UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ GIOVANI MAREL TEIXEIRA APLIAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENIAIS FRAIONÁRIAS AO ONTROLE DE OLUNAS DE ABSORÇÃO uritiba 00

2 GIOVANI MAREL TEIXEIRA APLIAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENIAIS FRAIONÁRIAS AO ONTROLE DE OLUNAS DE ABSORÇÃO Dissertação apresentada ao urso de Pós-Graduação e Engenharia Quíica, Área de oncentração e Modelage, Siulação, Otiização e ontrole de Processos, Departaento de Engenharia Quíica, Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paraná, coo parte das exigências para a obtenção do título de Mestre e Engenharia Quíica Orientador: Prof. Dr. Marcelo Kainski Lenzi uritiba 00

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4 À Deus À inha grande faília À todos os eus aigos E aos diletos professores Pela confiança, incentivo e paciência, pois sozinho eu cainho não seria o eso.

5 AGRADEIMENTOS Ao Professor Marcelo Kainski Lenzi, pela orientação, incentivo, paciência, copreensão e que e possibilitou chegar nesta etapa da inha foração, ostrando ser u grande aigo. Aos colegas de pós-graduação pela aizade e copanheiriso. Aos eus aigos do EEP que convivera coigo durante este tepo nos bons e aus oentos e que e incentivara para que eu chegasse cada ais longe. Aos aigos que fiz na OPEL, que convivera e soubera e ouvir e e colaborara para eu cresciento. Aos aigos de u odo geral que confiara e confia e i, para que eu possa ir ais alé. Aos professores e funcionários do departaento de Engenharia Quíica, pela dedicação, pelo ensino e principalente pela foração profissional.

6 Que te iaginação, as não te cultura, possui asas, as não te pés. (Joseph Joubert O que sabeos é ua gota, o que ignoraos, é u oceano (Isaac Newton

7 RESUMO A engenharia de sisteas e processaento consiste, entre outras atividades, da busca novas técnicas (algoritos de controle, visando à operação do processo e de equipaentos de aneira ais eficiente. Estas técnicas busca anular o efeito de possíveis distúrbios presentes nas variáveis operacionais, para se fazer a transição de estados estacionários, a partir de udanças de set-point, de odo ais seguro e eficiente, satisfazendo ainda a legislação abiental. Desta fora, novas técnicas de controle co aplicabilidade e resultados proissores para ipleentação e plantas industriais são extreaente be vindas. Neste trabalho, aplicou-se a técnica de identificação e controle fracionário à operação unitária de absorção. A partir de dados experientais obtidos na literatura procedeu-se a identificação fracionária utilizando considerando a estiação de parâetros coo sendo u problea de otiização deterinística não-linear ultivariável, estratégia se ostrou ais eficiente, levando à obtenção de coeficiente de correlação de 0,999. Alé disso, esta estratégia levou à obtenção de odelos ateáticos que satisfizera tabé outros testes estatísticos de qualidade de ajuste. E ua segunda etapa do estudo, o odelo fracionário identificado foi utilizado e siulações de controle, considerando cinco tipos de estruturas de controle: feedback convencional, feedback convencional co copensação de tepo orto, feedback cascata, feedforward puro, feedbackfeedforward. o o odelo fracionário identificado e considerando u controlador feedback tipo P, e todas as estruturas foi alcançado o controle servo ou regulatório da coposição da corrente da saída de topo da coluna de absorção, considerando coo o distúrbio a udança da vazão da corrente de alientação de gás para a coluna. Ressalta-se que os valores dos parâetros fora arbitrariaente escolhidos, indicando ua boa robustez no uso de odelos fracionários. Por fi, deve-se ressaltar a iportante flexibilidade introduzida pelas equações diferenciais fracionárias, ua vez que a orde da equação pode u parâetro de ajuste, o que pode vir a eliinar efeitos indesejados pela alteração da dinâica do processo. Palavras chave: ontrole de processos, equações diferencias fracionárias.

8 ABSTRAT Process syste engineering seeks, aong other issues, for new control algoriths aied at the ideal operation of both process plant and plant equipents in regulatory control probles by eliinating disturbances and also in servo control probles by perforing fast transition between different set-points, in a safe and environental friendly way. Towards this, any new control algorith which iproves process perforance is extreely welcoe. In this work, fractional identification and control theory were applied to the unit operation of absorption. Experiental data reported in the literature were used for fractional identification through by solving a ultivariable nonlinear deterinistic optiization proble, which was an efficient strategy, leading to odels with correlation coefficient of roughly This approach also led to odels that satisfied different statistical criteria when testing the good-of-fitness. In the second part of this study, the identified fractional odel was used for control siulations, being considered five different control loops: conventional feedback, feedback with dead tie copensation, cascade feedback, feedforward, feedback-feedforward. With the identified fractional odel, and considering a P type controller, the control systes were able to control the coposition of exiting gas strea at the top of the colun in both servo and regulatory control, which considered changes in the flow rate of the gas being fed to the colun as disturbance. The controller tuning paraeters were arbitrarily chosen, indicating a good robustness when using of fractional odels. Finally it is worth entioning the flexibility allowed by the use of fractional transfer functions as the order of the equation becoes a tuning paraeter, by a proper choice, undesired effect can be vanished fro the syste dynaics. Key words: Process ontrol; Fractional Differential Equations

9 LISTA DE FIGURAS FIGURA II. - ILUSTRAÇÃO DOS NÍVEIS HIERÁRQUIOS DE ONTROLE 9 FIGURA II. - ESTRUTURA FEEDBAK 3 FIGURA II.3 - ESTRUTURA FEEDBAK OM TÉNIA DE ONTROLE IM 3 FIGURA II.4 - ESTRUTURA FEEDFORWARD 3 FIGURA II.5 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRIA DA DERIVADA DE ORDEM FRAIONÁRIA 7 FIGURA IV. OMPARAÇÃO ENTRE DADOS EXPERIMENTAIS E MODELOS 54 FIGURA IV. DESVIOS DO MODELO INTEIRO E DO MODELO FRAIONÁRIO 54 FIGURA IV.3 DESVIOS DO MODELO INTEIRO E DO MODELO FRAIONÁRIO 55 FIGURA V. ILUSTRAÇÃO DA MALHA DE ONTROLE FEEDBAK 57 FIGURA V. MALHA DE ONTROLE FEEDBAK IMPLEMENTADA NA TORRE 58 FIGURA V.3 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL ONTROLADA PARA DIFERENTES K 6 FIGURA V.4 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA PARA DIFERENTES K 6 FIGURA V.5 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL ONTROLADA PARA DIFERENTES K 64 FIGURA V.6 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA PARA DIFERENTES K 64 FIGURA VI. MALHA DE ONTROLE OM PREDITOR DE SMITH 66 FIGURA VI. VARIÁVEL ONTROLADA NA MALHA SERVO OM PREDITOR DE SMITH 70 FIGURA VI.3 VARIÁVEL ONTROLADA NA MALHA SERVO SEM PREDITOR DE SMITH 70 FIGURA VI.4 VARIÁVEL MANIPULADA NA MALHA SERVO OM PREDITOR DE SMITH 7 FIGURA VI.5 VARIÁVEL MANIPULADA NA MALHA SERVO SEM PREDITOR DE SMITH 73 FIGURA VI.6 VARIÁVEL ONTROLADA NA REGULATÓRIA OM PREDITOR DE SMITH 76 FIGURA VI.7 VARIÁVEL ONTROLADA NA REGULATÓRIA SEM PREDITOR DE SMITH 76 FIGURA VI.8 VARIÁVEL MANIPULADA NA REGULATÓRIA OM PREDITOR DE SMITH 78 FIGURA VI.9 VARIÁVEL MANIPULADA NA REGULATÓRIA SEM PREDITOR DE SMITH 79 FIGURA VII. ILUSTRAÇÃO DA MALHA ASATA 80 FIGURA VII. MALHA ASATA APLIADA AO ONTROLE DA OLUNA DE ABSORÇÃO 8 FIGURA VII.3 VARIÁVEL ONTROLADA NO ONTROLE SERVO EM MALHA ASATA 84 FIGURA VII.4 VARIÁVEL MANIPULADA NO ONTROLE SERVO EM MALHA ASATA 85 FIGURA VIII. ILUSTRAÇÃO DA MALHA FEEDFORWARD 86 FIGURA VIII. MALHA FEEDFORWARD APLIADA À OLUNA DE ABSORÇÃO 87 FIGURA VIII.3 ILUSTRAÇÃO DA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD 87 FIGURA VIII.4 MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD APLIADA À OLUNA DE ABSORÇÃO 88 FIGURA VIII.5 VARIÁVEL ONTROLADA MALHA FEEDFORWARD PURA τ0 E τ0 9 FIGURA VIII.6 VARIÁVEL MANIPULADA MALHA FEEDFORWARD PURA τ0 E τ0 9 FIGURA VIII.7 VARIÁVEL ONTROLADA MALHA FEEDFORWARD PURA τ0 E τ 0 95 FIGURA VIII.8 VARIÁVEL MANIPULADA MALHA FEEDFORWARD PURA τ0 E τ 0 95 FIGURA VIII.9 VARIÁVEL ONTROLADA MALHA FEEDFORWARD PURA τ 0 E τ 0 99 FIGURA VIII.0 VARIÁVEL MANIPULADA MALHA FEEDFORWARD PURA τ 0 E τ 0 99 FIGURA VIII. VARIÁVEL ONTROLADA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD τ0 E τ0 04 FIGURA VIII. VARIÁVEL MANIPULADA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD τ0 E τ0 04 FIGURA VIII.3 VARIÁVEL ONTROLADA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD τ0 E τ 0 08 FIGURA VIII.4 VARIÁVEL MANIPULADA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD τ0 E τ 0 08 FIGURA VIII.5 VARIÁVEL ONTROLADA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD τ 0 E τ 0 3 FIGURA VIII.6 VARIÁVEL MANIPULADA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD τ 0 E τ 0 3

10 LISTA DE TABELAS TABELA III. - TRANSFORMADA DE LAPLAE INVERSA PARA ASOS PARTIULARES 4 TABELA III. EQUAÇÕES PARA O ÁLULO DE R 46 TABELA III.3 RESPOSTA PARA UM DEGRAU NA VAZÃO DE ÁGUA NA ABSORVEDORA 49 TABELA IV. RESUMO DA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 5 TABELA IV. RESULTADOS DO TESTE DE 53 TABELA VII. VALORES DOS PARÂMETROS DO ONTROLADOR 8 TABELA VIII. PARÂMETROS DO ONTROLADOR FEEDFORWARD PURO, τ0 E τ 0 93 TABELA VIII. PARÂMETROS DO ONTROLADOR FEEDFORWARD PURO τ 0 E τ 0 97 TABELA VIII.3 PARÂMETROS DO ONTROLADOR FEEDBAK-FEEDFORWARD, τ0 E τ0 0 TABELA VIII.4 PARÂMETROS DO ONTROLADOR FEEDBAK-FEEDFORWARD, τ0 E τ 0 07 TABELA VIII.5 PARÂMETROS DO ONTROLADOR FEEDBAK-FEEDFORWARD, τ 0 E τ 0

11 NOMENLATURA A Matriz usada para o cálculo da variância paraétrica a Parâetro do odelo identificado a Terinal inferior da derivada fracionária Eq. (II.0 b Parâetro do odelo identificado n d f ( x Derivada de orde inteira n de f ( x e relação à x n dx e(t Erro na variável controlada e x Função exponencial de x ( k Derivada de orde k da função Mittag-Leffler co E α, β parâetros α e β f Tero do controlador por odelo interno Função f transforada para a variável independente s a F(s partir de ua transforada integral que pode ser a transforada de Laplace f ( t Função f co variável independente t f ( x Função f co variável independente x ( β β d f ( x f ( x Derivada de orde fracionária β de f ( x e relação à x dx β ( Derivada de orde inteira k de f ( t e relação à t e f k ( 0 F EXPERIENTA L avaliada e t0 Parâetro F do teste de hipótese de variância obtido a partir das variâncias dos dados experientais F Parâetro F do teste de hipótese de variância obtido a TEÓRIO partir da distribuição de Fischer Função Objetivo a ser iniizada na estiação de FOBJ parâetros G(s Função de transferência h Discretização j! Fatorial de j K Parâetro de sintonia do controlador P K Ganho estático K(s,t Kernel da transforada integral ln(x Logarito neperiano de x n Orde de derivada inteira NE Núero de experientos NP Núero de parâetros P ontrolador Proporcional t Tepo t Parâetro t do teste de hipótese de édia obtido a RÍTIO partir da distribuição t-student. t EXPERIENTAL r Parâetro t do teste de hipótese de édia obtido a partir dos dados experientais oeficiente de correlação

12 r oeficiente de correlação robs PRED oeficiente de correlação entre o conjunto de dados experientais e o conjunto de dados preditos. s Variável independente no doínio de Laplace x Variável independente X(s Variável de Entrada do Sistea no doínio de Laplace X Matriz Jacobiana Y Nível de confiança estatístico y Média do conjunto de dados experientais OBS y PRED Média do conjunto de dados preditos y ( t Função y co variável independente t Y(s Variável de Saída do Sistea no doínio de Laplace YSET PONIT( s Transforada de Laplace da perturbação do set-point SUBSRITOS desvio Variável na representação desvio estacionár io Valor da variável no estado estacionário OBS Valor experiental ou observado da variável OBS-P Valor experiental ou observado da variável no instante P PRED Valor da variável predito pelo odelo PRED-P Valor da variável predito pelo odelo no instante P LETRAS GREGAS α Orde de derivada fracionária β Orde de derivada fracionária λ Orde da parte integral do controlador fracionário µ Orde da parte derivativa do controlador fracionário φ Orde do controlador por odelo interno τ Variável uda de integração τ Variável da dinâica da função de transferência Γ(x Função gaa do arguento x γ ( β,k oeficiente do cálculo para explicação geoétrica da derivada fracionária Ψ Função usada para o cálculo da derivada da função gaa χ Valor de hi-quadrado reduzido χ χ i δ i RED Valor de hi-quadrado Valor de hi-quadrado calculado co nível de confiança i Desvio padrão do parâetro i, i {a,b,α}

13 δ Variância individual dos dados experientais, obtida OBS a partir de réplicas e do erro de escala do instruento de edida δ Variância da diferença entre valor predito e valor RES observado δ Variância do conjunto de dados experientais OBS PRED OBS PRED δ Variância do conjunto de dados preditos δ o-variância do conjunto de dados experientais e do conjunto de dados preditos ONJUNTOS NUMÉRIOS ℵ R Ζ onjunto de núeros naturais onjunto de núeros reais onjunto de núeros inteiros

