EXCEL: A TECNOLOGIA OFERECENDO OPORTUNIDADES DE DESENVOLVIMENTO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS

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1 EXCEL: A TECNOLOGIA OFERECENDO OPORTUNIDADES DE DESENVOLVIMENTO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS Andréa Paura Aieta de Paula Pinto Secretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro anpaura@gmail.com Gilda de La Rocque Palis Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro gildalrpuc@hotmail.com Gisela Maria da Fonseca Pinto Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro gmfpinto@gmail.com Resumo: Este trabalho apresenta atividades que permitem um estudo numérico e gráfico de situações-problema que podem ser estudadas com o apoio da ferramenta Excel. Utilizando como disparadores problemas matemáticos ou que exploram aspectos da vida cotidiana, proporemos um estudo de sequências e funções que podem modelá-los. O uso de planilhas eletrônicas auxiliará na resolução dessas atividades, tornando possível a construção de tabelas extensas, rapidamente, variando parâmetros e condições iniciais dos problemas, sem as limitações impostas por dificuldades de cálculos. Nossa proposta visa oferecer aos cursistas subsídios para que eles mesmos possam prosseguir no trabalho de criação de situações didáticas apropriadas ao seu contexto de ensino. Diante do aumento da oferta de computadores em laboratórios de escolas públicas e particulares, torna-se oportuna a capacitação de seu corpo docente a fim de possibilitar o uso de tecnologias computacionais como ferramentas auxiliares no ensino e aprendizagem de matemática. As atividades propostas, que podem ser trabalhadas com alunos do ensino fundamental e médio, são de natureza investigativa; espera-se gerar um ambiente de estudo produtivo com os cursistas. Será fornecida uma bibliografia de suporte teórico. Palavras-chave: Sequências; Funções; Excel. 1

2 EXCEL: A TECNOLOGIA OFERECENDO OPORTUNIDADES DE DESENVOLVIMENTO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS O Excel é um aplicativo da Microsoft Office que permite gerar tabelas de dados e manipular os dados inseridos, utilizando funções pré-programadas ou criadas pelos usuários. Além disso, é possível gerar gráficos com diversos dados presentes nas tabelas. INTRODUÇÃO Este minicurso é dirigido a Professores de Matemática dos Ensinos Médio, Fundamental (7ª. a 9ª. anos), Universitário (Pré-Cálculo) e Graduandos de Cursos de Licenciatura em Matemática. Nosso objetivo é proporcionar aos seus participantes a oportunidade de construir conhecimentos matemáticos e pedagógicos necessários para uma utilização bem fundamentada de ferramentas computacionais em situações de ensino e de aprendizagem de matemática. A metodologia empregada prioriza a resolução e construção de problemas que podem ser trabalhados com tecnologias computacionais específicas e a reflexão crítica sobre o papel do computador na atividade do professor e do aluno. O conteúdo matemático enfatizado é o estudo de situações que utilizam planilhas eletrônicas para serem modeladas e analisadas. A realização e discussão das tarefas propostas aos cursistas oferecem oportunidades para reflexões sobre o impacto de tecnologias específicas no desenvolvimento de conceitos e processos matemáticos. Ao final da apostila apresentamos uma bibliografia de suporte teórico às atividades aqui propostas. REFERENCIAL TEÓRICO É amplamente reconhecida atualmente a necessidade de conectar conhecimentos da vida cotidiana com o ambiente da sala de aula de matemática. Segundo os PCNs (1998, p. 37), 2

3 As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado. Por isso é fundamental não subestimar o potencial matemático dos alunos, reconhecendo que resolvem problemas, mesmo que razoavelmente complexos, ao lançar mão de seus conhecimentos sobre o assunto e buscar estabelecer relações entre o já conhecido e o novo. Estas conexões, porém, tornam-se muito pouco interessantes, uma vez que normalmente são usadas situações que permitam cálculos possíveis dentro das limitações do conhecimento matemático dos alunos, ainda em formação. Neste sentido, o Excel revela-se um instrumento cuja utilização permite que esses cálculos sejam facilmente realizados. Conforme Palis (1994, p. 31), ferramentas computacionais permitem uma liberdade bem maior na escolha das funções de trabalho, não sendo mais necessário levar em conta as limitações do cálculo e do desenho realizados a mão. A planilha Excel permite um estudo numérico e gráfico de situações-problema que podem ser modeladas por sequências e funções. Estes estudos são baseados na construção de tabelas extensas, rapidamente, variando parâmetros e condições iniciais dos problemas, sem as limitações impostas por dificuldades de cálculos. Também a utilização das tecnologias como recursos auxiliares no ensinoaprendizagem de matemática possibilita uma nova maneira de manipulação dos conteúdos matemáticos. Nesse sentido, Palis (1997) ressalta que as novas tecnologias computacionais facilitam a incorporação mais abrangente de pontos de vista importantes como o gráfico e o numérico ao estudo algébrico de diversos conceitos e processos uma vez que a representação de objetos matemáticos em contextos complementares pode favorecer o processo de construção do conhecimento desses objetos (p. 37). Palis e Ipiña (1999) ressaltam as dificuldades apresentadas por professores em exercício e por licenciandos em lidar com a máquina, conciliando seus conhecimentos teóricos com aqueles mostrados na tela do computador. Suas pesquisas mostram que, muitas vezes, eles confiam muito menos nos seus próprios conhecimentos que na máquina, 3

