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1 Observações sobre «medidas» com expressão formal, seguidas de uma carta de E. Marques de Sá Autor(es): Publicado por: URL persistente: Almeida, Aníbal Faculdade de Direito da Universidade de Coimbra URI: Accessed : 10-Jun :48:23 A navegação consulta e descarregamento dos títulos inseridos nas Bibliotecas Digitais UC Digitalis, UC Pombalina e UC Impactum, pressupõem a aceitação plena e sem reservas dos Termos e Condições de Uso destas Bibliotecas Digitais, disponíveis em Conforme exposto nos referidos Termos e Condições de Uso, o descarregamento de títulos de acesso restrito requer uma licença válida de autorização devendo o utilizador aceder ao(s) documento(s) a partir de um endereço de IP da instituição detentora da supramencionada licença. Ao utilizador é apenas permitido o descarregamento para uso pessoal, pelo que o emprego do(s) título(s) descarregado(s) para outro fim, designadamente comercial, carece de autorização do respetivo autor ou editor da obra. Na medida em que todas as obras da UC Digitalis se encontram protegidas pelo Código do Direito de Autor e Direitos Conexos e demais legislação aplicável, toda a cópia, parcial ou total, deste documento, nos casos em que é legalmente admitida, deverá conter ou fazer-se acompanhar por este aviso. impactum.uc.pt digitalis.uc.pt

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3 Observações Sobre «Medidas» com Expressão Formal, seguidas de uma Carta de E. MARQUES DE SÁ 1.1 Na actual "sociedade técnica" em que vamos vivendo, é cada vez mai frequente a ocorrência, na previsão ou provisão de uma norma jurídica (legislativa ou regulamentar), de «(medidas I> formais reflectindo, por vezes, menos ou mais cientemente, conceitos económicos fundamentais, não poucas vezes grosseiramente formulados por «quem de direito», mediante robustas e pesadas «composiçõe» de siglas (cujas maiúsculas componentes serão, digamos, as «carruagens») conexionadas pelos sinais gráficos das quatro operações aritméticas do respectivo 'Recipe', acomodadas por andares que também chegam a ser quatro (contando os {ndices e expoentes, e com os (ltraços de fracção'». 1.2 Quis o acaso proporcionar-me, por estes dias, um "encontro imediato" com uma expressão daquela espécie. Ao perpassar, casualmente, por uma análise das recentes «medidas» do "PEDIP II" ("Programa Estratégico para a Dinamização e modernização da Indústria Portuguesa", versão actual), prendeu-me a atenção uma singela fórmula C), solenemente portadora do estilo característico das (') Mais propriamente se diria _e ncontro mediato», pois o "encontro imediato" teve lugar com a versão do «exemplo numérico» do 1 do artigo de António MARTIN, Critérios de análise de projectos

4 198 6ciai : arte anal e algo descompo to. Tentei afeiç á-la, a c me ar pela apre entação, dema iado «aritmética», híbrida e burocrática para o meu go to: " INV Ei pois, para começar, urna versão mat escorrei ta, geral e abstracta, que proponho para ela: n k = I I(l+r) 1=1 _( de i"vestimento: Do PEDIP I ao PEDIP II, publicado também neste me mo volume desta revi ta; foi, aliás, A. M. quem me facultou o acesso ao documento de «circula ção interna~ do IAPMEI com a «medida» cujo enunciado «lit erá rio ~ o autor formalizou naquele artigo, para um «exemplo numértco~ com «INV~ = e «BAL ~ = conto, que erá retomado, em termos relativos, no 4 destas Observações. Quanto à forma assumida pela versão geral de que a fórmula de A. M. con tituj uma espécie, ela é, portanto, meramente conjectural, ma foi confeccionada secundull1 /eges artis do estilo, conforme o conhecido (e, entre nós, pioneiro) manual da especialidade de H. CALDEIRA MENEZES, Princfpios de gestão fil/{lt/ceira (Lx', Presença, 6' ed., 1996), tan1bém refendo por A. M.. A conceptologia subjacente e a teritúnologia sobrejacente ao tratamentos instltucionaü (sem excluir os u uaü vícios de tradução) são importada, por sistema, da chamada "teoria da gestão fi"anceira" ('financial li1anagement'), a "aritmética comercial" ou "cálculo mercantil" dos ruas de hoje, «d ese nvolvida ~ inteiramente à margem da teoria econónuca fundamental. Para uma só amostra do que se nos depara em semelhantes livros de formulários (deixando, agora, por referir as tais pesadas composições, alurudas no texto, usadas como ve{cu/os para o transporte de tais «mercadorias'), precisan1ente do tipo «TlR,)!), aqui se deixa a transcrição do curioso (e errado!) fcnptograrna» em que parece consistir a simplicíssima equação «em caixa» da p 321 ( 4.5) do livro de MENEZES: I VALA=VAL+VA

