO LIVRE PARA CERTAS ÁLGEBRAS Dissertação apresentada à Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Matemática Pura e Aplicada. Orientador: Prof. Dr. Angelo Calil Bianchi São José dos Campos 12 de novembro de 2020

4 de Araujo Júnior, Hilário Fernandes Uma resolução livre para certas álgebras / Hilário Fernandes de Araujo Júnior. São José dos Campos, xii, 56f. Dissertação (Mestre) Universidade Federal de São Paulo, Instituto de Ciência e Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada. Título em inglês: A free resolution for certain algebras. 1. Álgebra Homológica. 2. Álgebras de Kac-Moody. 3. Bases de Shirshov-Gröbner. 4. Resolução Livre.

5 Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada Chefe do Departamento: Prof. Dr. Eduardo Antonelli Coordenador do Programa: Prof. Dr. Thiago Castilho de Mello Apoio Financeiro: FAPESP iii

6 Hilário Fernandes de Araujo Júnior Uma resolução livre para certas álgebras Dissertação apresentada à Universidade Federal São Paulo como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática Pura e Aplicada. Área de Concentração: Matemática Pura Aprovada em 18 de Setembro de Presidente da Banca: Prof. Dr. Angelo Calil Bianchi Banca Examinadora: Prof. Dr. Matheus Batagini Brito Prof. Dr. Tiago Rodrigues Macedo Prof. Dr. Wagner de Oliveira Cortes

7 v A meus pais.

8 AGRADECIMENTOS Agradeço aos meus pais, Hilário e Inês, e à minha irmã Cláudia, pelo constante apoio que recebi. Agradeço também aos amigos que fiz no ICT pelos momentos compartilhados dentro e fora da universidade. Sou muito grato aos professores do ICT pelos conhecimentos e lições que adquiri. Em particular sou grato ao meu orientador, Prof. Dr. Angelo Calil Bianchi, que me orientou inicialmente na graduação. Agradeço também ao meu ex-orientador, Prof. Dr. Llohann Dallagnol Sperança. I would like to thank Prof. Calin Chindris for accepting me as a visiting scholar at Mizzou and all the support he gave me. I m also immensely grateful for all the good friends I made while I was there. Agradeço à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo apoio financeiro dado com a Bolsa de Mestrado, processo 2018/ , e dado com a Bolsa Estágio de Pesquisa no Exterior, processo 2019/ vi

9 Nothing is so exhausting as indecision, and nothing is so futile. Bertrand Russell

10 viii

11 RESUMO O conceito de resoluções em álgebra homológica é, em geral, usado para definir invariantes que caracterizam uma estrutura algébrica. O objetivo deste trabalho é estudar uma resolução livre para álgebras associativas obtida por David Anick. Esta resolução livre é adequada para determinar a homologia de uma álgebra, isto é, o cálculo do funtor Tor e da correspondente série de Poincaré. Especializamos o resultado de Anick para o contexto da álgebra universal envelopante de certas álgebras de Lie, através do uso das bases de Shirshov-Gröbner. Palavras-chave: Álgebra Homológica, Álgebras de Kac-Moody, Bases de Shirshov-Gröbner, Resolução Livre. ix

12 ABSTRACT The notion of resolutions in homological algebra is generally used to define invariants that characterize an algebraic structure. The objective of this dissertation is to study a free resolution for associative algebras by David Anick. This free resolution is adequate to determine the homology of an algebra, that is the calculation of the Tor functor and the Poincaré series. We specialize Anick s result in the context of the universal enveloping algebras for certain Lie algebras, with the support of Shirshov-Gröbner bases theory. Keywords: Free Resolution, Homological Algebra, Kac-Moody Algebras, Shirshov-Gröbner Bases. x

13 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1 CAPÍTULO 2 RUDIMENTOS DE ÁLGEBRA HOMOLÓGICA Resoluções e resoluções livres para um R-módulo O funtor Tor e a série de Poincaré Homologia de álgebras de Lie CAPÍTULO 3 A RESOLUÇÃO LIVRE DE ANICK Conjuntos parcialmente ordenados Ordens parciais A resolução de Anick Algoritmos para o cálculo eficiente dos conjuntos de cadeias Homologia através da resolução de Anick CAPÍTULO 4 BASES DE SHIRSHOV-GRÖBNER Bases de Shirshov-Gröbner Um algoritmo para a obtenção de bases de Shirshov-Gröbner Bases de Shirshov-Gröbner para álgebras de Kac-Moody Álgebras de Kac-Moody Bases de Shirshov-Gröbner para a álgebra universal envelopante de uma álgebra de Kac-Moody Aplicação das bases de Shirshov-Gröbner na resolução de Anick

14 CAPÍTULO 5 A RESOLUÇÃO DE ANICK PARA AS ÁLGEBRAS ENVELOPAN- TES DAS ÁLGEBRAS DE KAC-MOODY O conjunto de obstruções para álgebras de Kac-Moody A resolução para algumas álgebras de tipo finito O caso A O caso A O caso B O caso C O caso excepcional G REFERÊNCIAS 64 APÊNDICE A A ÁLGEBRA UNIVERSAL ENVELOPANTE E O TEOREMA DE POINCARÉ-BIRKHOFF-WITT 66

15 Capítulo 1 INTRODUÇÃO Sejam F um corpo algebricamente fechado e de característica zero e A uma F-álgebra aumentada (augmented algebra). David Anick [1] obteve uma A -resolução livre para F, com mapas de fronteira bastante explícitos. A vantagem desta resolução é refletir propriedades combinatoriais de A. A muitos propósitos deseja-se obter resoluções e, para isso, a famosa resolução barra é sempre fácil de se definir, mas é, geralmente, demasiadamente longa para certos cálculos. Num outro extremo, resoluções minimais podem existir, mas em geral são difíceis de serem construídas. A resolução de Anick apresenta uma estrutura útil, a qual, embora raramente seja mínima, é pequena o suficiente para facilitar cálculos. Sua característica principal é se basear fortemente em construções combinatoriais, o que a torna adequada para analisar álgebras dadas por geradores e relações. Um interesse específico sobre esta resolução está em determinar a homologia de certas F-álgebras e o estudo de suas séries de Poincaré. Aqui, por homologia de uma F-álgebra, entende-se os F-módulos {Tor A i (F,F)} i>0 e a série de Poincaré de A é a série formal P A (y) = dim F Tor A i (F,F)y i. Sob um diferente ponto de vista, com uma perspectiva computacional e geométrica, Kenneth Brown desenvolveu um método sob outras hipóteses, considerando grupos e monóides, que pode ser estendido/desenvolvido de forma similar ao método de Anick para outras estruturas algébricas, além de diversas aplicações. O principal resultado de Brown [5] é uma explícita resolução livre de Z sobre ZG, similar às resoluções obtidas por Anick [1], Groves e Squier [16], onde cada componente da resolução é finitamente gerada. O conceito de formas normais utilizado no trabalho de Brown não é exclusivo para os seus propósitos. A forma normal de um objeto matemático pode ser pensada como uma maneira padrão de apresentá-lo. Isto é bastante útil em estruturas dadas por geradores e relações. Neste ponto encontra-se a ideia principal deste trabalho: considerar as formas normais obtidas através da teoria das bases de Shirshov-Gröbner para álgebras de Kac-Moody, conforme trabalho de

