RASTREAMENTO GLOBAL E EXATO DE SISTEMAS MIMO INCERTOS USANDO DIFERENCIADORES EXATOS NÃO-HOMOGÊNEOS

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1 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 RASTREAMENTO GLOBAL E EXATO DE SISTEMAS MIMO INCERTOS USANDO DIFERENCIADORES EXATOS NÃO-HOMOGÊNEOS Paulo Vicor N M Vidal, Andrei Baisel, Liu Hsu, Eduardo V L Nunes Programa de Eng Elérica, COPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro s: paulovicornmv@poliufrjbr, baisel@ufrjbr, liu@coepufrjbr, eduardo@coepufrjbr Absrac This paper proposes a new soluion o he problem of global exac oupu racking for uncerain mulivariable linear plans wih non-uniform arbirary relaive degree using oupu feedback sliding mode conrol To overcome he relaive degree obsacle a mulivariable hybrid esimaion scheme, which combines hrough swiching a linear lead filer wih a nonlinear one based on a homogeneous robus exac differeniaor (RED), was recenly proposed Here, i is shown ha he sandard homogeneous RED can be replaced by a nonhomogeneous RED, which is more robus and also provides faser convergence Compuer simulaions confirm he heoreical resuls Keywords Uncerain Mulivariable Sysems, Sliding Mode Conrol, Oupu-Feedback, Global Tracking, Exac Differeniaor Resumo Nese arigo, propõe-se uma nova solução para o problema de rasreameno global e exao para sisemas lineares, mulivariáveis e inceros com grau relaivo arbirário e não-uniforme usando conrole por modos deslizanes via realimenação de saída Para superar o problema do grau relaivo, um esquema de esimação híbrido mulivariável, que combina aravés de chaveameno um filro de avanço de fase linear convencional com um filro não-linear baseado em um diferenciador robuso e exao (RED) homogêneo, foi recenemene proposo Aqui, mosra-se a possibilidade de subsiuir o RED homogêneo por um RED não-homogêneo, que é mais robuso e ambém fornece uma convergência mais rápida Os resulados são confirmados por simulações numéricas Palavras-chave Sisemas Mulivariáveis Inceros, Conrole por Modos Deslizanes, Realimenação de Saída, Rasreameno Global, Diferenciadores Exaos Inrodução O conrole por modos deslizanes (Sliding Mode Conrol - SMC) é uma écnica muio eficiene para conrolar planas inceras, incluindo variação de parâmeros, dinâmicas não modeladas e perurbações exernas (Edwards & Spurgeon, 998) No enano, esraégias de conrole baseadas em modos deslizanes via realimenação de saída perdem sua exaidão, quando filros de avanço ou observadores de alo ganho (HGO) são usados para conornar o problema do grau relaivo (Boiko & Fridman, 25; Levan & Livne, 22) O conrole por modos deslizanes de ordem superior (Higher Order Sliding Modes - HOSM), proposo em (Levan, 993), generaliza o conceio de modos deslizanes convencionais, preservando as principais vanagens do conrole SMC convencional Denre os conroladores baseados em HOSM, desaca-se o Super Twising Conrol (STC) (Levan, 998; Fridman & Levan, 22) por permiir o desenvolvimeno de diferenciadores robusos e exaos (Robus Exac Differeniaor - RED), capazes não só de ober derivadas exaas, como ambém apresenar performance assinoicamene óima na presença de ruídos de pequena magniude (Levan, 998; Levan, 23) Em (Nunes e al, 29), foi proposo um conrolador por modos deslizanes baseado em um esimador híbrido, denominado de GRED, para resolver o problema de rasreameno global e exao para planas lineares, monovariáveis e inceras com grau relaivo arbirário O esimador híbrido, baseado num esquema de chaveameno que combina um RED com um filro de avanço de fase, de forma a garanir esabilidade global e assegurar um rasreameno assinoicamene exao Em (Nunes e al, 2; Nunes e al, 24), o esquema de esimação híbrido foi generalizado para o caso mulivariável, uilizando um RED de ordem apropriada para cada uma das saídas do sisema e um filro de avanço mulivariável O RED proposo em (Levan, 23) é baseado no