EXPERIÊNCIA DE ATIVIDADE SOBRE INTEGRAL UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEOBRA Frank Amorim 1, Giselle Sousa 2

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1 EXPERIÊNCIA DE ATIVIDADE SOBRE INTEGRAL UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEOBRA Frank Amorim 1, Giselle Sousa 2 1 IFRN/Professor de Matemática do Ensino Básico e Tecnológico do IFRN, frank.amorim@ifrn.edu.br 2 UFRN/Professora Adjunto do Departamento de Matemática da UFRN e Orientadora no PPGECNM/UFRN, giselle@ccet.ufrn.br 1 CONTEXTO DO RELATO Neste relato, trazemos o resultado de um experimento sobre a importância do uso das TIC 1, especificamente do Software Geogebra 2 no ensino de Cálculo Diferencial e Integral I, mais precisamente no estudo de integral para os cursos de graduação da UFRN. Deste modo, o presente trabalho consiste em relatar os resultados de uma pesquisa que fez parte de um conjunto investigatório maior, a saber, falaremos da concepção, aplicação e análise de resultados com atividades sobre integral via Geogebra as quais compõem um corpo maior de atividades sobre Cálculo Diferencial e Integral com o referido software. A partir de dados coletados na PROGRAD 3 UFRN, a Universidade Federal do Rio Grande do Norte, UFRN Natal oferecia em 2008 (55) cinquenta e cinco cursos de graduação. Sendo que, em 24 desses cursos, a referida instituição apresenta em sua estrutura curricular, a disciplina Cálculo Diferencial e Integral I (CDI I) ou equivalente, isto é, aproximadamente 47% dos cursos de graduação da UFRN Natal. (dados referentes ao ano de 2008) Diante dos números postos, reportamos a importância dessa disciplina (componente curricular) para a graduação na UFRN, de modo geral. Dentre os 24 cursos que possuem em sua estrutura curricular a disciplina de Cálculo I ou equivalente, decidimos analisar com mais detalhes cada um dos 8 cursos do CCET 4, haja vista a possibilidade de realização do experimento nos mesmos. Quanto à reprovação, segundo os dados da PROGRAD desses oito cursos, sete apresentam um número superior a 30% de seus alunos reprovados, sendo dois deles com percentual superior a 50% (Matemática e Química do petróleo), por isso, e inspirados nessas discussões, propomos uma alternativa para ensino de Cálculo I à luz das TIC, mais especificamente fazendo uso do software GeoGebra, para os alunos do CCET, particularmente do curso de matemática. Nosso experimento de pesquisa, com CDI via Geogebra, foi realizado no laboratório de informática do CCET da UFRN. Esse laboratório é destinado para estudo de alunos que fazem parte do CCET 5, mas conseguimos, a partir de memorandos do PPGECNM ao diretor do centro, a autorização para realizar nossas atividades. Em , tínhamos quinze computadores com o software GeoGebra nesse laboratório, o que facilitou nosso experimento, porque contávamos com uma média de doze alunos para cada encontro, de modo que propomos que fizessem as atividades individualmente. 1 Tecnologia da Informação e Comunicação 2 Criado por MarkusHohenwarter na Universidade americana ForidaAtlanticUniversity, o GeoGebra é um sotware gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de Geometria, Álgebra e Cálculo. Para maiores informações ou fazer donwload do programa acesse: (HOHENWARTER, 2009). 3 Pró-Reitoria de Graduação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte 4 CCET (Centro de Ciências Exatas e da Terra). 5 A escolha deste centro se deveu pelo fato de ser um dos que possuem mais cursos com a referida disciplina e com maior taxa de insucesso, conforme dados da PROGRAD.

