A BNCC E OUTROS DOCUMENTOS CURRICULARES: REFLEXÕES E PROPOSTAS DE ENSINO DE COMBINATÓRIA E DE PROBABILIDADE NA EDUCAÇÃO BÁSICA

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1 A BNCC E OUTROS DOCUMENTOS CURRICULARES: REFLEXÕES E PROPOSTAS DE ENSINO DE COMBINATÓRIA E DE PROBABILIDADE NA EDUCAÇÃO BÁSICA Resumo Rute Elizabete de Souza Rosa Borba 1 No texto são apresentadas reflexões referentes ao que indicam documentos curriculares a respeito da Combinatória e da Probabilidade na Educação Básica em seus distintos níveis e modalidades. Contrapõe-se o que é recomendado nos documentos com resultados de pesquisas em Educação Matemática sobre o ensino e a aprendizagem de situações combinatórias e probabilísticas. Convergências e divergências entre os documentos e desses com resultados de pesquisas são discutidas no que diz respeito a recursos a serem utilizados, às relações e propriedades a serem tratadas, ao período de inicialização do trabalho com os conceitos combinatórios e probabilísticos e da formalização, bem como da articulação, desses conceitos. Defende-se que os pontos levantados tanto os convergentes, quanto os divergentes sejam considerados em práticas de ensino e que se trabalhe os raciocínios combinatório e probabilístico dos estudantes de acordo com seus potenciais de desenvolvimento ao longo de toda a Educação Básica. Palavras-chave: Base Nacional Comum Curricular; Documentos curriculares; Combinatória; Probabilidade; Educação Básica. 1. Introdução Nesse texto apresento as ideias principais por mim discutidas na Mesa-Redonda BNCC e as práticas escolares, ocorrida no XIII ENEM. O objetivo central da minha apresentação foi o de discutir convergências e divergências entre documentos curriculares diversos, em particular da BNCC (BRASIL, 2017), e desses com resultados de pesquisas referentes ao ensino e à aprendizagem da Combinatória e da Probabilidade na Educação Básica. Deseja-se, assim, pensar sobre como documentos curriculares prescrevem o ensino de conteúdos matemáticos específicos, o quanto trazem concordâncias entre si e se refletem, ou não, resultados de pesquisas referentes a conceitos contidos em determinadas áreas da Matemática. 1 Universidade Federal de Pernambuco Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica Edumatec; Grupo de Estudos em Raciocínios Combinatório e Probabilístico Geração; resrborba@gmail.com

2 O texto está dividido em seções nas quais se debatem níveis e modalidades diferenciadas de ensino: a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio tanto no Ensino Regular, quanto na Educação de Jovens e Adultos e, também, na perspectiva de Educação Inclusiva. Como base de discussão foram escolhidos conceitos combinatórios e probabilísticos, primordialmente nas visões defendidas por Borba (2010) a qual defende o trabalho ao longo de toda a escolarização básica com variados tipos de problemas combinatórios e suas propriedades e por Bryant e Nunes (2012) os quais apontam exigências cognitivas necessárias à ampla compreensão da probabilidade. 2. Educação Infantil Há um amplo debate referente ao ensino de conteúdos específicos na Educação Infantil (EI). Enquanto alguns defendem que esse é um período apenas para recreação e socialização, outros defendem que conceitos diversos, dentre os quais os matemáticos, podem ser vivenciados a partir de atividades lúdicas e apropriadas para crianças bem novas. As Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Infantil, DCNEI, (BRASIL, 2010) defendem que creches e/ou pré-escolas podem abordar conteúdos específicos, trazendo a noção e/ou significância social, em que não há preocupação de sistematização, mas, sim, a de um aprendizado gradual e estruturado como base para o aprofundamento nos anos escolares seguintes. Na mesma direção, a BNCC (BRASIL, 2017) trata diretamente da elaboração de um currículo e suas recomendações sobre o trabalho que deve ser desenvolvido na Educação Infantil. Nesse documento recomenda-se a ação sobre objetos e o registro de manipulações e chama-se a atenção para experiências nas quais as crianças possam falar, descrever, narrar, explicar e fazer relações preceitos fundamentais para construir e ampliar conhecimentos. Pesquisas sobre o raciocínio combinatório na Educação Infantil, tais como a desenvolvida por Pessoa e Borba (2012), também convergem para a mesma direção, ao observarem noções intuitivas que crianças novas possuem de relações combinatórias e que podem ser trabalhadas em sala de aula. Essas autoras realizaram um estudo de sondagem junto a crianças de 5 anos de idade resolvendo, com o auxílio de fichas, quatro problemas combinatórios, um de cada tipo (como descritos e analisados por Borba (2010): arranjo, combinação, permutação e produto de medidas). Observou-se que, em