princípio da homogeneidade, apresenando uma convergência lena quando as condições iniciais se enconram disanes da origem Recenemene, em (Levan, 29), foi proposa uma modificação para o RED homogêneo convencional por meio da inrodução de ermos lineares nãohomogêneos Tal modificação possibilia uma convergência mais rápida para condições em que o sisema se enconra longe do equilíbrio Além disso, em uma vizinhança suficienemene próxima da origem, os ermos lineares podem ser desprezados em comparação aos ermos homogêneos, preservando porano as caracerísicas de acurácia assinóica e convergência em empo finio do RED convencional Em (Vidal e al, 23) foi proposa uma modificação do compensador híbrido proposo em (Nunes e al, 29), subsiuindo o RED homogêneo convencional por um RED não-homogêneo No enano o resulado obido ficou resrio para planas lineares, monovariáveis com grau rela- 784

2 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 ivo dois Nese arigo, é proposa uma exensão do esquema de conrole apresenado em (Vidal e al, 23) para planas lineares, mulivariáveis e inceras com grau relaivo arbirário e nãouniforme Além disso, mosra-se aravés de simulações numéricas que o GRED baseado em um RED Não-Homogêneo é mais robuso e apresena um desempenho superior ao GRED convencional Preliminares Nese arigo, a definição de Filippov para a solução de equações diferenciais com lado direio desconínuo será assumida (Filippov, 964) Por simplicidade, o símbolo s irá represenar ano a variável de Laplace quano o operador diferencial d/d, de acordo com o conexo A saída y de um sisema linear e invariane no empo com mariz de ransferência H(s) e enrada u é denoado por H(s)u A convolução pura h() u(), sendo h() a resposa impulsiva de H(s), será escria como H(s) u O símbolo denoa a norma Euclidiana para veores, ou a norma induzida para marizes, f denoa ess sup{ f(), }, e f [, 2 ] =sup [, 2] f(), 2 2 Definição do Problema Considere uma plana linear, mulivariável (MIMO) e invariane no empo descria por: ẋ p = A p x p + B p [u + d], y p = H p x p, () onde x p R n é o esado, u R m é a enrada, d R m é uma perurbação de enrada, y p R m é a saída medida A marizes A p, B p e H p são consideradas inceras, ie, apenas valores nominais e alguns limianes superiores para as incerezas esão disponíveis para o projeo do conrolador O modelo enrada-saída correspondene é dado por: y p = G(s)[u + d], G(s) = H p (si A p ) B p As seguines Hipóeses são feias: (A) A mariz de ransferência G(s) é de fase mínima e possui poso compleo (A2) A plana é conrolável e observável (A3) O índice de observabilidade ν de G(s), ou um limiane superior de ν, é conhecido (A4) A mariz ineracor ξ(s) é diagonal e G(s) possui um grau relaivo veorial global conhecido {ρ,, ρ m } (ie, ξ(s) = diag{s ρ,, s ρ m }) A mariz K p R m m, finia e não singular, é referida como ganho de ala frequência e saisfaz K p = lim ξ(s)g(s) s (A5) Exise uma mariz S p conhecida al que K p S p +Sp T Kp T > (A6) A perurbação de enrada, considerada incera, é localmene inegrável, uniformemene limiada e exise um limiane superior d conhecido al que d() d(), Considere que o sinal de referência y m seja gerado pelo seguine modelo de referência: y m = W m (s) r, r, y m R m, (2) W m (s)=diag { (s+γ ),, (s+γ m ) } L (s), onde γ j >, j =,, m, e L(s) é dado por L(s) = diag{l (s), L 2 (s),, L m (s)}, (3) onde L i (s), i =,, m são polinômios Hurwiz dados por L i (s)=s (ρi ) + l [i] ρ i 2 s(ρi 2) + + l [i] s + l[i] A mariz de ransferência W m (s) possui o mesmo grau relaivo veorial de G(s) e o seu ganho de ala frequência é a mariz idenidade O objeivo principal é projear uma lei de conrole u al que o erro de saída e := y p y m, para condições iniciais arbirárias e sinais de referência r() arbirários, conínuos por pares e uniformemene limiados Quando a plana é conhecida e d(), uma lei de conrole que assegura o casameno enre o sisema em malha