2 Assim, o experimento foi estruturado em cinco encontros, nos quais realizávamos sessões de atividades com estudantes de CDI I, de uma turma de matemática do segundo semestre de 2010, no turno matutino, código da turma MAT0345 (Cálculo Diferencial e Integral I), turma 02, nos horário de segunda, quarta e sexta, das 7h às 8h40min, no setor de aulas 3, bloco A, sala 4. Como segue no quadro 01. Essas sessões de atividades eram realizadas no horário das 13h às 14:30min. Vale ressaltar que do total desses cinco encontros, apenas o quinto se destinou ao que aqui será relatado. Quadro 01 Distribuição das sessões no experimento Sessões do Experimento Sessões Nome da atividade Encontro/ Conteúdo Data I Domínio e Imagem de uma Função e familiarização, 1º Familiarização com o software; utilizando o software 24/08/2010 Domínio e imagem GeoGebra. de uma função. II III IV V Noção intuitiva de limite e continuidade de uma função, utilizando o Construindo a ideia de Derivadas, a partir de retas tangentes, com o Fazendo teste da primeira derivada, utilizando o Introdução do conceito de Integral definida, com o 2º 31/08/2010 3º 14/09/2010 Limite de uma função em um ponto; Continuidade de uma função. Derivada de uma função em um ponto; Função derivada. Crescimento e 4º 05/10/2010 decrescimento de uma função; Pontos críticos de uma função. Relação da 5º integral definida 09/11/2010 com a área determinada pelo gráfico da função. Fonte: arquivo pessoal do professor pesquisador O professor pesquisador dispunha de um computador; data show; quadro branco e pincel, além do apoio de dois monitores de CDI I, o monitor do laboratório de micros e os três observadores. Particularizando o contexto do presente relato, neste momento trataremos apenas do quinto encontro, ou seja, o contexto da sessão de atividades sobre integral. Salienta-se ainda que tal sessão foi aplicada no semestre , após ajustes feitos a partir de uma experiência piloto ocorrida no semestre anterior, em doze encontros com carga horária de 1h e 30min cada, no turno vespertino no espaço do laboratório de micros do CCET em virtude de ser o mais equipado e disponível para os alunos do centro. Logo, como posto, a sessão de atividades para a Introdução do conceito de Integral definida, utilizando o software GeoGebra

3 ocorreu dentro de um bloco de sessões de atividades de um experimento maior que contemplava assuntos de todo o componente curricular supracitado de modo que os discentes já tinham visto o conteúdo em sala de aula. Em virtude, da incompatibilidade de horário, espaço e quantidade de computadores, a sessão teve que ocorrer no horário inverso e para uma quantidade restrita e voluntária, o que justifica a frequência média de 12 discentes. De fato, a turma do horário regular tinha 40 alunos. A seguir, detalharemos os procedimentos utilizados no encontro do experimento. 2 DETALHAMENTO DAS ATIVIDADES À luz da investigação matemática, que é sugerida por Ponte (2003, p. 04) como sendo o processo de descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou entre estes e novos objectos matemáticos procurando identificar e comprovar as respectivas propriedades, a sessão de atividades aqui relatada foi proposta. De fato, nela os alunos foram levados a descobrir as relações entre os objetos matemáticos (que eles já conheciam, ou entre os novos) envolvidos no processo de integração e apresentados na atividade a fim de identificar e comparar suas propriedades. Ainda no mesmo artigo, Ponte (2003, p. 07) detalha os processos para a metodologia de investigações matemáticas a partir do quadro 02: Quadro 02 Momentos na realização de uma investigação Momentos de uma investigação Actividades Exploração e formulação de Reconhecer uma situação questões problemática; Explorar a situação problemática; Formular questões. Formulação de conjecturas Organizar dados; Formular conjecturas. Teste e reformulação de Realizar testes; conjecturas Justificação e avaliação Refinar uma conjectura. Justificar uma conjectura; Avaliar um raciocínio ou resultado do raciocínio. Fonte: (PONTE, 2003, p. 07) Assim, na realização de nosso trabalho, seguimos cada uma dessas etapas, primeiramente, através de pesquisas realizadas na PROGRAD 6 -UFRN e em entrevista com professores, buscamos reconhecer a situação problema no que diz respeito ao ensino de CDI I na UFRN, para, em seguida, dentro das possibilidades e potencialidades do GeoGebra, formular questões que atendessem às dificuldades relatadas por alunos e professores tais como: melhor compreensão das definições, visualização melhor das construções, bem como, maior sentido da aplicações como cálculo de áreas. Após essa etapa, buscamos organizar os dados obtidos e formular uma sessão de atividades que contemplem a formulação de conjeturas iniciais do tipo: o 6 Pró-reitoria de Graduação da UFRN.

