VISUALIZANDO FUNÇÕES COM AUXÍLIO DE TECNOLOGIA COMPUTACIONAL

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1 VISUALIZANDO FUNÇÕES COM AUXÍLIO DE TECNOLOGIA COMPUTACIONAL Adelmo Ribeiro de Jesus* RESUMO Este artigo pretende apresentar uma nova visão do estudo das funções através da utilização de um programa computacional, simples e acessível. Iniciaremos com os comandos básicos do programa (Winplot, versão em português), para que o leitor se familiarize com os recursos disponíveis. Em seguida, trataremos do estudo das funções = f(x), enfocando as funções afim, quadrática, modular, com várias sentenças, exponencial e logarítmica, e trigonométricas. Para completar este estudo, trataremos de algumas curvas na forma polar r=f(t), forma paramétrica x=f(t), =g(t), e na forma implícita f(x,)=0. Na terceira e última parte serão apresentadas algumas atividades em dimensão três, explorando funções do tipo z = f(x,), e também superfícies parametrizadas do tipo x=f(t,u), =g(t,u), z=h(t,u). I. WINPLOT, VERSÃO EM PORTUGUÊS O Winplot é um programa de domínio público, criado por Richard Parris, da Philipps Exeter Academ. Recentemente traduzido para o português, pode ser encontrado no site É um programa simples, mas poderoso. Uma de suas vantagens é ser gratuito, podendo ser utilizado por professores e alunos do Ensino Fundamental, Médio, e Superior. Os softwares mais recentes, como o MAPLE V, MATHCAD, MATHEMATICA têm uma sintaxe mais pesada e são de alto custo para o usuário. Neste sentido, achamos útil que este programa seja difundido para professores de Matemática. A palavra WIN...PLOT indica que este programa é utilizado para plotar gráficos de funções em Matemática, em um ambiente Windows. Além disso, ele permite executar uma série de outros comandos, que veremos a seguir: II. EXPLORANDO O WINPLOT Ao abrir o programa, o usuário encontra duas opções: Janela e Sobre. Em Janela o usuário tem três escolhas: -dim, -dim e Adivinhar (*). Os comandos -dim e -dim nos levam a trabalhar com funções no plano ou funções no espaço. A opção Adivinhar exibe gráficos de funções para que possamos adivinhar sua equação. Podem ser selecionados tipos mais simples (retas, parábolas) ou mais avançados. No exemplo da figura abaixo está exibido o gráfico de uma parábola. A partir daí o usuário digita uma função na caixa de diálogo (Comandos "Equa Adivinhar"). Se foi digitada a função correta, aparecerá a mensagem "Perfeito". Caso contrário, o gráfico de sua função digitada aparecerá na tela, mostrando então o erro cometido. (*) A nova versão do Winplot acrescentou mais uma opção (Mapeador e ), para trabalhar com transformações no plano.

2 A OPÇÃO -DIM DO WINPLOT Nesta opção temos as funções do tipo =f(x) (forma cartesiana), r=f(t) (polar), x = f(t), =g(t) (paramétrica), e 0=f(x,) (implícita). Aparecem ainda opções de equação de reta, Segmento, Ponto (coordenadas), Seqüências no plano, Equações Diferenciais e Polinômio. Na opção Polinomial... podemos visualizar gráficos de polinômios de graus até 8, incluindo ou excluindo pontos na tela. Para incluir pontos, clique com o botão direito do mouse em um ponto da tela. Para excluir um ponto, clique sobre ele com o botão direito. Existe em cada Menu um arquivo de Ajuda, que permite ao usuário tirar suas dúvidas. Por exemplo, as funções da opção =f(x) devem ser digitadas de modo compatível com o programa. Listamos abaixo algumas funções e o modo de digitá-las no Winplot. O leitor pode encontrar estas e outras funções através do menu "Equa Biblioteca" Função Winplot =ax+b ax+b =x n x^n = x abs(x) = x sqr(x) =sen x =cos x =tg x =ln x n = x root(n,x) sin(x) cos(x) tan(x) ln(x)

