Investigações Matemáticas na Sala de Aula: Um Projecto Colaborativo 1

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1 Investigações Matemáticas na Sala de Aula: Um Projecto Colaborativo 1 Hélia Oliveira Irene Segurado João Pedro da Ponte Maria Helena Cunha Este artigo apresenta o trabalho levado a cabo por um grupo colaborativo envolvendo professores de Matemática e investigadores com o objectivo de (i) desenvolver tarefas susceptíveis de desafiar os alunos a fazerem investigações matemáticas e (ii) estudar os problemas que a realização desse tipo de aulas coloca aos professores. Dá-se uma perspectiva geral do trabalho realizado e apresenta-se uma tarefa relativa ao conceito de potência. Descreve-se como essa tarefa foi usada na sala de aula (com alunos do 5º e do 7º anos de escolaridade), e apresenta-se a experiência obtida a partir do trabalho do professor ao organizar, conduzir e reflectir sobre este tipo de actividade. Por quê investigações matemáticas na sala de aula? A sociedade moderna requer que todos os alunos desenvolvam uma boa fluência matemática. É especialmente importante ser capaz de interpretar a informação veiculada em linguagem matemática (numérica e gráfica) e pensar matematicamente (procurando regularidades e relações e fazendo raciocínios matemáticos). Contudo, a Matemática é de um modo geral considerada como um assunto extremamente difícil. Os alunos vêem-na frequentemente como envolvendo apenas cálculos e o encontrar das respostas correctas, tendendo a assumir uma perspectiva dualista em que as coisas ou são certas ou são erradas. Em muitos países, incluindo Portugal, as aprendizagens dos alunos e as suas atitudes e perspectivas sobre a Matemática são consideradas altamente insatisfatórias qualquer que seja o critério considerado (Neves e Serrazina, 1992; Ponte, 1994; Ramalho, 1994).

2 Na base destas dificuldades está o papel de filtro social desempenhado pelo ensino da Matemática e que conduz a uma ênfase no domínio de conceitos e procedimentos básicos. Em geral, o ensino da Matemática presta pouca atenção aos aspectos mais avançados da actividade matemática tais como a formulação e resolução de problemas, a formulação e teste de conjecturas, a realização de investigações e de demonstrações matemáticas, e a argumentação e crítica dos resultados obtidos. Embora estes temas sejam fundamentais e actuais na Educação Matemática e estejam expressos em muitos documentos curriculares por todo o mundo (APM, 1988; Cockcroft, 1982; NCR, 1989; NCTM, 1989), eles têm ainda reduzida expressão na prática da sala de aula, no nosso como em muitos outros países (Lerman, 1989; Silver, 1993). As investigações matemáticas, baseadas em problemas abertos, são importantes do ponto de vista educacional (Ernest, 1991; Mason, 1991). De facto, na nossa perspectiva, elas: são indispensáveis para fornecer uma visão completa da Matemática, uma vez que são uma parte essencial da actividade matemática; estimulam o tipo de participação do aluno necessária para que ocorra aprendizagem significativa; fornecem pontos de entrada múltiplos para alunos com diferentes níveis de competência; estimulam um modo holístico de pensamento, relacionando muitos tópicos, condição essencial para o raciocínio matemático significativo. Um projecto colaborativo O sentimento comum que deve ser dedicada mais atenção a compreender o que está envolvido na realização de investigações matemáticas na sala de aula juntou um pequeno grupo de professores e investigadores 2. Decidimo-nos criar um projecto para experimentar como decorrem as aulas onde se propõem tarefas que envolvem os alunos a explorar e investigar em torno das ideias, conceitos e processos matemáticos. O nosso alvo é envolver os alunos na formulação de conjecturas e em discussão e argumentação matemática, aspectos que consideramos essenciais na sua experiência matemática. O nosso trabalho inclui a produção, a experimentação, e a avaliação de tais tarefas e o estudo das competências profissionais necessárias ao seu uso na aula de Matemática. Este projecto pretende promover o conhecimento sobre situações de aprendizagem inovadoras em salas de aula de Matemática. Possui dois aspectos destacados: o desenvolvimento do currículo (recolhendo informação sobre o valor