3 geral, as crianças entendiam a relação de escolha envolvida, embora ainda não plenamente compreendessem a relação de ordem e também poucas vezes tenham sido capazes de encontrar todas as possibilidades de combinação solicitadas. Silva (2019) encontrou resultados semelhantes ao estudar o uso de material manipulativo e a produção de desenhos no desenvolvimento do raciocínio combinatório na Educação Infantil. Na Figura 1 têm-se exemplos de produção de uma mesma criança antes (à esquerda) e após (à direita) atividades nas quais foi questionada sobre relações combinatórias, ou seja, quantos elementos deveria escolher, se a ordem de escolha dos elementos gerava, ou não, possibilidades distintas e se havia encontrado todas as maneiras possíveis de combinar elementos. Na produção anterior ao ensino houve muitas repetições de possibilidades e na produção posterior não houve repetições, a ordenação foi levada em consideração e a criança apenas deixou de indicar uma das seis possibilidades de ter o primeiro e segundo lugar em uma corrida com três animais. Figura 1: Solução por criança da Educação Infantil de problemas de arranjo antes (1º e 2º lugar em uma corrida com três carros) e após atividade de ensino (1º e 2º lugar em uma corrida com três animais Fonte: Silva (2019) Corroborando com os documentos prescritivos DCNEI (BRASIL, 2010) e BNCC (BRASIL, 2017), que defendem a possibilidade de um trabalho na Educação Infantil com noções básicas de conceitos matemáticos para futuras ampliações de conhecimentos, as pesquisas citadas atestam ser possível iniciar desde cedo o estudo da Combinatória. Este trabalho inicial poderá, inclusive, favorecer o desenvolvimento desse raciocínio nos anos posteriores de escolarização. Como o trabalho com a Combinatória está atrelado à construção de espaços amostrais, há também uma possibilidade de contatos iniciais com a Probabilidade, a qual ganha mais destaques nas etapas seguintes da Educação Básica.

4 3. Ensino Fundamental Nesse nível de ensino, o trabalho com a Probabilidade é amplamente defendido na BNCC (BRASIL, 2017). Desde o 1º ano do Ensino Fundamental, e ao longo dos anos iniciais e finais desse nível de ensino, recomenda-se tratar isoladamente, em diferentes anos escolares, alguns conceitos probabilísticos: a noção do acaso, a análise da ideia de aleatório em situações do cotidiano, o levantamento do espaço amostral, a análise de chances de eventos aleatórios e o cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis. Entretanto, conceitos da Combinatória, são apenas mencionados a partir do 3º ano do Ensino Fundamental, quando se recomenda resolver problemas de contagem com o suporte de imagem e/ou material manipulável e o único tipo de problema abordado é o de produto de medidas. Indica-se tratar esse tipo de problema por meio de estratégias e formas de registro pessoais. Com base em resultados de pesquisa (como os aqui já apresentados), questiono: Por que situações combinatórias não são tratadas desde o 1º ano (como são tratadas situações probabilísticas e estatísticas)? Por que essas situações são tratadas apenas a partir do 4º ano e exclusivamente com um tipo de problema (produto de medidas) quando resultados de pesquisa indicam a possibilidade de trabalho anterior com variados tipos de problemas combinatórios? Por que as noções e os conceitos probabilísticos (tais como os relacionados ao entendimento da aleatoriedade, o levantamento de espaços amostrais, a comparação e a quantificação de probabilidades como indicado por Bryant e Nunes (21012)) são tratados de modo isolado nos distintos anos escolares? Por que não se associa claramente noções e conceitos combinatórios e probabilísticos? Esses questionamentos atestam que há divergências entre o prescrito na BNCC (BRASIL, 2017) e o que indicam resultados de pesquisas realizadas com estudantes em início de escolarização. As prescrições curriculares, dessa forma, subestimam habilidades já possuídas ou em construção pelos estudantes e, em geral, tratam conceitos de modo isolado (e não articulado). Há convergência, entretanto, entre esse documento curricular e resultados de pesquisas as quais recomendam o uso de material manipulável na resolução de problemas

