O trabalho cansa? Roberto já não subia mais as escadas, só

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1 A U A UL LA O trabalho cansa? Roberto já não subia mais as escaas, só usava o elevaor. Afinal ele não comia mais chocolate, não tinha mais energia sobrano para subir centenas e anares. Mas uma coisa aina o intrigava. Como Maristela tinha feito aqueles cálculos? Como alguém poe achar resultaos numéricos tão precisos a partir e um conceito que, seguno falou a própria Maristela, nem os físicos sabiam ireito o que era? A resposta a essas perguntas começa a ser aa nesta aula. Já vimos que as granezas funamentais a Física poem ser meias iretamente por meio a criação e parões aequaos. É o caso o comprimento, a massa e o tempo. Outras granezas erivaas não têm parões próprios, mas poem ser meias com auxílio os parões criaos para as granezas funamentais. É o caso a área, o volume, a velociae, a aceleração, a força etc. É o caso também a energia, mas com uma característica a mais: a meia a energia tem, como ponto e partia, uma outra graneza física, o trabalho. Se energia é a capaciae e realizar trabalho, mee-se a energia e um corpo pelo trabalho que ele realiza. Mas o que é trabalho? Como se mee o trabalho realizao por um corpo? Conceito e trabalho O avô e Roberto, um sitiante, ficou alguns ias no apartamento o neto e estranhou que aquela vizinha passasse a noite toa com a luz acesa. Ela não orme?, quis saber o esconfiao lavraor. É que ela fica até tare trabalhano sentaa na frente o computaor, explicou Roberto. Trabalhar sentao é noviae, pra mim isso não é trabalho, não cansa!, sentenciou o lavraor. De fato, seguno a Física, Maristela não trabalhava, ou melhor, não realizava trabalho. O conceito e trabalho, em Física, é parecio com o o lavraor: sem força não há trabalho. Mas só a existência e força aina não basta; é preciso que ela prouza ou atue ao longo e um eslocamento. O trabalho poerá então ser meio pelo prouto a força pelo eslocamento: Trabalho = força eslocamento

2 Mas por que essa relação? Por que prouto e não soma, por exemplo? Porque são granezas que se compensam, isto é, se nós aumentamos uma, poemos iminuir a outra, na mesma proporção. Veja a Figura 1. f P D Figura 1 Na alavanca, uma força menor ( ρ f ) poe mover um peso maior ( P) ρ porque o eslocamento () a força menor é maior que o eslocamento (D) o peso. O mesmo ocorre no plano inclinao. É possível elevar por uma altura (D) o caixote e peso ( P ρ ) fazeno uma força ( ρ f ) menor que ( P ρ ) porque, por interméio o plano inclinao, a força ( ρ f ) atua ao longo e um eslocamento () maior que (D). Em ambos os casos é vália a relação: f P D A U L A F = P D Em outras palavras, é possível fazer uma força menor ese que se compense com um eslocamento maior. A energia consumia é a mesma em ambos os casos, pois o trabalho realizao é o mesmo. Essa efinição e trabalho, no entanto, não prevê toas as situações possíveis. Veja a situação ilustraa na Figura 2: o bloco está se moveno ao longo o eslocamento () sob a ação simultânea e várias forças. Será que toas realizam o mesmo trabalho? Como calcular o trabalho e caa uma as forças? Trabalho e uma força constante F 3 Como você poe ver na Figura 2, há F forças que favorecem o eslocamento 5 F 2 ( F ρ 1 e F ρ 2 ), outras que não influem iretamente ( F ρ 3 F 6 F 1 e F ρ 4 ) e outras que se opõem ( F ρ 5 ρ e F 6 ). Essas relações estão ligaas ao F 4 Figura 2 ângulo formao entre a força e o eslocamento. Se esse ângulo está compreenio entre 0º e 90º, a força favorece o eslocamento, realiza um trabalho positivo. Se for igual a 90º, ela não influirá no eslocamento, e seu trabalho será nulo. Se o ângulo estiver compreenio entre 90º e 180º, ela ificultará ou se oporá ao eslocamento, isto é, realizará um trabalho negativo. Além isso, apenas nos casos em que o ângulo é 0º ou 180º, a força atua integralmente a favor ou contra o eslocamento; nos emais casos, só uma parcela a força influi. Essa parcela é a componente a força na ireção o eslocamento. Toas essas características evem aparecer na efinição e trabalho e uma força. Por isso, além o prouto força eslocamento, aparece a graneza trigonométrica cos a (coseno e a, ângulo entre a força e o eslocamento). A efinição o trabalho e uma força F, que representamos por é, portanto, = F cos a

