Pensando em Progressão Aritmética. Série Cultura

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1 Pensando em Progressão Aritmética Série Cultura Objetivos 1. Desenvolver a proposta de interdisciplinaridade, relacionando conteúdos matemáticos a referências literárias; 2. Elaborar uma situação que propicie o estudo de progressões aritméticas.

2 Pensando em Progressão Aritmética Série Cultura Conteúdos Progressão aritmética. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivos 1. Desenvolver a proposta de interdisciplinaridade, relacionando conteúdos matemáticos a referências literárias; 2. Elaborar uma situação que propicie o estudo de progressões aritméticas. Sinopse Esta é a história em que a jovem Alice faz amizade com um hippie chamado Tejaire. O encontro acontece quando Alice ouve uma música de Tejaire cuja letra diz respeito a outra Alice, mas muito parecida com a Alice da nossa ficção. Material relacionado Áudios: Pensando em progressão geométrica. Experimentos: Corrida ao 100, Quadrado mágico aditivo.

3 Introdução Sobre a série A série Cultura foi concebida com o objetivo de proporcionar aos alunos a oportunidade de fazer paralelos significativos entre Literatura, Cultura Geral e Matemática. Além de poder observar resoluções de problemas de matemática, consideramos importante que o aluno se sinta estimulado a buscar as referências literárias e expandir seu conhecimento em diversas áreas. Por conta disso, sugerimos que seja feita uma indicação explícita das referências que aparecem no roteiro. Sobre o programa Este áudio apresenta ao aluno a ideia de progressão aritmética através de uma história livremente inspirada no livro Alice no País das Maravilhas, de Lewis Carroll. A história narra o primeiro encontro da personagem Alice com Tejaire. Hippie, de idade avançada, Tejaire estava cantando numa praça uma música que também falava de uma Alice foi isso o que chamou a atenção da Alice da nossa história. A música que Tejaire cantava remetia à Alice do livro de Lewis Carrol, pois era uma música que contava o desafio da menina de atravessar uma porta bem pequenininha a fim de perseguir um coelho muito apressado. Além de ser uma música, também trata-se de uma charada matemática já que pergunta quanto Alice deve diminuir para conseguir atravessar a porta, tendo apenas uma bebida com um exótico poder: a cada gole, Alice conseguia diminuir o se tamanho um pouco mais. Assim, na música, a garrafa preenchida por um líquido estranho tinha um rótulo ainda mais esquisito que dizia: "Beba-me." A charada Cada gole tem o efeito, ou defeito, se não for direito, de te deixar mais perto do chão. Pensando em progressão aritmética 3/12

4 descrevia justamente o efeito deste líquido nas pessoas que o bebiam, que era o de diminuir o tamanho delas de acordo com uma progressão aritmética. O problema era, então, determinar quanto daquele líquido mágico Alice deveria beber para atravessar a portinha que dava acesso ao novo mundo. Sobre as referências culturais Alice no País das Maravilhas é uma história escrita pelo romancista e matemático britânico Charles Lutwidge Dodgson, sob o pseudônimo de Lewis Carrol, em Três anos antes, Lewis Carrol contava, de improviso, às três filhas do reitor da universidade na qual trabalhava uma história sobre uma menina chamada Alice que ia parar em um mundo fantástico após cair numa toca de um coelho: foi a sua inspiração. Esta obra se tornou rapidamente um grande sucesso e contou com uma continuação em Alice através do Espelho e o que ela encontrou por lá, que foi publicada em Em ambas as histórias, o autor preocupou-se em incluir referências a conceitos matemáticos e lógicos, tais como as ideias de limite de uma função, a representação de números em diferentes bases numéricas e a diferença semântica entre uma determinada frase e a frase contendo uma afirmação inversa a ela. O personagem principal de Alice no País das Maravilhas evidentemente é a própria Alice, uma menininha de 7 anos, bastante curiosa, e por vezes também petulante. Alguns dos marcantes personagens com quem ela faz amizade em meio as suas aventuras pelo País das Maravilhas são o Coelho Branco, o Gato Risonho e o Chapeleiro Maluco, todos eles um pouco, ou muito, loucos. Pensando em progressão aritmética 4/12

5 Figura 1. Uma ilustração de Alice, por John Tenniel. Sobre o conteúdo Uma progressão aritmética é uma sequência de números (a 1, a 2, a 3, a 4,...) tais que a diferença entre quaisquer dois números consecutivos desta sequência é uma constante. Por esta razão, qualquer um de seus termos pode ser escrito na forma a n = a 1 + (n-1) r, em que r é esta referida constante, também denominada de razão da progressão aritmética, ou, alternativamente, Pensando em progressão aritmética 5/12