fechada e o modelo de referência é dada por u = θ T ω, onde o veor de parâmeros é escrio como θ = [ ] θ T θ2 T θ3 T θ4 T T, com θ, θ2 R m(ν ) m, θ3, θ4 R m m e o veor regressor ω = [ωu T ωy T yp T r T ] T, w u, w y R m(ν ) é obido por meio de filros de enrada e saída dados por: ω u = A(s)Λ (s)u, ω y = A(s)Λ (s)y p, (4) onde A(s) = [Is ν 2 Is ν 3 Is I] T, Λ(s) = λ(s)i com λ(s) sendo um polinômio mônico e Hurwiz de grau ν As condições de casameno implicam que θ4 T = Kp A equação do erro pode ser desenvolvida seguindo a abordagem usual para o MRAC SISO (Nunes e al, 29; Ioannou & Sun, 996) Considere a seguine realização de (4) ω u = Φω u + Γu, ω y = Φω y + Γy p, (5) onde Γ R m(ν ) m e Φ R m(ν ) m(ν ) com de(si Φ) = de(λ(s)) = [λ(s)] m Defina o veor de esado X = [x T p, ωu T, ωy T ] T com dinâmica descria por: Ẋ = A X + B u + B d, y p = H o X (6) Enão, somando e subraindo B θ T ω em (6) e noando que exisem marizes Ω e Ω 2 ais que ω =Ω X +Ω 2 r, em-se: Ẋ = A c X+B c K p [θ T 4 r+u u ]+B d, y p = H o X, onde A c =A +B θ T Ω, B c =B θ 4 Noando que (A c, B c, H o ) é uma realização não-mínima de W m (s), e definindo o seguine sinal de perurbação filrado d f ()=W d () d(), onde W d (s)=k p [W m (s)] H o (si A c ) B d 785

3 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 O modelo de referência pode ser descrio por: Ẋ m =A c X m +B c K p [θ T 4 r d f ]+B d, y m =H o X m Desa forma, a dinâmica do sisema do erro x e := X X m ) é dada por: ẋ e = A c x e + B c K p [u Ū], e = H o x e, (7) onde Ū = u d f Noe que A c é Hurwiz, já que o modelo de referência é esável (BIBO) Além disso, como {A c, B c, H o } é uma realização de W m (s), a equação do erro pode ser descria na forma enrada-saída por: e = W m (s)k p [ u Ū ] (8) 3 Conrole Veorial Uniário Convencional Para sisemas com grau relaivo veorial, uniforme e igual a um, ie ρ = ρ 2 = ρ m =, a ideia principal é fechar a malha de conrole com a seguine lei de conrole baseada no conrole veorial uniário (Uni Vecor Conrol - UVC): u = ϱ()s p e e, e Rm, S p R m m, ϱ R, (9) onde S p saisfaz a Hipóese (A5) e a função de modulação ϱ() é projeada para induzir um modo deslizane na variedade e=, e é al que: ϱ() ( + c d ) θ T ω d f + δ, () onde c d é uma consane posiiva apropriada e δ é uma consane posiiva, que pode ser arbirariamene pequena Nese caso, o modelo de referência é dado por W m (s) = diag { (s+γ ),, (s+γ m ) } (L(s) = I m ) e como K p S p + Sp T K p >, aplicando o Lema em (Nunes e al, 2), pode-se concluir que o esquema acima é uniformemene globalmene exponencialmene esável (GES) e o erro de saída e se orna idenicamene nulo após algum empo finio Para sisemas com grau relaivo maior, poderia se usar o operador L(s) definido em (3), de forma a compensar o grau relaivo excedene da plana O operador L(s) é al que L(s)G(s) e L(s)W m (s) possuem grau relaivo veorial uniário e uniforme A variável de deslizameno ideal σ R m é dada por σ =L(s) e= e (ρ ) + + l [] ė + l [] e (ρm ) m e + + l [m] ė m + l [m] e m () Da Hipóese (A4) e de (7), σ pode ser reescria como: σ = ρ j= l[] j ρm j= l [m] j ht A (j) c x e h T ma (j) c x e = Hx e, (2) onde h i R n+2m(ν ) é a i-ésima linha da mariz H o em (7) Noe que {A c, B c, H} é uma realização não-mínima de L(s)W m (s) Seja a lei de conrole u = ϱ()s p σ σ, com função de modulação ϱ() saisfazendo (), enão (como no caso de grau relaivo uniário) o sisema do erro em malha fechada é GES e a variável de deslizameno ideal σ orna-se idenicamene nula após algum empo finio, de acordo com o Lema em (Nunes e al, 2) Enreano, σ não esá direamene disponível para implemenar a lei de conrole 4 Conrole Veorial Uniário Usando um Filro de Avanço MIMO Para planas com grau relaivo maior do que um, a variável de deslizameno ideal σ pode ser esimada pelo seguine filro de avanço de fase MIMO: ˆσ l = L a (s) e, L a (s) = L(s)F (τs), (3) onde F (τs) = diag{(τs+) ρ,, (τs+) ρm } Definindo o erro de esimação do filro de avanço como ε l = ˆσ l σ, sua dinâmica pode ser descria por: ẋ ε = τ A εx ε + B ε σ, ε l = H ε x ε, (4) onde σ = HA c x e + HB c K p [u Ū] (ver (7) e (2)), A ε =bloco diag {A [] ε,, A [m] ε }, A [i] ε R ρ i ρ i, B ε = bloco diag {B ε [],, B ε [m] }, B ε [i] R ρi, H ε = bloco diag {H ε [],, H ε [m] }, H ε [i] R ρi, a [i] ρ 2 b [i] ρ 2 a [i] ρ 3 b [i] ρ 3 A [i] ε =, B [i] ε =, a [i] b [i] a [i] b [i] H [i] ε = [ ], a [i] j =Cρ i ρ i j, b[i] j =Cρ i j+ sendo que Ck n =n!