UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

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1 UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL Jorge Henrique Marciniak ANÁLISE DA ESTABILIDADE GLOBAL E EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Santa Cruz do Sul 2013

2 1 Jorge Henrique Marciniak ANÁLISE DA ESTABILIDADE GLOBAL E EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Trabalho de conclusão, apresentado ao Curso de Engenharia Civil, da Universidade de Santa Cruz do Sul, como parte dos requisitos para obtenção do título de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. Alexandre Muller Santa Cruz do Sul 2013

3 2 Jorge Henrique Marciniak ANÁLISE DA ESTABILIDADE GLOBAL E EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Trabalho de conclusão, apresentado ao Curso de Engenharia Civil, da Universidade de Santa Cruz do Sul, como parte dos requisitos para obtenção do título de Engenheiro Civil. Alexandre Muller Professor Orientador UNISC Rosi Cristina Espindola da Silveira Professor Examinador UNISC Deborah Marcant Silva Madalozzo Professor Examinador - UNISC Santa Cruz do Sul 2013

4 3 RESUMO Marciniak, J. H. Análise da estabilidade global e efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado. Trabalho de Diplomação (Departamento de Engenharia Civil Graduação) Universidade de Santa Cruz do Sul, Santa Cruz do Sul, Percebe-se que a evolução da construção civil proporcionou um grande desenvolvimento no campo das estruturas. Analisar a estabilidade global se tornou um processo indispensável, visto que, estas estão cada vez mais esbeltas. Diversos métodos permitem avaliar a estabilidade de uma estrutura, entre estes, estão: parâmetro, coeficiente e processo. Através destes indicadores pode-se classificar e verificar a necessidade de considerar os efeitos de segunda ordem nas edificações. Neste trabalho busca-se estudar os efeitos de segunda ordem nas estruturas e o quanto estes influenciam na estabilidade global. Também se analisará os métodos de cálculo, citados na NBR 6118, 2007 e suas limitações. Para isso serão comparadas diferentes estruturas, no que refere à sua geometria, constituídas por pórticos, pilares parede, ou núcleo rígido. Pretende-se, dessa forma, acolher dados e informações necessárias, a fim de possibilitar uma análise refinada da instabilidade global e efeitos de segunda ordem. Palavras-chave instabilidade global, efeitos de segunda ordem, análise estrutural, P-Delta, Gama-z.

5 4 ABSTRACT Marciniak, J. H. Analysis of global stability and second-order effects in reinforced concrete structures. Work graduation (Department of Civil Engineering - Undergraduate) Universidade de Santa Cruz do Sul, Santa Cruz do Sul, It can be seen that the evolution of construction provided a great development in the field of structures. To analyze the overall stability has become an indispensable process, since these are increasingly slim. Several methods to assess the stability of a structure among these are: parameter, coefficient process and. Through these indicators can sort and verify the need to consider the second order effects in buildings. This work seeks to study the effects of second order structures, and how these influence the overall stability. Also examine the methods of calculation mentioned in NBR 6118, 2007 and its limitations. For this different structures will be compared, in terms of its geometry, consisting of frames, pillars wall or rigid core. It is intended, therefore, to receive data and information needed in order to allow a refined analysis of global instability and second order effects. Keywords - global instability, second order effects, structural analysis, P-Delta, Gama-z.

6 5 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1. Demonstração de comportamento linear e não linear Figura 2. Diagrama tensão x deformação do concreto Figura 3. Diagrama tensão x deformação do aço Figura 4. Curvatura numa seção de concreto armado Figura 5. Relação momento-curvatura Figura 6. Diagrama momento-curvatura Figura 7. Relação momento-curvatura NBR 6118, Figura 8. Análise em primeira ordem Figura 9. Análise em segunda ordem Figura 10. Efeitos de primeira ordem Figura 11. Efeitos de segunda ordem Figura 12. Posição de equilíbrio de um elemento Figura 13. Classificação dos efeitos de segunda ordem Figura 14. Pórtico formado por vigas e pilares Figura 15. Elementos de contraventamento Figura 16. Imperfeições geométricas globais Figura 17. Imperfeições geométricas locais Figura 18. Determinação da velocidade V 0 em m/s Figura 19. Coeficiente de arrasto para vento de baixa turbulência Figura 20. Coeficiente de arrasto para vento de alta turbulência Figura 21. Determinação do momento final M Figura 22. Verificação exata da segurança contra a instabilidade de pórticos hiperestáticos Figura 23. Direção do vento Figura 24. Vista 3D, 1ª análise Figura 25. Forma do pavimento tipo, 1ª análise Figura 26. Vista 3D, 2ª análise Figura 27. Forma pavimento tipo, 2ª análise Figura 28. Vista 3D, 3ª análise Figura 29. Forma pavimento tipo, 3ª análise Figura 30. Vista 3D, 4ª análise Figura 31. Forma pavimento tipo, 4ª análise Figura 32. Vista 3D, 5ª análise Figura 33. Forma pavimento tipo, 5ª análise Figura 34. Vista 3D, 6ª análise (Estrutura I) Figura 35. Forma pavimento tipo, 6ª análise (Estrutura I) Figura 36. Vista 3D, 6ª análise (Estrutura II) Figura 37. Forma do pavimento tipo, 6ª análise (Estrutura II)

7 6 LISTA DE TABELAS Tabela 1. Determinação do fator S Tabela 2. Categoria do relevo Tabela 3. Classe da edificação Tabela 4. Parâmetros meteorológicos Tabela 5. Fator Estatístico S Tabela 6. Coeficiente Tabela 7. Coeficiente Tabela 8. Direção do vento e combinações últimas Tabela 9. Verificação da estabilidade global da estrutura da 1ª análise Tabela 10. Verificação da estabilidade global da estrutura da 2ª análise Tabela 11. Verificação da estabilidade global da estrutura da 2ª análise (considerando V 1, V 2 e V 3 com altura de 30 cm) Tabela 12. Verificação da estabilidade global da estrutura da 3ª análise Tabela 13. Verificação da estabilidade global da estrutura da 3ª análise (Gama-Z por combinação) Tabela 14. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 3ª análise (carga acidental) Tabela 15. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 3ª análise (vento X+) Tabela 16. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 3ª análise (vento X-) Tabela 17. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 3ª análise (vento Y+) Tabela 18. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 3ª análise (vento Y-) Tabela 19. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise - Modelo padrão Tabela 20. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise - Modelo padrão (Gama-Z por combinação) Tabela 21. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise Modelo padrão (Carga Acidental) Tabela 22. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise Modelo padrão (vento X+) Tabela 23. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise Modelo padrão (vento X-) Tabela 24. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise Modelo padrão (vento Y+) Tabela 25. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise Modelo padrão (vento Y-)

8 Tabela 26. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise com vento de 90 m/s Tabela 27. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise com vento de 90 m/s (Gama-Z por combinação) Tabela 28. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com vento de 90 m/s (carga acidental) Tabela 29. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com vento de 90 m/s (vento X+) Tabela 30. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com vento de 90 m/s (vento X-) Tabela 31. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com vento de 90 m/s (vento Y+) Tabela 32. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com vento de 90 m/s (vento Y-) Tabela 33. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise com laje de 20 cm Tabela 34. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise com laje de 20 cm (Gama-Z por combinação) Tabela 35. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com laje de 20 cm (carga acidental) Tabela 36. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com laje de 20 cm (vento X+) Tabela 37. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com laje de 20 cm (vento X-) Tabela 38. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com laje de 20 cm (vento Y+) Tabela 39. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com laje de 20 cm (vento Y-) Tabela 40. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise com elevação do carregamento vertical Tabela 41. Verificação da estabilidade global da estrutura da 4ª análise com elevação do carregamento vertical (Gama-Z por combinação) Tabela 42. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com elevação do carregamento vertical (carga acidental) Tabela 43. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com elevação do carregamento vertical (vento X+) Tabela 44. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com elevação do carregamento vertical (vento X-) Tabela 45. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com elevação do carregamento vertical (vento Y+) Tabela 46. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 4ª análise com elevação do carregamento vertical (vento Y-)

