2. Mancal de escorregamento seco - normalmente um par cinemático não metálico, com vida limitada pelo desgaste abrasivo;

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1 MANCAIS 4.1. INTRODUÇÃO Mancais são elementos que permitem o movimento relativo entre componentes de máquinas. Sua forma depende da natureza do movimento relativo que se deseja obter, ou ainda, depende do tipo de par cinemático envolvido para realizar este movimento. Os pares cinemáticos mais comuns encontrados em máquinas são: Movimento em torno de um ponto - rodas, pêndulos, etc; Movimento em torno de uma reta - cilindros e eixos rotativos em geral; Movimento ao longo de uma reta - bielas, barramentos, etc; Movimento conjugado em torno de uma reta - roscas e parafusos; Movimento no plano - mesas magnéticas. Os movimentos em torno de um ponto ou de uma reta, ou seja, as rotações contínuas ou oscilatórias, envolvem fenômenos e, principalmente, detalhes construtivos de projeto muito interessantes, por se relacionarem à dinâmica de rotação. Para estes movimentos, existem formas construtivas específicas de mancais, destinados a cada tipo de aplicação. Os tipos mais comuns de mancais, e seus respectivos mecanismos principais de falha, são: 1. Mancal de rolamento - vida limitada pela fadiga sub-superficial; 2. Mancal de escorregamento seco - normalmente um par cinemático não metálico, com vida limitada pelo desgaste abrasivo; 3. Mancal de escorregamento com lubrificação limite - vida limitada pelo desgaste e pela degradação da lubrificação; 113

2 4. Mancal hidrostático - aplicável a toda faixa de carregamento e rotação, com pressões de alimentação de 3 a 5 vezes a pressão média do mancal. A vida é limitada pela manutenção da pressão; 5. Mancal hidrodinâmico - a pressão do filme lubrificante é gerada pela rotação entre os elementos do mancal, sendo inoperante no início e no final do movimento. A vida é limitada por vibrações e contaminação do lubrificante. 4.2 Tipos de lubrificação: Há três tipos básicos de lubrificação, que podem ocorrer em mancais: lubrificação completa, mista e limite. A lubrificação completa descreve uma situação na qual as superfícies do mancal estão completamente separadas por um filme de óleo lubrificante, eliminando qualquer contato. A lubrificação completa pode ser hidrostática, hidrodinâmica ou elastohidrodinâmica. A lubrificação limite descreve uma situação onde, por razões como geometria, acabamento da superfície, carga excessiva, ou falta de lubrificação suficiente, as superfícies do mancal tem contato direto, podendo ocorrer adesão ou desgaste abrasivo. A lubrificação mista representa uma combinação de uma lubrificação parcial, associada a um contato intermitente entre as superfícies, devido à suas rugosidades. Três mecanismos podem originar lubrificação completa: lubrificação hidrostática, hidrodinâmica e elastohidrodinâmica. A lubrificação é normalmente classificada de acordo com o grau de separação, fornecido pelo lubrificante, para as superfícies com movimento relativo: a) Lubrificação Hidrodinâmica: A lubrificação hidrodinâmica refere-se ao suprimento de um lubrificante suficiente (tipicamente um óleo) para a interface deslizante, de modo a permitir a velocidade relativa necessária para bombear o lubrificante dentro do espaço livre, separando as superfícies por um filme de fluido dinâmico. Neste caso, as superfícies estão completamente separadas pelo filme lubrificante. O carregamento, que tende a provocar o contato entre as superfícies, é inteiramente suportado pela pressão do fluido, causada pelo próprio movimento relativo entre as superfícies (Figura 4.1(a)). Problemas como desgaste das superfícies são raros (apenas em cavitação ou instabilidade) e as perdas por atrito são devidas apenas ao atrito viscoso do lubrificante. A espessura mínima do filme lubrificante varia entre e mm. 114

3 b) Lubrificação Mista: os picos, que porventura ocorrem no acabamento das superfícies, entram em contato intermitente, provocando uma sustentação hidrodinâmica parcial (Figura 4.1(b)). Com projeto adequado, o desgaste superficial pode ser atenuado. A faixa para os coeficientes de atrito encontra-se entre e c) Lubrificação por Camada Limite: neste caso, o contato entre as superfícies é contínuo e extenso (Figura 4.1(c)), enquanto que o lubrificante está continuamente distribuído entre as superfícies, proporcionando uma camada de filme continuamente renovada, que reduz o atrito e o desgaste. A lubrificação limite refere-se às situações nas quais alguma combinação da geometria na interface, altos níveis de carga, baixa velocidade ou quantidade de lubrificante insuficiente, excluem o início de uma operação hidrodinâmica. As propriedades da superfície em contato e do lubrificante, outras que não a viscosidade, determinam o atrito e o desgaste nesta situação. A viscosidade do lubrificante não é um parâmetro influente. O atrito é independente da velocidade na lubrificação limite, o que é consistente com a definição de atrito de Coulomb. A lubrificação limite implica sempre em algum contato metal-metal na interface, se o filme de lubrificante não for espesso o suficiente para mascarar as asperezas nas superfícies. Superfícies rugosas causam esta condição. Se a velocidade relativa ou o suprimento de lubrificante, numa interface hidrodinâmica, forem reduzidos, a situação reverte para uma condição de lubrificação limite. Superfícies como os dentes de engrenagens e cames, que não envolvem uma à outra, podem estar em lubrificação limite, se as condições EHD não prevalecerem. Mancais de rolamento também podem operar na lubrificação limite, se a combinação de velocidades e cargas não permitir que a condição EHD ocorra (Figura 4.1 (e) e (f)). A lubrificação limite é uma condição menos desejada do que as demais descritas acima, pois permite que as asperezas das superfícies entrem em contato, causando desgaste rapidamente. Algumas vezes, este fato é inevitável, como nos exemplos de cames, engrenagens e mancais de rolamento citados. Os lubrificantes EP, foram criados para estas aplicações de lubrificação limite, especialmente para engrenagens que trabalham em altas velocidades de escorregamento e elevados carregamentos. O coeficiente de atrito, em uma interface de deslizamento com lubrificação limite, depende dos materiais utilizados, assim como do lubrificante, estando na faixa de 0.05 a 0.15, sendo na maioria das vezes d) Lubrificação Hidrostática: O tipo de lubrificação mais adequado, na maior parte dos casos, é obviamente a hidrodinâmica, mas a lubrificação hidrostática também pode fornecer uma separação completa das superfícies (Figura 4.1 (d)). Um fluido (ar, óleo, água, 115