6 a n = a m + (n-m) r. Por exemplo, a sequência dos números pares (2n) n = (2, 4, 6, 8, 10,...) IN é uma progressão aritmética de razão 2, já que 2n = 2 + (n-1) 2, qualquer que seja o número natural n. Muito frequentemente é interessante somar um número finito e consecutivo de termos de uma tal progressão, o que pode facilmente ser feito pela aplicação da fórmula S m,n = (a m +a n )(n-m+1)/2, que indica qual é o resultado da soma do m-ésimo ao n-ésimo termo da sequência, com n m. Essa expressão é comumente substituída nos livros didáticos de matemática por uma versão mais simplificada, S 1 = (a 1 +a n ) n/2, que apenas nos mostra como somar os n primeiros termos de uma progressão aritmética. No entanto, a fórmula geral não é difícil de ser deduzida, notando-se que S m,n = a m + a m+1 + a m a n-1 + a n dasdsadssadas e, também, que = a m + (a m +r) + (a m +2r) (a m +(n-2) r) + (a m +(n-1) r) S m,n = a n + a n-1 + a n a m-1 + a m dasdsadssadas = a n + (a n -r) + (a n -2r) (a n -(n-2) r) + (a n -(n-1) r), de modo que, somando ambas as expressões, chegamos a 2S m,n = (a m +a n )(n-m+1). Pensando em progressão aritmética 6/12

7 Curiosamente, a versão mais simples desta fórmula já era conhecida pelos matemáticos e astrônomos indianos do início do século VI. Sugestões de atividades Antes da execução Antes de exibir este áudio aos seus alunos, explique a eles o que é uma sequência de números em progressão aritmética, exibindo diversos exemplos de tais sequências, tais como a sequência dos números inteiros pares, (..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,...), a sequência dos números naturais ímpares, (1, 3, 5, 7, 9,...), a sequência dos múltiplos positivos de 4, (4, 8, 12, 16, 20,...), e assim por diante, ressaltando qual é a razão e o primeiro termo em cada progressão. É também interessante demonstrar a eles como obter a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética e, depois da execução deste áudio, pedir que tentem demonstrar o caso geral. Como o raciocínio nos dois casos é análogo, eles não devem encontrar dificuldades para fazer isso. Depois da execução Agora é o momento de resolver alguns bons exercícios de progressões aritméticas com seus alunos. Temos algumas sugestões bastante abrangentes, que abordam desde a aplicação de fórmulas já discutidas Pensando em progressão aritmética 7/12

8 ou a demonstração delas até uma elaborada discussão sobre uma recente descoberta acerca de uma propriedade das progressões aritméticas que certamente vai instigar seus alunos em seus estudos. Exercício 1. Se, ao invés de 30cm, como é contado na história, a Alice diminuísse 20cm a cada vez que bebesse da poção mágica, quantos goles desta poção ela precisaria tomar para que pudesse atravessar uma porta de 45cm, tendo 1,60m de altura? Solução: Se a cada gole da poção que Alice beber ela diminuir 20cm, então, após n goles, ela terá diminuído 20n cm. Como sua estatura inicial é de 1,60m, ou ainda, de 160 cm, sua estatura final será então uma função de n, a saber: (160-20n) cm. Vemos daí que a sucessão de alturas atingidas pela Alice após tomar da referida poção compõem a seguinte progressão aritmética (160cm, 140cm, 120cm, 100cm,...), de primeiro termo 160cm e razão -20cm. Para que Alice consiga atravessar a porta, sua altura não deve ultrapassá-la. Assim, após n goles, sua estatura deve ser tal que n 45. Descobrimos daí que n 5,75, ou seja, a Alice da história do Tejaire deve tomar 6 goles da poção mágica por ela encontrada para conseguir atravessar a porta do enunciado desta questão. Exercício 2. Ainda supondo que a altura da porta que Alice quer atravessar seja de 45cm e que a Alice tenha 1,60m de altura, quanto ela teria de diminuir a cada gole tomado da poção mágica para que ela alcançasse exatamente a altura da porta em cinco goles? Solução: A diferença entre as alturas da Alice e da porta é de 115cm. Para que 115cm sejam subtraídos da altura de Alice em exatamente cinco goles, sendo que em cada gole ela diminui uma mesma quantidade, é necessário que cada gole da poção mágica a faça perder Pensando em progressão aritmética 8/12