4 o que aponta para a necessidade premente de formação específica para a utilização de recursos tecnológicos como ferramenta pedagógica. COMO USAR O EXCEL VERSÃO 97/2003 Para entrar no programa: Clique duas vezes no ícone correspondente ao EXCEL do seu micro. Certifique-se de que você está na primeira planilha (Plan1) de sua Pasta1. O documento básico no Excel é uma pasta, ou seja, uma coleção de planilhas (PLAN 1, PLAN 2,...). Ao ser iniciado, o Excel abre uma nova pasta, pronta para receber a entrada dos dados. Observe que uma planilha é um conjunto de colunas e linhas. A área de inserção de uma coluna e uma linha é chamada célula. Os identificadores das colunas são alfabéticos, enquanto os identificadores das linhas são numéricos. O Excel referencia cada célula pela coluna e pela linha nas quais esta se encontra. Por exemplo, o endereço A2 corresponde à célula localizada na coluna A e na linha 2 da planilha. Para selecionar uma célula: Com o mouse, direcione o cursor para a célula B4 e dê um clique. Note que uma linha em negrito circunda a célula, formando um retângulo que identifica a célula selecionada. Ao abrir a planilha, a célula A1 estará selecionada. Você também pode utilizar as teclas com os símbolos,, ou para deslocar o retângulo em negrito e selecionar outras células em sua planilha. Após selecionar uma célula, pode-se entrar com algum dado nesta célula. O Excel aceita dois tipos principais de dados em suas células: valores constantes e fórmulas. Os valores constantes podem ser textos ou números. A formatação destes dados pode ser escolhida selecionando Formatar na barra de ferramentas e clicando em Células. 4

5 A seguir resolveremos um problema que lhe permitirá familiarizar-se com os comandos do Excel. SITUAÇÃO PROBLEMA: NÚMERO DE DOBRAS DE UMA FOLHA DE PAPEL Imagine que se possa dobrar ao meio uma folha de papel de 1 mm de espessura quantas vezes queira. Qual o número de dobras que é necessário fazer nesta folha para obter-se uma espessura de papel com km, medida aproximada da distância da Terra a Lua? SUGESTÃO: Procure resolver esse problema inicialmente sem utilizar a planilha eletrônica. Como poderíamos resolvê-lo? Se for preciso, você pode fazer uso da calculadora presente em seu computador. Para acessar a calculadora, faça a seqüência de seleções: Iniciar, Programas, Acessórios, Calculadora. A seguir, na guia Exibir, selecione Científica. Guarde sua resposta para conferir mais adiante. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA USANDO A PLANILHA ELETRÔNICA Consideremos n como sendo o número de dobras realizadas e a n a espessura resultante. Após dobrar o papel uma vez, obtemos: a 1 = 2.1 = 2mm Fazendo a segunda dobra, duplicamos a espessura anterior, assim: a 2 = 2. a 1 = = 4mm Após a terceira dobra, temos: a 3 = 2. a 2 = = 8mm Continuando o processo, obtemos para um número n de dobras: a n = 2. a n-1 = = 2 n.1 = 2 n mm n v ezes 5