4 etc.) altamente pressurizado, é introduzido no interior da área de carregamento do mancal. Sendo o fluido pressurizado por meios externos, a separação plena pode ser obtida com ou sem o movimento relativo entre as superfícies, ou seja, durante a partida e em baixas velocidades de rotação da máquina. Este tipo de mancal apresenta baixo atrito durante todo tempo de operação. O custo elevado e a complexidade, bem como os problemas associados ao fornecimento do fluido pressurizado, fazem com que sua aplicação seja altamente específica. A lubrificação hidrostática refere-se ao fornecimento de um fluxo de lubrificante (tipicamente óleo) à interface deslizante, a uma pressão hidrostática elevada ( 10 2 a 10 4 psi). Tal processo requer um reservatório para armazenar, uma bomba para pressurizar e um sistema para distribuir o lubrificante. Quando realizado adequadamente, com folgas radiais adequadas, pode eliminar todo o contato metal-metal na interface, durante o escorregamento. As superfícies são separadas por um filme de lubrificante que, se mantido limpo e livre de contaminantes, reduz a taxa de desgaste praticamente a zero. Em velocidade relativa nula, o atrito também é praticamente nulo. A uma velocidade relativa mais elevada, o coeficiente de atrito, em superfícies lubrificadas hidrostaticamente, está entre e Este é também o princípio de um mancal aerostático, usado em air pallets para deslocar cargas sobre uma superfície, permitindo que se mova lateralmente com pouco esforço. Hovercrafts funcionam por um princípio similar. Água é algumas vezes usada em mancais hidrostáticos. O Denver s Mile High Stadium tem uma arquibancada de lugares, a qual desliza sobre um filme hidrostático de água, convertendo o estádio de baseball para futebol americano. Os mancais axiais hidrostáticos são mais comuns que os mancais radiais hidrostáticos. (a) (b) Coroa (c) Superfície do Came Rolete (d) Pinhão (e) (f) 116

5 Figura 4.1 Tipos de Lubrificação. e) Lubrificação Elastohidrodinâmica: Quando as superfícies em contato são nãodeformáveis, como os dentes de uma engrenagem ou came, mostrados na Figura 4.1 (e) e (f), então torna-se mais difícil formar um filme de lubrificante completo, já que as superfícies não-deformáveis tendem mais a expelir do que envolver o fluido. Em baixas velocidades, estas juntas estarão em lubrificação limite, e altas taxas de desgaste podem resultar em possível deterioração e danos de superfície. A carga cria uma pequena área de contato a partir das deflexões elásticas das superfícies. Esta pequena área de contato pode ser a área de uma superfície plana, cujas dimensões permitem a formação um filme de lubrificante hidrodinâmico se a velocidade de escorregamento relativa for suficientemente elevada. Esta condição é chamada de lubrificação elastohidrodinâmica (EHD), já que depende das deflexões elásticas das superfícies e do fato de que altas pressões (100 a 500 Kpsi), dentro da zona de contato, aumentam bastante a viscosidade do fluido (por outro lado, a pressão do filme de lubrificante em mancais com materiais deformáveis é somente em torno de 1000 psi e a mudança na viscosidade devido à esta pressão é desprezível). A lubrificação limite ocorre nas operações de ligar e desligar e, se prolongada, causará desgaste intenso. Juntas de cames podem também lubrificação limite nos locais de pequeno raio de curvatura do came. Os três regimes também são válidos para os mancais de rolamento. O parâmetro mais importante, que determina qual situação ocorre nos contatos nãodeformáveis, é a razão entre a espessura do filme de óleo e a rugosidade da superfície. Para se obter lubrificação completa e evitar contato áspero, a Rms ou rugosidade média da superfície (Rq) não superar cerca de 1 / 2 a 1 / 3 da espessura do filme de óleo. A espessura de um filme de lubrificação EHD completa é normalmente da ordem de 1µm. Em cargas muito altas, ou velocidades muito baixas, a espessura do filme, na lubrificação, deve se tornar muito pequena para separar as asperezas da superfície, ocorrendo lubrificação mista ou limite. Os fatores que mais influenciam nas condições de lubrificação EHD são: aumento da velocidade relativa, viscosidade do lubrificante e raio de curvatura no contato. A redução da carga unitária e rigidez reduzida do material apresentam menor efeito. 4.3 Seleção de Mancais A seleção normalmente é feita levando-se em conta os parâmetros mais significativos relacionados às condições de uso do mancal. Seleção quanto à capacidade de carga dos mancais sujeitos à rotação contínua: 117

6 Inicialmente, o tipo de mancal adequado era especificado graficamente (Figura 4.2), de forma que este apresentasse a máxima capacidade de carga a uma dada velocidade de rotação, e para um determinado diâmetro do eixo. Esta seleção é baseada em uma vida equivalente a horas para mancais de escorregamento e de rolamento. Reduzindo-se o carregamento e a rotação, pode-se prolongar a vida do componente. Para muitos mancais planos, assume-se que a largura é igual ao seu diâmetro (L/D = 1), e o lubrificante é um óleo mineral de viscosidade média. Mancal de Escorregamento Seco Mancal de Escorregamento por Camada Limite Mancal de Rolamento Mancal Hidrodinâmico Figura Seleção de Mancais quanto à capacidade de carga e velocidade de rotação. 118

7 Em muitos casos, além da capacidade de carga, o ambiente de operação ou as exigências especiais de funcionamento podem ser de maior importância na seleção do tipo de mancal apropriado. Assim sendo, pode-se aplicar os conceitos das Tabelas 4.1 e 4.2. Tabela Seleção para Condições Ambientais Especiais em Rotação Contínua. Tipo de Mancal Mancal de Escorregamento Seco Mancal de Escorregamento Com Lubrificação Limite Mancal de Rolamento Mancal Hidrodinâmico Mancal Hidrostático Alta Temperatura Bom até a temperatura limite do material Ruim, pois o lubrificante oxida Acima de 150ºC deve-se consultar o fabricante Bom para temperatura limite do lubrificante Excelente se com lubrificação a gás Baixa Temperatura Vácuo Umidade Sujeira ou partículas suspensas Bom Excelente Bom, mas o eixo não deve ser sujeito a corrosão Razoável, pois pode exigir um alto torque de partida Bom Bom, mas pode necessitar de elevado torque de acionamento Bom Possível com lubrificação especial (graxas) Razoável com lubrificação especial (graxas de molibidênio) Possível com lubrificação especial Não, a alimentação de lubrificante afeta o vácuo. Bom Bom com vedação Bom Bom Bom, mas necessita de vedação Vedação é essencial Vedação é essencial Bom com vedação e filtragem Excelente se lubrificado a gás Vibração Externa Bom Bom Razoável - Consultar o fabricante Bom Bom Tabela Seleção para Aplicações Especiais em Rotação Contínua. Tipo de Mancal Precisão de Montagem Capacidade de Carga Axial Baixo Torque de Acionamento Nível de Ruído Componentes Disponíveis Simplicidade de Lubrificação Mancal de Escorregamento Seco Ruim Razoável em muitos casos Ruim Razoável Alguns Excelente Mancal de Escorregamento com Lubrificação Limite Bom Razoável Bom Excelente Sim Excelente Mancal de Rolamento Bom Boa, em muitos casos Muito bom Satisfatório Sim Bom se lubrificado com graxa Mancal Hidrodinâmico Mancal Hidrostático Razoável Excelente É necessário um mancal axial É necessário um mancal axial Bom Excelente Alguns Exige um sistema de circulação ou fluxo Excelente Excelente Nenhum Ruim, exige um sistema especial 119