3 potencial de certos tipos de actividades em diversos anos de escolaridade e adquirindo experiência na preparação e na avaliação de tarefas matemáticas) e a pesquisa sobre o ensino (estudando as decisões, dilemas, dificuldades, etc. que os professores enfrentam ao conduzir estes tipos de actividades). Naturalmente, a nossa principal finalidade é contribuir para que tais actividades ganhem uma presença mais significativa no sistema educativo português. As tarefas que desenvolvemos referem-se a tópicos de Matemática dos 2º e 3º ciclos do ensino básico em Portugal 3, são projectadas no quadro do currículo existente e para ser usadas na sala de aula normal. Não se pretende sugerir temas extra-curriculares, mas apresentar tópicos do currículo actual, de uma maneira diferente. As tarefas não se bastam a si mesmas. São organizadas em unidades, cada uma centrada num único tópico. Pretende-se que o conjunto completo dos materiais inclua fichas de trabalho com uma sequência de perguntas para alunos, guias do professor com sugestões didácticas e um texto de apoio para professores e alunos, com informação relevante e notas históricas sobre o tópico em causa. Neste artigo apresentamos um trabalho baseado numa ficha de trabalho que trata do conceito de potência. O desenvolvimento das tarefas Este projecto assenta na colaboração entre professores e investigadores 4. Começamos por discutir ideias para as tarefas em reuniões da equipa do projecto. A partir daí, um dos membros da equipa produz uma primeira versão de uma ficha de trabalho com três ou quatro perguntas que podem servir de base ao trabalho dos alunos em duas ou três aulas consecutivas. Esta versão é discutida por toda a equipa numa nova reunião e geralmente levada de novo pelo mesmo membro da equipa para refinar. Mais uma ou duas iterações deste processo tornam geralmente a tarefa apropriada para experimentação na sala de aula. A Figura 1 (ver página seguinte) apresenta um conjunto de questões referentes ao tópico das potências de números naturais. Uma das nossas grandes questões é: até que ponto devemos estruturar as tarefas? Demasiada estrutura implica guiar demasiado os alunos e não lhes deixar muito para pensar. Pouca estrutura pode levar os alunos a moverem-se em trajectos diferentes, podendo escapar a muitos deles algumas das ideias mais importantes relacionadas com os conceitos matemáticos do currículo. Além disso, alunos diferentes podem beneficiar com o facto de lhes serem feitas perguntas de tipos diferentes. Finalmente, decidimos fazer algo intermédio: algumas das perguntas são mais estruturadas, outras são mais abertas. Frequentemente, começamos uma ficha com perguntas mais estruturadas (como 1a e 2a) e fornecemos então uma ou duas sugestões abertas para um trabalho mais exploratório e investigativo.

4 1. O número 729 pode ser escrito como uma potência de base 3. Para o verificar basta escrever uma tabela com as sucessivas potências de 3: 3 2 = = = = = 729 a) Procura escrever como uma potência de base 2 64 = 128 = 200 = 256 = 1000 = b) Que conjecturas podes fazer acerca dos números que podem ser escritos como potências de base 2? E como potências de base 3? 2. Observa as seguintes potências de base 5: 5 1 = = = = 625 a) O último algarismo de cada uma destas potências é sempre 5. Será que isso também se verifica para as potências de 5 seguintes? b) Investiga o que se passa com as potências de 6. c) Investiga também as potências de 9 e as de Repara que os cubos dos primeiros números naturais obedecem às seguintes relações: 1 3 =1 2 3 = = Nota que, no exemplo acima, 1 3 foi escrito como uma soma com um único número ímpar, 2 3 como a soma de dois números ímpares e 3 3 como a soma de três números ímpares. Será que o cubo de qualquer número pode ser escrito como a soma de números ímpares? Figura 1 - Questões sobre potências e regularidades