3 A U L A No SI, como a força é aa em newtons (N) e o eslocamento em metros (m), o trabalho será ao em N m, uniae que recebe o nome e joule (J), em homenagem a James Prescott Joule, físico inglês o século XIX. Assim: 1 joule é o trabalho realizao por uma força e 1 newton que atua na mesma ireção e sentio e um eslocamento e 1 metro. Passo-a-passo Como exemplo o cálculo o trabalho e uma força, vamos voltar à Figura 2 e calcular o trabalho as forças F 1 (t 1 ), F 2 (t 2 ), F 3 (t 3 ), F 4 (t 4 ), F 5 (t 5 ) e F 6 (t 6 ), ao longo o eslocamento. Suponha que toas as forças sejam iguais e valham 10 N e o eslocamento seja e 5 m. Em relação aos ângulos, temos: l O ângulo entre F 1 e é a 1 = 0º; F 1 tem a mesma ireção e sentio o eslocamento. l Vamos supor que o ângulo entre F 2 e seja a 2 = 37º. l Os ângulos entre F 3 e e entre F 4 e são a 3 = 90º e a 4 = 90º; F 3 e F 4 são perpeniculares ao eslocamento. l Vamos supor que o ângulo entre F 5 e seja a 5 = 120º. l O ângulo entre F 6 e é a 6 = 180º, porque F 6 tem a mesma ireção e sentio oposto ao eslocamento. Observação: Você poe obter os valores o co-seno esses ângulos com uma calculaora ou consultano uma tabela e senos e co-senos. Poemos agora calcular o trabalho e caa força: l t 1 = F 1 cos a 1 t 1 = 10 5 cos 0º t 1 = 50 1,0 = 50 J Figura 3. Trabalho e F1 F 1 l t 2 = F 2 cos a 2 t 2 = 10 5 cos 37º t 2 = 50 0,8 = 40 J Figura 4. Trabalho e F2 F 2 37 l t 3 = F 3 cos a 3 t 3 = 10 5 cos 90º t 3 = 50 0 = 0 Figura 5. Trabalho e F3 F 3 l t 4 = F 4 cos a 4 t 4 = 10 5 cos 90º t 4 = 50 0 = 0 Figura 6. Trabalho e F4 F 4 l t 5 = F 5 cos a 5 t 5 = 10 5 cos 120º t 5 = 50-0,5 = -25 J Figura 7. Trabalho e F5 F l t 6 = F 6 cos a 6 t 6 = 10 5 cos 180º t 6 = 50-1,0 = - 50 J Figura 8. Trabalho e F6 F 6 180

4 Observe que o valor o co-seno o ângulo corrige o valor o trabalho, em caa caso. Se o trabalho fosse calculao apenas pelo prouto F, obteríamos sempre o mesmo valor e o mesmo sinal, o que não corresponeria à realiae. É importante notar aina que, se toas essas forças atuarem ao mesmo tempo, o trabalho resultante essas forças,, será a soma algébrica o trabalho e caa uma. Assim, teremos: A U L A = t 1 + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 + t 6 = (- 25) + (- 50) = 15 J Trabalho e energia cinética Agora que já sabemos calcular o trabalho e uma força constante, é possível encontrar uma expressão matemática para a energia cinética. O raciocínio é simples. Suponha que um corpo está em repouso sobre um plano horizontal sem atrito (veja a Figura 9). Como ele está em repouso, não WF tem energia cinética. Sobre esse corpo passa ρ a atuar uma força constante F, paralela ao plano, que o F F esloca na mesma ireção e sentio a força. Depois e um esloca- E C = 0 E C = Wt F Figura 9 mento, esse corpo está com uma eterminaa velociae v. Aquire, portanto, uma energia cinética, E C. Como só essa força realiza trabalho, essa energia cinética é fruto o trabalho essa força (há mais uas forças atuano sobre o corpo, o peso e a reação o plano, mas são perpeniculares ao eslocamento e, portanto, não realizam trabalho). Poe-se, então, eterminar a energia cinética esse corpo, pelo trabalho realizao por essa força, ou seja: Temos, então: = E C = F cos 0º Mas, pela seguna lei e Newton, F = m a. Temos, portanto: = m a 1,0 Usano a equação e Torricelli, que é obtia quano eliminamos o tempo as funções horárias a posição e a velociae no MRUV. v 2 = v a Poemos eterminar a velociae o bloco ao final o eslocamento. Como ele parte o repouso, v 0 = 0, a expressão se simplifica: v 2 = 2 a Poe-se obter aí o valor o prouto a : a = v2 2 Substituino esse valor e a na expressão (I), obtemos: = m v2 2 (I)