16 1 Introdução 2 Bokut [3], e utilizá-las segundo [1]. O interesse em se considerar álgebras de Lie se dá pela importância e atualidade do assunto, onde almeja-se obter resultados homológicos. As álgebras de Lie e suas representações formam um importante campo de atuação na área da matemática, muitas vezes tecnicamente abstrato, mas com grande riqueza estrutural, notável por suas conexões com outras áreas. Obtivemos algumas consequências ao aplicar os resultados alcançados para álgebras associativas, no contexto específico da álgebra Universal envelopante das álgebras de Kac-Moody. Nesta parte do projeto as referências básicas são [8] e [11]. No Capítulo 2, de forma geral, serão definidas as noções básicas em álgebra homológica para o entendimento do texto, incluindo resoluções, o funtor Tor, a série de Poincaré e homologia de álgebras de Lie. No Capítulo 3 estudaremos a resolução de Anick e também os pré requisitos para o entendimento desta. De forma resumida, o seu resultado afirma que objetos algébricos satisfazendo certas condições combinatoriais por consequência satisfazem certas propriedades de finitude homológica. Em particular, as estruturas algébricas de interesse ao Anick são álgebras (associativas com unidade) aumentadas. No Capítulo 4 estudaremos elementos da teoria das bases de Shirshov-Gröbner, incluindo um algoritmo para a obtenção destas bases e a aplicação destas bases no contexto das álgebras universais envelopantes das álgebras de Kac-Moody e, consequentemente, na resolução de Anick. Finalmente, no Capítulo 5, aplicaremos os resultados estudados no contexto de algumas álgebras de Kac-Moody de tipo finito.

17 Capítulo 2 RUDIMENTOS DE ÁLGEBRA HOMOLÓGICA Neste capítulo serão trabalhados os conceitos básicos de álgebra homológica necessários para estabelecermos os objetivso deste trabalho. Neste trabalho F denotará um corpo algebricamente fechado e de característica zero, R um anel, g uma F-álgebra de Lie e U (g) sua álgebra universal envelopante. 2.1 Resoluções e resoluções livres para um R-módulo Definição 2.1 (Resolução de módulos). Dado um módulo M sobre um anel R, uma resolução de M é uma sequência exata (possivelmente infinita) de R-módulos dn+1 d E n d n 2 d 1 ε E1 E0 M 0. Os homomorfismos d i são denominados mapas de fronteira, ε é denominado mapa de aumentação. A resolução é dita finita se apenas uma quantidade finita de módulos envolvidos forem não nulos. Se todos os R-módulos E i são livres, a resolução é dita livre. Quando todos os R-módulos E i são projetivos, a resolução é dita projetiva. Todo R-módulo M admite uma resolução livre, em particular projetiva (ver [10]). A ideia da demonstração é definir E 0 como o R-módulo livre gerado pelos elementos de M, e E 1 como o R-módulo livre gerado pelos elementos do núcleo do mapa natural E 0 M. Um fato relevante é que resoluções projetivas (e, consequentemente, resoluções livres) podem ser utilizadas para computarmos os funtores Tor, como será visto adiante. A resolução a seguir trata de uma construção simples que estabelece uma resolução para álgebras associativas. Embora facilmente definida, possui mapas de fronteira d de difícil ma-

18 2.2 O funtor Tor e a série de Poincaré 4 nejo e sem insight sobre o seu comprimento. Definição 2.2 (Resolução barra de álgebras). Seja A uma F-álgebra associativa com unidade. A resolução barra de A é a sequência exata A A A d 2 A A d 1 A d 0 0 onde d n (a 0 a n ) = n 1 i=0 ( 1) i a 0 a i a i+1 a n. Denotamos por Λ p g a p-ésima potência exterior do F-espaço vetorial g. Por convenção, definimos Λ 0 g = F e Λ 1 g = g. A próxima definição é baseada em [17]. Definição 2.3 (Complexo de Chevalley-Eilenberg). Dada uma álgebra de Lie g, o complexo de Chevalley-Eilenberg de g é a resolução livre de U (g)-módulos (a esquerda) onde dn+1 V n (g) d n d2 V 1 (g) d 1 V 0 (g) ε F 0. V n (g) = U (g) F Λ n g e U (g) age no primeiro termo no produto tensorial, uma vez que Λ n g é livre como F-módulo, ε é o mapa de aumentação, isto é, o homomorfismo de F-álgebras correspondente à extensão a U (g) do homomorfismo nulo de álgebras de Lie g F, d 1 : U (g) F g U (g) é o mapa produto, isto é, d 1 (u x) = ux, Para p 2, d p (u x 1 x p ) = θ 1 + θ 2, onde (para u U (g) e x i g): θ 1 = p i=1 ( 1) i+1 ux i x 1 ˆx i x p, θ 2 = ( 1) i+ j u [x i,x j ] ˆx i xˆ j x p. i< j A notação ˆx i indica um termo omitido. Por exemplo, se p = 2 então d 2 (u x y) = ux y uy x u [x,y]. 2.2 O funtor Tor e a série de Poincaré Em termos categoriais, os funtores Tor são os funtores derivados do produto tensorial de módulos sobre um anel. Apesar destas definições das quais não necessitamos para o enten-

19 2.2 O funtor Tor e a série de Poincaré 5 dimento deste texto, o que nos é relevante é o fato que juntamente ao funtor Ext, Tor é um dos conceitos centrais em álgebra homológica, na qual ideias da topologia algébrica são usadas para construir invariantes de estruturas algébricas. As homologias de grupos, álgebras de Lie e álgebras associativas podem ser definidas em termos de Tor. O nome Tor faz referência à relação entre o primeiro grupo Tor e o subgrupo de torção de um grupo abeliano. No caso específico de grupos abelianos, Tor foi introduzido por Eduard Čech (1935) e nomeado por Samuel Eilenberg por volta de Para módulos sobre um anel arbitrário, Tor foi definido por Henri Cartan e Eilenberg em [6]. Definição 2.4. Dado um R-módulo a esquerda B, seja T (A) = A R B para qualquer R-módulo a direita A. Este é um funtor exato a direita da categoria de módulos a direita à categoria de grupos abelianos, e desta forma possui um funtor derivado a esquerda L i T. Os grupos Tor são os grupos abelianos definidos por Tor R i (A,B) = (L it )(A), para qualquer inteiro i. Em termos práticos: é tomada qualquer resolução projetiva (de R-módulos a direita) P 2 P 1 P 0 A 0, é removido o termo A, e formamos o complexo de cadeia (de grupos abelianos): P 2 R B P 1 R B P 0 R B 0. Para cada inteiro i, Tor R i (A,B) é a homologia deste complexo na posição i, isto é, Tor R i (A,B) := ker(p i R B P i 1 R B) im(p i+1 R B P i R B) Observação 2.5. Os grupos Tor (de forma geral, funtores derivados a esquerda) independem da resolução projetiva escolhida (ver [17], Lema 2.4.1). De forma equivalente, é possível definir Tor fixando A e tomando funtores derivados a esquerda do funtor exato a direita G(B) = A R B, isto é, é tomado o produto tensorial de A com uma resolução projetiva de B e é considerada a sua homologia (ver [17, Seção 2.4 e Teorema 2.7.2]). Em termos práticos: é tomada qualquer resolução projetiva (de R-módulos a esquerda) P 2 P 1 P 0 B 0, é removido o termo B, e é formado o complexo de cadeia (de grupos abelianos): A R P 2 A R P 1 A R P 0 0.