6 Agora vamos criar uma planilha contendo os 45 primeiros termos da seqüência (a n ) tal que a n = 2 n ; n 1. É recomendável que uma planilha tenha títulos para as colunas, a fim de proporcionar significado aos seus dados. Para isso, Digite na célula A1 de sua planilha o texto Nº de Dobras e tecle <enter>. Depois digite na célula B1 o texto Espessura e tecle <enter>. Na coluna A colocaremos os valores da variável n e na coluna B os valores a n da seqüência. Para introduzir o primeiro termo da seqüência: Digite na célula A2 o valor constante 1 e tecle <enter>. OBSERVAÇÃO: As fórmulas sempre se iniciam por um sinal de igualdade (=), que é o prefixo da fórmula. Uma fórmula do Excel pode conter operadores matemáticos como: +, -, * (multiplicação), / (divisão), ^ (exponenciação) e outras funções matemáticas. O símbolo ^, usado nas fórmulas, é na realidade o acento circunflexo do seu teclado. Para que ele apareça tecle ^ e depois a barra de espaço. Selecione a célula B2. Digite a fórmula: =2^A2 e tecle <enter>. Note que o termo a 2 da seqüência aparece na célula B2, mostrando o valor 2. IMPORTANTE: Não confunda a notação padrão usada para identificar uma célula no Excel com a notação empregada para identificar um termo de uma seqüência. Aqui, o primeiro termo da seqüência, a 1, está na célula B2. Dependendo da organização da planilha, este termo poderia estar na célula A1 ou em qualquer outra célula. Selecione novamente a célula B2. Veja que a fórmula digitada anteriormente aparece na barra de fórmula (linha imediatamente acima das células que contêm os identificadores de colunas). Para alterações em fórmula, textos, funções, etc. é indicado que se use a barra de fórmulas. 6

7 Para isso basta clicar sobre a fórmula, posicionando o cursor no local desejado e digitar a alteração. Já temos o primeiro termo da seqüência (a n ). Para obtermos mais termos podemos proceder da seguinte forma: Digite na célula A3 a fórmula = A2+1 e tecle <enter>. Digite na célula B3 a fórmula = 2^A3 e tecle <enter>. Você acabou de achar o segundo termo da seqüência. Para minimizar o trabalho de digitação dos dados nas células, podemos copiar a idéia do cálculo contida em A3 para as células subseqüentes. Para isso: Selecione A3. Posicione o cursor no vértice inferior direito da célula e, mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado, arraste-o até a célula A46. Observe que o Excel automaticamente copiou para as células seguintes a idéia de cálculo contida em A3, isto é, A4=A3+1, A5=A4+1 e assim sucessivamente. Execute os mesmos passos para copiar o conteúdo da célula B3 para o conjunto de células B4, B5,..., B46. A planilha mostra uma tabela com os primeiros 45 termos da seqüência (a n ). Agora retorne à pergunta inicial e confira a resposta obtida anteriormente, sem a utilização do Excel. Compare as formas de resolver com e sem o uso do Excel. OBSERVAÇÃO: Fórmulas com referências relativas - O Excel lê a fórmula em A3 (=A2+1) como: Some o valor encontrado uma célula acima desta com o valor 1(um). Quando você copia a fórmula de A3 para A4, o Excel reproduz para A4 a mesma idéia de Somar o valor encontrado na célula acima desta com o valor 1, então o que vai aparecer na célula A4 é =A3+1. 7

8 Podemos resolver a mesma questão utilizando a seqüência dada de forma recorrente: a 1 = 2 a n+1 = 2. a n Observe que se trata da mesma seqüência. Para isso: Coloque em C2 o valor de a 1 ; Coloque em C3 a fórmula que fornece a 2 em termos de a 1 : =2*C2 Depois copie o conteúdo da célula C3 para as células de C4 a C46. Compare os valores da coluna C com os da Coluna B. CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO COM OS ELEMENTOS DA SEQUÊNCIA Ao gerar um gráfico com os dados encontrados, ou seja, um gráfico dos pares (n, 2 n ), para 1 n 45, podemos visualizar a sequência e a resposta do problema. Um gráfico no Excel é uma representação gráfica de alguns dados escolhidos, já existentes na planilha. Para fazer o gráfico pretendido, comece então selecionando as células de A2 até A46 e de B2 até B46. Para isso: Vá com o mouse até a célula A2 e, pressionando o seu botão esquerdo, arraste-o até a célula B46, soltando-o em seguida. (as células contidas no intervalo [A2; B46] estarão em negrito). Após a seleção dos dados, entraremos no Assistente Gráfico do Excel: Desloque o cursor até a barra de ferramentas e clique no ícone Neste momento, surgirá a tela do Assistente de Gráfico com a primeira etapa do procedimento de gerar gráficos. Nesta primeira etapa, escolha o Tipo de gráfico Linha e o quarto subtipo de gráfico. Avance para a segunda etapa. Aqui 8

