Otimização de Funções de Duas Variáveis

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1 Cálculo de Várias Variáveis 471 S E CÃO 7.3 Otimização de Funções de Duas Variáveis Suponha que um fabricante produza dois modelos de pvd player, o modelo de luxo e o modelo padrão, e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padrão seja dado pela função C(x, y). determinar o nível de produção x = a e v = b para o qual o custo é mínimo? Suponha que a produção de uma certa fábrica seja dada por uma função Q(K, L), onde K é a capital imobilizado e L o volume da mão-de-obra. Para que valores K = K0cL = LO a produção será máxima? Na Seção 3.4, aprendemos a usar a derivada/(*) para determinar os valores máximos e mínimos da uma função de uma variável J(x); nesta seção, vamos discutir o uso de métodos semelhantes no caso de funções de duas variáveis,./(*, v). Começamos com uma definição. > j r, > ' í f >, *$$-í í? " í, ^ ' ^ Entremos Relativos Dizemos que uma fudçâo/fjfl3y)ppssui,nmmájf mo relativoi.. t pontpi P(a^ fe)jio domínio de/se fl&, b) S/C*, y) para todos QS pontos (x, y) si uados, no,interíqr*detí»;unj disco pircular com centro no ponto P, Analogamente,'s.e/fo d),^f[x,,y) )ara,todos os.pontps^. (*,! y) í situados no interior de um difcco circular com centro em um ponto Q(c,d),j(x;y) possui um í mínimo relativo no ponto Q, f, T '"-:' ^fqfjw? Em termos geométricos, existe um máximo relativo d&f(x, y) no ponto P(a, b) se a superfície z = /(*, y) possui um "pico" no ponto (a, b, fia, b)), ou seja, se o ponto (a, b,f(a, b)) é pelo menos tão alto i quanto qualquer ponto próximo. Da mesma forma, existe um mínimo relativo àeftx, y) no ponto Q(c, \d) se o ponto (c, d,j(c, d)) está no fyndo de uma "depressão", ou seja, se o ponto (c, d, f(c, d)) é pelo j menos tão baixo quanto qualquer ponto próximo. A função flx, y) da Figura 7.11, por exemplo, possui j um máximo relativo no ponto P(a, b) e um mínimo relativo no ponto Q(c, d). FIGURA 7.11 Extremos relativos da função^*, y). liva li- >do -f Jcs CiJ, do ade a. Pontos Críticos Os pontos (a, b) do domínio deyfo y) para os quais (a, b) = O &fy(a, b) O são chamados de pontos críticos de/. os números críticos das funções de uma variável, estes pontos críticos desempenham um papel importante no estudo dos máximos e mínimos relativos. Para ter uma ideia da relação que existe entre os pontoa críticos e os extremos relativos, suponha que^fr, y) possua um máximo relativo no ponto (a, b). Nesse caso, a curva formada pela interseção da superfície z = f(x, y) com o plano vertical y = b possui um máximo relativo e, portanto, uma tangente horizontal no ponto x = a (Figura 7.12a). a inclinação desta tangente é dada pela derivada parcial fj(a, b), devemos ter necessariamente/xá, b) = 0. Do mesmo modo, a curva formada pela interseção da superfície z = f(x, y) com o plano vertical x = a possui um máximo relativo e, portanto, uma tangente horizontal no ponto y = b (Figura 7.12b), de modo que/^fl, ò) = 0. Isto mostra que um ponto no qual uma função de duas variáveis possui um máximo relativo ou um mínimo relativo deve ser necessaria- ; mente um ponto crítico.