4 uso do GeoGebra facilita a compreensão de integral definida por meio da aplicação de cálculo de áreas de regiões planas? Logo, conforme posto, fizemos o piloto onde as atividades foram testadas e reformuladas na busca de trazer, desses alunos, o maior número de informações que norteassem o experimento final. Para isso, fizemos uso de atividades por escrito, bem como o uso de um dos recursos do GeoGebra, o protocolo de construções 7, conforme propõe Vianna (2003). A fim de justificar as conjeturas e avaliar os resultados, usamos ainda o relatório dos observadores como instrumento de coleta de dados. Outro fator importante, segundo Vianna (2003, p. 11), consiste na: [...] formação e o treinamento de todos os elementos que vão participar como observadores. O primeiro passo a ser dado está na discussão do planejamento da pesquisa com os futuros observadores, descrevendo todas as fases do trabalho e esclarecendo as dúvidas que certamente surgirão, para que todos tenham uma idéia bastante clara e concreta do que vai ser realizado e como serão registrados as informações. Com relação a esse aspecto, é de fundamental importância uma conversa prévia com todos os observadores, para que possam ter um mesmo olhar, centrado no foco da pesquisa. Para isso, fizemos fichas de observação para cada experimento. Em suma, a sessão de atividade foi realizada em duas etapas, sendo a primeira sobre a introdução do conceito de Integral definida e, em seguida, sobre a área definida por duas curvas. Cada uma foi composta de título, objetivos, descrição da atividade e algumas conjeturas. Neste relato trataremos apenas da primeira etapa. No quadro 03, temos uma descrição detalhada dessa atividade, em seguida, uma apresentação dos resultados. Quadro 03 Descrição da primeira etapa da sessão de atividades Introdução do conceito de Integral definida, utilizando o software GeoGebra Objetivos - Apresentar a integral definida a partir da interpretação intuitiva do cálculo da área de uma região S limitada pelo eixo x, uma função f contínua, positiva e não constante e as retas x = a e x = b, por meio da soma inferior e soma superior de áreas de retângulos, com base na definição: Se y = f(x) for não negativa e integrável em um intervalo fechado [a, b], então a área sob a curva y = f(x) desde a até b será a integral de f de a até b, ; (THOMAS, et al, 2002, p. 350) Descrição da atividade - Insira a função f(x) = x 2 3x + 2 na caixa de entrada; - Na caixa de ferramentas, selecione a opção novo ponto (2ª janela), clique no gráfico em dois lugares diferentes (considerando x(a) e x(b) tais que sua imagem seja maior ou igual a zero, conforme o teorema supracitado); - Na penúltima caixa de ferramentas, escolha a opção seletor, em seguida, clique na zona geométrica. Na caixa exibida, faça esse valor variar de 50 a 50, 7 É um recurso do GeoGebra que consiste num quadro que mostra todos os passos da construção, permitindo refazê-lo passo a passo, utilizando a barra de navegação situada na base da zona gráfica. Além disso, é possível inserir novos passos e mudar a sua sequência. (Nota do autor).

5 nomeie de n e aplique; - Obter uma aproximação da área S, inserindo um polígono regular inscrito em S, formado pela soma de n retângulos formados abaixo do gráfico entre os pontos A e B, cuja soma das áreas é obtida inserindo, na caixa de entrada, o seguinte comando: somainferior[f(x), x(a), x(b), n] e teclando Enter (como resultado obterá o valor de a; Testando os conhecimentos - Mova n e observe o que faz o comando soma inferior? - O que significa esse valor de n? - Agora, vamos calcular outra aproximação da área S, tomando por base a partição de A, B com o ponto de máximo da função em cada retângulo. Para isso, insira o comando somasuperior[f(x), x(a), x(b), n], na caixa de entrada, e tecle Enter (obterá b). Que diferença e conclusões você tira sobre esse recurso do software e a investigação da área S? - Por último, vamos calcular o valor da integral definida no intervalo [a,b] inserindo, na caixa de entrada, o seguinte comando integral [f(x), x(a), x(b)] (obterá o valor c). E agora, teça considerações sobre os resultados obtidos nos itens anteriores (2.4 e 2.5). - Para uma melhor visualização dos valores, na primeira caixa de ferramentas, com a ferramenta mover, desloque os resultados encontrados, arrastando-os para um local onde não tenha região hachurada, observando a construção; - Manipule o seletor para valores n > 0 (opção mover, 1ª janela). Observe e justifique sua resposta. - Manipule o seletor para valores n < 0 ou n = 0. O que observa? Justifique sua resposta. - Mova A ou B de modo que f(x) 0, para todo x (A,B). O que observa com os valores de a, b e c? - O que acontece com a, b e c se movermos A ou B, ou ambos, de modo que f(x)<0? Há relação com a área hachurada S? Visualizando melhor: para verificar a relação entre as áreas, selecione com o botão direito do mouse, em qualquer parte do gráfico, onde aparecem as áreas arraste e solte. Ao fazer isso, a opção zoom in é acionada e essa região será ampliada. - Descreva abaixo se você utilizou algum outro recurso ou estratégia diferente dos vistos anteriormente para cada cálculo dessas áreas. Fonte: arquivo pessoal do professor pesquisador Figura 01 Construção feita por um dos alunos sobre integral definida.