5 Experimentar e reflectir A experimentação na sala de aula é realizada por um ou mais dos professores da equipa e, se possível, outro membro da equipa observa as aulas. Por vezes, fazemos também uma gravação vídeo. Em alguns casos, convidamos outros professores que não integram o projecto para experimentar as nossas tarefas. Para cada experiência, procuramos fazer uma primeira reflexão o mais rapidamente possível após a aula e depois uma reflexão mais prolongada, usando o registo vídeo, no caso deste existir. Experiência I. Tínhamos em mente que estas tarefas sobre potências poderiam ser usadas com alunos de diversos níveis de escolaridade. Uma das professoras da equipa começou a experimentar estas tarefas numa turma do 6º ano, em aulas com a duração de duas horas. Considerava a turma difícil, dado que os alunos não mostravam nenhuma motivação para estudar Matemática. A professora começou fazendo uma curta introdução, explicou o significado da palavra conjectura e deu aos alunos uma orientação sobre o que eles iam fazer. Deu a primeira parte da ficha na primeira hora (questão 1 - Figura 1) e os alunos começaram trabalhar individualmente. Contudo, tiveram a oportunidade de interagir informalmente com seus colegas, na medida em que o desejassem. Na segunda hora, a professora deulhes a segunda parte da ficha (questões 2 e 3 Figura 1). Percorreu os diversos grupos, vendo o trabalho dos alunos e discutindo com eles os seus resultados. Surpreendentemente para a professora, os alunos estavam muito interessados e até bastante excitados com esta actividade. A elevada participação dos alunos é ilustrada pelo facto de que alguns deles, terminada a questão 1, começaram a tentar algumas outras possibilidades por si próprios, tais como as potências de 5, mesmo sem saber o que iria ser proposto na segunda parte da ficha (questão 2). A professora sentiu que a experiência era um sucesso mas comentou que gostaria de saber mais sobre como poderia (a) observar a classe e (b) avaliar se todos os alunos compreendiam os mesmos aspectos da tarefa. Fizemos então uma reflexão geral na equipa sobre esta actividade. Tendo em atenção as questões levantadas pela professora, concluímos que a observação e a avaliação poderiam ser realizadas durante a actividade dos alunos e numa discussão final. Tal discussão, de facto, pode ser um meio poderoso de proporcionar aos alunos uma compreensão adicional do trabalho dos seus colegas e de dar ao professor uma perspectiva geral do trabalho dos alunos. Mas como começá-la? Previamente, a professora sentiu que depois de ter discutido cada tarefa com todos os alunos, um de cada vez, não tinha muito sentido fazer uma discussão final. Também sentiu que não haveria tempo suficiente para que todos os grupos pudessem relatar o seu trabalho. O primeiro grupo a falar poderia referir a maior parte das ideias interessantes, restando

6 pouco para dizer aos outros grupos. Considerou a discussão como algo valioso mas difícil de conduzir. Na nossa reflexão, emergiu uma nova sugestão que embora parecendo óbvia, a professora nunca tinha considerado anteriormente. Em vez de deixar cada grupo dizer que tudo o que desejasse, a professora poderia pedir a todos os grupos para indicarem os seus principais resultados e sua justificação. Cada grupo, por sua vez, teria a oportunidade de dizer apenas uma coisa sobre o seu trabalho. Os grupos que tivessem menos possibilidade de apresentar as suas ideias numa dada questão poderiam ser os primeiros a falar na vez seguinte. Outros pontos discutidos incluíram quanto deve o professor dizer aos alunos durante o seu trabalho. Estávamos de acordo que o professor deve fazer mais perguntas do que fornecer respostas ou explicações. Consideramos também as vantagens e as desvantagens de incentivar os alunos a trabalhar de uma forma mais colaborativa. Experiência II. Alguns dias mais tarde, esta professora apresentou a mesma tarefa a uma turma do 5º ano. Anteriormente, quando estávamos a formular as questões, ela diversas vezes expressou dúvidas sobre se estas estariam ao alcance dos seus alunos, mas mesmo assim decidiu tentar. Nesta turma pediu aos alunos para registarem tudo o que estavam a fazer, de modo que mais tarde pudesse saber o que pensavam e que conjecturas tinham feito. Os alunos trabalharam aos pares. Em cada par, ambos os alunos mantinham as suas notas, mas era incentivada a discussão entre eles. A realização desta tarefa demorou 3 horas (2+1). A professora tentou uma nova estratégia a respeito das perguntas dos alunos: falava menos mas fazia mais perguntas. Desta vez houve uma discussão no fim da actividade. Para cada tarefa, um grupo apresentava os seus resultados e os outros intervinham se tivessem algo mais a acrescentar. Professora: Deixem-nos ver agora o que vocês descobriram sobre as potências de 5. Voltamos ao grupo da Amália. Sílvia: Termina sempre em 5. Daniel (um aluno de um outro grupo): E em 2. Professora: Como é isso? Deixem-nos ouvir o Daniel. A Sílvia diz que termina sempre em 5, certo? Mas o grupo do Daniel acrescentou algo mais. Daniel: Após 25, termina sempre em 25. Professora: Qualquer outra coisa sobre as potências de 5? Todos os alunos estavam muito atentos aos seus colegas, verificando na calculadora os resultados que iam sendo dados. O seu entusiasmo ia muito além de todas as expectativas da professora.