3 No exemplo ao lado, exibimos o gráfico da função =x -4. Usando a opção Ver Ver dimensionamos a janela dos eixos Ox e O. Usando a opção Ver Grade escolhemos os intervalos dos ticks (marcas) nos eixos x e, o número de decimais em cada eixo, e o tamanho da marca utilizada nos eixos. No caso, ao escolhermos 0.5 para o intervalo do eixo Ox, tivemos necessariamente que trabalhar com decimal neste eixo. Para inserir a equação =x^-4 na tela usamos a opção Equa Inventário. Para mover a equação na tela o mouse tem que estar na opção Texto. Para isso, utilize Btns Texto, e arraste a equação até o local desejado. Existem outras opções do Menu que são utilizadas com mais freqüência. São elas: Menu Equa Fonte Biblioteca Definir função Menu Ver Ver Grade Permite mudar a fonte da equação Dá a lista de funções no formato adequado Permite ampliar a biblioteca, criando uma nova função Permite redimensionar os eixos, para maior visualização do gráfico. Apresenta um quadro com uma série de opções para melhor adequação da janela. Pode-se colocar vários tipos de escalas nos eixos, usando inclusive múltiplos de π, visualizar a grade correspondente, etc. Menu Botões Arrastar box/recentr O botão esquerdo do mouse cria um box para visualizar com mais detalhe um gráfico e o direito recentraliza o gráfico, com zoom. Texto Coords/Recentr Nos permite mover a equação da função dada para qualquer lugar da tela. O botão esquerdo dá as coordenadas do ponto selecionado e o direito recentraliza o gráfico, sem mudar o tamanho da janela. Menu Um Traço Zeros Extremos Integração Permite o usuário percorrer o gráfico de uma função, usando uma barra de rolagem, e visualizar aproximações de Talor da mesma. É possível também movimentar retas secantes por um ponto fixado na curva, ou ver retas tangentes ao longo da curva. Estas duas opções são úteis, por exemplo, para ilustrar o conceito de derivada. Encontra as interseções do gráfico com o eixo Ox Encontra os pontos de máximo e mínimo da função Dá opções de integração da função considerada.

4 Menu Dois Interseção Combinações Integrações Determina a interseção entre duas curvas Faz operações com funções: soma, produto, composta, etc Dá opções de integração entre duas funções. O programa calcula a integral de f-g, onde f e g são funções especificadas pelo usuário. Menu Animação Permite animar funções ou equações cuja expressão contenha um parâmetro. Podem ser escolhidos parâmetros a, b, c,...,w. Uma mesma expressão pode conter mais de um parâmetro. Por exemplo, pode-se trabalhar com a função quadrática = ax +bx+c e variar estes valores. = ax^ + bx + c 4 Menu Miscelânea 4 Neste menu encontramos as opções Fontes, Cores, Eixos, Eq. Dif. Miscelânea, Dados, Tolerância, Tabelas, Sombreamento, Home equações, Decimais, Usar padrão. Dentro de algumas destas funções, podemos ter acesso a outros menus. A figura ao lado mostra as opções do menu Cores. Pode-se colorir os eixos, escolher cores para a tela, linhas de grade, etc. A opção Linhas pontilhadas é útil quando queremos plotar um segmento, ou uma assíntota x = k por exemplo. Se não selecionamos esta opção, estas linhas podem ser pontilhadas, ou tracejadas.

5 III. TRABALHANDO COM FUNÇÕES NO WINPLOT As equações no Winplot são divididas em 4 tipos: = f(x) (forma explícita), r=f(t) (forma polar), x=f(t), =g(t) (forma paramétrica ) e f(x,) = 0 (forma implícita). Faremos algumas atividades para funções =f(x) e apresentaremos alguns exemplos para os demais tipos. Função Afim Uma função do tipo =ax+b, com a, b IR é chamada função afim, cujo gráfico é uma reta. O valor de a representa a tangente do ângulo dessa reta com o eixo Ox. Quando a>0 a função é crescente, e quando a < 0 a função é decrescente. O valor de b representa a interseção do gráfico dessa função com o eixo O. = x 4 = x = x = x = x = x Função Quadrática; Funções polinomiais de graus e 4 Uma função do tipo =ax +bx+c, com a, b, c IR é chamada função quadrática, cujo gráfico é uma parábola. O valor de a representa a curvatura dessa parábola. Quando a>0 a função tem concavidade voltada para cima, e quando a < 0 a função tem concavidade voltada para baixo. O valor c representa a interseção com o eixo O. No caso de polinômios de grau maior que dois, temos: Grau : =ax +bx +cx+d grau 4: =ax 4 +bx +cx +dx+e, etc. = x^ = x^/ = x^/ = x^+7x+0 6 = -x^+4x