8 4.4. MANCAIS DE ELEMENTOS ROLANTES (ESFERAS ou ROLOS) Rolamentos são conhecidos por mover objetos pesados desde os tempos antigos, e há evidências do uso de mancais axiais de esferas no primeiro século antes de Cristo. Porém, foi apenas no século XX, que materiais avançados, unidos a tecnologia de fabricação, permitiram uma precisão na construção de elementos de rolamentos de mancais. As necessidades de maiores velocidades de rotação, baixo atrito e maior resistência a temperaturas elevadas, foram geradas a partir do desenvolvimento do avião de turbina de gás. Consideráveis esforços em pesquisa, desde a II Guerra Mundial, resultaram em alta qualidade e alta precisão dos elementos de rolamento dos mancais (ERM), sendo estes disponíveis a preços razoáveis. É interessante notar que, nos projetos mais antigos datados de 1900, mancais de esferas e mancais de rolamentos foram mundialmente padronizados em dimensões métricas. É possível remover um ERM de uma roda de automóvel antigo, fabricado nos anos 20, por exemplo, e encontrar um de reposição em um catálogo atual de fabricante de mancais. Os novos mancais são muito mais evoluídos em termos de projeto, qualidade e confiança, mas apresentam as mesmas dimensões externas Materiais A maioria dos mancais de esfera modernos são feitos do aço AISI 5210 e endurecidos a alta temperatura. Esta liga aço-cromo é endurecida até uma dureza HRC Mancais de rolamento são, geralmente, feitos de um invólucro endurecido de ligas de aço tipo AISI 3310, 4620 e Recentes desenvolvimentos no processo de fabricação do aço tem resultado em mancais com níveis de impureza reduzidos. Mancais fabricados com este aço limpo apresentam um aumento significativo na vida útil e na confiabilidade Fabricação Mancais de rolamento são produzidos por todos os maiores fabricantes de mancais no mundo e, a fim de padronizar as dimensões definidas pela Associação de Fabricantes de Mancais Anti-Atrito (AFBMA) e/ou pela Organização de Padrões Internacionais (ISO), tais dimensões são imutáveis. Os padrões da AFBMA, para o projeto de mancais, foram adotados pelo Instituto Nacional de Padrões Americanos (ANSI). Algumas informações desta seção foram colhidas da ANSI/AFBMA, padrão , para mancais de esferas, e padrão , para mancais de rolamentos. As normas também definem uma classificação de tolerância para os mancais. Mancais radiais são classificados pela ANSI dentro da ABEC -1 até a 120

9 classificação de tolerância -9, sendo que a precisão aumenta com o número da classificação. A norma ISO define desde a classificação 6 até a classificação 2, com precisão variando inversamente com o número de classificação Comparação entre o Mancal de Rolamento e o Mancal de Deslizamento Os mancais de rolamentos apresentam algumas vantagens sobre os mancais de deslizamento, e vice-versa. São as seguintes vantagens dos mancais de rolamento sobre os mancais de deslizamento por camada limite: 1. Baixo torque de partida e bom trabalho de atrito, µ ESTÁTICO µ DINÂMICO; 2. Pode suportar cargas radiais e axiais combinadas; 3. É menos sensível a interrupções para lubrificação; 4. Não apresenta instabilidade por auto-excitação; 4 Boa partida a baixa temperatura; 5 Permite selar o lubrificante dentro do mancal para determinado tempo de uso e; 6 Requer menos espaço em direção axial. A seguir, são numeradas as desvantagens dos mancais de rolamentos, quando comparados aos mancais hidrodinâmicos: 1. Mancais de rolamento podem, eventualmente, falhar por fadiga; 2. Necessitam de mais espaço em direção radial; 3. Baixa capacidade de amortecimento; 4. Maior nível de ruído; 5. Maior custo e; 6. Maior atrito Tipos de Mancais de Elementos Rolantes Mancais de elementos rolantes podem ser agrupados dentro de duas categorias gerais: mancais de esferas e mancais de rolamentos, ambos apresentando variantes construtivas. MANCAIS DE ESFERA Consistem de um número de esferas de aço batido endurecido, posicionadas entre dois trilhos, um interno e outro externo, de um mancal radial; ou trilhos de topo e fundo, para mancais axiais. Um retentor (também chamado gaiola ou separador) é utilizado para manter as esferas adequadamente espaçadas ao longo do trilho, como mostrado na Figura 4.3(a). Mancais de esferas podem suportar cargas radiais e axiais combinadas. A figura 4.3(b) mostra 121