9 Tabela 47. Verificação da estabilidade global da estrutura da 5ª análise Tabela 48. Verificação da estabilidade global da estrutura da 5ª análise (Gama-Z por combinação) Tabela 49. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 5ª análise (carga acidental) Tabela 50. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 5ª análise (vento X+) Tabela 51. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 5ª análise (vento X-) Tabela 52. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 5ª análise (vento Y+) Tabela 53. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 5ª análise (vento Y-) Tabela 54. Verificação da estabilidade global da estrutura da 6ª análise (Estrutura I) Tabela 55. Verificação da estabilidade global da estrutura da 6ª análise (Gama-Z por combinação) Tabela 56. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise (carga acidental) Tabela 57. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise (vento X+) Tabela 58. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise (vento X-) Tabela 59. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise (vento Y+) Tabela 60. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise (vento Y-) Tabela 61. Verificação da estabilidade global da estrutura da 6ª análise, Estrutura II Tabela 62. Verificação da estabilidade global da estrutura da 6ª análise, Estrutura II (Gama-Z por combinação) Tabela 63. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise, Estrutura II (carga acidental) Tabela 64. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise, Estrutura II (vento X+) Tabela 65. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise, Estrutura II (vento X-) Tabela 66. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise, Estrutura II (vento Y+) Tabela 67. Não linearidade geométrica pelo processo P-Delta da 6ª análise, Estrutura II (vento Y-)

10 9 LISTA DE ABREVIATURAS ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas CEB/FIP Comité Euro-internacional du Béton Fédération Internationale de La Précontraine CF Combinações frequentes CQP Combinações quase permanentes NBR Norma Brasileira Registrada ELU Estado Limite Último ELS Estado Limite de Serviço kn Kilo Newton MPA Mega Pascal NLF Não Linearidade Física NLG Não Linearidade Geométrica UNISC Universidade de Santa Cruz do Sul

11 10 LISTA DE SÍMBOLOS - Parâmetro de instabilidade A - Área da seção transversal - Deformação - Excentricidade - Módulo de Elasticidade - Rigidez - Força - Resistência característica do concreto à compressão - Horizontal - Coeficiente de ponderação das ações, Gama-Z - Coeficiente de avaliação de instabilidade global e majoração de esforços de segunda ordem - Momento - Momento de primeira ordem - Momento de segunda ordem - Fator de redução de combinação - Curvatura, P-delta - Método de cálculo rigoroso de avaliação da estabilidade global - Fator topográfico - Fator de rugosidade do terreno - Fator Estatístico - Velocidade característica do vento - Velocidade básica do vento - Vertical

12 11 SÚMARIO 1 INTRODUÇÃO Área e limitação do tema Justificativa Objetivos do trabalho Objetivo principal Objetivos específicos 16 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Análise não-linear Não-linearidade física Consideração aproximada de não-linearidade física Diagrama momento-curvatura Não linearidade geométrica Instabilidade e efeitos de 2 a ordem Efeitos de segunda ordem Classificação dos efeitos de segunda ordem Classificação das estruturas Ações nas estruturas Ações permanentes Ações permanentes diretas Ações permanentes indiretas Ações variáveis Ações variáveis diretas Ações variáveis indiretas Imperfeições geométricas Imperfeições globais Imperfeições locais Vento Procedimentos para cálculo das forças devidas a vento nas edificações Determinação da velocidade básica do vento 34

13 Determinação da Velocidade Característica V k Força de arrasto Coeficiente (coeficiente de ponderação das ações) Coeficientes de ponderação das ações no estado limite últimos (ELU) Coeficientes de ponderação das ações no estado limite serviço (ELS) Combinações das ações Classificação das combinações Combinações últimas Combinações de serviço Estabilidade global Coeficiente Parâmetro α Processo P Delta - Método da Carga Lateral Fictícia 47 3 METODOLOGIA Considerações principais Procedimentos para desenvolvimento do projeto de pesquisa 49 4 VERIFICAÇÃO E ANÁLISE DAS ESTRUTURAS Critérios de projeto Combinações Primeira análise Resultados Segunda análise Resultados Terceira análise Resultados Quarta Análise Primeira verificação - Alteração da velocidade do vento Resultados Segunda verificação - Alteração da altura das lajes Resultados 74

14 Terceira verificação - Elevação do carregamento vertical Resultados Quinta análise Resultados Sexta análise Resultados 91 5 CONCLUSÃO 93 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 95

15 14 1 INTRODUÇÃO A evolução da construção civil vem proporcionando o desenvolvimento de estruturas mais esbeltas e de menor rigidez, tornando a verificação da estabilidade e efeitos de segunda ordem um processo indispensável. A estabilidade das estruturas é um tema estudado por pesquisadores em virtude de sua grande importância. A versão atual da NBR 6118, 2007: Projeto de estruturas de concreto armado, contempla um capítulo para orientação no assunto. Analisar a estrutura em sua forma deformada sem o auxilio de um computador é uma tarefa praticamente impossível, pois envolve cálculos muito complexos. Através de softwares, estes cálculos são realizados de forma rápida e, por esse motivo, muitos dos engenheiros acabam não se aprofundando nesse assunto, o que é um equívoco. É preciso conhecer os métodos de análise adotados pelo software para que seja possível entender o processo. Essa complexidade de cálculo está relacionada ao fato do concreto armado apresentar um comportamento não linear quando submetido a ações. Alterações nas propriedades dos materiais e na geometria fazem com que a estrutura tenha uma resposta desproporcional ao acréscimo de cargas. Imperfeições geométricas e forças provenientes de carregamento horizontal são os principais fatores a serem considerados na análise da estabilidade da estrutura. Para auxiliar os engenheiros nessa análise, existem vários métodos de cálculo e parâmetros de instabilidade. Os cálculos estabelecem os acréscimos de carga provenientes dos efeitos de segunda ordem e os parâmetros de instabilidade julgam se será necessário ou não considerar os efeitos de não linearidade. Atualmente a NBR 6118, 2007 considera o parâmetro de instabilidade Alfa ( ) e o coeficiente Gama-Z ( ) para avaliar a estrutura e classificá-la como de nós fixos ou de nós móveis. A proposta deste trabalho é analisar os efeitos de segunda ordem nas estruturas de concreto armado para verificar sua importância e buscar compreender quais métodos de cálculos e parâmetros são mais adequados.

16 Área e limitação do tema Este trabalho delimitou-se à análise da estabilidade global e efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado através do parâmetro de instabilidade, coeficiente e processo interativo. 1.2 Justificativa É perceptível que a evolução da construção civil trouxe mudanças significativas tanto nos materiais quanto na geometria das edificações. Pode-se perceber que as estruturas estão cada vez mais esbeltas e menos rígidas em relação aos períodos anteriores, quando era possível encontrar construções com elementos estruturais robustos. Estas alterações decorrentes da evolução trouxeram novas necessidades e considerações nos cálculos das edificações. A análise da estabilidade global, consequência desta evolução, se tornou indispensável nos dias atuais em que as estruturas são projetadas da forma a cumprir os requisitos de segurança, buscandose economia. Apesar do assunto não ser muito abordado no curso de graduação, em consequência do tempo e dedicação necessários, é preciso que o engenheiro conheça e entenda o processo de análise da estabilidade global das estruturas. Existem no mercado diversos softwares que, de forma rápida, podem efetuar estes cálculos. Mas, para projetar uma estrutura e entender como a mesma se comporta é preciso compreender os métodos utilizados pelos programas. Tendo o engenheiro calculista as noções necessárias para compreender o comportamento da estrutura, será possível projetar edificações seguras e econômicas. Neste contexto, considerou-se necessário um estudo para analisar os efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado e as consequências destes no que se refere à estabilidade global.