20 2.3 Homologia de álgebras de Lie 6 Para cada inteiro i, Tor R i (A,B) é a homologia deste complexo na posição i, isto é, Notamos que Tor R i (A,B) = ker(a R P i A R P i 1 ) im(a R P i+1 A R P i ) 1. Tor R i (A,B) = 0 para qualquer i negativo, 2. Tor R 0 (A,B) é o cokernel do mapa P 1 R B P 0 R B (ou do mapa A R P 1 A R P 0 ), que é isomorfo a A R B, para todo R-módulo a direita A e R-módulo a esquerda B. A F-dimensão de cada Tor R i (F,F) é incluída na série de Poincaré de R, definida como P R (x) := dim F Tor R n(f,f)x n. n 0 Quando a série de Poincaré existe, diversas propriedades, como racionalidade, crescimento e conexões com outras séries podem ser estudadas para a obtenção de informações sobre R. A racionalidade de P R (x) foi estudada em certos casos do anel base R (ver [14]), com a motivação dos estudos da série de Hilbert relacionada às componentes graduadas dos quocientes de F- álgebras associativas. 2.3 Homologia de álgebras de Lie A homologia abeliana de uma F-álgebra de Lie g com coeficientes no g-módulo a esquerda M é definida como H Lie (g,m) = Tor U (g) (F,M), onde F é o corpo base entendido como um U (g)-módulo trivial (isto é, os geradores de U (g) não pertencentes ao corpo base agem como zero). Ela pode ser computada como a homologia do complexo de Chevalley-Eilenberg V (g). Neste trabalho será apresentado o cálculo da homologia através da resolução livre proposta por Anick. Os cálculos explícitos para o caso de sl 2 serão apresentados através destas duas formas. Neste momento será calculada a homologia de sl 2 através do complexo de Chevalley-Eilenberg. A álgebra de Lie sl 2 é a álgebra simples com conjunto de geradores Z = {x 1,h 1,y 1 }, sendo ( ) ( ) ( ) x 1 =,y 1 =,h 1 =,

21 2.3 Homologia de álgebras de Lie 7 e colchete dado pelo comutador correspondente ao produto usual de matrizes. Conforme a Definição 2.3, é considerada a sequência exata 0 V 3 (sl 2 ) d 3 V 2 (sl 2 ) d 2 V 1 (sl 2 ) d 1 V 0 (sl 2 ) ε F 0. Como esta é uma resolução de A -módulos a esquerda, com A := U (sl 2 ), após removermos F é tomado o produto tensorial pela esquerda com F: 0 F A V 3 (sl 2 ) 1 d 3 F A V 2 (sl 2 ) 1 d 2 F A V 1 (sl 2 ) 1 d 1 F A V 0 (sl 2 ) 0. Há isomorfismos F-lineares µ n dados por µ n : F A (A F Λ n (sl 2 )) Λ n (sl 2 ) λ (α w) (λ α)w, para λ F,α A e w Λ n (sl 2 ), onde λ α denota a ação de α pela direita sobre λ. A sobrejetividade de µ n é elementar, enquanto a injetividade decorre do fato de λ (α w) = λ α (1 w) em F A (A F Λ n (sl 2 )). Desta forma, o nosso complexo é isomorfo a 0 Λ 3 (sl 2 ) φ 3 Λ 2 (sl 2 ) φ 2 φ 1 sl 2 F 0 onde φ n+1 = µ n (1 d n+1 ) µ 1 n+1. Desta maneira, para w Λn+1 (sl 2 ) φ n+1 (w) = µ n (1 d n+1 ) µ 1 n+1 (w) = µ n (1 d n+1 )(1 (1 w)) = µ n (1 d n+1 (1 w)). Se n = 0, φ 1 (w) = µ 0 (1 d 1 (1 w)) = µ 0 (1 w) = 1 w. Como é suficiente tomar w {x 1,h 1,y 1 }, então φ 1 (w) = 1 w = 0, isto é, φ 1 é a transformação F linear nula. Se n = 1 e w = y 1 h 1, então d 2 (1 y 1 h 1 ) = y 1 h 1 h 1 y 1 1 [y 1,h 1 ], o que implica φ 2 (y 1 h 1 ) = µ 1 (1 d 2 (1 y 1 h 1 )) = µ 1 (1 (y 1 h 1 h 1 y 1 1 [y 1,h 1 ])) = µ 1 (1 y 1 h 1 1 h 1 y [y 1,h 1 ]) = [y 1,h 1 ] = 2y 1. De forma análoga, se w = y 1 x 1, concluímos que φ 2 (y 1 x 1 ) = [y 1,x 1 ] = h 1. E se w = h 1 x 1, é obtido φ 2 (h 1 x 1 ) = [h 1,x 1 ] = 2x 1. Concluímos que φ 2 é um isomorfismo F-linear. Se

22 2.3 Homologia de álgebras de Lie 8 n = 2 e w = y 1 h 1 x 1, então d 3 (1 y 1 h 1 x 1 ) = y 1 h 1 x 1 h 1 y 1 x 1 + x 1 y 1 h 1 1 [y 1,h 1 ] x [y 1,x 1 ] h 1 1 [h 1,x 1 ] y 1. Desta forma, φ 3 (y 1 h 1 x 1 ) = µ 2 (1 d 3 (1 y 1 h 1 x 1 )) = µ 2 (1 (y 1 h 1 x 1 h 1 y 1 x 1 + x 1 y 1 h 1 1 [y 1,h 1 ] x [y 1,x 1 ] h 1 1 [h 1,x 1 ] y 1 )) = [y 1,h 1 ] x 1 + [y 1,x 1 ] h 1 [h 1,x 1 ] y 1 = 2y 1 x 1 h 1 h 1 2x 1 y 1 = 0, isto é, φ 3 é nula. Como φ 1 é nula, Tor A 0 (F,F) = F. Como φ 2 é um isomorfismo, Tor A 1 (F,F) = 0 e TorA 2 (F,F) = 0. Finalmente, como φ 3 é nula, Tor A 3 (F,F) = Λ3 (sl 2 ). A série de Poincaré de A neste caso é P A (x) = 1 + x 3.

23 Capítulo 3 A RESOLUÇÃO LIVRE DE ANICK Neste capítulo estudaremos a resolução de Anick para álgebras associativas com unidade, de acordo com [1]. Iniciamos com algumas noções fundamentais para que a resolução possa ser construída. 3.1 Conjuntos parcialmente ordenados Nesta seção o objetivo geral é o desenvolvimento dos conceitos de ordem necessários para o estudo da resolução de Anick. Em particular, o objetivo principal é estabelecer a relação entre segmentos iniciais, anticadeias e obstruções, que é utilizada por Anick no contexto de monóides e álgebras sobre corpos. Esta seção irá se basear principalmente em [2] Ordens parciais Seja P um conjunto não vazio. Definição 3.1 (Ordem parcial). Uma relação em P P é dita ordem parcial se satisfaz: é reflexiva, isto é, para todo p P vale p p, é antisimétrica, isto é, para todos p, p P vale p p e p p = p = p, é transitiva, isto é, para todos p, p, p P vale p p e p p = p p. Neste caso, dizemos que (P, ) é um conjunto parcialmente ordenado (ou que P é um conjunto parcialmente ordenado quando não houver ambiguidade).

