SITUAÇÕES MATEMÁTICAS SOB O OLHAR DA MODELAGEM MATEMÁTICA, RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

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1 SITUAÇÕES MATEMÁTICAS SOB O OLHAR DA MODELAGEM MATEMÁTICA, RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA Lilian Akemi Kato Universidade Estadual de Maringá Denise Knorst da Silva Universidade Federal do Mato Grosso do Sul Claudia Carreira da Rosa Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari Jader Otavio Dalto Universidade Federal do Mato Grosso do Sul Resumo: Este mini-curso pretende comparar e analisar três tendências da Educação Matemática, Modelagem Matemática, Resolução de Problemas e Investigação Matemática, quando aplicadas a uma mesma situação. A Modelagem Matemática é entendida, neste trabalho, como uma proposta metodológica que possibilita aos estudantes, a pesquisa sobre problemas advindos, ou não, da Matemática. A elaboração dos conceitos matemáticos envolvidos ocorre concomitantemente à busca de uma solução adequada para o problema. A Resolução de Problemas é entendida como uma ferramenta didática na qual um conteúdo matemático pode ser explorado a partir da busca da solução do problema apresentado, com possíveis discussões acerca dos resultados obtidos. A Investigação Matemática, embora esteja presente implicitamente nas duas tendências anteriores, possui algumas características pertinentes, como a emulação para formular questões e perseguir uma linha de raciocínio objetivando determinar um padrão ou um modelo. Assim, pretende-se relacionar e discriminar alguns aspectos dessas três tendências da Educação Matemática a fim de aproximá-las nos aspectos comuns quanto a sua implementação na sala de aula e nos aspectos relacionados ao professor, aluno e saber. Palavras-chave: Modelagem matemática; Resolução de problemas; Investigação matemática. Introdução Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino da Matemática (Brasil, 1998), apontam que é de fundamental importância ao professor identificar as principais 1

2 características dessa ciência, de seus métodos, de suas ramificações e aplicações, bem como conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula para que construa a sua prática. Entre as possibilidades metodológicas disseminadas pela a área da Educação Matemática estão a Resolução de Problemas, a Modelagem Matemática e a Investigação Matemática1. Essas são amplamente utilizadas na formação de professores e recomendadas para que o ensino da matemática se afaste de uma concepção baseada em definição, exemplos, exercícios, fundamentando-se em uma concepção que tem um caminho inverso, ou seja, a aprendizagem de um novo conceito matemático se dá pela apresentação de uma situação problema ao aluno, ficando a formalização do conceito como a última etapa do processo de aprendizagem. A Resolução de Problemas, a Modelagem e as Investigações, conforme a definições adotadas, podem apresentar aspectos em comum e apresentar aspectos que as diferenciam. Nesse trabalho, a intencionalidade é estabelecer alguns parâmetros de comparação entre as três possibilidades metodológicas, num entendimento de que as situações apresentadas poderão contribuir para a utilização dessas no ensino da matemática e com o debate sobre as suas implicações pedagógicas no ensinar e aprender matemática. Modelagem Matemática A Modelagem é defendida na área da Educação Matemática com argumentos que podem ser resumidos em: possibilidade de um ensino com maior motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para utilizar a matemática em diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão do papel sócio-cultural da matemática. Assim, podemos dizer que a Modelagem é entendida de diferentes formas, que vão desde uma concepção mais genérica de aplicação de matemática em outras áreas do conhecimento, até o entendimento de abordagem pedagógica capaz de associar efetivamente a matemática a outras realidades mediante um processo de investigação. 1 Ao longo do texto Modelagem Matemática será designada por Modelagem e Investigações Matemáticas por Investigações. 2