17 Objetivos do trabalho Os objetivos do presente trabalho estão classificados em geral e específicos e serão apresentados nos itens seguintes Objetivo principal O objetivo principal deste trabalho consiste em analisar a estabilidade global das estruturas e os efeitos de segunda ordem. Para isso será observado o comportamento de diferentes estruturas com rigidez e geometria variável, constituídas de pórticos, paredes estruturais ou núcleos rígidos. Também se busca compreender as particularidades e limitações dos métodos de cálculos considerados na NBR 6118, 2007: Projetos de Estruturas de Concreto Objetivos específicos Os objetivos específicos deste trabalho são: Verificar se a magnitude das cargas horizontais e verticais aplicadas às estruturas tem influência na análise da estabilidade global. Verificar a influência da consideração da não linearidade física nos cálculos de estabilidade global. Analisar a influência da rigidez de lajes, vigas e pilares na estabilidade global de um edifício. Analisar o comportamento de estruturas simétricas e não simétricas submetidas a cargas de vento. Verificar os efeitos de segunda ordem em estruturas compostas por pilares parede e núcleo rígido. Comparar os resultados obtidos da análise da estabilidade global, através do parâmetro de instabilidade, coeficiente e processo interativo.

18 17 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Análise não linear À medida que um carregamento é aplicado na estrutura, a mesma responde, surgindo então deslocamentos, tensões ou esforços. Quando esta resposta deixa de ser proporcional, nota-se que a estrutura possui um comportamento não linear. Na análise linear, a resposta da estrutura tem um comportamento proporcional ao acréscimo de cargas. (KIMURA, 2007, pg. 460). Figura 1. Demonstração de comportamento linear e não linear. Fonte - SolidWorks Web Help (2012). O comportamento não linear do concreto está associado, às alterações que surgem nas propriedades dos materiais que compõem a estrutura, conhecida como não linearidade física (NLF) e alterações na geometria da estrutura, conhecida como não linearidade geométrica (NLG), à medida que o carregamento é aplicado. A consideração da não linearidade física é obrigatória nos cálculos das estruturas de concreto armado (NBR 6118, 2007).

19 Não linearidade física A não linearidade física é o fenômeno correspondente à perda de proporcionalidade entre tensão aplicada e deformação sofrida pelo material (LIMA, 2001, pg.87). A não linearidade física está associada ao comportamento do material que compõe a estrutura. Em edificações de concreto armado, tanto o aço como o concreto têm suas propriedades modificadas conforme as cargas são aplicadas, causando uma resposta não linear da estrutura. O comportamento não linear do concreto está relacionado aos efeitos de fissuração, da fluência, do escoamento da armadura, que ocorrem no mesmo, à medida que o carregamento é aplicado (PINTO, 1997). Esse comportamento pode ser observado facilmente ao analisar os diagramas de tensão x deformação dos materiais aço e concreto (figuras 2 e 3). Figura 3. Diagrama tensão x deformação do aço. Figura 2. Diagrama tensão x deformação do concreto. Fonte: NBR 6118 (2007). Fonte: NBR 6118 (2007). Conhecendo as formulações da Lei de Hooke e através da análise dos diagramas é possível deduzir que os valores das rigidezes variam conforme as solicitações. Também nota-se que em cada seção transversal de um elemento a rigidez seria diferente, pois cada parte tem um estado de solicitação. Levar em conta todos esses parâmetros implicaria em cálculos bastante complexos, devido a cada seção de cada elemento reagir de maneira diferente. Uma

20 19 forma de considerar a NLF de maneira aproximada é alterar diretamente a rigidez dos elementos que compõe a estrutura Consideração aproximada de não linearidade física É um método simplificado que busca estimar a rigidez efetiva dos elementos, considerando uma redução da seção. A ideia do método consiste na possibilidade de se considerar os aspectos da propriedade dos materiais, fissuração, fluência e escoamento da armadura, atribuindo um coeficiente redutor de rigidez médio e constante em toda seção do elemento (MONCAYO, 2011). No caso de estruturas de no mínimo quatro andares, pode-se adotar o método de não linearidade física aproximada, considerando os seguintes valores de rigidez dos elementos estruturais (NBR 6118, 2007, pg. 94): onde: Lajes: (1) Vigas: para (2) para (3) Pilares: (4) é o momento de inércia da seção bruta do concreto. é o módulo de deformação tangencial do concreto. é a armadura de compressão. é a armadura de tração Quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares e for menor que 1,3 permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por: - (5) As considerações aproximadas não podem ser adotadas na análise dos esforços locais de 2 a ordem, pois os lances dos pilares apresentam diferentes valores de rigidez ao longo da altura da estrutura (NBR 6118, 2007). Estas considerações foram definidas na norma devido à falta de estudos específicos para este tipo de estrutura, onde, dependendo do nível de solicitação, no Estado Limite Último (ELU), as rigidezes nas vigas, e principalmente nos pilares, podem atingir valores bem inferiores aos especificados (Kimura, 2009, <

21 Diagrama momento-curvatura Através dos diagramas momento-curvatura é possível uma consideração mais precisa da não linearidade física. Normalmente a análise da estrutura é baseada em momentos fletores, sendo assim, é possível utilizar o diagrama momento-curvatura na análise não linear. A grande vantagem desse método é que se pode obter diretamente a rigidez dos elementos (MONCAYO, 2011). Apesar de a NBR 6118, 2007 permitir o emprego do método de análise aproximada para o cálculo da estabilidade global, é importante conhecer o diagrama momento-curvatura e seus conceitos. A seguir é apresentada a descrição do método (KIMURA, 2007): Este método consiste em estabelecer uma relação entre a curvatura de uma seção com o momento fletor que atua no elemento. Figura 4. Curvatura numa seção de concreto armado. 1 r ε c d ε s (6) Fonte: Kimura (2007) Estabelecendo o princípio de que a curvatura de uma seção é definida por 1/r e analisando uma seção qualquer de uma peça de concreto deformada podemos estabelecer a relação demonstrada na figura 4: Onde: r - raio de um segmento curvo - deformações do concreto e do aço d altura útil do elemento

22 21 Figura 5. Relação momento-curvatura M E I r ou M E I r (7) Fonte: Kimura (2007) A expressão (M x 1/r) é semelhante à relação entre tensão e deformação ( ). A diferença é que fica mais fácil de acrescentar a NLF nos cálculos. O diagrama apresentado na figura 6, momento x curvatura, demonstra o comportamento de um elemento de concreto armado flexionado. No Estádio I, o material, possui um comportamento linear com rigidez constante. A partir de (Mr) se inicia as fissurações e inicia-se o Estádio II onde a rigidez é variável e o material deixa de apresentar comportamento linear. O Estádio III apresenta um grande incremento na curvatura e rigidez baixa, nesse momento ocorre o escoamento da armadura. Figura 6. Diagrama momento-curvatura Fonte: Kimura (2007)