24 3.1 Conjuntos parcialmente ordenados 10 Definição 3.2 (Ordem total). Uma ordem parcial em P P é dita ordem total se para todos p, p P vale p p ou p p. Neste caso, dizemos que (P, ) é um conjunto totalmente ordenado (ou que P é um conjunto totalmente ordenado quando não houver ambiguidade). Definição 3.3 (Elemento mínimo). Um elemento x P é dito mínimo com relação à ordem se para todo y P vale x y. Definição 3.4 (Boa ordem). Uma ordem total em P P é dita boa ordem se todo subconjunto não vazio P P admite um elemento mínimo com relação a. Neste caso, dizemos que (P, ) é um conjunto bem ordenado (ou que P é um conjunto bem ordenado quando não houver ambiguidade). A partir de agora, assumimos que (P, ) é um conjunto parcialmente ordenado. Definição 3.5 (Elemento maximal e minimal). Um elemento p P é dito maximal se para todo p P vale p p = p = p. Por outro lado, p P é dito minimal se para todo p P vale p p = p = p. Definição 3.6 (Anticadeia). Um subconjunto A P é dito anticadeia de (P, ) se para todos x,y A vale x y = x = y e y x = x = y. Em outras palavras, dois elementos de A comparáveis são necessariamente iguais. Definição 3.7 (Segmento inicial e obstruções). Um subconjunto L de P é dito segmento inicial se para todos x L, y P vale y x = y L. O conjunto de obstruções do segmento inicial L é O(L) = {x P x / L mas y < x = y L}, caso este conjunto exista. Observamos que o conjunto de obstruções de L é uma anticadeia em (P, ). De fato, suponhamos que O(L) não seja uma anticadeia, isto é, existem x,y O(L) tais que x y mas x y. Isso implica que x < y. Como y O(L) e x < y, concluímos que x L, o que é absurdo pois x O(L). Podemos também considerar a anticadeia dos elementos maximais de L, que denotaremos por M(L). Por outro lado, dada uma anticadeia A, podemos definir um segmento inicial da seguinte forma: l(a) = {x P y A : x y}. Ou seja, podemos considerar uma função L M(L) cujo domínio é o conjunto de segmentos iniciais de P e contradomínio é o conjunto de anticadeias de P, e vice-e-versa para A l(a). O próximo resultado relaciona estes conjuntos. Definição 3.8. Seja P um conjunto e uma relação em P. Dizemos que (P, ) satisfaz a condição da cadeia ascendente se para toda cadeia x 1 x 2 x 3... em P existe n N tal que x n = x n+1 = x n+2 =..., isto é, toda cadeia ascendente se estabiliza.

25 3.1 Conjuntos parcialmente ordenados 11 Exemplo 3.9. Consideremos o conjunto Z com a ordem usual. Este é um conjunto parcialmente ordenado (mais ainda, é totalmente ordenado). Este conjunto não possui elemento mínimo e não é bem ordenado (todavia, o subconjunto Z >0 com a ordem induzida admite um elemento mínimo e é bem ordenado). Além disto, Z não possui elementos minimais ou maximais. Mais ainda, todo subconjunto infinito de Z herda esta propriedade. Como Z é totalmente ordenado, as anticadeias de Z são precisamente os conjuntos {x} para x Z. Ainda pelo fato de Z ser totalmente ordenado, os segmentos iniciais deste conjunto são os conjuntos da forma {y y x} para x Z. Exemplo Consideremos o conjunto R 2 com a ordem induzida pela norma euclidiana, isto é, dados x,y R 2, vale x y x y Este é um conjunto parcialmente ordenado porém não é totalmente ordenado. Este conjunto possui elemento mínimo, o par (0,0), mas não é bem ordenado. Como R 2 possui um elemento mínimo, este elemento é também minimal. Todavia R 2 não possui elementos maximais. Os conjuntos da forma {(x,y) R 2 x 2 + y 2 = r} para r 0 são exemplos de anticadeias de R 2. Já os conjuntos da forma {(x,y) R 2 x 2 + y 2 r} para r 0 são exemplos de segmentos iniciais em R 2. Note que estes segmentos iniciais não admitem conjuntos de obstruções. Proposição Seja (P, ) um conjunto parcialmente ordenado satisfazendo a condição da cadeia ascendente. Então, M é uma bijeção entre o conjunto dos segmentos iniciais em (P, ) e o conjunto das anticadeias em (P, ), e sua inversa é l. Demonstração. Seja L um segmento inicial não vazio (se L = /0, então M(L ) = /0 e, então, l(m(l )) = /0 = L ). Primeiramente, notamos que M(L ) /0 (basta tomarmos qualquer cadeia ascendente em L e o elemento no qual a cadeia se estabiliza será maximal). Certamente, L l(m(l )). De fato, seja x L. Então, x y para algum y M(L ) (basta tomarmos uma cadeia ascendente que contenha x e o elemento no qual a cadeia se estabiliza será maior ou igual a x e será maximal), mas, então, x l(m(l )).

26 3.2 A resolução de Anick 12 Por outro lado, l(m(l )) L. De fato, se x l(m(l )), então existe y M(L ) tal que x y. Mas L é segmento inicial: como x y e y L, vale que x L. Concluímos que L = l(m(l )). Agora seja A uma anticadeia não vazia (se A = /0, então l(a) = /0 e consequentemente M(l(A)) = /0 = A). Concluímos que A M(l(A)). De fato, se x A, então x l(a) (pois x x e x A). Mas x é maximal em l(a), pois, caso contrário, existiria y l(a) tal que y x. Mas como y l(a), existe x A tal que y x. Concluímos que x,x A e x x, contradição pois A é anticadeia. Como x é maximal em l(a), concluímos que x M(l(A)). Por outro lado, M(l(A)) A. De fato, se x M(l(A)), então x l(a), e, por isso, existe y A tal que x y. Como y A, então y l(a). Mas x é maximal em l(a), o que implica x = y. Consequentemente x A. Concluímos que A = M(l(A)). Proposição Seja (P, ) um conjunto parcialmente ordenado e L P um segmento inicial não vazio. Então x P \ L se, e somente se, existe y O(L) tal que y x. Demonstração. Suponhamos que existe y O(L) tal que y x. Como y / L e y x, então x / L (se x L, então y L, pois L é segmento inicial). Agora, suponhamos que x P \ L. Suponhamos que para todo y O(L) vale y > x. Como L /0, concluímos que O(L) /0. Pela definição de O(L), concluímos que x L. 3.2 A resolução de Anick Nesta seção será estudada a resolução de Anick [1]. Definição 3.13 (Monóide livre gerado por um conjunto). Seja Z um conjunto. O monóide livre gerado por Z é o conjunto Z formado pelos monômios sobre os elementos de Z (incluindo o monômio nulo, denotado por 1) munido da operação de concatenação de monômios. Definição Uma álgebra associativa unitária sobre o corpo F é uma 4-upla (A,+,, ) tal que (A,+, ) é um F espaço vetorial, (A, ) é um monóide e é bilinear, isto é, para quaisquer x,y,z A,α F vale x (αy + z) = α(x y) + α(x z), (αx + y) z = α(x z) + α(y z). A operação é denominada produto. Por abuso de notação nos referimos à álgebra (A,+,, ) apenas por A. Além disto, nesta dissertação as álgebras associativas unitárias sobre F serão simplesmente denominadas F-álgebras.