6 Fonte: Arquivo do professor pesquisador. Essa construção, apresentada na figura 01, é um dos resultados dessa sessão de atividades. 3 ANÁLISE E DISCUSSÃO DO RELATO Na sessão de atividades, os alunos fizeram relação com a história da matemática a partir da discussão com o professor formador, relacionando os procedimentos da atividade e a construção obtida com o cálculo de áreas de regiões curvas que, historicamente está atrelado a um trabalho exaustivo de aproximação. Também conseguiram relacionar melhor com o teorema que afirma que, respondendo às atividades e fazendo relação com os seus conhecimentos vistos em sala de aula. De fato, alguns alegaram encontrar melhor significado nas aplicações após a visualização concomitante ao uso do recurso de arrastar, dessa forma conseguiram visualizar melhor os conceitos de integral definida. Os mesmos também concordaram que essa atividade melhorou o entendimento dos mesmo no que diz respeito ao assunto de integral definida. Ao analisar o protocolo de construção das atividades realizadas pelos alunos participantes do experimento, percebeu-se que os pequenos problemas que tiveram com relação à utilização do GeoGebra, como o uso e localização de algumas ferramentas, foram resolvidos por eles mesmos. Entretanto, também pode-se observar que tiveram uma pequena dificuldade em relacionar as expressões inseridas na caixa de entrada, com o que estava aparecendo na zona gráfica. Por exemplo, ao inserir na caixa de entrada a expressão somainferior[f(x), x(a), x(b), n], ficaram sem entender o que esse n significava; outros, ainda, insistiram em colocar a expressão sem criar o seletor n. Neste caso, o problema foi logo resolvido pelo professor pesquisador, com uma breve explanação e com a ajuda do monitor de CDI I. Após as explanações os alunos fizeram bem a relação entre as três expressões: somainferior[f(x), x(a), x(b), n], somasuperior[f(x), x(a), x(b), n] e integral[f(x), x(a), x(b)], e o que elas significavam. Frente ao posto, seguem as considerações finais deste relato de experiência. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Dessa forma, os alunos perceberam a relação, existente entre a área da região limitada pelo gráfico de uma função, o eixo x e limites de integração com a

7 integral definida no intervalo delimitado, ao alterar o seletor n o qual permite alterar o número de partes em que devemos repartir a região em que queremos determinar a área. Como consequência, perceberam que quanto maior o valor de n, mais próximo fica da integral definida. Segundo Lopes (2010), nesse tipo de atividade investigativa, vários processos são envolvidos, desde a formulação das questões até a prova de conjeturas que resistiram a sucessivos testes, pois interagem entre si. Realmente, aqui, os alunos puderam realizar esses testes sucessivos em pouco tempo; testes, estes, que, ao longo da história, levaram muito tempo para serem realizados (de modo até exaustivo). A partir da aplicação dessa atividade, obtiveram-se alguns resultados. Para o professor, observou-se que consegue perceber com mais facilidade o que o aluno apresenta como dúvida, além disso, viu-se que é possível adequar a diferentes atividades de CDI I; no caso do aluno, além de visualizar e manipular as construções, existe a possibilidade de relacionar de forma direta e em tempo real a parte gráfica e algébrica. Sobre o software GeoGebra, além de ser livre e de fácil familiarização por parte de alunos e professores, é possível realizar testes sucessivos, o que facilita o poder de investigação pelo dinamismo. 5 REFERÊNCIAS HOHENWARTER, Markus; PREINER, Judith. Tutorial GeoGebra Disponível em: < Acesso em: 03 nov LOPES, Maria Maroni. Construções e aplicações de uma sequência didática para o ensino de trigonometria usando o Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Natal, PONTE J. P. Investigação sobre investigações matemáticas em Portugal. Investigar em Educação, Disponível em: < Acesso em: 10/ out THOMAS, George B.et al. Cálculo. 10.ed. São Paulo: Addison Wesley, VIANNA, H. M.. Pesquisa em educação: a observação. Brasília: Plano, 2003.