Área de Teoria DCC/UFMG Matemática Discreta 2019/01. LISTA DE EXERCÍCIOS (SOLUÇÃO) Lógica Proposicional (Rosen - Capítulo 1)

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1 Área de Teoria DCC/UFMG Matemática Discreta 2019/01 LISTA DE EXERCÍCIOS (SOLUÇÃO) Lógica Proposicional (Rosen - Capítulo 1) Leitura necessária para esta lista: Discrete Mathematics and Its Applications (Rosen, 7 a Edição): Capítulo 1.1: Propositional Logic Capítulo 1.2: Applications of Propositional Logic Capítulo 1.3: Propositional Equivalences Observação: Os exercícios estão classificados em níveis de dificuldade: [Fácil], [Médio] e [Difícil]. Esta classificação, entretanto, é apenas indicativa. Pessoas diferentes podem discordar sobre o nível de dificuldade de um mesmo exercício. Não desanime ao ver um exercício difícil, você pode descobrir que ele é fácil, encontrando uma maneira de resolvê-lo mais simples do que a do professor! 1. [Fácil] (Rosen 1.1.1) Quais das sentenças abaixo são proposições? Qual o valor de verdade das que são proposições? (a) Boston é a capital de Massachusetts. É uma proposição verdadeira. (b) Miami é a capital da Flórida. É uma proposição falsa. (c) = 5 É uma proposição verdadeira. (d) = 10 É uma proposição falsa. (e) x + 2 = 11 Não é uma proposição. (f) Responda a esta pergunta. 1

2 Não é uma proposição. 2. [Fácil] (Rosen 1.1.7) Suponha que durante o último ano fiscal, o faturamento da Acme Computer foi de 138 bilhões de dólares, e seu lucro líquido foi de 8 bilhões de dólares; o faturamento da Nadir Software foi de 87 bilhões de dólares, e seu lucro líquido foi de 5 bilhões de dólares; e o faturamento da Quixote Media foi de 111 bilhões de dólares, e seu lucro líquido foi de 13 bilhões de dólares. Determine o valor de verdade de cada uma das proposições abaixo sobre o último ano fiscal. (a) A Quixote Media teve o maior faturamento. Proposição falsa. (b) A Nadir Software teve o menor lucro líquido e a Acme Computer teve o maior faturamento. (c) A Acme Computer teve o maior lucro líquido ou a Quixote Media teve o maior lucro líquido. (d) Se a Quixote Media teve o menor lucro líquido, então a Acme Computer teve o maior faturamento. (e) A Nadir Software teve o menor lucro líquido se, e somente se, a Acme Computer teve o maior faturamento. 3. (Rosen 1.1.9) Sejam p e q as proposições É permitido nadar na costa de New Jersey e Tubarões foram avistados perto da costa, respectivamente. Expresse cada uma das proposições compostas abaixo em uma sentença em linguagem natural. (a) p q (b) p q (c) p q (d) p (p q) (a) p q: Não é permitido nadar na costa de New Jersey. (b) p q: Se é permitido nadar na costa de New Jersey, então não foram avistados tubarões perto da costa. (c) p q: É permitido nadar na costa de New Jersey se, e somente se, não foram avistados tubarões perto da costa. (d) p (p q): Não é permitido nadar na costa de New Jersey e ou é pertmitido nadar na costa de New Jersey ou tubarões não foram avistados perto da costa. 2

3 4. [Médio] (Rosen ) Sejam p, q e r as seguintes proposições: p : Ursos pardos foram vistos na área. q : É seguro caminhar na trilha. r : Há frutas maduras ao longo da trilha. Escreva as seguintes proposições utilizando p, q, r e conectivos lógicos. (a) Há frutas maduras ao longo da trilha, mas ursos pardos não foram vistos na área. r p (b) Ursos pardos não foram vistos na área e caminhar na trilha é seguro, mas frutas estão maduras ao longo da trilha. p q r (c) Se há frutas maduras ao longo da trilha, caminhar é seguro se, e somente se, ursos pardos não foram vistos na área. r (q p) (d) Não é seguro caminhar na trilha, mas ursos pardos não foram vistos na área e há frutas maduras ao longo da trilha. q p r (e) Para que seja seguro caminhar na trilha, é necessário mas não suficiente que não haja frutas maduras ao longo da trilha e que ursos pardos não tenham sido vistos na área. q ( r q) (( r p) q) (f) Caminhar na trilha não é seguro sempre que ursos pardos tenham sido vistos na área e haja frutas maduras ao longo da trilha. p r q 5. [Fácil] (Rosen ) Determine se cada uma das expressões condicionais abaixo é verdadeira ou falsa. (a) Se = 2, então = 5. falsa. A implicação é falsa, já que a premissa é verdadeira e a conclusão é (b) Se = 3, então = 4. A implicação é verdadeira, já que a premissa é falsa. (c) Se = 3, então = 5. 3