10 um mancal de esferas de contato angular, projetado para suportar cargas axiais, além das cargas radiais. Alguns mancais de esferas são disponíveis com blindagem (proteção) e selagem. Mancais de esferas apresentam menor custo em dimensões menores e para cargas mais leves. Anel Externo Anel Interno Anel Externo Anel Interno Gaiola Esfera (a) (b) Esfera Gaiola Figura Mancais de Esferas (a) Contato Radial (Tipo rígido de esferas) e (b) Contato Angular. MANCAIS DE ROLAMENTOS Os rolos podem ser de forma reta, cônica ou envoluta, conforme Figura 4.4. Em geral, mancais de rolamento podem suportar maiores cargas estáticas e dinâmicas (choque), se comparados aos mancais de esferas, devido à sua linha de contato, e são mais baratos em dimensões maiores, quando sujeitos a cargas mais pesadas. A menos que os rolos sejam do tipo agulha ou evolvente, podem suportar apenas a carga em uma direção, seja do tipo radial ou do tipo axial, de acordo com o projeto do mancal. A Figura 4.4 (a) mostra um mancal de rolamento de forma cilíndrica reta, desenhado para suportar apenas cargas radiais. Apresenta atrito muito baixo e flutua axialmente, o que pode ser uma vantagem em eixos longos, onde a expansão térmica pode sobrecarregar um par de mancais de esferas na direção axial, se não forem apropriadamente montados. Figura 4.4 (b) mostra um mancal de agulha, com rolos de pequeno diâmetro, que podem ter ou não um trilho interno. Suas principais vantagens são a maior capacidade de carga, devido ao total preenchimento de rolos, e sua compacta dimensão radial, especialmente se usado sem um trilho interno. Em tais casos, o eixo sobre o qual os rolos correm deve ser endurecido. A Figura 4.4 (c) mostra um mancal de rolamento cônico, projetado para suportar maior carga axial, além de cargas radiais. Estes são, geralmente, usados como mancais em rodas de automóveis e caminhões. Mancais de rolamentos cônicos podem ser desmontados axialmente, o que torna a manutenção mais fácil do que para os mancais de esferas, de montagem 122

11 permanente. A Figura 4.4 (d) mostra um mancal de rolamento evolvente auto-alinhado, não permitindo a ação de momentos no mancal. MANCAIS AXIAIS Mancais de esferas e de rolos são também feitos para cargas axiais puras, como mostrado na Figura 4.5. Mancais axiais de rolamentos cilíndricos (Figura 4.5 (b)) apresentam maior atrito, se comparados aos mancais axiais de esferas (Figura 4.5 (a)), devido ao deslizamento que ocorre entre o rolamento e os trilhos (por que apenas um ponto no rolamento pode causar a variação linear da velocidade sobre o raio dos trilhos), e não deveriam ser usados em aplicações de alta velocidade. (a) (b) (c) (a) (b) (c) (d) (d) Figura Mancais de Rolamentos. (a) (a) (b) Figura Mancais Axiais Classificação dos Mancais de Elementos Rolantes A Figura 4.6 mostra a classificação dos tipos de mancais de elementos rolantes (REB Rolling Elements Bearing). Cada uma das categorias principais de esferas e rolamentos divide-se em subcategorias, relativas à carga radial e axial. Dentro destas divisões, muitas variedades são possíveis. Configurações de carreira simples ou dupla são oferecidas, permitindo maior capacidade de carga. Outro critério de escolha é em relação ao contato 123

12 unidirecional ou angular, quanto ao padrão aceito de carga radial ou de carga axial pura e, finalmente, uma combinação de ambas. Mancais rígidos de esferas são capazes de suportar carregamentos radiais elevados e limitadas cargas axiais, e são os mais comumente usados. Rolamento Rígido de Esferas carreira simples Rolamento Rígido de Esferas máxima capacidade Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular - carreira simples Rolamentos Radiais de Esferas Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular montagem dupla Rolamento Rígido de Esferas de Contato Angular carreira dupla Rolamentos de Esferas Rolamento Rígido de Esferas com 4 pontos de contato Rolamento Autocompensador de Esferas carreira dupla Rolamento Axial de Esferas (escora simples) Mancais de Rolamento Rolamentos Axiais de Esferas Rolamento Axial de Esferas (escora simples e anel de cx. esférica) Rolamento Axial de Esferas (escora dupla) Rolamento Axial de Esferas (escora dupla e anéis de cx. esférica) Rolamento Axial de Esferas de Contato Angular Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos carreira simples Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos carreira dupla Rolamentos de Rolos Rolamentos Radiais de Rolos Rolamento Radial de Agulhas Rolamento Radial de Rolos Cônicos - carreira simples Rolamento Radial de Rolos Cilíndricos carreira dupla Rolamento Radial Autocompensador de Rolos Rolamento Axial de Rolos Cilíndricos Rolamentos Axiais de Rolos Rolamento Axial de Agulhas Rolamento Axial de Rolos Cônicos Rolamento Axial Autocompensador de Rolos Figura Classificação dos Mancais de Elementos Rolantes. 124

13 O mancal de esfera de contato angular pode sustentar maiores cargas axiais, em relação ao mancal rigido de esferas, mas apenas em um sentido de aplicação da carga. São, geralmente, aplicados aos pares, para absorver cargas axiais em ambos sentidos, numa mesma direção. Os mancais de esferas de máxima capacidade apresentam uma fenda adicional, que permite a alocação de mais esferas, em relação à montagem por deslocamento excêntrico dos trilhos, como é feito com o mancal rígido de esferas. Porém, o preenchimento da fenda limita sua capacidade de carga axial. Projetos de mancais com auto-compensação tem a vantagem de acomodar eixos desalinhados. Apresentam atrito muito baixo. Na aplicação de mancais sem auto-compensação, os pedestais dos mancais devem ser cuidadosamente alinhados por colinearidade e angularidade, para evitar a geração de cargas residuais na montagem dos mesmos, diminuindo sua vida útil. A Figura 4.7 mostra uma ficha de avaliação de um fabricante, com recomendações relativas ao uso de vários tipos de mancais. Como exemplo: Note que poucos tipos são disponíveis em polegadas, mas a maioria está disponível apenas em dimensões métricas (Sistema Métrico). A coluna entitulada capacidade (Capacity) indica a capacidade relativa para acomodar cargas radial e axial, para cada tipo de mancal. A coluna velocidade limitada (Limiting Speed) usa o mancal rígido de esferas como padrão de comparação, por apresentar a melhor capacidade de trabalhar a elevadas velocidades Falha dos Mancais de Rolamentos Se o mancal de rolamento for suficientemente lubrificado, e o lubrificante, por sua vez, não for contaminado, as falhas ocorrerão por fadiga de superfície. Considera-se a ocorrência de falha quando, tanto as pistas, interna e externa, ou as esferas (rolamentos), exibem o primeiro pit ou entalhe. Normalmente, uma das pistas falhará primeiro. O mancal dará uma indicação auditiva do surgimento da primeira descontinuidade de material, quando emitir ruído e vibração. Apesar de continuar funcionando, a superfície continuará a se deteriorar, os níveis de ruído e de vibração aumentarão, resultando eventualmente, na quebra dos elementos e, por conseqüência, do mancal, e possível esmagamento e dano dos demais elementos a ele conectados. Em uma amostragem extensa de mancais, serão obtidas grandes variações no tempo de vida útil destes elementos. Os modos de falhas não se distribuem estatisticamente em uma simetria Gaussiana, mas sim de acordo com a distribuição de Weibull, que apresenta uma forma variável, podendo se adequar às diversas distribuições, com a vantagem da representação matemática. Mancais são tipicamente classificados por sua vida útil, através do número de revoluções (ou das horas de operação na velocidade de 125

