CRESCIMENTO POPULACIONAL POR FAIXA ETÁRIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS CURSO DE MATEMÁTICA PEDRO FRANKLIN CARDOSO SILVA CRESCIMENTO POPULACIONAL POR FAIXA ETÁRIA BELO HORIZONTE 2011

2 PEDRO FRANKLIN CARDOSO SILVA CRESCIMENTO POPULACIONAL POR FAIXA ETÁRIA Trabalho de Conclusão de projeto de Iniciação Científica apresentado ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais. Orientador: Carlos Henrique Costa Moreira BELO HORIZONTE 2011

3 As Intermitências da Morte, José Saramago.

4 Introdução A Matemática e a Biologia resolveram unir suas armas para que, juntas, desvendassem os mistérios de inúmeros problemas, dentre os quais, aqueles que estão intrinsecamente relacionados com Dinâmica Populacional. De fato, essa união conseguiu com o decorrer do tempo criar um arsenal de ferramentas capazes de investigar satisfatoriamente o crescimento ao longo dos anos de uma determinada população. Uma dessas ferramentas é o Modelo Matricial de Leslie, alvo de estudo desse trabalho.

5 Capítulo I Dinâmica Populacional A Dinâmica Populacional é responsável por estudar a curto ou a longo prazo, mudanças no tamanho e na composição etária de uma determinada população de humanos ou animais e, evidentemente, os processos biológicos e ambientais que influenciam essas mudanças. Além do mais, o estudo da Dinâmica Populacional é importante por dar cunho específico à configuração de uma sociedade e às questões pertinentes aos seus múltiplos aspectos, sejam econômicos, políticos ou sócio- culturais. A Dinâmica Populacional apóia- se em inúmeras ferramentas para estudar o perfil de uma população. Uma dessas ferramentas são os diagramas de Estrutura Etária. Os diagramas de Estrutura Etária são gráficos que mostram a distribuição de idades de uma população. Os dados para homens e mulheres são mostrados separadamente. Em geral, esses gráficos trazem informações sobre o futuro de uma determinada população. Como exemplo, considere uma população de humanos que possui poucas mulheres em faixas etárias adequadas para a reprodução em um determinado período. Desse modo, o número de crianças nascidas durante esse período será relativamente pequeno. Isso implica que, decorrido certo tempo, essa população tenha poucas pessoas em uma faixa etária adulta. As Figuras 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 trazem um conjunto de diagramas de Estrutura Etária para os Estados Unidos nos anos de 1955, 1985, 2015 (projeção), 2035 (projeção). Os diagramas mostram como a população é ou estará distribuída em grupos etários separados entre homens e mulheres. Uma rigorosa análise de tais gráficos permite a extração de uma gama de importantes informações. Como exemplo, observe o gráfico correspondente a 1955 e examine o grupo de anos. Há relativamente poucas pessoas nesse grupo. A explicação mais aceitável para esse fato é a de que a taxa de nascimento caiu abruptamente durante a Grande Depressão. Por outro lado, as taxas de nascimento cresceram significativamente após a Segunda Guerra Mundial. O grupo de pessoas com idade entre 20 e 40 anos no diagrama do ano de 1985 evidencia esse fato claramente.

6 FIGURA 1.1.: Diagrama de Estrutura Etária para os Estados Unidos correspondente ao ano de ( Extraído de U.S. Census Bureau.) FIGURA 1.2.: Diagrama de Estrutura Etária para os Estados Unidos correspondente ao ano de (Extraído de U.S. Census Bureau.)

7 FIGURA 1.3.: Diagrama de Estrutura Etária (projeção) para os Estados Unidos correspondente ao ano de (Extraído de U.S. Census Bureau.) FIGURA 1.4.: Diagrama de Estrutura Etária (projeção) para os Estados Unidos correspondente ao ano de (Extraído de U.S. Census Bureau.)

8 As Figuras 1.5 e 1.6 mostram dados recentes de dois países: Nigéria e Canadá. O crescimento de cada uma dessas populações pode ser estimado observando apenas o grupo de pessoas mais jovens, isto é, o número de pessoas representadas nas partes mais baixas da pirâmide. Em poucas décadas, algumas dessas pessoas agora representadas na parte central da pirâmide provavelmente terão filhos. Dessa forma, pode- se concluir que, a população do Canadá terá um crescimento moderado enquanto que, na direção oposta, a população da Nigéria crescerá rapidamente. FIGURA 1.5.: Diagrama de Estrutura Etária para o Canadá correspondente ao ano de (Extraído de U.S. Census Bureau.)