14 SUMÁRIO I INTRODUÇÃO 6 INTRODUÇÃO 6 OBJETIVOS E ESTRUTURA 7 II REVISÃO BIBLIOGRÁFIA 9 INTRODUÇÃO 9 ONTROLE DE PROESSOS EM PLANTAS INDUSTRIAIS 9. SISTEMA DE ONTROLE 0.. TÉNIA DE ONTROLE 0.. Estrutura de controle 3 EQUAÇÕES DIFERENIAIS DE ORDEM FRAIONÁRIA 4 3. BREVE HISTÓRIO 4 3. DEFINIÇÃO E REPRESENTAÇÃO APLIAÇÕES 7 4 IDENTIFIAÇÃO FRAIONÁRIA DE PROESSOS 8 5 ONTROLE FRAIONÁRIO DE PROESSOS 30 6 MODELAGEM DE OLUNAS DE ABSORÇÃO 35 7 ONTROLE DE OLUNAS DE ABSORÇÃO 35 8 ANÁLISE DA REVISÃO BIBLIOGRÁFIA 37 III - METODOLOGIA 38 INTRODUÇÃO 38 REPRESENTAÇÃO DE APUTO 38 3 VARIÁVEL TIPO DESVIO 39 4 TRANSFORMADA DE LAPLAE 40 5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNIA 4 6 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 43 7 DIAGNÓSTIO DA ESTIMAÇÃO 45 8 DADOS EXPERIMENTAIS 48 9 ESTRUTURAS DE ONTROLE 49 IV. IDENTIFIAÇÃO DO PROESSO 5 INTRODUÇÃO 5 MODELO DO PROESSO 5 3 MODELO DO DISTÚRBIO 56 V. ONTROLE FEEDBAK SEM TEMPO MORTO 57

15 INTRODUÇÃO 57 ONTROLE FEEDBAK 57. ONTROLE SERVO 58. ONTROLE REGULATÓRIO 6 VI. ONTROLE FEEDBAK OM TEMPO MORTO 66 INTRODUÇÃO 66 ONTROLE FEEDBAK OM TEMPO MORTO 66. ONTROLE SERVO 67. ONTROLE REGULATÓRIO 74 VII. ONTROLE ASATA SEM TEMPO MORTO 80 INTRODUÇÃO 80 ONTROLE FEEDBAK OM ESTRUTURA ASATA 80. ONTROLE SERVO 8 VIII. ONTROLE FEEDFORWARD SEM TEMPO MORTO 86 INTRODUÇÃO 86 ONTROLE FEEDFORWARD SEM TEMPO MORTO 86. ONTROLE FEEDFORWARD PURO 88.. ENÁRIO ENÁRIO ENÁRIO ANÁLISE DOS TRÊS ENÁRIOS 00. ONTROLE FEEDBAK-FEEDFORWARD 0.. ENÁRIO ENÁRIO ENÁRIO ANÁLISE DOS TRÊS ENÁRIOS 4 IX. ONLUSÕES & SUGESTÕES 5 ONLUSÕES 5 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 6 X. REFERÊNIAS BIBLIOGRÁFIAS 7

16 6 I INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO Dentre as operações unitárias, destaca-se a operação de absorção para a lipeza de correntes gasosas. Seu papel iportante na retenção de gases tóxicos ve auentando co o passar do tepo, tendo e vista a crescente busca por eficiência operacional e abientalente aigável de plantas industriais, be coo devido ao efeito estufa e aqueciento global. O desenvolviento e consolidação de novas tecnologias não é ua tarefa trivial, sendo necessária a tríade tepo-dinheiro-pessoas. Assi, o uso racional e a aplicação de tecnologias que visa aperfeiçoar e elhorar processos quíicos torna-se enoreente atrativas. Desta fora, existe duas grandes linhas de atuação da engenharia quíica: a prieira foca fundaentalente o estudo da cinética do processo, por exeplo, a busca por catalisadores ais eficientes, ais seletivos e co aior tepo de vida. A outra linha, u tanto ais ágil, foca a engenharia de processaento, atuando principalente no sistea de controle e autoação do processo. o relação à segunda linha de atuação, a engenharia de processaento, o foco recai, entre outras atividades, na busca de novas técnicas (algoritos de controle. Espera-se que estas novas técnicas seja capazes de fazer co que processo e equipaentos opere de aneira ais eficiente, anulando assi o efeito de possíveis distúrbios presentes nas variáveis operacionais. Espera-se, ainda, que estas técnicas faça a transição de estados estacionários a partir de udanças de set-point de odo ais seguro e eficiente, satisfazendo ainda as legislações abientais vigentes. E paralelo, para o sucesso da técnica de controle, a disponibilidade de u odelo ateático adequado torna-se ua questão chave, peritindo u aior conheciento do processo se a necessidade de realização de experientos, fazendo interpolações e alguas extrapolações de condições operacionais. A literatura apresenta diversas técnicas clássicas para o desenvolviento de odelos ateáticos e para a síntese de controladores. Observa-se, poré, o

17 7 surgiento de ua nova tendência, envolvendo a aplicação de u ferraental ateático, baseado no uso de equações diferenciais de orde fracionária. Entre outras, o poder de generalização de odelos é u considerável atrativo. OBJETIVOS E ESTRUTURA Este trabalho apresenta ua proposta alternativa para o controle de colunas de absorção. Baseando-se nas técnicas de controle clássicas, usa-se o ferraental ateático fundaentado e equações diferenciais de orde fracionária que generaliza as estratégias convencionais de controle. A aplicação desta nova abordage ao controle de equipaentos perite ua aior flexibilidade e velocidade dos sisteas de controle. Este objetivo básico foi desdobrado nas seguintes etapas: estudo de técnicas nuéricas e analíticas para a solução de equações diferenciais fracionárias; estudo de técnicas de identificação de processos: clássica e fracionária; estudo de alhas de controle feedback convencional; estudo de alhas de controle feedback co copensação de tepo orto; estudo de alhas de controle feedback cascata; estudo de alhas de controle feedforward puro e feedback-feedforward; Outro grande objetivo deste trabalho é ostrar o coportaento da variável anipulada para cada situação de controle, o que se ostra ser u diferencial e relação a outros trabalhos, possibilitando assi avaliar se fisicaente a resposta apresentada é possível para a operação ou não, contribuindo para elhor elucidar as técnicas de controle propostas. Quanto à apresentação, este trabalho está dividido e dez capítulos, contando co esta introdução. O apítulo II é coposto de ua revisão bibliográfica sobre equações diferenciais de orde fracionária, contendo suas aplicações e técnicas de solução. Alé disso, é feita ua revisão sobre controle fracionário e aplicações ao controle de colunas de absorção, sendo apresentada ainda ua análise da revisão bibliográfica e as contribuições deste trabalho. No apítulo III são descritas as etodologias epregadas durante a execução das atividades, focando o estudo de técnicas nuéricas e analíticas para a solução de

18 8 equações diferenciais fracionárias, identificação de processos, estiação e avaliação de parâetros. E seguida no apítulo IV são apresentados os resultados obtidos relacionados à identificação de processos, enquanto que no apítulo V são reportados resultados referentes ao estudo de alhas de controle feedback convencional. Na seqüência, no apítulo VI são relatados os resultados obtidos relacionados estudo de alhas de controle feedback co copensação de tepo orto. No apítulo VII e no apítulo VIII são apresentados resultados referentes aos estudos de alhas de controle feedback cascata e feedforward puro/feedback-feedforward, respectivaente. Finalente, no apítulo IX, são citadas as conclusões finais e sugestões para futuros trabalhos e por últio, no apítulo X são listadas as referências bibliográficas utilizadas. Este trabalho foi desenvolvido no LESF Laboratório de Engenharia de Sisteas Fracionários do PPGEQ/UFPR Prograa de Pós-Graduação e Engenharia Quíica da Universidade Federal do Paraná. Alé disso, este trabalho está vinculado à linha de pesquisa de odelage, siulação, otiização e controle de processos quíicos do PPGEQ.

19 9 II REVISÃO BIBLIOGRÁFIA INTRODUÇÃO Este capítulo apresenta ua revisão bibliográfica sobre controle de processos na indústria petroquíica e equações diferenciais de orde fracionária, contendo suas aplicações. Alé disso, é feita ua revisão sobre identificação e controle fracionário. Por fi, é apresentada ua análise da revisão bibliográfica, ressaltando as contribuições deste trabalho. ONTROLE DE PROESSOS EM PLANTAS INDUSTRIAIS O controle de processos e ua planta industrial petroquíica pode ser descrito pelos níveis hierárquicos apresentados no fluxograa ilustrado na FIGURA II., coo apresenta BROSILOW & JOSEPH (00. FIGURA II. - ILUSTRAÇÃO DOS NÍVEIS HIERÁRQUIOS DE ONTROLE O nível avançado engloba a produção coo u todo. Envolve basicaente o planejaento e escalonaento da produção. Este nível de controle é, e geral, realizado e ua escala de tepo de eses ou dias, ou eso anos, ua vez que depende de fatores externos ao processo, coo a tendência do ercado consuidor e a situação econôica global (BROSILOW & JOSEPH, 00. Este nível de controle é conduzido pelo nível gerencial da planta industrial sendo que e alguns casos pode participar ebros de conselhos adinistrativos ou acionistas. O nível interediário envolve basicaente a preparação para o nível básico, focando o aprofundaento dos conhecientos sobre o processo. Nesta etapa são realizados estudos de odelage, identificação e otiização do processo cuja duração pode variar de seanas a horas, ou eso eses,

20 0 dependendo da coplexidade do sistea e estudo (BROSILOW & JOSEPH, 00. Esta etapa é conduzida por engenheiros de processaento ou engenheiro de petróleo. O nível básico envolve a instruentação e controle servo/regulatório. O foco do nível básico são os sensores, atuadores, sintonia de controladores, escolha de técnicas autoáticas, coo por exeplo, o controlador P (proporcional ou PI (proporcional-integral (BROSILOW & JOSEPH, 00. Esta etapa é feita pelos operadores, be coo engenheiros de controle e instruentação.. Sistea de controle De acordo co SEBORG et al. (003, u sistea de controle de u dado processo corresponde ao conjunto forado: i pela técnica (algorito de controle, por exeplo, controlador tipo PI, que é responsável pelas decisões a sere toadas; ii pela instruentação, sensores e atuadores que faze co que a técnica de controle possa ter acesso às inforações do processo (por exeplo, u teropar, be coo atuar sobre o eso (por exeplo, ua válvula; iii pela estrutura (laço ou alha de controle, que corresponde à fora e às variáveis utilizadas para estruturar o sistea de controle, podendo ser de dois tipos básicos: feedback (retroativo e feedforward (antecipativo... TÉNIA DE ONTROLE Existe diversas técnicas que pode ser usadas e controle de processos, e ais especificaente para o controle de processos petroquíicos. onfore apresentada por SEBORG (999, as principais técnicas pode ser agrupadas nas categorias que segue, sendo que TODAS possue aplicações na indústria petroquíica, de acordo co as referências citadas pelo autor. oo exeplos típicos pode ser citados o controle de teperatura e coposição de reatores, o controle de coposição de colunas de separação, entre outros. onvé ressaltar que a escolha da técnica depende de diversos fatores, coo a existência e coplexidade de u odelo ateático, disponibilidade de equipaentos e dispositivos de instruentação, precisão necessária, escolha adequada das variáveis controlada e anipulada, e tabé identificação de distúrbios.

21 ATEGORIA I: TÉNIAS ONVENIONAIS Esta abordage é a ais aplicada no âbito industrial, envolve controladores liga-desliga e controladores da faília PID. São caracterizadas por sua siplicidade, facilidade de uso e por utilizar ua representação do processo sob a fora de u odelo linear. As aiores dificuldades ocorre e processos co alto grau de nãolinearidade ou e processos ultivariáveis co elevado grau de acoplaento entre as variáveis (SEBORG, 999. ATEGORIA II: ONTROLE AVANÇADO TÉNIAS LÁSSIAS Técnicas clássicas de controle avançado pode ser vistas co detalhes e SEBORG et al. (003. As principais envolve o uso de controladores co ganho escalonado, ou seja, dependendo do erro no valor da variável que se deseja controlar, usa-se u deterinado valor para o ganho do controlador, fazendo co que o ganho seja constante. E sisteas co tepo orto, o odelo do processo é dividido e duas partes, sendo ua referente ao tepo orto e outra à dinâica do sistea, caso o tepo orto seja nulo. Assi, o erro que é alientado ao controlador é baseado no odelo se tepo orto, ou seja, é feita a copensação. Ainda faze parte desta categoria, controle seletivo e override. ATEGORIA III: ONTROLE AVANÇADO TÉNIAS AMPLAMENTE USADAS Estratégias de controle e alha aberta pode fornecer trajetórias ótias para teperatura e correntes de alientação. Entretanto, a otialidade destas trajetórias está intiaente associada à exatidão do odelo dinâico, o que faz co que haja ua certa liitação quando distúrbios não edidos estão presentes. O controle preditivo, técnica utilizada apenas e alha fechada, visa à corrigir estes erros, atualizando a trajetória a cada instante e que ua nova edida é obtida (AMAHO & BORDONS, 999. A filosofia da estratégia de controle estatístico consiste e onitorar a saída do processo constanteente, para que se possa decidir quando toar ações de controle baseando-se e princípios estatísticos. Dessa fora, devido à presença de iperfeições de edidas, ua intervenção no processo só é feita quando o processo apresenta ua tendência estatisticaente significativa de desvio, e não apenas pelo fato de alguns pontos esparsos não estare de acordo co os valores pré-especificados (OHSHIMA & TANIGAKI, 000;

22 SHORK et al., 993. No controle adaptativo, há u contínuo ajuste dos parâetros do controlador através de algua técnica de estiação, para que este se adapte às novas condições do processo. As liitações estão no fato de ser difícil a identificação de uitos processos e tabé de esta técnica não apresentar bons resultados para sisteas co elevado grau de não-linearidade (EMBIRUÇU et al., 996. O controle por odelo interno (IM apresenta o uso de u odelo perfeito do processo a ser controlado e as ações de controle são baseadas e u sinal forado pela diferença entre a edição da variável controlada e valor desta variável obtido pelo odelo perfeito (GARIA & MORARI, 98. ATEGORIA IV: ONTROLE AVANÇADO TÉNIAS OM POUAS APLIAÇÕES INDUSTRIAIS O uso de controle ótio (SARGENT, 000 está associado à deterinação de perfis ótios para as variáveis anipuladas de fora a axiizar ou iniizar algu objetivo (HIKS et al., 969 coo, por exeplo, iniizar o tepo de batelada e/ou axiizar a conversão. As dificuldades e sua utilização são provenientes de liitações do sistea. Deve-se garantir que os perfis ótios satisfaça as restrições reais de operação de equipaentos de processo (SEHI et al., 990. O desepenho desses sisteas está liitado pelo odelo, que deve ser o ais acurado possível. As estratégias de controle não-linear pode estar baseadas na representação do processo através de u odelo não-linear. Dentre as técnicas ais couns estão o controle preditivo não-linear e o controle globalente linearizante, baseado na linearização do sistea através de ua udança de coordenadas deterinada por técnicas de geoetria diferencial (ISIDORI, 995; KANTER et al., 00. Deais técnicas que se enquadra nesta categoria são as de controle robusto (MORARI & ZAFIRIOU, 989 e as técnicas baseadas no coportaento huano (AMPOS & SAITO, 004 tais coo: controladores co redes neuronais, controle fuzzy e sisteas especialistas... Estrutura de controle O sistea de controle pode ser estruturado de três foras básicas, coo apresentado pela FIGURA II., FIGURA II. 3 e FIGURA II. 4. A FIGURA II. apresenta a estrutura feedback baseada na retroalientação. A principal

