A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: ANÁLISE DA COMPREENSÃO DO CONCEITO DE M.D.C. (MÁXIMO DIVISOR COMUM)

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1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: ANÁLISE DA COMPREENSÃO DO CONCEITO DE M.D.C. (MÁXIMO DIVISOR COMUM) Angelo Pedrote Caon 1 Tânia da Silveira Cardona 2 Resumo 1 UFJF/Instituto de Ciências Exatas, angelopedrote@hotmail.com 2 UCAM/Formação de professores, taniacardona@bol.com.br A Resolução de Problemas no ensino da matemática apresenta-se como uma estratégia que traz significado ao conhecimento, quando é proposto ao aluno, situações desafiadoras. O presente trabalho tem por finalidade a utilização da Resolução de Problemas como metodologia de ensino, seguindo o método proposto por Polya (1978) com a separação do método em quatro etapas: compreensão do problema; construção de uma estratégia de resolução; execução da estratégia e revisão da solução. A situação-problema foi aplicada ao sexto ano do ensino fundamental de um estabelecimento de ensino privado do município do Rio de Janeiro, RJ. Essa situação-problema consistia de duas atividades: uma referente ao conteúdo de MDC (Máximo Divisor Comum) e outra referente ao conteúdo das quatro operações, porém, nessa última os alunos precisavam entender plenamente o problema para que se fizesse corretamente a escolha dos cálculos. O maior desafio, nesse caso, apresentou-se na interpretação do problema e não na resolução deste após o seu entendimento. A metodologia, desta forma, mostrou-se eficaz para o levantamento de conhecimentos prévios sobre o MDC e como ponto de partida para um aprendizado matemático posterior, ou seja, a fim de possibilitar a vinculação entre os conteúdos para que estes possam ser tratados de forma mais gradual e consequentemente mais natural sem perder a efetividade. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Metodologia de Ensino; Ensino da Matemática; Máximo Divisor Comum; Conceito. A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO Durante muito tempo o ensino era visto como problema do professor e a aprendizagem como um problema do aluno. Esse era um traço característico de uma escola que se organizava segundo a lógica da exclusão em favor da qual contava com um recurso poderoso: a reprovação. Ao longo dos anos as atividades de ensino que antes giravam sobre o domínio do conteúdo, acompanhadas de uma boa capacidade de comunicação e de domínio de classe, tornaram-se mais complexas. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1998), a resolução de problemas possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como expandir a visão que têm dos problemas da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. A atividade de resolver problemas é algo presente na vida das pessoas e introduzir um aprendizado nessa diretriz envolvendo matemática é antes de qualquer coisa uma ideia

2 muito interessante. Esse aprendizado auxilia o aluno a enfrentar novas situações em outras áreas de conhecimento. Mesmo sendo interessante utilizar essa tendência como metodologia de ensino da matemática, ela é uma das formas mais difíceis de ser trabalhada como afirma Dante (1998): [...] embora tão valorizada, a resolução de problemas é um dos tópicos mais difíceis de serem trabalhados na sala de aula. É muito comum os alunos saberem efetuar os algoritmos e não conseguirem resolver um problema que envolva um ou mais desses algoritmos. Isso se deve à maneira com que os problemas matemáticos são trabalhados na sala de aula e apresentados nos livros didáticos, muitas vezes apenas como exercícios de fixação dos conteúdos trabalhados. (DANTE, 1998, p. 8) Exatamente contra essa perspectiva que aponta a utilização de exercícios de fixação como forma de aprendizado é que devemos buscar a resolução de uma situação-problema, uma vez que ela envolve muito mais que a simples resolução das operações. A situaçãoproblema deve possibilitar ao aluno desenvolver estratégias para solucioná-la à sua maneira de acordo com a realidade e raciocínio. No contexto escolar, situação-problema é como uma situação didática na qual se propõe ao sujeito uma tarefa que ele não pode realizar sem efetuar uma aprendizagem precisa. Essa aprendizagem, que constitui o verdadeiro objetivo da situação-problema se dá ao vencer o obstáculo na realização da tarefa (MEIRIEU, 1998, p. 192). Dessa forma, um problema se constitui de uma situação, da qual a solução não é inicialmente conhecida por aquele que a enfrentará. O caminho da utilização desta metodologia se mostra então promissor, entretanto: [...] para que isso aconteça, os professores devem, em um primeiro momento, analisar e discutir suas concepções e seus conhecimentos sobre educação, conhecimento matemático, ensino, aprendizagem, avaliação, entre outros elementos presentes no trabalho docente para verificar se são consistentes diante dessa perspectiva de ensinar e aprender Matemática. (ROMANATTO, 2012, p. 1) Os professores no âmbito da utilização da metodologia entram com frequência em uma zona de risco, na qual há muita imprevisibilidade e incerteza o que gera a necessidade constante de avaliação das consequências das ações propostas. Segundo Carvalho e Gil-Perez (2000), o surgimento de situações inesperadas é uma constante e exige do professor um domínio bastante amplo do conteúdo matemático, ou seja: a) como um determinado conteúdo foi construído ao longo da história do conhecimento matemático; b) conhecer as orientações metodológicas empregadas na construção de determinada área da Matemática; c) conhecer os obstáculos epistemológicos ou didáticos relacionados aos mais diversos conteúdos da Matemática; d) saber selecionar conteúdos adequados e que sejam acessíveis aos estudantes e suscetíveis de interesse; e) estar predisposto a aprofundar conhecimentos assim como adquirir outros e g) ter conhecimentos de pesquisas em educação matemática. Quanto à necessidade do professor em ter conhecimentos de pesquisas em educação matemática, falando especialmente desse tópico citado, é importante a atenção quanto à formação continuada do professor para que este possa abordar resolução de problemas matemáticos não somente como uma metodologia de ensino, mas como uma tendência de educação matemática, visando assim à melhoria de práticas pedagógicas. Assim, através da experiência vivenciada em sala de aula ao abordar problemas matemáticos, trocar informações com seus pares, refletir sobre as práticas, produzir