9 você pode conferir e ou alterar o intervalo das células selecionadas que contêm os dados que irão compor o gráfico. Verifique também se o item marcado em Séries é o Colunas. Avance e vá para a terceira etapa. Aqui você tem vários recursos de formatação do seu gráfico, inclusive pode dar títulos ao gráfico e aos eixos. Avançando para a quarta etapa, você deve informar se quer o gráfico na planilha na qual está trabalhando (aqui Plan 1) ou em outra. Finalmente conclua. O gráfico estará inserido na planilha. Observe que o mesmo pode ser redimensionado arrastando uma das oito alças de redimensionamento na borda da região do gráfico. Para que isso aconteça: Clique uma vez dentro da região do gráfico para que as alças de redimensionamento apareçam, clique com o mouse na alça desejada e arraste-o até que a caixa gráfica tenha o tamanho desejado. Caso queira mudar a posição do gráfico: Clique na região do gráfico e mantendo o botão do mouse pressionado, arraste o gráfico para a posição desejada. SALVE SEU TRABALHO Tecle em Arquivo e depois em Salvar Como. Na janela digite um nome para sua Pasta (por exemplo, Dobras.xls ). ALGUMAS OBSERVAÇÕES ÚTEIS 1. Para aumentar a largura das colunas: Se quiser aumentar a largura de uma coluna, clique sobre o identificador da coluna, depois clique em Formatar, Colunas, Largura. 2. Fórmula com referência absoluta 9

10 Para que o Excel entenda que o endereço da célula contido numa fórmula não seja modificado quando copiado para outras células, devemos usar a referência absoluta na fórmula. O procedimento é inserir o caractere $ no endereço da célula. Retomando o exemplo das dobras em uma folha de papel, fazemos o seguinte: Coloque o número 1 em A2 Escreva em A3 a fórmula =$A$2+1 Copie a célula A3 e cole no conjunto das células seguintes até A10. Observe que o Excel copia para as células A4 até A10 exatamente o mesmo resultado da célula A3, ou seja, o Excel faz nessas células a mesma interpretação feita em A3. 3. Modificar o número de casas decimais exibidas na tela Selecione as células que deseja fazer a modificação e, com o mouse, clique no ícone da barra de ferramentas Cada vez que este ícone for clicado, será acrescentada uma casa decimal na célula selecionada. EXCEL VERSÃO 2007 Nessa versão, não ocorreram muitas alterações para a utilização das planilhas. No caso do problema anterior, vale ressaltar que o gráfico é configurado de modo mais simples. Vá com o mouse até a célula A2 e, pressionando o seu botão esquerdo, arraste-o até a célula B46, soltando-o em seguida. (as células contidas no intervalo [A2; B46] estarão em negrito). Clique em Inserir e em Gráficos selecione o tipo de gráfico Linhas e o subtipo desejado. 10

11 Surgirá na planilha o gráfico pedido. E na Barra de Ferramentas você terá vários recursos de formatação do seu gráfico, inclusive pode dar títulos ao gráfico e aos eixos. planilha. O gráfico inserido na planilha poderá ser redimensionado ou deslocado na ATIVIDADES PARA SEREM REALIZADAS COM APOIO DO EXCEL 1. Transformação de figuras no plano. Construção de uma figura utilizando os pares ordenados (x,y) abaixo. X Y tabel a 3 abaix 12 5 o X ,5 10 6, , Faça um gráfico do tipo Dispersão, com o subtipo pontos conectados por linhas sem marcadores Considerando a um número real qualquer, o que acontecerá com a figura se você alterar os pares ordenados de acordo com as transformações abaixo? Identifique as transformações geométricas correspondentes. Responda somente usando lápis e papel. (a) (x, y) (x+a, y) (b) (x, y) (x, y+a) 11

12 (c) (x, y) (-x, y) (d) (x, y) (x, -y) (e) (x, y) (-x, -y) (f) (x, y) (y, x) 1.3. Escolha um valor para a e repita o exercício acima, usando o Excel Invente o seu próprio desenho e aplique as transformações sugeridas na atividade anterior ou outras que desejar. 2. Situação-problema: Pagamento de um financiamento Uma pessoa pede um financiamento à Caixa Econômica Federal para a compra de um apartamento cujo valor é de x 0 = R$30.000,00. A Caixa cobra uma taxa de juros mensal j = 0,01. Determine a quantidade n de meses necessária para o pagamento integral do financiamento considerando cada uma das prestações mensais abaixo: a) p = R$400,00 b) p = R$250,00 c) p = R$350,00 d) p= R$300,00 Para a implementação do modelo na planilha proceda da seguinte forma: Clique uma vez sobre o nome Plan1 que aparece na parte inferior da tela e coloque na célula A1 o título (por exemplo: Financiamento). Na célula A3 digite o texto Taxa de juros mensal = ou j =. B3 receberá o valor da taxa de juros. Na célula A4 digite o texto Pagamento mensal = ou p =. B4 receberá o valor da prestação. Na célula A7 digite o texto Número de meses ou n. Na célula B7 digite o texto Saldo devedor ou Seqüência (X n ). Na célula A8 digite o valor 0 e na A9 digite a fórmula =A8+1 Copie o conteúdo da célula A9 para as células A10, A11,... 12