5 A U L A Essa expressão, m v 2, é, portanto, a energia cinética E 2 Cfinal aquiria pelo corpo em função o trabalho a força F( ). Escreveno essa expressão e uma forma mais elegante, efine-se energia cinética e um corpo e massa m com velociae v como: E C = 1 2 mv2 Como a energia cinética é igual ao trabalho realizao pela força, a sua uniae e meia eve ser a mesma uniae e trabalho. Logo, a uniae e energia no SI também é o joule. Vamos voltar à Figura 3 e supor que o corpo não estava inicialmente em repouso, ou seja, v o ¹ 0. Isso significa que, quano a força F foi aplicaa, o corpo já tinha uma energia cinética inicial, E inicial. Para saber o trabalho essa força ao final o eslocamento, evemos escontar a energia cinética final, E C, essa energia cinética inicial, E inicial. Nesse caso, o trabalho a força F é igual ao que o corpo ganha a mais e energia cinética, o que poe ser calculao pela variação a energia cinética que ele sofre, ou seja: = E Cfinal Se houver mais forças atuano sobre o corpo, caa uma elas vai realizar um trabalho. Nesse caso, como vimos no exemplo 1, o trabalho resultante,, e toas essas forças é a soma algébrica o trabalho e caa força. Esse trabalho resultante é o responsável pela variação a energia cinética o corpo. Poemos, então, escrever: = E Cfinal Representao por DE C, que significa variação a energia cinética, a iferença E Cfinal, temos: = DE C Essas uas últimas relações expressam matematicamente o teorema a energia cinética, uma valiosa ferramenta para a interpretação, compreensão e resolução e problemas e Física, cujo enunciao é: O trabalho resultante ( ) e toas as forças que atuam sobre um corpo num eslocamento é igual à variação a energia cinética esse corpo (DE C ) nesse eslocamento. Passo-a-passo Um automóvel com massa e 800 kg tem velociae e 36 km/h quano é acelerao e, epois e percorrer um eterminao eslocamento, está com velociae e 108 km/h. Determinar: a) Sua energia cinética inicial, E inicial : Como a energia é meia em joules, uniae o SI, precisamos transformar a velociae em metros por seguno. Portanto, como já vimos anteriormente, v o = 36 km/h = 10 m/s. Basta agora eterminar o valor e E inicial : 1 E inicial = 2 mv oinicial E inicial = = J 2