3 conhecimentos novos e significativos na área educacional demonstra que os sujeitos estão abertos a mudanças e inovações e dispostos a contribuir na qualidade dos processos de ensino e de aprendizagem da Matemática. A heurística de resoluções de problemas especificamente de matemática foi apresentada primeiramente por George Polya em seu livro How to solve it no ano de Polya (1978) dividia o processo de resolução de um problema em quatro etapas: compreensão do problema; construção de uma estratégia de resolução; execução da estratégia e revisão da solução. METODOLOGIA O processo metodológico utilizado foi do tipo pesquisa bibliográfica, com abordagem qualitativa, por meio da qual se estudou e analisou a metodologia de resolução de problemas no ensino e aprendizagem de matemática em uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental II. Utilizou-se o método proposto por Polya, seguindo-se as quatro etapas, para a resolução do seguinte problema: Cada grupo tem 40 canudos de 8 cm e 60 canudos de 6 cm. Queremos cortar todos em pedaços do mesmo tamanho o maior possível. 1 Qual será o tamanho de cada pedaço? 2 Quantos pedaços serão obtidos? Para a resolução deste problema, selecionamos 16 de 35 alunos de uma turma utilizando como critério suas notas que foram obtidas a partir de testes realizados com o objetivo de avaliar o conteúdo prévio dos alunos. As notas dos testes foram organizadas em um rol decrescente de notas e assim selecionamos as oito maiores e as oito menores notas. Estes alunos foram separados em quatro grupos homogêneos de quatro alunos cada um. Os grupos foram divididos assim para que os alunos que apresentam melhores resultados nos testes não impedissem a participação daqueles que tiveram os piores resultados. Em um primeiro momento conseguimos perceber o quão grande foi a dificuldade dos alunos dos quatro grupos em entender o problema. Os grupos que tiveram melhores resultados discutiram inicialmente a compreensão do enunciado. Os grupos que tiveram os piores resultados discutiram supostos resultados. Foram realizadas intervenções constantes sobre cada grupo, colhendo suas dúvidas e apresentando novas suposições para que assim continuassem a buscar um entendimento correto sobre o problema com o cuidado de não dar a explicação imediata da correta interpretação. Ficou clara a dificuldade de entendimento das sentenças matemáticas por parte dos alunos e que essa dificuldade se deve pela maneira com que estes leem os textos referentes aos problemas a serem resolvidos. Uma leitura superficial dificulta a interpretação e, assim, torna quase impossível a resolução dos problemas propostos. Os grupos com melhores resultados conseguiram concluir a primeira etapa primeiro. Baseando-se no problema da interpretação de texto encontrada nos alunos perante a tentativa de resolução do problema matemático, FONSECA e CARDOSO (2005) citam que: [...] é necessário conhecer as diferentes formas em que o conteúdo do texto pode ser escrito. Essas diferentes formas também constituem especificidades dos gêneros textuais próprios da matemática, cujo