/(k!(n k)!) denoa o coeficiene binomial Na análise de esabilidade do sisema do erro em malha fechada, com esado z T = [ ] x T e x T ε, será considerada a presença de uma perurbação β α () na saída do filro de avanço de fase Esa perurbação será assumida como sendo uniformemene limiada e de ordem τ Subsiuindo a variável de deslizameno ideal σ por sua esimaiva ˆσ l fornecida pelo filro de avanço e levando em cona a presença de β α (), o sinal de conrole é dado por: u = ϱ()s p ˆσ l + β α ˆσ l + β α (5) O resulado de esabilidade é enunciado no seguine Teorema 786

4 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 Teorema Considere a plana () e o modelo de referência (2) (3) com lei de conrole dada por (3) e (5) Assuma que as Hipóeses (A) (A6) sejam válidas e que () seja saisfeia Se a perurbação β α () for absoluamene conínua e limiada por β α () τk R, enão para τ > suficienemene pequeno, o sisema do erro em malha fechada (7), (), (4) e (5), com esado z T = [ ] x T e x T ε, é uniformemene globalmene exponencialmene praicamene esável (GEpS) com respeio a um conjuno residual de ordem τ, ie, exisem consanes posiivas c z e a ais que z( ), >, z() c z e a( ) z( ) + O(τ) (Prova: ver (Nunes e al, 24)) Corolário 2 R >, τ > suficienemene pequeno al que para algum empo finio T, o esado do erro z() é conduzido para um conjuno compaco e invariane D R := {z : z R} Corolário 3 Os sinais e (ρ i) i (), i =,, m são uniformemene limiados Além disso, se x e () R, > T, enão, exisem consanes posiivas C ρ [i] i ais que e (ρi) [i] i [T,] C ρ i, i =,, m (Prova: ver (Nunes e al, 24)) 5 Diferenciador Robuso e Exao Não-Homogêneo MIMO Na seção anerior foi apresenada uma esraégia de conrole baseada no UVC e numa esimaiva de σ obida via um filro linear em avanço de fase MIMO De acordo com o Teorema a convergência do esado do erro é apenas garanida para um conjuno residual de ordem τ, possibiliando o surgimeno de chaering Conforme, esperado esa esraégia não é capaz de garanir rasreameno exao, embora consiga assegurar propriedades globais de esabilidade Recenemene foi proposo em (Levan, 23) um diferenciador robuso e exao (Robus Exac Differeniaor - RED) que possibilia o desenvolvimeno de conroladores por modos deslizanes capazes de assegurar rasreameno exao No enano, apenas propriedades locais de esabilidade e/ou convergência para o sisema em malha fechada podem ser garanidas, mesmo para sisemas lineares, uma vez que um RED de ordem n requer que a derivada de ordem n + do sinal de enrada seja uniformemene limiada O RED Homogêneo convencional proposo em (Levan, 23) é descrio por ζ = v, v = λ ζ f() n n+ sgn (ζ f())+ζ, ζ i = v i, v i = λ i ζ i v i n i n i+ sgn (ζ i v i )+ζ i+, ζ n = λ n sgn (ζ n v n ) (6) sendo que f() é um sinal de enrada O sisema (6) é homogêneo, suas rajeórias são invarianes com respeio a ransformação G η : (, f, ζ i, v i ) (η, η n+ f, η n i+ ζ i, η n i v i ) Em (Nunes e al, 24), foi proposo um esquema de conrole que combina uma exensão mulivariável do RED Homogêneo com o filro de avanço MIMO apresenado aneriormene, de forma a garanir rasreameno exao com propriedades globais de esabilidade Nese rabalho, o objeivo é esender ese esquema de conrole subsiuindo o RED Homogêneo convencional por uma versão modificada pela inrodução de ermos lineares nãohomogêneos que aumenam a robusez do diferenciador e ornam sua convergência mais rápida Considere o seguine