3 Para Barbosa (2003), Modelagem é um ambiente de aprendizagem em que os alunos são convidados a atuarem sobre situações aplicadas, mediante problematização (criar perguntas) e investigação (busca, seleção, organização, manipulação de informações e reflexões sobre elas). Bassanezi (2006) considera a Modelagem Matemática uma atividade humana cujo desenvolvimento está intrínseco nos problemas da vida social e pode ser compreendida de maneiras distintas de acordo com a atividade desenvolvida pelo profissional que a está utilizando. No âmbito da Educação Matemática, D Ambrosio (1986) considera a Modelagem Matemática como uma forma de interação do conteúdo de sala de aula com questões reais. De acordo com o autor a Modelagem Matemática é um processo muito rico de encarar situações reais, e culmina com a solução efetiva do problema real e não uma simples resolução formal de um problema artificial (p.121). Almeida e Brito (2005 a) considera a Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não essencialmente matemático. Neste contexto, os autores defendem que a modelagem permite uma compreensão mais global acerca da situação investigada, buscando uma resposta para um problema cuja origem não está, de modo geral, na própria Matemática. Outro fator importante sobre a Modelagem Matemática diz respeito aos diferentes aspectos que podem ser evidenciados numa atividade, podendo assim variar o objetivo central com que a atividade é desenvolvida. Com base nestes aspectos, Kaiser e Sriraman (2006) sistematizaram cinco perspectivas. Essas perspectivas evidenciam diferentes aspectos quanto ao objetivo central com que a atividade de Modelagem é desenvolvida em contextos educativos. Para o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática em sala de aula, em geral, se segue uma seqüência de procedimentos: a identificação do problema, a identificação e seleção das variáveis, a formulação de hipóteses, a dedução e a validação do modelo. Esses procedimentos podem ser chamados de etapas ou rotas de uma atividade 3

4 de Modelagem Matemática, dependendo do autor e da abordagem com que a Modelagem é compreendida. A ordem dessas etapas pode variar, uma vez que esse processo não é linear. Dependendo do enfoque a que se pretende dar ênfase durante o desenvolvimento da atividade, as etapas podem ser menos mais enfatizadas. Vale lembrar que apesar de considerarmos a construção do modelo matemático importante na atividade de Modelagem Matemática, não o consideramos como o fim deste tipo de atividade, mas como uma alternativa que pode permitir uma compreensão mais global sobre a situação investigada e a Matemática utilizada. A partir do momento que o estudante se envolve no desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática, segundo Kaiser (2004), ele passa a ter uma visão mais geral dos problemas matemáticos passando a considerar a possibilidade de novas alternativas para resolução. Investigações Matemáticas Investigar nas aulas de matemática desperta no aluno o interesse pelas atividades de pesquisa, uma vez que as questões podem ser definidas ao longo do processo pelo investigador. Isto torna o processo de ensino aberto e imprevisível, estabelecendo uma visão da matemática como processo de/em construção, que pode desencadear a melhor compreensão de conceitos matemáticos. Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo. Só assim se pode realmente dominar os conhecimentos adquiridos. Só assim se pode ser inundado pela paixão detetivesca indispensável à verdadeira fruição da Matemática (BRAUMANN apud PONTE, 2003, p.19). As investigações são atividades de cunho aberto referentes a contextos variados que podem ter como ponto de partida uma questão ou uma situação proposta pelo professor ou pelo aluno. Os autores defendem que as investigações constituem-se em poderoso processo 4

