Sobre Tamanho da Terra

Transcrição

1 Introdução à Astronomia e à Astrofísica Sobre Tamanho da Terra Prof. Dr. Dietmar William Foryta Departamento de Física, Universidade Federal do Paraná, Centro Politecnico, Caixa Postal 19044, , Curitiba, Paraná, Brasil A tentativa de determinação do tamanho da Terra passa por várias atividades que usualmente na são apresentadas, ma que possuem importância capital no desenvolvimento de uma linha de raciocínio científico. Este desenvolvimento é perfeitamente adequado em diversas das fases escolares. A partir das primeiras determinações também pode-se construir uma idéia de como o sistema de planetas se organiza. Keywords: Terra: Experimento de Erastotenes; Terra: Tamanho; Lua: Experimento de Aristarcus; Lua: Tamanho e Distância; Sol: Tamanho e Distância; Sistema Solar: Modelo Heliocentrico Primitivo; 1 Qua a Forma da Terra? A Terra é uma Esfera? O Tamanho da Terra O Problema do Paralelismo dos Raios do Sol 5 5 O Tamanho e a Distância a Lua O Tamanho e a Distância ao Sol Modelo Primitivo do Sistema de Planetas. 9 O tamanho da Terra é usualmente tratado como um simples exercício da aplicação de trigonometria na disciplina de Matemática. Todavia o problema do tamanho da Terra é muito mais rico em possibilidades didáticas se adequadamente enfocado. Electronic address: foryta@fisica.ufpr.br; URL: 1. Qua a Forma da Terra? A forma de uma bola ou de um lápis são completamente diferentes, assim quando questionamos o tamanho de algum objeto nós devemos questionar primeiramente sua forma. Qual seria a forma da Terra? Hoje sabemos que a forma da Terra é uma esfera. Como no passado pode-se imaginar isto? Para podermos compreender a Natureza que nos cerca devemos questiona-la sobre o que ela o é. Observemos a nossa volta. Morros, nuvens, céu... Comparemos corpos de diversas formas e imaginemo-nos habitando a superfície destes corpos, qual seria nossa visão do mundo que nos cerca? Se habitarmos um mundo com forma de uma banana e estivermos na sua parte interna poderiamos ver a outra extremidade de nosso mundo. O que temos certeza que não ocorre. Se habitassemos um mundo infinitamente plano, bastaria irmos cada vez mais alto e poderiamos perceber que poderiamos

2 2 Introdução à Astronomia e à Astrofísica Figura 1 Exemplo de objetos, de diversas formas, para comparar e questionar qual destas pode ser adequada para a forma da Terra. O princípio capital é imaginar-se habitando a superfície destes objetos. Figura 2 Um possível método de determinação da forma da Terra pode ser obtida pelo uso de pequenos barcos puxando cordas a partir de um grande barco. Caso todas os comprimentos das cordas forem aproximadamente do mesmo tamanho a curvatura local da Terra é a mesma em todas as direções. Este resultado é somente compatível com algumas formas. ver cidades cada vez mais longe. Uma das dificuldades de nossas observações está na existência de morros e florestas que nos impedem a visão. Então desloquemo-nos para o litoral e observemos o mar e aproveitemos a partida de um barco. A medida em que este barco se afasta torna-se cada vez menor, em aparência, e após um tempo ele é gradualmente engolido pelo mar. Caso estivessemos no alto de uma árvore, também perceberiamos tal fenômeno, mas este ocorreria algum tempo após a observação deste por uma pessoa que estivesse mais embaixo. O que isto significa? Este fenômeno é o horizonte e é bem conhecido desde a antiguidade. Ele mostra que a superfície das águas não é plana do ponto de vista da geometria. A superfície das águas do mar apresentam uma curvatura para baixo. Se a curvatura for pequena, poderemos percebela facilmente, mas se for muito grande poderemos ter dificuldade em percebe-la. Como verificar, e mesmo medir, a curvatura da superfície das águas do mar? Imaginemos tal tipo de experimento sendo executado com a tencologia disponível na antiga grécia, época em que foi pela primeira vez estimado o tamanho da Terra. Peguemos um barco e naveguemos para uma distância em que a costa não possa ser observada. Coloquemos um observador em um mastro efaçamos avançar um pequeno barco arrastando uma corda. Quando o barquinho desaparecer para o observador do mastro, marquemos na corda qual sua distância. Curitiba, 11 de Agosto de 2003