23 22 Para montar o diagrama momento x curvatura é necessário definir a armadura na seção de concreto. Atualmente é muito comum utilizar os diagramas momento x curvatura nos projetos de concreto armado, como na análise não linear de pavimentos e cálculo de flechas. O efeito de NLF pode ser considerado relacionando o momento x curvatura para cada seção, com armadura suposta conhecida, e para valor de força normal atuante (NBR 6118, 2007). Figura 7. Relação momento-curvatura NBR 6118, Fonte: ABNT NBR 6118 (2007). Referente aos dados apresentados na figura 7 podem-se definir os seguintes aspectos (NBR 6118, 2007, pg. 91): - A curva cheia AB, que a favor da segurança pode ser linearizada pela reta AB, é utilizada no cálculo das deformações. - A curva tracejada, obtida com os valores de cálculo das resistências do concreto e do aço é utilizada somente para definir os esforços resistentes M rd e N rd (ponto máximo). - A reta AB é caracterizada pela rigidez secante (EI) sec que pode ser utilizada em processos aproximados para flexão composta normal ou oblíqua Não linearidade geométrica Consiste nas alterações geométricas dos elementos estruturais à medida que o carregamento é aplicado. Para se calcular uma estrutura admite-se que a mesma

24 23 encontra-se em equilíbrio. Esse equilíbrio pode ocorrer na configuração geométrica inicial da estrutura quando ela não sofre deformação, denominado análise em primeira ordem. Mas na prática é diferente, admitindo o equilíbrio na posição indeformada da estrutura faz-se uma aproximação. Deve-se considerar o equilíbrio da estrutura após as deformações que ela sofre. Os efeitos devidos a não linearidade geométrica (NLG) são aqueles oriundos da alteração da posição da estrutura no espaço. Esses feitos são determinados através de uma análise na qual se considera a estrutura na sua configuração final de equilíbrio (PINTO, 1997). O estudo do equilíbrio na posição deformada é conhecido como análise em segunda ordem e os efeitos obtidos dessa análise geram uma resposta não linear da estrutura. Figura 8. Análise em primeira ordem. Figura 9. Análise em segunda ordem. A análise da estrutura na posição indeformada é uma aproximação que pode ser usada na maioria dos casos, pois os efeitos de segunda ordem em geral são desprezíveis. Todavia existem situações que a consideração dos efeitos de segunda ordem é obrigatória: na análise da estabilidade global e no cálculo dos esforços para o dimensionamento dos pilares (KIMURA, 2007).

25 Instabilidade e efeitos de 2 a ordem Nas estruturas de concreto armado, o estado limite último de instabilidade é atingido sempre que, ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações, há elementos submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitação (NBR 6118, 2007, pg. 88). Existem três tipos de instabilidade que podem ocorrer em estruturas de material de comportamento linear ou não linear (NBR 6118, 2007, pg. 88): a) Nas estruturas sem imperfeições geométricas iniciais, pode haver (para casos especiais de carregamento) perda de estabilidade por bifurcação de equilíbrio (flambagem); b) Em situações particulares (estruturas abatidas), pode haver perda de estabilidade sem bifurcação do equilíbrio por passagem brusca de uma configuração para outra reversa da anterior (ponto limite com reversão); c) Em estruturas de material de comportamento não-linear, com imperfeições geométricas iniciais, não há perda de estabilidade por bifurcação do equilíbrio, podendo, no entanto, haver perda de estabilidade quando, ao crescer a intensidade do carregamento, o aumento da capacidade resistente da estrutura passa a ser menor do que o aumento da solicitação (ponto limite sem reversão). Quando os efeitos de segunda ordem não representarem um acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura, os mesmos podem ser desprezados. Sendo necessário nesse cálculo considerar a não linearidade dos materiais de forma aproximada ou não Efeitos de segunda ordem Quando ao analisar a estrutura for considerado que a mesma encontra-se em equilíbrio na sua posição deformada, surgirão efeitos adicionais, denominados efeitos de segunda ordem. Esses efeitos somam-se com os de primeira ordem originários da análise da estrutura na posição indeformada (SCADELAI, 2004). O cálculo dos efeitos de segunda ordem é um processo interativo. A cada interação surgirá novos deslocamentos, com esses deslocamentos haverá novo acréscimo de forças (efeitos de segunda ordem) e assim sucessivamente até que se encontre o equilibro da estrutura. Os efeitos de segunda ordem estão presentes em

26 25 qualquer estrutura e podem ou não ser considerados de acordo com sua magnitude (FUSCO, 1981). Considerando uma barra livre no topo e engastada na base. Submetida a uma força horizontal H e vertical P, conforme apresentado na figura 10: Figura 10. Efeitos de primeira ordem. Fonte: Civil Engineering Lectures (2013). Ao se calcular o elemento em sua posição geométrica inicial, obteremos o momento fletor M 1. A força H tende a deslocar a estrutura horizontalmente. O deslocamento gerado pela força horizontal altera o ponto de aplicação da força vertical P (veja figura 11). Então se for calculado novamente a barra na posição deformada surgirão novos esforços, deslocamentos e reações (Civil Engineering Lectures, Books, Notes, 2013). Figura 11. Efeitos de segunda ordem Fonte: Civil Engineering Lectures (2013).

27 26 O momento M 2 obtido na segunda interação é um efeito de segunda ordem, mas ele não é o momento total de segunda ordem (veja figura 11), pois seriam necessárias várias interações para determinar a posição final de equilíbrio, conforme demostrado na figura 12 (Civil Engineering Lectures, Books, Notes, 2013). Figura 12. Posição de equilíbrio de um elemento Fonte: Civil Engineering Lectures (2013). O efeito de segunda ordem, quando não considerado, pode levar a danos de diversas gravidades: desde a fissuração das alvenarias, num primeiro momento, até a fissuração das peças estruturais, podendo induzir o sistema ao colapso global (Dias, 2004) Classificações dos efeitos de segunda ordem Definem-se em três tipos os efeitos de segunda ordem que podem estar presentes em uma estrutura de concreto (NBR 6118, 2007): 1) efeitos globais de 2 a ordem 2) efeitos locais de 2 a ordem 3) efeitos localizados de 2 a ordem

28 27 Figura 13. Classificação dos efeitos de segunda ordem Fonte: Kimura (2007). Os efeitos globais consideram a edificação como um único elemento. Quando um edifício está sujeito à ação do vento, o mesmo se desloca horizontalmente, somando-se as cargas verticais atuantes, surgem os efeitos de segunda ordem (BUENO, 2009). Os efeitos locais estão relacionados a uma parte da estrutura. Podem ser observados analisando um lance de um pilar sujeito a momentos fletores. Os efeitos localizados estão associados a uma parte específica de um elemento. Todos esses efeitos surgem de forma simultânea na estrutura, porém devem ser estudados individualmente (KIMURA, 2007). Os efeitos de segunda ordem globais estão relacionados à deslocabilidade dos nós da estrutura e os efeitos locais referem-se a não retilinidade dos eixos dos elementos. Quando a estrutura for considerada de nós fixos, devem-se considerar somente os efeitos locais de segunda ordem, já em estruturas de nós móveis devese também estimar os efeitos globais (BUENO, 2009).

29 Classificação das estruturas Estruturas reticuladas de concreto armado, constituídas por vigas e pilares, são capazes de fornecer rigidez suficiente para dar estabilidade à estrutura. Figura 14. Pórtico formado por vigas e pilares Fonte: Giongo (2002). Entretanto, em alguns casos a associação entre vigas e pilares não garante rigidez necessária para dar estabilidade à estrutura. Existem outros elementos estruturais que podem compor a estrutura para melhorar sua estabilidade. Pórticos entreliçados, paredes estruturais e núcleos rígidos são algumas soluções adotadas quando é necessária uma maior rigidez, sem alterar a posição e a seção das vigas e pilares da edificação. Figura 15. Elementos de contraventamento Fonte: Fusco (1986).