6 b) A energia cinética final, E Cfinal. Sabeno-se que v = 108 km/h = 30 m/s, temos: E Cfinal = 1 2 mv2 A U L A E Cfinal = = J c) Qual o trabalho a força resultante que atua sobre o automóvel. Aplicano o teorema a energia cinética, temos: = DE C = E Cfinal = = J Observe que esse valor não correspone ao trabalho o motor. Se a estraa for plana, horizontal, ou preominarem as subias, o trabalho o motor certamente será maior. Ele everá vencer também as forças e atrito e resistência o ar e, se houver subia, a componente tangencial o peso o automóvel. Toas essas forças realizam um trabalho negativo. Se houver escia, o trabalho o motor poe ser menor, porque, nesse caso, o peso o automóvel também vai realizar trabalho positivo. Passo-a-passo Uma bala com 20 g e massa atinge uma paree com velociae e 600 m/s e penetra, horizontalmente, 12 cm. Determine o valor méio a força e resistência exercia pela paree, para frear a bala. Para eterminar o valor méio a força e resistência R exercia pela paree sobre a bala, é preciso calcular o trabalho que ela realiza,. Isso poe ser feito pelo teorema a energia cinética, que permite calcular o trabalho a paree pela variação a energia cinética a bala: t (paree) = DE C (bala) = E Cfinal Como a bala pára ao final a penetração, E Cfinal = 0, basta, portanto, calcular E Cinicial. ECinicial = 1 2 mv 2 o Lembrano que m = 20 g = 0,02 kg e v o = 600 m/s, temos: 1 E Cinicial = 2 0, = J. Voltano a expressão o teorema a energia cinética, temos: = E Cfinal = = J Figura 10

7 A U L A Para eterminar o valor méio a força e resistência, voltemos à efinição e trabalho e uma força, lembrano que, aqui F Resultante = R: = R cos a Sabeno que o eslocamento a bala entro a paree é = 12 cm = 0,12 m, e a = 180º, pois a força exercia pela paree se opõe ao eslocamento, temos: Logo: = R 0,12 cos 180º = R 0,12 (-1,0) R = ,12 = N Observação: Dizemos que esse é o valor méio a força exercia pela paree sobre a bala porque essa força não é constante, ela varia ao longo o eslocamento. Potência Já vimos que, sob o ponto e vista a Física, sem força não há trabalho, mas aina não responemos a pergunta que á titulo à nossa aula: o trabalho cansa? A resposta, é claro, só poe ser epene. Depene o trabalho, a força que se faz e o eslocamento em que ela atua. Mas há um fator a mais que aina não entrou na iscussão. Suponha que o nosso amigo Roberto, na esperança e compensar o chocolate que comia, resolvesse subir as escaas o seu préio correno. Será que esse jeito ele não iria gastar mais calorias? A resposta agora é mais complicaa. Fisicamente, o trabalho que ele realiza é o mesmo: transportar o próprio corpo o térreo ao anar em que mora. Mas nem ele nem seu organismo aceitam essa iéia com faciliae. Seu coração bateu muito mais rápio, sua respiração tornou-se ofegante, ele suou e se cansou muito mais. Internamente, o seu organismo consumiu muito mais energia, embora o trabalho externo tenha sio o mesmo. Isso ocorreu porque o tempo para a realização esse trabalho foi menor. Em outras palavras, a potência esenvolvia pelo organismo foi maior. Você notou que estamos apresentano uma nova graneza física muito importante nos ias e hoje, pois relaciona o trabalho (t), realizao por uma máquina, com o intervalo e tempo (Dt) gasto em realizá-lo: a potência (P). Essa graneza é efinia pela expressão: P = t D t Observe que, para um mesmo trabalho t, quanto menor for o intervalo e tempo em que ele é realizao, que é o enominaor a fração, maior será a potência e vice-versa. A uniae e potência no SI é o watt (W), em homenagem a James Watt, um engenheiro escocês que eu uma notável contribuição ao esenvolvimento as máquinas a vapor no século XVIII. Assim, 1 watt é a potência esenvolvia por uma máquina que realiza um trabalho e 1 joule em 1 seguno.