5 199 em que k é o montante do investimento projectado, I a receita /(quida anual prevista (ou os (Ibeneficios anuais líquidos previsionais futuros), segundo o arrevesado circunlóquio da (Inovilíngua)), n é o número de anos de duração prevista para o projecto e r a taxa de lucro (ou seja, a «taxa interna de rendibilidade (TIR))), claro que também «previsionah), on oante os eufemismos e barbarismos tipicamente comunitários). 2. Uma segunda intervenção ocorrerá, por certo, num segundo momento, a quem não ame a iteração como processo resolutivo e a rotina como expressão formal. Por um processo análogo ao explorado na dedução da fórmula 9.2 do primeiro dentre os «textos de apoio» às aulas de Finanças Públicas que inseri, em ANEXO III, no meu Programa da disciplina e), podemos facilmente estabelecer, a partir desta fómlula, uma equação fundamental e uma implicação de primeira importância, n _I I,(l+r) r - 1 [1 - (1 + rr n ] 1=1 => I [1 - (1 + r)-n] = rk, com a vantagem imediata de racionalizar [hoc sensu!] as expressões formais, e a vantagem adicional de expor, em substancia, as relações conceituais entre as receitas, o capital, os lucros e, de forma latente, os custos financeiros previstos ou r) A dedução da fórmula 9.2, do 9, para ri entregas sucessivas de capital a juros compostos de taxa j, segue-se aí à indução da própria f6rmula dos juros compostos, no 3. A via análoga de dedução referida não será, no entanto, explicitada aqui, mas sim deixada «aos estudantes, como exercício», segundo o velho e reiterado uso de Paul A. Samuelson...

6 200 imaginado no projecto de investimcllto candidato a subsfdio (poi, na verdade, é empr dis o que se trata, ne ta noví ima <<gaia ciê"cia»...). 3. É lar que e a inc6gnita da relação k T = I. (1+rf' = ' (1 + rf" r fo e a ra... ão «(capital/prodllto», 7, e o dados fo em n e r, tudo e uria re olvid e bastaria fazer as contas segundo o 3 0 membro de ta cadeia de equações, podendo nós então abandonar de vez a opaca rothla da iteração em n passos ou «penodos» uce sivos. Porém, «infelizmente», sendo a incógnita r, só é po ível obter uma solução por um processo racional, funcional e directo, para ri = 1 e n = 2 [fbl!)]. [(1...) É certo que, para (re)solver, por radjciação, equações algébricas de grau 3 e grau 4, exi tem método «racionais» e «gerais», mdigitados por E. Marques de Sá na nota 1 da ua Carta; tal é o caso, nomeadamente, para /I = 3, da (escope/a» ou (mosquete') de Ferro e, para II = 4, do "bacamarte" de Ferrari (como lhe chama E. Marques de Sá numa 2" carta ao autor), ambos elaborados na l' metade do séc. XVI; mas nào é menos certo de que se trata, hoje, de um par de meras cunosldade lustóncas, localizadas num beco sem saída da análise matemática. Sobre o assunto, aquj se deixa, apenas, a conclusão geral da célebre.. Matemática ' seu conteúdo, métodos e setlfido", da Academia das Ciências da URS (al/1bas recentemente de aparecidas): 'ln the prevlous sectlon we consldered the attempts, lasting three centuries, to olve by rarucals an nth-degre-e equation. The problem turned out to be very deep and difficult and led to the creation of new concepts important not only for algebra, but also for mathematics as a whole. As for the practlcal solutlon of equations, the result of all this work was the followmg. It became dear that the solution by radicals is far ftom bemg avatlable for all algebraic equations, and even when it is