9 FIGURA 1.6.: Diagrama de Estrutura Etária para a Nigéria correspondente ao ano de (Extraído de U.S. Census Bureau.) O que o leitor deve perceber é que o texto até aqui exposto preocupou- se em evidenciar que os diagramas de Estrutura Etária são determinados diretamente por taxas de nascimento e morte. Deve- se ressaltar que além dessas taxas, tanto a imigração quanto a emigração podem alterar o perfil de uma população, ou seja, o número de indivíduos de um grupo etário pode ser alterado com a entrada e/ou saída de pessoas. Por fim, observa- se então que os diagramas de Estrutura Etária são determinados por taxas de nascimento, morte e migração. O que não ficou claro até aqui são de que ferramentas matemáticas deve- se ter em mãos para determinar o crescimento de uma população ao longo dos anos (como exemplo, como foi possível projetar a população dos Estados Unidos da Figura 1 para 2015 e 2035). Essas ferramentas que até agora foram omitidas, serão apresentadas no próximo capítulo.

10 Capítulo II Modelo Matricial de Leslie Um dos modelos de crescimento populacional mais utilizado atualmente é o modelo de Leslie, desenvolvido na década de Esse modelo é capaz de descrever o crescimento da parte fêmea de uma população animal ou humana. Para sua utilização as fêmeas devem estar distribuídas em faixas etárias de igual duração. Por exemplo, suponha que a idade máxima das fêmeas de uma população específica seja de anos (outras unidades de tempo também podem ser utilizadas). Admita que a população fora divida em faixas etárias. Então, cada faixa etária terá a duração de anos. As faixas etárias serão numeradas de acordo com a tabela abaixo. Veja: TABELA 2.1 Faixa Etária Intervalo de Idade Suponha agora que seja conhecido o número de fêmeas em cada um das faixas etárias no instante. Em particular, suponha que há fêmeas na primeira faixa etária, fêmeas na segunda faixa etária, e assim sucessivamente. O leitor deve ter percebido que o número subscrito indica o instante de tempo da observação, enquanto que o número sobrescrito indica a faixa etária em questão.

11 Com os valores obtidos anteriormente, será formado um vetor- coluna. Veja: O vetor representado anteriormente será chamado de vetor de distribuição etária inicial. É fato que, com o passar do tempo, o número de fêmeas em cada uma das faixas etárias sofre alterações em virtude de três processos: nascimento, morte e envelhecimento. Os processos de emigração e imigração serão desconsiderados nesse modelo. O próximo passo constitui- se de projetar o vetor de distribuição etária inicial para o futuro através de uma descrição quantitativa dos três processos mencionados anteriormente. Para o estudo do processo de envelhecimento, observar- se- á uma população a intervalos discretos de tempo. O Modelo de Leslie exige que a duração entre dois períodos de observação seja igual à duração de cada faixa etária. Considere, então, que: Dessa forma, pode- se observar que todas as fêmeas na faixa etária no instante estavam na faixa no instante.

12 Os seguintes parâmetros demográficos descreverão os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observações sucessivas: Número médio de filhas nascidas por fêmea durante o tempo em que ela está na faixa etária. Esse número será chamado a partir de agora de taxa de nascimento. Fração de fêmeas na faixa etária que se espera que vá sobreviver e passar para a faixa etária. Essa fração será chamada a partir de agora de taxa de sobrevivência. Pelas definições, tem- se que: i. para ii. para Note que todos os são maiores que zero. Caso algum fosse zero, nenhuma fêmea sobreviveria além da faixa etária. O vetor de distribuição etária no instante será definido por: em que representa o número de fêmeas na faixa etária no instante. Observe agora que, no instante, as fêmeas da primeira faixa etária são aquelas nascidas entre os instantes e. Pode- se representar esse fato, matematicamente, da seguinte forma: (Equação 2.1) Já as fêmeas na faixa etária (para ) no instante são aquelas que estavam na faixa no instante. Matematicamente, tem- se que:

13 , (Equação 2.2) É conveniente escrever as Equações 2.1 e 2.2 de forma matricial: em que a matriz é conhecida como matriz de Leslie. Assim, a notação matricial acima pode ser escrita compactamente da seguinte forma:, (Equação 2.3) A beleza da formulação matricial acima está relacionada com o seguinte resultado, veja: Da Equação 2.3, segue que: (Equação 2.4)