3 Sobre o Tamanho da Terra 3 Raios Solares Paralelos Sienne Alexandria Poço Sombra Terra Figura 3 A estimativa de erastotenes é aqui esquematizada. A distância entre as cidades de Alexandria e Sienne de aproximadamente 800 km. A idéia básica é a existência de duas retas cruzadas por outra. Este deve ser repetido várias vezes em direções diferentes, pois há vários corpos que possuem uma forma convexa, entre os diversos temos esferas, ovos e pepinos. Se a distância medida até o desaparecimento, uma medida da curvatura da Terra, for a mesma em todas as direções poderemos descartar algumas das formas, ou posições dentro das formas. Quando repetimos o experimento constatamos que em todas as direções a distância é a mesma. Que corpos podem ter tal tipo de resultado? Não somente uma esfera, mas também poderemos estar nas pontas de um ovo, ou de um pepino. Como a possibilidade de estarmos justamente na ponta da Terra em forma de ovo, ou pepino, é pequena, então podemos acreditar que a Terra é bem provavelmente uma esfera. Claro que para termos, mais, certeza deveremos repetir o experimento deversas vezes em lugares bem diferentes. Lugares conhecidos pelos antigos gregos incluem o Golfo Pérsico, o Mar da Arábia, o Mar Negro e todo o Mar Mediterrâneo. Poder-se-iam mesmo fazer tal experimento além das colunas de heracles (Estreito de Gilbraltar). Comparando-se os comprimentos da corda, constatariamos que todas teriam a mesma distância. Isto implicaria que a curvatura da Terra é a mesma em diversos lugares distintos. A forma do corpo que seria compatível com tal resultado seria somente uma esfera. E assim passaremos a pensar que a Terra é uma esfera. 2. A Terra é uma Esfera? O experimento do comprimento da corda no mar indica que a forma da Terra é uma esfera, mas seria a forma da Terra uma esfera? Claro que não! Na Terra existem montanhas, por Dietmar William Foryta

4 4 Introdução à Astronomia e à Astrofísica Figura 4 Como o Sol não está a uma distância infinita, devido a propagação retilinea da luz implica que os raios de luz do Sol não chegam paralelos a Terra. Todavia, se a distância for grande o suficiente, a divergência dos raios do Sol serão pequenas o suficiente de maneira que sua não paralelidade possa ser considerada desprezível. vales e diversas feiçoes geográficas em altitude. Portanto a Terra não é uma esfera. E agora? Peguemos uma bola qualquer, uma de basquete por exemplo, e olhemos-a atentamente. Podemos perceber os pontos rugosos, a costura, eventuais arranhados e sulcos. Eles podem ser resumidos como altos e baixos para uma formiga que está pela bola passeando. Podemos interpretar estas diferenças de altura como analogos às montanhas e vales. Apesar de todas os possíveis oscilações na superfície da bola, podemos olhar a bola como uma esfera. Por que não a Terra também? Somente se tais montanhas sejam tão pequenas comparadas com o tamanho da esfera que podem ser consideradas como arranhões na sua superfície. Esta análise inclui dois conceitos fundamentais na Ciência: abstração e modelagem. A modelagem carcateriza-se por escolher alguma coisa que assemelha-se muito com aquilo que se quer estudar mas que seja mais simples. No caso da Terra, a Terra parece ser uma esfera, mesmo que saibamos que não o é. A abstração caracteriza-se em eliminar de nossa analise tudo que não é importante, ou que não pareça importante, para a análise, por exemplo a queda de objetos não depende da cor da camisa da pessoa que está observando. Em resumo a Terra, mesmo não sendo uma esfera, pode ser imaginada, modelada, como uma esfera. 3. O Tamanho da Terra Erastotenes ( a.c.) foi um dos mais notáveis estudiosos do seu tempo e escreveu sobre filosofia, sobre questões científicas e literárias. Como matemático, Erastotenes inventou um método para encontrar números primos. Sua reputação, entre seus contemporâneos, foi tão grande que Arquimedes dedicou um livro a ele. Como geógrafo, ele escreveu Geografia, o primeiro livro a dar a este ramo do conhecimento uma base matemática e tratar a Terra como um globo dividido em zonas frigidas, temperadas e tórridas. Este permaneceu como um trabalho padrão e foi usado um século mais tarde por Júlio César. Erastotenes permaneceu a maior parte de sua vida em Alexandria e lá morreu em 194 a.c. Sendo bibliotecário, seu segundo diretor, de 240 a 194 a.c., da Biblioteca de Alexandria, Curitiba, 11 de Agosto de 2003