30 29 As estruturas de concreto armado são classificadas, em função de sua rigidez, em contraventadas e não contraventadas. As estruturas contraventadas são estruturas compostas de uma subestrutura de contraventamento rígida o suficiente para absorver grande parte das ações horizontais. São chamadas de estruturas de nós fixos ou indeslocáveis, devido ao deslocamento de seus nós serem insignificantes (MELGES, 2009). As estruturas não contraventadas são estruturas de baixa rigidez que apresentam pouca resistência às forças horizontais. Normalmente, os nós dessas estruturas apresentam grandes deslocamentos e torna-se obrigatória a análise de 2 a ordem (MELGES, 2009). 2.4 Ações nas estruturas Qualquer tipo de ação que possa produzir efeitos significativos na estrutura de concreto armado deve ser considerado. Estas ações são classificadas como: permanentes, variáveis e excepcionais (NBR 8681, 2003) Ações permanentes Ações permanentes são aquelas presentes durante toda vida útil da edificação. Estas podem ser classificadas como: ações permanentes diretas e indiretas (NBR 8681, 2003) Ações permanentes diretas Peso próprio da edificação, demais elementos construtivos e o empuxo formam as ações permanentes diretas. O empuxo permanente é a força que o solo exerce sobre a estrutura no caso de edifícios com subsolos.

31 Ações permanentes indiretas Ações permanentes indiretas são aquelas originadas pela deformação impostas por: retração do concreto, fluência do concreto, deslocamento de apoio, imperfeições geométricas e protensão (NBR 8681, 2003). Retração do concreto: ocorre quando a estrutura apresenta perda de volume devido à saída de água do concreto; Fluência do concreto: se refere ao aumento de deformações que ocorrem ao longo do tempo devido à ação das cargas permanentes; Imperfeições geométricas: possíveis falhas durante a execução de uma edificação podem ocasionar distorções na forma e no posicionamento dos elementos. Protensão: ocorre quando há transferência de força entre armadura sob tensão e elemento estruturais Ações variáveis São aquelas que atuam durante um determinado período nas estruturas e seus respectivos valores podem ou não serem constantes. Podemos classificá-las em dois grupos: ações variáveis diretas e ações variáveis indiretas Ações variáveis diretas São as ações originadas de cargas acidentais de uso, ação do vento e da chuva. Cargas acidentais: são aquelas decorrentes do uso da construção; Vento: carga horizontal atuante na estrutura, sendo que sua consideração é obrigatória independente da altura da edificação;

32 Ações variáveis indiretas Ações variáveis indiretas são aquelas originadas pela variação de temperatura e ações dinâmicas. Variação de temperatura: ações provocadas pela variação de temperatura do meio externo. Ações dinâmicas: ações decorrentes das condições de uso (vibrações, choques...). 2.5 Imperfeições geométricas Toda estrutura apresenta alguma imperfeição geométrica. Durante o processo de construção de uma edificação surgirão distorções na forma e posicionamento dos elementos. Mesmo não sendo possível avaliar estas imperfeições é necessário considerá-las nos cálculos. Ao se verificar o estado limite último das estruturas reticuladas, deve- se considerar as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada. Podem estas ser divididas em dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais (NBR 6118, 2007) Imperfeições Globais Deve se considerar um desaprumo dos elementos verticais na análise global das estruturas contraventadas ou não, de acordo com a figura 16 (NBR 6118, 2007). Figura 16. Imperfeições geométricas globais Fonte: NBR 6118 (2007)

33 32 O valor desse desaprumo varia em função da altura H e o número de prumadas n e pode ser calculado pelas fórmulas (NBR 6118, 2007, pg. 54): (8) Onde: (9) = 1/400 para estruturas de nós fixos; = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; = 1/200; H é a altura toda da edificação, em metros; n é o número de prumadas de pilares. Não se deve considerar o vento juntamente com o desaprumo para avaliação da estabilidade, mas sim, apenas o fator mais desfavorável, ou seja, o que provoca maior momento total na base (NBR 6118, 2007) Imperfeições locais As imperfeições locais se referem a uma parte específica da estrutura. No caso de lajes e vigas que ligam os pilares contraventados a pilares de contraventamento considera-se a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado (NBR 6118, 2007). Nos pilares deve-se considerar o desaprumo ou falta de retilineidade do eixo do pilar. Nos casos usuais considerar apenas a falta de retilineidade ao longo do lance do pilar é suficiente (NBR 6118, 2007).

34 33 Figura 17. Imperfeições geométricas locais Fonte: NBR 6118 (2007). 2.6 Vento A consideração dos esforços devido à ação do vento é obrigatória nos cálculos de uma estrutura de concreto armado e devem ser determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123, A ação do vento pode ser horizontal, vertical ou inclinada. Pode ocorrer como pressão (interna ou externa a uma edificação) ou sucção (interna ou externa). Portanto, a ação do vento pode ocorrer nas mais variadas direções e sentidos. É uma ação de caráter aleatório tanto em relação à sua intensidade, duração e sentido (NOVAES; PARSEKIAN, 2008) Procedimentos para cálculo das forças devidas ao vento nas edificações Conforme NBR 6118, 2007 o fator vento deve ser obrigatoriamente considerado nos cálculos dos projetos estruturais. Para determinação da ação do vento recomenda-se seguir o roteiro de cálculo fornecido pela NBR 6123, 1988: Forças Devidas ao Vento em Edificações.

35 34 A força do vento a ser utilizada no projeto depende de vários fatores (Novaes; Persekian, 2008, pg. 50): - local (cidade) - dimensões da edificação - tipo de terreno (plano, morro, topo de montanha) - rugosidade do terreno (livre, com obstáculos) - tipo de ocupação (residencial, depósito...) Determinação da velocidade básica do vento Para inicio de cálculo deve-se estabelecer uma velocidade básica do vento. Esta velocidade é obtida de dados históricos que variam de região para região (veja figura 18). Considera-se uma rajada de três segundos, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do terreno em campo plano (NBR 6123, 1988). Figura 18. Determinação da velocidade V 0 em m/s Fonte: NBR 6123 (1988).

36 Determinação da Velocidade Característica Para encontrar a velocidade característica, multiplica-se a velocidade básica pelos fatores (ABNT NBT 6123, 1988): (22) Fator Topográfico : É o fator determinado a partir de uma análise do terreno (veja tabela 1) Tabela 1. Determinação do fator S 1. Fonte: Santos; França, Fator : É o fator que considera a rugosidade do terreno, altura do ponto de aplicação da carga de vento, e as dimensões do edifício (Novaes; Persekian, 2008). É calculado considerando os valores mostrados nas tabelas 2, 3 e 4:

37 36 onde: ( ) (23) é a altura da edificação; são encontrados através da análise de rugosidade e classe da edificação. Tabela 2. Categoria do relevo. Categoria Relevo I Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão. II Terrenos abertos com poucos obstáculos isolados. III Terrenos planos ou ondulados com obstáculos. IV Terrenos com obstáculos numerosos e pouco espaçados. V Terrenos com obstáculos números, grandes, altos e pouco espaçados. Fonte: Santos; França (2001). Tabela 3. Classe da edificação. Classe Tamanho da Edificação A Maior dimensão horizontal ou vertical < 20m B Maior dimensão horizontal ou vertical entre 20 e 50m. C Maior dimensão horizonta ou vertical >50m. Fonte: Santos; França (2001). Tabela 4. Parâmetros meteorológicos. Categoria I II III IV V Parâmetro b p b F r p b p b p b p Classes A B C 1,10 1,11 1,12 0,06 0,065 0,07 1,00 1,00 1,00 1,00 0,98 0,95 0,085 0,09 0,10 0,94 0,94 0,93 0,10 0,105 0,115 0,86 0,85 0,84 0,12 0,74 0,15 0,125 0,73 0,16 0,135 0,71 0,175 Fonte: NBR 6123 (1988).