27 3.2 A resolução de Anick 13 Definição 3.15 (Homomorfismo entre F-álgebras). Um homomorfismo entre F-álgebras A e B é uma transformação linear f : A B que preserva o produto. Observemos que (F,+,, ) (onde + é a soma usual e, ambos denotam o produto usual do corpo) é uma álgebra associativa unitária sobre F. Denotando por e A o elemento neutro de, notamos que existe um homomorfismo de F álgebras η : F A dado por 1 e. Definição 3.16 (Álgebra aumentada). Uma álgebra associativa unitária A é aumentada se existe um homomorfismo de F-álgebras ε : A F (denominado aumentação) tal que ε η = id F. Definição 3.17 (Álgebra livre). A F-álgebra livre gerada pelo conjunto Z é o espaço vetorial F Z := Fw w Z com o produto dado pela concatenação de monômios. Toda F-álgebra A pode ser escrita como o quociente de uma F-álgebra livre, pois podemos tomar uma base Z para A como F-espaço vetorial e um homomorfismo sobrejetor natural (projeção) π : F Z A. Ou seja, sempre podemos assumir que A = F Z /I, (3.1) para algum conjunto Z e algum ideal I F Z. Considerando (3.1), a Z é associada uma função g 0 : Z Z >0 denominada graduação. Essa função se estende unicamente a um homomorfismo de monóides g: Z Z 0. Neste trabalho é assumido que g 0 é a função constante x 1 para todo x Z. Todavia, ressaltamos que os resultados abaixo também são válidos para outras escolhas de g (que satisfaçam as hipóteses dos resultados correspondentes). Seja < 0 uma ordem total em Z. Definimos uma ordem total < em Z da seguinte forma 1 : se g(x) < g(y), então x < y; se g(x) = g(y), então x < y de acordo com a ordem lexicográfica de monóides livres (neste caso induzida por < 0 ). Dizemos que (Z,g,< 0 ) é localmente bem ordenado se g 1 [{n}] Z é bem ordenado por < 0 para todo n Z >0. Se g 1 [{n}] Z é finito para todo n Z >0, então é dito que (Z,g,< 0 ) é localmente finita. Proposição Seja Z um conjunto. Então (Z,<) é bem ordenado se, e somente se, (Z,g,< 0 ) é localmente bem ordenado. 1 Esta ordem é denominada DEGLEX.

28 3.2 A resolução de Anick 14 Demonstração. Suponhamos (Z,<) bem ordenado. Sejam n Z >0 e X g 1 [{n}] Z não vazio. Queremos mostrar que existe um menor elemento em X com relação a < 0. Em particular, X Z e, assim sendo, existe um menor elemento em X com relação a <. Se x,y X, notamos que x < y = x < 0 y (pois X Z). Logo, o menor elemento em X com relação a < também é o menor elemento em X com relação a < 0. Assim, (Z,g,< 0 ) é localmente bem ordenado. Similarmente, suponhamos (Z,g,< 0 ) localmente bem ordenado. Seja X Z não vazio. Queremos demonstrar que existe menor elemento x X com relação a <. Seja n 0 Z 0 o menor valor tal que g 1 [{n 0 }] X é não vazio. Se este conjunto é unitário, não há o que provar. Caso contrário, observemos que os seus elementos são da forma a 1 a 2...a n0, onde a i Z. Deste modo, o menor elemento a 1 a 2...a n0 é tal que a i é o menor em g 1 [e(a i )] Z para i {1,...,n 0 } (cada a i existe por hipótese). Definição 3.19 (Submonômio). Dados u,v Z, dizemos que v é um submonômio de u e escrevemos v u se, e somente se, v = 1 ou u = x i1...x it e v = x im...x is, onde cada x i j Z e 1 m s t. Se m = 1 dizemos que v é um submonômio inicial de u. Por outro lado, se s = t dizemos que v é um submonômio final de u. A partir desta noção de submonômios, observemos que (Z, ) é um conjunto parcialmente ordenado. Lema Seja (Z,g,< 0 ) localmente bem ordenado. O conjunto L = {x Z π(x) / Span(π(y) y < x)} (onde π é a projeção F Z A ) é um segmento inicial em (Z, ) tal que os elementos da forma π(x), x L, formam uma base linear para A. Demonstração. Se Z = /0, não há o que demonstrar. Suponhamos Z /0. Certamente a imagem de L por π forma base linear para A. Basta demonstrarmos que L é um segmento inicial. Suponhamos que não é, então existe x L e y / L com y x. Logo x = vyw para v,w Z. Como y / L, podemos escrever π(y) = u<y;u L c u π(u), onde os c u são elementos de F, quase todos nulos. Deste modo π(x) = π(vyw) = π(v)π(y)π(w) [ ] = π(v) u<y;u L c u π(u) π(w) = c u π(v)π(u)π(w) u<y;u L = c u π(vuw). u<y;u L

29 3.2 A resolução de Anick 15 Como u < y = vuw < vyw = x, concluímos que π(x) é combinação linear de π-imagens de elementos menores que x, o que é absurdo (pela definição de L). Definição 3.21 (n-cadeia). Seja A uma anticadeia não trivial no monóide livre Z. Dado n 1, u = x i1...x it Z é dita pré n-cadeia se existem inteiros a 1,...,a n,b 1,...,b n tais que 1. 1 = a 1 < a 2 b 1 < a 3 b 2 < < a n b n 1 < b n = t, 2. x ia j x ib j A para todo j {1,2,...,n}. A pré n-cadeia u é dita n-cadeia se a seguinte condição for satisfeita: 3. x i1 x is não é pré m-cadeia para s < b m,1 m < n. Além disso, definimos uma 0-cadeia como um elemento de Z, e uma ( 1)-cadeia como sendo o elemento mínimo do monóide, com b 0 = 1,b 1 = 0. Note que as 1-cadeias são precisamente os elementos de A, pois podemos tomar a 1 = 1 e b 1 = t. Exemplo Suponhamos que A = {x 3 }, onde x Z. Desta forma x 3 = xxx é uma 1-cadeia (a 1 = 1 < b 1 = 3) e x 4 = xxxx é uma 2-cadeia (a 1 = 1 < a 2 = 2 b 1 = 3 < b 2 = 4). Por outro lado, x 5 = xxxxx não é pré 3-cadeia. De fato, se assim fosse, então a 1 = 1,b 3 = 5, o que implicaria b 1 = a+1+2 = 3,a 3 = b 3 2 = 3, o que contradiz a exigência b 1 < a 3 na definição. Lema Seja A Z anticadeia não trivial. Se n 1 e u = x i1...x it é uma n-cadeia em A, então os inteiros a 1,...,a n,b 1,...,b n da definição de n-cadeia são unicamente determinados. Em particular, existe único s (de fato, s = b n 1 t) tal que x i1...x is é uma (n 1)-cadeia, e para tal valor de s concluímos que x is+1...x it não contém como submonômio elementos de A. Demonstração. Suponhamos que a 1,...,a n,b 1,...,b n e a 1,...,a n,b 1,...,b n satisfaçam as condições 1. e 2. para u = x i1...x it. Então, b m = b m para cada m, caso contrário o maior dentre os dois não permitiria que a terceira condição fosse satisfeita. Deste modo, a m = a m para cada m, pois x...x ia m i e x b m i...x a m i b pertencem a A. m Se D é subconjunto de Z, denotemos por D F o F-subespaço vetorial de F Z gerado por D. Denotemos por B D a base do produto tensorial de F-espaços vetoriais D F F A, isto é, B D = {u π(x) u D,x L}.