8 Como a potência é uma as granezas físicas mais utilizaas na nossa via iária, é comum encontrá-la expressa em múltiplos ou submúltiplos ou uniaes práticas. Veja a seguir uma pequena lista essas uniaes e a relação elas com o watt: 1,0 quilowatt (kw) = W 1,0 miliwatt (mw) = 0,001W 1,0 cv (cavalo-vapor) = 735,5 W 1,0 hp (horse-power) = 746 W A U L A Além essas uniaes, há aina uma uniae prática e energia, com a qual temos um esagraável contato mensal, por interméio a conta e energia elétrica: o quilowatt-hora, cujo símbolo é kwh. A efinição essa uniae parte a efinição e potência. Se a potência é aa por t P = D t, então, o trabalho poe ser calculao pela relação: t = P Dt Isso significa que poemos meir o trabalho realizao por uma máquina e, portanto, a energia que ela consome, multiplicano-se a sua potência pelo tempo que ela fica funcionano. Se a potência é aa em watts e o tempo em segunos, o trabalho (ou a energia) será ao em joules. Essa uniae, no entanto, não é muito prática, principalmente para aparelhos elétricos. Por isso, costuma-se utilizar o quilowatt como uniae e potência e a hora como uniae e tempo, obteno-se o quilowatt-hora como a corresponente uniae e trabalho (ou energia). Como essa é uma uniae prática (não pertence ao SI), é preciso saber a sua relação com o joule que, como vimos, é a uniae e trabalho e energia esse sistema. Teremos então: 1,0 kwh = 1,0 kw 1,0 h = W s = W s = J Imagine se o nosso amigo Roberto, ao invés e subir escaas, resolvesse correr numa estraa horizontal, em linha reta, com velociae constante. Será que ele iria consumir energia? Se a velociae é constante, a energia cinética não varia. Como o trabalho é igual à variação a energia cinética, ele não realiza trabalho, logo não consome energia, certo? Errao! Na realiae, como vimos, o trabalho a força resultante é igual à variação a energia cinética. Quano alguém corre com velociae constante, em linha reta, a força resultante é nula, mas a pessoa faz força para frente, pelo atrito e seus pés com o solo. Realiza, portanto, um trabalho positivo. No entanto, essa força é equilibraa pela resistência o ar que realiza um trabalho negativo. Por essa razão, a energia cinética não varia - o trabalho a força que a pessoa realiza para correr é consumio integralmente pelo trabalho a resistência o ar. Nesse caso particular, é fácil calcular o trabalho que a pessoa realiza e, conseqüentemente, a energia que ela consome, por interméio a potência esenvolvia. Por efinição, o trabalho a força exercia é = F cos a. Como a força atua na ireção e sentio o eslocamento a = 0º e cos a = 1,0. Então o trabalho a força é apenas = F. t Lembrano que a potência é P = D t, temos: P = F D t

9 A U L A Mas /D t é a velociae v a pessoa, logo, a potência poe ser expressa por: P = F v É bom lembrar que essa expressão é vália para qualquer corpo, mas só quano a velociae é constante, ou seja, quano ele tem movimento retilíneo uniforme. Passo-a-passo Um automóvel esenvolve uma potência e 80 cv quano em trajetória retilínea com velociae constante e 108 km/h. Qual a intensiae a força e resistência o ar? Como o movimento é retilíneo uniforme, a força e resistência o ar é igual à força exercia pelo automóvel. Além isso, vale a expressão a potência num MRU (P = F v) Para aplicá-la, basta transformar as uniaes aas em uniaes o SI: Então, temos: P = 80 cv = ,5 = W v = 108 km/h = 30 m/s P = F v Þ = F 30 Þ F = = N (aproximaamente) Renimento Sabemos que há carros que consomem menos combustível o que outros, ou que até o mesmo carro, quano regulao, poe consumir menos. Da mesma forma, uma lâmpaa fluorescente ilumina mais que uma lâmpaa comum, e mesma potência. Isso vale também para o organismo humano. Há pessoas que engoram, mesmo comeno pouco, e outras que comem muito e não engoram. Em outras palavras, há máquinas que aproveitam melhor o combustível que consomem. Dizemos que essas máquinas têm um renimento maior. Define-se o renimento (r) e uma máquina pela razão entre a potência útil (P U ), que ela fornece e a potência total, (P t ), que ela consome, ou seja: r = P U P T Poe-se escrever essa mesma expressão na forma e porcentagem. Teremos então: r = P U P T 100% É fácil ver que, se uma máquina fosse perfeita, o que não existe, ela teria renimento r = 1,0 ou r = 100%, porque a potência útil seria igual à potência total: ela aproveitaria tuo o que consome. Isso não acontece porque toa máquina gasta parte a energia que recebe para seu próprio funcionamento. Além isso, sempre há peras. É impossível, por exemplo, eliminar completamente o atrito, que acaba se transformano em calor. E o calor gerao por atrito raramente é o objetivo e uma máquina. Ele é, em geral, um efeito inesejável, mas inevitável. Por essa razão, o renimento e qualquer máquina será sempre um valor menor que 1,0 ou que 100%.