7 Assim, para n = 1, I'leutralizado o factor tempo, teremo, simplesmente e sem mais, (1 + r) k = I, em que I designa, ao mesmo tempo, a receita líquida anual e total, sendo rk = I - k o montante dos lucros anuais e totais; prescindindo, portanto, a solução discreta (ou o conjunto de oluções discretas) de se exprimir mediante um somat6rio (que, então, seria de um s6 adendo...); perdendo, pois, a solução contfnua, inteiramente, a sua «dimensão» ou «expoente» «(temporal» e, deste modo, qualquer virtualidade de ervir de suporte às (aliás baldadas) "tentativas para encontrar no 'periodo [«(médio» ] de produção' uma medida da quantidade de capital que pudesse ser usada, sem incorrer em círculo vicioso, na detenninação dos preços e das quotapartes na distribuição" e). 3.2 Ao passo que, para n = 2, r (ou 'r+,) será menos uma unidade que a raiz positiva (digamos, '1 + r+,) da equação quadrática k T llr + (1;r)2 => 1 (1 + r)2 - (1 + r) - 1 => r+ = 0,5 k (1 +JI+4k/n - 1. available, It is of little practical value because of its complexity, except in the case of the quadratic equation': A. D. ALEK ANDI1..0V, A. N. KOLMOGOl1..0V & M. A. LAVRENT'EV (eds.), Mathemalics: its eonlenl, melhods and meaning ( ; trad. do russo por S. H. Gould, T. Bartha & K. Hirsch, Cambridge, Mass., USA, The M. I. T. Press, 1969), vol. I, Parte 2, cap. IV, 3, pp 280-1]. (3) Piero SRAFFA, período final (entre parênteses) do 48 de Production of commodilies by means of commodilies (CUP, 1960); grifei. A

8 202 Ma, a partir daqui (para tl > 2), não valha enquanto solução geral, e a soluçã obtida mediante lei/ta tivas (4)... há r que no só poderá ser 4. Não quer, porém, i to dizer que tenha sido inútil e ta segunda interve/lção, dado que a f6mmla geral equivalente à do somat6n'o, de 1 a tl, das tl potência inteiras de 1 + r, é mai perfeita, em pura forma, mais eloquente da perspectiva te rética e meno trabalhosa como regra de cálculo. A im, para o valores de um «exemplo numérico» com 7 = 3,2 e ti = 5 teremo k T 5 _I I(l+r) 1=1 1 - (l + r) -5 r 3,2, e é manife to que a tentativas a que teremos de proceder (como num exercício de tiro ao alvo; e o «alvo» é 7) sobre e ta última cadeia de equações serão bem menos laboriosas e muito mai fluentes se exercitadas com o 30 membro (não alusão vai, desde logo, endereçada a Léon WALRA, Élémcnts d'écotlomie politique pure (' Éditioll défillitivc, révue et augmctltée par I' Autcur', Paris, R. Plchon & R. Durand-Auzias, & Lausanne, F. Rouge, 1926), 28' lição, especialmente 268 (pp 290-3). (4) Embora, em teoria, seja sempre pos ível, para n > 2, obter a solução de uma equação polinomial em r factorizando o polinómio do 11 grau que lhe está associado, para achar as suas n raízes (e, deste modo, a raiz dominante), não existe um método geral, pelo que a operação (tanto mais complexa quanto maior for 11) só pode ser levada a cabo mediante tentativas ('trial arld error): seria, pois, pior a emenda do que o soneto. Cf, p. ex o, o inesgotável Alpha C. CHIANG, FUtldamelltal met"ods of mathematical ccotlomics, 3' ed. (Londres &c., McGraw-Hill, 1984), 3.3 (.5), pp 44-5.