23 3 característica é o fato de que prieiro ocorre o desvio entre setpoint e variável controlada para que depois seja toada a ação de controle para eliinar esta diferença (SEBORG et al, 003. Sua iportância está no fato de que a variável controlada é sepre edida. A FIGURA II. ilustra a estrutura utilizada pela técnica de controle por odelo interno (IM sendo claraente observado a presença do odelo interno perfeito da planta. Finalente, a FIGURA II. apresenta a estrutura feedforward baseada na antecipação. A principal característica é o fato de que há ua antecipação da ação de controle a partir de alterações na variável distúrbio. A variável controlada não é edida e estruturas feedforward puras e assi, deve ser sepre utilizada e conjunto co a estrutura feedback, coo apresentado na FIGURA II. 4 (SEBORG et al, 003. FIGURA II. - ESTRUTURA FEEDBAK FIGURA II. 3- ESTRUTURA FEEDBAK OM TÉNIA DE ONTROLE IM FIGURA II. 4- ESTRUTURA FEEDFORWARD

24 4 3 EQUAÇÕES DIFERENIAIS DE ORDEM FRAIONÁRIA 3. Breve Histórico A teoria das derivadas de orde não-inteira reonta à Leibnitz e 695 quando, e ua nota enviada a L Hospital, discutiu o significado da derivada de orde eia (/. Essa nota levou ao surgiento da teoria das derivadas e integrais de orde arbitrária, que durante três séculos foi tratada coo u capo ateático puraente teórico (HILFER, 000. No final do século XIX esta teoria toou fora devido aos trabalhos de Liouville, Grünwald, Letnikov e Rieann. Durante o século XX, especialente a partir da década de 60, apesar de surgire novas teorias, o foco principal das pesquisas foi a aplicação do ferraental existente às ciências experientais, visando à descrição ateática de sisteas poliéricos, eletroquíicos, biológicos, be coo a descrição de fenôenos de transporte e o desenvolviento de técnicas de controle de processos (PODLUBNY, 999a. As Equações Diferenciais Fracionárias são u excelente instruento para a descrição de propriedades de eória e hereditariedade de vários ateriais e processos e tal estudo foi desepenhado por DENG (007, entre outros. Esta é a principal vantage das derivadas de orde não-inteira e coparação co as derivadas de orde inteira, onde tais efeitos são de fato negligenciados. E seus estudos, DENG (007 prova que u operador diferencial de orde inteira é soente u operador local, enquanto u operador fracionário é u operador não-local. A propriedade da não-localidade de u operador consiste do fato de que o próxio estado de u sistea não só depende de seu estado atual, as tabé de todos os estados anteriores a partir do estado inicial (DENG, Definição e Representação A representação de ua derivada inteira de orde n, sendo n Ζ, é: n n ( n d f ( x n r f ( x li ( f ( x r h, n h n (II.0 dx h r 0 r

25 5 onde: n n ( n ( n... ( n r + r r! Derivadas de orde fracionária constitue ua generalização da expressão acia, peritindo que a orde da derivada, β, seja tal que β R (OLDHAM & SPANIER, 006. Enquanto derivadas de orde inteira necessita de apenas u valor do doínio da função, aquele no qual se deseja o valor da derivada, a representação e o cálculo de derivadas de orde fracionária necessita de dois valores. Alé do valor no qual se deseja o valor da derivada, u segundo valor representando u valor a qualquer tal que a < x torna-se necessário. Assi, a corresponde a u terinal inferior, definindo o liite do doínio da função ou da derivada (POLDLUBNY, 999a. ostua-se representar a derivada de orde fracionária de orde β por: ( β β d f ( x β f ( x adxf ( x, (II.0 β dx β A fora de cálculo ou de representação de D x f ( x a não é única, sendo que cada ua apresenta vantagens e desvantagens, confore será visto nos próxios capítulos. Abaixo são apresentadas as principais representações utilizadas (HILFER, 000: Grünwald-Letnikov n β r β ( ( ( β ad xf x li f x r h h 0 h r 0 r (II.03 nh x a Rieann-Liouville + x β d β ad xf ( x ( x τ f ( τ dτ +, onde: < β < +; β R; ℵ (II.04 dx a aputo ( ( ( τ τ Γ( β x β f ad xf x d, onde: < β < +; β R; ℵ β + ( τ (II.05 x a

26 6 Haardad x β β f ( x f ( τ ad xf ( x ( β+ dτ, Γ β 0 x xln τ (II.06 Marchaud x ( ( β β f x f τ D xf ( x τ Γ( β d β + (II.07 ( x τ hen x β ( d ( τ ( τ τ Γ( β β ad xf x f x d (II.08 dx a Devido à quantidade e à coplexidade de representações, torna-se difícil ua interpretação física para derivadas de orde fracionária, diferenteente de derivadas de orde inteira (MAHADO, 003. Segundo o autor, diversas interpretações plausíveis já fora propostas e reportadas, poré ua alternativa plausível é a explanação a partir de ua abordage probabilística. Para ilustração, considerou-se a representação de Grünwald-Letnikov indicada a seguir, obtida a partir derivadas retrógradas, extraída de MAHADO (003. D f β x x li γ β,k f x k h β, onde: h 0 h k 0 k Γ( β + ( ( ( γ β,k k! Γ β k + ( ( ( (II.09 Assi, observa-se que a derivada fracionária é ua soa ponderada do valor atual da função f(x, obtido para k0 e valores passados de f(x, obtidos para k>, ou seja, f(x h; f(x h;... ; f(x nh;.... onsiderando 0 < β <, o fator de ponderação de f(x é sepre igual a, e para os deais valores, quanto ais próxios do valor presente, f(x, ais próxio de é o fator de ponderação, coo pode ser visto nos pontos indicados na FIGURA II., que ilustra de fora gráfica o cálculo da derivada fracionária. Assi, a derivada de orde fracionária corresponde à inclinação θ do triângulo indicado, sendo u dos vértices o valor presente de f(x e o outro dado por E(x, situado e x h β, que representa ua édia dos valores de

27 7 f(x ponderados, ou seja, o produto f(x nhγ(β,n. A base é sepre paralela ao eixo X. Desta fora, quando β, todos os valores de γ são iguais a zero, e o valor iediataente antes da inforação presente te valor, assi, resulta a clássica fórula da tangente. Quando β 0, todos os valores de γ são iguais a zero, apenas o valor presente é igual a, resultando no próprio valor da função. Assi, à edida que h 0, te-se que θ D β x f ( x. FIGURA II. 5 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRIA DA DERIVADA DE ORDEM FRAIONÁRIA FONTE: MAHADO ( Aplicações O uso de equações diferenciais de orde fracionária e ciências aplicadas e experientais teve seu início a partir dos anos 60. O espectro de aplicações tornou-se ienso, a partir do enore grau de generalização obtido pela flexibilização da orde da derivada. A seguir, alguns exeplos de aplicações reportadas na literatura. Ua das principais aplicações de equações diferenciais fracionárias está relacionada à odelage de processos de difusão (RANK, 980 e eios heterogêneos e anisotrópicos (LENZI et al., 006. São reportadas aplicações relacionadas à odelage de processos eletroquíicos (OLDHAM, 976, descrição do coportaento de fluídos visco-elásticos (BAGLEY & TORVIK, 986, circuitos elétricos (PIVKA & SPANY, 993, sisteas particulados (KHAN & MORRIS, 005 e sisteas biológicos (ANASTASIO, 994. Ua das ais recentes tendências de aplicação de equações diferenciais e objetivo principal deste trabalho é a engenharia de processaento e a engenharia de sisteas, focando a identificação e o controle fracionário de processos (PODLUBNY, 999b.

28 8 4 IDENTIFIAÇÃO FRAIONÁRIA DE PROESSOS A odelage ateática de processos consiste na obtenção de algu tipo de expressão que seja capaz de descrever, eso que de fora aproxiada, o seu coportaento dinâico ou estacionário. Modelos ateáticos pode ser obtidos a partir de duas abordagens básicas ao problea. A prieira abordage consiste na forulação de balanços de assa, energia e quantidade de oviento, levando à derivação de odelos fundaentais ou baseados nos princípios fundaentais. Outra abordage consiste no ajuste ateático de dados experientais co o auxílio de algua equação, se preocupação co o caráter teórico, levando à obtenção de odelos denoinados epíricos (ARIS, 993. A principal vantage dos odelos fundaentais é, devido ao ebasaento teórico, a sua capacidade de extrapolação de resultados. No trabalho co odelos epíricos, tarefas de extrapolação torna-se uito arriscadas, uitas vezes levando a resultados incoerentes. Desta fora, odelos epíricos são indicados para tarefas de interpolação apenas (AGUIRRE, 007. Modelos fundaentais são ais copletos. No entanto, sua coplexidade (quantidade de equações, variáveis, parâetros e fenôenos descritos uitas vezes torna-os ipeditivos para o uso e aplicações de controle e otiização e tepo real. Alé disso, alguas dificuldades inerentes acaba surgindo durante a odelage fundaental, coo por exeplo, a escolha da equação de estado terodinâica, a escolha da expressão para a taxa de reação, o cálculo dos coeficientes de transferência de calor e assa, alé de outros teros envolvidos (LEVENSPIEL, 00. Modelos epíricos, por sua vez, são desenvolvidos para utilização e aplicações e tepo real, be coo cenários nos quais a disponibilidade de u odelo siplificado torna-se u pré-requisito fundaental. Apesar de não tere relação algua co os fenôenos que ocorre no sistea odelado, sendo resultado de u ajuste ateático e estiação de parâetros, odelos epíricos torna-se atrativos pela rapidez e facilidade co que pode ser obtidos (PEARSON, 006. Ua abordage uito atraente para a odelage ateática epírica de processos é o uso de técnicas de identificação de processos. A identificação de

29 9 processos corresponde a ua odelage epírica, na qual são introduzidos distúrbios de intensidade e agnitude conhecidos ao sistea, sendo observado o coportaento da resposta do sistea às perturbações. Ua das vantagens referese à rapidez na obtenção do odelo, alé da siplicidade dos odelos obtidos (NELLES, 00. Dentre as técnicas de identificação existe as técnicas clássicas, baseadas na introdução de distúrbio tipo degrau ou rapa e o conseqüente ajuste dos dados de resposta a partir de u odelo de prieira orde, ou segunda orde (SEBORG et al., 003. Técnicas ais coplexas utiliza seqüências de degraus aleatórios de distúrbios (SEBORG & HENSON, 996. Ua alternativa aos processos descritos acia e ua das propostas deste trabalho corresponde ao uso de técnicas de identificação fracionária. Estas técnicas freqüenteente tê o eso fundaento teórico ou a esa etodologia das técnicas de identificação clássicas, as são baseadas no uso de equações diferenciais fracionárias, auentando o poder de ajuste de dados experientais, se alterar a coplexidade da forulação ateática ou a quantidade de parâetros envolvidos. Ua revisão da literatura indica que a identificação fracionária ainda não é ua técnica aplaente explorada, tendo e vista a pouca quantidade de trabalhos reportados. A seguir, são descritos alguns trabalhos envolvendo identificação fracionária de processos. PODLUBNY (999b apresenta a identificação de processos a partir da aplicação de perturbações do tipo degrau, e copara o ajuste de dados entre odelos baseados e equações diferenciais fracionárias (odelos fracionários e odelos baseados e equações diferenciais de orde inteira (odelos inteiros. Verifica-se que para u eso conjunto de parâetros, odelos fracionários resultara e elhor ajuste de dados experientais. No entanto, o autor não infora coo foi feita a estiação dos parâetros, apenas o critério dado pela iniização das distâncias quadráticas entre os pontos experientais e pontos teóricos fornecidos pelo odelo. POINOT & TRIGEASSOU (004 reporta ua abordage alternativa que fornece bons odelos, as cuja ipleentação representa ua tarefa coplexa. Isso porque o desenvolviento do odelo divide-se e três níveis: a estiação de u ganho estático, de ua constante de tepo e da orde da derivada. O

30 30 critério de estiação tabé é dado pela iniização das distâncias quadráticas entre os pontos experientais, as utilizando técnicas de otiização não-linear, sendo a técnica validada co pontos experientais. Outra abordage é fornecida por (HARTLEY & LORENZO, 003, utilizando distribuições e o doínio de freqüências, diferenteente dos trabalhos anteriorente descritos que reportara a identificação conduzida no doínio do tepo. Neste trabalho, os autores descreve a função de transferência coo ua integral que surge a partir da soa dos teros fracionários que copõe a expressão. Este soatório é generalizado para ua integral que reflete ua distribuição estatística, e nesta representação integral, o problea é reescrito de tal fora a ser estudado no doínio de fases. Desta fora, os autores, reporta a identificação adequada de processos fracionários, a partir de étodos de prograação não linear. A partir da técnica da técnica de Podlubny, ÂMARA et al. (008 estudara a identificação fracionária de processo térico de aqueciento de ua esfera de polietileno, sendo utilizados algoritos genéticos para a estiação de parâetros, resultando e u elhor ajuste de dados experientais pelo odelo fracionário quando coparado co o odelo inteiro co esa quantidade de parâetros. Finalente, ISFER et al. (00 estudara a identificação fracionária de dados experientais referentes a u processo ferentativo. Os autores considerara três abordagens distintas para a estiação dos parâetros: i obter a derivada da função objetivo e relação a cada u dos parâetros e resolver o sistea de equações algébricas não-lineares a partir de algu étodo nuérico conhecido; ii considerar a estiação coo u problea de otiização e utilizar técnicas deterinísticas; iii considerar a estiação coo u problea de otiização e utilizar técnicas heurísticas. A conclusão dos autores foi que a segunda abordage levou a elhores resultados, sendo que a dificuldade de fornecer condições iniciais foi suprida pelo uso da terceira abordage. 5 ONTROLE FRAIONÁRIO DE PROESSOS A expressão controle fracionário reflete a abordage do problea de controle clássico de processos utilizando equações diferenciais de orde

31 3 fracionária. O capo de aplicação do controle fracionário é uito vasto e a literatura apresenta diversos resultados teóricos e experientais, coprovando o sucesso desta nova abordage para o controle de processos. A seguir, serão reportados alguns trabalhos que tivera iportância na evolução técnica de controle. E teros históricos, a prieira aplicação co sucesso de controle fracionário é reportada por MANABE (96, no qual foi usada ua equação diferencial de orde fracionária para a síntese de controladores e estrutura feedback. E seguida, OUSTALOUP (975 aplicou técnicas de controle fracionário para sisteas de geração de laser colorido. DORÇAK (994 apresenta u estudo fundaental para o controle fracionário de processos sobre coo estudar e resolver os odelos ateáticos obtidos a partir de equações diferenciais fracionárias. O autor aborda o uso de ferraentas nuéricas e analíticas, be coo ilustra a iportância de hipóteses siplificadoras. OUSTALOUP et al. (996 reporta a aplicação de controle fracionário no projeto do sistea de controle de suspensões autootivas, desenvolvendo u protótipo e avaliando o desepenho a partir do uso de equações diferenciais fracionárias quando a suspensão é subetida à perturbações de carga. Este estudo foi feito co base na filosofia RONE. MATIGNON & ANDRÉA-NOVEL (997 propõe ua abordage inovadora para a ipleentação de controladores fracionários: o uso de sensores virtuais. Estudos teóricos fora conduzidos, ostrando a viabilidade do uso desta abordage ao controle de sisteas ecânicos aortecidos. PODLUBNY (999b apresenta u estudo teórico de sua iportância para a consolidação de controladores PID fracionários no qual, para u dado sistea, são conduzidos estudos teóricos. Os resultados ostra a superioridade de controladores fracionários aplicados a sisteas fracionários quando coparados a controladores clássicos aplicados aos esos sisteas fracionários. Alé disso, são reportados estudos envolvendo a análise da estrutura do controlador e de parâetros de sintonia sobre o desepenho da alha. Alguns estudos envolvendo a teoria de controle fracionário são apresentados por RAYNAUD & ZERGAINOH (000 que aborda a