14 ou seja, se a distribuição etária inicial e a matriz de Leslie são conhecidas, pode- se determinar a distribuição etária da parte fêmea de uma população em qualquer instante posterior. A seguir, para ilustrar esse cálculo, serão apresentadas as taxas de nascimento e morte para a população fêmea de focas marinhas. Veja a tabela abaixo: TABELA 1.2 Faixa etária Fecundidade Sobrevivência FONTE: D. Brown e P. Rothery, Models in Biology: Mathematics, Statistics and Computing, John Wiley & Sons Ltda.,Chirchester,1993. A matriz de Leslie para os dados apresentados na TABELA 1.2 será dada por: Suponha que a observação tenha começado em Suponha também que nessa ocasião fora verificado que o vetor de distribuição etária inicial da parte fêmea dessa população de focas marinhas era dado por:

15 Dessa forma, com os dados expostos acima, pode- se determinar a quantidade de fêmeas dessa espécie em qualquer tempo posterior a A população de focas marinhas em 2020 será dada por: Da Equação 2.4, segue que: Como e, além disso, as matrizes e são conhecidas, tem- se que a população de focas marinhas em 2020 será dada por: ou seja: De acordo com a estimativa acima, as focas marinhas (fêmeas) sofreram uma significativa redução em até Como se não bastasse isso, pode- se verificar que essa espécie tenderá a ter mais indivíduos velhos do que jovens, fato esse que caminha na contramão do quadro inicial. Por fim, é possível notar que o modelo estudado nesse capítulo consegue exclusivamente descrever o desenvolvimento da parte fêmea de uma população. A introdução de um modelo que seja capaz de trabalhar simultaneamente com os machos e fêmeas de uma população será o assunto do próximo capítulo.

16 Capítulo III Modelo Ampliado de Leslie Conforme mencionado no capítulo anterior, o modelo de Leslie consegue apenas descrever o comportamento da parte fêmea de uma população ao longo do tempo. Dessa necessidade de apresentar um instrumento matemático capaz de indicar o comportamento simultâneo dos machos e fêmeas de qualquer população de humanos ou animais, criou- se um modelo absolutamente original: o Modelo Ampliado de Leslie. As hipóteses fundamentais admitidas no modelo básico, também serão adotadas aqui. Cada faixa etária deverá ter a mesma duração. O tempo de duração entre dois períodos de observação sucessivos deverá ser o mesmo. E, por fim, os processos de migração serão desconsiderados. A primeira diferença entre os dois modelos já ocorre no vetor de distribuição etária inicial. Suponha que uma população esteja dividida em faixas etárias. Admita agora que o número de fêmeas e machos em cada uma dessas faixas etárias seja conhecido nesse instante inicial de observação. Dessa forma, tem- se que: em que: representa o número de fêmeas na faixa etária no instante para representa o número de machos na faixa etária no instante para Com as hipóteses até aqui admitidas, tem- se que tanto os machos quanto as fêmeas na faixa etária de algum instante estavam na faixa no instante.

17 Para o novo modelo, serão introduzidos novos parâmetros demográficos. Veja: Número médio de filhos (ambos os sexos) nascidos por fêmea durante o tempo em que ela está na faixa etária. Parâmetro conhecido por taxa de nascimento. Fração de fêmeas na faixa etária que se espera que vá sobreviver e passar para a faixa etária. Parâmetro conhecido por taxa de sobrevivência. Fração de machos na faixa etária que se espera que vá sobreviver e passar para a faixa etária. Parâmetro conhecido por taxa de sobrevivência. Fração entre mulheres e homens nascidos. Esse parâmetro é conhecido por. Pelas definições, tem- se que: i. para ii. e para iii. O desempenhará papel fundamental nesse novo modelo. Basta observar que a o produto representa o número médio de filhas nascidas por fêmea durante o tempo em que ela está na faixa etária, enquanto que o produto representa o número médio de filhos nascidos por fêmea durante o tempo em que ela está na faixa etária. A Tabela 3.1 apresenta alguns países com seus respectivos parâmetros de registrados no ano de 2009.

18 TABELA 3.1 País Angola 0,4878 Bélgica 0,4890 Canadá 0,4863 Coréia do Norte 0,4854 Uruguai 0,4910 Vietnam 0,4732 FONTE: U.S. Census Bureau A seguir, o vetor de distribuição etária no instante será definido, veja: Analogamente aos procedimentos efetuados no Capítulo 2, tem- se que, nesse Novo Modelo, as fêmeas na primeira faixa etária no instante são aquelas nascidas entre os instantes e, ou seja: (Equação 3.1) O mesmo ocorre para os machos na primeira faixa etária no instante Entretanto, a formulação matemática que os define, possui uma sutil diferença daquela definida pela Equação 3.1, veja: (Equação 3.2) As fêmeas e os machos na faixa etária no instante são aquelas fêmeas e machos que estavam na faixa etária no instante e que ainda vivem no instante, ou seja: para (Equação 3.3)

19 para (Equação 3.4) Usando notação matricial, as Equações 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 podem ser escritas da seguinte forma: Uma forma mais compacta de representar a notação matricial acima é dada por: (Equação 3.5) A matriz será denominada Matriz Ampliada de Leslie.