6 = x^-x = x^-x = x^-x 5 4 = x^4-6x^ Função Modular A função modular básica é = x, cujo gráfico é por demais conhecido. O mais interessante é trabalhar funções do tipo = f(x), onde f é uma função afim, quadrática, ou mais complexa. Por exemplo, = x-,,= x-, = x -4, = senx. Os exemplos abaixo trazem situações deste tipo. Lembremos que no Winplot deveremos digitar abs(f(x)) em lugar de f(x). Por exemplo, digite abs(x^-4) em lugar de x -4. = abs(x^-x-8) = abs(x-) 5 = abs(x) 4 = abs(x+) Funções definidas por várias sentenças As funções definidas por mais de uma sentença ocorrem sempre no nosso cotidiano. Por exemplo, nos preços de ligações telefônicas (que dependem da hora ou dia em que se liga), de ingressos de cinema (dependem da hora), e também o valor do Imposto de Renda I(R) em função da renda R de um contribuinte. Um exemplo simples é dado por

7 x, se x f (x) =, se < x x -, se < x Para obter o gráfico dessa função no Winplot usamos a opção Equa =f(x) e digitamos na caixa de texto a expressão: joinx (x^,, x - ) Para evitar problemas com as funções definidas por mais de uma sentença, use no Menu =f(x) a tolerância do passo igual 0.40, ou maior. Isto fará com que o Winplot não ligue um pedaço do gráfico ao outro, dando a falsa impressão de continuidade da função f Função exponencial e logarítmica As funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. Por exemplo, a função f(x) = 0 x é a inversa de g(x) = log 0 (x), e reciprocamente. O mesmo ocorre com as funções f(x) = e x e g(x) = ln(x) (log(),) Um ponto (x, f(x)) do gráfico da função f está associado a um ponto (, g()) = (f(x), x) do gráfico da função g. Isto implica que esses aos gráficos são simétricos em relação a reta = x, bissetriz do o quadrante. A figura ao lado ilustra este fato. (,log())

8 Funções trigonométricas As funções seno, cosseno, tangente, e outras funções trigonométricas podem ser estudadas, de modo análogo que fizemos com outras funções, com o Winplot. Uma das opções para visualizar dinamicamente o gráfico da função =sen(x) é através do recurso Animação. Usando as opções Equa Ponto, digitamos (a, sin(a)) para o ponto. O programa cria então um ponto genérico no plano, que vai depender deste parâmetro. Acionando agora o menu Anim e escolhendo o parâmetro A, ao acionarmos a barra de rolagem vemos os pontos (a, sin(a)) se deslocando pelo plano, formando o gráfico da função seno. Esta atividade pode ser feita de modo semelhante com qualquer função. Para exibir os pontos (a, sin(a)) na tela usamos as opções Equa Inventário família. Neste exemplo tomamos uma família com 48 passos, variando o parâmetro de pi até pi. sen(x) A figura abaixo mostra os gráficos de =tg(x) e =cos(x). Como tg (x) =, observamos cos(x) graficamente que quando o cosseno tende a zero, a tangente tende para infinito. No o quadrante o seno e o cosseno são positivos, logo, a tangente tende a crescer para +. Logo após, no o o quadrante, o cosseno é negativo. Por essa razão a função tangente varia de até zero. No quadrante seno e cosseno são negativos, e por essa razão a tangente cresce de zero até +. = tan(x) 5π/4 π π/4 π/ π/4 π/4 π/ π/4 π 5π/4 π/ = cos(x)