32 3 representação e espaço de estados do controlador e suas variáveis. A abordage utilizada é extreaente interessante, no entanto sua aplicação se liita à sisteas lineares. HARTLEY & LORENZO (00 reporta u estudo no qual é avaliado o efeito de eória e controle fracionário. A iportância deste estudo se reflete no efeito de eória introduzido pela ferraenta ateática utilizada: as equações diferenciais fracionárias. Desta fora, os autores analisa a influência da inicialização do sistea, e o desepenho é avaliado e função de posições de zeros e pólos do sistea. Deve-se ressaltar que fora conduzidos apenas estudos teóricos. POMMIER et al. (00 aplica o controle fracionário co sucesso à atuadores hidráulicos e coponentes de sisteas de suspensão autootiva. Alé da validação experiental, deve-se ressaltar a aplicação à sisteas considerados não-lineares. SABATIER et al. (00 aplicara o controle fracionário RONE a sisteas co parâetros variáveis, ostrando a robustez e o bo desepenho do controlador. Mais ua vez os estudos relatados são de cunho exclusivaente teórico. XUE & HEN (00 apresenta u estudo teórico bastante copleto e de sua iportância para o estudo de controladores fracionários. O trabalho apresenta a coparação de desepenho de quatro técnicas de controle fracionário: controle TID, controle RONE, controle PID fracionário e copensador fracionário. ZENG et al. (00 apresenta estudos teóricos sobre a influência da orde da derivada fracionária sobre o desepenho do laço de controle. AHMAD et al. (004 utiliza a estratégia feedback lançando ão de controladores fracionários. U sistea é analisado e últiplos ganhos, sendo utilizado para tanto a orde fracionária das equações que descreve o referido sistea. O objetivo pretendido pelos autores foi alcançado, sendo eliinada a influência de coportaentos caóticos da trajetória do sistea, conduzindo o sistea ao estado de equilíbrio, ou seja, podendo ser controlado.

33 33 BARBOSA et al. (004 apresenta u estudo teórico descrevendo ua abordage inovadora baseada nos diagraas de Bode, levando à ua sintonia robusta. MA & HORI (004a apresenta u estudo uito iportante sobre técnicas nuéricas alternativas para a siulação de alhas de controle fracionário. Apesar de teórico, o estudo apresenta o uso de escalas de tepo diferentes para o controle de u dado sistea. MA & HORI (004b analisa o controle de velocidade de sisteas ecânicos a partir do uso de controladores PID fracionários. Os estudos são conduzidos no doínio de freqüência e através de ensaios experientais a superioridade da técnica de controle é confirada. MONJE et al. (004 reporta u dos prieiros trabalhos dedicados à sintonia de controladores. A iportância deste trabalho está na consideração de alguas incertezas do processo, visando ua sintonia ais robusta. SABATIER et al. (004 apresenta o uso de técnicas de controle fracionário no controle de velocidade de sisteas eletroecânicos. Os autores apresenta resultados experientais validando o uso de controle fracionário, e u dos principais resultados é a robustez da técnica de controle fracionário, frente a erros de edição da variável controlada. SILVA et al. (004 apresenta u estudo sobre o uso de controle fracionário para aplicação e robôs hexápodes. Mais especificaente, são conduzidos estudos teóricos, visando o controle de trajetória durante a locooção. O estudo de caráter teórico leva e conta efeitos de atrito nas articulações das pernas. oo conclusões, os autores apresenta u critério de cainhada que revela a superioridade do desepenho do controle fracionário e relação ao controle inteiro. AO et al. (005 reporta u estudo teórico envolvendo o uso de controle fracionário para u processo de prieira orde. O aspecto relevante do trabalho é o uso de algoritos genéticos para a sintonia dos parâetros do controlador, a partir da iniização de ua função objetivo baseada na soa do quadrado das distâncias entre o valor de saída e o set-point. A técnica de sintonia se ostrou eficiente, ua vez que o controlador faz co que o sistea de prieira orde

34 34 atinja o set-point. Apesar da relevância, o trabalho não apresenta nenhu estudo coparativo co outras técnicas de sintonia previaente reportadas. ALDERÓN et al. (006 reporta o uso de estratégias de controle fracionário co conversores eletro-eletrônicos. O estudo consiste na aplicação de controladores PID fracionários co validação experiental e tabé o uso de robôs hexápodes. O desepenho da cainhada do robô é utilizado para a aplicação de controle e esta é avaliada utilizando critérios de Nyquist. LADAI & HAERF (006 apresenta u dos prieiros trabalhos sobre controle fracionário adaptativo. A iportância do eso está no fato de que o controlador adapta-se à realidade ao qual está subetido de ua aneira ais rápida, sendo ais eficiente na eliinação de distúrbios. Os autores conduzira apenas estudos de siulação, ostrando a superioridade do controle fracionário adaptativo e relação ao controle adaptativo clássico. VALÉRIO & OSTA (006 apresenta estudos uito iportantes referentes à sintonia de controladores fracionários. O estudo é de caráter teórico e apresenta técnicas baseadas na abordage de Ziegler-Nichols. BONNET & PARTINGTON (007 reporta estudos teóricos envolvendo o uso de técnicas de controle fracionário para sisteas co atraso, que, e geral, são de difícil controlabilidade. DE LA SEN (008 apresenta o uso da representação de sisteas nãolineares e de parâetros não-constantes a partir de equações fracionárias. Desta fora, o sistea, descrito é subetido à estudos teóricos visando o controle a partir de ua técnica de ganho escalonado. A técnica proposta ostrou-se satisfatória para o controle, inclusive para sisteas co atrasos. FERREIRA et al. (008 apresenta estudos teóricos para o uso de controle fracionário à anipuladores ecânicos, obtendo resultados bastante expressivos no que se refere ao coportaento dinâico de sisteas controlados pela técnica fracionária. LI et al. (008 apresenta o uso de controle fracionário robusto para o controle sisteas de potência sendo os esos odelados por sisteas de equações algébrico-diferenciais fracionárias. Os resultados são teóricos, as tabé de bastante ipacto, tendo e vista a inserção e análise do controle robusto.

35 35 LADAI et al. (008 apresenta u estudo bastante relevante considerando o uso de controladores fracionários adaptativos, baseados e elevados ganhos do sistea. A estratégia é analisada considerando apenas estudos teóricos, sendo utilizada co sucesso para o controle de u sistea genérico proposto pelos autores. TAVAZOEI & HAERI (008 reforça a habilidade do controle fracionário para o controle de sisteas caóticos. A iportância do trabalho se reflete na siplicidade da técnica proposta, be coo e sua capacidade de eliinar oscilações ou reduzir os seus efeitos. ISFER (009 apresentou a generalização de controladores IM co o uso de equações diferenciais fracionárias. Via siulações, deonstrara a viabilidade do uso dos controladores IM generalizados para o controle de u forno industrial. 6 MODELAGEM DE OLUNAS DE ABSORÇÃO A odelage de colunas de absorção pode ser feita a partir de princípios fundaentais, levando e conta os internos da coluna, se de estágios, recheio, spray ou borbulhaento (SEADER & HENLEY, 005. No entanto, as aiores dificuldades, reside no cálculo dos parâetros e coeficientes referentes ao transporte de assa (BIRD et al., 004. Devido à coplexidade que surge pelo fato dos odelos fundaentais sere constituídos por sisteas de equações diferenciais parciais, surge a alternativa referente ao uso técnicas de identificação de processos. No entanto, não fora encontrados trabalhos na literatura reportando o uso de equações diferenciais fracionárias para o estudo do coportaento dinâico de colunas de absorção. 7 ONTROLE DE OLUNAS DE ABSORÇÃO O controle de colunas de absorção pode ser conduzido utilizando técnicas de controle clássico, coo controladores P, PI, PID (SEBORG et al., 003. No entanto, ua revisão criteriosa dos trabalhos da literatura indica a tendência do uso de técnicas baseadas e inteligência artificial, coo reportado por VITTHAL

36 36 & RAO (995 e EYNG & FILETI (00 ou e controle baseado e odelo coo reporta BEDELBAYEV et al. (008. Alguns trabalhos referentes a absorção são encontrados coo a ipleentação de ua coluna de aborção de gases co o uso de técnicas de controle preditivo Matriz Dinâica de ontrole (DM, desenvolvido por MAIA (994, onde ela copara o desepenho de u controlador preditivo (DM e u PI e feedback, após a aplicação de u degrau na coposição de gás na entrada da coluna, onde a esa obteve elhor resposta co o controle DM. NANJIM e RUIZ (995 utilizou u controle adaptativo e coluna de absorção para reoção de gás carbônico, já e SILVA (997 realizou seus estudos co o uso de u odelo neural hibrido para predizer o fluxo de assa, onde avaliou o desepenhodo controle preditivo co odelo linear e não linear (redes neurais artificiais, da onde não se obteve grandes diferenças PALÚ (00 aplicou a técnica DM a ua coluna de absorção para o caso onovariável (SISO, coo para ultivariável (MIMO. Os testes fora feitos e coparação co o controlador PI e alha feedback, aonde o técnica DM se coportou elhor e coparação ao PI. EYNG (008 realizou seus experientos co o desenvolviento e utilização de u controlador feedforward-feedback baseado e odelo inverso de redes neurais para anipulação de vazões de solvente das colunas de absorção epregadas no processo produtivo de etanol por ferentação, onde coparou suas respostas a u controlador convencional PID. Ele obteve u desepenho satisfatório do controlador feedforward-feedback baseado e odelo inverso de redes neurais, onde concluiu que representava ua opção atrativa pra o controle de colunas de absorção. Ele não conseguiu estabilizar a variável controlada no set point, as verificou que o controlador neural proporcionava ua enor oscilação que o PID. Para EYNG (008 deve ser feitos estudos e colunas de absorção para avaliar os efeitos téricos, coo tabé para se avaliar a influência do tepo orto nos processos de separação água-etanol, devido as concentrações residuais na entrada e saída da coluna.

37 37 Assi, não fora encontrados trabalhos reportando a aplicação de técnicas de controle baseadas e equações diferenciais fracionárias à colunas de absorção. 8 ANÁLISE DA REVISÃO BIBLIOGRÁFIA Nesta seção será feita ua análise da revisão bibliográfica, ressaltando alguas lacunas existentes e as contribuições deste trabalho. E prieiro lugar, analisando-se os trabalhos revisados, verifica-se que a identificação fracionária apresenta alguas lacunas a sere preenchidas. A partir dos trabalhos revisados, verifica-se, tabé, que a aplicação do controle fracionário restringe-se basicaente a sisteas elétricos, ecânicos e robóticos, não sendo reportadas até o oento aplicações teóricas ou experientais de controle fracionário a processos quíicos e petroquíicos. onsideráveis avanços fora alcançados e relação à teoria do controle fracionário contínuo, no entanto, não fora encontrados estudos sobre a aplicação de derivadas fracionárias à forulação de controle considerando alhas feedback co copensação de tepo orto, feedback cascata, feedforward pura ou feedbackfeedforward. Desta fora, o trabalho proposto foca o preenchiento das seguintes lacunas: identificação de processos de absorção por eio de equações diferenciais fracionárias; estudo de alhas de controle feedback co copensação de tepo orto; estudo de alhas de controle feedback cascata; estudo de alhas de controle feedforward puro e feedback-feedforward;

38 38 III - METODOLOGIA INTRODUÇÃO Neste capítulo, será discutida a etodologia utilizada para realização deste trabalho. Serão abordadas a representação de derivada fracionária utilizada, análise estatística de odelos, be coo étodos ateáticos utilizados para a solução de equações diferenciais de orde fracionária e as alhas de controle analisadas. REPRESENTAÇÃO DE APUTO A derivada fracionária de ua função f(t pode ser obtida a partir de diversas representações, coo encionado no apítulo II. ada representação possui tanto aspectos positivos coo aspectos negativos. E particular, neste trabalho será considerada a representação de aputo (APUTO, 967 para derivadas fracionárias de orde α, sendo definida pela expressão a seguir: a x ( ( ( τ τ Γ( β n α f D xf t d, < α < +; α R; ℵ α + ( τ (III.0 t a Ua das principais vantagens para o uso da representação de aputo está ligada à solução de equações diferenciais de orde fracionária. A solução de ua equação diferencial possui constantes de integração que deve ser deterinadas a partir de condições iniciais ou condições de contorno para que a solução seja individualizada. Apesar da orde fracionária, equações diferenciais cuja representação de derivadas é feita a partir da abordage de aputo, pode lançar ão de condições iniciais ou condições de contorno que utiliza derivadas de orde inteira. A vantage do uso de derivadas de orde inteira para representar as condições está associada à interpretação física que as esas pode possuir (PODLUBNYb, 999. Por exeplo, se a condição é o próprio valor da função (derivada de orde zero isso pode corresponder à teperatura

39 39 de u fluído e udança de fase. ondições de áxio, ínio ou superfícies isoladas pode ser expressas por derivadas de prieira orde iguais a zero. 3 VARIÁVEL TIPO DESVIO Outra vantage para o uso da representação de aputo é o fato de que a derivada de orde α de ua função constante qualquer, por exeplo, x(t, co R, é igual a 0. Isso não ocorre caso for utilizada, por exeplo, a representação de Riean-Liouville para o cálculo da derivada fracionária. Esta propriedade é de fundaental iportância no estudo de controle de processos devido à possibilidade do uso de variáveis do tipo desvio (BEQUETTE, 998, que são expressas por ua diferença entre o valor real da variável e o valor de estado estacionário que é constante por definição. α α d Adesvio( t d A( t Adesvio ( t A( t Aestacionár io (III.0 α α dt dt Supondo ua equação diferencial linear de orde β seja dada pela expressão: α d y( t + K y( t x( t (III.03 α dt K No estado estacionário, a variação co o tepo é nula, resultando e: y estacionár io xestacionár io (III.04 Portanto, subtraindo a Eq. (III.04 da Eq. (III.03, leva à expressão α d y( t + K y( t y α dt [ ] x( t estacionár io [ x ] estacionár io (III.05 A partir da definição da Eq. (III.0, pode-se reescrever a equação (III.05 e teros de variável desvio. Observa-se que a equação resultante, Eq. (III.06, possui a esa estrutura da equação diferencial original Eq. (III.03, fato que só é possível porque a derivada da função constante é igual a zero, ua vez que foi utilizada a representação de aputo.