7 Na reflexão seguinte, considerámos o poder deste tipo de actividades para proporcionar novas perspectivas ao professor sobre as capacidades dos seus alunos. Naturalmente, os alunos mais novos necessitaram de mais tempo para terminar o trabalho, mas conseguiram realizá-lo completamente. Concluímos também que a estratégia usada nesta experiência, de fazer os alunos compartilhar os resultados e as ideias entre si, representou um grande progresso em relação ao que tinha ocorrido na primeira experiência. Experiência III. Uma professora de uma outra escola, que não integrava a equipa do projecto, mostrou interesse em experimentar esta tarefa com os seus alunos do 7º ano. Esta é uma professora que apresenta geralmente problemas e actividades exploratórias aos seus alunos e organiza-os, frequentemente, em trabalho de grupo. Começou distribuindo a ficha completa aos alunos, pedindo-lhes que se organizassem em grupos de 4 ou de 5. Dedicou duas horas a este trabalho mais meia hora de discussão alguns dias mais tarde. Estando habituados a este tipo de actividade, os alunos trabalhavam de forma produtiva por si mesmos, raramente chamando a professora. Nesta experiência, um episódio interessante é que esta professora começou por não considerar interessante a questão 3. Comentou que a questão devia ter alguma coisa errada no enunciado. Mas a aula estava quase a começar e não havia tempo para discutir em pormenor o assunto. O membro da equipa do projecto presente assegurou-lhe que os alunos poderiam lidar com a questão. Foi apenas quando os alunos estavam a trabalhar nesta pergunta que a professora chegou à conclusão que ela realmente fazia sentido. Os alunos compreenderam facilmente como poderiam escrever 4 3, 5 3, como a soma de números ímpares seguindo o padrão apresentado na questão. Então, a professora desafiou-os a procurar uma lei geral. É interessante notar que alguns alunos tiveram ideias em que nós não tínhamos pensado enquanto projectávamos a tarefa... Os alunos não tiveram grandes dificuldades. A sua participação foi elevada e houve fortes discussões nos grupos. Discutiram uns com os outros e quando não conseguiam chegar a um consenso chamavam a professora para servir de árbitro. Esta evitava dar as respostas, desafiando os alunos a encontrá-las por si mesmos, usando expressões tais como experimenta!, verificaste?, tenta com um outro número!, lê com cuidado o que é perguntado... A discussão só pôde ocorrer alguns dias mais tarde. A professora apresentou a toda a turma as ideias de dois dos grupos que considerou particularmente interessantes. A participação inicial dos alunos foi baixa, uma vez que se tinham esquecido do que tinham feito, mas alguns dos alunos ficaram muito intrigados com a abordagem de um dos grupos e questionaram se se tratava de uma demonstração matemática. A professora disse que uma verdadeira demonstração seria muito difícil de compreender para eles,