5 Sobre o Tamanho da Terra 5 Lua Terra Sol Figura 5 A disposição da Terra, da Lua e do Sol pode ser estimada pelas observações. A Lua tem sempre aproximadamente o mesmo tamanho com pouca variação, bem como o tamanho aparente do Sol, o que significa que a distância destes a Terra não deve variam muito. Pelo conhecimento da existência do eclipse solar podemos ter certeza que a distância do Sol a Terra é maior do que a distância da Lua a Terra. no Egito, cidade fundada por Alexandre, O Grande, Erastotenes tinha o acesso a um volume considerável de informações. Entre elas, sabia-se que no dia de Solistício de Verão, no hemisfério norte, no dia 22 de Junho de cada ano, a luz do Sol era refletida diretamente pelo fundo de um poço d água em Siene, cidade diretamente ao Sul de Alexandria, onde a represa de Aswan está atualmente. Isto significa que o Sol estava diretamente, verticalmente, sobre Siene. Assim, em 235 a.c., no dia de Solistício, Erastotenes examinou a sombra de um monolito vertical e determinou que esta tinha aproximadamente 1/8 da altura do monolito. Isto corresponde a um ângulo de 7,2 o, ou seja, 1/50 de um círculo. A distância entre as duas cidades era bem conhecida, já que existia um tráfego comercial considerável, e foi medida por agrimensores da época como 5000 estadia, ou 800 km (50 dias de camelo, 16 km/dia). Assim a Terra teria km de perimetro ou 6700 km de raio. Estes valores contrastam com os atuais valores do perímetro é de km e 6370 km para o raio. Um erro menor do que 5%; surpreendente para a época! 4. O Problema do Paralelismo dos Raios do Sol Uma idéia fundamental que está por trás desta determinação é a presuposição de que os raios do Sol sejam paralelos. Seria este paralelismo correto? Pode-se experimentar a formação das sobras de objetos iluminados pelo Sol e perceber que a luz parece propagar-se retilineamente. O Sol, como fonte de luz, deve estar a uma certa distância da Terra, assim, os raios de luz do Sol partiriam do Sol e por consequência divergeriam, não chegando paralelos a Terra. Todavia a medida em que a distância entre o local de observação e a fonte de lua crescer, os raios de luz ainda chegarão não paralelos, mas esta divergência seria cada vez menor. Se a distância for grande o suficiente entre a Terra e o Sol, então a divergência dos raios do Sol poderão ser negligenciados. Então fica pendente que a distância ao Sol por Dietmar William Foryta