40 40 d α y desvio α dt ( t + K y desvio ( t x ( t desvio (III.06 Deve-se ter e ente que, ao ser aplicado u dado distúrbio e u processo e estado estacionário, a condição iediataente antes da aplicação do distúrbio é a condição inicial do problea dinâico. Portanto, resulta a partir do uso da definição de variável desvio que: y( 0 y y( 0 y 0 y ( 0 0 (III.07 estacionár io estacionár io desvio Finalizando, a principal vantage do uso de variáveis tipo desvio é o fato de as condições iniciais sere iguais a zero. E geral, esta propriedade das condições iniciais facilita a deterinação das constantes de integração e facilita a solução de equações diferenciais a partir o uso de transforadas de Laplace. o esse objetivo, neste trabalho, serão utilizadas variáveis desvio para os estudos de identificação e de controle. 4 TRANSFORMADA DE LAPLAE Ua das técnicas de solução analítica de equações diferenciais lineares é baseada e transforadas integrais (RIE & DO, 995. Nesta técnica, é feita ua udança de variáveis independentes de u doínio t pra u doínio s sendo que a representação neste novo doínio perite transforar a equação e ua estrutura co aior facilidade para se obter a solução. Por exeplo, equações diferenciais ordinárias pode ser transforadas e equações algébricas, equações diferenciais parciais pode ser transforadas e equações diferenciais ordinárias. Deve-se ter e ente a necessidade de se desfazer a transforação para que a solução no doínio transforado s seja expressa e teros da variável original do problea, t. A Eq. (III.08 apresenta a equação genérica de ua transforada integral. b F ( s K( s,t f ( t dt (III.08 a

41 4 Na Eq. (III.08, f(t é a função no doínio tepo, t, que será transforada e F(s a partir de ua integral definida pelos liites a e b. Esta integral possui, ainda, ua função kernel (núcleo da transforação K(s,t, cujo objetivo principal é garantir a convergência da integral. A transforada de Laplace é dada pela expressão a seguir, sendo u caso particular da Eq. (III st F ( s e f ( t dt (III.09 o isto, te-se que transforada de Laplace da derivada de aputo é dada pela expressão a seguir (PODLUNBY, 999b: 0 n st α α α k ( k e [ ( ] ( 0Dt f t dt s F s s f ( 0, onde n < α < n (III.0 k 0 0 Para o caso particular de condições iniciais nulas, a transforada é: st α α e [ 0Dt f ( t ] dt s F( s, onde n < α < n (III. Deve-se ressaltar que o liite inferior da derivada de aputo deve ser igual ao liite inferior da integral da definição da transforada de Laplace, ou seja, a0. Por tanto, neste trabalho, sepre que necessário, será utilizada a técnica de transforada de Laplace para a solução de equações diferenciais de orde fracionária. 5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNIA A descrição ateática das estruturas/alhas de controle é freqüenteente feita a partir de funções de transferência. Estas funções relaciona o coportaento da variável de saída, Y(s, de u dado sistea frente a perturbações na variável de entrada do sistea, X(s (KOPPEL, 968. No doínio Laplace, são expressas por u quociente de polinôios de s dado pela expressão: G( s Y( s b s + b s + L+ b s + b s+ b0, < n n n (III. X( s an s + an s + L+ a s + a s+ a0

42 4 Sendo que a função de transferência acia foi obtida a partir da equação diferencial ordinária genérica dada por: n n d y( t d y( t d y( t dy( t an + a a a a y( t n n + L n dt dt dt dt, < n (III.3 d x( t d x( t d x( t dx( t b + b + + b + b + b0 x( t L dt dt dt dt A transforada de Laplace inversa para ua função de transferência dada pelas Eq. (III. ou sua correspondente no doínio tepo, Eq. (III.3, pode ser obtida a partir de PODLUBNY (999b. A TABELA III. apresenta a transforada de Laplace inversa de casos particulares da Eq. (III., frente a perturbações do tipo degrau, ou seja, X(t é ua função Heaviside. TABELA III. - TRANSFORMADA DE LAPLAE INVERSA PARA ASOS PARTIULARES aso 0: α ω d y( t d x( t a + by α ω dt dt ω Y( s s G( s α X( s a s + b X(s Degrau (Função Heaviside ( b y t ε 0t, ; α, α + ω a a aso 0: β α ω d y( t d y( t d x( t a b + cy β α ω dt dt dt ω Y( s s G( s β α X( s a s + b s + c X(s Degrau (Função Heaviside k k ( ( c b y t εk t, ; β α, β + α k + ω a k! a a k 0 aso 03: γ β α ω d y( t d y( t d y( t d x( t a + b + c + dy γ β α ω dt dt dt dt ω Y( s s G( s γ β α X( s a s + b s + c s + d X(s Degrau (Função Heaviside ( k d c ε b y t t, ; γ β, γ + β αk + a! a k 0 k 0 d a FONTE: Adaptado de PODLUBNY (999b (III.4 (III.5 (III.6 (III.7 (III.8 (III.9

43 43 ω d x( t Assi, se ω0, o tero corresponde à própria função Heaviside. Por ω dt ω d x( t outro lado, se ω, o tero corresponde à função Delta de Dirac. Para o ω dt cálculo dos valores de y(t é necessário o cálculo da função Epslon ε k (t,y;α,β, αk +β ( k ( ( α t,y; α, β t E y t εk (III.0 α, β Para tanto, torna-se necessário o cálculo da função Mittag-Leffler, Eq. (III., be coo de sua k-ésia derivada, Eq. (III.. E α, β j ( x ( x Γ( α j + β j 0 (III. ( k E ( x α, β j 0 j ( j + k! x ( j + α k + β j! Γ α (III. 6 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS A estiação de parâetros é de fundaental iportância para a identificação de processos. Os parâetros deve ser escolhidos de fora a iniizare a distância entre o valor observado e o valor predito pelo odelo (JOHNSON & WIHERN, 00. Desta fora, para u odelo definido por y(t f(t,a,...,a n, os valores dos parâetros a,...,a n são tais que iniiza ua dada função objetivo, FOBJ, que pode ser definida pela expressão a seguir, na qual NE é o núero de pares (t p,y p de pontos experientais disponíveis: NE ( y OBS p y PRED p FOBJ (III.3 p 0 Neste trabalho, será considerado apenas u tipo de odelo dinâico descrito por equações diferenciais de orde fracionária, representado pela Eq. (III.03. Esta equação diferencial é linear e não-hoogênea, podendo ser resolvida pela técnica de transforada de Laplace. onsiderando x(t coo sendo u degrau (função Heaviside unitário, a solução da Eq. (III.03 pode ser obtida co auxílio da TABELA III., co ω0, sendo expressa por:

44 44 ( ( ( α j+ j j t b y t (III.4 j 0 a Γ( α( j + + Portanto, o problea de estiação de parâetros enfrentado é não-linear, e relação aos parâetros, e consiste e estiar α, a e b de fora a iniizare a função objetivo dada pela Eq. (III.5, obtida após da substituição da Eq. (III.4 na Eq. (III.3. α j+ NE t j j ( ( p b FOBJ y OBS p ( ( (III.5 p 0 j 0 a Γ α j + + De acordo co BARD (974 e HIMMELBLAU (970, a estiação pode ser conduzida considerando três estratégias distintas:. obter a derivada da função objetivo e relação a cada u dos parâetros e resolver o sistea de equações algébricas não-lineares a partir de algu étodo nuérico conhecido (PINTO & LAGE, 00;. considerar a estiação coo u problea de otiização e utilizar técnicas deterinísticas; 3. considerar a estiação coo u problea de otiização e utilizar técnicas heurísticas, sendo indicada a técnica de algoritos genéticos. De acordo co ISFER et al. (00, a segunda abordage foi a que apresentou elhores resultados, considerando a identificação de u sistea de orde fracionário, descrito pela Eq. (III.03. Neste caso, a estiação de parâetros foi considerada coo u problea de otiização e fora utilizadas técnicas deterinísticas para a iniização da função objetivo. Ua das principais dificuldades no uso de técnicas deterinísticas é o cálculo de derivadas tanto de prieira coo de segunda orde da função objetivo. Por outro lado, u dos aspectos positivos é o núero reduzido da quantidade de cálculos da função objetivo. Neste trabalho, foi utilizada a subrotina DUMINF (IMSL, 994a para o problea de otiização. Esta subrotina utiliza o étodo de quasi-newton (HIMMELBLAU & EDGAR, 988 e faz ua aproxiação do gradiente a partir de diferenças finitas.

45 45 7 DIAGNÓSTIO DA ESTIMAÇÃO Para que a identificação do processo seja copleta, apenas a estiação dos parâetros não é suficiente. Torna-se necessário u diagnóstico dos resultados utilizando análises estatísticas (nuéricas e gráficas (OTTO,999. Deve-se ressaltar que, neste trabalho, as variâncias fora consideradas constantes e iguais para todos os pontos experientais e para o conjunto de dados experientais (Ver Seção 8 do apítulo III. E relação à análise gráfica quatro tipos básicos de diagnóstico são possíveis: gráfico de y OBS (t e y PRED (t e função de t. Se o odelo for perfeito, ou seja, y OBS (t y PRED (t, os pontos experientais deve estar sobre a curva gerada pelo odelo ateático. gráfico de y OBS (te função de y PRED (t. Se o odelo for perfeito, o gráfico deve ser ua reta co inclinação de 45 passando pela orige. gráfico de resíduos (y OBS (t y PRED (t e função de t. Se o odelo for perfeito, o gráfico deve ser ua reta horizontal sobre o eixo t. histograa de freqüências dos resíduos (y OBS (t y PRED (t. E relação ao diagnóstico nuérico, o prieiro teste a ser feito é o teste de hi-quadrado reduzido ( χ RED, cuja etodologia sugerida por VUOLO (99 é apresentada a seguir. Passo : alcular NE χ, sendo χ ( y y RED RED δ OBS NE NP p 0 OBS p PRED p, onde NP é o núero de parâetros estiados. Passo : alcular o intervalo de confiança de χ RED, atribuindo u nível de confiança desejado. Neste trabalho serão considerados níveis de confiança de 95% e 99%, valores que deve ser utilizados junto co (NE NP para a obtenção dos liites inferior e superior do intervalo de confiança de χ RED. JOHNSON & WIHERN (00 apresenta a distribuição χ, assi, o intervalo

46 46 de confiança para o nível de confiança desejado é dado por χ Y χ Y < χred <. NE NP NE NP O intervalo de 99% foi escolhido para garantir ua elhor aproxiação dos dados experientais co os dados preditos por equações diferenciais fracionárias. Passo 3: oparar o valor de χ RED calculado co os liites obtidos no Passo. Se Liite Inferior < χ RED < Liite Superior, o ajuste é considerado bo. Se χ RED < Liite inferior, pode ter havido ajuste de erros devido ao excesso de parâetros do odelo. aso χ RED > Liite superior, o odelo é inconsistente. O segundo teste consiste no cálculo do coeficiente de correlação r. A TABELA III. (VUOLO, 99 apresenta as equações a sere utilizadas para o cálculo do coeficiente de correlação. TABELA III. EQUAÇÕES PARA O ÁLULO DE R Descrição onjunto de Dados Experientais Média dos Dados Experientais Equação (t p ; y OBS-p, p0..ne (III.6 NE y y OBS OBS p NE P (III.7 NE δobs y y OBS OBS p NE P (III.8 Variância dos Dados ( Experientais onjunto de Dados Preditos (t p ; y PRED-p, p0..ne (III.9 NE Média dos Dados Preditos y y PRED p (III.30 PRED NE P NE Variância dos Dados δpred ( Preditos y y PRED PRED p (III.3 NE P o-variância entre Dados NE ( y y PRED p ( y y PRED OBS OBS p Preditos δobs PRED (III.3 e Dados Experientais P NE δobs PRED oeficiente de orrelação r OBS PRED (III.33 δ δ FONTE: VUOLO, (99 OBS PRED

47 47 aso soente u dos testes ou nenhu seja validado, o ajuste é considerado rui, devendo ser revisto inicialente a quantidade de parâetros, seguida da revisão da própria estrutura do odelo. Por fi, outra análise estatística de extrea iportância diz respeito ao erro dos parâetros obtidos a partir da variância dos dados experientais. De acordo co BARD (974, estes erros são obtidos a partir da atriz de covariância paraétrica. onsiderando o caso e que as variâncias dos dados experientais são constantes, pode-se aproxiar a variância dos parâetros dada pela atriz A (HIMMELBLAU, 970, que é obtida a partir da linearização do odelo e torno do conjunto de parâetros estiado que iniize o valor de FOBJ (Eq. III.5. ( T OBS X X A δ (III.34 Para o cálculo de A são utilizadas as atrizes e expressões a seguir. α α α PREDITO NE PREDITO NE PREDITO NE p PREDITO p PREDITO p PREDITO PREDITO PREDITO PREDITO y b y a y y b y a y y b y a y X M M M M M M (III.35 ( α α α α α NE p p PREDITO NE p p PREDITO p PREDITO NE p p PREDITO p PREDITO NE p p PREDITO p PREDITO NE p p PREDITO NE p p PREDITO p PREDITO NE p p PREDITO p PREDITO NE p p PREDITO p PREDITO NE p p PREDITO T y y b y a y y y b y b y a y b y a y y a y b y a y X X (III.36 ( ( ( ( ( + + Γ α + + α + 0 j j p j j j PREDITO p j t b a j a y (III.37 ( ( ( ( + + Γ α + α j j j j p PREDITO P j j b a t b y (III.38

48 48 y PREDITO p α j 0 j j α ( b ( ( j + ( t p a j+ Γ j+ ( α ( j + + [ ln ( t Ψ( α ( j + + ] p (III.39 O valor de δ OBS é o erro experiental que pode ser obtido a partir de réplicas dos experientos (HIMMELBLAU, 970 ou enor divisão da escala de leitura do instruento de edida (VUOLO, 99. De acordo co LEBEDEV (97, pode ser usada a função Ψ para o cálculo da derivada da função gaa. ( ( + + Ψ α 0 j e z z α ( j+ ln ( z dz ( ( j + + Γ α (III.40 Finalente, deve-se ressaltar que e todos os cálculos foi considerado que a série convergiu quando o valor absoluto do tero foi enor que 0-40, garantindo que o erro seja desprezível. 8 DADOS EXPERIMENTAIS Neste trabalho, os dados experientais utilizados fora obtidos a partir da literatura, sendo reportados por SMITH & ORRIPIO (997. Estes dados se refere a u processo de absorção de aônia (NH 3 do ar co o uso de água (H O coo solvente. A perturbação no sistea será feita pela aplicação de u degrau negativo na vazão de água (solvente, levando auento do valor da concentração de NH 3 na corrente de saída de topo da coluna. Não há inforações sobre os instruentos de edida. Os valores de concentração serão considerados co variância constante e igual a δ OBS-,50-3, o que corresponde a u desvio padrão de 0,05, valor de aproxiadaente 0,0%. O uso de u valor baixo é iportante para testar não apenas o ajuste dos dados, coo tabé a estrutura do odelo, pois quando as barras de erro verticais são grandes, ua aior quantidade de odelos pode ser considerada para o ajuste. O uso de valores constantes pode ocorrer quando os erros aleatórios são enores do que a enor escala de edição que passa a ser a variância experiental (VUOLO, 99. Os dados são apresentados na TABELA III.3. Os