30 3.2 A resolução de Anick 16 Consideremos F como um A -módulo a direita com a ação induzida pela aumentação (isto é, λ w := λε(w)), e consideremos D F F A como A -módulo a direita com a ação de A dada por (w u) v = w uv. Em particular a aumentação é um homomorfismo de A -módulos a direita. Definamos uma ordem parcial em B D da seguinte forma: u π(x) u π(x ) se e só se ux u x em Z. Quando D é o conjunto de n-cadeias em alguma anticadeia A, ux = u x não é possível pela terceira propriedade de cadeias exceto quando u = u e por conseguinte x = x. Concluímos que é uma ordem total. Dado w D F A, dizemos que o termo alto (high term) de w é o maior elemento de B D (com relação a definida no parágrafo anterior) cujo coeficiente na decomposição de w é não nulo. Denotaremos o termo alto de w por HT (w). Teorema Seja A uma álgebra associativa (com unidade) aumentada, gerada como álgebra pelo conjunto localmente bem ordenado (Z,g,< 0 ). Sejam L o segmento inicial do Lema 3.20, A o conjunto de obstruções de L e A (n) o conjunto de n-cadeias em A. Então, existe uma resolução livre (na categoria de A -módulos a direita) de F da forma 0 F ε A δ 0 Z F A δ 1 A F A δ 2 A (2) F A δ 3 com transformações F-lineares i n : ker(δ n 1 ) A (n) F A (que não necessariamente são homomorfismos de módulos), onde δ 0 (x 1) = 1 x, i 0 (1 x i1 x it ) = x i1 x i2 x it, para n 1,δ n (u 1) = r s ω onde u = rs, r A (n 1), s L, ω = i n 1 δ n 1 (r s),

31 3.2 A resolução de Anick 17 ainda para n 1,i n (σ) = c 1 τ + i n (σ c 1 δ n (τ)) onde σ = q j=1 c j(u j v j ), u 1 v 1 = HT (σ), u 1 = x i1 x ibn 1, v 1 = x x ibn 1 +1 i s, τ = x i1 x y, ib n y = x x ib n+1 i s. Demonstração. Devemos definir os δ n e demonstrar a exatidão da sequência. A exatidão em A segue pois εδ 0 = 0 e ker(ε) é gerado por {y ηε(y) y A }. Se y = f (x i1 x it ), com (x i1 x it ) M, fixemos i 0 (y ηε(y)) = x i1 x i2 x it + ε(x i1 )(x i2 x i3 x it ) + + ε(x i1 x it 1 )(x it 1). Então, i 0 se extende a um homomorfismo de F-módulos i 0 : ker(ε) Z F A com δ 0 i 0 = id ker(ε). Isto significa que im(δ 0 ) = ker(ε). Suponhamos, indutivamente, que para algum n 1, {δ j } tenha sido definido satisfazendo δ 0 (x 1) = 1 x (3.2) ou δ n (x i1 x ib n 1) = x i 1 x ibn 1 x ibn 1 +1 x i b n + ω (3.3) para 0 j < n e que a sequência tenha sido demonstrada exata para a esquerda de A (n 1) F A. Suponhamos, também, que existam transformações F-lineares i j : ker(δ j 1 ) A ( j) F A para 0 j < n satisfazendo δ j i j = id ker(δ j 1 ) (3.4) e HT (i j (ω)) = HT (ω). (3.5) Estas propriedades valem para j = 0, então é suficiente verificá-las para j = n quando elas valem para j < n. Será definido δ n agora: como deve ser um homomorfismo de A -módulos, apenas é necessário especificar δ n (u 1) para u A (n). Pelo Lema 3.23 podemos escrever unicamente u = rs, onde r A (n 1) e s L. Consideremos δ n 1 (r s) = δ n 1 (r)s. Escrevendo u = x i1...x, ib n

32 3.2 A resolução de Anick 18 vale pela hipótese indutiva δ n 1 (r)s = (x i1 x ibn 2 x ibn 2 +1 x i bn 1 )(x ibn 1 +1 x i b n ) + ω = x i1 x ibn 2 f (x ibn 2 +1 x i b n ) + ω onde HT (ω) < u. Como x x ibn 2 +1 i tem a obstrução x b n i x a n i b como submonômio, todavia, o lado direito da última igualdade possui termo alto menor que u. Indutivamente ω n = i n 1 δ n 1 (r s) foi definido, implicando que δ n 1 (ω) = δ n 1 (r s) enquanto por (3.5) HT (ω) < u. Definamos δ n (u) como δ n (u 1) = r s ω. Deste modo δ n satisfaz (3.3) e δ n 1 δ n (u 1) = 0. A seção i n : ker(δ n 1 ) A n F A é definida recursivamente, então aqui foi utilizado o fato que (Z,<) e, consequentemente, (B A (n 1),<) são bem ordenados. Suponhamos σ = q c j (u j v j ) ker(δ n 1 ), j=1 u 1 v 1 é o termo alto de σ, e que i n (σ ) foi definido e satisfaz (3.4) e (3.5) para w ker(δ n 1 ) com HT (σ ) < u 1 v 1. Como σ ker(δ n 1 ) devemos por (3.3) ter HT (δ n 1 (u 1 v 1 )) < u 1 v 1. Escrevendo u 1 = x i1 x ibn 1 e v 1 = x ibn 1 +1 x i s, HT (x i1 x ibn 2 f (x ibn 2 +1 x i bn 1 x ibn 1 +1 x i s )) < u 1 v 1, o que só pode acontecer se x ibn 2 +1 x i s contém alguma obstrução. Denotando por x ia n x i b n a obstrução contida em x ibn 2 +1 x i s que começa mais a esquerda, devemos ter b n 2 < a n b n 1 < b n, o que torna x i1 x ib n uma n-cadeia. Além disso, y = x i b n +1 x is é um submonômio de v 1 L, consequentemente y L. Isto mostra que τ = x i1 x ib n y A(n) F A. Por (3.3), u 1 v 1 é o termo alto de δ n (τ), então σ = σ c 1 δ n (τ) ker(δ n 1 ) enquanto HT (σ ) < u 1 v 1. Definamos i n (σ) por i n (σ) = c 1 τ + i n (σ ). Então, (3.5) é satisfeita e δ n i n (σ)c 1 δ n (τ) + σ = σ. A F-linearidade de i n é automática. Isto completa o passo recursivo na definição de i n. Em particular, a sequência é exata em A (n 1) F A.

33 3.3 Algoritmos para o cálculo eficiente dos conjuntos de cadeias Algoritmos para o cálculo eficiente dos conjuntos de cadeias A (n) Denotemos o conjunto das pré n-cadeias de A por A (n). Não é necessariamente verdade que = A (n), isto é, que todas as pré n-cadeias sejam n-cadeias. Deste modo, introduzimos neste trabalho um algoritmo que nos permite a obtenção das n-cadeias sem redundâncias: para calcularmos A (n) é necessário que haja o conhecimento dos conjuntos de pré cadeias A (1),,A (n), enquanto para calcularmos cada conjunto A (i) das pré i-cadeias é necessário iterar elementos no conjunto A (n 1) A (1). Primeiramente, descreveremos algoritmos auxiliares. Estes algoritmos são obtidos através da característica combinatorial dos objetos envolvidos. Observamos que estes algoritmos apenas são aplicáveis quando o conjunto de obstruções é finito. Dados dois monômios u,u tais que u = rs,u = st, definimos θ(u,u,s) = rst. Dados dois monômios v,v, denotemos por v v a interseção entre o conjunto de submonômios finais de v e o conjunto de submonômios iniciais de v. O primeiro algoritmo consiste na obtenção das pré n-cadeias a partir de n 1, o conjunto dos geradores, e os conjuntos das pré 1-cadeias e pré n 1-cadeias. Já o segundo algoritmo consiste no cálculo das n-cadeias dados todos os conjuntos de pré i-cadeias para i n. Por último, o algoritmo que calcula o conjunto das n-cadeias dados apenas n,z e A: Algoritmo 1: cálculo das pré n-cadeias, dadas as pré i-cadeias, i {0,1,n 1}. Entrada: {n,z,a,a (n 1) }. Saída: A (n). início if n = 1 then return A end A (n) = /0; for (u,u ) A (n 1) A do for s u u do if θ(u,u,s) é uma pré n-cadeia then end end end return A (n) fim A (n) A (n) {θ(u,u,s)};