20 Para futuras análises, torna- se conveniente, representar a matriz na forma de blocos, ou seja: O bloco é propriamente a matriz de Leslie com uma sutil alteração. As taxas de nascimento encontradas na primeira linha estão multiplicadas pelo fator Já bloco é formado exclusivamente de entradas nulas. Esse fato está intrinsecamente relacionado com a incapacidade dos machos de se engravidarem. O bloco é responsável por determinar a parcela de machos que irão nascer em cada período de observação. Apenas sua primeira linha, composta por taxas de nascimento, é não- nula. Por fim, o bloco é responsável por determinar a parte de cada faixa etária da população de machos que se espera que vá sobreviver para o próximo período de observação. Nesse novo modelo, assim como aquele apresentado no capítulo anterior, basta que a distribuição etária inicial e a matriz (a matriz no caso do modelo de Leslie) sejam conhecidas para se determinar a distribuição etária de toda a população (machos e fêmeas) em tempos posteriores.veja: Da Equação 3.5, segue que: (Equação 3.6) O próximo capítulo apresentará uma ferramenta computacional capaz de executar todos os cálculos referentes a esse novo modelo.

21 Capítulo IV Programa Computacional Geralmente, dada uma população específica, quer- se determinar sua distribuição etária em tempos muito posteriores daquele em que essa mesma população começou a ser observada. E isso, em muitas vezes, pode- se tornar extremamente trabalhoso. Então, a fim de facilitar a análise do comportamento de uma população, criou- se um programa computacional em Pascal. Para executar esse programa, o interessado deverá entrar apenas com as taxas de nascimento, sobrevivência e, além de informar a quantidade de machos e fêmeas, no período inicial de observação, em cada uma das faixas etárias que a população em questão foi dividida. Mediante esse processo, o programa estará apto a determinar a distribuição de machos e fêmeas em qualquer tempo posterior. Segue abaixo, o algoritmo desse programa: program Populacao;; var L: array [1..100,1..100] of integer;; { Matriz de Leslie } B: array [1..100,1..100] of integer;; { p-esima potencia da matriz de Leslie } R: array [1..100,1..100] of integer;; { Matriz auxiliar } A: array [1..100] of integer;; V: array [1..100] of integer;; n, { Ordem da matriz de Leslie} p, { p-esima potencia a se elevar a matriz de Leslie} i,j,k,z:integer;; Begin WriteLn('Digite a ordem da matriz');; Read(n);; {Determinando a matriz de Leslie} for j:=1 to n do begin WriteLn('Digite uma taxa de fecundidade');; ReadLn(L[1,j]);;

22 end;; for i:=2 to n do begin WriteLn('Digite taxa de sobrevivencia');; for j:=1 to (n-1) do if i=(j+1) then readln(l[i,j]);; end;; for i:=2 to n do for j:=1 to n do begin if i <> (j+1) then L[i,j]:=0 end;; {Escrevendo a matriz de Leslie} WriteLn('A matriz de Leslie sera dada por:');; for i:= 1 to n do for j:=1 to n do begin Write(L[i,j],' ');; if j=n then writeln('');; end;; {Obtendo matriz Identidade Auxiliar} for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin if i=j then R[i,j]:=1 else R[i,j]:=0 end;; Write(' Matriz Identidade ');; {Escrevendo a matriz auxiliar Identidade} for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin write(r[i,j],' ');; if j=n then writeln('');;

23 end;; WriteLn(' Entre com potencia ');; ReadLn(p);; {Obtendo a p-esima potencia da matriz de Leslie} z:=0;; while z <= (p-1) do begin z:=z+1;; for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do begin B[i,j]:=0;; for k:=1 to n do B[i,j]:=L[i,k]*R[k,j] + B[i,j];; end;; end;; for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin R[i,j]:=B[i,j];; end;; end;; WriteLn('A p-esima potencia da matriz de Leslie sera dada por:');; {Escrever a p-esima potencia da matriz de Leslie} for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin write(b[i,j],' ');; if j=n then writeln('');; end;;

24 WriteLn('Digite o vetor distribuicao etaria no instante inicial');; for i:=1 to n do read(a[i]);; { Calculo do vetor distribuicao etaria no instante p } for i:=1 to n do begin V[i]:=0;; for j:=1 to n do V[i]:= B[i,j]*A[j] + V[i];; end;; { Escrevendo o vetor distribuicao etaria no instante p } WriteLn(' O vetor distribuicao etaria no instante p sera:');; for i:=1 to n do begin writeln(v[i]);; end End.