49 49 resultados referentes à identificação do odelo fracionário são apresentados no apítulo IV. TABELA III.3 RESPOSTA PARA UM DEGRAU NA VAZÃO DE ÁGUA NA ABSORVEDORA. Tepo [s] Vazão de H O [gp] oncentração de NH 3 na corrente de saída de topo [pp] , , , , , , , , , , , , , , , , , ,77 FONTE: SMITH & ORRIPIO, (997 9 ESTRUTURAS DE ONTROLE Neste trabalho serão estudadas diferentes estruturas de controle fracionário, focando o desenvolviento e análise de controladores para o nível hierárquico de controle ais baixo, ou seja, o controle servo/regulatório. E todas as estruturas, serão desconsideradas a dinâica do atuador e do sensor, portanto G controle: ( s G ( s. Serão analisados os seguintes cenários de ATUADOR SENSOR

50 50 ontrole Feedback se tepo orto o Tipo servo Variável controlada Variável anipulada o Tipo regulatório Variável controlada Variável anipulada ontrole Feedback co tepo orto co Preditor de Sith o Tipo servo Variável controlada Variável anipulada o Tipo regulatório Variável controlada Variável anipulada ontrole Feedback co tepo orto se Preditor de Sith o Tipo servo Variável controlada Variável anipulada o Tipo regulatório Variável controlada Variável anipulada ontrole ascata se tepo orto o Tipo servo Variável controlada Variável anipulada ontrole Feedforward se tepo orto se alha feedback o Variável controlada o Variável anipulada ontrole Feedforward se tepo orto co alha feedback o Variável controlada o Variável anipulada

51 5 IV. IDENTIFIAÇÃO DO PROESSO INTRODUÇÃO Neste trabalho, os dados experientais utilizados fora obtidos a partir da literatura, sendo reportados por SMITH & ORRIPIO (997. Estes dados se refere a u processo de absorção de aônia (NH 3 do ar co o uso de água (H O coo solvente. A perturbação no sistea será feita pela aplicação de u degrau negativo na vazão de água (solvente, levando auento do valor da concentração de NH 3 na corrente de saída de topo da coluna. Os dados da literatura (Tabela III.5 fora usados SEM a aplicação de filtros para reoção de ruídos. Antes da estiação dos parâetros, as seguintes ações fora feitas co o intuito de reduzir a orde de grandeza das variáveis para elhorar o desepenho da estiação de parâetros: a identificação do tepo orto foi feita por inspeção direta dos dados, considerando o intervalo de aplicação do distúrbio e o início da resposta da coluna, sendo de θ0s; os valores de tepo descontados do tepo orto, θ, e depois divididos pelo aior valor t 80s para que ficasse contidos no intervalo [0,],o que possibilita ua siplificação no cálculo da variável desvio. os valores de concentração fora alterados para variável desvio, ou seja, ( t ( t - ss, onde ss é o valor de estado estacionário da concentração de aônia antes do distúrbio, ou seja, 50 pp. os valores de vazão de solvente fora alterados para variável desvio, ou seja, U ( t U( t -U ss, onde U ss é o valor de estado estacionário da vazão de solvente (H O antes do distúrbio, ou seja, 50 gp. o ganho estático do processo, e unidades de (pp NH 3 /(gp H O, calculado a partir dos dados experientais é de K EXP 50 5, ,0354

52 5 MODELO DO PROESSO Usando a técnica proposta por ISFER et al. (00, fora identificados u odelo de orde inteira e u odelo de orde fracionária. A TABELA IV. apresenta u resuo da estiação dos parâetros, sendo apresentados o valor da função objetivo F OBJ, dado pela Eq. (III.5, o valor do coeficiente de correlação R, o valor dos parâetros, be coo a o desvio padrão do parâetro, baseado nas variâncias dos pontos experientais, as quais fora aditidas constantes e iguais a δ OBS-,50-3 e, finalente, o ganho estático obtido pelo odelo. Quanto a orde da equação diferencial β pode ser deterinada pelo eprego da equação III.3 co o uso da função de Mittag-Leffler. TABELA IV. RESUMO DA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS G PROESSO Modelo Inteiro K INTEIRO - ( s e τ s + INTEIRO Parâetros K INTEIRO 0,04604 ± 0,00 τ INTEIRO 0,5568 ±0,03 Dados do Ajuste F OBJ 3,370 - R 0,94 Modelo Fracionário K FRA - θs GPROESSO( s e α τ s + Parâetros K FRA 0,035 ± 0,00 τ FRA 0,3003 ±0,065 α,9 ±0,0 Dados do Ajuste F OBJ,60 - R 0,997 Fonte: O autor (00 FRA θs Analisando-se os dados da TABELA III., observa-se que o ajuste fracionário se ostrou elhor, por apresentar enor valor de F OBJ e R ais próxio de,0, alé de predizer u ganho estático (K FRA ais próxio do valor experiental. No entanto, deve-se salientar que soente estes valores não são suficientes para validação do odelo. O próxio passo consiste e realizar o

53 53 teste de χ RED, para 95% e 99% de confiança, confore os resultados apresentados na TABELA IV.. A partir destes, verifica-se que abos os odelos passara no teste para os dois níveis, no entanto, observa-se que o valor de χ RED é enor para o odelo fracionário. Isso caracteriza ua enor dispersão entre dados experientais e preditos, fato este que tabé pode ser visualizado na FIGURA IV., tendo e vista que o odelo fracionário está contido na região das barras de incertezas. TABELA IV. RESULTADOS DO TESTE DE Modelo inteiro: nível de confiança: 95% 0,348 χ RED,039 onclusão: o ajuste é bo nível de confiança: 99% 0,333 χ RED,08 onclusão: o ajuste é bo Fonte: O autor(00 χ RED χ RED 0,899 Modelo fracionário: χ RED 0,466 nível de confiança: 95% 0,348 χ RED,039 onclusão: o ajuste é bo nível de confiança: 99% 0,333 χ RED,08 onclusão: o ajuste é bo A FIGURA IV. ilustra ainda o elhor coportaento do odelo fracionário tanto no início da perturbação coo quando o sistea tente a atingir o novo estado estacionário, o que é coprovado não soente pela elhor predição do ganho estático coo tabé pela FIGURA IV., que apresenta u gráfico dos resíduos e função do tepo. Observa-se que a distribuição dos resíduos (y OBS (t y PRED (t é aleatória, o que indica que os desvios entre dados experientais e odelo ocorre devido à erros aleatórios e não à estrutura do odelo.

54 54 5,9 concentração NH3 saida da torre- [pp] 5,5 5, 50,7 50,3 49,9 Dados Experientais Modelo Inteiro Modelo Fracionário tepo - [s] FIGURA IV. OMPARAÇÃO ENTRE DADOS EXPERIMENTAIS E MODELOS 0,5 0,05 0,085 0,065 Resíduo 0,045 0,05 Modelo Fracionário Modelo Inteiro 0,005-0,05-0,035-0, Instante FIGURA IV. DESVIOS DO MODELO INTEIRO E DO MODELO FRAIONÁRIO

55 55 Finalente, a FIGURA IV.3 apresenta u histograa das frequencias dos valores absolutos dos desvios. Pode-se observar que os desvios do odelo fracionário são ais freqüentes na região de baixos valores. O odelo inteiro apresenta desvios ais espalhados e aiores e aplitude, corroborando o elhor desepenho do odelo fracionário para a predição do coportaento dinâico do processo. 6 5 Modelo Inteiro Modelo Fracionário 4 Frequencia 3 0 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, 0, Valor Absoluto do Desvio FIGURA IV.3 DESVIOS DO MODELO INTEIRO E DO MODELO FRAIONÁRIO G PROESSO Por tanto, o odelo identificado para o processo é dado por: 0,035 -( θs ( s e,8575 (IV.0 0,3003 s +

56 56 3 MODELO DO DISTÚRBIO Devido à proposição de estudos de controle regulatório, e pelo fato de não tere sido reportados dados experientais de algua variável distúrbio, esta foi escolhida coo sendo a vazão da corrente de alientação de ar containado co aônia para a torre. Deve-se deixar claro que a concentração de aônia nesta corrente é sepre constante. o isso, foi arbitrada ua função de transferência FRAIONÁRIA para o distúrbio, ou seja, ua função de transferência para descrever o coportaento da concentração de aônia na corrente de saída de topo da torre e função de perturbações na vazão de alientação da fase gasosa. Será considerado, ainda, u valor de 00gp de vazão de alientação de gás para a coluna. O tepo orto, θ, e a constante de tepo fracionária τ FRA fora considerados os esos do processo, as e função do coportaento físico do processo, o ganho estático deve ser positivo e foi arbitrariaente escolhido coo sendo o dobro do valor do processo, sendo escolhido para analisar o efeito do distúrbio e que garante que o processaento coputacional consiga efetuar o cálculo, o que se atendeu co o dobro do valor do processo, resultando na seguinte função de transferência: G DISTÚRBIO 0,07 -( s ( s θ e,8575 0,3003s + (IV.0

57 57 V. ONTROLE FEEDBAK SEM TEMPO MORTO INTRODUÇÃO Neste capítulo serão apresentados os resultados referentes à aplicação de u controlador proporcional P aos odelos fracionários que descreve o coportaento dinâico da coluna, desconsiderando o tepo orto. ONTROLE FEEDBAK A FIGURA V. ilustra a alha de controle feedback. A principal característica é a correção pela retroalientação do erro, ou seja, só é toada ação de controle após o surgiento de algu desvio entre a variável edida e o seu valor desejado, set-point. FIGURA V. ILUSTRAÇÃO DA MALHA DE ONTROLE FEEDBAK Na FIGURA V., é apresentada ua ilustração da alha de controle ipleentada na coluna. O transissor de coposição IT é o sensor do processo, que está ligado ao controlador. Assi, dependendo do valor da coposição, há atuação no posicionador da válvula de controle de alientação de solvente, ou seja, atua o controle servo para anter o set-point. Por outro lado, há o edidor de FI para onitorar a alientação de gás para a coluna, sendo que qualquer udança no valor da vazão de alientação corresponde à inserção de u distúrbio na coluna, devendo atuar o controle regulatório.

58 58 FIGURA V. MALHA DE ONTROLE FEEDBAK IMPLEMENTADA NA TORRE Fonte: O autor (00. ONTROLE SERVO No controle servo, o objetivo é fazer a transição de valores de set-point. Para siplificar a análise, a variável distúrbio será considerada nula, D0. Desta fora, a função de transferência para a que descreve o coportaento dinâico da variável controlada e alha fechada no controle servo é dada por: Y Y( s SET-POINT GPROESSO( s GONTROLADOR( s (V.0 ( s + G ( s G ( s PROESSO ONTROLADOR Por outro lado, a função de transferência para a que descreve o coportaento dinâico da variável anipulada e alha fechada no controle servo é dada por: Y U( s G ( s ( s ONTROLADOR + G ( s G ( s (V.0 SET-POINT PROESSO ONTROLADOR

59 59 Desta fora, co o odelo fracionário se tepo orto estiado e considerando controlador P, respectivaente dados por: 0,035 GPROESSO( s,8578 (V.03 0,3003 s + G ( ONTROLADO R s K (V.04 Resulta as seguintes funções de transferência EM TERMOS DE VARIÁVEL DESVIO para descrição da variável controlada e da variável anipulada no problea servo: Y Y( s SET-POINT 0,035 K,8578 (V.05 ( s 0,3003s + 0,035 K Y (,8578 U( s K 0,3003s +,8578 (V.06 ( s 0,3003s + 0,035 K SET-POINT A todas as funções de transferência e alha fechada te a esa equação característica, dada por: [ 0, K ] 0,8578 0,3003 s + c (V.07 Logo, conclui-se que a alha estável para qualquer K c < 0, pois desta fora, as raízes da equação características tê parte real negativa. onsiderando ua udança no set-point de 50 pp para 55pp na saída de topo da coluna, co auxílio da TABELA III., as transforadas de Laplace inversas da Equação (V.05 e (V.06 são dadas, respectivaente, por: y( t 50 0,5833 K tero tero ε0 t, 3,33 ( 0,035 K ;,8578, (, ( (V.08

60 60 U( t K [ tero + 3,33 tero ] tero ε t, 3,33 0,035 K ;,8578 tero ε ( (, (, t, 3,33 0,035 K ;,8578,, ( ( ( 0 (V.09 Deve-se ter e ente que o sinal de Kc (ganho do controlador será negativo, indicando ação reversa do atuador. Alé disso, nas expressões acia, as variáveis NÃO SÃO DESVIO. Por fi, fora usados valores de tepo contidos no intervalo [0,] para o cálculo dos valores de y(t e u(t, as para plotage do gráfico, fora considerados os valores de t do intervalo [0,] ultiplicados por 80. Desta fora, foi avaliado o coportaento da variável controlada (FIGURA V.3 e da variável anipulada (FIGURA V.4 para diferentes valores de Kc, ais especificaente, fora escolhidos os valores Kc, Kc 0, Kc 30. Verifica-se a presença de off-set, sendo que este é reduzido confore o auento de Kc. Por outro lado, valores de Kc uito grandes e ódulo leva a ua variação uito brusca da variável anipulada nos instantes iniciais, podendo saturar o atuador, be coo pode instabilizar o processo caso surja algu distúrbio. Finalente, observa-se que para atingir o auento desejado da concentração de aônia na saída de topo deve haver ua redução na vazão de alientação de solvente para a coluna, coo ostra a FIGURA V.3.

61 6 Set_Point Kc - Kc -0 Kc ,75 concentração NH3 saida da torre - [pp] 53,75 5,75 5,75 50,75 49, tepo - [s] FIGURA V.3 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL ONTROLADA PARA DIFERENTES K Kc - Kc -0 Kc Vazao de Solvente Puro - [gp] tepo - [seg] FIGURA V.4 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA PARA DIFERENTES K

62 6. ONTROLE REGULATÓRIO No controle regulatório, o objetivo é fazer anter o valor do set-point quando o sistea sofre algu tipo de distúrbio. Para siplificar a análise, não há udança de set-point, logo Y SET-POINT 0. Desta fora, a função de transferência para a que descreve o coportaento dinâico da variável controlada e alha fechada no controle regulatório é dada por: Y( s G ( s D( s DISTÚRBIO + G ( s G ( s (V.0 PROESSO ONTROLADOR Por outro lado, a função de transferência para a que descreve o coportaento dinâico da variável anipulada e alha fechada no controle regulatório é dada por: U( s GONTROLADOR( s G ( s DISTÚRBIO (V. D( s + G ( s G ( s PROESSO ONTROLADOR Resulta as seguintes funções de transferência EM TERMOS DE VARIÁVEL DESVIO para descrição da variável controlada e da variável anipulada no problea regulatório: Y( s 0,07,8578 D( s 0,3003s + 0,035 K (V. U( s K 0,07,8578 (V.3 D( s 0,3003s + 0,035 K Todas as funções de transferência e alha fechada te a esa equação característica do problea servo, logo, a alha estável para qualquer K <0, pois desta fora, as raízes da equação características tê parte real negativa. onsiderando u distúrbio coo u auento de 0 gp na vazão de alientação de gás para a coluna, co auxílio da TABELA III., as transforadas de Laplace inversas da Equação (V. e (V.3 são dadas, respectivaente, por:

63 63 y( t 50 +,33 tero tero ε ( t, 3,33 ( 0,035 K ;,8578, (, (V.4 U( t 50,33 tero tero ε ( t, 3,33 ( 0,035 K ;,8578, (, (V.5 0 Deve-se ter e ente que o sinal de K (ganho do controlador continua negativo, indicando ação reversa do atuador. Alé disso, nas expressões acia, as variáveis NÃO SÃO DESVIO. Desta fora, foi avaliado o coportaento da variável controlada (FIGURA V.5 e da variável anipulada (FIGURA V.6 para os esos valores de Kc usados no problea servo, ou seja, K, Kc 0, Kc 30. Verifica-se novaente a presença de off-set, sendo que este é reduzido confore o auento e ódulo de Kc. Nota-se, ainda, que não há variação brusca da variável anipulada, as quanto aiores os valores de Kc, aiores as ações de controle, alé disso, coo encionado anteriorente valores elevados de Kc pode instabilizar o processo. Finalente, observa-se que coo houve u auento na alientação de gás para a torre, para anter o set-point é necessário u auento na vazão de alientação de solvente para a coluna, coo ostra a FIGURA V.5.