6 6 Introdução à Astronomia e à Astrofísica Figura 6 Desde a antiguidade sabia-se que o movimento da Lua não descrevia um círculo em torno da Terra, então a Lua não era considerada um objeto celeste e, assim, deveria ser um fenômeno atmosférico. seja determinada para confirmar ou refutar a aplicação geométrica feita por Erastotenes. 5. O Tamanho e a Distância a Lua Um fenômeno surpreendente na Natureza é a ocorrência de eclipses. Eles nos dão muitas informações sobre a localização dos objetos celestes que nos interessam, a Terra, a Lua e o Sol. O mais surpreendente é o eclipse solar pois ele evidência que o tamanho aparente do Sol é aproximadamente o mesmo da Lua. Pela ocorrência dos eclipses solares sabemos que o Sol está mais distante do que a Lua. Como os raios de luz percorrem uma trajetória retilínea, podemos associar o tamanho do Sol a sua distância e o tamanho da Lua e sua distância. Podemos extender este a colocação de uma pequena moeda colocada a frente da Lua e coloca-la a distância adequada de maneira que seu disco cubra exatamente ao da Lua. Assim sabendo qual a distância e o tamanho da moeda, basta encontrar, seja o tamanho, seja a distância, teremos o valor da outra propriedade. O eclipse solar também trás outra informação interessante. Como o eclipse solar é rápido comparado com a duração do dia, a extensão da sombra na superfície da Terra não deve ser grande. Isto implica que o comprimento da sombra da Lua é aproximadamente a distância da Lua a Terra. Analisemos também o eclipse lunar. O eclipse lunar pode ser dividido em três fases, uma fase de entrada na sombra da Terra, outra atravessando a sombra da Terra e outra emergindo da sombra. Mesmo não sabendo do valor numérico do tamanho da lua, podemos dizer que a velocidade de entrada na sombra é de um tamanho da lua no intervalo de tempo. Bem provavelmente esta velocidade não deve modificar durante a travessia da sombra. Assim, podemos medir a extensão da sombra da Terra em tamanhos da Lua. Sabendo que os tempos típicos destes eventos são 4 minutos e 10 minutos, sabemos então Curitiba, 11 de Agosto de 2003

7 Sobre o Tamanho da Terra 7 Eclipse Solar Eclipse Lunar Terra fim do eclipse lunar sombra da lua lado do dia lado da noite inicio do eclipse lunar Figura 7 Diagrama esquemático explicando o método utilizado para a determinação do tamanho da Lua utilizando-se dos eclipses solares e lunares. O intervalo de tempo em que a Lua permanece completamente oculta na sombra da Terra é aproximadamente 2,5 para o intervalo de tempo para que a Lua desapareça na sombra. que a sobra da Terra é 2,5 vezes o tamanho da Lua. É claro que o tamanho da sombra da Terra não é o tamanho da Terra, mas associando o fato de que a sombra do eclipse solar toca a superfície da Terra, podemos concluir que a diminuição do tamanho da sombra do tamanho da Terra até a posição de passagem da Lua é de 1 tamanho da Lua, então podemos afirmar que a Terra é 3,5 vezes o tamanho da Lua. Conhecido o tamanho da Terra, sabemos então o tamanho da Lua. Sabendo o tamanho da Lua, usando a moeda temos também a distância da Terra a Lua. Ambos, supreendentemente, com um erro menor do que 5% com os valores aceitos atualmente. 6. O Tamanho e a Distância ao Sol A semelhança de tamanhos aparentes permite vincular o tamanho do Sol com sua distância a Terra. Basta encontrar um para saber outro. Como encontrar algum destes? Quais informações já foram encontradas? Os tamanhos da Terra e da Lua e a distância da Terra a Lua. Como vamos associar três corpos, a Terra, a Lua e o Sol, lembramos de um triangulo. Melhor ainda sabemos pelo menos uma distância, da Terra a Lua. Falta-nos obter, seja dois ângulos, seja um ângulo e uma distância para obter todas as dimensões do triangulo. Os gregos conheciam muito bem as propriedades dos triangulos retangulos, onde um dos ângulos media 90 o. Brincando com os triangulos possíveis entre a Terra, a Lua e o Sol, podemos associar um instante adequado em que um ângulo de 90 o entre as direções da Lua a Terra e da Lua ao Sol. Facilmente podemos medir agora o ângulo entre a Terra e a Lua e a Terra e o Sol. Todavia a medida de ângulos próximos a 90 o era difícil para os gregos, onde a precisão por Dietmar William Foryta