9 203 o 2j servindo de garrucha, tanto mais obviamente quanto maior for n; no nosso cas, com o resultado, visivelmente sati fatóri, 1-1,1699 -~ 0,1699 = 3, , valor aproximado muito melhor que 1-1,1T~ O, 17 = 3, Será talvez predosismo, mas um excesso de 0, parece bem mais aceitável do que um defeito de 0, , mais de oito vezes superior, estas serão, portanto, duas margens de erro qualitativamente diversas - diversidade tanto mais flagrante quanto maiores se apresentarem os valores absolutos de k e 1-, e sê-io-ão ainda mesmo quando as quantias se exprioúrem em euros, mais valiosos e complacentes (sub specie arithmetica...) do que os escudos actuais Ante a versão originária ((legal), digamos) da expressão que aqui nos trouxe, a aritmética a que o interessado (amanuense ou suplicante) terá que proceder consiste numa sucessão de 2n.. 1 operações (n potenciações e n - 1 adições) por cada tentativa de acerto, a contrastar com as 2 operações necessárias a quem disponha da versão melhorada, ou seja, n - t vezes mais oportunidades de erro, se o "dom de errar" com que ambos são fadados for igualmente (regularmente) distribuído pelo conjunto de tentativas; e o cansaço do primeiro seria, no final, também da ordem das n vezes superior ao do seu semelhante imaginário, pelo que é de presumir que o primeiro deles se deixasse ficar pelos «números redondos»

10 204 d 17% == 0,17, e egundo progredi e até ao 16,99% - 0,1699, no do «e emplo numérico» d 4; e o ca o é que e es «mímeros redondos) podem, preci amente, c incidir c m uma barreira a re peitar ( u a tran por) pelo inter ado m c nseguir o bene6cio (ou evitar o male6cio) de que, no caso, e tratar. 6. Para governo do «e tudantes» (que têm as costa muito largas... ), e recuando, em parte, em relação à «ameaça» feita na nota 2, aqui e deixa regi tada uma retroacção, realmente fillminatzte, obre (somente) a estrutura lógica do final da demon tração em referência, reproduzida quase literalmetlte no impli ando da expressão seguinte (com a só diferença literal da alteração do signos 'j' para 'r' e IS' para 't'), aqui ervindo como lema: n 1 I(l+r) - 1 1=0 n 1 I(l+r) 1=1 (1 + r) r n 1 I(l+r) n _I l-(l+r) -n 1=1 I(1+r) 1=1 r Q. E. D. e)! ~) Em troca do reconhecimento, por parte do leitor, de que a arcunstância de os n termos do 10 membro do implicado da expressão antecedente ocorrerem, exactanlente, pela ordem inversa àquela por que ocorrem no 2 membro, nada tira nem põe à inteireza da demonstração, o autor desiste, expre amente, do último resquício da ameaça feita na nota 2, fornecendo ao leitor um fac simi/e da última página do a1urudo «texto de apoio», que vai Já a seguir ao 8, sob a forma de «apêndice.