14 projeto), em que 90% de uma amostra aleatória de mancais, de determinada dimensão, possa atingir ou exceder seu carregamento de projeto. Em outras palavras, 10 % do lote está sujeito à falha nestas condições, antes que a vida útil de projeto seja alcançada. Isto é designado como vida L 10. Alguns fabricantes de mancais preferem se referir a esta vida util como B 90 ou C 90, considerando a sobrevivência de 90% dos mancais, e não a falha de 10%. Figura Informações de desempenho, dimensões e disponibilidade para Mancais de Elementos Rolantes. 126

15 Para aplicações críticas, uma porcentagem de falha menor pode ser projetada, mas a maioria dos fabricantes padronizam na vida L 10, como definição das características carga-vida útil de um mancal. O processo de seleção de mancais de rolamento envolve extensivamente este parâmetro, para obter qualquer nível de vida útil desejado, sob as condições antecipadas de carga ou sobrecarga esperadas em serviço. A Figura 4.8 mostra uma curva de falha para mancais, com as respectivas porcentagens de sobrevivência, como uma função da fadiga relativa. A vida útil L 10 é utilizada como referência. A curva é relativamente linear ate 50% de falhas, que ocorrem num período de 5 vezes a vida útil de referência. É necessário um tempo 5 vezes maior para 50% dos mancais falharem, comparado ao tempo de falha de 10% dos mancais. Após este ponto, a curva torna-se completamente não linear, necessitando de um tempo 10 vezes maior que a referência L 10 para que 80% dos mancais venham a falhar. Comparado ao tempo de falha para 10% dos mancais (L 10 ), após um período de cerca 20 vezes a vida L 10, ainda alguns dos mancais originais estarão funcionando. Porcentagem de Rolamentos Com Falha Porcentagem de Rolamentos Sem Falha Figura Distribuição de Vida para mancais de rolamento Seleção de Mancais de Rolamento Uma vez que um tipo de mancal, para determinada aplicação, for especificado com base nas considerações discutidas anteriormente, a seleção de um mancal apropriado depende das magnitudes das cargas estática e dinâmica aplicadas, e da vida em fadiga desejada. Testes extensivos, realizados por fabricantes de mancais, tem mostrado que a vida em fadiga L de mancais de rolamentos, é inversamente proporcional à terceira potência da carga aplicada, para mancais de esferas, e a potência de 10/3, para mancais de rolos. Estas relações podem ser expressas como: 127

16 C mancal de esferas: L = 3 (4.1) P C mancal de rolos: L = P 10 3 / (4.2) Onde: L é a vida em fadiga, expressa em milhões de revoluções, P é a carga constante aplicada, e C é a taxa de carga dinâmica básica, para o mancal especifico, definida pelo fabricante e publicada para cada mancal em catálogos comerciais. Note que, uma carga externa constante, aplicada ao mancal rotativo, gera cargas dinâmicas nos elementos do mancal, da mesma maneira que um momento constante em um eixo rotativo causa tensões dinâmicas, pois qualquer ponto na esfera, no rolamento ou nas pistas, sente a carga indo e vindo, quando o mancal gira. A taxa de carga dinâmica básica C é definida como a carga que dará uma vida em fadiga da ordem de 1 milhão de revoluções na pista interna do mancal. A carga C é, portanto, superior à qualquer carregamento, na prática, a que se sujeitaria o mancal, devido ao fato de que a vida útil desejada em projeto é, geralmente, muito superior a 1 milhão de revoluções. A carga C é, simplesmente, um valor de referência, que permite prever a vida do mancal em algum nível real de carga aplicada. A Figura 4.9 ilustra a página de um catálogo de fabricante de mancais, que especifica o valor de C. A velocidade máxima limite é também definida para cada mancal. Deformações permanentes em rolamentos ou esferas podem ocorrer, mesmo para cargas leves, devido às altíssimas tensões, geradas numa pequena área de contato. O limite de carregamento estático num mancal é definido como a carga que produzirá uma deformação permanente total nos trilhos e no elemento rolante, em algum ponto de contato, cuja extensão é vezes o diâmetro do elemento rolante. Maiores deformações causarão aumento na vibração e no nível de ruído, podendo levar a uma falha prematura por fadiga. As tensões necessárias para causar esta região de deformação estática de d, em um mancal de aço, são bem elevadas, sendo de aproximadamente 4.0 GPa (580 kpsi) para mancais de rolamento, e de 4.6 GPa (667kpsi) para mancais de esfera. Fabricantes de mancais fornecem uma taxa C 0 de carga estática básica para cada mancal, calculada de acordo com os padrões da AFBMA. 128

17 1 Placa de 2 Placas de 1 Placa de 2 Placas de Placa de Aberto Placa de Vedação Aberto Proteção Proteção Vedação Vedação Vedação e Ranhura e Anel Radial e Proteção de Retenção Proteção Sufixo:.Z.2Z.RS.2RS.RSZ.NR.RSRZR No. Do Dimensões Principais Peso Sl C C a Rolamento Aproximado Velocidade Cap. Carga Cap. Limite Dinâmica Carga Estática Figura Dimensões e Taxas de Carga para Mancais de Rolamento Rígido de Esferas série métrica média

18 Este carregamento pode, algumas vezes, ser excedido sem a ocorrência de falhas, especialmente se a velocidade de rotação é baixa, o que evita problemas de vibração. Geralmente, é necessária uma carga de 8C 0, ou ainda maior, para provocar a quebra de um mancal. Na Figura 4.9, também é especificado o valor de C 0 para cada mancal Cargas Radial e Axial Combinadas Se as cargas são aplicadas em ambas direções, radial e axial, de um mancal, uma carga equivalente deve ser calculada para aplicação nas equações 4.1 e 4.2. A AFBMA recomenda a seguinte expressão: P = XVF r + YF a (4.3) onde: P = carga equivalente. F r = carga radial constante aplicada. F a = carga axial constante aplicada V = fator de rotação (ver figura 4.10) X = fator radial (ver figura 4.10) Y = fator axial (ver figura 4.10) O fator de rotação V é igual a 1 para um mancal com anel de rotação interno. Se o anel de rotação é externo, V é igual a 1.2, para certos tipos de mancais. Os fatores X e Y variam com o tipo de mancal, e relacionam-se à capacidade do mesmo em acomodar cargas axiais, bem como cargas radiais. Valores de V, X e Y são definidos pelos fabricantes de mancais em tabelas, tal como reproduzido na Figura Alguns mancais, tais como os de rolamento cilíndrico, que não podem suportar cargas axiais, não são incluídos nesta tabela. Um fator e é também especificado para os tipos de mancais incluídos na Figura 4.10, definindo uma razão mínima entre as forças axial e radial, abaixo da qual a força axial pode ser desprezada na equação 4.3. Fa VF r e, então, X = 1 e Y = 0 (4.4) 130

