4 a Aula - Funções de Intervalo (II). Ciclo for. Leitura e Escrita em Ficheiros. Mestrado em Engenharia Física Tecnológica

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1 4 a Aula - Funções de Intervalo (II). Ciclo for. Leitura e Escrita em Ficheiros. Programação Mestrado em Engenharia Física Tecnológica Samuel M. Eleutério sme@tecnico.ulisboa.pt Departamento de Física Instituto Superior Técnico Universidade de Lisboa

2 Dinâmica de Populações - Função Logística Seja a fracção dos indivíduos de uma dada espécie em relação ao número total de indivíduos num dado ambiente: [0, ] Se pretendermos calcular a sua evolução no tempo, a dependência mais simples que podemos considerar é que essa fracção irá ser uma função do valor fracção no ano anterior: n+ = f( n ) Já vimos que a Lei de Malthus, n+ = µ n, é insuficiente, pois, ou vai para 0 ou vai para ; Ora sabemos que a fracção nunca poderá ser superior a. Assim, quando se aproima desse valor µ, deve diminuí-lo: µ() = r ( ) n+ = r n ( n ) a que se dá o nome de função logística. Para r [0, 4], a fracção n permanece no intervalo [0, ].

3 Função Logística ( Prog05 0.c ) Façamos então um programa para calcular a função logística: #include <stdio.h> int main () { float, r ; int i = 0; r =.4 ; = 0.75; while (i <= 20) { printf ( %d: = %f\n,i++,); = r * * ( - ); } return 0; } Programa é idêntico ao anterior com o ajuste da função; Igualmente poderiamos integrar o incremento da variável i no comando do printf; Note-se os sinais ++ foram colocados depois o i para que a variável só seja incrementada depois de ser passada para a função printf. Note-se que a inicialização duma variável pode ser simultânea à sua declaração;

4 Leitura de Dados a Partir da Shell Vamos alterar o nosso programa (Prog05 0.c) para permitir novas leituras (ver Prog05 02a4.c). Para permitir a introdução do valor do parâmetro µ, em tempo real, a partir do teclado. Assim, a linha de inicialização da variável r: r = ; poderá ser substituída por printf( Escreva, por favor, o valor do parametro r : ); scanf ( %f, &r); A título de verificação podemos acrescentar mais uma linha para imprimir no ecran a leitura efectuada: printf ( Leu o valor %f\n, r); Podemos igualmente pedir a para ler a condição inicial o : printf ( Escreva, por favor, a condicao inicial de : ); scanf ( %f, &); Podemos igualmente juntar as duas leituras.

5 Função Logística - Gráficos Gráficos da função logística para diferentes valores de µ com o = i Fig. - µ = i Fig.2 - µ = i Fig.3 - µ = i Fig.4 - µ = 3.5

6 Função Logística r Fig.5 - Órbitas periódicas no intervalo µ [0, 4]

7 Função Logística r Fig.6 - Zona de estabilidade µ [3.82, 3.87]

8 Função Logística Maima A visualização dos gráficos anteriores pode ser feita usando o sistema de computação algébrica maima (maima). Podem usar-se as seguintes intruções: > maima (%i) load ( dynamics ); (%i2) evolution (**(-), 0.7, 200, [style, lines], [y, 0, ]); (%i3) evolution (.0**(-), 0.7, 200, [style, lines], [y, 0, ]); (%i4) evolution (2.5**(-), 0.7, 200, [style, dots], [y, 0, ]); (%i5) evolution (3.2**(-), 0.7, 00, [style, dots]); (%i6) evolution (3.2**(-), 0.7, 00, [style, lines], [y, 0, ]); (%i7) evolution (3.2**(-), 0.7, 200, [style, points], [y, 0, ]); (%i8) evolution (3.5**(-), 0.7, 2000, [style, dots]); (%i9) orbits(*r*(-), 0.7, 50, 200, [r, 0, 4], [style, dots]); %i0) orbits(*r*(-), 0.7, 50, 200, [r, 3.82, 3.87], [style, dots]);

9 Condições (I) Como se viu, para certos valores de µ, as iterações vão para um valor fio muito depressa, nesses casos podia parar-se o cálculo mais cedo. Para poder decidir, é necessário usar uma instrução condicional: if (Condição) {... } else {... } Os operadores lógicos, usados em C, são os seguintes: A igualdade faz-se com dois sinais de igual: == ; A condição diferente ( ) faz-se com:!= ; A condição e ( ) faz-se com: && ; A condição ou ( ) é feita com: ; As desigualdades fazem-se com: <, >, >=, <= ; A negação é feita por um ponto de eclamação! ; Para além das operações lógicas é possível ter no lugar da condição uma função, uma variável ou mesmo uma constante. O operador if interpreta como falso o 0. Tudo o resto é verdadeiro.

10 Condições (II) (Prog05 05.c) Para se poder testar se uma iteração é igual à anterior, é necessário usar uma variável () que guarde o valor anterior. Seja então o ciclo: = ; while (i <= 20) { printf ( %d: %f\n,i,); = r * * (. - ); if ( == ) break; = ; ++i; } Antes de iniciar o loop atribuamos à variável o valor inicial de e, a cada iteração, façamos a sua actualização; Depois de actualizar a variável, podemos introduzir a epressão condicional que testa a igualdade; Se a igualdade for satisfeita, queremos parar o loop. Tal pode ser feito usando a instrução break. O break, ao ser eecutado, quebra a eecução do loop e continua a eecução do programa na instrução seguinte ao final do ciclo. Note-se que isto só é válido quando os valores são todos iguais.

11 Condições (III) (Prog05 06.c) A condição de igualdade, vista no eemplo anterior, só muito lentamente é obtida, pois, a tendência assimptótica pode demorar até atingir a igualdade. Por isso, é conveniente fazer uma ligeira alteração à condição de igualdade e transformá-la numa relação de proimidade; Podemos eigir, por eemplo, que a distância entre dois valores seja inferior a 0 6 : 0 6 < ( n+ n ) < 0 6 Podemos então substituir a condição ( == ) por: ((( ) >.e 6) && (( ) <.e 6)) Mas isto é uma condição sobre módulo da diferença: (fabs ( ) <.e 6) A função de C, módulo de um real, é fabs e encontra-se definida em math.h, assim devemos fazer o include: #include <math.h>