8 mas estavam de tal modo intrigados que teve bastante dificuldade em convencê-los disso. Apreciou muito esta actividade pois pensa de que desde muito cedo os alunos devem explorar, justificar, convencer e provar. A professora considerou esta experiência bastante positiva e consistente com as actividades que faz frequentemente nas suas aulas. Os alunos envolveram-se rapidamente nas tarefas, sendo provável que o facto de estarem habituados a lidar com situações problemáticas e a tomar decisões por si próprios tenha constituído um factor importante para que isso acontecesse. Entretanto, olhando retrospectivamente para este conjunto de aulas, nós e a professora sentimos que o tempo que decorreu entre a actividade e a discussão e o facto de ela ter apresentado um sumário inicial do trabalho dos alunos tornou a discussão menos bem sucedida do que o que poderia ter sido. Reflexão geral. No fim destas três experiências, sentimos fortemente que: Estas tarefas são apropriadas para todos os alunos e não apenas para os melhores; Os alunos podem realmente envolver-se em actividade matemática significativa e ter a noção de que fazem algo de relevante; É possível que os alunos desenvolvam uma autonomia significativa; Há grande vantagem em estimular a interacção entre os alunos, trabalhando em grupos ou aos pares nestas tarefas, uma vez que emerge muita energia ao falarem e discutirem uns com os outros. Concluímos também que são essenciais quatro etapas neste tipo da actividade. No planeamento e na selecção das tarefas, o professor necessita estar ciente do conteúdo matemático, dos objectivos e das competências do currículo, e da experiência anterior dos alunos. Tudo isto deve ser tido em conta e integrado numa perspectiva geral sobre o modo como prosseguir com o trabalho. Na apresentação da actividade aos alunos, o professor necessita de certificar-se que eles compreendem e se envolvem realmente no trabalho. Contudo, não deve ser dito demasiado neste momento, uma vez que o objectivo é ter os alunos a trabalhar por si próprios. Durante a actividade dos alunos, o professor necessita de estar atento aos seus êxitos e problemas e estar pronto para ajudar se necessário. Mas neste tipo de actividade também se deve deixar os alunos fazer algum esforço durante um certo tempo. O papel do professor é colocar questões e não dizer-lhes imediatamente todas as respostas. E concluímos que as discussões finais são extremamente importantes. A estrutura usada com os alunos do 5º ano resultou muito bem. Para os alunos que têm a possibilidade de serem os primeiros a apresentar as suas ideias, a discussão pode trazer para primeiro plano questões e estratégias que

9 lhes tinham passado despercebidas. Concluímos também que, tanto quanto possível, a discussão deve concluir a actividade, ou ser realizada imediatamente depois. Planeando aulas em conjunto, observando-as e discutindo-as, evidenciaram-se novos aspectos e questões que não tínhamos considerado anteriormente. Ter algumas questões em mente, um processo de registo e um observador na sala de aula, foram circunstâncias importantes que nos ajudaram neste processo reflexivo. Como grupo, estamos a aprender sobre maneiras de conceber tarefas para promover o trabalho dos alunos, como interagir com eles na realização de investigações e como reflectir sobre a actividade da sala de aula. Começámos por escolher o conceito de potência como um desafio. No início, este não parecia um tópico muito prometedor para as nossas finalidades, mas no fim ficámos bastante satisfeitos com o trabalho dos alunos e com o que aprendemos. Trabalho futuro Este trabalho deve ser continuado em diferentes direcções. Em termos de desenvolvimento curricular, é necessário considerar questões como: Qual é o valor potencial deste tipo de actividade em diferentes anos de escolaridade? Devem as tarefas ser mais ou menos estruturadas? Devemos fornecer mais ou menos sugestões aos professores? Que tipo de sugestões? As investigações têm valor em si mesmas ou devem, sobretudo, apoiar a aprendizagem dos conteúdos matemáticos? Um outro aspecto de interesse diz respeito à aprendizagem dos alunos. Precisamos de ter em atenção aspectos como: Qual a influência destas actividades nas concepções dos alunos sobre a Matemática escolar? Qual a relação entre o conhecimento e as competências matemáticas básicas e os processos mais avançados do raciocínio matemático como conjecturar e provar? Como devemos avaliar processos matemáticos e, consequentemente, este tipo de actividade? Necessitamos também de considerar a dinâmica da sala de aula. Neste tipo de actividade, que questões se colocam ao fazer investigações com os alunos organizados em grupos, aos pares, individualmente? Que novos padrões de interacção na sala de aula surgem quando os alunos realizam investigações matemáticas? E, finalmente, precisamos de olhar mais para os professores, especialmente no que se refere aos processos de decisão necessários para conduzir este tipo de actividade: Como integrar estas tarefas no currículo? Como fazer a sua apresentação aos alunos? Que tipo de apoio dar quando eles o solicitam? Como promover discussões da sala de aula? Certamente não será possível estudar todos estes pontos com o mesmo nível de profundidade. Contudo, para conduzir investigações da sala de aula necessitamos de ter