2 472 CAPÍTULO SETE FIGURA 7.12 As derivadas parciais são nulas em um extremo relativo. y * fc, á inclinação fjfl, è) = O ara x = a, a inclinação (d, W = O Segue ufna descrição mais precisa da situação. Pontos,Críticos e Extremos Relativo^ Um ponto (a, b) do domínio de uma função ".fâc, yj nè qual as derivadas/i e f, existem é chamado de ponto crítico de/se ''*"' """' **'~<:** * ;*$ 4lè«-', H«V. > ífl «= n' ' -. M L'n ' ' ' ' T " l4*' U^M/V-S'?.'...:... i. ii&t'* v "" ' '«' ", ' * 5J' f Quando as derivadas parciais de primeira ordem de/existenfem todos os pontos de unia região; R do plano xy; os extremos relativos de/em /? só podem ocorrerem pontos críticos.' " "ltr FIGURA 7.13 A superfície z y1 x1 com um ponto de sela no ponto (O, 0). Pontos de Sela Embora todos os extremos relativos de uma função devam ocorrer em pontos críticos, os pontos críticos não são necessariamente extremos relativos. Assim, por exemplo, se fix, y) + y2 x2, /*(*. v) = -2x e :, y) = 2y e, portanto, (0,0) =fy(0,0) ±= 0. Assim, a origem (0,0) é um ponto crítico defix, y) e a superfície z = y2 x2 possui tangentes horizontais na origem tanto na direção do eixo x como na direção do eixo y. Entretanto, a interseção da superfície com o plano *zj(no qual y = 0) é a parábola z = -x2, cuja concavidade é para baixo, enquanto a interseção com o plano yz (no qual x = 0) é a parábola z = y2, cuja concavidade é para cima. Isto significa que, na origem, a superfície z = y2 x2 possui um máximo relativo quando observada "na direção x?\ um mínimo relativo quando observada "na direção y". Em vez de possuir um "pico" ou uma "depressão" no ponto crítico (O, 0), a superfície z = y2 x2 tem a forma de uma "sela", como mostra a Figura 7.13, e por esta razão é chamada de superfície de sela. Para que um ponto crítico seja um extremo relativo, é preciso que o extremo seja do mesmo tipo em todas as direções. Um ponto crítico (como a origem neste exemplo) que é um máximo relativo em uma direção e um mínimo relativo em outra direção é chamado de ponto de sela. Teste das Derivadas Parciais de Segunda Ordem Vamos apresentar a seguir um método, baseado nas derivadas parciais de segunda ordem, para determinar se um ponto crítico é um máximo relativo, ou mínimo relativo ou um ponto de sela. Este método é uma extensão do teste da derivada segunda para funções de uma variável, apresentado na Seção 3.2. Teste das Derivadas Parciais de Segunda Ordem Seja f(x, y) uma função de * e y cujas derivadas parciais f^ função D(Y v\ f (Y \Í\ (TC V^ í f ^V*» J/ jxxv*» J ) Jyy^* j) \-Jxy fr e/^, existem, e seja D(JC, y) a (continua)

3 Cálculo de Várias Variáveis passo: Determine todos os pontos críticos deflx, y), ou seja, todos os pontos (a, b) tais que Ma, b) = 0 e fy(a,b) = 0 2a pdsso: Para cada ponto crítico (a, b) determinado no item l, calcule o valor de D(a, b). 3a passo: Se D(a, b) < Q, existe um ponto de sela em (a, b). 42 passo: Se D(c), b) > Q, calcule f (a, b). SefJta,b) > O, existe uip mínimo relativo em (a, b). Se/M(a,fc) < O, existe urti máximo relativo em (<j, b). Se D = O, o teste não pode ser aplicado;/pode possuir um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela no ponto (a, b). Observe que só existe um ponto de sela no ponto crítico (a, b) quando o parâmetro D do teste das derivadas parciais de segunda ordem é negativo. Quando D é positivo, existe um fnáximo relativo ou um mínimo relativo em todas as direções. Para verificar qual destas possibilidades é a verdadeira, basta nos concentrarmos em uma direção (a direção x, digamos) e usarmos o sinal da derivada parcial de segunda ordem fa exatamente da mesma forma como a derivada segunda é usada no teste da derivada segunda para funções de uma variável, discutido no Capítulo 3: f(x, y) é um mínimo relativo se /«(a, b) > O i um máximo relativo se /^(a, b) < O l As conclusões do teste das derivadas parciais de segunda ordem estão resumidas na tabela a seguir. Sinal de D Sinal de f Mínimo relativo Máximo relativo Ponto de sela A demonstração do teste das derivadas parciais de segundo ordem está além do escopo deste livro e será omitida. Os Exemplos a ilustram o uso do teste. EXPLORE! Leia o Exemplo Çntre com f(x, y) = x2 + y8 no^ editor de equações como Y1 = XA2 + L1A2, onde L1 = {-1, -0.6, O, 0.8,1.2), Plote estas curvas usando uma janela decimal [-3, 3]1 por [-1, 5]1 e o estilo que mostra um ponto com um rastro, observando a ordem em que as curvas aparecem, pois representam seções retas da função para os valores particulares de y que constam da lista L1. Descreva suas observações. EXEMPLO l Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) x2 + y2 e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela. /c = 2* o único ponto crítico de fé o ponto (0,0). Para verificar qual é a natureza deste ponto, usamos as derivadas parciais de segunda ordem para obter fxx ~ 2 Jyy 2 C fxy D(x, y) = Uyy - (f*,? = (2)(2) - Q2 = 4 Assim, D(x, y) = 4 para qualquer ponto (x, y) e, em particular, >(0, 0) = 4 > O ' Isto significa que/possui um extremo relativo no ponto (O, 0). Além disso, como /«(O, 0) = 2 > O sabemos que o extremo relativo no ponto (O, 0) é um mínimo. Apenas a título de ilustração, a Figura 7.14 mostra o gráfico de/.

4 474 CAPÍTULO SETE T FIGURA 7.14 A superfície z = x2 + y2 com um mínimo relativo no ponto (0,0). Mínimo relativo EXEMPLO í «Determine todos os pontos cnticos da função /(x, y) = 12x - x3 4y2 e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela. =12-3X2 e /,= -8y podemos obter os pontos críticos resolvendo o sistema de equações 12-3A-2 = O De acordo com a segunda equação, y 0; de acordo com primeira, 3*2 = 12 x = 2 ou - 2 Assim, existem dois pontos críticos, (2, 0) e ( 2, 0). Para determinar a natureza destes pontos, usamos as derivadas de segunda ordem para formar a expressão / = ~6X fyy = - D =/ / lyy - (/«)2 \JxyJ = (-6x)(-8) - O = 48* Aplicando o teste das derivadas parciais de segunda ordem aos dois pontos críticos, obtemos D(2, 0) = 48(2) = 96 > O e /xt(2, 0) = -6(2) =-12 < O D(-2, 0) = 48(-2) = -96 < O o que significa que existe um máximo relativo em (2,0) e um ponto de sela em ( 2,0). Estes resultados aparecem na tabela a seguir. L. Ponto critico (a, b)y >' ' Sinal de D(a, b) Sinal de fa (a, b) - i Comportamento impor em (a, b) (2,0) (-2,0) Máximo relativo Ponto de sela Resolver o sistema de equações f, = O efy = O para determinar os pontos críticos raramente é tão simples como nos Exemplos e Exemplo dá uma ideia melhor das dificuldades envol-

5 Cálculo de Várias Variáveis 475 vidas. Antes de prosseguir, talvez seja conveniente o leitor consultar a Revisão de Álgebra no final do livro, na qual é discutida a resolução de sistemas de duas equações com duas incógnitas. EXEMPLO l Determine todos os pontos críticos da função f(x, y) = x3 y3 + 6ry e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativjd ou um ponto de sela. fx = 6y 6x podemos determinar os pontos críticos de/resolvendo o Cisterna de equações 3.x2 + 6y = O e -3y2 + 6x = O um Lembrete Lembre-se de que