9 Uma função de gráfico interessante é = x sen(/x). Como sen(/ x), temos que x x sen(/ x) x, ou seja, o gráfico dessa função se situa entre as retas =-x e =x, e exibe um comportamento semelhante ao da função seno. Pode-se observar que quando x se aproxima de zero, o mesmo acontece com a função. Em termos simbólicos, quando x 0 temos também que xsen(/x) 0 = x = xsin(/x) = -x A OPÇÃO -DIM DO WINPLOT O Winplot desenha curvas e superfícies no espaço IR. Escolhendo as opções Janela -dim encontraremos os menus abaixo. Nesta figura exibimos as formas de equações que o programa trabalha: z=f(x,) é a clássica forma explicita, em coordenadas cartesianas ; z=f(r,t) em coordenadas cilíndricas ; x=f(t,u), =g(t,u), z= h(t,u) para superfícies parametrizadas, e 0=f(x,,z) para forma implícita. Além destas temos a opção de curvas na forma paramétrica (x(t), (t), z(t) ), Tubo (em redor da curva), Segmento, Ponto, etc.

10 As figuras abaixo exibem uma esfera, mapeada como uma superfície parametrizada X(t,u) = (x(t,u), (t,u), z(t,u) ) e uma hélice α(t) = (x(t), (t), z(t) ). As equações da esfera são X(t,u) = (sin(u) cos(t), sin(u)sin(t), cos(u) ), 0 < t < pi, 0 < u < pi. Superfícies em coordenadas cilíndricas. A superfície abaixo foi gerada usando os comandos Equa z = f(r, t) (coordenadas cilíndricas) onde a letra t representa o ângulo polar teta, que é entendido em radianos. O domínio padrão (default) de t varia de 0 a π. A equação dessa superfície é r cos(t) z = + r z z x x

11 Superfícies na Forma Implícita Uma expressão do tipo f(x,,z) = 0 determina o que chamamos superfície na forma implícita. Os programas computacionais como o Winplot determinam esta superfície através de seus níveis, ou seja, de suas interseções com os planos x = c, = c, e z = c.. Para obter uma superfície na forma implícita siga os passos abaixo: a) Use Equa 0 = f(x,,z) e digite sua equação em uma das formas que aparecem na caixa de diálogo. b) Clique em ok para aceitar as dimensões do box (ou altere, se quiser). Feito isso, o programa abre o Inventário e não exibe a figura da superfície. c) Use Ver eixos para visualizar os eixos ( pois eles em geral também desaparecem). d) Nesta opção Inventário selecione Níveis. e) Comece, por exemplo, com níveis z (curvas z = cte). Selecione esta opção e aceite os 5 niveis que o programa sugere. Clique em auto e depois em manter mudanças f) Repita a operação para obter as curvas de nível = c e x = c, caso desejar. Nas figuras abaixo exibimos as curvas de nível z = cte que definem geometricamente a esfera x + +z = 4. Também exibimos as curvas z = cte e = cte do plano x++6z = 0 Níveis z=cte e = cte do plano z z x++6z =0 x x

12 Geração de Superfícies na Forma Paramétrica Uma boa opção para visualizar algumas superficies é utilizar parâmetros a, b, c, disponiveis no Winplot. O exemplo ao lado mostra o toro T sendo gerado por um circulo de raio do plano XOZ. As equações paramétricas são: x(t, u) = ( + cos(u)) cos(ta) (t, u) = ( + cos(u)) sin(ta) z(t, u) = sin(u) onde o parâmetro a varia entre 0 e. Para ver esta animação no Winplot, digite a equação no menu Equação com a opção Paramétrica, e depois anime o parâmetro a no menu Anim, A. É possível escolher cor do fundo, digitar texto na tela, entre outras opções. x = (+cos(t))cos(ua); Construção do Toro com um = (+cos(t))sin(ua); parâmetro A z x Salvador, Bahia, julho de 00 Adelmo Ribeiro de Jesus adelmo@ufba.br