RED Não-Homogêneo proposo em (Levan, 29) ζ =v, v = λ ζ f n n+ sgn (ζ f) µ (ζ f)+ζ, ζ i =v i, v i = λ i ζ i v i n i n i+ sgn (ζ i v i ) µ i (ζ i v i )+ζ i+, ζ n = λ n sgn (ζ n v n ) µ n (ζ n v n ) (7) Teorema 4 (Levan, 29): Seja o sinal de enrada f() uma função definida em [, ) com a derivada de ordem n endo uma consane de Lipschiz C n+ > Enão, é possível escolher recursivamene sequências posiivas {λ i } e {µ i } que garanam a convergência em empo finio do RED não-homogêneo (7) na ausência de ruídos Após a convergência, as seguines igualdades são esabelecidas: ζ = f (); ζ i = v i = f (i) (), i =,, n Prova: ver (Levan, 23; Levan, 29) Uma possível escolha de parâmeros {λ i } e {µ i } para o diferenciador de segunda ordem, considerando f (3) () C3, é dada por: ζ = v, v = 3C /3 3 ζ f() 2/3 sgn (ζ f()) 8(ζ f()) + ζ ζ = v, v = 5C /2 3 ζ v /2 sgn (ζ v ) 6(ζ v ) + ζ 2 ζ 2 = C 3 sgn (ζ 2 v ) 3(ζ 2 v ) Para diferenciadores de ordens mais alas, as sequências {λ i } e {µ i } devem apenas ser compleadas de forma recursiva, de modo que as sequências uilizadas no RED de segunda ordem acima serão deslocadas para o final da sequência do novo diferenciador 787

5 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 Um resulado fundamenal para o desenvolvimeno do esquema de esimação proposo em (Nunes e al, 29; Nunes e al, 24) consise em mosrar que se a derivada de ordem n + do sinal de enrada for limiada, enão odos os sinais presenes no RED Homogêneo de ordem n não poderão escapar No Lema a seguir mosra-se que ese resulado fundamenal ambém é válido para o RED Não-Homogêneo Lema 5 Considere o sisema (7), com esado ζ =[ζ ζ n ] T e assuma que os sinais f(), f(),, f (n) () sejam limiados Se f (n+) () K n+,, para alguma consane posiiva K n+, enão ζ não pode divergir em empo finio (Prova: ver Apêndice) Para lidar com o caso mulivariável a ideia é uilizar um RED Não-Homogêneo de ordem p j = ρ j para cada saída e j R, j =,, m, como se segue: ζ [j] =v[j], v[j] ζ [j] i =v [j] = λ[j] ζ [j] e j() p j p j + µ [j] (ζ f())+ζ [j] i, v[j] i = λ [j] i ζ [j] i v [j] i p j i sgn(ζ j e j())+ p j i+sgn(ζ [j] i v [j] i )+ µ [j] i (ζ i v i )+ζ [j] i+ ζ p [j] j = λ [j] p j sgn(ζ p [j] j v p [j] j ) µ n (ζ n v n ), (8) onde i =,, p j e v [j] = e j() Desa forma, usando o RED MIMO, composo por m REDs Não-Homogêneos de ordem ρ j para cada saída e j, a seguine esimaiva de σ pode ser obida: ˆσ r = ζ [] ρ + + l[] ζ[] + l [] ζ[] ζ [m] ρ m + + l[m] ζ [m] + l [m] ζ [m] (9) Se o sinal de conrole u= ϱ()s pˆσ r / ˆσ r fosse usado, o Teorema 4 garaniria apenas convergência local do esado do erro para zero, uma vez que a convergência do RED Não-Homogêneo só pode ser assegurada se os sinais e (ρj) j (), j =,, m forem uniformemene limiados 6 Conrole Veorial Uniário com um Compensador Híbrido Nesa seção será proposo um esquema de conrole, chamado de Global RED based Uni Vecor Conrol (GRED-UVC), baseado num esimador híbrido, denominado de GRED, que consise de uma combinação convexa da esimaiva (3), fornecida por um filro de avanço de fase MIMO, e da esimaiva (9), fornecida por um RED Não- Homogêneo MIMO, de acordo com: ˆσ g = α( ν rl ) ˆσ l + [ α( ν rl )] ˆσ r, (2) onde ν rl = ˆσ r ˆσ l é a diferença enre as duas esimaivas A função de chaveameno α( ν rl ) pode ser visa como uma modulação conínua, dependene do esado, que assume valores no inervalo [, ], e que permie ao esquema de conrole rocar suavemene enre os dois esimadores A ideia básica do GRED-UVC é garanir que o sisema do erro em malha fechada seja globalmene exponencialmene esável com respeio a um pequeno conjuno residual de ordem τ, independenemene do comporameno do RED Não- Homogêneo MIMO, e, além disso, assegurar que após algum empo finio apenas o RED Não- Homogêneo MIMO seja usado para esimar σ Para esa finalidade, a lei de chaveameno α( ) é proposa, de forma que o sisema resulane seja equivalene a um UVC com um filro de