25 Capítulo V O Modelo Definitivo Após a conclusão do modelo ampliado de Leslie e do programa computacional, partiu- se para a parte mais esperada do projeto: as simulações. O primeiro passo foi criar um enorme banco de dados contendo informações demográficas, como número de habitantes por faixa etária e sexo além das taxas de fecundidade e sobrevivência, do Distrito Federal e de todos os estados brasileiros. Também incluía- se nesse banco de dados informações demográficas de alguns países. A segunda etapa consistiu em modificar o programa computacional de forma que a partir da criação do banco de dados ele fosse capaz de ler essas informações e, imediatamente em seguida, apresenta- se a projeção da população estudada. Com essa mudança, o trabalho para quem porventura for utilizar o programa ficou mais fácil. A partir de então, não foi mais necessário entrar com todas aquelas informações demográficas; bastava entrar com um único dado: o ano para o qual se deseja projetar a população. Com todas essas ferramentas em mãos, o passo seguinte, naturalmente, foi realizar as projeções. As projeções obtidas foram comparadas com projeções realizadas por competentes órgãos, como o IBGE e a ONU. Os primeiros resultados foram desanimadores. Em alguns testes, chegou- se a encontrar uma diferença de até 15% para determinadas faixas etárias em relação às projeções tomadas como referência. Mesmo assim, as simulações não foram interrompidas. Foi então que, ao analisar os resultados obtidos, pôde- se encontrar um padrão. Em todas as projeções realizadas, a faixa etária dos recém- nascidos era a que sempre apresentava as maiores discrepâncias. Ao conceber o Modelo Ampliado de Leslie levou- se em consideração que as taxas de fertilidades das mulheres de uma determinada população não sofreriam mutações significativas ao longo dos anos. O erro encontrado nos testes foi desencadeado por essa falsa suposição. Ao analisar, por exemplo, as taxas de fecundidade por faixa etária das mulheres de cada estado do Brasil, percebeu- se que as pequenas mudanças ocorridas de ano para ano, alteravam a dinâmica evolutiva da população. Dessa forma, precisou- se mais uma vez alterar o modelo matricial. O modelo que era discreto foi inicialmente transformado em um modelo contínuo através das chamadas funções de densidade etária. Nesse momento, utilizou- se fortemente conceitos de equações diferenciais. Após uma rica análise de todo o problema, resolveu- se o sistema de equações diferenciais. O modelo novamente passou a ser discreto. A diferença estava apenas na forma de obter o número de recém- nascidos.

26 As novas equações encontram- se abaixo: (Equação 5.1) (Equação 5.2) Repare que no novo modelo obtido foram acrescentados os fatores multiplicativos e em relação às Equações 3.1 e 3.2. Enfim, com esse novo e definitivo modelo em mãos, iniciou- se novamente a maratona de testes. E dessa vez, os resultados foram até animadores. Salvas exceções, as projeções obtidas não distaram significativamente daquelas tomadas como referência. Algumas das projeções obtidas encontram- se nas próximas páginas:

27 FIGURA 5.1.: Projeção para 2000 da população masculina do Acre dividida em faixas etárias de 5 anos tendo como ponto de partida o ano de 1999.

28 FIGURA 5.2.: Projeção para 2000 da população feminina do Acre dividida em faixas etárias de 5 anos tendo como ponto de partida o ano de 1999.

29 Conclusão Após testes preliminares, falhas foram descobertas no Modelo Ampliado de Leslie. O método para se calcular o número de recém- nascidos mostrou- se ineficiente. Problema identificado; problema solucionado. Ao resolver um sofisticado sistema de equações diferenciais, percebeu- se que as equações que regiam o número de nascimentos de uma determinada população careciam de um fator multiplicativo. Com essa importante correção, o Modelo Ampliado de Leslie obteve resultados muito próximos daqueles disponibilizadas por órgãos especializados no assunto.

30 Referências [1] ANTON, H. e RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre, Bookman,2001. [2] HEROD, J. e SHONKWILER, R. Mathematical Biology: An Introduction with Maple and Matlab. New York, Springer, 2006.

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