4 A implicação é verdadeira, já que a premissa é falsa. (d) Se macacos podem voar, então = 3. A implicação é verdadeira, já que a premissa é falsa. 6. [Médio] (Rosen ) Escreva cada uma das proposições abaixo na forma se p, então q. (a) Neva sempre que o vento sopra vindo do nordeste. Se o vento sopra vindo do nordeste, então neva. (b) É necessário andar 8 milhas para chegar ao topo de Long s Peak. Se você chegou ao topo de Long s Peak, então você andou 8 milhas. (c) Para ser efetivado como professor, é suficiente ser famoso mundialmente. Se você for famoso mundialmente, então você é efetivado como profes- sor. (d) Sua garantia é válida apenas se você comprou seu CD player há menos de 90 dias. de 90 dias. Se sua garantia é válida, então você comprou seu CD player há menos (e) Jan vai nadar a menos que a água esteja muito fria. Se a água não estiver muito fria, então Jan vai nadar. 7. [Médio] (Rosen ) Dê a conversa, a contrapositiva e a inversa de cada uma das proposições condicionais abaixo. (a) Se nevar hoje, eu vou esquiar amanhã. Conversa: Vai nevar hoje somente se eu esquiar amanhã. Contrapositiva: Se eu não esquiar amanhã, não nevou hoje. Inversa: Se não nevar hoje, não vou esquiar amanhã. (b) Eu vou à aula sempre que é dia de exame. Conversa: Se eu vou à aula, então é dia de exame. Contrapositiva: Se eu não vou à aula, então não é dia de exame. Inversa: Se não é dia de exame, eu não vou à aula. 8. [Médio] (Rosen ) Construa a tabela da verdade para cada uma das proposições compostas abaixo. (a) (p q) q (b) (p q) ( q p) 4

5 Veja tabelas da verdade abaixo. p q q p q (p q) q T T F T T T F T T F F T F F T F F T T F p q (p q) q p q q (p q) ( q p) T T T F F T T T F F T F F T F T T F T T T F F T T T T T 9. [Difícil] (Rosen ) Três professores estão sentados em um restaurante, e a garçonete pergunta a eles: Todo mundo quer café?. O primeiro professor diz: Eu não sei. O segundo professor diz: Eu não sei. Finalmente, o terceiro professor diz: Não, nem todo mundo quer café. A garçonete, então, traz café para os professores que queriam café. Como ela deduziu quem queria café? Note que a pergunta da garçonete tem resposta afirmativa se, e somente se, todos os professores querem café, e basta que um não queira para que a resposta seja negativa. Se o primeiro professor não quisesse café, ele saberia que a resposta à pergunta da garçonete seria não. Logo, tanto a garçonete quanto os demais professores sabem que o primeiro professor quer café. De maneira similar, o segundo professor necessariamente quer café, pois se ele não quisesse ele teria respondido não à pergunta da garçonete. Por fim, tanto o terceiro professor quanto a garçonete sabem que tanto o primeiro quanto o segundo professores querem café. Como o terceiro professor respondeu não à pergunta, a garçonete conclui que ele é o único a não querer café. 10. [Fácil] (Rosen ) Utilize tabelas verdade para verificar a lei de absorção. (a) p (p q) p (b) p (p q) p Veja tabelas da verdade abaixo. p q (p q) p (p q) T T T T T F F T F T F F F F F F p q (p q) p (p q) T T T T T F T T F T T F F F F F 11. Prove as seguintes questões através da manipulação de conectivos lógicos. (Ou seja, não utilize tabelas da verdade, mas sim os axiomas de equivalência dados em sala de aula.) (a) [Médio] (Rosen ) (p q) e p q são equivalentes. 5

6 (p q) (( p q) (p q)) ( p q) (p q) (p q) ( p q) (q p) (p q) p q (equivalência da disjunção exlusiva) (de Morgan) (de Morgan) (equivalência da implicação) (equivalência da implicação dupla) (b) [Fácil] (Rosen ) (p r) (q r) e (p q) r são equivalentes. (p r) (q r) ( p r) ( q r) (equivalência da implicação) p r q r (associatividade) p q r r (comutatividade) ( p q) (r r) (associatividade) ( p q) r (idempotência) (p q) r (de Morgan) (p q) r (equivalência da implicação) 12. [Difícil] (Rosen ) Mostre que (p q) (q r) (p r) é uma tautologia. Obs: Nesta questão, você achou mais fácil utilizar a tabela da verdade ou a manipulação de conectivos lógicos? Solução 1: Uma solução possível é fazer a derivação da tautologia. (p q) (q r) (p r) (def. de ) ( p q) ( q r) ( p r) (def. de ) (( p q) ( q r)) ( p r) (de Morgan; associatividade) ( ( p q) ( q r)) p r (de Morgan; associatividade) ( p q) ( q r) p r (dupla ; associatividade) (p q) (q r) p r (comutatividade; associatividade) ((p q) p) ((q r) r) (distributividade; distributividade) ((p p) ( p q)) ((q r) (r r)) 6

7 (negação; negação) (T ( p q)) ((q r) T ) (dominância; dominância) ( p q) (q r) (associatividade) p ( q q) r (negação) p T r (dominância) T Solução 2: Esta questão parece ser mais facilmente resolvida por tabela da verdade, como a seguir. p q r p q q r (p q) (q r) p r (p q) (q r) (p r) F F F T T T T T F F T T T T T T F T F T F F T T F T T T T T T T T F F F T F F T T F T F T F T T T T F T F F F T T T T T T T T T 7