5 de construção do conhecimento e que os alunos podem envolver-se na realização destas através de quatro momentos principais: (i) o reconhecimento da situação, sua exploração preliminar e a formulação de questões; (ii) o processo de formulação de conjecturas a partir da organização dos dados; (iii) a realização de testes e eventual refinamento das conjecturas; (iv) a justificação e avaliação do trabalho realizado, através de argumentações ou demonstrações. (Ponte et al, 2003). As atividades envolvendo investigações caracterizam-se pela ênfase dada ao processo, pois nestas as situações de ensino são mais abertas, cabendo a quem investiga um papel fundamental em sua definição e na tomada de decisões durante o processo. Um fazer pedagógico baseado nas investigações exige do docente, competências mais complexas do que parece à primeira vista, pois: É um trabalho criativo (para o qual não há receitas ) e que tem de ser feito tendo por referência alunos concretos. Este trabalho requer do professor, entre outros aspectos, agilidade matemática, uma boa noção dos conhecimentos, potencialidades e interesses dos seus alunos, bem como um bom domínio dos materiais e recursos que podem ser usados como apoio a esta atividade (OLIVEIRA, 1999, 98). Além de novas competências docentes para desenvolver processos de investigação, são necessárias novas concepções sobre o ensinar matemática, estas correspondem ao reconhecimento de que aprender matemática relaciona-se com o fazer matemática, mediante atividades em que o aluno identifique problemas, expresse suas próprias idéias e as utilize, realize testes para suas hipóteses de acordo com suas experiências prévias e argumente sobre suas considerações de forma crítica. Assim, se o aluno investiga uma situação ele se envolve com a mesma e conseqüentemente esse envolvimento faz com que o problema a ser resolvido fique algo mais pessoal despertando assim um interesse maior por sua solução. Resolução de Problemas A Resolução de Problemas, uma das tendências da Educação Matemática, é assim denominada porque considera que o estudo da Matemática é resolver problemas. De acordo com Gazire (1988), uma pessoa tem um problema quando compreende a situação, não encontra uma solução óbvia imediata, mas reconhece que tal situação exige uma ação. Para Polya (1978) aprender matemática é aprender a resolver problemas. 5

6 Em uma aula na qual a Resolução de Problemas é utilizada como metodologia de ensino de matemática, o ponto de partida da aula é a resolução de um problema e não a apresentação de uma definição, conceito ou teorema por parte do professor. Assim, é preciso que se reflita acerca de como apresentar problemas de modo que os alunos queiram resolvê-los, compreendam e se apropriem do conteúdo envolvido em sua resolução (BURIASCO, 1995). Neste sentido, o papel do professor é fundamental. Sua postura de comunicador, expositor do conteúdo deve ser substituída pela postura de observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador da aprendizagem. Ao propor problemas que desafiem os alunos, o professor acaba mudando também a postura dos alunos, que deixam de ser apenas espectadores do processo de aprendizagem, para se tornarem sujeitos ativos neste processo, responsáveis pela sua aprendizagem. Para resolver um problema, o aluno deve seguir as seguintes etapas que, de acordo com Polya (1978) não podem ser transformados em algoritmo; são elas: compreensão do problema; concepção de um plano; execução do plano e reflexão do que foi realizado. Assim, a situação de resolução de problemas leva os alunos a pensar, a fazer conexões entre os conteúdos necessários para a resolução e demais conteúdos matemáticos e nãomatemáticos. A Resolução de problemas favorece a comunicação entre os alunos, que acreditam que são capazes de fazer Matemática e que a Matemática faz sentido, desenvolvendo a confiança e a auto-valorização dos estudantes (ONUCHIC & ALLEVATO, 2004). Nesse sentido prática da Resolução de problemas está presente nas aulas de matemática desde a as séries iniciais, e, mesmo sendo modesto, se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver, por seus próprios meios, experimentará o triunfo da descoberta. Proposta do Mini-curso As três possibilidades metodológicas serão abordadas no minicurso, mediante a proposição de uma atividade de modelagem matemática, uma atividade envolvendo resolução de problemas e uma atividade de investigação. O enfoque sobre o 6