avanço MIMO e com uma perurbação de saída uniformemene limiada e de ordem τ, ie, ˆσ g ˆσ l τk R Desa forma, esabilidade global é garanida pelo Teorema, independenemene do comporameno do RED, desde que seus sinais permaneçam limiados Esa condição é uma consequência do Teorema e do fao de que as variáveis de cada RED Não-Homogêneo individual não escapam em empo finio, conforme assegurado pelo Lema 5 Porano, o esado do erro é conduzido globalmene para um conjuno compaco e invariane D R, onde a convergência do RED Não-Homogêneo MIMO pode ser assegurada e um majorane ε l para o erro de esimação do filro de avanço de fase MIMO ε l pode ser deerminado A lei de chaveameno α( ) é projeada como se segue:, ν rl < ε M α( ν rl )= ( ν rl ε M + )/, ε M ν rl <ε M, ν rl ε M (2) onde < <ε M é uma zona-linear usada para suavizar a função de chaveameno, e ε M := τk R, com K R sendo um parâmero de projeo posiivo apropriado, que é ajusado de forma que ε M > ε l Iso implica que, após algum empo finio, apenas o RED Não-Homogêneo MIMO permanece aivo (α = ), fornecendo uma esimaiva exaa da variável de deslizameno ideal σ, conforme desejado A lei de conrole do GRED-UVC é dada por: u = ϱ()s p ˆσ g ˆσ g, (22) onde a função de modulação ϱ() saisfaz () As propriedades de esabilidade e de convergência do esquema de conrole proposo são enunciadas no Teorema 6 788

6 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 Teorema 6 Considere a plana () e o modelo de referência (2) (3) com lei de conrole dada por (2) e (22) A função de chaveameno α( ) é definida em (2) Assuma que as Hipóeses (A) (A6) sejam válidas e que a desigualdade () seja saisfeia Para τ >, suficienemene pequeno, o sisema do erro em malha fechada descrio por (7), (2), (4) e (5) é uniformemene globalmene praicamene exponencialmene esável com respeio a um conjuno residual de ordem τ Além disso, para λ [j] i, µ [j] i, j =,, m, i=,, ρ j, e K R escolhidos apropriadamene, a esimação de σ se orna exaa após algum empo finio, sendo feia exclusivamene pelo RED Não-Homogêneo MIMO (α=) Enão, o esado do erro em malha fechada z T = [ ] x T e x T ε, e consequenemene o erro de rasreameno e, endem exponencialmene para zero (Prova: segue os mesmo passos apresenados em (Nunes e al, 24)) 7 Resulados de Simulação A plana e a perurbação de enrada são assumidas como sendo inceras e dadas por G(s) = [ s+2 (s )(s+)(s+3) (s+)(s+2) (s )(s+)(s+3) 2 (s+)(s+2)(s+3) e d = [sqw(3) sqw(5)] T, onde sqw( ) denoa a onda quadrada uniária O sisema linear em grau relaivo não-uniforme (ρ =2, ρ 2 =3) [ e o ganho de ala frequência é dado por K p = ] Desa forma, pode-se verificar que a Hipóese (A5) é saisfeia com S p = I O sinal de referência e o modelo são escolhidos { como r =[sin(5) } 2 sin()], W m (s)=diag (s+) 2, (s+) 2 Ouros (s+2) parâmeros de projeo são: filros E/S (4): λ(s) = (s + 2) 2 e ν = 3; função de modulação ϱ() em (22) saisfazendo (): θ 2, c d = 225, d f = W d (s) d() <2 e δ =; Filro de Avanço (3): τ = 2 e L(s) = diag { (s + ), (s + ) 2} ; RED MIMO (8)-(9): λ [] = 5C[]/2 2, λ [] = C[] 2 e C [] 2 = 3; λ [2] = 3C [2]/3 3, λ [2] = 5C [2]/2 3, λ [2] 2 = C [2] 3 e C [2] 3 =, além de µ [] = 6, µ [] = 3, µ [2] = 8, µ [2] = 6 e µ [2] 2 = 3 O Méodo de Euler como passo fixo h= 4 é uilizado para inegração numérica Primeiramene, preende-se verificar o desempenho do sisema quando apenas o RED é uilizado (α( ), ), comparando os resulados do RED não-homogêneo ao do homogêneo Considerando condições iniciais y p () = 5, ẏ p () = 9, y p2 () =, ẏ p2 () =, ÿ p2 () = 5, são apresenados na Figura os resulados do erro de rasreameno Nese caso, o RED homogêneo não é capaz de garanir a convergência do erro para zero, o que comprova a melhora de desempenho ] e robusez do sisema quando é uilizado o RED não-homogêneo (a) (b) x Figura : GRED-UVC (α( ), ): erros de rasreameno ( ) e = y p y m, ( ) e 2 = y p2 y m2 para (a) apenas RED