13 Na célula B8 digite o valor inicial do empréstimo e na célula B9 digite a fórmula =(B8*(1+$B$3))-$B$4 e tecle <enter> Copie o conteúdo da célula B9 para as células B10, B11,... IMPORTANTE: É recomendável verificar as fórmulas copiadas. Por exemplo, a célula B10 deve mostrar a fórmula =(B9*(1+$B$3))-$B$4, e assim por diante. Você observou algum fato interessante ao analisar os resultados encontrados para as diversas situações de prestação dadas no enunciado? Qual? Você poderia justificar o que observou? 3. Construção de tabelas de conversão para temperaturas medidas em grau Celsius e em grau Fahrenheit Determinar a relação entre as medidas de uma temperatura nestas duas unidades a partir dos seguintes dados: "A função f que expressa a temperatura em graus Fahrenheit F em termos da temperatura em graus Celsius C é uma função afim (da forma f(x) = ax + b). Sabendo que a água ferve a 212F e 100C, e que a água congela a 32F e 0C, encontre a expressão dessa função f Gerar numa planilha uma tabela com algumas linhas, contendo as colunas Celsius (ºC), Fahrenheit (F) e Celsius (ºC). Inicie com a tabela abaixo: Celsius(ºC) Fahrenheit (F) ,

14 3.3. Gerar numa planilha uma tabela com algumas linhas, contendo as colunas Celsius (ºC), Fahrenheit (F) e Celsius (ºC). As duas primeiras colunas podem ser consideradas como uma tabela de valores de qual função? E as duas últimas? 3.4. Gerar outra tabela com algumas linhas, contendo as colunas Fahrenheit (F), Celsius (ºC) e Fahrenheit (F). As duas primeiras colunas podem ser consideradas como uma tabela de valores de qual função? E as duas últimas? CONSIDERAÇÕES FINAIS A realização deste minicurso deu ênfase à resolução de problemas de cunho cotidiano que são evitados em sala de aula por apresentarem, em sua resolução, cálculos extensos e de difícil realização mas que permitem a manipulação de conceitos matemáticos de maneira contextualizada. Para tanto, propusemos a utilização de planilhas eletrônicas no intuito não somente de simplificar o tratamento dos dados envolvidos nos problemas como também de oferecer a possibilidade de visualizar essas situações sob novas óticas. Procurou-se também oferecer aos cursistas subsídios para que eles mesmos possam prosseguir no trabalho de criação de situações didáticas apropriadas ao seu contexto de ensino. Diante do aumento da oferta de computadores em laboratórios de escolas públicas e particulares, torna-se oportuna a capacitação de seu corpo docente a fim de possibilitar o uso de tecnologias computacionais como ferramentas auxiliares no ensino e aprendizagem de matemática. Esperamos que, desta maneira, possamos ter contribuído na sua prática docente e, consequentemente, na formação matemática de seus alunos. REFERÊNCIAS BOTELHO, Cássia Garrido Machado. Estudo de seqüências numéricas através da resolução de situações problema e do uso de planilha eletrônica: Investigação com professores, Dissertação de Mestrado. Departamento e Matemática. PUC-Rio, Março de MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Brasília,

15 PALIS, Gilda de La Rocque. Aproximações de um valor de bifurcação usando uma planilha. Zetetiké, Unicamp, Vol. 8, Nº 13/14, PALIS, Gilda de La Rocque. Let s Ask Why? After What If?, Journal of Computers in Mathematics And Science Teaching, 18(4), p , PALIS, Gilda de La Rocque Tecnologia, Gráficos e Equações. Revista do Professor de Matemática n.26, Sociedade Brasileira de Matemática, p , PALIS, Gilda de La Rocque Gráficos de Funções em Calculadoras e Com Lápis e Papel, Educação e Matemática, 45, Associação de Professores de Matemática de Portugal, Lisboa, p.37-40, PALIS, Gilda de La Rocque e Ipiña, Lynne. Procurando Um Equilíbrio Entre O Que Se Pode Ver E O Que Se Pode Imaginar Revista Educação Matemática Pesquisa, Educ- SP, v.1, n.2, p.31-46,