9 115/5 cm, ou seja 23cm. Neste caso, teríamos uma progressão aritmética (160cm, 137cm, 114cm, 91cm,...), de primeiro termo 160cm e razão -23cm. Agora, vamos sugerir alguns exercícios mais sofisticados sobre progressão aritmética que não estão relacionados ao contexto do áudio. Exercício 3. Quantos são os múltiplos de 3 e 5 com quatro algarismos? Solução: Todo múltiplo de 3 e 5 também é um múltiplo de 15 e viceversa. Assim, o menor múltiplo de 3 e 5 que pode ser escrito com quatro algarismos é o primeiro número a partir de 1000 cuja divisão por 15 não deixe resto não nulo pela divisão euclidiana, ou seja Pelo mesmo raciocínio, 9990 é o maior número de quatro algarismos divisível por 3 e por 5 simultaneamente. Como estamos interessados em contar quantos são os múltiplos de 3 e 5 neste intervalo, estamos trabalhando com a progressão aritmética (1005, 1020, 1035, 1050,..., 9975, 9990), em que o primeiro termo a 1 = 1005, o último termo a n = 9990 e a razão r = 15. De acordo com a expressão para o termo geral de uma progressão aritmética, temos que ou seja, n = 600. a n = a 1 + (n-1) r, 9990 = (n-1) 15, Portanto, são 600 os múltiplos de 3 e 5 escritos com quatro algarismos. Pensando em progressão aritmética 9/12

10 Exercício 4. Qual é a soma dos múltiplos positivos de 16 escritos com três algarismos? Solução: Os números positivos que podem ser escritos com três algarismos estão compreendidos entre 100 e 999. Por inspeção, podemos ver que 112 e 992 são, respectivamente, o primeiro e o último múltiplo de 16 neste intervalo. Assim, estamos trabalhando com a progressão aritmética (112, 128, 144, 160,..., 976, 992). Com esta informação, podemos encontrar o número de múltiplos de 16 aí compreendidos através da expressão para o termo geral da sequência de uma progressão aritmética, a saber: n = (a n -a 1 )/r + 1 = ( )/ = 56. Agora temos condições de somar todos esses termos, aplicando uma das fórmulas para a soma de termos consecutivos de uma progressão aritmética: S 56 = (a 1 +a 56 ) n/2 = ( ) 56/2 = Exercício 5. Demonstre a fórmula geral S m,n = (a m +a n )(n-m+1)/2, cuja solução já foi discutida anteriormente neste manual. Exercício 6. Um número primo positivo p ou, simplesmente, primo positivo, é um número natural, maior do que 1, cujos únicos divisores são 1 e p. Os dez menores primos positivos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Pensando em progressão aritmética 10/12

11 Questões acerca das propriedades dos números primos despertam a curiosidade do homem desde o nascimento da matemática e muitas delas ainda não têm solução. Foi somente em 2004 que, por exemplo, uma destas propriedades foi demonstrada como verdadeira: Teorema (Green-Tao): Para todo número natural k, existe uma progressão aritmética de k termos, todos primos positivos. Para alguns poucos casos, não é difícil encontrar uma tal progressão, como, por exemplo, (2), (2, 3), (3, 5, 7), (5, 11, 17, 23), (5, 11, 17, 23, 29), (7, 37, 67, 97, 127, 157), (7, 157, 307, 457, 607, 757), mas exemplos maiores já são bastante mais complexos. É curioso notar que o teorema de Green e Tao apenas garante a existência de tais progressões, não exibindo, realmente, nenhum método para construí-las. Explique este problema a seus alunos, solicitando a eles que procurem algumas das progressões aritméticas que acabamos de listar. Então, comente o resultado encontrado por Green e Tao, ressaltando sua contemporaneidade. Aproveite e deixe claro para seus estudantes que a matemática é uma ciência em contínuo desenvolvimento e que mesmo alguns problemas de fácil entendimento ainda não puderam ser demonstrados. Pode ser que alguns deles se encoragem nesta direção. Pensando em progressão aritmética 11/12

12 O áudio Pensando em Progressão Geométrica explora uma situação similar a encontrada aqui, com Alice tentando recuperar seu tamanho normal. É possível dar continuidade aos estudos de progressões dos seus alunos a partir dele. Sugestões de leitura L. Carroll (2010). Alice no País das Maravilhas, Publifolha. L. Carroll (2010). Alice Através do Espelho, Editora Scipcione. G. Iezzi e S. Hazzan (2004). Fundamentos da Matemática Elementar: Seqüências, Matrizes, Determinantes e Sistemas, vol. 4, Atual Editora. Ficha técnica Autor Douglas Mendes Revisor Leonardo Barichello, Carolina Bonturi Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Pensando em progressão aritmética 12/12