4 reconhecimento é fundamental para a atividade de leitura. (FONSECA e CARDOSO, 2005, p. 65) Ao iniciar a segunda etapa, nenhum grupo percebeu que seria necessário utilizar a resposta da primeira questão para responder a segunda. Após algumas intervenções em cada um dos grupos, eles foram compreendendo o problema aos poucos. No momento de se estabelecer um plano para a resolução, apenas o 1º grupo conseguiu pensar em algum plano. Os outros grupos foram orientados a tentar imaginar a resolução através dos canudos que estavam sobre a mesa. A utilização dos pedaços de canudos cortados exatamente na quantidade e tamanhos propostos pelo problema foi uma estratégia para que houvesse outra forma de auxilio no aprendizado, afinal o trabalho através da manipulação de objetos possibilita o desenvolvimento da criança em habilidades como discriminação e memória visual. É muito difícil, ou provavelmente impossível, para qualquer ser humano caracterizar espelho, telefone, bicicleta ou escada rolante sem ter visto, tocado ou utilizado esses objetos. Para as pessoas que já conceituaram esses objetos, quando ouvem o nome do objeto, sem precisarem dos apoios iniciais que tiveram dos atributos tamanho, cor, movimento, forma e peso. Os conceitos evoluem com o processo de abstração; a abstração ocorre pela separação. (LORENZATO, 2006, p. 22). Para que eles entendessem o cálculo que seria necessário ser feito pedimos que todos os grupos pegassem dois canudos amarelos (com 6 cm cada) e colocassem estes lado a lado. Em seguida perguntamos: se tivéssemos que cortar esse canudo grande em pedaços de 2 cm (resposta da primeira questão), quantos pedaços teríamos? Dessa vez demoraram alguns segundos e todos responderam corretamente. Depois de responderem essa última pergunta, a maioria deles teve a mesma reação de descoberta, surpresa. Em seguida os grupos ficaram em silêncio e começaram a fazer cálculos, foi então que um aluno do último grupo perguntou como seria feito com os canudos vermelhos. Pedi a atenção de todos os grupos e refiz a pergunta do aluno para todos, sem identificar a origem da pergunta para não o expor. A maioria respondeu que deveria proceder da mesma forma que foi feito com os canudos amarelos, o que também está correto. O primeiro grupo prontamente deu o resultado final corretamente. Em seguida o segundo grupo apresentou sua resposta que nesse caso estava errada, aparentemente por conta de uma aluna com perfil muito competitivo que tentou apressar-se tomando a frente do grupo e fatalmente esqueceu-se de alguns detalhes de interpretação relevantes. O último grupo, em seguida, respondeu corretamente enquanto o segundo grupo corrigia seus erros. Após isso, os outros grupos apresentaram simultaneamente a resposta correta. Quando todos os grupos já haviam apresentado as respostas, pedimos que prestassem atenção para que pudéssemos refletir juntos sobre o trabalho realizado. Primeiramente, referindo-se à primeira pergunta, questionamos o porquê de utilizarmos o MDC para a resolução do problema. A maioria não soube responder imediatamente até que um aluno do quarto grupo respondeu: como o problema é sobre divisão dos canudos e o tamanho tem que ser o maior possível, então é porque tem que ser máximo divisor comum. Explicamos que ele estava parcialmente correto, mas que o fato de ser um problema sobre divisão e valor máximo não implica automaticamente na utilização do MDC. Questionamos então se não haveria outra forma de se resolver esse problema. Uma aluna do terceiro grupo disse que sim. Então ela mostrou que bastava encontrar os divisores de 6 (tamanho do canudos menores) e em seguida os divisores de 8 (tamanho dos canudos maiores). Depois disso, deveríamos circular os divisores comuns e a resposta certa

5 seria o maior número circulado, no caso, o 2. Alguns alunos então questionaram que esse método também era MDC só que feito de uma forma diferente. Respondemos que realmente era, mas que a resposta atendia a pergunta feita e, além disso, se o trabalho fosse feito dessa forma, talvez ficasse mais fácil de entender porque utilizamos MDC para resolver esse problema. A resolução de problemas como metodologia de ensino fez com que os alunos utilizassem seus conhecimentos matemáticos já adquiridos e desenvolvessem a capacidade de administrar as informações ao seu redor. Dessa forma, os alunos ampliaram seu conhecimento, desenvolveram seu raciocínio lógico e conheceram algumas das aplicações da matemática, no caso, o MDC. Além disso, para nós professores foi muito bom trabalhar com a metodologia, pois tornou a aula mais interessante e motivadora. Ensinar matemática desta maneira auxilia na compreensão do conceito, processo ou técnica matemática, em que o aluno é motivado a relacionar aprendizados matemáticos a outros contextos também matemáticos. Dessa forma, após essa abordagem com os alunos do sexto ano do ensino fundamental, constatou-se que os objetivos propostos foram alcançados com êxito, pois foi possível perceber que os alunos utilizaram seus conhecimentos matemáticos como recursos para interpretar, analisar e resolver o problema. Esperamos que após um trabalho contínuo de ensino da matemática utilizando tal metodologia, os alunos aprimorem sua capacidade de busca de resultados para a solução de situações-problema trabalhadas. Além disso, o fato de se compreender a matemática por meio de seu próprio raciocínio traduz uma intenção autônoma do aluno, que deve também ser estimulado através de orientação do professor durante a resolução do problema proposto. REFERÊNCIAS BRASIL, Ministério da Educação e da Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (Matemática). Brasília: A Secretaria, CARVALHO, A. M. P.; GI-PEREZ, D. Formação de Professores de Ciências: Tendências e Inovações. São Paulo: Cortez, DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, FONSECA, Maria C. F. R.; CARDOSO, Cleusa de A. Educação matemática e letramento: textos para ensinar matemática, matemática para ler texto. In: NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (Orgs.). Escritas e Leituras na Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, p LORENZATO, Sergio. O Laboratório de Ensino na Formação de Professores. Campinas: Autores Associados, MEIRIEU, P. Aprender... sim, mas como? 7ª Ed.. Trad. Vanise Dresch. Porto Alegre: Artes Médicas, POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, ROMANATTO, M. C. Resolução de Problemas nas Aulas de Matemática. Revista Eletrônica de Educação, v. 6, nº1, p São Carlos: UFSCar, 2012.