64 64 Kc - Kc -0 Kc -30 Set_point 50,7 oncentracao NH3 - saida da torre - [pp] 50,55 50,4 50,5 50, 49, Tepo - [s] FIGURA V.5 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL ONTROLADA PARA DIFERENTES K Kc - Kc -0 Kc -30 6,5 Vazão de Solvente Puro - [gp] 59,5 57,5 55,5 53,5 5,5 49, Tepo - [s] FIGURA V.6 OMPORTAMENTO DA VARIÁVEL MANIPULADA PARA DIFERENTES K

65 65 Assi, observou-se que os valores de Kc e todos os casos analisados deve ser negativos, já que a ação do atuador é de ação reversa e que tanto pela ação do controle servo coo regulatório houve a presença de off-set, devendo salientar que e nenhu caso a variável anipulada esteve fora das condições de operação para atuar na resposta.

66 66 VI. ONTROLE FEEDBAK OM TEMPO MORTO INTRODUÇÃO Neste capítulo serão apresentados os resultados referentes à aplicação de u controlador proporcional P aos odelos fracionários que descreve o coportaento dinâico da coluna, considerando o tepo orto. Alé disso, serão analisadas estruturas considerando a estratégia de predição de SMITH ONTROLE FEEDBAK OM TEMPO MORTO A presença de tepo orto representa ua coplicação para o controle de processos. Isso ocorre, pois as ações de controle, apesar de sere toadas, não tê efeito, assi, há u acúulo destas ações sobre o sistea que pode levar à instabilidade do processo. Dependendo dos valores do tepo orto, o controle feedback clássico pode ser considerado. No entanto, para valores elevados, recoenda-se algua fora de copensar o tepo orto, por exeplo usando preditores de SMITH, cuja estrutura é apresentada pela FIGURA VI.. FIGURA VI. MALHA DE ONTROLE OM PREDITOR DE SMITH Nesta alha de controle feedback é feita a copensação do tepo orto. Ou seja, são calculadas as ações de controle para o sistea caso não houvesse tepo orto e coparadas co o estado atual do sistea. Deve-se ressaltar que a função de transferência G * PROESSO ( s corresponde à função de transferência do * θs processo se o tepo orto, ou seja, G ( s G ( s e. PROESSO PROESSO (

67 67. ONTROLE SERVO A função de transferência que descreve o coportaento dinâico da variável controlada e alha fechada no controle servo co preditor de Sith é dada pela expressão a seguir, obtida a partir da álgebra de blocos (SEBORG et al., 003: Y Y( s SET -POINT G ( s + G ONTROLADOR ONTROLADOR ( s * θ ( s GPROESSO ( s e * ( s G ( s PROESSO (VI.0 Ao passo que se o preditor de Sith, ou seja, retirando-se o bloco dado ( ( * θs por G ( s e da FIGURA VI.0, resulta seguinte função de PROESSO transferência para a que descreve o coportaento dinâico da variável controlada e alha fechada no controle servo se o preditor de Sith, a qual é equivalente à Eq. (V.0: Y Y( s SET-POINT ( * θs GONTROLADOR ( s GPROESSO( s e * ( θs (VI.0 ( s + G ( s G ( s e ONTROLADOR PROESSO É iportante observar a presença do tero e -(θs no denoinador. A presença deste tero requer bastante atenção, pois pode alterar o intervalo de valores dos parâetros de sintonia do controlador que garanta u coportaento estável para a alha fechada. Isso ocorre, pois o tero auenta a não-linearidade da equação característica da alha de controle, podendo alterar o sinal e o tipo dos pólos. onsiderando u controlador proporcional, G ONTROLADOR( s K, e a função 0,035 de transferência do processo, G PROESSO( s 0,3003 s,8578 e + s 9, resulta a Eq. (VI.03 e a Eq. (VI.04 para descrição do coportaento da variável controlada co e se preditor de Sith, respectivaente. Deve-se ressaltar que coo a variável tepo dos dados experientais considerada para a estiação foi dividido por 80s, o eso deve ser feito para o tepo orto de 0s que passa a ser /9, coo apresentado na função de transferência do processo. Assi, coo no capítulo anterior, fora usados valores de tepo contidos no intervalo [0,]

68 68 para o cálculo dos valores de y(t e u(t, as para plotage do gráfico, fora considerados os valores de t do intervalo [0,] ultiplicados por 80. Y Y( s SET-POINT s 9 0,035 Kce,8578 ( s 0,3003s + - 0,035 Kc (VI.03 A esa consideração vale para a equação abaixo, co a presença de tepo orto tendo a transfora de Laplace inversa e variáveis norais dada por Y Y( s SET-POINT s 9 0,035 Kce ( s s, ,3003 s - 0,035 Kc e (VI.04 É iportante observar a presença do tero e -(θs no denoinador coo sendo a priordial diferença entre as equações acia. oo encionado anteriorente, a presença deste tero é de fundaental atenção, pois pode alterar a região de valores dos parâetros de sintonia do controlador, ua vez que auenta a não-linearidade da equação característica da alha de controle. Alé disso, ele dificulta a obtenção da transforada inversa de Laplace. Para resolver este problea, considerou-se a aproxiação de Padé de ª. orde (SEBORG et al., 003: θ ( θ e s θ (VI.05 + Assi, a Eq. (VI.04 passa a ser dada pela expressão a seguir que não possui o tero exponencial e seu denoinador: Y Y( s SET-POINT ( s 0,3003 s,8578 s 9 0,035 Kc( 8+ s e, ,4 s + ( + 0,035 Kc s+ 8( - 0,035 Kc (VI.06 Portanto, as transforadas de Laplace inversas da Eq. (VI.03 e da Eq. (VI.06, fora obtidas considerando as variáveis de processo e u degrau positivo de 5 pp no set-point (concentração de aônia na corrente de saída do topo da coluna são dadas, respectivaente, por

69 69 y ε 9 ( t 50 + H t [ (- 0,583K 0 ( t, 3,33 ( 0,035 K ;,8578, (, ] (VI.07 y( t 50 + H t [(- 0,583 K ( soa + 8 soa ] 9 8 ( 0,035 K + 0,035 K soa! 0,3003 k 0 k 0 8 ( 0,035 K ε t, 8;,8578,8578,,8578 +,8578 k + ( ( ( k 8 ( 0,035 K + 0,035 K! 0,3003 k k 0 8 ( 0,035 K (,8578,8578, (,8578 +,8578 k ( t, 8 ; soa ε Onde H( t a é a função de Heaviside que surge devido ao tero 0 p/ no nuerador da função de transferência, sendo, H( t a p/ k - s 9 e t < a t a (VI.08 presente A FIGURA VI. e a FIGURA VI.3 apresenta os gráficos da Eq. (VI.07 e da Eq. (VI.08, respectivaente, para diferentes valores de K, ais especificaente, fora considerados valores de K. iguais, 0, 30 e abos os casos. Alé disso, observa-se que e abos, o coportaento da variável teve o tepo orto devido à consideração deste nas análises. No entanto, verifica-se que o coportaento da variável controlada co a presença do preditor de Sith é idêntico ao coportaento da alha quando não se considera o tepo orto, veja a FIGURA IV.3 e copare a Eq. (V.08 co a Eq. (VI.07. Desta fora, o preditor conseguiu copensar o tepo orto de fora satisfatória. No entanto, quando o copensador não foi utilizado, principalente para o valor de Kc igual a 30, o coportaento passou a apresentar u leve overshoot provavelente, devido ao acúulo de ações de controle, sendo que o estado estacionário para a variável controlada á leveente inferior ao observado na esa situação envolvendo o preditor de Sith.

70 70 Set_Point Kc - Kc -0 Kc ,75 concentração NH3 saida da torre- [pp] 53,75 5,75 5,75 50,75 49, tepo - [s] FIGURA VI. VARIÁVEL ONTROLADA NA MALHA SERVO OM PREDITOR DE SMITH Set_Point Kc - Kc -0 Kc ,75 concentração NH3 saida da torre- [pp] 53,75 5,75 5,75 50,75 49, tepo - [s] FIGURA VI.3 VARIÁVEL ONTROLADA NA MALHA SERVO SEM PREDITOR DE SMITH

71 7 Por outro lado, as funções de transferência que descreve o coportaento dinâico da variável anipulada no controle servo co e se preditor de Sith são, respectivaente, dadas por: Y U( s G ( s ( s ONTROLADOR * + G ( s G ( s (VI.09 SET-POINT ONTROLADOR PROESSO Y U( s GONTROLADOR( s * ( S ( s θ + G ( s G ( s e (VI.0 SET-POINT ONTROLADOR PROESSO Repetindo o procediento usado para a variável controlada, resulta as seguintes funções de transferência que descreve o coportaento dinâico da variável anipulada e alha fechada no controle servo co e se preditor de: Y Y (,8578 U( s K 0,3003s +,8578 (VI. ( s 0,3003s + - 0,035 Kc SET-POINT U( s K ( s 0,3003s SET-POINT,8578 ( 0,3003s +, ,035 Kce s 9 s 9 (VI. onsiderando a aproxiação de Padé para o tero e do denoinador da Eq. (VI., resulta: Y ( ( (,8578,8578 U( s K 0,3003s + 80,3003s + s+ 8,8578,8578 (VI.3 ( s 0,3003s + 80,3003 s + + 0,035 K s+ 8 0,035 K SET-POINT onsiderando o novo set-point, definido a partir de u auento de 5 pp na concentração de aônia da saída de topo da coluna, as transforadas de Laplace inversas da Eq. (VI. e da Eq. (VI.3 são, respectivaente: u( t K [ tero + 3,33 tero ] tero ε t, 3,33 0,035 K ;,8578 tero ε ( (,, t, 3,33 ( 0,035 K ;,8578,, ( 0 0 (VI.4 u 9 k 8 ( 0,035 K + 0,035 K soa! 0,3003 k 0 k 0 8 ( 0,035 K ε t, 8 ;,8578,8578,,8578 +,8578 k +,8578 ( t 50 + H t [( 5 K ( soa + 8 soa + 3,33 soa3 + 59, 9 soa4 ] ( ( ( (VI.5

72 7 k 8 ( 0,035 K + 0,035 K! 0,3003 k k 0 8 ( 0,035 K (,8578,8578, (,8578 +,8578 k +, ( t, 8 ; soa ε 8 ( 0,035 K + 0,035! 0,3003 k 8 ( 0,035 K 0 k 0 ( t, 8 ;(,8578,8578, (,8578 +,8578 k + soa3 ε k 8 ( 0,035 K + 0,035 K! 0,3003 k k 0 8 ( 0,035 K (,8578,8578, (,8578 +,8578 k ( t, 8; soa4 ε K k A FIGURA VI.4 e a FIGURA VI.5 apresenta os gráficos da Eq. (VI.4 e da Eq. (VI.5, respectivaente, para diferentes valores de K. Kc - Kc -0 Kc Vazao de Solvente Puro - [gp] tepo - [seg] FIGURA VI.4 VARIÁVEL MANIPULADA NA MALHA SERVO OM PREDITOR DE SMITH

73 73 Kc - Kc -0 Kc Vazao de Solvente Puro - [gp] tepo - [seg] FIGURA VI.5 VARIÁVEL MANIPULADA NA MALHA SERVO SEM PREDITOR DE SMITH Novaente é iportante notar que eso co o tepo orto do processo, as ações de controle age desde o instante inicial t0, pois houve ua udança de set-point, ou seja, está sendo analisado do controle servo. Novaente, devido ao uso do preditor de Sith, as ações de controle são idênticas ao caso se tepo orto, o que pode ser visto coparando-se a Eq. (VI.4 co a Eq. (V.09. Desta fora, após a queda brusca inicial, o controlador ajusta a vazão para que seja atingido o set-point. Na FIGURA VI.5, o valor da variável anipulada foi calculado a cada 0s. Analisando os pontos referentes ao valor de K igual a -30, observa-se que até alé da queda brusca inicial, a vazão de solvente continua a cair, coo pode ser observado no instante 0s. Isso ocorre, pois foi aplicado o degrau do set-point e, devido ao tepo orto, até o instante 0s, o processo ainda não respondeu, co isso, para o controlador, a queda brusca inicial não resolveu, desta fora deve-se continuar a redução da vazão de solvente, coo por ser observado no gráfico. Soente no instante 0s, é que a variável anipulada coeça a udar para que seja feito o controle.

74 74. ONTROLE REGULATÓRIO A função de transferência que descreve o coportaento dinâico da variável controlada e alha fechada no controle servo co preditor de Sith é dada por: Y( s G D( s DISTÚRBIO ( θs ( ONTROLADOR PROESSO ( e * + GONTROLADOR( s GPROESSO( s * ( s + G ( s G ( s (VI.6 Ao passo que se o preditor de Sith, ou seja, retirando-se o bloco dado ( ( * θs por G ( s e da FIGURA VI.0, resulta seguinte função de PROESSO transferência para a que descreve o coportaento dinâico da variável controlada e alha fechada no controle servo: Y( s G ( s DISTÚRBIO * ( s D( s θ + G ( s G ( s e (VI.7 ONTROLADOR PROESSO É iportante observar a presença do tero e -θs no denoinador. A presença deste tero é de fundaental pois pode alterar a região de valores dos parâetros de sintonia do controlador, ua vez que auenta a não-linearidade da equação característica da alha de controle. Aplicando as funções de transferência do odelo identificado, resulta as expressões para o coportaento da variável controlada, co e se preditor de Sith (já co considerando a aproxiação de Padé, respectivaente: Y( s D( s s, ( 0,30030,07 s + 0,07 ( 0,035 K e + 0,035 0,07 e,3756,8578 ( 0,3003 s + 0,3003( 0,035 K s + ( + 0,035 K s 9 (VI.8 Y( s D( s 0,3003s,8578 s 9 0,07 ( 8+ s e, ,3003 s + + 0,035 K ( s+ 8( 0,035 K (VI.9 Invertendo as transforadas de Laplace referentes à Eq. (VI.8 e à Eq. (VI.9, considerando u degrau positivo de 0 gp na vazão de alientação de gás para a coluna, te-se, respectivaente: y 9 ( t 50 + H t [,33 soa + 7,76 ( 0,035 K soa ] + H t [ 0,7 soa ] 9 (VI.0

75 75 k ( soa,089 k 0 k! ε t, 3,33 0,035 K ( ( 0,035 K ( ( ; (,3756,8578, (,3756 +,8578 k +,8578 k ( soa,089 k 0 k! ε t, 3,33 0,035 K k ( ( 0,035 K k ( ( ; (,3756,8578, (,3756 +,8578 k + 0 y ( t 50 + H t [(,33 ( 8 soa + soa ] 9 8 ( 0,035 K + 0,035 K soa! 0,3003 k 0 k 0 8 ( 0,035 K ε t, 8;,8578,8578,,8578 +,8578 k + 0 ( ( ( k 8 ( 0,035 K + 0,035 K! 0,3003 k k 0 8 ( 0,035 K (,8578,8578, (,8578 +,8578 k + 0 ( t, 8 ; soa ε k (VI. A FIGURA VI.6 e a FIGURA VI.7 apresenta os gráficos da Eq. (VI.0 e da Eq. (VI., respectivaente, para diferentes valores de K, ais especificaente os esos valores usados até o oento: -; -0; -30. E abos os casos, observa-se que a variável controlada soente se altera decorrido o tepo orto. Observa-se, tabé, que se a presença do preditor de Sith, a variável controlada atinge u off-set, ua vez que a partir do instante 80s, os valores da FIGURA VI.7 tende a ficar constantes. No entanto, a copensação do tepo orto pelo preditor aliado ao valor elevado de K c fez co que o valor da variável controlada assuisse ua tendência de queda, reduzindo a distância entre o seu valor e o set-point. Observa-se que o controle se predição teve u elhor coportaento regulatório o que, pode ocorrer de acordo co SEGORG et al. (003. Os autores indica que a provável causa deste otivo é a estrutura do nuerador da função de transferência Eq. (VI.6 que envolve todas as funções de transferência da alha de controle. Ua solução é a utilização de controladores co dois graus de liberdade coo reportado por GOODWIN et al. (000.