5 combinatórios tal como indicado na investigação de Gadelha e Borba (2019). Na referida pesquisa, além de material manipulável concreto (fichas representativas dos elementos do problema), foi proposto o uso de material manipulável virtual (representação e resolução dos problemas por meio do software Pixton, como indicado na Figura 2). Figura 2: Representação, no Pixton, de um estudante de 5º ano do Ensino Fundamental de um problema de permutação (de três brinquedos em uma estante) Fonte: Gadelha e Borba (2019) Gadelha e Borba (2019) observaram como o material manipulável tanto concreto quanto virtual é um rico instrumento na representação e resolução de problemas combinatórios. A partir dos resultados obtidos, as autoras reforçaram a possibilidade do trabalho com a Combinatória desde os anos iniciais de escolarização. Outros estudos também têm apontado diferentes formas de registro úteis na compreensão de situações combinatórias tais como listagens e árvores de possibilidades, como indicam Borba, Bittar, Montenegro e Silva (2017) e Montenegro e Borba (2018), as quais ressaltam o papel de representações simbólicas intermediárias auxiliares. Na Figura 3 se pode observar a produção de um estudante de 5º ano do Ensino Fundamental, o qual se utiliza da árvore de possibilidades como auxiliar para a solução de um problema combinatório e essa representação funciona como intermediária entre a linguagem natural do enunciado e o uso do Princípio Fundamental da Contagem (expresso, nesse caso, por 5 x 4 x 3). Quanto ao ensino de probabilidade, há certo descompasso do proposto na BNCC (BRASIL, 2017) e resultados de pesquisa que defendem, desde os anos iniciais, um trabalho articulado com demandas cognitivas necessárias à compreensão desse conceito tal como indica o estudo de Silva (2016), no qual se verificou, a partir do uso de jogos,

6 a possibilidade de iniciar discussões, com crianças novas, sobre aleatoriedade, levantamento de possibilidades (espaço amostral) e comparação de probabilidades. Figura 3: Problema de arranjo respondido corretamente por estudante do 5º ano pelo Princípio Fundamental da Contagem Fonte: Montenegro e Borba (2018) Além desses resultados obtidos junto a estudantes, Santana (2018) observou atividades nos livros didáticos que possibilitam esse trabalho integrado desde os anos iniciais do Ensino Fundamental e Lima e Borba (2019) têm apontado que há indicação, em variados documentos curriculares (PCN, BRASIL, 1998; PCPE, PERNAMBUCO, 2012a; BNCC, BRASIL, 2017) de algumas possíveis articulações entre Combinatória e Probabilidade nos anos finais desse nível de ensino. 4. Ensino Médio Embora tradicionalmente o ensino da Combinatória (também conhecida como Análise Combinatória) seja foco no 2º ano do Ensino Médio, a BNCC (BRASIL, 2017) orienta que o trabalho com esse conteúdo seja distribuído ao longo dos três anos desse nível de ensino um aspecto que considero bem positivo nessa proposta curricular. Essa distribuição ora aparece no eixo Estatística e Probabilidade, ora no eixo de Números e Operações. Tenho defendido, junto com outros pesquisadores, que embora as situações combinatórias exijam multiplicações e divisões em suas resoluções (portanto, possuem relação com as operações numéricas), há mais estreita relação com situações probabilísticas e, dessa forma, concordo quando Combinatória e Probabilidade se localizam no mesmo eixo curricular. Há, nesse documento, orientação no sentido de resolver e elaborar problemas de Combinatória, envolvendo estratégias básicas de contagem (BRASIL, 2017, p.146), mas considero que é preciso que fiquem mais claros diferentes aspectos a serem levados em