10 Passo-a-passo Vamos voltar ao Exemplo 2. Suponha que o sistema mecânico aquele automóvel, naquela situação, tenha um renimento e 0,25 ou 25% e que o tempo gasto para acelerar e 36 km/h para 108 km/h tenha sio e 10 s. Qual a potência total que ele consome, em cavalos-vapor? A U L A Lembremos a resposta o seguno Passo-a-passo. O trabalho resultante sobre o carro é: = J Que trabalho é esse? Seno o trabalho resultante, é o trabalho útil, aquele que a gente aproveita. Dele poe-se calcular a potência útil, mas não a potência total. Como issemos lá na resolução o Exemplo 2, o trabalho total que ele consome (que tira a energia fornecia pelo combustível) é certamente muito maior. Além o trabalho útil, ele esquenta, faz barulho, vence os atritos e a resistência o ar. Vamos, então, calcular primeiro a potência útil. Como a potência é aa por P = t/dt, a potência útil será calculaa por essa expressão, ese que o trabalho, (t), seja o trabalho útil. O trabalho útil, como comentamos é = J e o intervalo e tempo é Dt = 10 s. Logo: P U = P U = J = W 10 s Como o renimento r = 0,25, temos: r = P U P T Þ 0,25 = J P T Þ P T = J 0,25 Þ P T = W Para transformar esse valor em cavalos-vapor, basta iviir por 735,5 W, que equivale à potência e 1 cv. Temos, então: P T = ,5 = 17,4 cv (aproximaamente) Você pôe ver, nesta aula, que é possível calcular a energia e um corpo pelo trabalho que ele realiza. E que, para os físicos, só existe trabalho quano há força e eslocamento, portanto, o trabalho quase sempre cansa. Chegamos, também, a uma ligação muito importante que relaciona trabalho e energia cinética, t = DE C. Vimos que a potência e uma máquina poe ser calculaa pela razão entre o trabalho que ela realiza e o tempo gasto em realizá-lo. Que a potência útil é sempre menor que a potência total e a razão entre elas, sempre menor que a uniae, é o seu renimento. Mas aina ficamos eveno. Não sabemos como Maristela fez aquele cálculo que tirou o sono o nosso amigo Roberto. Mas estamos mais perto. Você lembra que ali o problema estava na altura que ele subia e no chocolate que comia. É preciso relacionar, então, trabalho com subia ou, falano mais bonito, eslocamento vertical. Esse, no entanto, é o assunto a próxima aula. Nesta aula você apreneu: o que é trabalho e como se acumula; o que é energia cinética; o que são potência e renimento.

11 A U L A Exercício 1 No esquema a figura abaixo, supono toas as forças iguais com valor e 100 N e o eslocamento () e 5 m, etermine o trabalho e caa força. F 3 F F 2 F F F 4 Exercício 2 Um automóvel com massa e kg tem velociae e 4 km/h quano esacelerao e, epois e percorrer um certo trecho, está com velociae e 36 km/h. Determine: a) a sua energia cinética inicial (E Cinicial ); b) a sua energia cinética final (E Cfinal ); c) o trabalho realizao sobre o automóvel; ) se o automóvel percorreu 100 m nesse trecho, qual a intensiae a força resultante que atua sobre ele? Exercício 3 Uma bala com 50 g e massa atinge uma paree a uma velociae e 400 m/s e nela penetra, horizontalmente, 10 cm. Determine o valor méio a força e resistência exercia pela paree, para frear a bala. Exercício 4 Suponha que um automóvel e massa kg esenvolve uma potência e 60 cv, quano percorre uma trajetória retilínea com velociae constante. Se a intensiae a resistência o ar que atua sobre o automóvel é e N, qual a sua velociae? Exercício 5 Suponha que o conjunto mecânico e um automóvel tem um renimento e 25%. Se o carro parte o repouso e atinge uma velociae e 108 km/h em 10 s, qual é a potência total que ele consome, em cavalos-vapor?