7 desenvolvimento das atividades, o estabelecimento de relações entre as três tendências e a análise quanto aos aspectos comuns entre elas, será a centralidade do mini-curso. A análise quanto aos aspectos comuns será feita a partir da discussão sobre a forma de implementação das três tendências, com foco nos aspectos relacionados ao professor, ao aluno e ao saber. No referente a implementação nas diferentes concepções de Modelagem Matemática podemos reconhecer a presença de uma situação real, a problematização e a investigação direcionada a Resolução do Problema, definida por alguns autores como busca de um modelo matemático. As investigações matemáticas são implementadas mediante uma questão ou situação aberta, exigindo do aluno, fundamentalmente, um processo de formulação, teste e justificação de conjecturas. A resolução de problemas quando implementada em sala de aula considera o problema como ponto de partida, exigindo do aluno a sua compreensão. As formas de implementação das três tendências indica, explicita ou implicitamente, a presença de uma situação, problemática ou questão capaz de suscitar a investigação pelo aluno. Essa investigação entendida como um processo de busca por estratégias cujo caminho é definido pelo(s) aluno(s) sob orientação do professor, caracterizando atividades de cunho mais aberto diante do rigor muitas vezes estabelecido em aulas mais tradicionais, entendido como ensino como transmissão de conhecimentos (verbalização) e aprendizagem como mera recepção de conteúdos (acúmulo), se traduzindo em aulas que partem de uma definição de conteúdo, exemplos e exercícios. Nesse sentido, nas três tendências, a tríade: saber, aluno e professor, apresenta características diferenciadas das tradicionais. O conteúdo de matemática na Modelagem, nas Investigações e na Resolução de Problemas é desencadeado ao longo da atividade para uma posterior formalização. Esta característica permite, na busca por estratégias pelo aluno, a utilização de conhecimentos já adquiridos e a percepção de que novos conhecimentos são necessários à resolução. Nas três tendências o aluno é parte integrante da construção do conhecimento, sendo transferida a ele, em grande parte, a responsabilidade pela sua própria aprendizagem (ator principal). O professor é mediador, gerador de situações que propiciem o confronto 7

8 de concepções. Aprendizagem se realiza quando o aluno, ao confrontar suas concepções, constrói os conceitos pretendidos pelo professor. Nessa perspectiva, a análise das implementações das três tendências sob a luz dos aspectos relacionados ao professor, ao aluno e ao saber, apresentarão indícios de que as mudanças curriculares por elas provocadas se devem a novas posturas do professor e do aluno, tornando-se mais investigativos, e de uma nova abordagem dos conteúdos de matemática, estes deixam de ser o ponto de partida e são focalizados por sua presença na atividade. Esses indícios podem contribuir para o reconhecimento, por parte dos professores, de que o uso dessas tendências implica em uma concepção diferenciada de ensinar matemática, pautada em diferentes papéis para os sujeitos professor e aluno, e em um novo olhar sobre o saber a ser ensinado. Referências ALMEIDA, L. M. W.; BRITO, D. S. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação, v.11, n. 3, p , 2005a. BARBOSA, J. C. Modelagem : O que é? Por que? Como? Veritati, n.4, p Modelagem na Sala de Aula. Perspectiva, Erechim, v. 27, n. 98, p , Junho BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, BICUDO, M. A. V.; Borba, Marcelo. C. (ORG.) Educação Matemática pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, p BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, BURIASCO, R. L.C. de. Sobre a Resolução de Problemas. Nosso Fazer. Ano 1, n.5. Secretaria Municipal de Educação de londrina, 1995, p.01. D AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. 2.ed. Campinas: Papirus,

9 GAZIRE, E. S. Perspectivas da Resolução de Problemas em Educação Matemática Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Rio Claro-SP, KAISER, G. Development of mathematical literacy-results of a empirical study. In: 10 Th International Congress in Mathematical Education, 2004,Compenhagem,Dinamarca.Disponívelem:http://www.icmeorganisers.dk/tsg20/papers.html>. Acesso em: 15 de julho de 2005 KAISER, G.; SRIRAMAN, B. A Global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, v 38, n.3, p ONUCHIC, L. DE LA R. ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensinoaprendizagem de matemática através da Resolução de Problema. In: POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, PONTE, J. P; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, OLIVEIRA, H. et al. Os Professores e as Actividades de Investigação. In: PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, SKOVSMOSE, O. Cenários para Investigação. BOLEMA, Rio Claro: Ano 13, n. 14, p. 66 a 91,

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