7 conta em momentos de maior formalização dos conceitos combinatórios no Ensino Médio. Nessa direção, Rocha (2019) aponta, dentre outros, a necessidade de maior valorização de diferentes formas de registro (dos menos aos mais formais), o incentivo à argumentação na definição de tipos de problemas e suas resoluções, o estímulo à autonomia dos estudantes e a formalização como etapa subsequente à exploração de variadas situações combinatórias. O mesmo se aplica a situações probabilísticas. 5. Educação de Jovens e Adultos (EJA) Martins (2018) analisou currículos prescritos para a EJA, verificando se especificidades dessa modalidade de ensino são levados em consideração. Os documentos examinados foram prescrições curriculares em âmbito federal (Proposta Curricular para a EJA 1º segmento (BRASIL, 2001)), estadual (Parâmetros para a Educação Básica do Estado de Pernambuco - EJA (PERNAMBUCO, 2012b)) e municipal (Base Curricular da Rede Municipal de Olinda (OLINDA, 2010)). À luz da proposta de instâncias curriculares (SACRISTÁN, 2000) e da Teoria dos Campos Conceituais (VERGNAUD, 1986), observou-se o prescrito (e também outras fases do currículo) quanto a significados, a invariantes e a representações simbólicas de situações combinatórias. Verificou-se que o documento federal faz menção a apenas um tipo de problema combinatório (produto de medidas); que na esfera estadual recomenda-se o trabalho com situações combinatórias, sem a preocupação com a formalização dos conceitos; e a base curricular municipal examinada é a que melhor discute a Combinatória para o 1º segmento da EJA. O documento municipal menciona o trabalho com situações-problema de raciocínio combinatório, ressaltando o levantamento de possibilidades de acordo com o tipo de escolha a ser efetuada o que vai ao encontro do que pesquisas na área têm defendido, em particular sobre o tratamento de situações combinatórias no início da escolarização, seja com crianças, seja com jovens e adultos. Lima (2018) investigou relações entre o raciocínio combinatório e o probabilístico na EJA e defendeu que articulações da Combinatória com a Probabilidade possibilitam avanços, de estudantes dessa modalidade de ensino, nessas duas áreas da Matemática. Um dos exemplos trazidos por essa pesquisadora pode ser observado na Figura 4. Nesse exemplo o estudante havia inicialmente indicado oralmente quatro possibilidades (quando o total de possibilidades de permutação de três elementos é seis).

8 Ao ser solicitado a levantar o espaço amostral (uma exigência cognitiva da probabilidade), o estudante conseguiu, a partir do uso de listagem, indicar mais possibilidades, obtendo o total correto. Figura 4: Construção de espaço amostral de um problema de permutação (leitura de livros azul, roxo e verde) por um estudante do Módulo III da EJA (Ensino Médio) Fonte: Lima (2018) Essa constatação da importância da articulação da Combinatória com a Probabilidade precisa, assim, estar explicitamente reforçada nos documentos curriculares de todos os níveis e modalidades de ensino, em particular da EJA. 6. Educação Inclusiva A BNCC (BRASIL, 2017) defende que a escola seja vista como um espaço democrático de aprendizagem, sem discriminações ou preconceitos, mas com respeito às diferenças e diversidades. No documento é afirmado compromisso com os estudantes com deficiência e são defendidas práticas pedagógicas inclusivas e de diferenciação curricular. Há ampla concordância no que diz respeito à diversidade, mas instituições e entidades engajadas por uma escola inclusiva e democrática repudiam a utilização deste conceito de diferenciação. Na verdade, o que se busca é a implementação de adaptações e adequações curriculares, quando necessárias e não currículos diferentes (recortados e empobrecidos) para os que possuem necessidades educacionais específicas. A esses deve ser garantido o acesso ao currículo comum, porém a partir de estratégias que atendam às suas especificidades, e não de um currículo diferenciado que abra margem a atividades facilitadas, infantilizadas, segregadas e outras formas de didáticas excludentes. Esse documento curricular parece suprimir temas subsidiários ao trabalho da escola, somente focando no Atendimento Educacional Especializado (AEE). Também persiste a concepção de que as adaptações curriculares se centram na ação docente, responsabilizando o professor pelo sucesso ou fracasso dos estudantes e inviabilizando o