34 3.4 Homologia através da resolução de Anick 20 Algoritmo 2: cálculo das n-cadeias, dadas as pré i-cadeias, 0 i n. Entrada: {Z,A 1,A 2,...,A (n) }. Saída: A (n). início A (n) /0; for u = x i1 x it A (n) do booleano T RUE; for m {1,...,n} do for s {1,,b m } do if x i1 x is é uma pré m-cadeia then booleano FALSE; end end end if booleano = T RUE then A (n) A (n) {u}; end end return A (n) fim Algoritmo 3: cálculo do conjunto das n-cadeias dados n,z,a. Entrada: {n, Z, A}. Saída: A (n). início fim = {Z,A}; for i {2,...,n} do end Algoritmo 1(i,Z,A,A (i 1) ); return Algoritmo 2( ) 3.4 Homologia através da resolução de Anick Nesta seção demonstraremos como efetuar o cálculo da homologia de álgebras de Lie através da resolução de Anick. Queremos calcular H Lie (g,f) = Tor A (F,F) onde A = U (g). Seguindo os detalhes da

35 3.4 Homologia através da resolução de Anick 21 construção de Tor, é tomada a resolução de Anick: 0 F ε A δ 0 Z F F A δ 1 A F F A δ 2 A (2) F F A δ 3. (3.6) Removemos F, e por esta resolução consistir em A -módulos a direita, é tomado o produto tensorial (sobre A ) com F pela direita: 0 A A F δ 0 1 (Z F F A ) A F δ 1 1 (A F F A ) A F δ 2 1 (3.7) δ 2 1 (A (2) F F A ) A F δ 3 1. (3.8) Este complexo pode ser simplificado para efetuarmos os cálculos necessários. Definamos: µ i : (A (i) F F A ) A F A (i) F (w α) λ (α λ)w, onde (α λ) denota a ação de α sobre λ. Notamos que µ i é um isomorfismo de F-espaços vetoriais para cada i. De fato, a sobrejetividade é elementar, enquanto a injetividade segue do fato que, pela construção do produto tensorial de módulos, (w α) λ = (w 1) α λ = (w 1) α λ em (A (i) F F A ) A F. Desta forma, podemos definir i+1 = µ i (δ i+1 1) µ i+1 1. Há então o complexo isomorfo a (3.7): Notamos que dado w A (i+1) F 0 F 0 Z 1 F 2 (2) AF A 3 F. (3.9) vale i+1 (w) = µ i (δ i+1 1)((w 1) 1) = µ i (δ i+1 (w 1) 1). A partir do complexo (3.9), finalmente temos que Tor A i (F,F) = ker( i 1) im( i ). Como consequência básica da simplificação do complexo (3.7), há o seguinte resultado (Lema 3.1 em [1]): Proposição Sob as hipóteses do Teorema 3.24, se o conjunto de obstruções A é finito, então Tor A i tem dimensão finita para todo i.

36 Capítulo 4 BASES DE SHIRSHOV-GRÖBNER Neste capítulo será estudada a teoria das bases de Shirshov-Gröbner para álgebras associativas com unidade, incluindo os pré-requisitos desta teoria e um algoritmo para a obtenção destas bases. Também serão introduzidas as álgebras de Kac-Moody, suas álgebras universais envelopantes e um resultado que permite obter (de forma mais eficiente) bases para estas álgebras. Ao final do capítulo o conjunto de obstruções da resolução de Anick será caracterizado através da teoria de bases estabelecida. 4.1 Bases de Shirshov-Gröbner Nesta seção será utilizada como referência o artigo [3], com o apoio de [15]. Dado um conjunto Z, seja Z o semigrupo livre gerado por Z. Ordenando os monômios de Z da álgebra livre gerada por Z por uma ordem (que será especificada mais adiante neste trabalho), é determinado um termo líder f para cada f F Z. Um elemento de F Z é dito mônico se o termo líder tem coeficiente 1 F. Consideremos agora algum conjunto S F Z (consistindo apenas em elementos mônicos). Denotemos por (S) o ideal gerado por S na álgebra correspondente. Definição 4.1. Um monômio u Z é dito S-irredutível se u asb, para todos s S,a,b Z. Caso contrário, u é dito S-redutível. Lema 4.2. Todo p F Z pode ser escrito como p = α i a i s i b i + β j u j (4.1) onde α i,β j F,a i,b i,u j Z,s i S,a i s i b i p,u j p e u j são S-irredutíveis.

37 4.1 Bases de Shirshov-Gröbner 23 O termo β j u j na expressão (4.1) é dito forma normal de p com respeito a S (e com respeito à ordem monomial ). Em geral, uma forma normal não é única. Definição 4.3. O conjunto S é uma base de Shirshov-Gröbner para (S), ou para A = F Z /(S), quando o conjunto dos monômios S-irredutíveis forma uma base linear para A. As definições e exemplos abaixo serão baseadas em [13], [12] e [4]. Definição 4.4 (Composição de interseção). Sejam f, g elementos mônicos de F Z com termos líderes f,g, respectivamente. Se existem a,b Z tais que f a = bg = w com a 1 e o comprimento total de f maior que o de b, a composição de interseção é definida como ( f,g) w = f a bg. Exemplo 4.5. Seja Z = {x 1,x 2,x 3,x 4 }. Se f = x 4 x2 2 + x 2x 4 x 3 e g = x2 2x 3 x 4, há duas possíveis composições de interseção: ( f,g) x4 x2 2x = f x 3 3 x 4 g = x 2 x 4 x3 2 + x4, 2 ( f,g) x4 x2 3x = f x 3 2x 3 x 4 x 2 g = x 2 x 4 x 3 x 2 x 3 + x 4 x 2 x 4. Definição 4.6. Sejam f,g elementos mônicos de F Z com termos líderes f,g, respectivamente. Se existem a,b Z tais que a 1 e a f b = g = w, a composição de inclusão é definida como ( f,g) w = a f b g. Exemplo 4.7. Seja Z = {x 1,x 2,x 3,x 4 }. Se f = x 2 1 e g = x 4 x 2 x 3 x 1 x 2, há a seguinte composição de inclusão: ( f,g) x4 x 2 x 3 = x 4 f x 3 g = x 1 x 2 x 4 x 3. Observe que dados f,g como nas definições acima, não necessariamente há a,b tais que a composição ( f,g) w existe. Notamos que no dois tipos de composição vale ( f,g) w < w. Finalmente, notamos que não há composições que são de inclusão e interseção simultaneamente. Isto significa que embora a notação ( f,g) w não determine unicamente a e b (caso estes existam), esta notação determina composições de inclusão ou (exclusivamente) de interseção. Para f,g F Z,S F Z (possíveis relações) e w Z, escrevemos f g mod (S,w) para dizermos que f g = α i a i s i b i onde α i F,a i,b i Z e s i S são tais que a i s i b i <