11 E, já agora, para que não passe despercebida a importância teórica (em duas sede) das duas formas terminai d expressões do 6, veja-se que ambas con tituem a soluções contlnuas de duas formas de equações de recorr~ncia muito imples, é certo (6), porém da ordem mais elevada: de ordem n, i. e., valendo para qualquer número, n ~ 1 (um inteiro positivo), de "lapsos temporais", aliás "distribuldos" ('distributed lags') ('). 7.2 Por outro lado, já se referiu, quanto à 1 4 forma, algo no dito «texto de apoio» de que provém e, no tocante à 2 4, algo também no 2 deste artigo; conforme é bem visível, ambas estão estreitamente conexionadas, sendo a 2 4 forma algo como a 1 4 dividida por 1 + r e vista do avesso (ou, então, ao espelho) dos lucros e dos custos. 7.3 Quanto à 1 4 forma, ela é utilizada (e dividida por 1 + r) por Piero SRAFFA, nos 75-6, pp 64-6, de Production of commodities by means of commodities (CUP, 1960), na penúltima expressão do 76, para passar à última, em que o autor obtém, dividindo por ela (1 + r)n, a expressão actual do valor de "uma máquina" com uma "vida útil de n anos", sendo 'r' a taxa de lucro e 'Pmo' o preço da máquina: n r(l +r) n (I +r) - 1 (6) Cf, p. exo, R. G. D. ALLEN, Mathematical economics (Londres, Macmillan, 1956), 6.1, p 176, a começar com 'Simple forms of difference equations arise in practice when a cumulative total Y x (x = O, 1, 2,...) is defined from a specific law of accumulation, e. g. when Y x increases by a specified amount at each stage. This is illustrated by the cumulative growth of a sum of money at compound interest', e a terminar, precisamente, com o exemplo da aludida 1" forma. (1) Cf, de novo, R. G. D. ALLEN, Mathematical economics (Londres, Macrnillan, 1956), ad indicem, sub lioce 'Lags, distributed'.

12 206 De ta manelra se antepusermos a e ta 3 d forma o 19nO 'v', para denotar a «expre são actual do valor de uma máquina"», eguido pelo inal '=', obtemos facilmente uma corre pondência de dua equações (8) extremamente revelad ra, v = P //lo n r(l +r) n (I +r) - I r(1 +r) ~ I = k -----;;-n-- (I +r) - I n que exprime imediatamente a conexão entre o valor actual de um activo patrimonial e o seu preço a pronto /'l «anos» ante, da perspectiva da teoria da produção (como consumo produtivo), ou a conexão entre a receita actual (no fim do «ano») de um capital investido n «ano» antes, da perspectiva da teoria da distribuição (ao menos virtual) do produto entre o empresário como tal, a título de II~Cro, e o seu finatlciador (que pode ser ele mesmo, e se tratar de autofinanciamento), a título de juro (excepto se o financiamento for ;/lteiramente gratuito, com k, então, a definir- e como um subsídio a 100 %). Não, certamente, por mero acaso, naquele me mo ano feraz, outro importante autor italiano, Pierangelo GAREGNANI, no seu n capitale nelle teorie della distribuzione (Milão, Giuffrê, 1960), I.V.1 (especialmente a pp 62-3, expre são XI e notas 4 e 5) e II.II.! (em nota 6 à P 93), usou aquela mesma 3 d forma ao analisar criticamente a teoria da produção e a teoria da distrib/~ição de Léon Walras, a que já se aludiu no 3.1 (cf a nota 3). ~) A forma assumida a seguir pelo equivalente ao redproco de k/l que constitui o factor de k no 2 0 membro da 2' equação que segue não será, talvez, óbvia, mas obtém-se, simplicissimamente, multiplicando por (1 + r)" o numerador e o denominador do 3 0 membro da cadeja de equações com que abre o 3 ou, obviamente, do seu recíproco, após a operação de que resulta a expressão do valor de I em fu~jção de r, para dados k e n.