a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) e, portanto, x3-8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) a equação x2 + 2x O não possui soluções reais (o que pode ser constatado usando a equação de í Báskara), a única solução real Explicitando y na primeira equação, obtemos y = equação, temos,_,2\ r' -. Substituindo y por este valor na segunda -x(x3-8) = O As soluções desta equação são x = O e x = 2. Estas são as coordenadas x dos pontos críticos de l -x2 : /. Para obter as coordenadas y correspondentes, basta substituir estes Valores de x na equação y í JLt (ou em uma das equações originais). Para x - O, y = 0; para x = 2, y = 2. Isto significa que os pontos críticos de/são (O, 0) e (2, -2). As derivadas parciais de segunda ordem de/são Assim, fyy = - = 6 D(x, y) =fjafyy - = -36xy -36= -36(xy + 1) D(0, 0) = -36[(0)(0) + 1] == -36 < O i chegamos à conclusão de que o ponto (O, 0) é um ponto de sela. >(2, -2) = -36[2(-2) + 1] = 108 > O lado» e ' /«(2, -2) = 6(2) = 12 > O l chegamos à conclusão de que o ponto (2, 2) é um mínimo relativo. Estes resultados estão resumidos ', na tabela a seguir. Ponto critico (a, b) j. P(a, b) í? fofa ti) j u Comportamento em (a, b) jj (0,0) (2, -2) Ponto de sela Mínimo relativo étik» nvca- Problemas Práticos de Otimização No Exemplo 7.3.4, vamos usar a teoria dos extremos relativos para resolver um problema de Otimização na área da economia. Na verdade, estaremos interessados em determinar o máximo absoluto de uma certa função. Acontece, porém, que o máximo absoluto e o máximo relativo desta função coincidem.

6 Cálculo de Várias Variáveis 477 estão em quilómetros. Em que ponto W(x, y) deve ser instalado um depósito para que a soma dos quadrados das distâncias do ponto W aos pontos A,BeC seja mínima? (Veja a Figura 7.15.) -Ia da do A soma dos quadrados das distâncias de W aos pontos A,BeCé dada pela função SC*, j» * K* - i)2 + (y - S)2] + (xi + y1) + [*-8)2 + y*i soma dos quadrados quadrado da distância quadrado da distância quadrado da distância das distâncias dewaa dewab dewac Para minimizar S(x, y), começamos por calcular as derivadas parciais FIGURA 7.15 Localizações dos S, = 2(x - 1) + 2x + 2(x - 8) = 6x - 18 clientes A, B e C e do depósito Sy = 2(y - 5) -t- 2y + 2y = 6y - 10 W. Igualando 5., e 5 a zero, temos 6.r -18 = 0 6y - 10 = O ou * = 3 e y = -. &x = 6, Sr> = O e S^ = 6, temos D = S^Syy - S* = (6)(6) - O2 = 36 > O Assim, o ponto procurado é o ponto W 3,. ' f PRQB _EMAS 7.3 Nos Problemas l a 20, determine quais são os pontos críticos da função dada e classifique cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela. > do >s a 3. /U,?) = -TV 5. /(*,)>) = lx2-3y2 x y j 7. f(x,y) = 2x* + y3 -f] Ix2-3y - I2x f (x, y) = x3 + y2 -'^xy + 9x + 5y + 2 II. f(x,y) = (x2 + 2y2)el-x!-y2 13. /(j.jy^^-^-f/ 15. f(x,y 17. /(-t.y 2 2 i + y + 2y + l 19. f (x, y) = x In f 3x xy< 2. f(x,y) = 2x2-3y2 4- f (x, y) = x2 + 2y2 - xy + 14y 6. f(x,y) = xy f (x, y) = (x- l)2 + y3-3y2-9y f (x, y) = -x4-32* + / - 12? /(jc,y) = (x-4)ln(jry) «M» =-7^ f (x, y) = 2x4 + x2 + 2xy + 3x + y /(*, y) = xye /(*,y) = 4xy - 2x4 - y2 + 4x - 2y l\ VENDAS A VAREJO Uma loja de camisetas de basquete vende dois modelosj um assinado por Michael Jordan e outro por Shaquille O'Neal. O dono da loja compra os dois modelos por R$ 2,00 por camisa e estima que, se as camisetas Jordan forem vendidas por x reais a unidade e as camisetas O'Neal por y reais a unidade, os clientes comprarão 40 50x + 40y camisetas Jordan e * TOy camisetas O'Neal por dia. Quanto o dono da