38 4.2 Um algoritmo para a obtenção de bases de Shirshov-Gröbner 24 w. Escrevemos f g mod (S,deg Z = n) para dizermos a mesma expressão para f g mas exigindo que deg Z (a i s i b i ) < n, sendo deg Z a função grau. Definição 4.8. S é dito fechado/completo com relação à composição se ( f,g) w 0 mod (S,w) para todos f,g S,w Z sempre que a composição ( f,g) w estiver definida (independente do tipo da composição). O lema a seguir é uma variação do Lema do Diamante para composições. Lema 4.9. Seja S um subconjunto de elementos mônicos de F Z e A = F Z /(S) a álgebra associativa com unidade definida por S. Se S é fechado com relação à composição e a imagem de f F Z é trivial em A, então a palavra f é S-redutível. Como consequência, Teorema Seja S um subconjunto de elementos mônicos de F Z. As seguintes condições são equivalentes: 1. S é uma base de Shirshov-Gröbner, 2. S é fechado com relação à composição, 3. Para cada f F Z, a forma normal de f é única, 4. Se f (S) \ {0} então f contém como submonômio s para algum s S. A noção de base de Shirshov-Gröbner é importante, pois, caso S seja finito (ou de forma geral caso S possua apenas uma quantidade finita de elementos com termos líderes menores que qualquer monômio dado), então, para todo φ F Z, é possível determinar se φ S examinando apenas uma sequência finita de termos líderes. 4.2 Um algoritmo para a obtenção de bases de Shirshov-Gröbner Nesta seção será apresentado o algoritmo dado em [12], que implementamos para efetuar o completamento dos conjuntos de relações de interesse. Este é um análogo do algoritmo F 4 de Faugère (ver [7]), que calcula bases de Shirshov-Gröbner no caso comutativo. Seja S F Z um conjunto finito contendo apenas elementos mônicos. Definição Definimos pares de composição da seguinte forma:

39 4.2 Um algoritmo para a obtenção de bases de Shirshov-Gröbner 25 Comp 1 ( f,g;w) = ( f a,bg) para f,g S,w S sempre que a composição de interseção ( f,g) w existir, Comp 2 ( f,g;w) = (a f b,g) para f,g S,w S sempre que a composição de inclusão ( f,g) w existir. Comp i ( f,g; ) para i {1,2} são chamados pares de composição de S. O conjunto de todos os pares de composição de S será denominado P(S). Definição O conjunto de dados de composição de S é definido como D(S) = { f F S g F S : ( f,g) P(S) ou (g, f ) P(S)}. Definamos S (0) = S. Assumamos, indutivamente, que o conjunto S (i) de polinômios mônicos é dado para i 0. Fixamos D i = D(S (i) ), P i = D i \ D i 1, onde D 1 = /0. Seja a i = min{deg( f ) f P i } e b i = max{deg( f ) f P i }, e seja P i (d) P i o subconjunto consistindo em elementos de grau d,a i d b i. Seja P i (a i ) (0) = P i (a i ), e assumamos indutivamente sobre k que P i (a i ) (k) é dado para k 0. Para cada m M(P i (a i ) (k) ) \ P i (a i ) (k) (onde M( ) é o conjunto de monômios presentes nos polinômios do conjunto ) que é S (i) -redutível, escolhamos um polinômio f S (i) e m,m S tais que m = m f m. Definamos P i (a i ) (k+1) como o conjunto de todos os tais m f m, e definamos o conjunto dos dados de redução de grau a i como F i (a i ) = k 0P i (a i ) (k). Definamos A Fi (a i ) como a matriz dos coeficientes dos elementos de F i (a i ) (onde cada linha corresponde a um polinômio neste conjunto, e cada coluna corresponde a um monômio presente em algum dos polinômios. As colunas devem ser ordenadas em ordem decrescente). Transformando a matriz A Fi (a i ) em uma matriz escalonada reduzida, denotemos esta nova matriz por à Fi (a i ). Definamos F i (a i ) como o conjunto dos polinômios correspondentes a esta nova matriz, e definamos F i (a i ) + = { f F i (a i ) f / F i (a i )}.

40 4.3 Bases de Shirshov-Gröbner para álgebras de Kac-Moody 26 Os casos a i < d b i são tratados de forma semelhante. Definamos P i (d) (0) = P i (d) e assumamos indutivamente sobre k que P i (d) (k) é dado para k 0. Para cada m M(P i (d) (k) ) \ P i (d) (k) que é S (i) d 1 j=a Fi i ( j) + -redutível, escolhemos um polinômio f S (i) d 1 j=a Fi i ( j) + e m,m S tais que m = m f m. Definamos P i (d) (k+1) como o conjunto de todos os tais m f m, e definamos F i (d) = k 0P i (d) (k). Após calcularmos a forma escalonada reduzida à Fi (d) de A Fi (d), definamos F i (d) + = { f F i (d) f / F i (d)} e escrevemos F + i = b i d=a i Fi (d) +. Finalmente, tomando S (i+1) = S (i) F + i completamos o i-ésimo passo. Após este processo, obtemos S c = i 0 S (i), que é o completamento de S. 4.3 Bases de Shirshov-Gröbner para álgebras de Kac-Moody Álgebras de Kac-Moody Nesta subseção serão apresentadas as álgebras de Kac-Moody, com base em [11]. Definição 4.13 (Matriz de Cartan generalizada). Seja I um conjunto finito. Uma matriz C = (c i j ) i, j I com entradas em Z é dita matriz de Cartan generalizada, abreviada por MCG, se para todos i, j I vale: 1. c ii = 2, 2. c i j 0 sempre que i j, 3. c i j = 0 c ji = 0. Se para cada k I existir s k Z 0 tal que s k c k j = s j c jk para todo j I, então C é dita simetrizável. Além disso, uma MCG simetrizável C é chamada de matriz de Cartan se a matriz simétrica SC, com S = diag(s i i I), é positiva definida. Adicionalmente, uma matriz C = (c i j ) i, j I é dita indecomponível se, para qualquer escolha de subconjuntos não vazios I 1,I 2 I tais que I = I 1 I 2 e I 1 I 2 = /0, existem i I 1 e j I 2 tais que c i j 0. Caso contrário, C é dita decomponível.

41 4.3 Bases de Shirshov-Gröbner para álgebras de Kac-Moody 27 Observamos que, no caso em que C é simetrizável, é possível escolher os números s i Z de modo que mdc(s i i I) = 1. A partir de agora, será suposto que C é uma MCG simetrizável e os s i são escolhidos dessa forma. Proposição Apenas uma das seguintes opções é válida para cada MCG simetrizável e indecomponível C: (a) SC é definida positiva (todos os menores principais são positivos), (b) SC é semidefinida positiva de coposto 1 (todos os menores principais próprios são positivos e det(c) = 0), (c) SC é indefinida. É dito então que uma matriz é de tipo finito, se satisfaz (a), tipo afim, se satisfaz (b), e tipo indefinido, se satisfaz (c). Definição Sejam r = posto(c) e J I tal que J = r e (c i j ) i, j J é invertível. Definimos a álgebra de Kac-Moody g(c) como a álgebra de Lie sobre F dada por geradores {x i,y i,h i,d j i I, j I \ J} satisfazendo, para todos i, j I e k,l I \ J, as seguintes relações: K = {[h i,h j ],[x j,h i ] + c i j x j,[h i,y j ] + c i j y j }, T = {[x i,y j ] δ i j h i }, S + = {ad(x i ) 1 c i j (x j ), onde i j}, S = {ad(y i ) 1 c i j (y j ), onde i j}, R = {[d k,d l ],[x i,d k ] + δ ik x i,[y i,d k ] δ ik y i,[h i,d k ]}. Os geradores x i,y i,h i são denominados geradores de Chevalley-Kac e as relações são denominadas relações de Chevalley-Serre. Denotamos por d,h,n + e n as subálgebras de g(c) geradas por {d j j I \ J},{h i i I},{x i i I} e {y i i I}, respectivamente. Defina h = h d. Proposição Uma álgebra de Kac-Moody g admite uma decomposição como soma direta de espaços vetoriais g = n h n +. O seguinte resultado garante que o estudo das álgebras de Kac-Moody pode ser resumido ao estudo das álgebras de Kac-Moody associadas às matrizes indecomponíveis.

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