13 Por fim, como igualmente observou Piero SRAFFA, esta ja forma (como qualquer das duas formas terminais do 6) poderá encontrar-se "em qualquer manual de aritmética comercial" (p 63; "de cálculo mercantil", na versão italiana, do mesmo ano, Produz ione di merci a mezzo di merci, Milão, Einaudi, p 82: ambas versões literais); e assim sucede, na verdade, com aquelas três formas, desde os antigos aos modernos n. Mas sem racionalização. 8. Lá se me foi um par de dias, de diversão de uma outra tarefa, muito mais importante, em que estou empenhado. O fruto é pobre, certamente, tal como o próprio pilriteiro. Mas o sabor, agridoce talvez, foi, para mim, o gosto inesperado de uma iguaria tão casual e rara como benvinda CO). (1) D esde, p. exo, A. B ARRIOL, Th éorie et pratique des opératiom jhlancieres, 4' ed. (Paris, Doin & Cie., 1931) a, p. exo, J. D. VIEIR.A SOBRINHO, Matemática financeira, 3' ed. (S. Paulo, Atlas, 1990). C~ E por aqui me ficaria (com a mera remissão em branco para as virtualidades do cálculo automático, precisamente nesta nota final), não fora o dom que tenho de (repetid(/mellte~ estimular autores estimulal1tes a descer à cidade, para nosso gosto e nosso bom proveito. E assim fica suprido ou superado, da melhor forma, o maior dos defeitos destas Observações, do qual eu tinha aguda consciência: a falta de uma visita guiada ao interior dos 'idiots-savants' maravilhosos que são os instrumentos de cálculo automático da mais recente geração, para além da minha competência, tendo por guia um matemático profissional com a rara destreza e o invulgar dom da didáctica como este que possui E. MARQUES DE SÁ, cuja Carta ao autor vai ser compartilhada pelos poucos leitores que chegaram aqui.

14 208 Ap~NDICE (lia sequênda da nota 5) 9. Apêndi e, em addendum ao re ultado global de uma colocaçã de C a juros c mpo to de taxa j, durante n períodos, pode exprimir- e por meio da orna de e montante inicial, C, e das quantia Quro) que lhe irã acre cendo em cada período, de 1 a n, corre pondentes ao n produtos de j pelo apital acumulado no fim do perí do anterior (cf 3.2); as im, teremos C (1 + j)n = C + ~ + J (1 + j) + Cj (1 + j)2 + Cj (1 + j) Cj (1 + j)n-l ou, ab traindo do valor de C (i. e., para a unidade de capital: dividindo por C ambos o membro da equação antecedente), (1 + j)n = 1 + j + J (1 + j) + j (1 + j)2 + j (1 + j) j (1 + j)n-l; multiplicando agora ambos os membros de ta equação por 1 + j, obtemo (1 + j)n+ 1 = 1 + J + j (1 + j) + j (1 + j)2 + j (1 + j)3 + + J (1 + j) j (1 + j)n,

15 209 ou seja (usando a notação compacta para o somatório, 'L', da n + 1 potência inteiras de base 1 + j e expoente s, de O a n), n (1 + j)n+1 = 1 + j I,(1+j)8 => 8=0 (l+j) n+l_ 1 = --- J (9.1) fórmula que representa o resultado cumulativo de urna série de colocações de (uma unidade de) capital a juros compostos de taxa j em cada um dos n + 1 períodos (de O a n). 9.2 Pode, contudo, preferir-se obter o resultado ("líquido") dos juros acumulados nos n períodos (de 1 a n) que se sucedem ao período O (que antecede uma colocação), i. e., com exclusão da unidade de capital inicial; nesse caso, basta diminuir de uma unidade ambos os membros da equação (9.1), com o seguinte resultado(*) : n. 5 (l+j) n+l - 1 I(1+J) -1 = --=-~---- 5=0 j (l+j) n+l - (l+j) -1 = ~ j ~(l+ j)5-1 = ~(l+ j)5 = (1 + j) (l+j) n - 1 (9.2) s=0 s=1 (") É esta a fórmula que, habitualmente, consta dos manuais da especialidade; cf, p. exo, A. BARRIOL, Théorie et pratique des opérations financieres, 4' ed., Paris, Doin & Cie., 1931, 98, P 149.