não-homogêneo, (b) apenas RED homogêneo Enreano, para condições iniciais y p () = 5, ẏ p () = 27, y p2 () = 3, ẏ p2 () = 3, ÿ p2 () = 5, a Figura 2 mosra que o RED MIMO nãohomogêneo sozinho não é capaz de garanir propriedades globais de esabilidade, jusificando assim a necessidade de se uilizar o esquema de esimação híbrido proposo e 2 2 x Figura 2: GRED-UVC (α( ), ): erros de rasreameno ( ) e = y p y m, ( ) e 2 = y p2 y m2 para apenas RED não-homogêneo Uiliza-se agora o GRED-UVC, com os parâmeros da função de chaveameno (2) dados por: K R =, ε M = τ e = 5τ As seguines condições iniciais da plana são consideradas: y p () = 5, ẏ p () = 27, y p2 () = 3, ẏ p2 () = 3, ÿ p2 () = 5 As condições iniciais resanes são feias iguais a zero A Figura 3 mosra que o GRED-UVC consegue um rasreameno preciso apesar da perurbação d() Do gráfico de α( ), é possível noar que após um cero inervalo de empo apenas o RED MIMO não-homogêneo é selecionado, conforme esperado Em geral, o GRED-UVC não-homogêneo apresena um desempenho melhor que o convencional Na simulação a seguir, os parâmeros são reajusados de modo a evidenciar essa melhora Considera-se as condições iniciais: y p () = 25, ẏ p ()=45, y p2 ()=5, ẏ p2 ()=5, ÿ p2 ()=25; Filro de Avanço (3): τ =; RED MIMO (8)- (9): C [] 2 = 2 e C [2] 3 = 5; Função de Chaveameno (2): K R =6, ε M =6τ e =32τ A Fi- 789

7 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 (a) (b) (c) (d) Figura 3: GRED-UVC: (a),(b) Rasreameno ( ) y m, y m2, ( ) y p, y p2 ; (c) Erros de rasreameno ( ) e = y p y m, ( ) e 2 = y p2 y m2 ; (d) Função de chaveameno α( ν rl ) gura 4 mosra que o GRED-UVC não-homogêneo apresena uma convergência mais rápida que o convencional Isso ocorre porque a região de convergência do RED não-homogêneo é maior comparada à do homogêneo Sendo assim, a função de chaveameno converge para zero mais rápido, melhorando o desempenho do sisema 8 Conclusões Nese arigo, foi proposa uma esraégia de conrole, que uiliza apenas realimenação de saída, para resolver o problema de rasreameno global e exao para planas lineares, mulivariáveis e inceras com grau relaivo arbirário e não-uniforme O elemeno chave para viabilização da solução é o esquema de esimação híbrido mulivariável, que combina um filro de avanço com um RED nãohomogêneo Mosrou-se que a esraégia de conrole proposa é capaz de assegurar propriedades globais de esabilidade, além de garanir um rasreameno assinoicamene exao de um sinal de referência gerado por um modelo Além disso, as simulações numéricas validam os resulados eóricos e ilusram a maior robusez do RED nãohomogêneo Agradecimenos Ese rabalho foi parcialmene financiado pela FAPERJ, CAPES e pelo CNPq (a) (b) Figura 4: Erros de rasreameno (a) e = y p y m, (b) e 2 = y p2 y m2, para GRED-UVC com ( ) RED não-homogêneo, ( ) RED homogêneo Apêndice Prova do Lema 5: Aplicando a mudança de variáveis υ i = ζ i f (i) (), i =,,, n, em-se o seguine sisema de equações de esado: υ = λ υ n/(n+) sgn (υ ) µ υ + υ υ i = λ i υ i υ i (n i)/(n i+) sgn (υ i υ i ) µ i (υ i υ i ) + υ i+ υ n = λ n sgn (υ n υ n ) µ n(υ n υ n ) f (n+) Sabendo que x = x sgn (x) e considerando que sgn (υ i υ i ) = sgn (υ i υ i 2 ) para i = 2,, n; e, porano, sgn (υ i υ i ) = sgn (υ ), para i =, 2,, n, o sisema acima pode ser reescrio na forma: [ ] υ = λ υ n/(n+) + µ υ sgn (υ ) + υ υ i = [ ] (n i) λ i υ i υ i (n i+) + µ i υ i υ i sgn (υ ) + υ i+ υ n = [λ n + µ n υ n υ n ] sgn (υ ) f (n+) Usando indução maemáica, pode-se mosrar que sua forma não recursiva é dada por: υ = [ϕ ( υ ) + ψ υ ] sgn (υ ) + υ υ i = [ϕ i ( υ ) + ψ i υ ] sgn (υ ) + υ i+ (23) υ n = [ϕ n ( υ ) + ψ n υ ] sgn (υ ) f (n+) onde ϕ = λ υ n/(n+), ψ = µ ϕ i = λ i (ϕ i + ψ i υ ) (n i)/(n i+) + µ i ϕ i, ψ i = µ i ψ i, i =, 2,, n 79