9 princípio de um sistema educacional inclusivo. Na realidade, a responsabilidade desse processo deve ser compartilhada pelos diferentes atores sociais (dentro e fora da escola) e deve estar representada no Projeto Político Pedagógico das escolas, nas políticas públicas, nas ações e nos programas dos órgãos centrais da educação. Dessa forma, devese conceber inclusão escolar de modo muito mais amplo do que simplesmente inserir esse público no ensino regular. Implica em repensar a escola de forma que assegure a todos o direito à aprendizagem. Assim, os desafios da educação inclusiva não são completamente contemplados na Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2017). Torna-se, desse modo, muito importante sua discussão e inserção na construção dos currículos escolares, bem como nos programas de formação inicial e continuada de professores e resultados de pesquisa podem trazer importantes questões a esse debate. Nessa direção, Braz, Braz e Borba (2014) trouxeram uma proposta, incluindo cegos e videntes, para o trabalho de resolução de problemas combinatórios utilizando visão, tato e olfato. Na Figura 5 pode-se observar uma das situações trabalhadas junto a uma criança cega testadas inicialmente com essa criança para posteriormente investigar como se podem dar interações entre estudantes cegas e videntes usando materiais como os propostos. Nesse caso, tem-se o uso de frutas para resolução de um problema de combinação, no qual o tato e o olfato foram auxiliares para a criança cega diferenciar as frutas em questão. A partir das interações com as pesquisadoras e com o material à sua disposição, a criança conseguiu levantar possibilidades corretas para as situações combinatórias tratadas. Figura 5: Criança cega resolvendo um problema de combinação (escolha de duas dentre três frutas) por intermédio do tato e do olfato Fonte: Braz, Braz e Borba (2014) De modo semelhante, Santos e Borba (2019) testaram atividades de Probabilidade junto a um estudante cego, mas, também visando posteriores investigações com cegos e

10 videntes. A proposta envolvia mini bolas de basquete e de futebol facilmente distinguíveis pelo tato. A partir dos quatro recipientes representados na Figura 6, a pesquisadora questionou o estudante quais bolas seriam mais prováveis de serem retiradas de cada recipiente e solicitava sua justificativa em cada caso. O material mostrou-se favorável à discussão da aleatoriedade, do espaço amostral e, também, da comparação de probabilidades. Figura 6: Material proposto a estudante cego para comparação de probabilidades por meio do tato Fonte: Santos e Borba (2019) Os materiais propostos nas investigações aqui relatadas têm se mostrado adequados para o trabalho com estudantes com necessidades educacionais específicas. Esses materiais foram pensados em perspectiva inclusiva nos quais diferentes sentidos são utilizados visão (por parte de videntes) e tato e olfato (por esses e pelos estudantes com deficiência visual) para favorecer o trabalho com a Combinatória e com a Probabilidade. 7. Considerações Na minha fala na Mesa-Redonda e no texto aqui produzido objetivou-se verificar convergências e divergências entre documentos curriculares e resultados de pesquisas no que diz respeito ao ensino e à aprendizagem da Combinatória e da Probabilidade na Educação Básica. Acredito que tanto currículos prescritos, quanto resultados de investigações acadêmicas podem ter influência em práticas de sala de aula e, assim, conhecer o que apontam os documentos oficiais e as pesquisas é muito importante. Pontos em comum entre documentos curriculares e pesquisas foram observados como a recomendação do uso inicial de materiais manipuláveis para posterior uso de fórmulas. Entretanto, muito pouco se tem discutido nos documentos curriculares, como

11 pesquisas da área têm indicado, quanto ao uso de representações simbólicas intermediárias (tais como árvores de possibilidades) que auxiliem na conversão de situações expressas em linguagem natural para representações formais (tais como expressões do Princípio Fundamental da Contagem e fórmulas). Outra divergência entre resultados obtidos em pesquisas e documentos curriculares diz respeito ao ensino de Combinatória nos diferentes níveis de ensino. Apesar de resultados de pesquisa indicarem a possibilidade de início do trabalho com situações combinatórias ser mais cedo, na BNCC (BRASIL, 2017) há indicação desse trabalho posteriormente. Também nesse documento são tratados poucos tipos de problemas tanto combinatórios, quanto probabilísticos e são propostos de modo não articulado, o que contraria resultados de pesquisas que apontam articulações dentro da Combinatória e da Probabilidade e dessas áreas entre si. A falta de proposta de trabalhos articulados pode deixar de promover amplas discussões em sala de aula sobre situações combinatórias e probabilísticas e, assim, limitar o desenvolvimento dos raciocínios dos estudantes dos variados níveis e modalidades de ensino. Como a própria BNCC (BRASIL, 2017) indica, propostas curriculares não devem restringir o trabalho em sala de aula, mas podem ser ampliadas as recomendações nelas contidas, a partir do que se observar referente ao conhecimento já possuído pelos estudantes ou suas capacidades de construção de novos conhecimentos. Desse modo, para efetivas práticas, é necessário conhecer o que indicam os documentos curriculares, mas ampliar as prescrições de acordo com o que os estudantes são capazes de alcançar. 8. Agradecimentos Agradeço aos membros do Grupo de Estudos em Raciocínios Combinatório e Probabilístico do Centro de Educação Geração da Universidade Federal de Pernambuco pela parceria no desenvolvimento de diversas pesquisas, algumas das quais aqui mencionadas. Maiores detalhes podem ser observados em: 9. Referências BORBA, R. O raciocínio combinatório na Educação Básica. In: Encontro Nacional de Educação Matemática X ENEM. Anais... Salvador, 2010.