38 37 Fator : É determinado conforme valores mostrados na tabela 5: Tabela 5. Fator Estatístico S 3. S 3 Responsabilidade da Edificação 1,10 Edificações onde se exige maior segurança 1,00 Edificações em geral 0,95 Edificações com baixo fator de ocupação 0,88 Vedações 0,83 Edificações temporárias Fonte: Santos; França (2001) Força de arrasto Para o cálculo da ação do vento em edificações retangulares leva-se em conta somente a força de arrasto que atua perpendicular ao prédio. A força lateral do vento é calculada para cada pavimento. São considerados os efeitos do vento nas duas direções da fachada (Novaes; Persekian, 2008). A força de arrasto é obtiva através da fórmula: (24) Onde: é a força de arrasto é o coeficiente de arrasto é a pressão dinâmica do vento é a área da fachada onde incide o vento A pressão dinâmica é obtida através da velocidade característica:, em N/m² e em m/s. (25)

39 38 Para determinar o coeficiente de arrasto é preciso definir se o vento é de alta ou baixa turbulência. Para isso é necessário analisar a região onde será construída a edificação (NBR 6123, 1988, pg. 21): Uma edificação pode ser considerada em vento de alta turbulência quando sua altura não excede duas vezes a altura média das edificações nas vizinhanças, estendendo-se estas, na direção e no sentido do vento incidente a uma distância mínima de: 500m, para uma edificação de até 40m de altura; 1000m, para uma edificação de até 55m de altura; 2000m, para uma edificação de até 70m de altura; 3000m, para uma edificação de até 80m de altura. Definida a classe do vento, obtém-se o coeficiente de arrasto para cada direção onde o mesmo atua, de acordo com as figuras 19 e 20: Figura 19. Coeficiente de arrasto para vento de baixa turbulência. Fonte: NBR 6123 (1988).

40 39 Figura 20. Coeficiente de arrasto para vento de alta turbulência Fonte: NBR 6123 (1988). 2.7 Coeficiente (coeficiente de ponderação das ações) Conhecido como fator de segurança, o coeficiente é um majorador das ações características de uma estrutura, sejam elas permanentes ou variáveis. O coeficiente é obtido da seguinte forma (NBR 6118, 2007, pg ): (10) onde: - considera que a carga atuante na estrutura não é totalmente exata, podendo os valores característicos das ações serem maiores ou menores. procura prever a probabilidade de ações distintas ocorrerem ao mesmo tempo - refere-se às aproximações de projeto.

41 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite últimos (ELU) Os valores-base para verificação são os apresentados nas tabelas 6 e 7 para e, respectivamente: Tabela 6. Coeficiente. Combinações de ações Normais Especiais ou de construção Excepcionais Ações Permanentes (g) Variáveis (q) Protensão (p) Requalques de apoio e retração D F G T D F D F 1,4 1) 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 Onde: D é desfavorável, F é favorável, G representa as cargas variáveis em geral e T é a temperatura. 1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. Fonte: NBR 6118 (2007). Tabela 7. Coeficiente. Ações 1) Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas 0,5 0,4 0,3 Cargas acidentais de concentrações de pessoas 2) Locais em que há predominância de pesos de edifícios equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo ou de elevada 0,7 0,6 0,4 concentração de pessoas 3) Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens. 0,8 0,7 0,6 Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas 0,6 0,3 0 Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 1) Para valores de relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga. 2) Edifícios residências 3) Edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios públicos Fonte: NBR 6118 (2007).

42 Coeficientes de ponderação das ações no estado limite de serviço (ELS) O coeficiente das ações para estados limites de serviço é dado pela expressão (NBR 6118, 2007, pg ): onde: = 1 para combinações raras; = Ψ 1 para combinações frequentes; = Ψ 2 para combinações quase permanentes (11) 2.8 Combinações das ações Em uma estrutura raramente estará incidindo apenas uma ação. Devido a isso é preciso combinar as ações de maneira que se aproxime de um modelo real. Uma edificação precisa ser projetada para atender a diversas combinações de ações ponderadas, de modo que os efeitos mais desfavoráveis possíveis à estrutura sejam levados em conta (KIMURA, 2007, pg. 74) Classificação das combinações As combinações podem ser subdivididas em dois grupos: combinações últimas (onde se verifica os estados limites últimos) e combinações de serviço (onde se verifica os estados limites de serviço) Combinações últimas As combinações últimas usuais em uma edificação podem ser calculadas de acordo com a seguinte fórmula (NBR 6118, 2007, pg. 61):

43 42 onde: ( ) (12) é o valor de cálculo das ações para combinação última; representa as ações permanentes diretas (peso próprio, empuxo); representa as ações permanentes indiretas ( retração, imperfeições...); representa as ações variáveis diretas das quais o é escolhida principal (cargas de uso, vento...); definidos conforme tabela ; definidos conforme tabela Combinações de serviço As combinações de serviço são definidas de acordo com a sua permanência na estrutura e devem ser verificadas como estabelecido a seguir (NBR 6118, 2007, pg.62): a) quase permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas. b) frequentes: se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações. Podem também ser consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas decorrentes de vento e temperatura que podem comprometer as vedações. c) raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. As combinações quase permanentes (CQP) e frequentes (CF) podem ser encontradas pelas seguintes expressões (ABNT NBR 6118, 2007, pg. 62): CQP (13) CF (14) onde: é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço; é o valor característico das ações variáveis principais diretas; é o fator de redução de combinação frequente para ELS; é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS

44 Estabilidade global A análise da estabilidade global contempla a estrutura como um todo. Podemos definir se esta estrutura é estável ou não através de cálculos e se estimando os efeitos de segunda ordem presentes. As estruturas, para fins de cálculo, são classificadas como de nós fixos e móveis. Quando de nós fixos, os efeitos globais de segunda ordem são considerados desprezíveis, sendo estes inferiores a 10% dos efeitos de primeira ordem. Já nas estruturas de nós móveis os efeitos de segunda ordem devem ser considerados, nesse caso, superiores a 10% das reações e das solicitações relevantes da estrutura (NBR 6118, 2007). Para verificar a possibilidade de dispensa da consideração dos esforços globais de segunda ordem pode-se utilizar processos aproximados. Atualmente a norma NBR 6118, 2007 permite a avaliação da estabilidade global pelo coeficiente Gama-Z e parâmetro Alfa Coeficiente Gama-Z ( ) Parâmetro de estabilidade global para edificações de concreto armado que pode ser empregado em estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Além de avaliar se a estrutura é estável ou não, permite estimar os esforços de segunda ordem presentes na estrutura (MONCAYO, 2011). O cálculo do se torna mais preciso ao se analisar estruturas simétricas, com pavimentos tipos idênticos e regularidade dos elementos estruturais. Primeiramente se parte de uma análise linear da estrutura onde se obtém os momentos de primeira ordem e os respectivos deslocamentos. Devido a estes deslocamentos altera-se o ponto de aplicação da carga vertical, gerando um acréscimo de momento fletor, surgindo o momento de segunda ordem. Cada interação provoca um acréscimo de momento que diminui até a estrutura estar em equilíbrio (FRANCO; VASCONCELOS, 1991).