19 4.4.8 Procedimento de Cálculo As equações 4.1, 4.2 e 4.3 podem ser resolvidas simultaneamente, para qualquer situação em que a carga aplicada, ou a vida em fadiga desejada, seja conhecida. Geralmente, as cargas radiais e axiais, agindo em cada localização do mancal, serão conhecidas através da análise de esforços realizada no projeto. Na maioria das vezes, o diâmetro do eixo será conhecido, através da analise de tensões e deflexões. Um catálogo de mancais deve ser consultado, e então, um ou mais mancais selecionados, assim como os valores de C, C 0, V, X e Y extraídos. A carga efetiva P pode ser encontrada da equação 4.3 e utilizada em 4.1 e 4.2, juntamente com C, para encontrar a vida em fadiga prevista L. Figura Fatores V, X e Y para mancais radiais. Uma outra alternativa é determinar V, X e Y, os quais independem das dimensões do mancal, resolvendo simultaneamente as equações 4.1 e 4.2, para os valores do fator de carga dinâmica C, necessários para atingir um nível de vida desejado L. Os catálogos de mancais devem fornecer, neste ponto, um mancal de dimensões razoáveis para com o valor de C desejado. A carga estática deve, então, ser comparada ao fator de carga estática C o, para evitar excessivas deformações no mancal. 131

20 4.4.9 Detalhes na Montagem de Mancais Mancais de rolamentos são fabricados com tolerâncias próximas em seus diâmetros interno e externo, para permitir encaixe sob pressão no eixo ou no acoplamento. Os anéis interno e externo dos mancais devem estar firmemente acoplados ao eixo, e externamente fixados, para garantir que o movimento apenas ocorra dentro do mancal, com baixo atrito. O encaixe de pressão de ambos os anéis pode dificultar a montagem ou desmontagem, em alguns casos. Várias combinações de parafusos (braçadeiras) são comumente usadas para prender o anel, interno ou externo, sem ajuste de pressão. O anel interno é, geralmente, montado contra um escalonamento do eixo. Catálogos de mancais possuem diâmetros recomendados para tais escalonamentos, os quais devem ser observados para evitar interferência com lacres ou blindagens (proteção). A Figura 4.11 (a) mostra uma porca e uma montagem de vedação (combinando arruela e trava) usada para prender o anel interno ao eixo, evitando um ajuste de pressão. Fabricantes de mancais fornecem porcas especiais e arruelas padronizadas para ajustar os mancais. A Figura 4.11 (b) mostra um anel retentor de pressão, usado para posicionar axialmente o anel interno do mancal sobre o eixo. A Figura 4.11 (c) mostra o anel externo preso axialmente na caixa, e o anel interno posicionado por uma espaçador, disposto entre o anel interno e uma flange auxiliar externa no mesmo eixo. PORCA ANEL DE RETENÇÃO ESPAÇADOR PORCA DE (a) TRAVAMENTO (b) (c) Figura Tipos de Montagens de Mancais de Rolamento. Pares de mancais no mesmo eixo são normalmente necessários para dar suporte de momento. A Figura 4.12 mostra uma possível combinação para suportar axialmente a 132

21 montagem, sem correr o risco de introduzir forças axiais no mancal, provenientes da expansão térmica das partes. Os trilhos internos de ambos os mancais são presos axialmente por uma porca à esquerda e um espaçador entre eles. O trilho externo do mancal da direita é preso axialmente na caixa, enquanto que o trilho externo do mancal da esquerda é livre axialmente, permitindo expansão térmica. É de boa prática fazer montagens axiais longas, evitando esforços axiais, induzidos por expansão nos mancais, o que reduziria seriamente a vida em fadiga. Outra maneira de realizar esta montagem, é utilizar apenas um mancal que possa suportar uma carga axial (por exemplo, um mancal de esfera) e um rolamento cilíndrico ou outro tipo de mancal, que não possa suportar carga axial através de seus elementos rolantes, na outra extremidade da haste. FLUTUANTE FIXO Figura Mancais sobre um eixo: um fixo e outro flutuante axialmente. 4.5 MANCAIS HIDRODINÂMICOS E LUBRIFICAÇÃO O termo mancal pode ser utilizado num contexto bem amplo. Sempre que duas peças possuem movimento relativo, estas constituem um mancal por definição, independentemente de sua forma ou configuração. Normalmente, a lubrificação é necessária em qualquer mancal para reduzir o atrito e dissipar calor. Os mancais podem rolar, escorregar, ou ambos simultaneamente. Em um mancal, uma das partes em movimento geralmente será de aço, ferro fundido, ou outro material estrutural, com o objetivo de proporcionar a resistência e a dureza necessárias. Por exemplo: eixos de transmissões, acoplamentos e pinos estão nesta categoria. As partes que realizam o movimento contrário serão, usualmente, feitas de um material próprio para mancais, como: bronze, babbit, ou um polímero não-metálico. 133

22 Alternativamente, um mancal de rolamento, o qual tem esferas ou rolos de aço endurecido por tratamento térmico, pode ser utilizado para se obter baixo atrito. Mancais de escorregamento são, em geral, projetados especificamente para uma determinada aplicação, enquanto que os mancais de rolamento são, geralmente, escolhidos a partir dos catálogos de fabricantes, para atender aos carregamentos, velocidades de rotação e vida em fadiga desejados, para uma determinada aplicação. A.G.M. Michell, um pioneiro na teoria e projeto de mancais de escorregamento, e um dos inventores do mancal segmentado, definiu o que se deseja em um mancal como segue: Para o projetista de máquinas, todos os mancais são, é claro, somente elementos indesejáveis, contribuindo em nada para o produto ou função da máquina, e qualquer virtude que eles possam ter, pode ser apenas de caráter negativo. O seu mérito consiste em absorver tão pouca potência quanto possível, se desgastar tão lentamente quanto possível, ocupar o menor espaço possível, e custar tão pouco quanto possível. A tabela 4.3 mostra as variáveis utilizadas neste capítulo. Tabela Nomenclatura e Simbologia. Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI A Área in 2 m 2 c d,c r folga diametral e radial in m d Diâmetro in m ε razão de excentricidade in m E módulo de Young psi Pa C f coeficiente de flutuação adimensional adimensional F força ou carregamento lb N f força de atrito lb N h espessura do filme de lubrificante in m Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional g aceleração da gravidade in s 2 m s 2 k constante de mola lb / in N / m Kε parâmetro adimensional adimensional adimensional 2 m Massa lb sec / in kg l Comprimento in m n velocidade angular rps rps P força ou reação no mancal lb N p Pressão psi Pa 134