10 uma certa perspectiva sobre todos eles. Para isso, é importante reflectir sobre as aulas onde os alunos são incentivados a pensar e a comportar-se matematicamente. Considerando a crescente literatura internacional neste tópico e discutindo estas questões com outros professores e investigadores, esperamos desenvolver e aprofundar as nossas compreensões a respeito deste tipo de actividade no ensino e na aprendizagem da Matemática e desafiar outros professores para tentarem também realizá-lo na sua prática lectiva. Referências Associação de Professores de Matemática (1988). Renovação do currículo de Matemática. Lisboa: APM. Cockcroft, W. H. (1982). Mathematics counts. London: HMSO. Ernest, P. (1991). The philosophy of mathematics education. London: Falmer. Lerman, S. (1989). Investigations: Where to now? In P. Ernest (Ed.), Mathematics teaching: The state of the art (pp ). London: Falmer. Mason, J. (1991). Mathematical problem solving: Open, closed and exploratory in the UK. ZDM, 91(1), National Council of Teachers of Mathematics (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston: NCTM. National Research Council (1989). Everybody counts: A report to the nation on the future of Mathematics Education. Washington: National Academy Press. Neves, L., & Serrazina, L. (1992). O desempenho em Matemática aos 9 e aos 13 anos. Educação e Matemática, 22, Ponte, J. P. (1994). Uma disciplina condenada ao insucesso? NOESIS, 32, Ramalho, G. (1994). As nossas crianças e a Matemática: Caracterização da participação dos alunos portugueses no Second International Assessment of Educational Progress. Lisboa: DEPGEF. Silver, E. A. (1993). On mathematical problem posing. Proceedings of the XV PME Meeting, Vol. I, pp Tsukuba, Japan. Notas 1 Publicado originalmente em inglês com o título Mathematical investigations in the classroom: A collaborative project, como capítulo do livro de V. Zack, J. Mousley, & C. Breen (Eds.). (1997). Developing practice: Teachers' inquiry and educational

11 change (pp ), Geelong, Australia: Centre for Studies in Mathematics, Science and Environmental Education. 2 Um de nós (João Pedro) foi professor do ensino secundário durante 6 anos e, desde há 16 anos, tem sido formador de professores e investigador. Os outros membros da equipa estão a realizar o mestrado. Duas são professoras que trabalham agora na formação de professores. Uma (Hélia) tem 4 anos de experiência nos ensinos básico e secundário e trabalha desde há 3 anos na formação de professores e outra (Helena) ensinou durante 5 anos no ensino básico e está numa escola superior de educação desde há 2 anos. A outra (Irene) é professora no ensino básico desde há 16 anos. 3 No sistema educativo português, estes ciclos vão do 5º ao 9º ano de escolaridade (alunos de 10 a 14 anos). Em todos estes anos de escolaridade a Matemática é ensinada como uma disciplina autónoma por um professor especializado. 4 De facto, todos os quatro autores estiveram, em graus diversos, nos papéis de professor e investigador.