8 8 Introdução à Astronomia e à Astrofísica Lua angulo de 90 graus angulo a ser determinado Terra Sol Figura 8 Um fenômeno perfeitamente visível que ocorre com a Lua são as ditas fases da Lua. Em um período conhecido como mês lunar, aproximadamente 28 dias, a feição clara da lua sai desde a completamente brilhante, a Lua Cheia, passa por uma fase em que diminui a área clara, a Minguante, atinge um mínimo completamente escurecida, a Lua Nova, e a área clara volta a crescer, a Lua Crescente, completando o ciclo na Lua Cheia.Para a determinação da distância ao Sol, quer-se obter um ângulo de 90 o entre as direções Terra-Lua e Lua-Sol, que é obtida quando a área clara está perfeitamente reta no disco lunar. Observe que está imersa a idéia que a Lua é iluminada pelo Sol tal qual a Terra, que a forma da Lua também é esférica. era da ordem de 2,5 o somente. Aristacus de Samos mediu um ângulo de 87 o estimando uma distância ao Sol de 20 vezes maior do que a da Terra a Lua. Como a distância de 20 da Terra-Lua é consideravelmente maior do que o tamanho da Terra, os raios solares devem chegar com divergência negligênciável. O valor atualmente aceito é de 89,8 o resultando em 400 vezes. Valor este que colabora Curitiba, 11 de Agosto de 2003

9 Sobre o Tamanho da Terra 9 Venus Sol elongacao maxima para Venus Terra Mercurio Figura 9 Sabendo que Vênus e Mercúrio, objetos conhecidos pelos antigos gregos, nunca afastavam-se muito do Sol, podemos imaginar que por analogia ao movimento da Lua, estes devem mover-se próximo ao Sol, em torno do Sol. ainda mais com o problema de paralelidade dos raios solares. 7. Modelo Primitivo do Sistema de Planetas Aristarcus de Samus ( a.c.) foi possivelmente o primeiro a sugerir que a Terra apresenta um movimento de rotação diário e que isto explicava o movimento das estrelas. Ele tomou por hipótese que a Terra moviase em torno do Sol em uma órbita anual, e que os outros planetas também o deveriam. Ele mediu corretamente o diâmetro da Lua e sua distância à Terra, em 240 a.c., dezesete séculos antes que suas determinações fossem completamente aceitas. Quais outros objetos celestes podem ser estudados fora a Terra, a Lua e o Sol? por Dietmar William Foryta

10 10 Introdução à Astronomia e à Astrofísica Existem as estrelas e as estrelas que não se comportam como estrelas, as ditas estrelas errantes, estrelas que se movimentam quando comparadas com as outras estrelas. Destas estrelas errantes duas chamam mais a atenção, Mercúrio e Vênus. Estes nunca se afastam muito do Sol. Vênus também é conhecida como estrela vespertina ou matutina, pois é mais facilmente percebida durante o amanhecer e no anoitecer. Durante o movimento de Vênus podemos localiza-lo a uma distância angular, e podemos determinar seu valor máximo. Três corpos, o Sol, a Terra e Vênus formam triângulos, onde em instantes determinados poder-se-á ter triangulos retangulos. Este instante coincide com a elongação máxima. Como sabemos a distância da Terra ao Sol, podemos determinar a distância entre Vênus e o Sol, supondo que a trajetória deste seja circular. O mesmo pode ser feito para Mercúrio e assim podemos construir as posições típicas do sistema de corpos: Sol, Mercúrio, Vênus, Terra e Lua. Curitiba, 11 de Agosto de 2003