16 Para tomar em c nta o m ntante efe tivo ( ) das suce sivas coiocaçõe de c pitai a render juro compo tos de taxa j há que, obviamente, multiplicar p r ambos o membr da equação corre p ndente para a unidade de capital, (9.1) ou (9.2). An{bal Almeida Faculdade de Direito de Coimbra

17 211 [Carta ao autor] 3 de Outubro de 1997 [...] Agradeço muito ter-me enviado as suas Observações sobre «medidas». Deu-me muito prazer lê-las, especialmente no que toca à parte matemática, claro, e aos "barbarismos e eufemismos", comunitários e outros, que vão assolando também as ciências, especialmente as ocultas, as eufefiísticas e ifení ticas do "eduquês"... Li com bastante interesse o naco matemático da questão, que achei correcto no essencial. As únicas objecções são meros pruridos de um profissional, coisas pontuais sem muita substância, do tipo: na página 1, o verbo racionalizar não está aplicado no sentido técnico preciso, dado que ambos os membros da identidade n I,C1+r) 1=1 _I r -1 [1 - (1 + rr"] são expressões racionais. A razão que me levou a escrever -lhe, em formato de artigo e tudo, não é queixar-me desses pormenores de superfície, mas uma subreptícia tentativa de lhe "vender" umas tantas equações e teorias que julgo lhe interessarão. [... ] A coisa refere-se à parte numérica do parágrafo 4. Estou inteiramente de acordo com que o tiro ao alvo é a única forma de resolver, em ordem a r, a equação 1 - (l + r) - n r Q (1)

18 212 (Q denota o qu ciente capital/produto), para valore elevado de ti 1. Há, no entant, liofilizados matem' ti o para computad re que no dã, num abrir e fe har de lhos, soluçõ /wméricas de equaçõe ou i tema de quaçõe, algébrica u trans endente. P r ex mplo, a soluçã do exemplo numéri d parágrafo 4 é, com 35 decimai exactos, Para chegar a re ultado como este, as entranhas da máquina adoptam curiosos métodos "balísticos", procedendo a afinações da pontaria, tiro a tiro, com base na margem de suces o do anterior. Chamamos-lhes, por cá, métodos iterativos. Um dos mai eficazes é o de Newton, que traduz analiticamente uma ideia muito simples, que passo a expor. Pretende-se resolver a equação f (r) = O, (2) onde f (r) é uma 'boa' função, regular q. b., duas vezes derivável, digamo. Partimos de uma solução aproximada, r, obtida não interessa como: por prévia iteração, por olfacto, ao calha. Com alguma sorte, o r' que se obtém, como a figura ilustra, I Mals precisamente, para n > 4. As fórmulas de Tartaglia-Cardano dão-nos, como sabe, urna rebarbativa muleta para n = 3 ou 4.

19 213 p f(r) o f(r) tge=~- r- r' intersectando o eixo dos erres e a tangente (1) ao gráfico de f no ponto P (de coordenadas r, f (r)), constitui (previsionalmente?) uma aproximação da (de uma) solução exacta da equação (2) melhor do que o tiro inicial, r. Analiticamente, a coisa é assim: o coeficiente angular da recta T é, por definição, o quociente f (r)/ (r - r'); mas é, também, a derivada de f em r, por um teorema importante do cálculo diferencial. Resulta a identidade, r = r- f(r) I'(r), (3) que permite o cálculo efectivo de r', o tiro corrigido. Pode agora proceder-se a uma segunda correcção, colocando, em

20 214 (3), o r' já alculad no lugar de r, deternunando-se, asim, o terceiro tir : ", r = r - f(r') f' (r'). Etc etc. No ca o da feitas, ao eguinte: suas Observações chega- e, conta r(1 + r)[(l - Q r)(1 + r)n - 1] r' = r n r + n r - ( 1 + r) No exemplo numérico com n = 5 e Q = 3.2, iniciando- e a iteração com 0.17, a aplicação do método produz a eguinte rajada: 0.17 erro '" 10-4 " erro'" 10-7," erro'" 10-16,'" erro'" Fui precioso na precisão por uma razão apenas: note que o número de decimais exactos duplica (ou quase) de tiro para tiro. É o que, na gíria das minhas bandas, caracteriza os métodos de ordem quadrática: o erro de que r' vem afectado anda à volta do quadrado do erro de r. [... ] [E. MARQUES DE SÁ Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia de Coimbra]

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