45 O momento final é obtido através do somatório dos momentos de primeira ordem e as sucessivas interações (CEP-FIP, 1978): 44 (15) Figura 21. Determinação do momento final M 2. Fonte: CEB-FIP (1978) (16) Esse processo está baseado na teoria de que o momento de primeira ordem e as sucessivas interações pode ser comparado com uma progressão geométrica infinita de razão menor que um (CEP-FIP, 1978). O resultado obtido de Gama-Z já fornece a magnitude dos efeitos de segunda ordem. Para estruturas de nós fixos, respeita-se a condição de 1,1, podendo assim dispensar os efeitos de segunda ordem. O valor máximo admitido de Gama-Z é de 1,3 (Giugliani; Viegas, 2012).

46 Define-se o cálculo do valor de para uma determinada combinação de carregamento pela seguinte expressão (NBR 6118, 2007, pg. 93): 45 (17) é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos em primeira ordem. é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura. Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida à condição 1,1 (NBR 6118, 2007 pg.93) Parâmetro α O parâmetro é capaz de classificar a estrutura quanto a sua estabilidade global, porém não é possível, através dele, se estimar os efeitos de segunda ordem. A estrutura é considerada de nós fixos se o parâmetro de instabilidade for menor que. O valor de α é definido pela seguinte expressão (NBR 6118, 2007, pg. 92): onde: onde: = 0,2 + 0,1n se: n 3 = 0,6 se: n 4 (18) n é o numero de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de nível pouco deslocável do subsolo; H tot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; N k é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de H tot ), com seu valor característico; E cs+ I c representa o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, pode ser considerado o valor da expressão E cs+ I c de um pilar equivalente de seção constante.

47 46 O valor de I c deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares e para o módulo de E cs pode-se adotar o valor de 0,85 vezes o módulo de deformação tangente inicial E ci, de acordo com a seguinte formulação (NBR 6118, 2007, pg. 23): (em MPA) (19) (20) A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma (NBR 6118, 2007, pg. 92): Calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob ação do carregamento horizontal; Calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livro no topo, de mesma altura H tot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo. O valor limite α 1 = 0,6 prescrito para n 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Pode ser adotado para associações de pilares-parede e para pórticos associados a pilares-parede. Pode ser aumentado para α 1 = 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede e deve ser reduzido para α 1 = 0,5 quando só houver pórticos. Observa-se que α é calculado utilizando-se a rigidez integral e esforços característicos, pois na definição de α 1 já se leva em conta um carga majorada em 40% e redução da rigidez em 30% (FRANCO, 1985). O parâmetro Alfa é ainda utilizado frequentemente, mesmo não sendo tão preciso como outros métodos de análise da estabilidade. Uma de suas limitações é da impossibilidade de retratar a real rigidez dos elementos da estrutura, quando estes variam ao longo da edificação. Em estruturas que possuem casa de máquinas e reservatórios nos andares superiores, os resultados do parâmetro Alfa podem fornecer resultados imprecisos, isso devido a pouca rigidez presente nesta parte da edificação (ANDRADE, 2011).

48 Processo P Delta P-Delta é um efeito presente em qualquer estrutura submetida a forças axiais. Trata-se de um método de análise não linear, através do qual, é possível se obter os esforços de primeira e segunda ordem (LOPES, 2005). Trata-se de um processo interativo, começa-se com a análise da estrutura na sua configuração geométrica inicial. Depois de estabelecidos os momentos de primeira ordem calculam-se os deslocamentos na estrutura. Com estes deslocamentos surgem excentricidades, que juntamente com as cargas verticais resultam em uma nova força lateral fictícia que geram um novo deslocamento. Esse processo segue até o momento em que se se possa considerar a estrutura em equilíbrio. A ideia básica deste método consiste em suprir os efeitos causados pela alteração geométrica da estrutura, acrescentado cargas equivalentes. Apesar de ser um método de cálculo rigoroso pode ser programado para emprego prático, conforme a seguinte explicação e podendo ser mais bem compreendido analisando a figura 22 (FUSCO, 1981, pg ): O processo se desenvolve por aproximações sucessivas. Na 1 a etapa é feita uma analise linear de 1 a ordem, calculando-se os deslocamentos horizontais dos diferentes andares. Na 2 a etapa vão ser considerados os efeitos dos deslocamentos horizontais calculados na etapa anterior. Todavia, em lugar de as barras serem consideradas com deformações inicias [...] admite-se novamente a configuração inicial do pórtico, substituindo-se o efeito de 2 a ordem por um efeito de 1 a ordem equivalente. Para isso, na 2 a etapa serão considerados forças horizontais suplementares, calculadas por critério análogo ao empregado na determinação do efeito de contraventamento. Desse modo, admitindo-se para essa finalidade que todos os nós sejam articulados, a força horizontal de sustentação é dada, em cada nó pela expressão: (21) Sucessivamente são calculados os deslocamentos horizontais quantas vezes se julgar necessário até que a estrutura seja considerada em equilíbrio. Deve-se, em cada etapa, avaliar a rigidez de cada barra levando em conta os esforços obtidos na etapa anterior (FUSCO, 1981).

49 48 Figura 22. Verificação exata da segurança contra a instabilidade de pórticos hiperestáticos. Fonte: Fusco (1981)

50 49 3 METODOLOGIA 3.1 Considerações principais Pretende-se, neste trabalho, realizar análises em âmbito de estabilidade global e efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado. Para isso serão analisadas estruturas de diferentes formas geométricas compostas por elementos estruturais de rigidez variável. Optou-se por realizar as análises em estruturas com um amplo número de pavimentos, onde é mais perceptível a instabilidade. As edificações estudadas serão compostas de 11 até 15 pavimentos. Com o intuito de conhecer as estruturas mais eficazes perante os efeitos de segunda ordem, as edificações serão constituídas por pórticos, paredes estruturais e núcleos rígidos. Neste trabalho, não se considerou a interação solo-estrutura. Admitiu-se as estruturas engastadas no solo. Sabe-se da importância de se considerar o comportamento do solo na estabilidade global, porém, por ser um assunto complexo não será abordado neste estudo. Considerando a complexidade dos cálculos de estabilidade global, as verificações das estruturas serão realizadas com auxílio de software de cálculo e análise estrutural. 3.2 Procedimentos para desenvolvimento do projeto de pesquisa Inicialmente, definiu-se as edificações a serem analisadas. As dimensões das estruturas foram determinadas, unicamente, a fim de possibilitar uma análise mais precisa dos efeitos de segunda ordem. A consideração dos efeitos do vento nas estruturas de concreto armado é obrigatória, conforme NBR 6118, A ação do vento seguirá o método de cálculo definido pela NBR 6123, 1988.

51 50 As cargas atuantes na estrutura, sendo estas permanentes ou acidentais, serão consideradas a partir da NBR 6120, Já as combinações de serviços e últimas serão definidas conforme NBR 6118, A comparação dos resultados será feita a partir da análise de oito combinações últimas. Será considerada a incidência de vento em quatro direções, atuando como ação variável principal ou secundária. As ações na estrutura serão calculadas pelo método de pórtico espacial e a estabilidade global por três diferentes métodos: Parâmetro, Coeficiente e processo. Os cálculos serão realizados com auxilio dos softwares Eberick e TQS.