8 Anais do XX Congresso Brasileiro de Auomáica Belo Horizone, MG, 2 a 24 de Seembro de 24 Noe que ψ i é consane e ϕ i ( υ ) obedece às seguines condições: ϕ i ( υ ) κ [i] se υ ϕ i ( υ ) υ κ [i] 2 se υ > para i =,,, n e algumas consanes posiivas κ [i] e κ [i] 2 A primeira desigualdade vem do fao de que ϕ i é limiado, para υ, se ϕ i ambém o for Como ϕ é limiado nessas condições, enão por indução maemáica se chega à primeira desigualdade A segunda desigualdade pode ser demonsrada considerando que: ϕ υ = λ υ /(n+) ϕ ( ) i υ = λ i ϕi (n i)/(n i+) + ψ υ /(n i+) υ i ϕ +µ i i, i =, 2,, n υ ϕ e o fao de que, para υ >, i υ será limiado se ϕ i υ ambém o for Como ϕ é limiado nessas condições, enão por indução maemáica se chega à segunda desigual- υ dade As equações υ i = [ϕ i ( υ ) + ψ i υ ] sgn (υ )+υ i+, i =,,, n podem ser reescrias da seguine forma: onde e υ i = a i (υ )υ b i (υ ) + υ i+ ψ i, υ a i (υ ) = ψ i + ϕ i( υ ), υ > υ { ϕi ( υ b i (υ ) = ) sgn (υ ), υ, υ > A equação υ n = [ϕ n( υ ) + ψ n υ ] sgn (υ ) f (n+) () pode ser reescria na forma: onde e υ n = a n(υ )υ b n(υ ) ψ n, υ a n(υ ) = ψ n + ϕ n( υ ), υ > υ { ϕn ( υ b n(υ ) = ) sgn (υ ) + f (n+) (), υ f (n+) (), υ > Noe que, uma vez que f (n+) () K n+, enão a i (υ ) K ai e b i (υ ) K bi, para i =,,, n e algumas consanes posiivas K ai e K bi Definindo o veor de esados compleo como sendo Υ = [ υ υ υ n ] T, o sisema (23) pode ser reescrio como: onde Υ = A(Υ)Υ + b(υ) a (υ ) a (υ ) A(Υ) = a n (υ ) a n (υ ) b (υ ) b (υ ) b(υ) = b n (υ ) b n (υ ) sendo que b(υ) c e A(Υ) c 2 para algumas consanes posiivas c e c 2 Considere a função: V (Υ()) = Υ T ()Υ() Pode-se verificar que V (Υ) 2c 2 V (Υ) + 2c V (Υ) Considere a equação de comparação V c(υ) = 2c 2 V c (Υ) + 2c Vc (Υ) Se V c () = V (), enão V () V c(), Inroduzindo a variável χ 2 = V c, segue que χ χ = c 2 χ 2 + c χ Considerando χ, em-se dχ d = c 2χ + c Desa forma, pode-se mosrar que ( ) 2c2 Vc() + 2c ln = c 2 2c 2 Vc () + 2c Porano: [( ) V c V () () + e c2 c ] 2 c 2 c 2 Logo, a função V () não escapa em empo finio para qualquer consane K n+ finia e porano υ perence a L e Além disso, como os sinais f (i) (), i =,,, n, são limiados, enão conclui-se que o esado ζ não pode escapar em empo finio Referências Boiko, I & Fridman, L (25) Analysis of chaering in coninuous slidingmode conrollers, IEEE Trans Au Conr 5(9): Edwards, C & Spurgeon, S (998) Sliding Mode Conrol : Theory and Applicaions, Sysems and Conrol Book Series, Taylor & Francis Filippov, A F (964) Differenial equaions wih disconinuous righ-hand side, American Mah Soc Translaions 42(2): Fridman, L & Levan, A (22) Higher order sliding modes, in Perruquei & B J P (eds), Sliding Mode Conrol in Engineering, Marcel Dekker, New York, pp 53 Ioannou, P & Sun, K (996) Robus Adapive Conrol, Prenice Hall Levan, A (993) Sliding order and sliding accuracy in sliding mode conrol, In J of Robus and Nonlinear Conr 58(6): Levan, A (998) Robus exac differeniaion via sliding mode echnique, Auomaica 34(3): Levan, A (23) Higher-order sliding modes, differeniaion and oupu-feedback conrol, In J Conr 76(9): Levan, A (29) Non-homogeneous finie-imeconvergen differeniaor, IEEE Conference on Decision and Conrol CDC 9, Shanghai, PR China, pp Levan, A & Livne, M (22) Exac differeniaion of signals wih unbounded higher derivaives, IEEE Trans Au Conr 57(4): 76 8 Nunes, E V L, Hsu, L & Lizarralde, F (29) Global racking for uncerain sysems using oupufeedback sliding mode conrol, IEEE Trans Au Conr 54(5): 4 47 Nunes, E V L, Peixoo, A J, Oliveira, T R & Hsu, L (2) Global exac racking for uncerain mulivariable linear sysems by oupu feedback sliding mode conrol, Proc American Conr Conf, Balimore, pp Nunes, E V L, Peixoo, A J, Oliveira, T R & Hsu, L (24) Global exac racking for uncerain mimo linear sysems by oupu feedback sliding mode conrol, Journal of he Franklin Insiue 35(4): Vidal, P V N M, Baisel, A & Nunes, E V L (23) Rasreameno global e exao de sisemas inceros uilizando um diferenciador exao não-homogêneo, Anais do XI Simpósio Brasileiro de Auomação Ineligene, Foraleza 79