76 76 Kc - Kc -0 Kc -30 Set_point oncentracao NH3 - saida da torre - [pp] 50,7 50,55 50,4 50,5 50, 49, Tepo - [s] FIGURA VI.6 VARIÁVEL ONTROLADA NO PROBLEMA REGULATÓRIO OM PREDITOR DE SMITH Kc - Kc -0 Kc -30 Set_point 50,7 oncentracao NH3 - saida da torre - [pp] 50,55 50,4 50,5 50, 49, Tepo - [s] FIGURA VI.7 VARIÁVEL ONTROLADA NO PROBLEMA REGULATÓRIO SEM PREDITOR DE SMITH

77 77 Por outro lado, as funções de transferência que descreve o coportaento dinâico da variável anipulada e alha fechada no controle regulatório co e se preditor de Sith são dadas por: U( s GONTROLADOR( s G ( s DISTÚRBIO * (VI. D( s + G ( s G ( s ONTROLADOR PROESSO U( s D( s GONTROLADOR( s G ( s DISTÚRBIO * θs (VI.3 + G ( s G ( s e ONTROLADOR PROESSO Aplicando as funções de transferência do odelo identificado, resulta as expressões para o coportaento da variável anipulada, co e se preditor de Sith (já considerando a aproxiação de Padé, respectivaente: U( s 0,07 K,8578 D s 0,3003s + s 9 ( ( + 0,035 K e (VI.4 U( s D( s 0,3003 s,8578 0,07 K + 8 0,3003 s,8578 s 9 ( 8 + s e + + 0,035 K ( s + 8 ( 0,035 K (VI.5 Invertendo as funções de transferência dadas pela Eq. (VI.4 e, considerando u degrau positivo de 0gp na vazão de alientação de gás para a coluna, resulta, respectivaente u 9 tero ε t, 3,33 0,035 K ( t 50 + H t [(-,33 K tero ] ( ( ;,8578, (, (VI.6 u( t 50 + H t [ (,33 K ( 8 soa + soa ] 9 8 ( 0,035 K + 0,035 K soa! 0,3003 k 0 k 0 8 ( 0,035 K ε t, 8;,8578,8578,,8578 +,8578 k + 0 ( ( ( 8 ( 0,035 K + 0,035 K! 0,3003 k k 0 8 ( 0,035 K (,8578,8578, (,8578 +,8578 k + 0 ( t, 8; soa ε k k (VI.7

78 78 A FIGURA VI.8 e a FIGURA VI.9 apresenta os gráficos da Eq. (VI.6 e da Eq. (VI.7, respectivaente, para diferentes os valores de K até o oento utilizados. Diferenteente do controle servo, o distúrbio é no set-point, sendo iediataente sentido pelo controlador resultando e ações de controle iediatas. Por outro lado, no controle regulatório, as ações de controle sofre o atraso dado pelo tepo orto, pois o distúrbio afeta o processo e, portanto, não é iediataente sentido pelo controlador. Observa-se que quando aior o valor de K c aior o valor da ação de controle, as que resulta e u auento áxio de 5%, portanto não levando a ua possível saturação do atuador. Kc - Kc -0 Kc -30 6,5 Vazão de Solvente Puro - [gp] 59,5 57,5 55,5 53,5 5,5 49, Tepo - [s] FIGURA VI.8 VARIÁVEL MANIPULADA NA REGULATÓRIA OM PREDITOR DE SMITH

79 79 Kc - Kc -0 Kc -30 6,5 Vazão de Solvente Puro - [gp] 59,5 57,5 55,5 53,5 5,5 49, Tepo - [s] FIGURA VI.9 VARIÁVEL MANIPULADA NA REGULATÓRIA SEM PREDITOR DE SMITH Verifica-se que a presença do tepo orto alterou o coportaento da resposta e relação ao capítulo anterior, as que a presença do preditor facilitou a resposta. A ação da variável anipulada requer neste caso atenção pois apresentou níveis elevados de arbertura pra responder à pertubação.

80 80 VII. ONTROLE ASATA SEM TEMPO MORTO INTRODUÇÃO Neste capítulo serão apresentados os resultados referentes à aplicação de u controlador proporcional P aos odelos fracionários que descreve o coportaento dinâico da coluna, considerando ua alha de controle co estrutura cascata. ONTROLE FEEDBAK OM ESTRUTURA ASATA E uitos casos, a variável anipulada pode sofrer algu tipo de problea. Desta fora, o controlador soente toaria ação de controle após ser detectado algu desvio, o que, dependendo do processo pode deorar u considerável intervalo de tepo. Desta fora, ua alternativa é fazer co que ua alha de controle interna ou escrava seja responsável pela variável anipulada, sendo que esta é subjugada a ua alha de controle externa ou estre, a qual atua diretaente no processo. A FIGURA VII. ilustra o diagraa de blocos da alha cascata, apresentando a interligação entre a alha estre e a alha escrava. FIGURA VII. ILUSTRAÇÃO DA MALHA ASATA A FIGURA VII. ilustra a aplicação da alha cascata ao controle de coposição da saída de topo da coluna de absorção. Verifica-se que a variável anipulada, vazão de solvente, está sob responsabilidade de ua alha de controle interna/escrava ligada ao transissor de vazão. No entanto, o set-point desta alha é definido pela alha externa/estre, a qual é a alha de interesse, ligada ao controle da concentração de aônia na saída de topo da coluna.

81 8 FIGURA VII. MALHA ASATA APLIADA AO ONTROLE DA OLUNA DE ABSORÇÃO FONTE: O autor (00. ONTROLE SERVO A Eq. (VII.0 descreve o coportaento da variável controlada da alha estre a partir de perturbações no set-point, sendo que o sub-índice se refere à alha estre, o sub-índice se refere à alha escrava, o sub-índice c se refere à função de transferência do controlador, sub-índice p se refere à função de transferência do processo. Y Y( s SET-POINT [ ] [ ( s GP ( s ] [ ] [ ( s G ( s ] G ( s GP ( s G ( s + G ( s G ( s G P P (VII.0 Por outro lado, o coportaento dinâico da variável anipulada da alha estre que equivale ao coportaento do set-point da alha escrava é dada pela expressão: Y U ( s G ( s + G SET-POINT ( s [ + G ( s GP ( s ] [ ( s G ( s ] [ G ( s G ( s ] P P (VII.0

82 8 Neste estudo serão considerados os controladores estre e escrados coo sendo do tipo P, dados por: G ( s K G ( s K (VII.03 Alé disso, não será considerado o tepo orto nas análises, logo, coo o processo é descrito pela Eq. (IV.0, resulta que para a alha estre te-se -0,035 G ( s P-,8578 0,303 s + (VII.04 Para fins de siulação, o processo referente à alha de controle escrava é dado pela expressão a seguir G ( s P-,8578 0,303 s + (VII.05 Portanto, substituindo as funções de transferência dos controladores e dos processos, resulta a expressão que descreve a alha fechada: Y Y( s SET-POINT 0,035 K,3578,8578,05 ( s 0,303 s + 0,303 ( + K s + s + [ + K - 0,035 K K ] - - K (VII.06 Desta fora, resulta que a equação característica é dada por:,8578,05 ( + Kc s + s + [ + Kc - 0,035035Kc Kc ] 0, ,303 s + 0,303 (VII.07 Serão utilizados para siulações, os valores de K e K dados pela TABELA VII.. Observa-se que, coo o ganho do processo referente à alha estre é negativo, o ganho deste controlador deve ser negativo tabé. Por outro lado, coo o ganho do processo referente à alha escrava é positivo, o ganho deste controlador deve ser positivo. TABELA VII. VALORES DOS PARÂMETROS DO ONTROLADOR Parâetro Valor K 0 30 K

83 83 Substituindo o par K e K de qualquer ua das cobinações da TABELA VII. na equação característica da alha, ou seja, Eq. (VII.07, não existe pólos co parte real positiva. Desta fora, para qualquer ua das cobinações de parâetros, a alha é estável. Finalente, a partir de u auento de +5pp no set-point da alha de controle estre, resulta a seguinte transforada de Laplace inversa. ( t 50 + [( 0,583 K K soa] y soa 0! ( + K 0,035 K K 0,3003 k 0 k (, ( + K ; (,3578,8578,(,3578 +,8578,05 k + 0 ε t (VII.08 A FIGURA VII.3 ilustra o gráfico do coportaento da variável controlada para as coinações dos valores de K e K listados na TABELA VII.. Observa-se que os elhores desepenhos fora obtidos para valores siultaneaente elevados dos dois parâetros, preferencialente K. No entanto, observa-se que valores elevados de K, tende a fazer co que o coportaento da alha seja ais rápido no início, coparando o caso e que (K 30 e K 30 co o caso e que (K 30 e K. Alé disso, observa-se que eso co a alha cascata, não foi possível evitar a presença do off-set. Para variável anipulada do controlador estre, que equivale ao set-point da alha escrava, resulta a seguinte expressão para descrever o coportaento dinâico: U Y MESTRE SET-POINT ( s ( s 0,3003 s,3578 K - + 0,3003,3578,8578,05 ( 0,3003 s +,3003 s + s +,8578,05 ( + K s + s + [ + K - 0,035 K K ] (VII.09 onsiderando a esa udança de set-point usada acia, resulta a seguinte equação após o cálculo da transforada inversa de Laplace:

84 84 MESTRE u soa ε [ 4 ( t 50 + ( 3,33 K ( 0,3003 soa +,3003 soa + so3 + soa k ( + K 0,035 K K + 0,035 K (! 0,3003 k + K 0,035 K K 0 k 0 (, ( + K ; (,3578,8578,(,3578 +,8578,05 k +,3578 t soa 0! ( + K 0,035 K K 0,3003 k + 0,035 K ( + K 0,035 K K k 0 (, ( + K ; (,3578,8578,(,3578+,8578,05 k +,8578 ε t soa3 0! ( + K 0,035 K K 0,3003 k + 0,035 K ( + K 0,035 K K k 0 (, ( + K ; (,3578,8578,(,3578+,8578,05 k +,05 ε t soa 4! ( + K 0,035 K K + 0,035 K 0,3003 k 0 k ( + K 0,035 K K ;,3578,8578,,3578 +,8578,05 k ε ( t, ( + K ( ( k k k (VII.0 Set_Point Kc - Kc Kc - kc 0 Kc - kc 30 Kc -0 Kc Kc -0 kc 0 Kc -0 kc 30 Kc -30 Kc Kc -30 kc 0 Kc -30 kc 30 54,75 concentração NH3 saida da torre - [pp] 53,75 5,75 5,75 50,75 49, tepo - [s] FIGURA VII.3 VARIÁVEL ONTROLADA NO ONTROLE SERVO EM MALHA ASATA A FIGURA VII.4 apresenta o coportaento da variável anipulada para alguns casos. Observando, sepre a presença da variação brusca inicial, sendo aior quanto aior for o valor de K. Por outro lado, a rapidez na udança da variável anipulada depende do valor de K.

85 85 Kc - Kc 0 Kc -0 Kc Kc -0 Kc Vazao de Solvente Puro - [gp] tepo - [seg] FIGURA VII.4 VARIÁVEL MANIPULADA NO ONTROLE SERVO EM MALHA ASATA Neste capítulo pode-se avaliar a ação dos controladores na alha tanto interno coo externo, verificando que a elhor resposta se deu co a escolha de u valor de Kc e ódulo alto, e que a alha externa teve aior influência na resposta final. Deve-se avaliar que a resposta depende uito dos aspectos coputacionais, pois quanto aior a avaliação para escolha dos parâetros para ajuste pior ficava as condições. A presença de ua alha interna pode antecipar a resposta, avalia-se que para elhorar a resposta a sintonia deverá ser feita, já que se coprobou o bo funcionaento do odelo para equações diferenciais fracionárias.

86 86 VIII. ONTROLE FEEDFORWARD SEM TEMPO MORTO INTRODUÇÃO Neste capítulo serão apresentados os resultados referentes à aplicação de u controlador proporcional P aos odelos fracionários que descreve o coportaento dinâico da coluna, considerando ua alha de controle co estrutura antecipativa ou feedforward. ONTROLE FEEDFORWARD SEM TEMPO MORTO A principal característica da estrutura de controle feedforward é o fato de se antecipar ao efeito de udanças ocasionadas na variável distúrbio. A FIGURA VIII. ilustra o diagraa de blocos desta alha de controle, devendo ser observado que NÃO existe edição, ne retro-alientação da variável controlada. Assi, para o uso da alha feedforward, deve ser conhecido o aior núero possível de distúrbios que pode vir a influenciar o processo. oo o núero de distúrbios é, e geral, bastante elevado, não é recoendado sob hipótese algua o uso da alha feedforward sozinha. Isso ocorre, pois caso algu distúrbio não considerado na forulação do problea de controle venha a agir no sistea, perde-se o controle. FIGURA VIII. ILUSTRAÇÃO DA MALHA FEEDFORWARD

87 87 Na FIGURA VIII. é apresentada a ipleentação da alha feedforward para antecipação ao distúrbio considerado no estudo que é a vazão de alientação de gás para a coluna. No entanto, se a coposição desta corrente sofrer algua udança, o controle ipleentado na FIGURA VIII. não vai atuar, pois considera apenas a alteração da vazão. FIGURA VIII. MALHA FEEDFORWARD APLIADA À OLUNA DE ABSORÇÃO FONTE: O autor (00 Para evitar este problea, a alha de controle feedforward é ipleentada e conjunto co a alha de feedback, coo pode ser visto na FIGURA VIII.3. FIGURA VIII.3 ILUSTRAÇÃO DA MALHA FEEDBAK-FEEDFORWARD