52 51 4 VERIFICAÇÃO E ANÁLISE DAS ESTRUTURAS Nos casos estudados procurou-se verificar quais os fatores que influenciam a estabilidade global das estruturas de concreto armado bem como os métodos de cálculos e suas limitações. 4.1 Critérios de projeto Serão analisadas e comparadas diferentes estruturas nos casos a seguir. Porém algumas características são comuns a todas. Características e parâmetros constantes em todos os exemplos: Critérios de projeto: Concreto: C25 (25 MPa) Cobrimento: Vigas (3,0 cm), pilares (3,0 cm), lajes (2,5cm). Classe de agressividade ambiental: Classe II (Moderada) Módulo de elasticidade: MPa Cargas verticais atuantes nas estruturas: Peso próprio dos elementos (vigas, pilares e lajes maciças): 25 kn/m³ Carga acidental sobre lajes: 1,5 kn/m³ Carga de revestimento: 1,0 kn/m³ Carga de paredes sobre as vigas: 1,3 kn/m³ (paredes: 15 cm de espessura) Pé direito: 2,80m Considerações do vento: Velocidade básica: 45m/s Fator topográfico: 1,00 (terreno plano ou fracamente acidentado) Fator estatístico: 1,00 (edificações em geral) Categoria de rugosidade do terreno: IV (terrenos com obstáculos numerosos e pouco espaçados). Coeficiente de arrasto: baixa turbulência

53 Combinações Utilizou-se oito combinações últimas diferentes para análise da estabilidade global. Para obter resultados mais precisos as forças do vento foram classificadas como ações variáveis diretas principais e também como ações variáveis diretas secundárias. V1, V2, V3, V4, indicam o sentido do vento. G1 e G2 representam as cargas permanentes (peso próprio e carga adicional). Q representa a carga acidental e V o vento. Tabela 8. Direção do vento e combinações últimas. Direção do vento Eixo X (+) Eixo X (-) Eixo Y (+) Eixo Y (-) Eixo X (+) Eixo X (-) Eixo Y (+) Eixo Y (-) Combinações últimas 1.4G G x 0.5Q + 1.4V1 1.4G G x 0.5Q + 1.4V2 1.4G G x 0.5Q + 1.4V3 1.4G G x 0.5Q + 1.4V4 1.4G G Q x 0.6V1 1.4G G Q x 0.6V2 1.4G G Q x 0.6V3 1.4G G Q x 0.6V4 Figura 23. Direção do vento

54 53 Nas tabelas de verificação da estabilidade global é possível visualizar os parâmetros utilizados para cálculo do coeficiente Gama-Z, para cada direção do vento. Nas tabelas da análise P-Delta são fornecidos os deslocamentos médios e esforços horizontais em cada pavimento, originados na análise de primeira ordem e de segunda ordem, podendo assim se verificar os acréscimos de esforços obtidos através do processo P-Delta. 4.3 Primeira análise Neste caso será analisada a influência da rigidez dos pilares na estabilidade da estrutura. Esta edificação é composta por 13 pavimentos idênticos, sendo sua dimensão no eixo X maior que no eixo Y. A não linearidade física foi considerada de maneira aproximada, adotando-se para pilares, para vigas e para lajes. O comportamento da estrutura será analisado por dois parâmetros de estabilidade: Gama Z, Alfa. Para auxiliar na análise da estabilidade global utilizou-se o software TQS. Figura 24. Vista 3D, 1ª análise.

55 54 Figura 25. Forma do pavimento tipo, 1ª análise. Tabela 9. Verificação da estabilidade global da estrutura da 1ª análise. Direção do vento Combinações Gama-Z Alfa (α) X (+) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V X (-) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Y (+) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Y (-) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Resultados Pode-se observar, através dos resultados fornecidos pelo programa, que a estrutura é estável na direção Y(+), Y(-) e instável na direção X(+), X(-). Os dois parâmetros se mostraram eficientes para classificação da estrutura. Na análise do parâmetro alfa o limite de 0,6 para estruturas de nós fixos foi comprovado (tabela 9). O valor limite de Gama-Z de 1,10 para estruturas de nós fixos também (tabela 9). Na direção X além da estrutura ser considerada de nós móveis, ocorreu problemas de estabilidade, ultrapassando os limites de segurança estabelecidos pela norma NBR 6118, Considerando a geometria da estrutura

56 55 pode-se pensar que a direção mais estável seria aquela com menor esbeltez (eixo X ). Porém o mais importante a se observar é a rigidez dos pilares neste sentido, que é bem menor que na direção Y. Em estruturas simétricas, o coeficiente Alfa demonstrou-se eficaz na verificação da estabilidade. E mesmo não sendo capaz de estimar os esforços globais finais foi possível classificar a estrutura. Nos resultados obtidos do Gama-Z além de classificar a estrutura, pode-se encontrar os valores aproximados dos efeitos de segunda ordem em relação aos de primeira ordem. Na direção X os efeitos de segunda ordem equivalem a 37,9% dos efeitos de primeira ordem e na direção Y equivalem a 8,4%. 4.4 Segunda análise Neste caso, será verificada a influência das vigas na estabilidade global. A edificação é composta por 11 pavimentos idênticos e simétricos nas direções X e Y. Na primeira verificação a estrutura foi analisada com suas respectivas vigas de 25 cm x 45 cm, posteriormente a altura das vigas V 1, V 2 e V 3 foi reduzida para 30 cm. A não linearidade física, para análise dos esforços globais, foi considerada de maneira aproximada, adotando-se para vigas e pilares, por se tratar de uma estrutura contraventada por vigas e pilares. Para auxiliar na análise da estabilidade global utilizou-se o software TQS. Figura 26. Vista 3D, 2ª análise

57 56 Figura 27. Forma pavimento tipo, 2ª análise. Tabela 10. Verificação da estabilidade global da estrutura da 2ª análise. Direção do vento Combinações Gama-Z Alfa Eixo X (+) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Eixo X (-) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Eixo Y (+) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Eixo Y (-) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Tabela 11. Verificação da estabilidade global da estrutura da 2ª análise (considerando V 1, V 2 e V 3 com altura de 30 cm). Direção do vento Combinações Gama-Z Alfa Eixo X (+) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Eixo X (-) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Eixo Y (+) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V Eixo Y (-) 1.4G1+1.4G2+1.4Q+0.84V

58 Resultados Na verificação da estabilidade global do primeiro caso (tabela 10) a estrutura foi classificada como estável de nós fixos nas duas direções, pois os efeitos de segunda ordem não ultrapassam o limite de 1,10 no valor do Gama-Z. No segundo caso (tabela 11) com a redução da altura das vigas para 30 cm, a fachada lateral onde atua o vento X, passou a ser classificada como uma estrutura estável de nos móveis. A redução da altura elevou o valor de Gama-Z para 1,19. As vigas em conjunto com os pilares formam pórticos ocasionando travamento à estrutura. Foi possível perceber que os pórticos formados pelas vigas V1, V2 e V3, foram afetados pela redução da altura dessas vigas. 4.5 Terceira análise Neste caso foi analisada uma estrutura de 12 pavimentos com balanço no eixo Y. Sabe-se que, assim como o vento, a excentricidade das cargas verticais provenientes da laje em balanço provocam efeitos de segunda ordem que deveriam ser considerados no cálculo da estabilidade global. No entanto, na formulação do Gama-Z consideram-se apenas os deslocamentos oriundos do vento. A não linearidade física, para análise dos esforços globais, foi considerada de maneira aproximada, adotando-se para pilares, para vigas e para lajes. Para auxiliar na análise da estabilidade global e esforços de segunda ordem utilizou-se o software Eberick.

59 58 Figura 28. Vista 3D, 3ª análise. Figura 29. Forma pavimento tipo, 3ª análise.