23 r Raio in m T Torque lb-in N-m R raio efetivo in m U velocidade linear in/s m/s S número de Sommerfeld adimensional adimensional 2 α expoente pressão-viscosidade in lb in 2 lb Φ Potência hp watts ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional φ ângulo da força resultante rad rad µ fator de atrito adimensional adimensional η viscosidade absoluta adimensional adimensional θmax ângulo de pressão máxima rad rad ρ densidade de massa blob/in 3 kg/mm 3 ω velocidade angular rad / s rad / s υ viscosidade cinemática in 2 /sec cs τ tensão de cisalhamento psi Pa A teoria da lubrificação, para superfícies em movimento relativo, é extremamente complexa matematicamente. As soluções para as equações diferenciais que governam seu comportamento, são baseadas em suposições simplificadoras, que permitem obter somente soluções aproximadas. Tópicos como a teoria da película de lubrificante e oil whirl (fenômeno de instabilidade) não são abordados neste texto, tal como a questão do suprimento de lubrificante para o mancal e a transferência de calor deste. Apresenta-se uma abordagem simples, e razoavelmente precisa, ao projeto de conjuntos eixo-mancais curtos, que permitirá o dimensionamento destes componentes para carregamentos e velocidades requeridos nas máquinas mais comuns Lubrificantes A introdução de um lubrificante entre as superfícies que deslizam tem muitos efeitos benéficos no coeficiente de atrito. Os lubrificantes podem ser gasosos, líquidos ou sólidos. Lubrificantes líquidos e sólidos tem como propriedades baixa resistência à tensão de cisalhamento e alta resistência à compressão. Um lubrificante líquido, como um óleo derivado de petróleo é basicamente incompressível, nos níveis de tensão de compressão encontrados nos mancais, sendo contudo, sujeito ao cisalhamento. Portanto, o óleo torna-se o fluido menos 135

24 resistente na interface, e sua baixa resistência à tensão de cisalhamento reduz o coeficiente de atrito. Lubrificantes também podem atuar como contaminantes para as superfícies metálicas, revestindo-as com uma camada de moléculas que inibe a adesão, mesmo entre metais compatíveis. Lubrificantes líquidos são os mais usados, sendo mais comuns os óleos minerais. Graxas são óleos misturados com sabões cuja finalidade é formar um lubrificante mais espesso e aderente, utilizado onde líquidos não podem ser supridos ou retidos pelas superfícies. Lubrificantes sólidos são usados em situações onde lubrificantes líquidos não podem atingir as superfícies, ou atender a alguma exigência de projeto, como a resistência à elevadas temperaturas. Lubrificantes gasosos são usados em situações particulares, como nos mancais aerostáticos, para obter atrito extremamente baixo. Lubrificantes, especialmente líquidos, também dissipam calor da interface. Lubrificantes sólidos são, na maioria, derivados de petróleo ou óleos sintéticos, embora a água seja algumas vezes utilizada como lubrificante, em meios aquosos. Muitos óleos lubrificantes comerciais são misturados com vários aditivos, que reagem com os metais para formar uma camada de contaminantes. Os assim chamados lubrificantes EP ( Extreme Pressure ) adicionam ácidos gordurosos ou outros componentes ao óleo, que atacam o metal quimicamente, formando uma camada de contaminante que protege a superfície e reduz o atrito, mesmo quando o filme de óleo é bombeado para fora da interface por elevados carregamentos. Óleos são classificados por sua viscosidade, assim como pela presença de aditivos para aplicações EP. A Tabela 4.4 mostra alguns lubrificantes líquidos comuns, suas propriedades e utilizações típicas. Os fabricantes de lubrificantes devem ser consultados para aplicações específicas. Lubrificantes sólidos são de dois tipos: os que exibem baixa resistência à tensão de cisalhamento, como a grafite e o dissulfeto de molibdênio, os quais são adicionados à interface; e camadas como fosfatos, óxidos ou sulfetos, que se formam nas superfícies do material. 136

25 Tabela Tipos de Líquidos Lubrificantes. TIPOS PROPRIEDADES APLICAÇÕES Óleos Minerais ou de Petróleo Lubrificação básica regular, porém sujeita a grandes melhorias com aditivos. Ruim a elevadas temperaturas. Muito ampla e geral. Silicones Clorofluorocarbonos Éteres polifenílicos Éteres fosfóricos Éteres dibásicos Grafite e/ou MoS 2 com elemento liga Efeito lubrificante pobre, principalmente contra o aço. Boa estabilidade térmica. Bons lubrificantes e boa estabilidade térmica. Larga faixa de líquidos, com excelente estabilidade térmica e lubrificação razoável. Bons lubrificantes, com ação EP (pressão extrema). Boa propriedade lubrificante. Suporta maiores temperaturas que os óleos minerais. Tabela Tipos de Lubrificantes Sólidos. Selagem de borracha e amortecedores mecânicos. Compressores de oxigênio e equipamento de processos químicos. Sistemas deslizantes a altas temperaturas. Fluido hidráulico com lubrificante. Motores a jato. TIPOS PROPRIEDADES APLICAÇÕES Melhores lubrificantes para uso geral. Baixo atrito (0.12 a Fechaduras e mecanismos 0.06) e vida relativamente intermitentes. longa (10 4 a 10 6 ciclos). Teflon com elemento liga Grafite emborrachado ou filme de MoS 2 Metal leve Vida não muito longa em relação ao tipo precedente, mas boa resistência a alguns líquidos Atrito muito baixo (0.10 a 0.04) e vida muito curta (10 2 a 10 4 ciclos). Atrito elevado (0.30 a 0.15) e vida mais curta que para resinas. Idem aplicação anterior. Estampagem e demais trabalhos sobre metais. Exige proteção temporária em aceleração. Filme de fosfato anodizado Atrito muito alto (0.20). Ocorre cozimento do filme de resina. Os materiais grafite e MoS 2 são tipicamente supridos em forma de pó, e podem ser conduzidos a interface juntamente com uma graxa derivada de petróleo ou outro material. Estes lubrificantes secos tem a vantagem do baixo atrito e da resistência à elevadas temperaturas, embora esta última seja limitada pela escolha do meio usado para conduzir o 137