12 BORBA, R.; BITTAR, M.; MONTENEGRO, J.; SILVA, D. C. How combinatorial situations are represented in brazilian primary and middle school textbooks. In: International Conference on Mathematics Textbooks Research and Development II ICMT. Anais... Rio de Janeiro, BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 3º e 4º ciclos. Brasília: MEC / Secretaria de Ensino Fundamental, BRASIL. Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos: Primeiro Segmento do Ensino Fundamental: 1ª a 4ª série. Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização e Diversidade. Brasília: MEC BRASIL. Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Infantil. Brasília: MEC, BRASIL. Base Nacional Comum Curricular BNCC. Ministério da Educação. Brasília: MEC, BRAZ, F.; BRAZ, A.; BORBA, R. Educação Inclusiva de alunos com deficiência visual: desenvolvimento de materiais manipulativos para o ensino de Combinatória. In: Cadernos de trabalho de conclusão do curso de graduação em Pedagogia da UFPE. Recife, BRYANT, P.; NUNES, T. Children s understanding of probability: a literature review. Nuffield Foundation. 2012, 86p. Disponível em: < ORTv_FINAL.pdf>. Acessado em 27/08/2019. GADELHA, D.; BORBA, R. Resolução de problemas combinatórios nos anos iniciais: uso do software Pixton e de material manipulativo. Anais III Congreso Internacional Virtual de Educación Estadística CIVEEST, LIMA, E. Raciocínios combinatório e probabilístico na EJA: investigando relações f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica) Universidade Federal de Pernambuco, Recife, LIMA, E.; BORBA, R. A articulação entre Combinatória e Probabilidade nos Anos Finais do Ensino Fundamental: um olhar para o currículo prescrito no Brasil. In: Congreso International Virtual de Educación Estadística III CIVEEST. Anais... Granada, MARTINS, G. A Combinatória nos currículos prescritos para o ensino fundamental da Educação de Jovens e Adultos. In: Encontro de Pesquisa Educacional em Pernambuco 7º epepe. Anais... Recife, 2018.

13 MONTENEGRO, J.; BORBA, R. Representações auxiliares de transição e a aprendizagem de situações combinatórias por alunos de 5º ano do Ensino Fundamental. In: Encontro de Pesquisa Educacional em Pernambuco 7º epepe. Anais... Recife, OLINDA. Base Curricular da Rede Municipal de ensino, PERNAMBUCO. Parâmetros para a Educação Básica do Estado de Pernambuco Parâmetros Curriculares de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio. 2012a. PERNAMBUCO. Parâmetros Curriculares de Matemática Educação de Jovens e Adultos. 2012b. PESSOA, C.; BORBA, R. Do young children notice what combinatorial situations require? In: Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education 36th PME. Taiwan, ROCHA, C. Estudo de Combinatória no Ensino Médio à luz do Enfoque Ontossemiótico: o que e por que priorizar no livro didático e nas aulas f. Tese (Doutorado em Educação Matemática e Tecnológica) Universidade Federal de Pernambuco, Recife, SACRISTÁN, J. G. O currículo: uma reflexão sobre a prática. Porto Alegre: Artmed, SANTANA, M. R. Probabilidade em livros didáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental: análise e produção. In: Encontro de Pesquisa Educacional em Pernambuco 7º epepe. Anais... Recife, SANTOS, J.; BORBA, R. Relações entre ferramentas materiais e mediação na construção de conhecimento probabilístico de um estudante cego. In: Congreso International Virtual de Educación Estadística III CIVEEST. Anais... Granada, SILVA, R. de C. É a moeda que diz, não é a gente que quer não: conhecimentos probabilísticos de crianças em situações de jogos f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica) Universidade Federal de Pernambuco, Recife, SILVA, A. O uso de material manipulativo e a produção de desenhos no desenvolvimento do raciocínio combinatório na Educação Infantil f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica) Universidade Federal de Pernambuco, Recife, VERGNAUD, Gérard. Psicologia do desenvolvimento cognitivo e didática das matemáticas. Um exemplo: as estruturas aditivas. Análise Psicológica, v. 1, p.75-90, 1986.

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