26 pó. Revestimentos, ou camadas de fosfatos ou óxidos, podem ser depositados quimicamente ou eletroquimicamente. Tais revestimentos são finos e tendem a se desgastar em pouco tempo. Os aditivos EP, em alguns óleos, proporcionam uma renovação contínua do sulfeto, ou de outras coberturas quimicamente induzidas. A Tabela 4.5 mostra alguns lubrificantes sólidos comuns, suas propriedades e suas utilizações típicas Viscosidade Viscosidade é uma medida da resistência do fluido ao cisalhamento. A viscosidade varia inversamente com a temperatura e diretamente com a pressão, de uma maneira nãolinear. Pode ser expressa tanto como uma viscosidade absoluta η, ou uma viscosidade cinemática ν, as quais estão relacionadas pela densidade de massa do fluido: η = ν.ρ (4.5) Onde: ρ é a densidade de massa do fluido. As unidades da viscosidade absoluta η são lb.sec/in 2 (reyn) no sistema inglês e Pa.s no sistema SI. Estas unidades são freqüentemente expressas como µreyn e mpa.s, para se adequarem melhor às magnitudes. Por exemplo, um centipoise equivale a 1 mpa.s. Valores típicos de viscosidade absoluta a 20 C (68 F) são: cp ( µreyn ) para o ar ; 1.0 cp (0.145 µreyn) para a água, e 393 cp (57 µreyn ) para o óleo de motor SAE 30. A viscosidade cinemática é medida em um viscosímetro, que pode ser rotacional ou capilar. Um viscosímetro capilar mede a taxa de fluxo através de um tubo capilar, a uma determinada temperatura, usualmente 40 ou 100 C. Um viscosímetro rotacional mede o torque e a velocidade de rotação de um eixo vertical, operando dentro de um mancal preenchido com o fluido a ser testado, em determinada temperatura de teste. As unidades SI da viscosidade cinemática são cm 2 / sec (Stoke), e as unidades inglesas são in 2 / sec. Stokes é uma unidade de grande magnitude, sendo comum o uso de centistokes (cs). A viscosidade absoluta é necessária para o cálculo da pressão e da vazão de lubrificante nos mancais. É determinada a partir da viscosidade cinemática medida, e da densidade de massa do fluido na temperatura de teste Relação Viscosidade Temperatura 138

27 A maneira natural de expressar o efeito da temperatura sobre a viscosidade é através do coeficiente de temperatura, ou variação fracional na viscosidade por grau acrescido na temperatura. Simbolicamente, o coeficiente viscoso de temperatura é representado como (1/η).dη/dt, e denotado por a. O efeito da temperatura sobre a viscosidade é notavelmente maior que seu efeito sobre qualquer outra propriedade física comum. A variação no volume de um óleo lubrificante, derivado de petróleo, por grau Farenheit aumentado, é de somente 0.04% a 1%; porém, a viscosidade de um óleo derivado de petróleo, pode cair de 3% a 4% por grau de acréscimo na temperatura Modelos Matemáticos para Temperatura-Viscosidade. Poiseuille verificou que a resistência ao fluxo é inversamente proporcional à uma função quadrática da temperatura. Petroff utilizou esta relação como uma fórmula, relacionando viscosidade e temperatura, em sua discussão, na época ainda incompleta, sobre equilíbrio térmico: η = A / ( 1 + c 1.T + c 2.T 2 ) (4.6) Prof. A.W.Duff, em 1897, mostrou que todas as equações de viscosidade-temperatura, publicadas desde Poiseuille, eram integrais da equação: (dη / dt ) / η= 1 / (c 1 + c 2.T + c 3.T 2 ) (4.7) Onde η é a viscosidade absoluta em uma temperatura qualquer T, e c 1,c 2 e c 3 são constantes empíricas. Dentre as fórmulas às quais a equação de Duff aplica-se, estão as de Reynolds, Slotte e Vogel. Estas três fórmulas ainda estão em uso devido à sua simplicidade matemática. A fórmula de Reynolds é uma equação biparamétrica : η = A.e -m.t (4.8) Onde: A é a viscosidade absoluta na temperatura T = 0, e m é a inclinação da curva obtida, plotando ln η x T. As equações 4.6 e 4.8 representam curvas do tipo 1 na Figura 4.13, aproximando-se de zero, conforme a temperatura T aumenta infinitamente. 139

28 temperatura: A fórmula de Slotte contém dois parâmetros, sendo válida em uma faixa extensa de η = A / ( T - c ) 2 (4.9) Onde: c é o ponto de congelamento, ou temperatura de solidificação aparente, já que η se torna infinito quando T = c. Pode ser reduzida para um parâmetro, eliminando-se c, que não está muito distante do zero Fahrenheit, desde que utilize-se apenas a escala Fahrenheit. Isto foi observado por Herschel (1922). Logη deve ser plotado contra logt, o que resulta numa linha reta, que intercepta log A, tendo uma inclinação negativa. Note que η = A quando T = c+1. A equação de Slotte (4.9) representa a curva do tipo 2 na Figura A fórmula de Vogel, por sua vez, é uma expressão de três parâmetros: η = A.e m / ( T- c ) (4.10) Onde: c representa o ponto de congelamento, determinado por tentativas, e A é a viscosidade para T=. Log A é a interseção com o eixo das ordenadas, e m é a inclinação da reta obtida, quando plotando-se lnη contra 1/( T - c ). Quando plota-se η contra T, a curva aproxima-se de uma assíntota vertical em T = c e de uma assíntota horizontal em η = A. Esta é, geralmente, uma aproximação mais precisa do que as outras duas. A equação de Vogel foi utilizada também por Cameron (1945). Outra representação amplamente utilizada é, provavelmente, a de Walther (1931). Uma expressão para a viscosidade cinemática υ, em centistokes, em função de uma temperatura absoluta T: log ( υ + c ) = A / T m (4.11) A fórmula de Walther é triparamétrica, com a constante c fixa em um valor ótimo, para óleos derivados de petróleo, em uma faixa de temperatura escolhida. O valor 0.8 Cs foi originalmente atribuído a esta constante. A equação de Walther (4.11) pode ser representada pela curva 4, Figura Plotando o logaritmo em ambos os eixos, resulta uma linha reta com inclinação negativa m. O valor dυ / dt é -2.3m(υ + c). Dividindo-se por υ, resulta no coeficiente de temperatura da viscosidade cinemática, conforme discutido por Kiesskalt (1944). Os 140

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